một số tính chất địa phương và toàn cục của mặt đối chiều hai trong không gian lorentz-minkowski bản tóm tắt tiếng việt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH


ĐẶNG VĂN CƯỜNG


MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỊA PHƯƠNG VÀ
TOÀN CỤC CỦA MẶT ĐỐI CHIỀU HAI
TRONG KHÔNG GIAN LORENTZ-MINKOWSKI

Chuyên ngành: Hình học và Tôpô
Mã số: 62 46 10 01

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC




NGHỆ AN – 2013
Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại Học Vinh

Người hướng dẫn khoa học:
1. PGS. TS . ĐỒN THẾ HIẾU
2. TS. NGUYỄN DUY BÌNH

Phản biện 1:
Phản biện 2:
Phản biện 3:

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp
trường họp tại
vào hồi……… ….giờ…………phút, ngày………tháng……….năm

Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:



DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA NGHIÊN CỨU SINH
LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN

[1] Binh Ng. D, Cuong. D. V , Hieu. D. Th (2013), “Hyperplanarity of
surfaces in four dimensional spaces”, pre-print.
[2] Cuong. D. V (2008), “The flatness of spacelike surfaces of
codimension two in
1

n

'', Vinh university Journal of science.,37 (2A),
11-20.
[3] Cuong. D. V (2009), “The umbilicity of spacelike surfaces of
codimension two in
1

n

'', Vinh university Journal of science., 38 (3A),
5-14.
[4] Cuong. D. V (2010), “On general Gauss maps of surfaces”, East-
West J. of Mathematics., 12 (2), 153-162.
[5] Cuong. D. V (2012), “
r
LS
-valued Gauss maps and pacelike
surfaces of revolution in
4
1

'', App. Math. Sci., 6 (77), 3845 - 3860.
[6] Cuong. D. V and Hieu. D. Th (2012), “

r
HS
-valued Gauss maps and
umbilic spacelike sufaces of codimension two”, submitted.
[7] Cuong. D. V (2013), “Surfaces of Revolution with constant
Gaussian curvature in four-Space”, Asian-Eur. J. Math., DOI
10.1142/S1793557113500216.
[8] Cuong. D. V (2012), “The bi-normal fields on spacelike surfaces in
4
1

”, submitted.

1
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
1.1 Việc nghiên cứu các tính chất địa phơng và toàn cục của mặt là một
trong những vấn đề cơ bản của hình học vi phân. Tính chất địa phơng
của mặt là những tính chất liên quan đến tham số hóa địa phơng của
mặt, còn tính chất toàn cục là những tính chất thể hiện trên toàn bộ mặt
mà không chịu sự chi phối của tham số hóa địa phơng.
Chúng ta đã biết, trong hình học vi phân cổ điển, một trong những
công cụ cơ bản để nghiên cứu các tính chất địa phơng của mặt là ánh
xạ Gauss. ánh xạ Gauss đa đến các khái niệm độ cong bao gồm: độ
cong Gauss; độ cong trung bình; độ cong chính,. . . . Với các mặt đối
chiều một, mặt trong R
3
và siêu mặt trong R
n
, ánh xạ Gauss đã chứng tỏ

là một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu tính chất địa phơng của chúng.
Chẳng hạn, dựa vào tính chất của độ cong chúng ta nhận đợc kết quả:
một mặt chính quy trong R
3
là mặt rốn khi và chỉ khi nó là (một phần
của) một mặt cầu hoặc (một phần của) một mặt phẳng.
Đối với các tính chất toàn cục của mặt, một trong những công cụ để
tìm đợc mối liên hệ giữa tính chất địa phơng với tính chất toàn cục là
trờng Jacobi dọc theo một đờng trắc địa. Thông qua công cụ này một
số tính chất toàn cục của mặt trong R
3
đã đợc đa ra trong lý thuyết
hình học vi phân cổ điển. Chẳng hạn, một mặt chính quy trong R
3
có độ
cong Gauss đồng nhất bằng không khi và chỉ khi nó là mặt kẻ khả triển.
Việc tìm hiểu các kết quả thể hiện các tính chất hình học của lớp
mặt kiểu không gian đối chiều hai trong không gian Lorentz-Minkowski,
tơng tự nh trờng hợp của mặt trong R
3
, là một trong những vấn đề
đợc chúng tôi quan tâm.
1.2 Hình học của mặt trong R
4
đã đợc quan tâm nghiên cứu bởi một số
nhà toán học nh Romero Fuster, Izumiya, Pei, Little, Ganchev, Milou-
sheva, Weiner, . . . . Chúng ta có thể điểm lại một số kết quả chính đã
đạt đợc trong lĩnh vực này nh sau. Vào năm 1969, Little đã xây dựng
các bất biến hình học, chẳng hạn nh elip độ cong, để nghiên cứu tính
kỳ dị của đa tạp con đối chiều hai trong không gian Ơ-clít. Cũng trong

bài báo này tác giả đã chỉ ra đợc rằng mặt trong R
4
thoả mãn điều
kiện mọi trờng vectơ pháp là trờng trùng pháp khi và chỉ khi nó là
một mặt kẻ khả triển. Đến năm 1995, Mochida và một số tác giả khác
đa ra một số điều kiện cần và đủ về sự tồn tại trờng trùng pháp của
2
mặt trong R
4
. Trong bài báo này các tác giả đã khẳng định điều kiện
cần và đủ để mặt trong R
4
chấp nhận đúng hai trờng trùng pháp là lồi
ngặt địa phơng. Các kết quả này đợc mở rộng lên mặt đối chiều hai
trong R
n+2
bởi Mochida và một số tác giả khác vào năm 1999. Hớng
nghiên cứu này đợc tiếp tục bởi Romero-Fuster và Sánchez-Brigas vào
năm 2002, để nghiên cứu khái niệm rốn trên mặt. Trong bài báo này, các
tác giả đã chỉ ra mối quan hệ tơng đơng giữa các lớp mặt: -rốn, tồn
tại hai phơng tiệm cận trực giao với nhau tại mọi điểm, nửa rốn và độ
cong pháp đồng nhất bằng không. Đến năm 2010, Nu

no-Ballesteros và
Romero-Fuster xây dựng khái niệm quỹ tích độ cong (curvature locus),
nó là một mở rộng của khái niệm elip độ cong cho mặt đối chiều hai
trong R
n+2
, để nghiên cứu tính chất của các đa tạp con đối chiều hai.
Trong bài báo này các tác giả cũng đã chuyển một số kết quả về mặt

trong R
4
lên đa tạp con đối chiều hai trong R
n+2
.
Việc phát triển các kết quả nghiên cứu về mặt trong R
4
lên mặt kiểu
không gian đối chiều hai trong không gian Lorentz-Minkowski cũng là
một trong những vấn đề chúng tôi quan tâm nghiên cứu.
1.3 Những năm gần đây một số kết quả nghiên cứu mặt kiểu không
gian đối chiều hai trong không gian Lorentz-Minkowski đã đợc công
bố. Chúng ta điểm qua một số kết quả chính cho lĩnh vực này nh sau.
Bằng cách sử dụng tính chất của độ cong liên kết với một trờng vectơ
pháp để nghiên cứu mặt kiểu không gian đối chiều hai, vào năm 2004
Izumiya và một số tác giả khác đã chỉ ra rằng nếu mặt chứa trong một
giả cầu thì nó là mặt -rốn, trong đó là trờng vectơ vị trí của mặt. Với
chiều ngợc lại của mệnh đề này, các tác giả đã bổ sung thêm giả thiết
song song của để mặt -rốn chứa trong một giả cầu. Trong bài báo này
các tác giả cũng đã trình bày lại cách xây dựng khái niệm elip độ cong
cho mặt kiểu không gian hai chiều trong không gian Lorentz-Minkowski
số chiều lớn hơn 3 và chỉ ra mối liên hệ giữa mặt -rốn và mặt nửa rốn,
nó là mặt mà elip độ cong suy biến thành một đoạn thẳng. Xuất phát
từ tính chất mặt phẳng pháp của một mặt kiểu không gian đối chiều hai
là một 2-phẳng kiểu thời gian, dễ dàng chỉ ra đợc rằng nó có một cơ
sở giả trực chuẩn với một vectơ kiểu không gian và một vectơ kiểu thời
gian. Bằng cách sử dụng tổng và hiệu của hai vectơ trong cơ sở này của
mặt phẳng pháp, vào năm 2007 Izumiya và một số tác giả khác đã xây
dựng khái niệm ánh xạ Gauss nón ánh sáng và nghiên cứu khái niệm dẹt
trên các mặt kiểu không gian đối chiều hai.

Tìm cách xác định một trờng vectơ pháp trên mặt kiểu không gian
đối chiều hai, xem nh ánh xạ Gauss, thuận tiện cho việc nghiên cứu các
3
tính chất hình học của mặt, cũng là một trong những vấn đề chúng tôi
quan tâm.
1.4 Nghiên cứu tính phẳng, điều kiện chứa trong mặt phẳng, của một
đờng cong trong R
3
là một bài toán cổ điển của hình học vi phân. Tính
phẳng của đờng cong phụ thuộc vào độ xoắn của đờng cong, đờng
cong là phẳng khi và chỉ khi độ xoắn của nó đồng nhất bằng không. Điều
này tơng đơng với trờng vectơ trùng pháp của đờng cong là trờng
vectơ hằng. Ngoài ra một số tính chất của mặt phẳng mật tiếp của đờng
cong cũng cho chúng ta một số điều kiện đủ để đờng cong phẳng.
Tìm kiếm các điều kiện đủ để một mặt kiểu không gian trong R
4
1
chứa trong một siêu phẳng cũng là một trong những vấn đề chúng tôi
quan tâm.
1.5 Việc nghiên cứu các lớp mặt đặc biệt trong không gian, chẳng hạn
mặt kẻ, mặt tròn xoay, . . . , cũng là một trong những vấn đề đợc các
nhà hình học quan tâm. Khi xây dựng một công cụ nào đó để nghiên
cứu các lớp mặt, công cụ đó thực sự có giá trị nếu nó có thể đa ra một
phân loại cho các lớp mặt đặc biệt này. Chúng tôi cũng mong muốn đa
ra các định lí phân loại cho các lớp mặt đặc biệt, chẳng hạn nh mặt kẻ
cực đại, mặt tròn xoay cực đại hay khảo sát khái niệm rốn trên các lớp
mặt này.
Bởi các lý do nêu ở trên, tôi chọn đề tài Một số tính chất địa
phơng và toàn cục của mặt đối chiều hai trong không gian Lorentz-
Minkowski" làm đề tài luận án tiến sĩ.

2. Mục đích nghiên cứu
Trong luận án này chúng tôi nghiên cứu một số tính chất hình học
của mặt đối chiều hai trong không gian Lorentz-Minkowski với các mục
đích sau.
(1) Xây dựng một số công cụ hữu hiệu để có thể nghiên cứu các tính
chất hình học của mặt kiểu không gian đối chiều hai.
(2) Nghiên cứu các khái niệm rốn trên mặt kiểu không gian đối chiều
hai, đa ra một số kết quả phân loại mặt kiểu không gian -rốn
đối chiều hai và mặt kiểu không gian rốn đối chiều hai.
(3) Nghiên cứu mối quan hệ giữa mặt -rốn và mặt -phẳng.
4
(4) Nghiên cứu các điều kiện chứa trong siêu phẳng của mặt trong
không gian R
4
sau đó mở rộng lên mặt kiểu không gian trong R
4
1
.
(5) Sử dụng các kết quả đạt đợc theo hớng nghiên cứu để ứng dụng
vào việc khảo sát tính chất hình học của một số lớp mặt kiểu không
gian đặc biệt trong không gian Lorentz-Minkowski R
4
1
, đó là mặt
kẻ và mặt tròn xoay.
3. Đối tợng nghiên cứu
Đối tợng nghiên cứu của luận án bao gồm: mặt kiểu không gian
đối chiều hai; các công cụ nghiên cứu mặt kiểu không gian đối chiều
hai; các tính chất hình học của mặt kiểu không gian đối chiều hai trong
không gian Lorentz-Minkowski. Vậy nên, nếu không đợc nhắc lại, đối

tợng mặt trong luận án đợc hiểu là mặt kiểu không gian đối chiều hai.
4. Phạm vi nghiên cứu
Trong luận án này chúng tôi nghiên cứu một số tính chất địa phơng
và toàn cục trên mặt kiểu không gian đối chiều hai, nghiên cứu một
số lớp mặt kiểu không gian đối chiều hai đặc biệt trong không gian
Lorentz-Minkowski.
5. Phơng pháp nghiên cứu
Chúng tôi sử dụng phơng pháp lý thuyết trong quá trình thực hiện
đề tài. Bằng cách sử dụng các công cụ là các độ cong trên mặt, chẳng
hạn độ cong liên kết với một trờng vectơ pháp; elip độ cong; độ cong
Gauss, chúng tôi tìm kiếm các tính chất hình học của mặt đối chiều hai
thỏa mãn tơng ứng các điều kiện của các độ cong này cũng nh mối
liên hệ giữa các lớp mặt đó.
6. ý nghĩa khoa học và thực tiển
6.1 Luận án góp phần giải quyết các bài toán của mặt đối chiều hai
trong không gian Lorentz-Minkowski sau:
5
(1) Đa ra hai phơng pháp để xác định một trờng vectơ pháp khả
vi trên phân thớ pháp của mặt đối chiều hai, đó là một cặp trờng
vectơ pháp kiểu không gian và một cặp trờng vectơ pháp kiểu ánh
sáng.
(2) Sử dụng trờng vectơ pháp (đợc xác định ở trên) vào việc nghiên
cứu khái niệm dẹt trên mặt và đa ra một số định lí thể hiện đợc
tính chất hình học của mặt -dẹt.
(3) Đa ra một số định lí có tính phân loại đối với các mặt chứa trong
một giả cầu thoả mãn điều kiện -rốn hoặc mặt thoả mãn điều kiện
rốn.
(4) Đa ra một tiêu chuẩn để kiểm tra một trờng vectơ pháp là trờng
trùng pháp. Xác định quan hệ giữa mặt -rốn và mặt -phẳng.
(5) Đa ra các điều kiện đủ để mặt trong không gian 4-chiều (R

4
và
R
4
1
) chứa trong một siêu phẳng.
(6) Đa ra các định lí thể hiện tính chất hình học của một số mặt kiểu
không gian đặc biệt trong R
4
1
bao gồm: mặt kẻ cực đại; mặt tròn
xoay (kiểu hypecbolic và kiểu eliptic) cực đại; mặt tròn xoay (kiểu
hypecbolic và kiểu eliptic) rốn. Chỉ ra số lợng trờng trùng pháp
trên mặt kẻ, mặt tròn xoay (kiểu hypecbolic hoặc eliptic). Đa ra
các điều kiện tơng ứng với số lợng trờng trùng pháp trên mặt
tròn xoay với kinh tuyến phẳng. Xác định các trờng vectơ pháp
trên mặt kẻ và mặt tròn xoay để chúng là mặt -rốn.
6.2 Luận án có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, cho học viên
cao học và nghiên cứu sinh theo hớng nghiên cứu này.
7. Tổng quan và cấu trúc luận án
7.1. Tổng quan luận án
Phần kiến thức cơ sở của luận án đợc giới thiệu trong chơng 1.
Đây là khối kiến thức rất căn bản nhng nó đợc sử dụng nhiều trong
luận án nên không thể bỏ qua. Đóng góp của luận án đợc trình bày
trong các chơng 2, 3 và 4. Trong chơng 2, chúng tôi đa ra hai phơng
pháp để xác định một cặp trờng vectơ pháp khả vi trên mặt, một cặp kiểu
không gian và một cặp kiểu ánh sáng, đồng thời ứng dụng các trờng
6
vectơ pháp này để nghiên cứu tính chất hình học của mặt -rốn, mặt rốn.
Chơng 3 đa ra một tiêu chuẩn để kiểm tra một trờng vectơ pháp trên

mặt là trờng trùng pháp, nghiên cứu mối quan hệ giữa mặt -rốn và mặt
-phẳng đồng thời xác định số lợng trờng trùng pháp trên mặt -rốn.
Trong Chơng 3 chúng tôi cũng nghiên cứu các điều kiện đủ để một mặt
trong không gian 4-chiều, R
4
và R
4
1
, chứa trong một siêu phẳng. Trong
chơng 4, chúng tôi khảo sát một số tính chất hình học của hai lớp mặt
đặc biệt trong R
4
1
, đó là mặt kẻ kiểu không gian và mặt tròn xoay kiểu
không gian.
7.1.1 Việc nghiên cứu lớp mặt -rốn đối chiều hai, trớc hết cần kể đến
các tác giả Izumiya, Pei, Romero-Fuster,. . . . Các tác giả đã giả sử trên
mặt tồn tại một trờng vectơ pháp (kiểu không gian, kiểu thời gian hoặc
kiểu ánh sáng), xây dựng các độ cong liên kết với trờng vectơ pháp ,
sau đó đa ra một số tính chất hình học của mặt -rốn. Tuy nhiên, sự tồn
tại các trờng vectơ pháp nh thế nào thì cha đợc nhắc đến. Điều
này có ý nghĩa về mặt lý thuyết nhng lại khó khăn khi thực hành tính
toán trên các mặt cụ thể. Cho đến thời điểm này, khi cho một mặt dới
dạng tham số hoá, việc xác định một trờng vectơ pháp trên mặt đồng
thời kiểm soát đợc thuộc tính (kiểu không gian, kiểu thời gian hoặc kiểu
ánh sáng) của nó vẫn đang là vấn đề cha đợc nghiên cứu cụ thể. Trong
Chơng 2 của luận án này chúng tôi đa ra hai phơng pháp để xác định
hai cặp trờng vectơ pháp trên một mặt đợc cho dới dạng tham số, đó
là một cặp trờng vectơ pháp kiểu không gian và một cặp trờng vectơ
pháp kiểu ánh sáng. Điều này có ý nghĩa về mặt thực hành, khi cho

một mặt tham số chúng ta sẽ xác định đợc trờng vectơ pháp cụ thể
trên mặt (kiểu không gian hoặc kiểu ánh sáng) từ đó ta tính đợc các độ
cong liên kết với nó để nghiên cứu các tính chất hình học của mặt. Quá
trình này đợc tổng quan lại nh sau: Với mỗi điểm p M, mặt phẳng
pháp N
p
M của M tại p là một 2-phẳng kiểu thời gian, nó sẽ cắt n-không
gian hypebolic tâm v = (0, 0, . . . , 0, 1) bán kính R = 1 (t.. nón ánh
sáng) theo một hypebol (t.. hai tia). Với một số thực r > 0, siêu phẳng

x
n+1
= r

cắt hypebol (t.. hai tia) theo đúng hai vectơ, ký hiệu là n

r
(t.. l

r
). Chúng ta chứng minh đợc các trờng vectơ n

r
(t.. l

r
) là các
trờng vectơ kiểu không gian (t.. kiểu ánh sáng) khả vi (Định lí 3.1.3)
và vì vậy có thể tính toán các độ cong liên kết với chúng để tiến hành
nghiên cứu mặt n

r
-rốn và mặt l

r
-rốn. Không cần giả thiết n

r
là trờng
vectơ pháp song song, M là mặt n

r
-dẹt khi và chỉ khi n

r
là trờng vectơ
hằng, điều này tơng đơng với M chứa trong một siêu phẳng kiểu thời
gian không chứa trục x
n+1
(Định lí 2.1.5). Chúng tôi cũng đa ra một
7
số điều kiện tơng đơng để các mặt chứa trong một giả cầu hypebolic
là mặt n

r
-rốn (Định lí 2.1.12). Vì n

r
không là trờng vectơ pháp song
song nên nếu M là mặt n

r
-rốn thì nói chung (ngay cả khi M chứa trong
một giả cầu) hàm độ cong n

r
-chính không là hàm hằng. Định lí 2.1.14
cho chúng ta các tính chất hình học của mặt chứa trong giả cầu hypebolic
thỏa mãn điều kiện n

r
-rốn và n

r
-độ cong chính là hàm hằng. Với mặt
không giả thiết chứa trong giả cầu, điều kiện n

r
-rốn và n

r
song song
tơng đơng với điều kiện M chứa trong giao của một giả cầu hypebolic
với một siêu phẳng

x
n+1
= c

(Định lí 2.1.15). Chúng tôi cũng đa

ra một điều kiện tơng đơng với điều kiện song song của n

r
(Định lí
2.1.16). Để có một phân lớp giữa mặt -rốn, mặt rốn, mặt chứa trong giả
cầu và mặt -rốn với hàm độ cong hằng chúng tôi đa ra các ví dụ trong
mục 2.1.4. Các kết quả nhận đợc là tơng tự khi sử dụng trờng vectơ
pháp l

r
để nghiên cứu mặt l

r
-rốn. Điều này đợc thể hiện trong các Định
lí 2.2.7, 2.2.8 và 2.2.9. Điều đáng lu ý ở đây là ánh xạ l

r
-Gauss thực
sự hữu dụng với lớp mặt chứa trong giả cầu de Sitter, nơi mà sử dụng
ánh xạ n

r
-Gauss có phần không thuận lợi trong việc khảo sát khái niệm
rốn của mặt. Tổng hợp các kết quả về mặt -rốn và kết hợp với sự tồn
tại trờng mục tiêu gồm các trờng vectơ song song trên một liên thông
dẹt, chúng tôi nhận đợc đặc trng hình học của mặt rốn đối chiều hai
trong Định lí 2.3.2.
7.1.2. Trong Chơng 3 của luận án chúng tôi đa ra một điều kiện để
kiểm tra một trờng vectơ pháp là trờng trùng pháp, nghiên cứu mối
quan hệ giữa mặt -rốn và mặt -phẳng và phát triển một số kết quả về

mặt trong R
4
lên mặt trong R
4
1
, nghiên cứu các điều kiện đủ đểm mặt
trong R
4
chứa trong một siêu phẳng và phát triển lên mặt kiểu không
gian trong R
4
1
.
Trớc hết, sử dụng tích ngoài của 3 vectơ, chúng tôi đa ra một điều
kiện để kiểm tra một trờng vectơ pháp có phải là trờng trùng pháp
hay không (Mệnh đề 3.1.2). Về quan hệ bao hàm giữa mặt -rốn và
mặt -phẳng, Định lí 3.1.3 chỉ ra rằng trên mặt -rốn (không -dẹt) luôn
tồn tại ít nhất 1 và nhiều nhất 2 trờng trùng pháp, tức nó là một mặt
-phẳng. Hơn thế, chúng tôi cũng cho các ví dụ để chỉ ra sự tồn tại các
mặt -phẳng nhng trên nó không tồn tại bất kỳ trờng vectơ pháp
nào để nó là mặt -rốn. Điều này có nghĩa lớp mặt -rốn chứa trong lớp
mặt -phẳng, nhng chiều ngợc lại thì không đúng. Ngoài ra, Mệnh đề
3.1.10 cho chúng ta một điều kiện cần và đủ để mặt hoàn toàn phẳng.
Tiếp theo chúng tôi nghiên cứu một số điều kiện đủ để một mặt trong
không gian bốn chiều chứa trong một siêu phẳng. Trớc hết, chúng tôi
8
có các ví dụ để chỉ ra rằng việc mở rộng các điều kiện đủ để đờng
cong trong R
3
chứa trong một siêu phẳng lên mặt trong trong không

gian 4-chiều chứa trong một siêu phẳng nói chung là không đúng (Ví dụ
3.2.1, 3.2.2). Từ tính chất của các mặt phẳng tiếp xúc, Mệnh đề 3.2.5
cho chúng ta hai điều kiện đủ để một mặt là mặt -dẹt. Mở rộng lên tính
chất của siêu phẳng -pháp trên mặt Mệnh đề 3.2.6 cho các điều kiện để
để mặt là mặt -phẳng. Tuy vậy, các điều kiện này cha đủ để suy ra
mặt chứa trong siêu phẳng. Bằng cách bổ sung các điều kiện mạnh hơn
chúng tôi nhận đợc bốn điều kiện đủ để một mặt trong R
4
chứa trong
một siêu phẳng (Mệnh đề 3.2.7). ý tởng của việc đa ra các điều kiện
này xuất phát từ việc mở rộng các kết quả về điều kiện phẳng của đờng
cong trong R
3
. Mặc dù các kết quả của các Mệnh đề 3.2.5, 3.2.6 và 3.2.7
đợc phát biểu cho mặt trong R
4
nhng nó vẫn đúng đối với mặt kiểu
không gian trong R
4
1
. Khi trờng vectơ pháp là trờng vectơ kiểu không
gian hoặc kiểu thời gian thì các kết quả tính chất của mặt trong trong
R
4
và mặt kiểu không gian trong R
4
1
nói chung là trùng nhau. Sự khác
biệt về tính chất của mặt kiểu không gian trong R
4

1
với mặt trong R
4
thể
hiện khi trờng vectơ pháp của mặt là trờng kiểu ánh sáng. Các Mệnh
đề 3.2.13 và 3.2.15 đa ra các điều kiện phẳng của mặt kiểu không gian
nhng nó chỉ đúng khi trờng vectơ pháp là trờng vectơ kiểu ánh sáng.
Chúng tôi cũng đa ra các ví dụ để chỉ ra các kết quả này không đúng
đối với mặt trong R
4
cũng nh đối với mặt kiểu không gian mà trờng
vectơ pháp không là trờng kiểu ánh sáng.
Phần cuối của Chơng 3 chúng tôi đa ra các ví dụ minh hoạ cho các
kết quả đạt đợc, các phản ví dụ cho các kết quả cũng nh khẳng định
tính tối u của các giả thiết đợc đa ra trong các mệnh đề và các định
lí.
7.1.3. Việc khảo sát các tính chất hình học cũng nh tìm kiếm các kết
quả có tính phân loại các lớp mặt cụ thể, chẳng hạn mặt kẻ hay mặt tròn
xoay, là một trong các vấn đề đợc các nhà hình học thực sự quan tâm.
Nh một ứng dụng của Chơng 2 và Chơng 3, trong Chơng 4 chúng
tôi tập trung khảo sát một số tính chất hình học của mặt kẻ và mặt tròn
xoay kiểu không gian trong R
4
1
. Tơng ứng với các điều kiện cụ thể,
Mệnh đề 4.1.3 xác định số lợng phơng trùng pháp tại mỗi điểm trên
mặt kẻ. Mệnh đề 4.1.5 chỉ ra rằng điều kiện cần và đủ để một mặt kẻ
cực đại là nó cực đại trong một siêu phẳng kiểu không gian, lớp mặt kẻ
kiểu không gian -rốn và rốn là trùng nhau. Với mặt tròn xoay trong
R

4
1
, chúng tôi xét hai loại mặt, đó là xoay một đờng cong trong không
gian ba chiều quanh một mặt phẳng (mặt tròn xoay kiểu hypebolic và
9
kiểu eliptic) và xoay một đờng cong phẳng đồng thời quanh hai mặt
phẳng với tốc độ quay khác nhau (mặt tròn xoay với kinh tuyến phẳng).
Định lí 4.2.4 và Định lí 4.2.10, bằng cách ứng dụng ánh xạ l

r
-Gauss,
cho chúng ta xác định đợc phơng trình tham số của mặt tròn xoay
(kiểu hypebolic và kiểu eliptic) thỏa mãn điều kiện rốn. Tiếp tục ứng
dụng ánh xạ l

r
-Gauss, chúng ta xác định đợc phơng trình tham số hóa
của mặt tròn xoay (kiểu hypebolic và kiểu eliptic) là mặt cực đại (Định
lí 4.2.6, Định lí 4.2.12). Mệnh đề 4.2.8 và Mệnh đề 4.2.14 khẳng định
trên mặt tròn xoay kiểu hypebolic và kiểu eliptic (không chứa trong siêu
phẳng) tồn tại đúng hai trờng trùng pháp và tồn tại duy nhất một trờng
vectơ pháp để mặt -rốn. Định lí 4.2.16 chỉ ra rằng tính chất hằng của
độ cong Gauss đối mặt tròn xoay kiểu hypebolic và eliptic trong R
4
1
là
trùng nhau và chỉ phụ thuộc vào hàm bán kính quay. Khi đó, công thức
xác định bán kính quay chỉ phụ thuộc vào dấu của độ cong Gauss. Với
mặt tròn xoay có kinh tuyến phẳng, chúng tôi đa ra đợc các điều kiện
của tham số hoá đờng kinh tuyến tơng ứng với việc xác định số lợng

trờng trùng pháp trên mặt. Chúng tôi cũng cho các ví dụ chỉ ra sự tồn
tại của các lớp mặt tơng ứng với các điều kiện đợc đa ra.
7.2. Cấu trúc luận án
Nội dung của luận án đợc chia làm 4 chơng. Ngoài ra luận án còn
có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận và
Kiến nghị, Danh mục công trình khoa học của nghiên cứu sinh liên quan
đến luận án, Tài liệu tham khảo và chỉ mục.
Chơng 1 là chơng kiến thức cơ sở bao gồm 2 mục. Mục 1.1 trình
bày khối các kiến thức cơ bản về không gian Lorentz-Minkowski. Mục
1.2 giới thiệu một số công cụ nghiên cứu mặt đối chiều hai trong không
gian Lorentz-Minkowski mà luận án sử dụng, nó đợc chia thành 2 mục
nhỏ bao gồm: Mục a) trình bày các kiến thức về các độ cong liên kết
với một trờng vectơ pháp cũng nh các khái niệm mặt tơng ứng với
một số trờng hợp đặc biệt của các độ cong này; Mục b) giới thiệu khái
niệm elip độ cong của mặt trong không gian Lorentz-Minkowski.
Chơng 2 trình bày các nội dung nghiên cứu các khái niệm rốn (-
rốn) trên mặt đối chiều hai, bao gồm 3 mục. Mục 2.1 trình bày cách
xây dựng ánh xạ n

r
-Gauss và ứng dụng của nó để đa ra một số tính
chất hình học của mặt -rốn; Mục 2.2 trình bày cách xây dựng ánh xạ
l

r
-Gauss và ứng dụng của nó vào việc nghiên cứu mặt -rốn; Mục 2.3
trình bày phân loại mặt rốn. Nội dung trong chơng chủ yếu nghiên cứu
10
tính chất địa phơng trên mặt, riêng các tính chất n

r
-dẹt và l

r
-dẹt thể
hiện tính chất toàn cục trên mặt.
Chơng 3 nghiên cứu tính chất hình học của mặt -phẳng và điều
kiện chứa trong siêu phẳng của mặt trong không gian 4-chiều, bao gồm 3
mục. Mục 3.1. đa ra một tiêu chuẩn để kiểm tra một trờng vectơ pháp
là trờng trờng trùng pháp và xác định mối quan hệ giữa mặt -rốn, mặt
-phẳng và mặt rốn. Mục 3.2 trình bày nghiên cứu các điều kiện đủ để
mặt trong không gian 4-chiều chứa trong siêu phẳng, bao gồm hai mục
nhỏ. Mục a) nghiên cứu các điều kiện đủ để mặt trong R
4
chứa trong
siêu phẳng và Mục b) mở rộng các kết quả vừa đạt đợc trong R
4
lên
mặt kiểu không gian trong R
4
1
. Mục 3.3 trình bày một số ví dụ về mặt
-phẳng và một số phản ví dụ cho các phát biểu trong chơng này. Các
kết quả trong mục 3.1 thể hiện các tính chất địa phơng trên mặt, riêng
các kết quả trong mục 3.2 thể hiện đợc tính chất toàn cục trên mặt.
Chơng 4 trình bày một số tính chất của mặt kẻ và mặt tròn xoay
trong R
4
1
, bao gồm 2 mục. Mục 4.1 trình bày một số tính chất hình học

của mặt kẻ kiểu không gian trong R
4
1
. Mục 4.2 trình bày một số tính chất
hình học của mặt tròn xoay trong R
4
1
, bao gồm: Mục a) trình bày các
kết quả nghiên cứu về mặt tròn xoay kiểu hypebolic, Mục b) trình bày
các kết quả nghiên cứu về mặt tròn xoay kiểu eliptic và Mục c) trình bày
một số tính chất của mặt tròn xoay với kinh tuyến phẳng trong R
4
1
.
Chơng 1
Kiến thức cơ sở
1.1 Không gian Lorentz-Minkowski
Định nghĩa 1.1.1. Không gian Lorentz-Minkowski (n+1)-chiều, ký hiệu
R
n+1
1
, là không gian vectơ R
n+1
đợc trang bị một dạng song tuyến tính
đối xứng và không suy biến, xác định bởi
g(x, y) := x, y =
n

i=1
x

i
y
i
x
n+1
y
n+1
,
trong đó x =

x
1
, x
2
, . . . , x
n+1

, y =

y
1
, y
2
, . . . , y
n+1

.
Định nghĩa 1.1.2. Một vectơ x R
n+1
1

đợc gọi là
1. kiểu không gian (spacelike) nếu x, x > 0 hoặc x = 0,
2. kiểu thời gian (timelike) nếu x, x < 0,
11
3. kiểu ánh sáng (lightlike) nếu x, x = 0 và x = 0.
Khái niệm mặt kiểu không gian đối chiều hai M ở trong luận án
này đợc hiểu là đa tạp (n 1)-chiều đợc nhúng chính quy vào R
n+1
1
thoả mãn tại mỗi điểm p M không gian tiếp xúc T
p
M là không gian
kiểu không gian. Về mặt địa phơng M đợc xác định thông qua phép
nhúng X : U R
n+1
1
, trong đó U R
n1
là một tập mở. Chúng ta
luôn giả thiết mặt đã cho là liên thông và đồng nhất M = X(U), một
cách địa phơng, với U thông qua X.
1.2 Các độ cong của mặt đối chiều hai trong R
n+1
1
a) Độ cong liên kết với một trờng vectơ pháp
Trong mục này chúng tôi giới thiệu cách xây dựng các khái niệm độ
cong liên kết với một trờng pháp vecttơ , từ đó đa ra các khái niệm:
mặt -dẹt; mặt -rốn; mặt -phẳng; mặt rốn; mặt hoàn toàn phẳng;
trờng trùng pháp; trờng tiệm cận; siêu phẳng mật tiếp;. . . . Đây là các
đối tợng hình học đợc sử dụng và đợc nghiên cứu trong toàn bộ luận

án.
b) Elip độ cong
Khái niệm elip độ cong đợc Little xây dựng cho mặt hai chiều trong
R
4
, sau đó đợc Izumiya và một số tác giả khác phát biểu lại cho mặt
kiểu không gian trong R
4
1
.
Kế luận chơng 1
Trong chơng này, chúng tôi đã giới thiệu sơ lợc về không gian
Lorentz-Minkowski, trình bày các khái niệm độ cong liên kết với một
trờng vectơ pháp trên một mặt đối chiều hai và khái niệm elip độ cong
của mặt trong R
4
1
. Chơng này nhằm phục vụ cho việc trình bày các kết
quả chính của luận án trong các chơng sau.
Chơng 2
Xây dựng -Gauss nhận giá trị trên HS
r
, trên
LS
r
và tính chất hình học của mặt -rốn
2.1 ánh xạ Gauss nhận giá trị trên HS
r
và mặt n

r
-rốn
a) ánh xạ n

r
-Gauss
Bổ đề 2.1.1 ([5],[9]). Cho là 2-phẳng kiểu thời gian đi qua gốc tọa
12
độ. Khi đó, với mỗi r > 0 cho trớc, tập hợp {x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n+1
)
H
n
+
(v, 1) | x
n+1
= r} chứa đúng hai vectơ.
Từ Bổ để 2.1.1 ta có khái niệm ánh xạ n

r
-Gauss.
Định nghĩa 2.1.2 ([5],[9]). Cho M là một mặt đối chiều hai trong R
n+1
1
,
ánh xạ

n

r
: M HS
r
:= H
n
+
(v, 1) {x
n+1
= r}
p n

r
(p).
đợc gọi là ánh xạ n

r
-Gauss của M.
Định lí 2.1.3 ([5],[9]). ánh xạ n

r
-Gauss là các ánh xạ khả vi.
n

r
là cặp trờng vectơ pháp kiểu không gian trên M. Từ đây về sau, nếu
không phát biểu lại, ký hiệu " sẽ thay thế cho dấu + " hoặc dấu -
" trong n

r
.
b) Mặt n

r
- dẹt đối chiều hai
Định lí 2.1.5 ([9]). Các phát biểu sau là tơng đơng.
1. Tồn tại số thực r > 0, sao cho M là mặt n

r
-dẹt;
2. Tồn tại một số thực r > 0, sao cho n

r
là một trờng vectơ hằng;
3. Tồn tại một vectơ kiểu không gian a = (a
1
, a
2
, . . . , a
n
, a
n+1
), a
n+1
=
0 và một số thực c sao cho M HP
a
(c).
c) Mặt n

r
-rốn đối chiều hai
Định lí 2.1.12 ([9]). Cho M là một mặt đối chiều hai trong H
n
+
(0, R).
Các phát biểu sau là tơng đơng.
1. Tồn tại r > 0, sao cho M là mặt n

r
-rốn.
2. M là mặt rốn.
3. M chứa trong một siêu phẳng.
Định lí 2.1.14 ([9]). Cho M là một mặt đối chiều hai chứa trong
H
n
+
(0, R). Các mệnh đề sau là tơng đơng.
1. M chứa trong một siêu phẳng

x
n+1
= c

;
2. n

r
là trờng vectơ pháp song song, với mọi r > 0;

3. Tồn tại hai trờng vectơ pháp khả vi song song n

r
1
, n

r
2
, (có nghĩa
r
1
= r
2
hoặc n

r
1
= n
+
r
, n

r
2
= n

r
với một số cố định r > 0);
13
4. Tồn tại r > 0, sao cho A

n

r
= id, với là một hằng số.
Định lí 2.1.15 ([9]). Các mệnh đề sau tơng đơng.
1. Tồn tại r > 0 sao cho n

r
là một trờng vectơ pháp song song khác
hằng và M là mặt n

r
-rốn.
2. M chứa trong một siêu phẳng

x
n+1
= c

.
Định lí 2.1.16 ([9]). Cho M là một mặt đối chiều hai trong R
n+1
1
. Nếu
tồn tại r > 0 sao cho M là mặt n

r
-rốn và với mọi i, j {1, 2, . . . , n 1}

u

j



u
i
n

r

T

=

u
i



u
j
n

r

T

(0.1)
thì A
n

r
p
= id|
T
p
M
, trong đó là một hằng số.
d) Một số ví dụ mặt -rốn trong R
4
1
Trong mục này chúng tôi đa ra các ví dụ về: Sự tồn tại những mặt
n

r
-rốn nhng không là mặt rốn; Sự tồn tại những mặt rốn nhng hàm
độ cong chính không là hàm hằng; Sự tồn tại những mặt -rốn nhng
với mọi r > 0 nó không là mặt n
+
r
-rốn và cũng không là mặt n

r
-rốn;
Sự tồn tại những mặt chứa trong một giả cầu hypebolic, hiển nhiên nó là
mặt X-rốn với X là trờng vectơ pháp vị trí, nhng với mọi trờng vectơ
pháp = X nó không là mặt -rốn; Tồn tại những mặt -dẹt nhng nó
không chứa trong bất kỳ siêu phẳng nào.
2.2 ánh xạ Gauss nhận giá trị trên LS
r

và mặt l

r
-rốn
a) ánh xạ l

r
-Gauss
Đặt LS
r
= LC

HP (v, 0) với v = (0, 0, . . . , 0, r). Để xây dựng
ánh xạ l

r
-Gauss ta cần chứng minh bổ đề sau.
Bổ đề 2.2.1 ([6]). Cho là 2-phẳng kiểu thời gian đi qua gốc tọa độ.
Khi đó tập hợp
LS
r
chứa đúng hai vectơ.
Vì mặt phẳng pháp của M tại mọi điểm là 2-phẳng kiểu thời gian nên ta
có định nghĩa sau.
Định nghĩa 2.2.2 ([6]). Các ánh xạ
l

r
: M LS
r

, p l

r
(p)
14
đợc gọi là ánh xạ l

r
-Gauss của M.
b) Mặt l

r
-rốn đối chiều hai
Trở ngại khi sử dụng ánh xạ n

r
-Gauss để nghiên cứu khái niệm rốn
trên siêu mặt trong n-không gian de Sitter S
n
1
(a, R) là vectơ n

r
và vectơ
vị trí của mặt có thể cùng phơng. Việc sử dụng ánh xạ l

r
-Gauss giúp
chúng tôi giải quyết vấn đề này.
Định lí 2.2.7 ([6]). Cho M là mặt đối chiều hai chứa trong một n-không

gian de Sitter tâm a và bán kính bằng R, S
n
1
(a, R). Khi đó ta có các
phát biểu sau tơng đơng.
(1) M là mặt l

r
rốn.
(2) M là mặt rốn.
(3) M chứa trong một siêu phẳng.
Định lí 2.2.8 ([6]). Cho M là một mặt đối chiều hai chứa trong S
n
1
(a, R).
Khi đó các phát biểu sau là tơng đơng.
1. M chứa trong một siêu phẳng

x
n+1
= c

;
2. l

r
là trờng vectơ pháp song song, với mọi r > 0;
3. Tồn tại hai trờng vectơ pháp khả vi song song l

r

1
, l

r
2
;
4. Tồn tại r > 0 sao cho A
l

r
= id, với là hằng số.
Định lí 2.2.9 ([6]). Cho M là một mặt đối chiều hai trong R
n+1
1
. Các
phát biểu sau là tơng đờng.
1. Tồn tại r > 0 sao cho l

r
là một trờng vectơ pháp song song khác
vectơ hằng, và M là mặt l

r
-rốn;
2. M chứa trong giao của S
n
1
(a, R) và siêu phẳng

x

n+1
= c

.
2.3 Mặt rốn đối chiều hai
Hệ quả 2.3.1. Nếu M rốn thì với mọi p M tồn tại một lân cận U
p
M
của p và hai trờng vectơ pháp song song u, v trên U
p
.
Định lí 2.3.2 ([6]). Cho M là một mặt rốn đối chiều hai. Khi đó:
1. Nếu u là vectơ kiểu không gian hoặc đồng thời u và v là trờng
vectơ kiểu ánh sáng trên U
p
, thì U
p
chứa trong giao của một giả
cầu hypebolic với một siêu phẳng.
15
2. Nếu u là một trờng vectơ kiểu thời gian trên U
p
thì U
p
chứa trong
giao của một giả cầu de Sitter với một siêu phẳng.
Kết luận Chơng 2
Trong Chơng 2 chúng tôi giải quyết đợc các vấn đề sau.
(1) Đa ra một phơng pháp để xác định đợc cặp trờng vectơ pháp
kiểu không gian khả vi, n

r
, trên mặt đối chiều hai, đồng thời sử
dụng trờng vectơ pháp này để nghiên cứu và đa ra đợc một số
tính chất hình học của mặt n

r
-rốn đối chiều hai, đặc biệt với mặt
chứa trong giả cầu hypebolic.
(2) Đa ra một phơng pháp để xác định đợc cặp trờng vectơ pháp
kiểu ánh sáng khả vi, l

r
, trên mặt đối chiều hai, đồng thời sử dụng
trờng vectơ pháp này để nghiên cứu và đa ra đợc một số tính
chất hình học của mặt l

r
-rốn đối chiều hai, đặc biệt với mặt chứa
trong giả cầu de Sitter.
(3) Đa ra tính chất hình học của mặt rốn.
Kết quả của Chơng 2 đợc trình bày trong các bài báo [5],[6] và [9].
Chơng 3
Tính chất hình học của mặt -phẳng trong R
4
1
3.1 Mối liên hệ giữa mặt -rốn và mặt -phẳng
Mệnh đề 3.1.2 ([8]). Cho là một trờng vectơ pháp trên M, khi đó
là một trờng trùng pháp khi và chỉ khi hoặc
u

v
= 0 hoặc
0 =
u

v
song song với T
p
M.
Tồn tại những mặt -phẳng nhng không -rốn, điều này đợc chỉ ra
trong các ví dụ ở cuối chơng. Tuy nhiên Định lí sau chỉ ra rằng lớp các
mặt -rốn chứa trong lớp các mặt -phẳng.
Định lí 3.1.3 ([2]). Nếu M là một mặt -rốn (không -dẹt) thì trên M
tồn tại ít nhất một trờng trùng pháp và nhiều nhất hai trờng trùng
pháp. Khi đó, M có duy nhất một trờng trùng pháp khi và chỉ khi M
là mặt rốn.
Mệnh đề 3.1.10 ([2]). M là mặt hoàn toàn phẳng khi và chỉ khi trên
M tồn tại hai trờng vectơ pháp độc lập tuyến tính
1
,
2
sao cho M là
16
mặt đồng thời
1
-dẹt và
2
-phẳng.
3.2 Tính phẳng của mặt trong không gian 4-chiều

Việc nghiên cứu các điều kiện đủ để một đờng cong trong không
gian R
3
chứa trong một siêu phẳng là một trong những bài toán rất tự
nhiên của hình học vi phân cổ điển. Tính phẳng của đờng cong đợc
đặc trng bởi độ xoắn của nó. Nh chúng ta đã biết, một đờng cong là
chứa trong một siêu phẳng khi và chỉ khi độ xoắn của nó bằng không,
điều này tơng đơng với trờng trùng pháp của nó hằng. Ngoài ra, từ
một số giả thiết của các mặt phẳng mật tiếp, chúng ta cũng có một số
điều kiện đủ (nhng yếu hơn) để suy ra đờng cong phẳng:
(1) Các mặt phẳng mật tiếp song song với một phơng cố định, phơng
này không song song với bất kỳ tiếp tuyến nào;
(2) Các mặt phẳng mật tiếp chứa một điểm cố định, điểm này không
thuộc bất kỳ tiếp tuyến nào của đờng cong.
Trong mục này chúng tôi mở rộng một cách tự nhiên các kết quả
trên lên mặt trong R
4
sau đó chuyển sang mặt kiểu không gian trong R
4
1
.
a) Tính phẳng của mặt trong R
4
Nh chúng ta đã biết: nếu các mặt phẳng mật tiếp của một đờng
cong song chính quy trong R
3
song song với một phơng cố định nhng
các tiếp tuyến không song song với phơng này thì đờng cong chứa
trong một siêu phẳng".
Việc mở rộng kết quả trên lên mặt trong R

4
có trờng trùng pháp
nói chung là không còn đúng nữa. Điều kiện (P): các siêu phẳng -mật
tiếp của mặt trong R
4
song song với một mặt phẳng cố định nhng các
mặt phẳng tiếp xúc không song song với mặt phẳng này" không suy ra
đợc mặt chứa trong một siêu phẳng. Điều này đợc thể hiện trong các
ví dụ sau.
Ví dụ 3.2.1. Xét xuyến Clifford trong R
4
, đợc cho bởi tham số hoá
X(u, v) = (cos u, sin u, cos v, sin v) , 0 < u, v < 2.
17
Ví dụ 3.2.2. Xét mặt M đợc cho bởi tham số hoá

X(u, v) = (1, u, v, 0), u (, 0), v R;
X(u, v) = (cos u, sin v, v, 0), u [0,

2
), v R;
X(u, v) = (u

2
, 1, v, 0), u [

2
, ), v R;
X(u, v) = (

2
+ sin u, 1, v, 1 + cos u), u [,
3
2
)v R.
Từ một số điều kiện ràng buộc của các mặt phẳng tiếp xúc trên M
sẽ dẫn một số tính chất đặc biệt trên M. Điều này đợc thể hiện trong
các kết quả sau.
Mệnh đề 3.2.5 ([2]) Nếu một trong hai điều kiện sau thoả mãn thì M
là mặt -dẹt, với là một trờng vectơ pháp nào đó trên mặt:
1. Các mặt phẳng tiếp xúc của M song song với một phơng cố định;
2. Các mặt phẳng tiếp xúc của M chứa một điểm cố định A.
Mệnh đề 3.2.6 ([2]). Nếu một trong hai điều kiện sau thoả mãn thì M
là mặt -phẳng, điều này có nghĩa là trờng trùng pháp trên M :

1. Các siêu phẳng -pháp của M song song với một mặt phẳng cố
định Q;
2. Các siêu phẳng -pháp của M chứa hai điểm cố định A, B mà
A, B / M.
Mệnh đề sau cho chúng ta một số điều kiện đủ để một mặt trong R
4
chứa trong một siêu phẳng.
Mệnh đề 3.2.7 ([2]). Mỗi phát biểu sau là một điều kiện đủ để M chứa
trong một siêu phẳng.
1. M là mặt -rốn và các siêu phẳng -pháp song song với một mặt
phẳng cố định Q mà các mặt phẳng tiếp xúc không song song với
Q;
2. M là mặt -rốn và các siêu phẳng -pháp chứa hai điểm cố định
A, B mà các mặt phẳng tiếp xúc không đi qua chúng;
18
3. M là mặt -dẹt và các siêu phẳng -pháp song song với một đờng
thẳng cố định d mà các mặt phẳng tiếp xúc không song song với
d;
4. M là mặt -dẹt và các siêu phẳng -pháp chứa một điểm cố định
A mà các mặt phẳng tiếp xúc không đi qua A.
b) Tính phẳng của mặt kiểu không gian trong R
4
1
Cho M là một mặt kiểu không gian trong R
4
1
. Cũng giống trờng
hợp mặt trong R
4
, điều kiện (P) không là một điều kiện đủ để mặt kiểu

không gian trong R
4
1
chứa trong một siêu phẳng. Mặt đợc cho bởi tham
số hoá
X(u, v) = (cos u, sin u, sinh v, cosh v) , 0 < u < 2, v R
là một ví dụ tơng tự Ví dụ 3.2.1 đối với mặt kiểu không gian trong R
4
1
.
Trong không gian Ơ-clít, khi sử dụng các độ cong liên kết với một
trờng vectơ pháp để nghiên cứu tính chất hình học của mặt, nếu mặt
là định hớng thì chúng ta thờng giả sử trờng vectơ pháp có độ dài
bằng 1 mà không làm mất tính tổng quát. Trong không gian Lorentz-
Minkowski, điều này không phải lúc nào cũng thực hiện đợc vì thuộc
tính (kiểu không gian, kiểu thời gian hoặc kiểu ánh sáng) của một trờng
vectơ pháp có thể thay đổi từ điểm này sang điểm khác. Chẳng hạn xét
Ví dụ 3.3.2.
Khi thuộc tính của một trờng vectơ pháp trên mặt là không đổi, về
mặt địa phơng chúng ta có thể giả sử nó có độ dài bằng 1 nếu nó tơng
ứng là kiểu không gian hoặc kiểu thời gian. Đối với trờng vectơ pháp
kiểu ánh sáng ta có thể giả sử rằng toạ độ cuối cùng của nó bằng 1. Khi
nghiên cứu tính cầu, chứa trong một giả cầu, của mặt kiểu không gian
-rốn đối chiều hai việc cố định thuộc tính của đã đợc thay thế bởi
giả thiết là trờng pháp song song, điều này suy ra có độ dài hằng.
Tuy nhiên, các kết quả về tính phẳng của mặt trong R
4
, đợc trình
bày ở mục trên, vẫn đúng đối với mặt kiểu không gian trong R
4

1
mà
không phụ thuộc vào thuộc tính của trờng vectơ pháp. Với các chứng
minh tơng tự, chúng ta cũng nhận đợc các kết quả đợc phát biểu nh
trong các Mệnh đề 3.2.5, 3.2.6 và 3.2.7 đối với mặt kiểu không gian trong
R
4
1
. Việc chứng minh của các mệnh đề tơng tự các Mệnh đề 3.2.5 và
3.2.6 cho mặt kiểu không gian không liên quan đến thuộc tính của trờng
vectơ pháp . Chứng minh mệnh đề tơng tự Mệnh đề 3.2.7 cho mặt kiểu
không gian có liên quan đến thuộc tính của nhng trong trờng hợp
19
này, với giả thiết M liên thông, chúng ta chỉ ra đợc rằng thuộc tính của
không đổi. Thật vậy, ngoại trừ trờng hợp là kiểu ánh sáng, nếu
là kiểu không gian (t.. thời gian) tại p thì tồn tại một lân cận V của p
để là trờng vectơ kiểu không gian (t.. thời gian) trên V. Trên V ta
giả sử có độ dài hằng 1 (t.. 1) và chứng minh đợc hằng trên V.
Vì liên tục và M liên thông nên không tồn tại điểm khác trên M để
tại đó kiểu thời gian (t.. không gian) hoặc kiểu ánh sáng.
Tính phẳng của mặt kiểu không gian trong R
4
1
thực sự khác biệt so với
mặt trong R
4
khi là trờng vectơ pháp kiểu ánh sáng. Thông thờng sự
xuất hiện trờng vectơ pháp kiểu ánh sáng sẽ dẫn đến những khác biệt.
Kết quả sau là một điều kiện đủ khác để M chứa trong một siêu
phẳng, trong kết quả này chỉ cần giả thiết là trờng vectơ pháp liên

tục.
Mệnh đề 3.2.13 ([2]). Nếu là trờng vectơ kiểu ánh sáng và các siêu
phẳng -pháp song song với một mặt phẳng cố định thì M chứa trong
một siêu phẳng.
Kết quả sau sau, dựa và tính chất của -siêu phẳng, cho chúng ta các
điều kiện đủ để trờng vectơ pháp kiểu ánh sáng trở thành một trờng
trùng pháp.
Mệnh đề 3.2.14 ([2]) Nếu là trờng vectơ kiểu ánh sáng và các siêu
phẳng -pháp hoặc chứa một điểm cố định A hoặc song song với một
vectơ cho trớc a thì M là mặt -phẳng.
Vì M là mặt -dẹt khi và chỉ khi nó đồng thời -phẳng và -rốn,
bằng cách kết hợp Mệnh đề 3.2.12 và Mệnh đề 3.2.14 ta có các điều kiện
đủ để M chứa trong một siêu phẳng kiểu ánh sáng.
Mệnh đề 3.2.15 ([2]). Giả sử là kiểu ánh sáng và M là mặt -rốn.
Nếu các siêu phẳng -pháp hoặc chứa một điểm cố định hoặc song song
với một vectơ cho trớc a thì M chứa trong một siêu phẳng.
3.3 Một số ví dụ về mặt -phẳng
Trong mục này chúng tôi chỉ ra các ví dụ về: Tồn tại những mặt mà trên
nó không có bất kỳ trờng trùng pháp nào; Mặt có một trờng trùng pháp
nhng không -rốn; Mặt có hai trờng trùng pháp nhng không là mặt
-rốn; Các ví dụ khẳng định tính tối u của các giả thiết trong các điều
kiện đủ để một mặt trong không gian 4-chiều chứa trong một siêu phẳng.
20
Kết luận Chơng 3
Trong chơng này, chúng tôi giải quyết đợc các vấn đề sau.
(1) Sử dụng công thức tích ngoài của ba vectơ, chúng tôi đa ra một
tiêu chuẩn để kiểm tra một trờng vectơ pháp có phải là trờng
trùng pháp hay không.
(2) Xác định đợc số lợng trờng trùng pháp trên một mặt -rốn, xác
định đợc mối quan hệ giữa các lớp mặt -dẹt; -rốn và -phẳng.

(3) Đa ra đợc một số điều kiện đủ để một mặt trong không gian
4-chiều chứa trong một siêu phẳng. Đây là các kết quả thể hiện
tính chất toàn cục trên mặt trong R
4
và trong R
4
1
.
(4) Đa ra đợc các ví dụ để minh hoạ và làm rõ các kết quả đạt đợc
trong chơng. Các kết quả của chơng này đợc viết trong các bài
báo [2] và [8].
Chơng 4
Mặt kẻ và mặt tròn xoay kiểu không gian
trong R
4
1
4.1 Mặt kẻ
Nếu M là một mặt kẻ thì nó có một tham số hoá địa phơng đợc
cho dới dạng
X(u, t) = (u) + tW (u), (0.2)
với |W| = 1, là đờng cong kiểu không gian tham số hoá độ dài cung
và

, W = 0.
Mệnh đề 4.1.3 ([8]). Cho M là một mặt kẻ đợc xác định bởi (0.2).
(1) Tại những điểm hệ {

, W, W

} phụ thuộc tuyến tính mọi vectơ

pháp đều là phơng trùng pháp.
(2) Tại những điểm hệ {

, W, W

} độc lập tuyến tính tồn tại duy nhất
một phơng trùng pháp.
Mệnh đề 4.1.5 ([8]). Cho M là một mặt kẻ trong R
4
1
, khi đó:
(a) M là mặt cực đại khi và chỉ khi nó là mặt kẻ cực đại trong một
siêu phẳng kiểu không gian.
21
(b) M là mặt -rốn (không -dẹt) khi và chỉ khi nó là mặt rốn.
4.2 Mặt tròn xoay
a) Mặt tròn xoay kiểu hypebolic
Mặt tròn xoay kiểu hypebolic [RH] trong R
4
1
, là mặt đợc cho bởi phơng
trình tham số
X(u, v) = (f(u), g(u), (u) sinh v, (u) cosh v) , u I, v R. (0.3)
Định lí 4.2.4 ([6]). Nếu mặt [RH] là mặt rốn thì nó chứa trong một siêu
phẳng kiểu thời gian và đờng cong C có tham số hóa
f(u) =
1

C
sinh

C(u C
1
)

+ m,
g(u) =
C
2

C
sinh


C(u C
1
)

+ k,
(u) =
1

C
cosh


C(u C
1
)

,
trong đó C > 0, C
1
, C
2
, k là các hằng số. Định lí sau xác định phơng
trình tham số hóa của mặt tròn xoay kiểu hypebolic cực đại.
Định lí 4.2.6 ([6]). Nếu [RH] là mặt cực đại thì nó chứa trong một siêu
phẳng kiểu thời gian và đờng cong C đợc xác định bởi phơng trình
tham số
f(u) =

C
3
1 + C
2
2
arcsin

u C
1

C
3

+ m, g(u) = C
2
f(u) + k,
(u) =

C
3
(u C
1
)
2
,
trong đó C
1
, C
2
, C
3
> 0, k là các hằng số sao cho các công thức xác
định.
Mệnh đề 4.2.8 ([8]). Với giả thiết f

g

f

g

= 0, ta có:
1. Trên [RH] tồn tại đúng hai trờng trùng pháp B
1
và B
2
thỏa mãn

hai trờng tiệm cận tơng ứng trực giao với nhau.
2. Tồn tại duy nhất một trờng vectơ pháp trên [RH] để [RH] là
mặt -rốn.
22
b) Mặt tròn xoay kiểu eliptic
Mặt tròn xoay kiểu eliptic [RE] trong R
4
1
là mặt đợc xác định bởi phơng
trình tham số
X(u, v) = ((u) cos v, (u) sin v, f(u), g(u)) , v R. (0.4)
Khi nghiên cứu mặt [RE] chúng ta cũng nhận đợc các kết quả hoàn
toàn tơng tự mặt [RH].
Sử dụng các ký hiệu
E = g
11
= X
u
, X
u
, F = g
12
= X
u
, X
v
= 0, G = g
22
= X
v

, X
v
,
công thức độ cong Gauss của mặt [RH] và [RE] đợc xác định nh sau
K =
1
eg


1

g
u
e

u
+
2

e
v
g

v

,
trong đó e = |E|
1/2
, g = |G|
1/2

và
1
,
2
tơng ứng là dấu của E, G.
Định lí 4.2.16 ([7]). Mặt tròn xoay kiểu hypebolic (eliptic) trong R
4
1
có
độ cong Gauss hằng, K = C, khi và chỉ khi
1. (u) = C
1
e
u
+ C
2
e
u
, nếu C = 2
2
< 0,
2. (u) = C
1
sin(u) + C
2
cos(u), nếu C = 2
2
> 0,
3. (u) = C
1

u + C
2
, nếu C = 0,
trong đó C
1
, C
2
là các hằng số và là dấu của E.
c) Mặt tròn xoay với kinh tuyến nằm trên một 2-phẳng
Trong mục này chúng tôi xác định đợc các điều kiện của các kinh
tuyến của mặt tròn xoay với kinh tuyến nằm trên một 2-phẳng tơng ứng
với số lợng trờng trùng pháp trên mặt.
Kết luận Chơng 4
Trong chơng này, chúng tôi giải quyết đợc những vấn đề sau:
(1) Giới thiệu khái niệm mặt kẻ kiểu không gian và mặt kẻ kiểu không
gian khả triển, xác định đợc số lợng trờng trùng pháp cũng nh trờng