10 cách giải hệ phương trình

10 cách giải cho một hệ phương trình - Trần Tuấn Anh

Page 1

Hệ phương trình giải được bằng 10 cách
Bài toán. Giải hệ phương trình .
Giải
Điều kiện : .
Cách 1:
Từ hệ phương trình đã cho, ta suy ra

(*)
Xét hàm số ;
.
Suy ra hàm số đồng biến trên .
Từ (*) ta có . Thế vào (1) ta thu được phương trình

.
Vậy hệ phương trình có nghiệm .

9 7 4 (1)
9 7 4 (2)
xy
yx

   


   



97
97
x
y

  

  

9 7 9 7x y y x      
9 7 9 7x x y y      
   
9 7 9 7f t t t t      
   
11
' 0, 9;7
2 9 2 7
f t t
tt
     

 
ft
9;7



   
f x f y x y  
2

9 7 4 9 7 2 9 7 16 2 63 0x x x x x x x x                
2
77
2 63 0
99
xy
xx
xy

  
     

    

97
;
97
xx
yy

  

  

www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
10 cách giải cho một hệ phương trình - Trần Tuấn Anh

Page 2

Cách 2:
Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình sau




. Thế vào (1) ta thu được phương trình

.
Vậy hệ phương trình có nghiệm .
Cách 3:
Giải hệ phương trình đã cho chúng ta xét các trường hợp sau :
TH1: Nếu thì ta có và suy ra
mà nên (vô lí).
TH2: Nếu thì ta có và suy ra




2
2
9 7 16
9 7 4
9 7 4
9 7 16
xy
xy
yx
yx


   


   



   


   

9 7 2 9. 7 16
9 7 2 9. 7 16
x y x y
x y y x

      



      


2 9. 7 0
2 9. 7 0
x y x y
x y y x

    




    


2 9. 7 2 9. 7 7 63 9 7 63 9x y y x x xy y y xy x            
16 16x y x y   
2
9 7 4 9 7 2 9 7 16 2 63 0x x x x x x x x                
2
77
2 63 0
99
xy
xx
xy

  
     

    

97
;
97
xx
yy

  


  

xy
99xy  
77yx  
9 7 9 7x y y x      
9 7 4
9 7 4
xy
yx

   


   


44
xy
99xy  
77yx  
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
10 cách giải cho một hệ phương trình - Trần Tuấn Anh

Page 3

mà nên (vô lí).
TH3: Nếu , thế vào (1) ta thu được phương trình

.
Vậy hệ phương trình có nghiệm .
Cách 4:
Từ hệ phương trình đã cho ta có (*)
Ta có :
suy ra (3);
suy ra (4).
Từ (3) và (4) ta có .
Vậy để (*) xảy ra thì ở (3) và (4) phải đạt dấu bằng.
.
9 7 9 7x y y x      
9 7 4
9 7 4
xy
yx

   


   


44
xy
2
9 7 4 9 7 2 9 7 16 2 63 0x x x x x x x x                
2
77
2 63 0

99
xy
xx
xy

  
     

    

97
;
97
xx
yy

  

  





9 7 7 9 8x x y y       


2
9 7 16 2. 9. 7 16x x x x       
9 7 4xx   



2
9 7 16 2. 9. 7 16y y y y       
9 7 4yy   
9 7 9 7 8x x y y       
  
  
9
9 7 0
7
9. 7 0
9
9 7 0
9. 7 0
7
x
xx
x
xx
y
yy
yy
y








  

  
  


  


  
  
  







www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
10 cách giải cho một hệ phương trình - Trần Tuấn Anh

Page 4

Thay bởi vào hệ phương trình đã cho ta có
nghiệm của hệ phương trình là .
Cách 5:
Đặt . Ta thu được hệ

phương trình :

Từ (1) và (2) ;
Từ (3) và (4)

Từ (5) và (6) ta được

(vì )
(7) .
Mặt khác, từ (5)
Từ (7) và (8) và .
 
;xy
       
9; 9 ; 9;7 ; 7;7 ; 7; 9   
97
;
97
xx
yy

  

  

9 0 ; 7 0 ; 9 0 ; 7 0u x v y z y t x           
22
22
4 (1)
4 (2)

16 (3)
16 (4)
uv
zt
ut
zv











(5)u v z t   
2 2 2 2 2 2 2 2
u t z v u v z t       
     
(6)u v u v z t z t     
     
     
u v z t
u v u v z t u v
u v u v z t z t

  


     

    


         
00u v u v z t u v z t

          

40uv  
u z v t   
(8)u v z t u z t v       
u z v t t v v t       
uz
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
10 cách giải cho một hệ phương trình - Trần Tuấn Anh

Page 5

.
Thế vào (1) ta thu được phương trình :

.
Vậy hệ phương trình có nghiệm .
Cách 6:
Từ hệ phương trình đã cho ta có (*)
Xét hàm số , .

;

.
Ta có .
. Do đó, (*) xảy ra khi
ta có .
Thay bởi vào hệ phương trình đã cho ta có
99
77
xy
xy
xy

  

  

  


xy
2
9 7 4 9 7 2 9 7 16 2 63 0x x x x x x x x                
2
77
2 63 0
99
xy
xx
xy


  
     

    

97
;
97
xx
yy

  

  





9 7 7 9 8x x y y       
 
97f t t t   
9;7t



   
1 1 1 7 9
' . , 9;7

2
2 9 2 7 9. 7
tt
f t t
t t t t
  
    
   
   
' 0 7 9 7 9 1 9;7f t t t t t t             
     
9 4; 7 4; 1 4 2f f f    
     
9;7
in 9 7 4M f t f f



    
   
4 4 8f x f y    
 
 
         
4
; 9; 9 ; 7;7 ; 9;7 ; 7; 9
4
fx
xy
fy




     




 
;xy
       
9; 9 ; 9;7 ; 7;7 ; 7; 9   
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
10 cách giải cho một hệ phương trình - Trần Tuấn Anh

Page 6

nghiệm của hệ phương trình là .
Cách 7:
Từ hệ phương trình đã cho ta có (*)
Xét hàm số , .

;

.
Bảng biến thiên

+ -

Từ bảng biến thiên ta suy ra .
. Do đó, (*) xảy ra khi ta có
.
Thay bởi vào hệ phương trình đã cho ta có
97
;
97
xx
yy

  

  





9 7 7 9 8x x y y       
 
97f t t t   
9;7t



   
1 1 1 7 9
' . , 9;7
2

2 9 2 7 9. 7
tt
f t t
t t t t
  
    
   
   
' 0 7 9 7 9 1 9;7f t t t t t t             
x
9
1
7
 
'fx
0
 
fx
42
4
4
     
9;7
in 9 7 4M f t f f



   
     
9;7

2. in 2.4 8f x f y M f t



    
 
 
         
4
9 7 4
; 9; 9 ; 7;7 ; 9;7 ; 7; 9
4
7 9 4
fx
xx
xy
fy
yy



   

      


   




 
;xy
       
9; 9 ; 9;7 ; 7;7 ; 7; 9   
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
10 cách giải cho một hệ phương trình - Trần Tuấn Anh

Page 7

nghiệm của hệ phương trình là .
Cách 8:
Xét hệ phương trình
Đặt , (điều kiện tồn tại căn thức là ). Ta thu
được hệ phương trình với ẩn và là :

.
Từ (3) suy ra và từ (4) suy ra . Vậy để (3) và (4) đồng thời
xảy ra thì ta phải có .
Vậy hệ (3), (4) trở thành
.
Mà với nên .
Kết luận: hệ phương trình đã cho có nghiệm là .
Cách 9:
97
;
97
xx
yy


  

  

9 7 4 (1)
9 7 4 (2)
xy
yx

   


   


x m y
7 0; 9 0x m x m     
m
x
9 7 4 9 7 2 9. 7 16
9 7 4 9 7 2 9. 7 16
x x m x x m x x m
x m x x m x x m x

             



             



2 9. 7 0 (3)
2 9 . 7 0 (4)
m x x m
m x m x

     



    


00mm   
0m 
0m 
9. 7 0 9 0 9
9. 7 0
7 0 7
9. 7 0
x x x x
xx
xx
xx


      

     



  
  



x m y
0m 
xy
97
;
97
xx
yy

  

  

www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
10 cách giải cho một hệ phương trình - Trần Tuấn Anh

Page 8

Ta có
Đặt . Ta thu được hệ phương trình với ẩn và là :
.
Do nên , suy ra .
Ta lại đặt với . Ta thu được hệ phương trình

với ẩn và là :


. (*)
Do
nên .
Vậy (*) xảy ra khi ta có :
   
   
1 8 8 1 4
9 7 4
9 7 4
1 8 8 1 4
xy
xy
yx
yx

     

   



   
     



1 ; 1x u y v   

u
v
8 8 4
8 8 4
uv
vu

   


   


97
97
x
y

  

  

8 1 8
8 1 8
x
y

   

   


88
88
u
v

  

  

8cos2 ; 8cos2u a v b
, 0;
2
ab





a
b
   
   
8 cos2 1 8 1 cos2 4
8 cos2 8 8 8cos2 4
8 cos2 8 8 8cos2 4
8 cos2 1 8 1 cos2 4
ab
ab
ba

ba

   

   



   
   



   
   
22
22
8 2 cos 8 2sin 4
4 cos 4 sin 4
4 cos 4 sin 4
8 2 cos 8 2 sin 4
ab
ab
ba
ba













cos sin 1
cos sin cos sin 2
cos sin 1
ab
a b b a
ba



     




2 2 2 2
cos cos ; sin sin ; cos cos ; sin sina a b b b b a a   
2 2 2 2
cos sin cos sin cos sin cos sin 2a b b a a b b a       
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
10 cách giải cho một hệ phương trình - Trần Tuấn Anh

Page 9

( lưu ý )
.
Lại do nên ta chỉ cần xét với
.
TH1:
.(thỏa mãn bài toán)
TH2:
.( không thỏa mãn bài toán)
2
22
2
22
22
2
22
2
cos cos
cos cos cos cos 0
sin sin
sin sin sin sin 0
cos cos cos cos 0
cos cos
sin sin sin sin 0
sin sin
aa
a a a a
bb
b b b b
b b b b

bb
a a a a
aa



  




  
  

  
  

  
  
  




, 0;
2
ab






cos 0
cos 1
sin 0
cos 0 cos 0 cos 1 cos 1
sin 1
sin 1 sin 1 sin 0 sin 0
;;;
cos 0 cos 1 cos 0 cos 1
cos 1
sin 1 sin 0 sin 1 sin 0
cos 0
sin 1
sin 0
a
a
b
aaaa
b
aaaa
bbbb
b
bbbb
b
a
a























    



   

   
















2 2 2 2
cos sin 1;cos sin 1a a b b   
cos 0 cos 0 cos 1 cos 1
; ; ;
cos 0 cos 1 cos 0 cos 1
a a a a
b b b b
   
   
   
   
   
1 cos2
0
cos 0 cos2 1
2
cos 0 1 cos2 cos2 1
0
2

a
aa
b b b





  


  
   





8 1 8 9
8 1 8 9
u x x
v y y
  
      
  
  
      
  
1 cos2
0

cos 0 cos2 1
2
cos 1 1 cos2 cos 2 1
1
2
a
aa
b b b





  


  
  





8 1 8 9
8 1 8 7
u x x
v y y
  
      
  

  
   
  
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
10 cách giải cho một hệ phương trình - Trần Tuấn Anh

Page 10

TH3:
.( không thỏa mãn bài toán)
TH4:
.(thỏa mãn bài toán)
Kết luận: hệ phương trình đã cho có nghiệm là .
Cách 10:
Xét hệ phương trình
Đặt , ta có :
; .
Lại do nên để tồn tại các căn thức bậc hai ta cần có
. Với thì .
Thế vào (1) ta thu được phương trình :
1 cos2
1
cos 1 cos2 1
2
cos 0 1 cos2 cos2 1
0
2
a
aa

b b b








  
   





8 1 8 7
8 1 8 9
u x x
v y y
  
   
  
  
      
  
1 cos2
1
cos 1 cos2 1
2

cos 1 1 cos2 cos2 1
1
2
a
aa
b b b








  
  





8 1 8 7
8 1 8 7
u x x
v y y
  
   
  
  
   

  
97
;
97
xx
yy

  

  

9 7 4 (1)
9 7 4 (2)
xy
yx

   


   


x m y
7 0 7 0 7y x m x m        
9 0 9 0 9y x m x m         
97x  
77
99
m
m




   

0
0
0
m
m
m


  



0m 
xy
xy
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
10 cách giải cho một hệ phương trình - Trần Tuấn Anh

Page 11


.
Vậy hệ phương trình có nghiệm .

Bài viết của: Trần Tuấn Anh –

2
9 7 4 9 7 2 9 7 16 2 63 0x x x x x x x x                
2
77
2 63 0
99
xy
xx
xy

  
     

    

97
;
97
xx
yy

  

  

www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com