SKKN giúp học sinh lớp 6 giải các bài toán về “phép chia hết” trong tập hợp n

SKKN: Giúp học sinh lớp 6 giải các bài toán về “Phép chia hết” trong tập hợp N
MỤC LỤC
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
1.1.Lí do khách quan
1.2. Lí do chủ quan
1.3.Ý nghĩa, tầm quan trọng và tác dụng của vấn đề trong công
tác giảng dạy và giáo dục
1.3.1. Mục đích nghiên cứu
1.3.2. Đối tượng nghiên cứu
1.3.3. Nhiệm vụ nghiên cứu
1.3.4 Phương pháp nghiên cứu
2. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
2.1. Cơ sở lí luận:
2.2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
2.3. Các biện pháp tiến hành để giải quyết vấn đề
2.4. Hiệu quả của đề tài
3. KẾT LUẬN
3.1. Ý nghĩa của đề tài trong công tác giảng dạy
3.2. Nhận định chung
3.3. Những bài học kinh nghiệm
3.4. Ý kiến đề xuất
Trang
2
2
2
2
2
2
3
3
3

4
4
11
12
14
15
15
15
15
15
Đèo Thị Kiểu – Trường PTDT Nội trú huyện Sông Mã.
1
SKKN: Giúp học sinh lớp 6 giải các bài toán về “Phép chia hết” trong tập hợp N
1. ĐẶT VẤN ĐỀ: (Lí do chọn đề tài)
Lí do khách quan:
Đất nước ta đang trên con đường đổi mới, phát triển và hội nhập quốc tế
nhằm thực hiện thắng lợi sự nghiệp “Công nghiệp hoá, hiện đại hoá” do Đảng ta
khởi xướng và lãnh đạo. Trong quá trình phát triển của đất nước, Đảng ta luôn
coi “Giáo dục là quốc sách hàng đầu”, là nền móng của sự phát triển kinh tế, xã
hội đem lại những đổi mới cho đất nước. Thực hiện ước nguyện của Bác Hồ là
đưa dân tộc Việt Nam “Bước lên đài vinh quang, sánh vai với các cường quốc
năm châu”
Cùng với sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không ngừng
đổi mới. Các nhà trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng giáo dục
toàn diện bên cạnh sự đầu tư thích đáng cho giáo dục mũi nhọn. Với vai trò là
môn học công cụ, bộ môn toán đã góp phần tạo điều kiện cho các em học tốt các
bộ môn khoa học tự nhiên khác.
Dạy như thế nào để học sinh không những nắm chắc kiến thức cơ bản một
cách có hệ thống mà phải được nâng cao để các em có hứng thú, say mê học tập
là một câu hỏi mà mỗi thầy cô chúng ta luôn đặt ra cho mình.

Để đáp ứng được yêu cầu của sự nghiệp giáo dục và nhu cầu học tập của
các đối tượng học sinh khá, giỏi. Điều đó đòi hỏi trong giảng dạy chúng ta phải
biết chắt lọc kiến thức, phải đi từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng và phát
triển thành tổng quát giúp học sinh có thể phát triển tốt tư duy toán học.
1.2. Lí do chủ quan:
Bản thân tôi, được nhà trường phân công dạy toán lớp 6. Qua nghiên cứu
tài liệu và giảng dạy tôi nhận thấy “phép chia hết" là đề tài lí thú, phong phú và
đa dạng của số học lớp 6 và không thể thiếu trong môn toán 6 cũng như môn
toán THCS. Đối tượng học sinh ở trường PTDT Nội trú Sông mã 100% là các
em học sinh dân tộc, bao gồm cả học sinh khá giỏi và học sinh yếu kém. Trong
quá trình giảng dạy có em tiếp thu nhanh và hứng thú với môn học, say mê tìm
hiểu, bên cạnh đó cũng có em tiếp thu bài rất chậm, lười học có thái độ thờ ơ với
Đèo Thị Kiểu – Trường PTDT Nội trú huyện Sông Mã.
2
SKKN: Giúp học sinh lớp 6 giải các bài toán về “Phép chia hết” trong tập hợp N
môn học, khả năng tính toán, tính nhẩm rất yếu. Việc bồi dưỡng học sinh khá
giỏi trong tiết học còn gặp nhiều khó khăn. Với bài viết này, tôi không tham
vọng lớn bàn về việc dạy "phép chia hết" và ứng dụng của nó trong chương
trình toán học phổ thông, tôi chỉ xin đưa ra một số kinh nghiệm giúp học sinh
lớp 6 giải các bài tập về "phép chia hết" trong tập hợp số tự nhiên mà tôi đã áp
dụng nhằm bội dưỡng các em học sinh khá, giỏi thông qua các giờ học buổi
chiều. Tôi hy vọng nó sẽ có ích cho các đồng nghiệp khi giảng dạy.
1.3. Ý nghĩa, tầm quan trọng và tác dụng của vấn đề trong công tác
giảng dạy và giáo dục:
1.3.1. Mục đích nghiên cứu:
Đề tài được nghiên cứu nhằm đưa ra những phương pháp phù hợp để giúp
học sinh giải các bài toán về phép chia hết trong tập hợp N, từ đó học sinh có kĩ
năng vận dụng các phương pháp đã học để giải các bài tập về phép chia hết từ
các dạng toán cơ bản đến một số bài tập năng cao, phù hợp với mọi đối tượng
học sinh trường PTDT Nội trú Sông mã.

1.3.2. Đối tượng nghiên cứu:
Đề tài nghiên cứu qua các tiết dạy về “Phép chia hết trong N” trong SGK
Toán 6 tập 1, qua định hướng đổi mới phương pháp dạy Toán 6.
Đối tượng khảo sát: Học sinh lớp 6
1.3.3. Nhiệm vụ nghiên cứu:
Trong khuôn khổ đề tài này bản thân tôi sẽ trình bày “Một vài kinh nghiệm
giúp học sinh lớp 6 giải các bài tập về phép chia hết trong tập hợp N”.Cụ thể là :
- Các phương pháp thường dùng khi giải các bài toán về phép chia hết.
- Rèn kỹ năng vận dụng kiến thức để giải các bài toán về phép chia hết.
- Củng cố và hướng dẫn học sinh làm bài tập.
1.3.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu
- Phương pháp thực hành
- Đúc rút 1 phần kinh nghiện qua các đồng nghiệp và bản thân khi dạy phần
Phép chia hết.
Đèo Thị Kiểu – Trường PTDT Nội trú huyện Sông Mã.
3
SKKN: Giúp học sinh lớp 6 giải các bài toán về “Phép chia hết” trong tập hợp N
1. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ:
Luyện tập và thực hành giải toán nhằm củng cố, bổ sung, làm vững chắc thêm
các kiến thức lí thuyết. Trong luyện tập, người ta nhấn mạnh tói việc lặp đi lặp lại
với mục đích học thuộc những kí hiệu, quy tắc, định lí, công thức, cách làm…đã
học và làm cho việc sử dụng kĩ năng được thực hiện một cách tự động, thành
thạo. Trong thực hành, người ta không chỉ nhấn mạnh vào việc học thuộc mà còn
nhằm áp dụng hay sử dụng một cách thông minh các tri thức để giải được các bài
toán khác nhau.Vì thế trong dạy học toán, bên cạnh việc cho học sinh luyện tập
một số chi tiết, bài tập cụ thể, giáo viên cũng cần lưu ý cho học sinh thực hành
phát triển kĩ năng.
I. Trước hết học sinh cần nắm vững định nghĩa phép chia hết trong SGK

lớp 6 tập 1, các dấu hiệu chia hết cũng như các tính chất về quan hệ chia hết.
1. Định nghĩa
Cho 2 số tự nhiên a và b, trong đó b khác 0, nếu có số tự nhiên x sao cho
b.x = a, thì ta nói a chia hết cho b và ta có phép chia hết a : b = x
2. Các dấu hiệu chia hết
a) Dấu hiệu chia hết cho 2
Một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của số đó là số chẵn.
b) Dấu hiệu chia hết cho 3 (hoặc 9)
Một số chia hết cho 3 (hoặc 9) khi và chỉ khi tổng các chữ số của số đó chia hết
cho 3 (hoặc 9).
Chú ý: Một số chia cho 3 (hoặc 9) dư bao nhiêu thì tổng các chữ số của số đó
chia cho 3 (hoặc 9) cũng dư bấy nhiêu và ngược lại
c) Dấu hiệu chia hết cho 5
Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số tận cùng bằng 0 hoặc 5
d) Dấu hiệu chia hết cho 4 (hoặc 25)
Một số chia hết cho 4 (hoặc 25) khi và chỉ khi 2 chữ số tận cùng của số đó chia
Đèo Thị Kiểu – Trường PTDT Nội trú huyện Sông Mã.
4
SKKN: Giúp học sinh lớp 6 giải các bài toán về “Phép chia hết” trong tập hợp N
hết cho 4 (hoặc 25)
e) Dấu hiệu chia hết cho 8 (hoặc 125)
Một số chia hết cho 8 hoặc 125 khi và chỉ khi 3 chữ số tận cùng của số đó chia
hết cho 8 hoặc 125.
f) Dấu hiệu chi hết cho 11
Một số chi hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số hàng lẻ và tổng
các chữ số hàng chẵn (từ trái sang phải) chia hết cho 11.
3. Tính chất của 2 quan hệ chia hết
+ 0 chia hết cho b với b là số tự nhiên khác 0
+ a chia hết cho a với mọi a là số tự nhiên khác 0
+ Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho a thì a = b

+ Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c
+ Nếu a chia hết cho b và a chia hết cho c mà (b, c) = 1 thì a chia hết cho b.c
+ Nếu a chia hết cho m và a chia hết cho n thì a chia hết cho BCNN(m,n)
+ Nếu a.b chia hết cho c và (b,c) =1 thì a chia hết cho c
+ Nếu a chia hết cho m thì k.a chia hết cho m với mọi k là số tự nhiên.
+ Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho m thì (a±b) chia hết cho m
+ Nếu a chia hết cho m, b không chia hết cho m thì (a±b) không chia hết cho
m
+ Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho n thì a.b chia hết cho m.n
+ Nếu (a.b) chia hết cho m và m là số nguyên tố thì a chia hết cho m hoặc b
chia hết cho m.
+ Nếu a chia hết cho m thì a
n
chia hết cho m với n là số tự nhiên
+ Nếu a chia hết cho b thì a
n
chia hết cho b
n
với n là số tự nhiên
II. Khi học sinh đã nắm chắc các vấn đề nêu trên thì giáo viên có thể đưa ra
một vài phương pháp thường dùng để giải các bài toán chia hết.
Với học sinh lớp 6 tôi thường sử dụng 5 phương pháp sau:
1. Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa phép chia hết
Để chứng minh a chia hết cho b ( b khác 0), ta biểu diễn số a dưới dạng
một tích các thừa số, trong đó có 1 thừa số bằng b (hoặc chia hết cho b).
Đèo Thị Kiểu – Trường PTDT Nội trú huyện Sông Mã.
5
SKKN: Giúp học sinh lớp 6 giải các bài toán về “Phép chia hết” trong tập hợp N
a = b.k ( k
∈

N) hoặc a = m.k ( m chia hết cho b)
Ví dụ 1: Chứng tỏ rằng số có dạng
aaaaaa
bao giờ cũng chia hết cho 7
Giải
aaaaaa
= a.111111 = a. 7.15873 chia hết cho 7
Ví dụ 2: Chứng tỏ rằng số có dạng
abcabc
bao giờ cũng chia hết cho 11, chia hết
cho 7 và chia hết cho 13.
Giải
Ta có :
abcabc
=
abcabc +000
=
abc
.(1000+1) =
abc
.1001 =
abc
.11.7.13 nên
abcabc
chia hết cho 11, chia hết cho 7 và chia hết cho 13.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng, nếu lấy một số có 2 chữ số cộng với số gồm 2 chữ số
ấy viết theo thứ tự ngược lại, ta luôn được một số chia hết cho 11
Giải
Gọi 2 số đó là
ab

và
ba
. Ta có :
ab
+
ba
= 10a + b + 10b + a = 11a + 11b = 11( a + b) chia hết cho 11
2. Phương pháp 2 : Dùng các tính chất của phép chia hết.
2.1. Dùng tính chất chia hết của một tổng, một hiệu
* Để chứng minh a chia hết cho b ( b
≠
0) ta có thể làm như sau:
- Viết a = m + n mà m  b và n b
- Viết a = m - n mà m  b và n b
* Để chứng minh a không chia hết cho b ta viết a dưới dạng tổng của các số mà
chỉ có một số hạng của tổng không chia hết cho b, còn các số hạng khác đều chia
hết cho b.
Ví dụ 4: Chứng tỏ rằng :
a) Tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 3
b) Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp là một số không chia hết cho 4.
Giải
a) Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là n, n +1 , n + 2.
Tổng của 3 số đó là : n + ( n +1) + (n+ 2) = 3n +3 = 3( n + 1)  3
b) Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là : n , n+1, n+2, n+3.
Đèo Thị Kiểu – Trường PTDT Nội trú huyện Sông Mã.
6
SKKN: Giúp học sinh lớp 6 giải các bài toán về “Phép chia hết” trong tập hợp N
Tổng của 4 số đó là :
n + ( n+1) + (n+2) + (n+3) = 4n + 6 = 4n + 4 + 2
= 4(n+1) + 2 không chia hết cho 4

Vậy tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4.
Giáo viên chốt lại: Tổng của n số tự nhiên liên tiếp chưa chắc đã chia hết cho n.
2.2 Dùng tính chất chia hết của 1 tích.
Để chứng minh a chia hết cho b (b ≠ 0) ta có thể chứng minh bằng một
trong các cách sau:
+ Ta chứng minh a.m chia hết cho b; (m, b) = 1 ⇒ a chia hết cho b
+ Biểu diễn b = m.n với (m, n)= 1, sau đó chứng minh a chia hết cho m, a chia
hết cho n
+ Biểu diễn a = a
1
. a
2,
, b = b
1.
b
2,

Rồi chứng minh a
1
chia hết cho b
1
; a
2
chia hết cho b
2
Ví dụ 5: Chứng minh (1980a + 1995b) chia hết cho 15 với ∀ a, b là số tự nhiên.
Giải
Vì 1980 chia hết cho 3 nên 1980.a chia hết cho 3 với ∀ a.
Vì 1995 chia hết cho 3 nên 1995.b chia hết cho 3 với ∀ b
Nên (1980a + 1995b) chia hết cho 3.

Chứng minh tương tự ta có:
(1980a + 1995b) chia hết cho 5 với ∀ a, b mà (3,5) = 1.
Vậy (1980 a + 1995b) chia hết cho 15
Ví dụ 6: Chứng minh rằng tích của 2 số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8.
Giải
Gọi 2 số chẵn liên tiếp là 2n, 2n +2 ( n
∈
N)
Tích của 2 số chẵn liên tiếp là 2n.(2n +2) = 4.n.(n+1)
Vì n và n + 1 là 2 số tự nhiên liên tiếp nên n.(n+ 1) chia hết cho 2
Mà 4 chia hết cho 4 nên 4.n.(n+1) chia hết cho (4.2)
⇒ 4.n.(n+1) chia hết cho 8
⇒ 2n.(2n + 2) chia hết cho 8
Đèo Thị Kiểu – Trường PTDT Nội trú huyện Sông Mã.
7
SKKN: Giúp học sinh lớp 6 giải các bài toán về “Phép chia hết” trong tập hợp N
* Giáo viên nhận xét : Như vậy khi gặp những bài toán chứng minh một tổng,
một hiệu hoặc một tích chia hết cho một số mà các tổng, hiệu, tích đó có thể
phân tích được thành tích các thừa số, ta thường sử dụng các tính chất của phép
chia hết.
3. Phương pháp 3: Dùng định lí về chia có dư
Để chứng minh n chia hết cho p ta xét mọi trường hợp về số dư khi chia n
cho p:
Ta viết n = p.k + r, trong đó r = 0, 1, , p-1; k
∈
N. Rồi xét tất cả các
trường hợp của r.
Ví dụ 7:
Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n thì tích (n + 3).(n +6) chia hết cho 2.
Giải

Với mọi n ta có thể viết hoặc n = 2k + 1 hoặc n= 2k
- Với n = 2k +1 ta có:
(n+3).(n+6) = (2k+1 +3).(2k+1+6) = (2k+4).(2k+7)
= 2.(k+2).(2k+7) chia hết cho 2.
- Với n = 2k ta có :
( n+3)(n+6) = (2k+3)(2k+6) = 2.(2k+3)(k+3) chia hết cho 2.
Vậy với mọi n
∈
N thì (n+3)(n+6) chia hết cho 2.
Ví dụ 8: Chứng minh rằng:
a) Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3
b) Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 4.
Giải
a) Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là n, n+1, n+2
Tích của số tự nhiên liên tiếp là : n.(n+1).(n+2)
Mọi số tự nhiên khi chia cho 3 có thể nhận một trong các số dư 0;1;2
- Nếu r = 0 thì n chia hết cho 3 ⇒ n.(n + 1).(n+ 2) chia hết cho 3
- Nết r = 1 thì n = 3 k + 1 (k là số tự nhiên)
Thì n+2 = 3k +1 + 2 = (3 k +3) chia hết cho 3
Do đó n. (n+1).(n+2) chia hết cho 3
Đèo Thị Kiểu – Trường PTDT Nội trú huyện Sông Mã.
8
SKKN: Giúp học sinh lớp 6 giải các bài toán về “Phép chia hết” trong tập hợp N
- Nếu r = 2 thì n = 3k+ 2 (k là số tự nhiên)
Thì n+1 = 3k +2 +1 = 3k +3 chia hết cho 3
Do đó n.(n+1) . (n+2) chia hết cho 3
Tóm lại, n.(n+1).(n+2) chia hết cho 3 với mọi n là số tự nhiên.
b) Chứng minh tương tự ta có:
n.(n+1).( n+2).( n+3) chia hết cho 4 với mọi n là số tự nhiên.
Sau khi giải bài tập tập này, giáo viên yêu cầu học sinh nêu bài tập này ở dạng

tổng quát.
Giáo viên khắc sâu cho học sinh: Tích của n số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết
cho n.
Giáo viên nhận xét: Phương pháp này thường được sử dụng khi chứng minh một
biểu thức có chứa biến chia hết cho các số tự nhiên có một chữ số. Khi chứng
minh một biểu thức chia hết cho các số tự nhiên lớn hơn 10 ta không sử dụng
phương pháp này vì phải xét nhiều trường hợp.
4. Phương pháp 4: Dùng các dấu hiệu chia hết có liên quan đến chữ số tận cùng.
Ví dụ 9: Chứng minh rằng : 10
28
+ 8 chia hết cho 72
Giải
Ta có 10
28
+ 8 = ( 100 0 + 8) = 100 . . . 08 có tổng các chữ số bằng 9 nên
chia hết cho 9.
10
28
+ 8 = = 1000. . .08 có tận cùng bằng 008 nên chia hết cho 8.
Vì ( 8,9) =1 nên 10
28
+ 8  (8.9) hay 10
28
+ 8  72.
*Giáo viên nhận xét: Phương pháp này thường sử dụng để chứng minh các bài
toán mà số chia là các số tròn chục ( 10, 100, ) hay các số chia mà dấu hiệu
chia hết có liên quan đến chữ số tận cùng ( ví dụ : 5, 4, 8, 25, 125), hoặc số chia
có thể phân tích thành tích các số có dạng như trên.
5. Phương pháp 5: Sử dụng nguyên tắc Đirichlet.
Nội dung của nguyên tắc Đirichlet: “Nếu có n+1 con thỏ, xếp vào n chuồng, thì ít

Đèo Thị Kiểu – Trường PTDT Nội trú huyện Sông Mã.
9
28 ch÷ sè 0
27 ch÷ sè 0
27 ch÷ sè 0
SKKN: Giúp học sinh lớp 6 giải các bài toán về “Phép chia hết” trong tập hợp N
nhất 1 chuồng chứa từ 2 con thỏ trở lên”.
Ví dụ10: Chứng minh rằng trong 6 số tự nhiên bất kì luôn tìm được 2 số có hiệu
chia hết cho 5.
Giải
Một số khi chia cho 5 có thể nhận một trong các số dư là : 0; 1; 2; 3; 4.
Trong 6 số tự nhiên bất kì khi chia cho 5 luôn tồn tại ít nhất 2 số có cùng số dư
(Nguyên tắc Đirichlet).
Vậy hiệu của 2 số chia hết cho 5.
III. Khi học sinh đã nắm vững các phương pháp thường dùng để chứng
minh phép chia hết, giáo viên có thể giao một số bài toán về chia hết nhằm
giúp học sinh nắm một cách có hệ thống, được đào sâu các kiến thức về phép
chia hết
Bài 1:
a) Tìm tất cả các số x,y để số
yx534
chia hết cho 36.
b) Tìm các chữ số x, y để
xy21
chia hết cho 3, 4 ,5 .
Giải
Vì (4;9) = 1 nên
yx534
chia hết cho 36 khi và chỉ khi
yx534

chia hết cho 9 và
yx534
chia hết cho 4.
Ta có:
yx534
chia hết cho 4 khi và chỉ khi 5y chia hết cho 4 . Vậy y∈{ 2; 6}.

yx534
chia hết cho 9 khi và chỉ khi ( 3+4+x+5+y) chia hết cho 9
Hay (12+x+y) chia hết cho 9
Vì x,y là các chữ số nên x+y ∈ { 6;15}.
Nếu y = 2 thì x = 4 hoặc x = 13 > 9 (loại)
Nếu y = 6 thì x = 0 hoặc x = 9
Vậy các số phải tìm là: 34452; 34056; 34956
b) Ta có :
xy21
 5 thì y
∈
{0;5}.
Nếu y = 5 thì
xy21
không chia hết cho 4
Nếu y = 0 thì
xy21
chia hết cho 4 nếu
0x
 4 do đó x
∈
{0; 2; 4 ; 6 ; 8}. (1)
Đèo Thị Kiểu – Trường PTDT Nội trú huyện Sông Mã.

10
SKKN: Giúp học sinh lớp 6 giải các bài toán về “Phép chia hết” trong tập hợp N
021x
 3 khi và chỉ khi (2 + 1 + x + 0)  3 hay (3+ x) 3
do đó x
∈
{0; 3; 6; 9}. ( 2)
Kết hợp (1) và ( 2) ta có x
∈
{0; 6}.
Vậy các số cần tìm là: 2100 ; 2160
Bài 2:
Cho các chữ số 0, a, b. Hãy viết tất cả các số có 3 chữ số tạo bởi 3 số trên.
Chứng minh rằng tổng tất cả các số đó chia hết 211
Giải
Tất cả các số có 3 chữ số tạo bởi 3 chữ số 0, a, b là:
abbaabba 0;0;0;0
Tổng của các số đó là:

abbaabba 0000 +++
= 100a +b +100a +10b +100b +10a +100b +a
= 211a +211b
= 211(a+b) chia hết cho 211.
Bài 3:
Cho A = 2 +2
2
+2
3
+ +2
60

.
Chứng minh rằng : A

3; A

7; A

15
Giải
*A = 2 +2
2
+2
3
+ +2
60

= ( 2+ 2
2
) + ( 2
3
+ 2
4
) + + (2
59
+ 2
60
)
= 2( 1+ 2) + 2
3
( 1+2) + + 2

59
(1+2)
= 2.3+ 2
3
. 3 + +2
59
. 3
= 3.(2+ 2
3
+ + 2
59
) chia hết cho 3
*A = (2+ 2
2
+ 2
3
) + (2
4
+2
5
+2
6
) + + (2
58
+ 2
59
+ 2
60
)
= 2.(1+2+ 4) + 2

4
( 1+2+4) + + 2
58
( 1+ 2+4)
= 2.7 +2
4
.7+ + 2
58
.7
= 7( 2+2
4
+ + 2
58
) chia hết cho 7
*A = (2+ 2
2
+ 2
3
+ 2
4
) + + (2
57
+ 2
58
+ 2
59
+ 2
60
)
= 2(1+2+4+8) + + 2

57
( 1+2+4+8)
= 15( 2+ 2
5
+ + 2
57
) chia hết cho 15.
Đèo Thị Kiểu – Trường PTDT Nội trú huyện Sông Mã.
11
SKKN: Giúp học sinh lớp 6 giải các bài toán về “Phép chia hết” trong tập hợp N
Vậy A chia hết cho 3, A chia hết cho 7 và A chia hết cho 15.
Bài 4 :
Cho a - b chia hết cho 6. Chứng minh các biểu thức sau chia hết cho 6.
a) a +5b ; b) a + 17b ; c) a - 13b.
Giải
a) Ta có : a + 5b = a + 6b - b = ( a- b) + 6b  6 vì (a - b)  6 và 6b  6
b) a + 17 b = ( a- b) + 18b  6 vì (a- b)  6 và 18b6
c) a - 13b = ( a - b) - 12b  6 vì ( a - b )  6 và 12b  6
Bài 5:
Chứng minh rằng: (9
2n
+ 1994
93
) chia hết cho 5.
Giải
Ta có: 9
2n
= (9
2
)

n
= 81
n
=
1
1994
93
= (1994
2
)
46
. 1994 =
6
46
. 1994 =
6
.1994 =
4
Do đó: 9
2n
+ 1994
93
=
1
+
4
=
5
chia hết cho 5
Bài 6:

Tìm số tự nhiên n để (3n+10) chia hết cho (n+2)
Giải
Cách 1:
Ta có: 3n+10 = 3(n+2) +4
Mà 3.(n+2) chia hết cho (n+2)
Do đó (3n+10) chia hết cho (n+2) khi và chỉ khi 4 chia hết cho (n+2)
Hay (n+2) là ước của 4.
Tức là (n+2)
∈
{ 1; 2;4}
nên n
∈
{ 0;2}
Vậy với n
∈
{0;2 } thì (3n+10) chia hết cho (n+2)
Cách 2:
(3n+10) chia hết cho (n+2)
Mà (n+2) chia hết cho (n+2) nên 3(n+2) chia hết cho (n+2)
Đèo Thị Kiểu – Trường PTDT Nội trú huyện Sông Mã.
12
SKKN: Giúp học sinh lớp 6 giải các bài toán về “Phép chia hết” trong tập hợp N
Do đó [ (3n +10) - (3n +6)] chia hết cho (n+2)
Hay 4 chia hết cho (n+2)
đến đây giải tiếp như ở cách 1.
Bài 7:
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì ( 3n +1, 4n + 1) = 1
Giải
Gọi d là ƯC( 3n+ 1 , 4n + 1)
⇒ 3n + 1  d ⇒ 4.( 3n + 1)  d

4n + 1  d 3. ( 4n+1)  d
⇒ ( 12n + 4 - 12n - 3 )  d
⇒ 1  d ⇒ d = 1
⇒ ( 3n + 1, 4n + 1) = 1
Bài 8 :
Trong 45 học sinh làm bài kiểm tra, không có ai bị điểm dưới 2, chỉ có 2 học
sinh được điểm 10. Chứng minh rằng ít nhất cũng tìm được 6 học sinh có điểm
kiểm tra bằng nhau.
Giải
Có 45 -2 = 43 học sinh được phân chia và 8 loại điểm ( từ 2 đến 9). Giả sử
mỗi điểm trong 8 loại là điểm không có quá 5 học sinh, thì lớp học không có quá
8.5 = 40 học sinh ( ít hơn 43 học sinh)
Vậy tồn tại ít nhất có 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau.
Bài 9:
Chứng minh rằng nếu ( 6x + 11y ) chia hết cho 31 thì ( x + 7y) chia hết cho 31
với mọi số tự nhiên x, y.
Giải
Vì ( 6x + 11y)  31 nên ( 6x + 11y + 31y )  31
Đèo Thị Kiểu – Trường PTDT Nội trú huyện Sông Mã.
13
SKKN: Giúp học sinh lớp 6 giải các bài toán về “Phép chia hết” trong tập hợp N
⇒ ( 6x + 42 y)  31 ⇒ 6 ( x + 7y )  31
mà ( 6, 31 ) = 1 ⇒ ( x + 7y )  31 ( đpcm).
Bài 10 :
Một số khi chia cho 6 dư 4, khi chia cho 7 dư 6, chia cho 11 dư 3. Tìm dư cho
phép chia số đó cho 462.
Giải
Gọi số cần tìm là a.
Theo bài ra, ta có a = 6k + 4 = 7q + 6 = 11p + 3
( k, q, p là các thương và là các số tự nhiên).

Suy ra : a + 8 = 6k + 4 + 8 = 6 ( k+ 2)  6
a + 8 = 7q + 6 + 8 = 7( q + 2)  7
a + 8 = 11p + 3 + 8 = 11 ( p + 1)  11
suy ra ( a + 8) là BC (6,7,11), mà BCNN(6,7,11) = 462
⇒ ( a + 8)  462
⇒ ( a + 8 ) = 462. m ( m
∈
N)
⇒ a = 462. m - 8 = 462.(m - 1) + 454
⇒ a = 462.n + 454 ( n
∈
N)
Vậy a chia cho 462 dư 454.
2.2. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU:
Trên đây là một số ví dụ và một số dạng bài tập về "phép chia hết". Các bài
toán về "phép chia hết" thật đa dạng và phong phú. Nếu như chúng ta chỉ hướng
dẫn học sinh giải những bài tập ở mức độ trung bình thì các em chưa thể thấy
được "cái hay" của dạng toán này, đồng thời có khi các em còn có cảm giác là
khó và phức tạp. Qua các bài tập trên ta thấy, mặc dù mỗi dạng bài tập sử dụng
phương pháp biến đổi ban đầu khác nhau, nhưng cuối cùng đều quy về định
nghĩa và các tính chất của phép chia hết. Chính vì vậy, việc nắm vững định nghĩa
về phép chia hết, các tính chất và các dấu hiệu chia hết là vấn đề then chốt giúp
Đèo Thị Kiểu – Trường PTDT Nội trú huyện Sông Mã.
14
SKKN: Giúp học sinh lớp 6 giải các bài toán về “Phép chia hết” trong tập hợp N
học sinh có thể định hướng được cách giải bài tập giúp học sinh có tư duy sáng
tạo và sự linh hoạt khi giải toán. Khi đã làm được như vậy thì việc giải các bài
toán về phép chia hết đã trở thành niềm say mê, thích thú của học sinh.
Với đối tượng học sinh ở trường PTDT Nội trú Sông mã, các em thường
“sợ” học bộ môn toán và coi đây là môn học khó. Các em có thói quen nhìn thấy

những bài tập khó, phức tạp hơn sách giáo khoa là thường chán nản không muốn
làm. Do đó việc tìm ra đối tượng học sinh khá giỏi trong môn toán là rất khó
khăn. Việc tìm ra các phương pháp giải toán cụ thể cho mỗi dạng toán để các em
vận dụng vào giải các bài tập là một việc làm hết sức cần thiết nhằm nâng cao
hiệu quả học tập bộ môn toán.
2.3. CÁC BIỆN PHÁP TIẾN HÀNH ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
*Biện pháp 1: Xây dựng cho học sinh hệ thống kiến thức cơ bản và các
phương pháp giải cụ thể về “phép chia hết” trong tập hợp N:
Đây là điều kiện cần thiết không thể thiếu, nó là nền móng để học sinh ghi
nhớ, nắm chắc các kiến thức cơ bản một cách có hệ thống. Các kiến thức đó phải
được sắp xếp theo trình tự hợp lí, logic. Đồng thời học sinh phải nhận rõ được
mối quan hệ gắn bó giữa các đơn vị kiến thức trong môn học cũng như mối quan
hệ kiến thức liên môn.
Việc nhận diện chính xác các đơn vị kiến thức và sắp xếp một cách có hệ
thống, điều đó mới chỉ đạt được một nửa yêu cầu, nghĩa là mới chỉ dừng lại ở
mức độ học tập nghiên cứu về phương diện lí thuyết, nửa còn lại phụ thuộc vào
khả năng vận dụng thực hành những kiến thức lí thuyết vào việc giải các dạng bài
tập cụ thể bằng nhiều cách khác nhau một cách hợp lí và sáng tạo, đạt hiệu quả
cao.
Trong giờ học, giáo viên cho học sinh ôn tập, hệ thống lại toàn bộ các kiến
thức cơ bản về phép chia hết ( Được trình bày ở mục I. Trước hết học sinh cần
nắm vững định nghĩa phép chia hết trong SGK lớp 6 tập 1, các dấu hiệu chia hết
cũng như các tính chất về quan hệ chia hết.) Các kiến thức này đã được học trên
lớp như định nghĩa phép chia hết, dấu hiệu chia hết cho 2, cho 3, cho 5, cho 9 và
Đèo Thị Kiểu – Trường PTDT Nội trú huyện Sông Mã.
15
SKKN: Giúp học sinh lớp 6 giải các bài toán về “Phép chia hết” trong tập hợp N
các tính chất về quan hệ chia hết. Ngoài ra giáo viên cung cấp thêm cho học sinh
một số dâu hiệu chia hết cho 4, cho 8, cho 11, cho 25 mà trong quá trình làm bài
tập các em vận dụng.

Sau khi học sinh đã có được hệ thống kiến thức cơ bản về “phép chia hết”
giáo viện cho học sinh tự tìm tòi ra các phương pháp giải các bài tập về phép chia
hết. Nếu học sinh còn lúng túng, hay chưa tìm ra được các phương pháp cụ thể,
giáo viên có thể hướng dẫn hoặc cung cấp cho học sinh các phương pháp đó
(Được trình bày ở mục II. Khi học sinh đã nắm chắc các vấn đề nêu trên thì
giáo viên có thể đưa ra một vài phương pháp thường dùng để giải các bài toán
chia hết). Sau đó cho học sinh vận dụng các phương pháp đã học để làm các dạng
bài tập cụ thể (Được trình bày ở mục III. Khi học sinh đã nắm vững các phương
pháp thường dùng để chứng minh phép chia hết, giáo viên có thể giao một số bài
toán về chia hết nhằm giúp học sinh nắm một cách có hệ thống, được đào sâu
các kiến thức về phép chia hết)
* Kết quả đạt được khi thực hiện biện pháp 1: Học sinh được hệ thống hoá
lại các kiến thức cơ bản về “phép chia hết” trong tập hợp N, đồng thời có được
các phương pháp giải cụ thể về các dạng toán về “phép chia hết”. Học sinh bước
đầu vận dụng làm được một số bài toán cơ bản.
*Biện pháp 2: Tổ chức thực hiện việc bồi dưỡng học sinh
Giáo viên xây dựng nội dung chương trình cụ thể, có kế hoạch ôn tập chi tiết
và biện pháp cụ thể, chọn lựa đối tượng học sinh có khả năng học tập bộ môn. Ôn
tập theo kế hoạch bồi dưỡng “ôn tài năng trẻ” của nhà trường. Ngoài ra giáo viên
có thể đưa một số bài tập cho học sinh về tự làm ở nhà, sau đó kiểm tra, đánh giá
cụ thể.
* Kết quả đạt được khi thực hiện biện pháp 2: Hoạt động dạy học bồi dưỡng
học sinh khá giỏi đã có nề nếp tương đối ổn định trong nhà trường, học sinh say
mê học tập hơn, giáo viên nhiệt tình, có trách nhiệm cao hơn trong công việc.
*Biện pháp 3: Tổ chức kiểm tra, đánh giá năng lực học tập của học
sinh:
Việc làm này được tiến hành theo nhiều hình thức khác nhau nhằm đánh giá
Đèo Thị Kiểu – Trường PTDT Nội trú huyện Sông Mã.
16
SKKN: Giúp học sinh lớp 6 giải các bài toán về “Phép chia hết” trong tập hợp N

năng lực học tập của học sinh sau mỗi dạng kiến thức, cụ thể là phần nội dung
kiến thức về phép chia hết trong tập hợp N một cách khoa học, khách quan và
chính xác.
- Kiểm tra bằng hệ thống các bài tập mang tính áp dụng các phương pháp đã
học, đòi hỏi tính độc lập sáng tạo của học sinh. Qua hình thức bài tập này
giáo viên có thể phát hiện được khả năng tư duy sáng tạo của học sinh
trong việc lĩnh hội, vận dụng kiến thức. Nếu thiếu tư chất này thì khó có
thể đào tạo, bồi dưỡng học sinh theo kiến thức chuyên sâu.
- Kiểm tra bằng cách tạo ra những tình huống phức tạp cần phải vận dụng
linh hoạt các kiến thức và các phương pháp đã học để giải bài tập và tìm
tòi hướng giải mới, hay hơn các cách đã học. Từ đó đánh giá được khả
năng thích ứng và xử lí tình huống của học sinh trên cơ sở vận dụng thực
hành.
* Kết quả đạt được khi thực hiện biện pháp 3: Kiểm tra, đánh giá học sinh là
một hoạt động được tiến hành thường xuyên, đảm bảo tính khách quan, chính
xác, khoa học đã mang lại hiệu quả thiết thực. Sau khi kiểm tra, đánh giá giáo
viên nắm bắt được khả năng nhận thức các kiến thức của học sinh. Từ đó có biện
pháp rèn luyện phù hợp, giúp các em có thể nắm vững kiến thức và có kĩ năng
vận dụng thực hành giải toán tốt hơn.
*Biện pháp 4: Tổ chức tổng kết rút kinh nghiệm:
Giáo viện tổ chức ôn tập, tổ chuyên môn nhà trường cùng bàn bạc, trao đổi,
rút kinh nghiệm những ưu, nhược điểm của nội dung ôn tập về phép chia hết
trong N đối với đối tượng học sinh của nhà trường, từ đó thống nhất các nội
dung, biện pháp thực hiện để đạt được kết quả cao nhất.
* Kết quả đạt được khi thực hiện biện pháp 4: Đúc rút kinh nghiệm trong việc
bồi dưỡng học sinh khá giỏi: Giáo viên không chỉ cần có kiến thức mà cần phải
có kinh nghiệm; học sinh phải có khả năng và lòng yêu thích, lòng say mê, sáng
tạo trong môn toán.
2.4. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI:
Đèo Thị Kiểu – Trường PTDT Nội trú huyện Sông Mã.

17
SKKN: Giúp học sinh lớp 6 giải các bài toán về “Phép chia hết” trong tập hợp N
Với những kinh nghiệm vừa trình bày ở trên, trong quá trình giảng dạy
môn toán 6 và bồi dưỡng học sinh khá giỏi ở trường PTDT Nội trú Sông mã năm
học 2010-2011, bản thân tôi nhận thấy: Khi dạy phần chia hết trong tập hợp số
tự nhiên, học sinh tiếp nhận kiến thức một cách thoải mái, chủ động, rõ ràng. Học
sinh phân biệt và nhận dạng được các bài toán liên quan đến phép chia hết và từ
đó có thể giải được hầu hết các bài tập phần này, xóa đi cảm giác khó và phức tạp
ban đầu là không có quy tắc tổng quát. Qua đó, rèn luyện cho học sinh trí thông
minh, sáng tạo, các phẩm chất trí tuệ khác và học sinh cũng thấy được dạng toán
này thật phong phú chứ không đơn điệu. Điều đó giúp cho học sinh hứng thú
hơn khi học bộ môn toán.
* Kết quả cụ thể: Với những bài tập giáo viên đưa ra, học sinh giải được
một cách độc lập và tự giác, được thống kê theo bảng sau:
Thời gian
Áp
dụng
đề tài
Tổng
số
HS
Số HS giải được theo các mức độ
Từ 0 -20%
Bài tập
Từ
20-50%
Bài tập
Từ
50-80%
Bài tập

Trên 80%
Bài tập
SL % SL % SL % SL %
Từ
6/9/2010
đến
9/10/2010
Chưa
áp
dụng
36 25 69 10 28 1 3 0 0
Từ
11/10/201
0 đến
10/11/201
0
Đã áp
dụng
36 10 28 20 55 4 11 2 6
Thời gian thực hiện đề tài trên còn ngắn, qua quá trình kiểm tra, đánh giá thấy
được số lượng học sinh giải được các bài tập về “phép chia hết” trong tập hợp N
Đèo Thị Kiểu – Trường PTDT Nội trú huyện Sông Mã.
18
SKKN: Giúp học sinh lớp 6 giải các bài toán về “Phép chia hết” trong tập hợp N
đã tăng lên rõ rệt. Do đó cần tiếp tục trao đổi, rút kinh nghiệm để thống nhất các
biện pháp thực hiện trong thời gian tới.
3. KẾT LUẬN
3.1. Ý nghĩa của đề tài trong công tác giảng dạy:
Phần " Phép chia hết cho tập hợp số tự nhiên" ở lớp 6 là một nội dung quan
trọng bởi kiến thức này có liên quan chặt chẽ, nó là tiền đề cho học sinh học tốt

các kiến thức về sau và đặc biệt nó có ứng dụng rất nhiều. Do vậy, trước hết
chúng ta cần cho học sinh nắm thật vững định nghĩa phép chia hết, các dấu hiệu
chia hết và đặc biệt là các tính chất của quan hệ chia hết bởi vì các tính chất này
rất hay sử dụng.
Để học sinh nắm vững và hứng thú học tập, chúng ta cần liên hệ những
kiến thức đã biết để xây dựng kiến thức mới, chọn lọc hệ thống bài tập theo mức
độ tăng dần từ dễ đến khó. Khi học phải cho học sinh nhận dạng sau đó mới bắt
tay vào giải theo nhiều cách ( nếu có thể) chứ không nhất thiết phải giải nhiều bài
tập. Cần rèn luyện nhiều cách suy luận để tìm hướng giải và cách lập luận trình
bày của học sinh vì đây là học sinh đầu cấp.
Với mỗi dạng tuy không có quy tắc tổng quát, song sau khi giải giáo viên
nên chỉ ra một đặc điểm, một hướng giải quyết nào đó để khi gặp bài tương tự
học sinh có thể liên hệ được.
3.2. Nhận định chung:
Có thể nói với cách làm trên đây, tôi đã chuẩn bị tạo tình huống dẫn dắt
học sinh học tập bằng cách tự học là chính. Thông qua đó phát huy tính tích cực
chủ động của học sinh. Tuy nhiên để làm được điều đó phải tốn không ít thời
gian cho việc chuẩn bị nội dung và phương pháp giảng dạy của mình. Nhưng
theo tôi một trong những phương pháp giúp chất lượng học tập của học sinh ngày
một nâng cao là phải làm như vậy.
3.3. Những bài học kinh nghiệm:
Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ của bản thân tôi tự rút ra khi dạy
phần " Phép chia hết trong tập hợp N " ở lớp 6. Chắc chắn nó chưa được hoàn
Đèo Thị Kiểu – Trường PTDT Nội trú huyện Sông Mã.
19
SKKN: Giúp học sinh lớp 6 giải các bài toán về “Phép chia hết” trong tập hợp N
chỉnh và có chỗ kiếm khuyết. Trong khi vấn đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán đối
với giáo viên THCS còn nhiều khó khăn, bản thân tôi muốn đóng góp một kinh
nghiệm nhỏ của mình. Qua đây, tôi rất mong sự góp ý chân thành của các bạn
đồng nghiệp để năm học tới được tốt hơn, đáp ứng yêu cầu của sự nghiệp giáo

dục nước nhà.
3.4. Ý kiến đề xuất:
Để hoàn thiện các biện pháp thực hiện đề tài, chúng tôi mong nhận được sự
quan tâm, góp ý của các cấp quản lí chuyên môn, các đồng nghiệp để đề tài thực
sự đi và thực tế dạy học trong nhà trường, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục
toàn diện, đặc biệt là chất lượng giáo dục mũi nhọn ở trường PTDT Nội trú Sông
mã.
Kính mong Phòng GD&ĐT Sông mã tạo điều kiện, quan tâm, đầu tư cơ sở
vật chất, trang thiết bị, phương tiện dạy học phù hợp với yêu cầu đổi mới nội
dung, phương pháp dạy học.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Sông mã, ngày 12 tháng 02 năm 2010
Người thực hiện
Đèo Thị Kiểu

Đèo Thị Kiểu – Trường PTDT Nội trú huyện Sông Mã.
20
SKKN: Giúp học sinh lớp 6 giải các bài toán về “Phép chia hết” trong tập hợp N
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Một số vấn đề đổi mới phương pháp dạy học môn Toán trung học cơ sở
2. Nâng cao và phát triển Toán 6
3. Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập Toán 6
4. Các chuyên đề số học bồi dưỡng học sinh giỏi Trung học cơ sở
Đèo Thị Kiểu – Trường PTDT Nội trú huyện Sông Mã.
21