Xấp xỉ tuyến tính và áp dụng vào bài toán triển khai tiệm cận của nghiệm vào phương trình sóng phi tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC CẦN THƠ





NGUYỄN THỊ THẢO TRÚC


XẤP XỈ TUYẾN TÍNH VÀ ÁP DỤNG VÀO
BÀI TOÁN KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM
PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN TÍNH




LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC


CHUYÊN NGÀNH TOÁN GIẢI TÍCH
MÃ SỐ: 60.46.01


Người hướng dẫn khoa học:

1. TS. NGUYỄN THÀNH LONG
2. TS. NGUYỄN CÔNG TÂM

THÀNH PHỐ CẦN THƠ
03-2003

Luận văn được hoàn thành tại:
Trường Đại học Cần Thơ.


Người hướng dẫn khoa học:

1. TS. Nguyễn Thành Long
2.

TS. Nguyễn Công Tâm
Khoa Toán- tin học,
Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh.


Người nhận xét 1 :
TS. Đinh Ngọc Thanh

Khoa Toán- tin học,
Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh.

Người nhận xét 2 :
TS. Đặng Đức Trọng

Khoa Toán- tin học,
Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh.

Học viên cao học:
Nguyễn Thò Thảo Trúc

Bộ môn Toán- Khoa Sư phạm,
Trường Đại học Cần Thơ.


Luận văn sẽ được bảo vệ tại Hội Đồng chấm luận án cấp Trường tại
Trường Đại học Cần Thơ, vào lúc ……giờ, ngày 19 tháng 4 năm 2003.

Có thể tìm hiểu luận văn tại Phòng Sau Đại học, thư viện Trường Đại
Học Cần Thơ.






THÀNH PHỐ CẦN THƠ
3- 2003

L
ời đầu tiên, tôi xin kính gởi đến
T
hầ y
N
guyễ n

T
hà nh
L
ong

và
T
hầ y
N
guyễ n
C
ô n g
T
â m

lời cảm ơn sâu sắc nhất về sự giúp đỡõ của quý
T
hầ y
trong việc hoàn thành luận văn này.

C
hân thành cảm ơn
T
hầ y
Đi n h N g ọ c T h a n h
và
T
hầ y
Đặ ng Đứ c
Trọ ng

,
đọc cẩn thận luận văn của tôi và cho tôi nhiều nhận xét bổ ích.

X
in chân thành cảm ơn quý
T
hầ y
C
o
â
Khoa Toán- Tin học Trường Đại
Học Khoa Học Tự Nhiên Thành Phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy tôi trong
suốt khóa học.

X
in cảm ơn quý
T
hầ y
C
o
â
thuộc Khoa Sư Phạm - Trường Đại Học Cần
Thơ nói chung, quý
T
hầ y
C
o
â

Bộ môn Toán- Khoa Sư Phạm nói riêng đã

trang bò cho tôi kiến thức nền tảng và luôn động viên giúp đỡ tôi trong thời gian
qua.

X
in cảm ơn quý
T
hầ y
C
o
â
thuộc Phòng quản lý Khoa học và đào tạo
Sau Đại học Trường Đại Học Cần Thơ đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tôi
hoàn thành chương trình học.

C
ảm ơn các
B
ạ n họ c vi ê n
lớp cao học Khoá 7 đã hỗ trợ cho tôi nhiều
mặt trong thời gian học.

L
ời thân thương nhất xin được gởi đến gia đình tôi, nơi đã tạo cho tôi mọi
điều kiện thuận lợi để học tập và hoàn thành luận văn này.

Nguyễn Thò Thảo Trúc
MỤC LỤC

Trang
1. Mục lục

0
2. Phần mở đầu
1
3. Chương 1
. Một số công cụ chuẩn bò 5
1.1. Các ký hiệu về không gian hàm 5
1.2. Các bổ đề quan trọng 6
4. Chương 2
. Khảo sát phương trình sóng phi tuyến liên kết
với điều kiện biên hỗn hợp 8
2.1. Giới thiệu 8
2.2. Thuật giải xấp xỉ tuyến tính 10
2.3. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 19
5. Chương 3
. Khai triển tiệm cận của nghiệm 24
6. Chương 4
. Khảo sát một trường hợp cụ thể 33
7. Kết luận
43
8. Tài liệu tham khảo
45


1

PHẦN MỞ ĐẦU


Trong luận văn này, chúng tôi khảo sát phương trình sóng phi tuyến một
chiều liên kết với điều kiện biên không thuần nhất. Chúng tôi thu được nghiệm

bằng cách thiết lập một dãy qui nạp hội tụ mạnh trong các không gian hàm thích
hợp. Một số tính chất về khai triển tiệm cận của nghiệm theo tham số bé cũng
được khảo sát sau đó.
Trong luận văn này, chúng tôi xét phương trình sóng phi tuyến sau đây.

,0),1,0(),,,,,( Ttxuuutxfuu
txxxtt
<<=Ω∈=−
(0.1)
liên kết với điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất

),(),1(),(),0(),0(
100
tgtutgtuhtu
x
==−
(0.2)
và điều kiện đầu

),(
~
)0,(),(
~
)0,(
10
xuxuxuxu
t
==
(0.3)
trong đó

0
h
là hằng số không âm cho trước và
1010
~
,
~
,,, uuggf
là các hàm cho
trước.
Phương trình (0.1) với các dạng khác nhau của
f
và các điều kiện khác
nhau đã được khảo sát bởi nhiều tác giả. Cụ thể là một số trường hợp sau:
Trong [5] Ficken và Fleishman đã thiết lập sự tồn tại và duy nhất nghiệm
toàn cục và tính ổn đònh của nghiệm này cho phương trình

0,2
3
21
>+=−−−εεαα
buuuuu
txxtt
bé.

(0.4)
Trong [12] Rabinowitz đã chứng minh sự tồn tại của nghiệm tuần hoàn
cho phương trình

),,,,,(2

1 txtxxtt
uuutxfuuu εα=+−
(0.5)

2

trong đó
ε
là tham số bé và
f

tuần hoàn theo thời gian.
Trong [2] Caughey và Ellison đã hợp nhất các trường hợp trước đó để bàn
về sự tồn tại duy nhất và ổn đònh tiệm cận của các nghiệm cổ điển cho một lớp
các hệ động lực liên tục phi tuyến.
Trong [3] Alain Phạm Ngọc Đònh đã chứng minh sự tồn tại và duy nhất
của một nghiệm yếu của bài toán (0.1), (0.3) liên kết với điều kiện biên
Dirichlet thuần nhất

,0),1(),0( == tutu
(0.6)
với số hạng phi tuyến trong (0.1) có dạng

).,( utff ε=
(0.7)
Bằng sự tổng quát của [4] Alain Phạm Ngọc Đònh và Nguyễn Thành Long
đã xét bài toán (0.1), (0.3), (0.6) với số hạng phi tuyến có dạng

),,,(
t

uutff =
(0.8)
Trong [7], [8] Alain Phạm Ngọc Đònh và Nguyễn Thành Long đã nghiên
cứu bài toán (0.1), (0.3) với số hạng phi tuyến có dạng

).,(
t
uuff
=
(0.9)
Trong [7] các tác giả đã xét bài toán với điều kiện biên hỗn hợp không
thuần nhất

,0),1(),(),0(),0( =+= tutgtuhtu
x
(0.10)
trong đó
0>h
là hằng số cho trước; trong [8] với điều kiện biên được xét tổng
quát hơn

.0),1(,),0()(),0()(),0(
0
=−−+=
∫
t
x
tudssustktuhtgtu
(0.11)

3
Trong [9] Nguyễn Thành Long và Trần Ngọc Diễm đã xét bài toán (0.1),
(0.3) với trường hợp

,0),1(),1(),0(),0(
10
=+=− tuhtutuhtu
xx
(0.12)
trong đó
10
, hh
là hằng số không âm cho trước với

.0
10
>+ hh

Trong phần thứ nhất (chương 2) chúng tôi liên kết với phương trình (0.1)
một dãy qui nạp tuyến tính bò chặn trong một không gian hàm thích hợp. Sự tồn
tại nghiệm của (0.1), (0.2), (0.3), (0,12) được chứng minh bằng phương pháp
Galerkin và compat yếu. Chú ý rằng phương pháp tuyến tính hóa trong các bài
báo [4, 9] không dùng được trong các bài báo [7, 8].
Phần thứ hai (chương 3 và 4) chúng tôi nghiên cứu các khai triển tiệm cận
của nghiệm theo một tham số nhiễu
ε
cho bài toán sau:









==
==−
<<<<+
=∆−
).(
~
)0,(),(
~
)0,(
),(),1(),(),0(),0(
,0,10),,,,,(
),,,,(
)(
10
100
1
xuxuxuxu
tgtutgtuhtu
Ttxuuutxf
uuutxfuu
P
t
x
tx
txtt

εε
εεε
εεε
εεεεε
ε
ε

Nếu các hàm số
)]1,0[(),]1,0[(
32
1
33
IRIRCfIRIRCf ××∈××∈
++
và một số
điều kiện phụ, thì nghiệm
ε
u
của bài toán
)(
ε
P
có một khai triển tiệm cận đến
cấp 3 theo
,ε
với
ε
đủ nhỏ. Trong trường hợp
)(,0
11

ufff =≡
với
),(
1
IRCf
N
∈

chúng tôi thiết lập kết quả khai triển tiệm cận của nghiệm đến cấp
1
+
N
theo
ε

(chương 4). Các kết quả trên đã tổng quát hóa tương đối của [1, 3, 4, 9 -11].
Toàn bộ luận văn này sẽ chia thành các chương mục sau đây:


Phần mở đầu
nhằm giới thiệu tổng quát về bài toán và nêu ra các kết quả
trước đó, đồng thời giới thiệu tóm tắt các chương tiếp theo.

Chương 1
giới thiệu một số kiến thức chuẩn bò, các ký hiệu và các không
gian hàm thông dụng. Một số kết quả về phép nhúng cũng được nhắc lại ở đây.


4

Chương 2
chúng tôi khảo sát bài toán (0.1) – (0.3), kết quả chính của
chương này là chứng minh một đònh lý tồn tại và duy nhất nghiệm yếu trong
trường hợp
),1,0(
~
),]1,0[(
2
0
31
HuIRIRCf ∈××∈
+
),(,
3
10 +
∈ IRCgg
với hằng số
.0
0
≥h
Phương pháp sử dụng là xây dựng một dãy qui nạp tuyến tính hội tụ
mạnh. Kết quả này đã tổng quát kết quả trong [1, 3, 4, 9 - 11] và chuẩn bò công
bố.

Chương 3
là phần nghiên cứu về khai triển tiệm cận theo một tham số bé
ε
đến một cấp thích hợp cho nghiệm bài toán (0.1), (0.2), (0.3) với số hạng phi
tuyến

f
có dạng sau:

),,,,,(),,,,(),,,,(
1 txtxtx
uuutxfuuutxfuuutxf ε+=
(0.13)
trong đó
)]1,0[(,
31
1
IRIRCff ××∈
+
có tính trơn thích hợp.
Chương 4
là phần nghiên cứu về khai triển tiệm cận cho một bài toán
(0.1), (0.2), (0.3) cụ thể với
.
2
uf
ε=

Kết quả này đã tổng quát tương đối các kết quả trong [1, 3, 4, 9 - 11] và
chuẩn bò công bố.

Phần cuối cùng
là kết luận về các kết quả thu được trong luận văn. Sau
cùng là phần tài liệu tham khảo.

5
CHƯƠNG 1
MỘT SỐ CÔNG CỤ CHUẨN BỊ


1.1. Các ký hiệu về không gian hàm
Chúng ta bỏ qua đònh nghóa các không gian hàm thông dụng và sử dụng
các ký hiệu gọn lại như sau:

.0),,0()1,0(),0(),1,0(
),(),(),(
00
>×=×Ω==Ω
Ω=Ω=Ω=
TTTQ
HHHHLL
T
mmmmpp

Các ký hiệu
⋅〉〈⋅
,
và
.

dùng để chỉ tích vô hướng và chuẩn sinh bởi tích
vô hướng tương ứng trên
.
2
L
Ký hiệu
⋅〉〈⋅,
cũng dùng để chỉ cặp tích đối ngẫu
giữa phiếm hàm tuyến tính liên tục và một phần tử trong không gian hàm nào đó
nằm trong
.
2
L
Ta ký hiệu
X
.
là chuẩn trên không gian Banach
.X
Gọi
/
X

là
đối ngẫu của
.X

Ta ký hiệu
∞≤≤ pXTL
p
1),;,0(

là không gian Banach các hàm
,),0(: XTu
→
đo được sao cho

,)(
/1
0
);,0(
+∞<








=
∫
p
T
p
XXTL
dttuu
p
với

,1 ∞<≤ p

và

,)(
0
);,0( X
Tt
XTL
tuessu
p
<<
= sup

với

.∞=p

Ta viết
)()(),()(),()(),( tututututututu
xttt
∇===
&&&
lần lượt thay cho
),,(),,(),,(),,(),,(
2
2
2
2
tx
x
u

tx
x
u
tx
t
u
tx
t
u
txu
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂

theo thứ tự.


6

1.2. Các bổ đề quan trọng
Cho ba không gian Banach
10
,, BBB
với
,

10
BBB
⊂⊂


10
, BB
phản xạ, (1.1)

0
B



B
với phép nhúng compact. (1.2)
Ta đònh nghóa:

)},;,0(:);,0({
1
/
0
1
0
BTLv
dt
dv
BTLvW
p
p

∈=∈=

trong đó
.1,0,1,0 =∞≤≤∞<< ipT
i

Trang bò trên
W
một chuẩn như sau:

.
);,0(
/
);,0(
1
1
0
0
BTL
BTLW
p
p
vvv +=

Khi đó
W

là không gian Banach. Hiển nhiên
.);,0(
0

BTLW
p
⊂

Ta có kết quả sau:

Bổ đề 1.1
( [6], p.57)

Dưới giả thiết
(1.1), (1.2)
và nếu

,1,0,1 =∞<< ip
i

thì phép nhúng
W

);,0(
0
BTL
p
là compact.

Bổ đề 1.2
( [6], p.12)


Cho

Q
là mở bò chặn của
,
N
IR

∞<<∈ qQLgg
q
m
1),(,
thỏa
(
i
)
,
)(
Cg
QL
m
q
≤

với mọi

,m

(
ii
)
gg

m
→

hầu hết trong

.Q

Khi đó
gg
m
→
trong
)(QL
q
yếu.
Sau cùng, chúng tôi trình bày một kết quả về lý thuyết phổ được áp dụng
trong nhiều bài toán biên.
Trước hết ta làm một số giả thiết sau:

7

Cho
V
và
H
là hai không gian Hilbert thực thỏa các điều kiện (1.3)
(
i
) Phép nhúng
V 

H
là compact,

(
ii
)
V
trù mật trong
H
.
Cho
IRVVa →×:
là một dạng song tuyến tính đối xứng, liên tục trên
VV ×
và cưỡng bức trên
.V
(1.4)
Chính xác hơn, ta gọi
a
là một dạng song tuyến tính:
(j) Nếu
),( vuau
a
tuyến tính từ
V
vào
IR
với mọi
,Vv ∈

và
),( vuav
a

tuyến tính từ
V
vào
IR
với mọi
.Vu ∈

(jj) Đối xứng nếu
.,),(),( Vvuuvavua ∈∀=

(jjj) Liên tục nếu
:0≥∃M

.,),( VvuvuMvua
VV
∈∀≤

(4j) Cưỡng bức nếu
.),(:0
2
Vvvvva
V
∈∀≥>∃
αα

Khi đó ta có kết quả sau:

Bổ đề 1.3
( [13], Đònh lý 6.2.1, p.137)

Dưới giả thiết
(1.3), (1.4).
Khi đó, tồn tại một cơ sở trực chuẩn Hilbert
}{
j
w
của
H
gồm các hàm riêng
j
w
tương ứng với giá trò riêng
j
λ
sao cho

,lim , 0
21
+∞=≤≤≤≤<
∞→
j
j
j
λλλλ

(1.5)

2,1,,
~
),
~
( =∀∈∀〉〈= jVvvwvwa
jjj
λ

(1.6)

Hơn nữa, dãy
}/
~
{
jj
w
λ
cũng là một cơ sở trực chuẩn Hilbert của
V
đối
với tích vô hướng
).,( ⋅⋅a

Chứng minh bổ đề 1.3 có thể tìm thấy trong [13, Đònh lý 6.2.1, p.137].




8

CHƯƠNG 2
KHẢO SÁT PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN
LIÊN KẾT VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HP

2.1. Giới thiệu
Trong chương 2, chúng tôi xét bài toán giá trò biên và ban đầu sau đây:

,0,10),,,,,( Ttxuuutxfuu
txxxtt
<<<<=−
(2.1)

),(),1(),(),0(),0(
100
tgtutgtuhtu
x
==−
(2.2)

),(
~
)0,(),(
~
)0,(
10
xuxuxuxu
tx
==
(2.3)

trong đó
0
h
là hằng số không âm cho trước;
1010
~
,
~
,, uugg
là các hàm cho trước,
số hạng phi tuyến
f
cũng là hàm cho trước thuộc lớp
)]1,0([
31
IRIRC ××
+
thỏa
một số điều kiện nào đó mà ta sẽ chỉ ra sau.
Trong chương này, ta sẽ thiết lập một đònh lý tồn tại và duy nhất nghiệm
yếu của bài toán (2.1)-(2.3) bằng phương pháp xấp xỉ tuyến tính kết hợp với
phương pháp Galerkin và phương pháp compact yếu. Kết quả thu được ở đây là
sự tổng quát hóa tương đối các kết quả trong [3, 4, 9-11] và chuẩn bò được công
bố.
Trước hết chúng ta đặt:

},0)1(:)1,0({
1
=∈= vHvV
(2.4)

và một dạng song tuyến tính trên
VV ×


).0()0()()(),(
0
1
0
//
vuhdxxvxuvua
+=
∫
(2.5)

V
là một không gian con đóng của
,
1
H
do đó cũng là một không gian
Hilbert đối với tích vô hướng của
.
1
H

Khi đó ta có các bổ đề sau đây.

9
Bổ đề 2.1

Cho

.0
0
≥
h

Khi đó phép nhúng

V


])1,0([
0
C

là compact và

.,},1max{
2
1
,
11
0
0
/
/
])1,0([
Vvvhvvv
vvv

HVH
VC
∈≤≤≤
≤≤
mọivới
(2.6)
Bổ đề 2.2

Cho
.0
0
≥h
Khi đó dạng song tuyến tính đối xứng
),( ⋅⋅a
được xác đònh bởi
(2.5),
liên tục trên
VV ×
và cưỡng bức trên
.V

Các bổ đề 2.1, 2.2 là kết quả quen thuộc mà chứng minh của nó có thể
tìm thấy trong nhiều tài liệu liên quan đến lý thuyết về không gian Sobolev,
chẳng hạn [6].
Chú thích 2.1
Ta suy từ (2.6) rằng, trên
V
cả ba chuẩn
/
,

1
vv
H
và
),( vvav
V
=
là
tương đương.
Bổ đề 2.3
Cho
.0
0
≥h
Khi đó tồn tại một cơ sở trực chuẩn Hilbert
}
~
{
j
w
của
2
L
gồm
các hàm riêng
j
w
~
tương ứng với giá trò riêng
j

λ
sao cho

,lim , 0
21
+∞=≤≤≤≤<
+∞→
j
j
j
λλλλ
(2.7)

2,1,,
~
),
~
( =∀∈∀〉〈= jVvvwvwa
jjj
λ
(2.8)

Hơn nữa, dãy
}/
~
{
jj
w
λ
cũng là một cơ sở trực chuẩn Hilbert của

V
đối
với tích vô hướng
).,(
⋅⋅
a

Mặt khác, ta cũng có
j
w
~
thỏa bài toán biên dưới đây

10









∩∈
==−
=∆−
∞
).]1,0[(
~
,0)1(

~
)0(
~
)0(
~
),1,0(,
~~
0
CVw
wwhw
trongww
j
jjjx
jjj
λ
(2.9)

Chứng minh của bổ đề này được suy từ bổ đề 1.3, với
,
2
LH
=

va
ø
,V ),(
⋅⋅
a

được xác đònh bơiû (2.4), (2.5).

2.2. Thuật giải xấp xỉ tuyến tính
Ta thành lập các giả thiết sau

)(
1
H

;0
0
≥h


)(
2
H

);(,
3
10 +
∈ IRCgg


)(
3
H

;
~
,
~

1
2
0
VuHVu ∈∩∈


)(
4
H

)]1,0([
31
IRIRCf ××∈
+
thỏa các điều kiện sau

0),,,,1(
=
wvutf
với mọi
0≥t

và
.),,(
3
IRwvu
∈

Thay vì xét bài toán (2.1)-(2.2), ta sẽ xét đưa nó về một bài toán với điều
kiện biên thuần nhất như sau:

Đặt

),()()1(
1
1
),(
1
)1(
0
0
0
tgetgx
h
tx
xh −
+−
+
=
ϕ

.0],1,0[
≥∈
tx
(2.10)
Khi đó phép đổi biến

),,(),(),( txtxutxv
ϕ
−=
(2.11)

ta có
v
thỏa mãn phương trình
,0,10),,,,,(
~
Ttxvvvtxfvv
txxxtt
<<<<=−
(2.12)
với điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất

,0),1(),0(),0(
0
==− tvtvhtv
x
(2.13)
và điều kiện đầu
),(
~
)0,(),(
~
)0,(
10
xvxvxvxv
t
==
(2.14)

11
trong đó

,),,,,(),,,,(
~
ttxxttxxtx
vvvtxfvvvtxf
ϕϕϕϕϕ
−++++=
(2.15)

),0,()(
~
)(
~
),0,()(
~
)(
~
1100
xxuxvxxuxv
t
ϕϕ
−=−=
(2.16)
cùng với điều kiện nhất quán

).1(
~
)0,1()0(
),0(
~

)0(
~
)0,0()0,0()0(
01
00
/
000
uug
uhuuhug
x
==
−=−=
(2.17)
thỏa

),]1,0([
~
31
IRIRCf
××∈
+
.
~
,
~
1
2
0
VvHVv ∈∩∈

Vậy với phép đổi ẩn hàm (2.10), (2.11), bài toán (2.1)-(2.3) với điều kiện
biên không thuần nhất tương đương với bài toán với điều kiện biên thuần nhất
(2.12)-(2.14).

Cho trước
,0,0 >> TM
ta đặt

},
~
),,,,(:),,,,(
~
sup{)
~
,,(
00
AwvutxwvutxffTMKK ∈==
(2.18)

},
~
),,,,(:),,,,)(
~~~~
sup{(
)
~
,,(
////
11
Awvutxwvutxffff

fTMKK
wvux
∈+++=
=
(2.19)
trong đó
}.,10,0:),,,,({
~
5
MwvuxTtIRwvutxA
≤++≤≤≤≤∈=
(2.20)
Với mọi
0>M
và
,0>T
ta đặt
},,,
),(),;,0(:);,0({),(
)();,0();,0(
22
22
Mvvv
QLvVTLvHVTLvTMW
T
QL
tt
VTL
t
HVTL

Tttt
≤
∈∈∩∈=
∞∞
∩
∞∞
(2.21)
)},;,0(:),({),(
2
1
LTLvTMWvTMW
tt
∞
∈∈=
(2.22)
trong đó
).,0()1,0( TQ
T
×=

Tiếp theo, ta xây dựng dãy
}{
m
v
trong
),(
1
TMW
bằng qui nạp và chứng
minh nó hội tụ về nghiệm của bài toán (2.1)-(2.3) với sự chọn lựa

0>M
và
.0>T
Ta xét thuật giải xấp xỉ tuyến tính sau:



12

Chọn số hạng ban đầu:
).,(
10
TMWv ∈
Giả sử rằng:

).,(
11
TMWv
m
∈
−
(2.23)
Ta liên kết bài toán (2.12)-(2.14) với toán biến phân tuyến tính sau:
Tìm
),(
1
TMWv
m
∈
thỏa bài toán biến phân tuyến tính sau:

,),(),)((,)( VwwtFwtvawtv
mmm
∈∀〉〈=+〉〈
&&
(2.24)

,
~
)0(,
~
)0(
10
vvvv
mm
==
&
(2.25)
trong đó

)).(),(),(,,(
~
),(
111
tvtvtvtxftxF
mmmm −−−
∇=
&
(2.26)
Sự tồn tại của

m
v
cho bởi đònh lý sau đây.
Đònh lý 2.1
Giả sử

)()(
41
HH −

là đúng. Khi đó, tồn tại các hằng số dương

TM ,
và
một dãy qui nạp tuyến tính

),(}{
1
TMWv
m
⊂

xác đònh bởi (2.24)-(2.26).


Chứng minh.
Gồm các bước sau đây:
Bước 1
.
Xấp xỉ

Galerkin
.
Xét một cơ sở
}{
j
w
của
V
như bổ đề 2.3, với
jjj
ww
λ
/
~
=
. Đặt

∑
=
=
k
j
j
k
mj
k
m
wtctv
1
)(

)(
)()(
(2.27)
trong đó
)(
)(
tc
k
mj
thỏa các hệ phương trình vi phân tuyến tính

,1,),()),((),(
)()(
kjwtFwtvawtv
jmj
k
mj
k
m
≤≤〉〈=+〉〈
&&
(2.28)

,
~
)0(,
~
)0(
1
)(

0
)(
k
k
mk
k
m
vvvv ==
&
(2.29)
trong đó

0
1
)(
0
~~
vwv
k
j
j
k
mj
k
→≡
∑
=
α
mạnh trong
,

2
HV ∩

(2.30)


13


1
1
)(
1
~~
vwv
k
j
j
k
mj
k
→≡
∑
=
β
mạnh trong
.V

(2.31)
Giả sử rằng

1−m
v
thỏa (2.23). Khi đó, ta dễ dàng suy ra rằng hệ phương
trình vi phân (2.28), (2.29) có nghiệm duy nhất
)(
)(
tv
k
m
trên một khoảng
.0
)(
TTt
k
m
≤≤≤
Các đánh giá tiên nghiệm sau đây cho phép ta lấy
,
)(
TT
k
m
=
với
mọi
m
và
.k

Bước 2. Đánh giá tiên nghiệm.

Đặt

,)()()()(
0
2
)()()()(
∫
++=
t
k
m
k
m
k
m
k
m
dssvtYtXtS
&&
(2.32)
trong đó

)),(),(()()(
)()(
2
)()(
tvtvatvtX
k
m

k
m
k
m
k
m
+=
&
(2.33)

.)())(),(()(
2
)()()()(
tvtvtvatY
k
m
k
m
k
m
k
m
∆+=
&&
(2.34)
Khi đó, ta có bổ đề sau
Bổ đề 2.4
.
)1(
~

)0,1(2)0()(
0
)()(
km
k
m
k
m
vFStS ∇+=

∫∫
+〉〈+
t
k
mm
t
k
mm
dssvsFadssvsF
0
)(
0
)(
))(),((2)(),(2
&&


∫∫
∇
∂

∂
++
t
k
mm
t
k
m
dssvsF
s
dssv
0
)(
0
2
)(
),1()),1((2)(
&&

).,1()0,1(2),1(.)),1((2
)()(
0
tvFtvdssF
s
k
mm
k
m
t
m

∇−∇
∂
∂
−
∫
(2.35)

Chứng minh bổ đề 2.4.
Nhân (2.28) bởi
),(
)(
tc
k
mj
&
sau đó lấy tổng theo
j
, ta được

14
.)(),())](),(()([
2
1
)(
2
1
)()()(
2
)()(
〉〈=+=

tvtFtvtvatv
dt
d
tX
dt
d
k
mm
k
m
k
m
k
m
k
m
&&

Tích phân theo
t
ta được
.)(),(2)0()(
0
)()()(
∫
〉〈+=
t
k
mm
k

m
k
m
dssvsFXtX
&
(2.36)
Trong (2.28) thay
,
1
j
j
j
ww ∆
−
=
λ
sau đó đơn giản
,
j
λ
ta được
.),()),((),(
)()(
〉∆−〈=∆−+〉∆−〈
jmj
k
mj
k
m
wtFwtvawtv

&&
(2.37)
Chú ý rằng các công thức sau đây là đúng
),),((),(
)()(
j
k
mj
k
m
wtvawtv
&&&&
=〉∆−〈
(2.38)
,),()),((
)()(
〉∆∆〈=∆−
j
k
mj
k
m
wtvwtva
(2.39)
).),(()1(),1(
)(),()0()1(),1(
)(),(),(
1
0
0

1
0
jmjm
jmjjm
jmjm
wtFawtF
dxxwtxFwhwtF
dxxwtxFwtF
+∇−=
∇∇++∇−=
∆−=〉∆−〈
∫
∫
(2.40)
Vậy, nhờ vào (2.38)- (2.40), ta viết lại (2.37) như sau:
).1(),1()),((),()),((
)()(
jmjmj
k
mj
k
m
wtFwtFawtvwtva ∇−=〉∆∆〈+
&&
(2.41)
Trong (2.41) thay
j
w
bởi
),(

)(
tv
k
m
&
ta được
).,1(),1())(),((
)(),())(),((
)()(
)()()()(
tvtFtvtFa
tvtvtvtva
k
mm
k
mm
k
m
k
m
k
m
k
m
&&
&&&&
∇−=
〉∆∆〈+
(2.42)
hay

).,1(),1())(),((
])())(),(([
2
1
)(
2
1
)()(
2
)()()()(
tvtFtvtFa
tvtvtva
dt
d
tY
dt
d
k
mm
k
mm
k
m
k
m
k
m
k
m
&&

&&
∇−=
∆+=
(2.43)
Tích phân theo
t
, ta được

15
.),1(),1(2))(),((2)0()(
0
)(
0
)()()(
∫∫
∇−+=
t
k
mm
t
k
mm
k
m
k
m
dssvsFdssvsFaYtY
&&
(2.44)
Viết lại tích phân cuối cùng của vế phải trong (2.44):

∫
∫
∇
∂
∂
+∇−=
∇−
t
k
mm
t
k
mm
t
k
mm
dssvsF
s
svsF
dssvsF
0
)(
0
)(
0
)(
),1()),1((2),1(),1(2
),1(),1(2
&
(2.45)

.),1()),1((2)1(
~
)0,1(2
),1()0,1(2),1(.)),1((2
),1()),1((2)0,1()0,1(2
),1()0,1(2),1()]0,1(),1([2
),1()),1((2
)0,1()0,1(2),1(),1(2
0
)(
0
)()(
0
0
)()(
)()(
0
)(
)()(
∫
∫
∫
∫
∇
∂
∂
+∇+
∇−∇
∂
∂

−=
∇
∂
∂
+∇+
∇−∇−−=
∇
∂
∂
+
∇+∇−=
t
k
mmkm
k
mm
k
m
t
m
t
k
mm
k
mm
k
mm
k
mmm
t

k
mm
k
mm
k
mm
dssvsF
s
vF
tvFtvdssF
s
dssvsF
s
vF
tvFtvFtF
dssvsF
s
vFtvtF

Viết lại (2.44):
.),1()),1((2)1(
~
)0,1(2
),1()0,1(2),1(.)),1((2
))(),((2)0()(
0
)(
0
)()(
0

0
)()()(
∫
∫
∫
∇
∂
∂
+∇+
∇−∇
∂
∂
−
+=
t
k
mmkm
k
mm
k
m
t
m
t
k
mm
k
m
k
m

dssvsF
s
vF
tvFtvdssF
s
dssvsFaYtY
&
(2.46)
Cộng hai đẳng thức (2.36), (2.46) cùng với
,)(
0
2
)(
∫
t
k
m
dssv
&&
ta thu được (2.35) và do
đó bổ đề 2.4 được chứng minh.

Ta viết (2.35) dưới dạng

16
),,1()0,1(2
)1(
~
)0,1(2)0()(
)(

51
0
)()(
tvFII
vFStS
k
mm
km
k
m
k
m
∇−+++
∇+=
(2.47)
trong đó các ký hiệu
51
, , II
là 5 tích phân theo thứ tự xuất hiện trong công thức
(2.35).
Sau đây, ta sẽ lần lượt đánh giá các tích phân trong vế phải của (2.47).

Tích phân thứ nhất.

Từ (2.15), (2.18), (2.23), (2.32) và (2.33), chúng ta suy ra rằng

.)(2
)()(2)(,)(2
0
)(

0
0
)(
0
)(
1
∫
∫∫
≤
≤〉〈=
t
k
m
t
k
mm
t
k
mm
dssSK
dssvsFdssvsFI
&&
(2.46)

Tích phân hai.
Ta suy từ (2.15), (2.18), (2.19), (2.23) và (2.33) rằng

.)31(4),0()()(
2
00

22
1
2
0
22
KhMKsFhsFsF
mm
V
m
++≤+∇=
(3.49)
Khi đó, từ (2.32), (2.34) và (2.49), ta thu được

∫∫
≤=
t
V
k
m
V
m
t
k
mm
dssvsFdssvsFaI
0
)(
0
)(
2

)()(2))(),((2
&&


.)(]312[2
0
)(
00
2
1
∫
++≤
t
k
m
dssSKhMK
(2.50)

Tích phân thứ ba.
Phương trình (2.28) được viết lại như sau


.1,),(),(),(
)()(
kjwtFwtvwtv
jmj
k
mj
k
m

≤≤〉〈=〉∆〈−〉〈
&&
(2.51)
Do đó, sau khi thay thế
j
w
bởi
)(
)(
tv
k
m
&&
và tích phân, ta suy ra rằng

17

.)(2)(2
)(2)()(
0
2
0
)(
00 0
2
2
)(
2
)(
∫∫

∫∫ ∫
+≤
+∆≤
t
m
t
k
m
tt t
m
k
m
k
m
dssFdssS
dssFdssvdssv
&&
(2.52)
Từ (2.15), (2.18), (2.23), (2.28), (2.32), (2.34) và (2.52) ta suy ra

.2)(2)(
2
0
00
)(
2
)(
3
KTdssSdssvI
tt

k
m
k
m
+≤=
∫∫
&&
(2.53)
Tích phân thứ tư.
Từ các giả thiết
),(),(
42
HH
ta suy từ (2.10), (2.11), (2.15) - (2.17) rằng

).()()),1((),()(),1(
///
1
/
1
2
0
//
11
2
0
tgtghtF
t
tgtghtF
mm

−=
∂
∂
−=
(2.54)
Do đó, ta suy từ (2.54) rằng
).,()(sup)(sup
)()()),1((
1
///
1
0
/
1
0
2
0
///
1
/
1
2
0
TMDtgtgh
tgtghtF
t
TtTt
m
≡+≤
+=

∂
∂
≤≤≤≤
(2.55)
Ta chú ý rằng

∫
∆+∇=∇
1
0
)()()(
),(),0(),1( dxtxvtvtv
k
m
k
m
k
m

∫
∆+=
1
0
)()(
0
),(),0( dxtxvtvh
k
m
k
m

)()(
)()(
0
tvtvh
k
m
V
k
m
∆+≤
(2.56)

.)()1()()()1(
)(
0
)()(
0
tShtvtvh
k
m
k
m
V
k
m
+≤







∆++≤

Ta suy ra từ (2.55) và (2.56) rằng

()()
()
()
∫
∇
∂
∂
=
t
k
mm
dssvsF
s
I
0
4
,1,12
()()
()
()
∫
+≤

t
k
m
dssSTMDh
0
10
,12
(2.57)

Tích phân thứ năm.
Dùng bất đẳng thức

18

,,3
3
1
2
22
IRbabaab
∈∀+≤
(2.58)
ta thu được từ (2.55) và (2.56) rằng

).(
3
1
),()1(3
)(),()1(2
),1(.)),1((2

)(2
1
2
0
)(
10
)(
0
5
tSTMDh
tSTMDh
tvdssF
s
I
k
m
k
m
k
m
t
m
++≤
+≤
∇
∂
∂
−=
∫
(2.59)

Mặt khác, một lần nữa dùng bất đẳng thức (2.58), do (2.56) số hạng cuối cùng
trong vế phải của (2.47) được đánh giá như sau

).(
3
1
~
4
3
)(
~
)(])0()0()[1(2),1()0,1(2
)(2
0
)(
0
)(//
11
2
00
)(
tSDtSD
tSgghhtvF
k
m
k
m
k
m
k

mm
+≤≡
++≤∇
(2.60)
Tổ hợp (2.47), (2.48), (2.50), (2.53), (2.57), (2.59) và (2.60), khi đó ta suy ra

2
00
)()(
~
4
9
)1(
~
)0,1(6)0(3)( DvFStS
km
k
m
k
m
+∇+≤

,)(9),(
0
)(
1
∫
++
t
k

m
dssSTMC
(3.61)
trong đó

],)0()0()[1(2
~
//
11
2
000
gghhD ++=


),()1(96),(
2
1
22
0
2
01
TMDThTKTMC
++=


.),()1(312)1(3
2
10
2
100







++++++
TMDhMKKhT
(2.62)
Bây giờ ta cần đánh giá số hạng
).1(
~
)0,1(6)0(3
)(
okm
k
m
vFS
∇+

Ta có

)
~
,
~
(3
~
3)1(
~

)0,1(6)0(3
11
2
1
)(
kkkokm
k
m
vvavvFS +=∇+


19

]
~
)
~
,
~
([3
2
000 kkk
vvva ∆++
).1(
~
)]0()0([6
0
//
11
2

0 k
vggh
∇−+
(2.63)
Nhờ vào (2.10), (2.30), (2.31) và (2.63), ta cũng suy rằng tồn tại một hằng
số
0>M
độc lập với
k
và
,m
sao cho

,
2
~
4
9
)1(
~
)0,1(6)0(3
2
2
00
)(
M
DvFS
km
k
m

≤+∇+
với mọi
k
và
.m
(2.64)
Chú ý rằng, từ giả thiết
),(
4
H
ta suy ra

.1,0,0)
~
,,(lim ==
+∞→
ifTMKT
i
T
(2.65)
Khi đó, từ (2.62) và (2.65), ta luôn luôn chọn được hằng số
0>T
sao cho

,)9exp(),(
2
2
1
2
MTTMC

M
≤








+
(2.66)
và
.18
1
<TK
(2.67)
Cuối cùng, ta suy từ (2.61), (2.64) và (2.66) rằng

.0,)(9)9exp()(
)(
0
)(2)(
TTtdssSTMtS
k
m
t
k
m
k

m
≤≤≤+−≤
∫
(2.68)
Do bổ đề Gronwall ta suy từ (2.68) rằng

.0,)9exp()9exp()(
)(22)(
TTtMtTMtS
k
m
k
m
≤≤≤≤−≤
(2.69)
i.e.,
.
)(
TT
k
m
=
Vậy ta có

),(
1
)(
TMWv
k
m

∈
, với mọi
m
và
.k
(2.70)
Từ (2.70) ta có thể lấy từ
}{
)(k
m
v
một dãy con
}{
)(
i
k
m
v
sao cho

m
k
m
vv
i
→
)(
trong
);,0(
2

HVTL ∩
∞
yếu*, (2.71)

m
k
m
vv
i
&&
→
)(
trong
);,0( VTL
∞
yếu*, (2.72)

m
k
m
vv
i
&&&&
→
)(
trong
)(
2
T
QL

yếu, (2.73)

).,(
1
TMWv
m
∈
(2.74)


20
Qua giới hạn trong (2.28), (2.29) nhờ vào (2.71)-(2.74) ta có

m
v
thỏa (2.24)-
(2.26) trong
),0(
2
TL
yếu và do đó đònh lý 2.1 được chứng minh.
2.3. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm.
Đònh lý 2.2

Giả thiết
)()(
41
HH −
là đúng. Khi đó tồn tại các hằng số
0,0 >> TM

thỏa
(2.52), (2.54)
va
ø (2.55)
sao cho bài toán
(2.12)-(2.14)
có duy nhất một nghiệm yếu
).,(
1
TMWv ∈

Mặt khác, dãy qui nạp tuyến tính
}{
m
v
được xác đònh bởi (2.24)-(2.26) hội
tụ mạnh về nghiệm
v
trong không gian


)}.;,0(:);,0({)(
2
1
LTLvVTLvTW
∞∞
∈∈=
&

Hơn nữa, ta cũng có đánh giá sai số

m
T
LTL
m
VTL
m
Ckvvvv ≤−+−
∞∞
);,0();,0(
2
&&
, với mọi
,m

(2.75)

trong đó

,18
1
<= TKk
T
(2.76)

và
C
là một hằng số chỉ phụ thuộc vào
10

,, vvT
và
.
T
k

Chứng minh
Sự tồn tại nghiệm

Đầu tiên, ta chú ý rằng
)(
1
TW
là một không gian Banach đối với chuẩn

.
);,0();,0()(
2
1
LTLVTLTW
vvv
∞∞
+=
&
(Xem [6]) (2.77)
Ta sẽ chứng minh rằng
}{
m
v
là một dãy Cauchy trong

).(
1
TW

Đặt
mmm
vvw −=
+1
. Khi đó
m
w

thỏa bài toán biến phân

,),()()),((),(
1
〉−〈=+〉〈
+
wtFtFwtwawtw
mmmm
&&
với mọi
,Vw
∈
(2.78)

.0)0()0( ==
mm
ww
&

Ta lấy
m
ww
&
=
trong (2.78), sau đó tích phân theo biến
t


21

,)(),()(2))(),(()(
0
1
2
∫
〉−〈=+
+
t
mmmmmm
dsswsFsFtwtwatw
&&
(2.79)
Mặt khác, từ (2.19) và (2.23) ta được

[]
.2)()(2)()(
)(
111111

1
TW
mmmmm
wKtwtwKtFtF
−−−+
≤+∇≤−
&
(2.80)
Ta suy từ (2.79)-(2.80) rằng

.4
)(4))(,)(()(
);,0()(
11
1
0
)(
11
2
2
1
1
LTL
m
TW
m
m
TW
mmmm
wwTK

dsswwKtwtwatw
∞
−
−
≤
≤+
∫
&
&&
(2.81)
Do đó, ta suy từ (2.81) rằng
.4
)(
11
);,0(
1
2
TW
m
LTL
m
wTKw
−
≤
∞
&
(2.82)
Kết hợp (2.81) và (2.82), ta thu được

)(

1
)(
11
TW
mT
TW
m
wkw
−
≤
với mọi
,m

(2.83) trong đó
.18
1
<=
TKk
T

Do đó










−
−≤−
+
T
m
T
TW
TW
mpm
k
k
vvvv
1
)(
01
)(
1
1
với mọi
., pm

(2.84)

Ta suy từ (2.84) rằng
}{
m
v
là một dãy Cauchy trong
).(
1

TW
Do đó tồn tại
)(
1
TWv ∈
sao cho

vv
m
→
mạnh trong
).(
1
TW
(2.85)
Ta chú ý rằng
),,(
1
TMWv
m
∈
khi đó ta có thể lấy ra từ dãy
}{
m
v
một dãy con
}{
j
m
v

sao cho

vv
j
m
→
trong
);,0(
2
HVTL ∩
∞
yếu*, (2.86)

vv
j
m
&&
→
trong
);,0( VTL
∞
yếu*, (2.87)