khôi phục một lớp hàm nguyên và áp dụng vào phương trình truyền nhiệt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH



Nguyễn Quốc Cường





KHÔI PHỤC MỘT LỚP HÀM NGUYÊN
VÀ ÁP DỤNG VÀO PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT






LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC








Thành phố Hồ Chí Minh – 2011
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Quốc Cường









Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60 46 01



LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC



NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. ĐẶNG ĐỨC TRỌNG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2011

LỜI CÁM ƠN


2TTôi xin đặc biệt bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến Thầy của tôi, PGS. TS. Đặng
Đức Trọng về tất cả những sự hướng dẫn, góp ý, chỉ dạy, giúp đỡ, động viên, khích lệ rất nhiệt tình
và tận tâm của Thầy trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành Luận văn.
2TTôi xin chân thành cám ơn đến toàn thể Quý Thầy Cô trong Tổ Toán Giải tích của Trường
Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã giảng dạy tận tình, luôn khích lệ tôi trên con đường
học tập và nghiên cứu Toán học.
2TTôi xin chân thành cám ơn Quý Thầy Cô phản biện đã đọc và góp ý để tôi hoàn chỉnh Luận
văn này.
2TTôi xin chân thành cám ơn các Thầy Cô trong Hội đồng chấm Luận văn đã đọc và cho tôi
nhiều ý kiến quý báu để tôi thấy được những thiếu sót của mình.
2TTôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và chân thành 2Ttới các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán
- Tin và Phòng Sau đại học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giúp đỡ
và tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất cho tôi trong suốt quá trình học tập
2T, nghiên cứu và hoàn thành
Luận văn.
2T
2TTôi gửi lời cám ơn chân thành tới các bạn bè, đồng nghiệp đã hỗ trợ, động viên và tạo điều
kiện cho tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành Luận văn.
2TTôi đặc biệt bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình tôi, đã luôn ở bên tôi, giúp đỡ, động
viên, tạo điều kiện thuận lợi để tôi vượt qua mọi khó khăn trong quá trình học tập và hoàn thành
Luận văn này.


2TNguyễn Quốc Cường

MỤC LỤC


PHẦN MỞ ĐẦU

0TViệc khảo sát bài toán khôi phục hàm nguyên bắt nguồn từ thực tế, trong các lĩnh vực điều
khiển học, vật lý, kinh tế, y khoa, thăm dò, nhận dạng,… đặc biệt là các bài toán không chỉnh. Đây
là lĩnh vực toán học hết sức thực tiễn, sâu rộng, được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và
đạt được nhiều thành tựu rất quan trọng. Trong quá trình giải bài toán khôi phục, các kết quả thu
được đã có nhiều ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như phương trình đạo hàm riêng, xử lý tín
hiệu, lý thuyết hệ thống, nhận dạng trong tình huống xấu nhất,…
0TTrong Luận văn này, chúng tôi trình bày bài toán khôi phục một lớp hàm nguyên từ các giá
trị của chúng trên một tập hợp các điểm nguyên. 0TCác kết quả này được áp dụng để kiểm tra hai bài
toán liên quan đến phương trình truyền nhiệt: bài toán đầu tiên là việc giải một phương trình truyền
nhiệt mà không có điều kiện đầu hoặc điều kiện cuối và bài toán thứ hai là việc xác định nguồn
nhiệt của một bài toán nhiệt ngược thời gian. Cụ thể như sau:
Cho
0
σ
>
, chúng tôi ký hiệu
2
L
σ
là không gian các hàm nguyên
( )
2

fL∈ ¡
thỏa mãn
( )
const. , .
z
fz e z
σ
= ∈£

Do định lý Paley-Wiener (xem Rudin [18, Chương 19]), mỗi hàm
2
fL
σ
∈
có thể được biểu
diễn như là biến đổi Fourier của một hàm
( )
2
,gL
σσ
∈−
, nghĩa là
( ) ( )
,.
itz
f z g t e dt z
σ
σ
−
= ∈

∫
£

Chúng tôi quan tâm đến một bài toán khôi phục một hàm trong
2
L
σ
từ các giá trị của nó trên
một tập con đã biết của
¡
, vấn đề này đã được biết khi xem xét một số phương trình đạo hàm riêng.


Trước tiên, chúng ta hãy xem xét phương trình nhiệt
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
, , , : 0,1 0, ,
0, 1, 1, 0,
t xx
xx
u u f xt xt Q T
u tutut

− = ∈= ×


= = =



(1)
trong đó
[ ]
( )
( )
( ) ( )
( )
11 2 2
0, ; 0,1 0, ; 0,1uC TL L TH∈∩

đã biết. Ở đây, chúng ta nhớ lại rằng,
[ ]
( )
( )
11
0, ; 0,1C TL
là không gian tất cả các hàm liên tục
[ ]
( )
1
: 0, 0,1fTL→

có
[ ]
( )
'1
: 0, 0,1f TL→

liên tục và
( ) ( )

( )
22
0, ; 0,1L TH

là không gian tất cả các hàm
( ) ( )
2
: 0, 0,1fTH→
thỏa mãn

( )
( )
2
2
0,1
0
T
H
ft <∞
∫
.
0TĐây là một loại bài toán gọi là “bài toán không có điều kiện đầu”.
0TNăm 1935, Tikhonov [25] đã chứng minh tính duy nhất nghiệm của phương trình truyền
nhiệt thuần nhất
0,
t
uu t−∆ = −∞< <∞
.
0TNăm 1990, Safarov [19] đã giải quyết bài toán thuần nhất này cho miền không bị chặn 0T
0x >

0T

và cho
0T
0
xl<<
0T
. Sau đó, phương trình truyền nhiệt không thuần nhất mà không có điều kiện đầu đã
được xem xét bởi nhiều tác giả như Shmulev [23], Kirilich [13] và Guseinov [12
0T]. Các tác giả này
kiểm tra bài toán trong điều kiện
t−∞ < < ∞
hoặc
tT−∞ < <
và họ đòi hỏi một số giả thiết về điều
kiện nhiệt độ tại
−∞
hoặc điều kiện tuần hoàn để bài toán giải được.
0TTrong Luận văn này, chúng tôi sẽ trình bày bài toán không thuần nhất trên một thời gian hữu
hạn
0T
0 tT<<
0T
, việc làm này là hợp lý hơn cho các ứng dụng thực tế. Việc thiếu điều kiện đầu 0T
( )
.,0u
0T

được bù đắp bằng cách thêm điều kiện biên
0T

( )
1,.u
0T
. 0TChúng tôi muốn chứng minh rằng bài toán (1)
có nhiều nhất một nghiệm và giải nó bằng số.
0TVới mỗi 0T
α
∈¡
0T
, nhân vào hai vế của phương trình đầu tiên của (1) với 0T
( ) ( )
cosvx x
α
=
0T
và sử
dụng tích phân từng phần, ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
11 1
00 0
, cos , cos , cos
t xx
u x t x dx u x t x dx f x t x dx
α αα
−=
∫∫ ∫
,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1

0
11
2
00
1
, cos , cos , sin
0
, cos , cos ,
x
x
d
u xt x dx u xt x u xt x
x
dt
u x t x dx f x t x dx
α αα α
αα α
=
− + 

=
+=
∫
∫∫

( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )

( ) ( )
( )
( )
2
., 1, cos 1, sin 0, cos0 0, sin0
., ., .
xx
d
Fu t u t u t u t u t
dt
Fu t F f t
α αα α α
αα α
− + − − 

+=

Do
( ) ( ) ( )
0, 1, 1, 0
xx
u tutut= = =
nên
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )

2
., ., .,
d
Fu t Fu t F f t
dt
αα α α
+=
.
0Ttrong đó 0T
F
0T
là viết tắt của biến đổi Fourier Cosin trong 0T
( )
2
0,1L
0T
, nghĩa là
( )( ) ( ) ( ) ( )
1
2
0
: cos , 0,1 ,F w z w x zx dx w L z= ∈∈
∫
£
.

0TTừ phương trình 0T
( )
( )
( ) ( )

( )
( ) ( )
( )
( )
2
., ., .,
d
Fu t Fu t F f t
dt
αα α α
+=
0T
, ta suy ra
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
22
., .,
tt
d
eFut eFf t
dt
αα
αα
=
,

( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
22
00
., .,
TT
tt
d
e F u t dt e F f t dt
dt
αα
αα
=
∫∫
,

( )
( )
( )
( )
( )
( )
22
0

., .,
0
T
tt
tT
eFut eFf t dt
t
αα
αα
=
=
=
∫
,

( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
22
0
., .,0 .,
T
Tt
e Fu T Fu e F f t dt
αα
αα α

−=
∫
.
Do đó
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
0
., .,0 .,
T
tT
T
Fu T e Fu e F f t dt
α
α
αα α
−
−
= +
∫
. (2)
0TKhó khăn của việc tìm 0T

( )
.,uT
0T
là bởi vì điều kiện đầu 0T
( )
.,0u
0T
không có sẵn. 0TTuy nhiên, từ (2),
chúng tôi có một quan sát rất quan trọng rằng, khi
α
→ +∞
thì
2
0
T
e
α
−
→
rất nhanh và thật là hợp
lý để sử dụng xấp xỉ
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
2

0
., .,
T
tT
F u T e F f t dt
α
αα
−
≈
∫
. (3)
Công thức (3) đưa ra một xấp xỉ tốt cho
( )
( )
( )
.,Fu T
α
, nếu
α
đủ lớn. Bây giờ, mấu chốt
của vấn đề là để khôi phục
( )
( )
( )
.,Fu T
α
cho
α
rất nhỏ. Vì vậy, chúng tôi gặp một bài toán khôi
phục một hàm trong

2
1
L
từ các giá trị của nó trên một tập hợp
(
] [
)
,,rr−∞ − ∪ ∞
, trong đó
0r >
là
một số lớn.
0TBây giờ, chúng ta hãy xem xét một bài toán truyền nhiệt khác gọi là “bài toán nguồn nhiệt
ngược thời gian”. Đây là bài toán tìm một cặp hàm 0T
( )
,uf
0T
thỏa mãn
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
, , 0,1 0, ,
0, 1, 1, 0,
,,
t xx
xx
u u t f x xt Q T
u tutut
u xT g x
ϕ

− = ∈= ×

= = =


=

0T
(4)
0Ttrong đó 0T
( )
1
0,LT
ϕ
∈
0T
và 0T
( )
2
0,1gL∈
0T
được cho trước.
0TBài toán nguồn nhiệt ngược thời gian này là “bài toán không chỉnh”,0T nghĩa là nghiệm có thể
không tồn tại và thậm chí nếu nó tồn tại thì nó có thể không phụ thuộc vào cách liên tục trên dữ
liệu.
0TVì vậy, một cách xử lý số thông thường là không thể và một sự chỉnh hóa là cần thiết.

0TBài toán tìm nguồn nhiệt dưới dạng 0T
( ) ( )
tfx

ϕ
0T
, trong đó một trong hai hàm 0T
ϕ
và
f
0Tkhông
được biết, đã được kiểm tra trong một thời gian dài. Tính duy nhất
0T và sự ổn định được xem xét bởi
nhiều tác giả như Cannon-Esteva [5, 6], Yamamoto [31, 32], Yamamoto-Zou [33], Saitoh-Tuan-
Yamamoto [20, 21] và Choulli-Yamamoto [7].
0T Tuy nhiên, sự chỉnh hóa bài toán đối với trường hợp
không ổn định vẫn còn khó khăn. Sự chỉnh hóa b
0Tài toán cho trường hợp
1f
≡
đã được kiểm tra bởi
Wang-Zheng [29] và Shidfar-Zakeri-Neisi [22], trong khi trường hợp
1
ϕ
≡
được xem xét bởi
Cannon [4], Wang-Zheng [30] và Farcas-Lesnic [11]. Gần đây, Trong-Long-Đinh [27] và Trong-
Quan-Đinh [28] đã xem xét sự chỉnh hóa bài toán trong đó
ϕ
được cho trước và
f
là không được
biết. Tuy nhiên, trong hai bài báo này, cả hai điều kiện đầu
( )

.,0u
và điều kiện cuối
( )
.,uT
là bắt
buộc. Yêu cầu này là ngặt và không tự nhiên. Trong Luận văn này, chúng tôi trình bày bài toán
tương tự như trong [27], nhưng yêu cầu của nhiệt độ ban đầu được loại bỏ hoàn toàn.
Lưu ý rằng, nếu
f
đã được biết thì chúng ta có được một bài toán truyền nhiệt ngược thông
thường. Vì vậy, chúng tôi sẽ chỉ tập trung vào việc tìm
f
.
0TVới mỗi 0T
α
∈¡
0T
, nhân vào hai vế của phương trình đầu tiên của (4) với 0T
( ) ( )
cosvx x
α
=
0T
và sử
dụng tích phân từng phần, ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
11 1
00 0
, cos , cos cos
t xx

u x t x dx u x t x dx t f x x dx
α αϕ α
−=
∫∫ ∫
,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
0
11
2
00
1
, cos , cos , sin
0
, cos cos ,
x
x
d
u xt x dx u xt x u xt x
x
dt
u x t x dx t f x x dx
α αα α
α αϕ α
=
− + 

=
+=

∫
∫∫

( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2
., 1, cos 1, sin 0, cos0 0, sin0
., ., .
xx
d
Fu t u t u t u t u t
dt
Fu t F f t
α αα α α
αα α
− + − − 

+=

Do
( ) ( ) ( )
0, 1, 1, 0
xx
u tutut= = =

nên
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )( )
2
., ., .
d
Fu t Fu t tF f
dt
αα αϕ α
+=

0TTừ phương trình0T trên0T, ta suy ra
( )
( )
( )
( )
( ) ( )( )
22
., ,
tt
d
e Fu t e tF f
dt
αα
αϕ α
=

( )
( )
( )
( )
( ) ( )( )
22
00
.,
TT
tt
d
e F u t dt e t F f dt
dt
αα
α ϕα
=
∫∫
,


( )
( )
( )
( )( ) ( )
22
0
.,
0
T

tt
tT
e F u t F f e t dt
t
αα
α αϕ
=
=
=
∫
,
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )( ) ( )
22
0
., .,0
T
Tt
e Fu T Fu F f e tdt
αα
α α αϕ
−=
∫
.
Do
( ) ( )
,u xT g x=

nên
( )( ) ( )
( )
( ) ( )( )
( )
( )
2
2
0
.,0
T
tT
T
F g e F u F f e t dt
α
α
α α αϕ
−
−
−=
∫
.
Vì vậy
( )( ) ( )
( )
( ) ( )( ) ( )( )
2
.,0 ,
T
Fg e Fu D F f

α
α α ϕα α α
−
−= ∈¡
, (5)
trong đó

( )( )
( )
( )
2
0
T
tT
D e t dt
α
ϕα ϕ
−
=
∫
.
Nếu
( )( )
2
0
T
eD
α
ϕα
−

→
“đủ nhanh” khi
α
→ +∞
thì chúng ta có xấp xỉ
( )( )
( )( )
( )( )
( )
( )
( )
( )( )
( )( )
( )( )
2
.,0
T
Fu
Fg Fg
Ff e
D DD
α
α
αα
α
ϕα ϕα ϕα
−
=−≈
. (6)
Vì vậy, chúng tôi gặp lại bài toán khôi phục một hàm trong

2
1
L
, nghĩa là
( )
Ff
, từ giá trị của
nó trên một tập hợp
(
] [
)
,,rr−∞ − ∪ ∞
, trong đó
0r >
là một số lớn.
0TTóm lại, hai bài toán truyền nhiệt gợi ra cho chúng ta một “bài toán công cụ” của việc khôi
phục những hàm trong 0T
2
L
σ
0T
. Phần còn lại của Luận văn này được trình bày thành 4 Chương. Trong
Chương 1, chúng tôi giới thiệu và trình bày một số kiến thức cơ bản, các ký hiệu, các không gian
hàm được sử dụng trong Luận văn. Trong Chương 2, chúng tôi giới thiệu và trình bày sơ lược về
hàm giải tích, hàm nguyên và các tính chất quan trọng của chúng được sử dụng trong Luận văn.
Trong Chương 3, chúng tôi trình bày một số kết quả về “bài toán công cụ” của việc khôi phục
những hàm trong 0T
2
L
σ

0T
. Trong Chương 4, chúng tôi trở lại những bài toán truyền nhiệt và áp dụng các
kết quả trong Chương 3 để giải quyết chúng. Một thực nghiệm bằng số cũng được trình bày trong
Chương 4 để làm sáng tỏ hiệu quả phương pháp.






Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Không gian định chuẩn và không gian Banach
Định nghĩa 1.1.1. (xem [15, tr. 3-4]) Cho
K
là trường số thực
¡
hoặc trường số phức
£
.
Tập hợp
X
khác rỗng cùng với hai ánh xạ (gọi là phép cộng và phép nhân vô hướng)
( )
:
,
XX X
xy x y
+ ×→
+a

( )
.:
,
KX X
xx
λλ
×→
a

được gọi là một không gian tuyến tính (hoặc không gian vectơ) trên
K
nếu các tính chất sau thỏa
mãn:
(a)
X
cùng với phép cộng là một nhóm Abel, tức là:
(i)
xyyx+=+
với mọi
,xy X∈
,
(ii)
( ) ( )
xy zx yz++=++
với mọi
,,xyz X∈
,
(iii) Tồn tại một phần tử 0 của
X

sao cho
00xx x+=+=
với mọi
xX∈
,
(iv) Với mỗi phần tử x của
X
, tồn tại một phần tử
x−
của
X
sao cho
( )
0xx+− =
.
(b)
( )
xy y x
λ λλ
+= +
với mọi
K
λ
∈
, và với mọi
,xy X∈
,
(c)
( )
xxx

λµ λ µ
+=+
với mọi
, K
λµ
∈
, và với mọi
xX∈
,
(d)
( ) ( )
xx
λµ λ µ
=
với mọi
, K
λµ
∈
, và với mọi
xX∈
,
(e)
1xx=
với mọi
xX∈
.
Nếu
K = ¡
thì
X

được gọi là một không gian tuyến tính thực.
Nếu
K = £
thì
X
được gọi là một không gian tuyến tính phức.
Định nghĩa 1.1.2. (xem [16, tr. 8]) Cho
( )
,,X +⋅
là một không gian vectơ trên
¡
. Một ánh xạ
: X
xx
⋅→¡
a

được gọi là một chuẩn trên
X
nếu các tính chất sau thỏa với mọi
,,xy X
α
∈∈¡
,
(i)
0x ≥
và
00xx=⇔=
,
(ii)

xx
αα
=
,
(iii)
xy x y+≤ +
.

Không gian vectơ
( )
,,X +⋅
với chuẩn
⋅
được gọi là không gian định chuẩn
( )
, ,,X +⋅ ⋅
,
hay vắn tắt là
( )
,X ⋅
, hay vắn tắt hơn là
X
, khi các phép toán, hàm chuẩn được ngầm hiểu và
không thể nhầm lẫn.
Định nghĩa 1.1.3. (xem [16, tr. 10]) Cho
( )
,X ⋅
là một không gian định chuẩn và
f
là một

ánh xạ từ tập hợp các số nguyên dương
¥
vào
X
. Đặt
( )
n
x fn=
với mọi
n
trong
¥
. Ta gọi
{ }
n
x

là một dãy trong
X
.
Cho
{ }
n
x
là một dãy các phần tử của một không gian định chuẩn
( )
,X ⋅
. Ta nói
(i)
{ }

n
x
là dãy hội tụ (trong
X
) nếu tồn tại
xX∈
sao cho
lim 0
n
n
xx
→∞
−=
, nghĩa là ứng với
mỗi
0
ε
>
, tồn tại
0
n ∈ ¥
sao cho
n
xx
ε
−<
, với mọi
0
nn≥
. Khi đó, phần tử

x
, nếu có, thì duy
nhất và được gọi là giới hạn của dãy
{ }
n
x
, ký hiệu
lim
n
n
xx
→∞
=
. Ta cũng nói
n
xx→
khi
n →∞
.
(ii)
{ }
n
x
là dãy Cauchy (trong
X
) nếu ứng với mỗi
0
ε
>
, tồn tại

0
n ∈ ¥
sao cho
mn
xx
ε
−<
, với mọi
0
,mn n≥
.
(iii)
{ }
n
x
là dãy bị chặn (trong
X
) nếu ảnh của nó,
{ }
n
xn∈¥

là một tập con bị chặn của
X
.
Chú ý rằng, mọi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy và mọi dãy Cauchy đều bị chặn. Chiều ngược
lại không đúng cho trường hợp tổng quát.
Định nghĩa 1.1.4. (xem [9, tr. 10]) Cho
( )
,X ⋅

là một không gian định chuẩn và
f
là một
ánh xạ từ tập hợp các số nguyên dương
¥
vào
X
và
g
là một ánh xạ đồng biến nghiêm cách từ
¥

vào
¥
. Đặt
( )
n
x fn=
và
( )
k
y f gk= o
với mọi
n
và
k
trong
¥
. Ta gọi
{ }

k
y
là một dãy con của
dãy
{ }
n
x
và được ký hiệu là
{ }
k
n
x
.
Định nghĩa 1.1.5. (xem [16, tr. 10-11]) Cho không gian định chuẩn
( )
,X ⋅
. Ta nói
(i)
( )
,X ⋅
là đầy đủ khi mọi dãy Cauchy trong
X
đều hội tụ.
(ii)
( )
,X ⋅
là compact khi mọi dãy trong
X
đều có một dãy con hội tụ (trong
X

).

Định nghĩa 1.1.6. (xem [16, tr. 52-53]) Với hai không gian định chuẩn
( )
1
1
, ,,X +⋅ ⋅
;
( )
2
2
, ,,X +⋅ ⋅
, xét
12
XXX= ×
. Ta có
X
trở thành một không gian vectơ với các phép toán trên
X

sinh bởi các phép toán trên
1
X
và
2
X
,
( ) ( ) ( )
12 12 1 12 2
,, ,xx yy x yx y+ =++

,

( ) ( )
12 1 2
,,xx x x
α αα
=
,
với mọi
11 1 2 2 2
, ;,xy X xy X∈∈
và
α
∈¡
. Hơn nữa, hàm
: XX⋅→
xác định bởi
22
12
12
xxx= +
, với
( )
12
,x xx X= ∈
, trở thành một chuẩn trên
X
. Không gian định chuẩn
X

nhận được gọi là không gian định chuẩn tích của các không gian định chuẩn
1
X
và
2
X
.
Tương tự với
n
không gian định chuẩn
( )
, ,,
i
i
X +⋅ ⋅
,
1,2, ,in=
, tập
12

n
XXX X= × ××

với các phép toán cũng như hàm chuẩn sau
( ) ( ) ( )
12 12 1 12 2
, , , , , , , , ,
n n nn
xx x yy y x yx y x y+ =++ +
,

( ) ( )
12 1 2
, , , , , ,
nn
xx x x x x
α αα α
=
,
( )
2
22
12 1 2
12
, , ,
nn
n
xx x x x x= + ++
,
được gọi là không gian định chuẩn tích của các không gian định chuẩn
( )
, ,,
i
i
X +⋅ ⋅
,
1,2, ,in=
.
Định nghĩa 1.1.7. (xem [9, tr. 10]) Ta nói một không gian định chuẩn
( )
,X ⋅

là một không
gian Banach nếu và chỉ nếu mọi dãy Cauchy của nó đều hội tụ.
1.2. Không gian Hilbert
(xem [16, tr. 155-156)
Định nghĩa 1.2.1. Cho
H
là một không gian vectơ trên
¡
. Một ánh xạ
( )
.,. :
,,
HH
xy xy
×→¡
a

được gọi là một tích vô hướng trên
H
nếu các tính chất sau thỏa,
(i)
', , ',x xy xy xy
αβ α β
+= +
, với mọi
, ; , ',xx y H
αβ
∈∈¡
,
(ii)

, ' , ,'x y y xy xy
αβ α β
+= +
, với mọi
, ;,,'xyy H
αβ
∈∈¡
,
(iii)
,,xy yx=
, với mọi
,xy H∈
, và
(iv)
,0xx ≥
, với mọi
xH∈
và
,0 0xx x=⇔=
.

Như vậy, một tích vô hướng trên
H
là một phiếm hàm song tuyến tính, đối xứng, xác định
dương.
Từ tích vô hướng nêu trên, với
xH∈
, đặt
,x xx=
.

Từ định nghĩa, với
,xy H∈
, ta có
22
2
0 , 2,x ty x ty x t x y t y≤+ + = + +

đúng với mọi
t ∈¡
, ta suy ra

Bất đẳng thức Schwarz. Với mọi
,xy H∈
,
,xy xy≤
.
Từ đó suy ra
( )
2 22
2
22
, 2,
2
xy xyxy x xy y
x xy y x y
+ =+ += + +
≤+ +=+

nên ta được
Bất đẳng thức tam giác. Với mọi

,xy H∈
,
xy x y+≤+
.
Hơn nữa, do
( )
22
22
1
,,
2 2 22 22 2
xy xy xyxy xyxy
xy
+ − ++ −−
+= + =+
,
ta được
Bất đẳng thức hình bình hành. Với mọi
,xy H∈
,
( )
22
22
1
2 22
xy xy
xy
+−
+=+
.

Đặc biệt,
⋅
là một chuẩn trên
H
và do đó
H
trở thành một không gian định chuẩn.
Định nghĩa 1.2.2. Khi không gian định chuẩn
( )
,H ⋅
đầy đủ, ta nói
( )
,H ⋅
là không gian
Hilbert.
1.3.
Không gian
p
L

(xem [1, tr. 1-5]; xem [3, Chương 4]; xem [18, Chương 3])

1.3.1. Các định lý quan trọng của lý thuyết tích phân
Định lý 1.3.1.1. (Định lý hội tụ đơn điệu của Beppo Levi) Cho
{ }
n
f
là dãy tăng các hàm
khả tích (Lesbesgue) trên tập
N

Ω⊂¡
sao cho
sup
n
n
f <∞
∫
. Khi đó,
n
f
hội tụ h.k.n trên
Ω
về một
hàm
f
khả tích trên
Ω
và
( ) ( )
1
0
nn
f f f x f x dx
Ω
−≡ − →
∫
khi
n →∞
.
Định lý 1.3.1.2. (Định lý hội tụ bị chặn của Lesbesgue) Cho

{ }
n
f
là một dãy các hàm
(thực hoặc phức) khả tích trên
Ω
. Giả sử
(i)
( ) ( )
n
f x fx→
h.k.n trên
Ω
.
(ii) Tồn tại hàm
g
khả tích sao cho với mỗi
n
,
( )
( )
n
f x gx→
h.k.n trên
Ω
.
Khi đó
f
khả tích và
( ) ( )

1
0
nn
f f f x f x dx
Ω
−≡ − →
∫
khi
n →∞
.
Hệ quả 1.3.1.3. Cho
f
là hàm đo được và g là hàm khả tích trên
Ω
. Ta có, nếu
( )
( )
n
f x gx→
h.k.n. trên
Ω
thì
f
khả tích trên
Ω
. Suy ra rằng, nếu
f
khả tích thì
f
khả tích

(đương nhiên chiều ngược lại cũng đúng).
Bổ đề 1.3.1.4. (Bổ đề Fatou) Giả sử
{ }
n
f
là một dãy các hàm khả tích sao cho
(i)
0
n
f ≥
h.k.n trên
, nΩ∀
.
(ii)
sup
n
f <∞
.
Với mỗi
x∈Ω
, ta đặt
( ) ( )
liminf
n
fx f x=
. Khi đó,
f
khả tích trên
Ω
và

liminf
n
n
ff
→∞
≤
∫∫
.
Giả sử
12
12
,Ω⊂ Ω⊂¡¡
là hai tập mở và
12
:F Ω ×Ω →¡
(hoặc
£
) là hàm đo được.
Định lý 1.3.1.5. (Tonelli) Giả sử
( )
2
,F x y dy
Ω
<∞
∫
h.k.n. trên
1
Ω

và

( )
12
,dx F x y dy
ΩΩ
<∞
∫∫

Khi đó,
F
khả tích trên
12
Ω ×Ω
.


Định lý 1.3.1.6. (Fubini) Cho
F
khả tích trên
12
Ω ×Ω
. Khi đó, với hầu hết
x
thuộc
1
Ω

( ) ( )
,. ,Fx y Fxy≡ a
khả tích trên
2

Ω

và
( )
2
,x F x y dy
Ω
∫
a
khả tích trên
1
Ω

Kết luận tương tự khi đổi vai trò
x
cho
y
,
1
Ω
cho
2
Ω
.
Hơn nữa, ta có
( ) ( ) ( )
1 2 2 1 12
, ,,dx F x y dy dy F x y dx F x y dxdy
Ω Ω Ω Ω Ω ×Ω
= =

∫∫ ∫∫ ∫

1.3.2. Không gian
,1
p
Lp≤ ≤∞

Định nghĩa 1.3.2.1. Cho
p∈¡
với
1 p≤ <∞
, ta định nghĩa

( ) {
:
p
LfΩ = Ω→¡
(hoặc
£
);
f
đo được và
p
f
khả tích
}
,
( ) {
:Lf
∞

Ω = Ω→¡
(hoặc
£
);
f
đo được và
( )
,Cfx C∃≤
h.k.n
}
,
và ký hiệu
( )
1
p
p
p
f f x dx
Ω

=


∫

( )
{ }
inf C; h.k.nf fx C
∞
= ≤

.
Nhận xét 1.3.2.2. Nếu
( )
p
fL∈Ω
thì
( )
h.k.nfx f x
∞
≤ ∈Ω
.
Thật vậy, có dãy
{ }
n
C
hội tụ về
f
∞
sao cho
( )
,
n
nfx C∀≤
h.k.n. trên
Ω
. Vì vậy, với mỗi
n
,
( )
,\

nn
fx C x E≤ ∀ ∈Ω
, trong đó
n
E
là tập không đáng kể (có độ đo 0). Đặt
n
n
EE= U
thì
E
là
tập không đáng kể và với mỗi
n
,
( )
,\
n
fx C x E≤ ∀ ∈Ω
, suy ra
( )
,\fx C x E≤ ∀ ∈Ω
.
Ta ký hiệu
'p
là số liên hợp của
,1pp≤ ≤∞
, nghĩa là
11
1

'pp
+=
.
Định lý 1.3.2.3. (Bất đẳng thức Holder) Cho
p
fL∈
và
'p
gL∈
với
1 p≤ ≤∞
. Khi đó
1
.fg L∈
và
'

pp
fg f f≤
∫

Dựa vào bất đẳng thức Holder, người ta chứng minh được:

Định lý 1.3.2.4.
p
L
là một không gian vector và
p
⋅
là một chuẩn với

1 p≤ ≤∞
.
Định lý 1.3.2.5. (Fischer-Riesz)
(i)
p
L
là không gian Banach với
1 p≤ ≤∞
.
(ii) Giả sử
{ }
n
f
là một dãy hội tụ về
f
trong không gian
p
L
(
1 p≤ ≤∞
), nghĩa là,
0
n
p
ff−→
. Thế thì có dãy con
{ }
1,2,
k
n

k
f
=
sao cho
( ) ( )
( )
( )
h.k.n
, h.k.n
k
k
n
n
f x fx
k f x hx
→
∀≤

với
h
là một hàm trong
p
L
.
Với
Ω
là tập mở trong
¡
, ta ký hiệu
( )

k
C Ω
là không gian các hàm số khả vi liên tục đến
cấp
k
và
( ) ( )
1
k
k
CC
∞
∞
=
Ω= ΩI
. Còn
( )
c
C Ω
là không gian các hàm số
f
liên tục trên
Ω
sao cho giá
(support) của
f
, tức là tập hợp
( )
{ }
supp : 0f x fx= ∈Ω ≠

là compact chứa trong
Ω
, ký hiệu gạch ngang ở trên là bao đóng của tập hợp. Đặt
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
kk
cc
cc
CCC
CCC
∞∞
Ω= Ω∩ Ω
Ω= Ω∩ Ω


( )
loc
L Ω
là tập các hàm đo được trên
Ω
, khả tích trên mỗi tập compact
K ⊂Ω
.
Ta có kết quả sau đây về tính trù mật:
Định lý 1.3.2.6. Với
1 p≤ <∞
(lưu ý rằng
p ≠∞
), thì

( )
c
C
∞
Ω
trù mật trong
( )
p
L Ω
.
Định lý 1.3.2.7. (Riemann-Lesbesgue) Cho
( )
1
;f L ab∈
, với
( )
;ab
là khoảng hữu hạn
hoặc vô hạn của
¡
, thì ta có
( ) ( )
lim cos 0, lim sin 0
bb
NN
aa
f x Nxdx f x Nxdx
→∞ →∞
= =
∫∫

khi
N →∞
.
1.3.3. Tích chập
Định nghĩa 1.3.3.1. Cho hai hàm số
f
và
g
xác định trên
N
¡
thì hàm số
fg∗
định bởi
(
) ( ) ( )
,
N
f g x f x y g y dy∗= −
∫
¡

với giả thiết là tích phân ở trên tồn tại, được gọi là tích chập của
f
và
g
.

Định lý 1.3.3.2. Giả sử

( )
1 N
fL∈ ¡
và
( )
pN
gL∈ ¡
với
1 p≤ ≤∞
. Khi đó, với mỗi
N
x∈¡
,
hàm số
( ) ( )
y f x ygy−a
khả tích trên
N
¡
và
( )
pN
fgL∗∈ ¡
. Hơn nữa,
1pp
fg f g∗≤
.
1.4. Không gian Sobolev
(xem [3, Chương 8])
1.4.1. Không gian Sobolev

1, p
W
và các tính chất cơ bản
Cho
N
Ω⊂¡
là một tập mở và
1 p≤ ≤∞
.
Định nghĩa 1.4.1.1. Hàm
( )
loc
gL∈Ω
được gọi là đạo hàm riêng suy rộng theo biến
i
x
của
hàm
( )
loc
fL∈Ω
, ký hiệu
i
f
g
x
∂
=
∂
hay

i
g Df=
, nếu
( )
,
c
i
f dx g dx C
x
ϕ
ϕϕ
∞
ΩΩ
∂
=− ∀∈ Ω
∂
∫∫
.
Nếu
f
có
, 1,
i
Df i N=
, ta ký hiệu
( )
12
, , ,
N
fDfDfDf∇=

.
Định nghĩa 1.4.1.2. Với
1 p≤ ≤∞
, ta ký hiệu
( )
1, p
W Ω
là tập hợp các hàm
( )
p
fL∈Ω
có
mọi đạo hàm riêng suy rộng
( )
, 1,
p
i
Df L i N∈Ω=
.
Trong
( )
1, p
W Ω
ta xét chuẩn
1,
1
pp
p
N
i

wL
L
i
f f Df
=
= +
∑

hoặc chuẩn tương đương
1,
1
1
pp
p
N
p
p
p
i
wL
L
i
f f Df
=

= +


∑

khi
1 p≤ <∞
.
Định nghĩa 1.4.1.3. Không gian
( )
1,2
W Ω
được ký hiệu là
( )
1
H Ω
và được trang bị tích vô
hướng
1
,
N
ii
i
f g fgdx D f D g dx
=
ΩΩ

= +


∑
∫∫

và chuẩn tương ứng
1

1
2
2
2
1
N
i
H
i
f f dx D f dx
=
ΩΩ


= +




∑
∫∫
.

Định nghĩa 1.4.1.4.
( )
1,
0
p
W Ω
là bao đóng của

( )
1
c
C Ω
trong
( )
1, p
W Ω
.
Ta ký hiệu
( ) ( )
1 1,2
00
HWΩ= Ω
.
Định lý 1.4.1.5. Không gian
1, p
W
là không gian Banach với
1 p≤ ≤∞
, khả li với
1 p≤ <∞
,
phản xạ với
1 p< <∞
.
Định lý 1.4.1.6. (Đạo hàm của một tích)
Cho
( ) ( )
1,

, ,1
p
fg W L p
∞
∈ Ω ∩ Ω ≤ ≤∞
. Khi đó
( ) ( )
1, p
fg W L
∞
∈ Ω∩ Ω
và
( )
( ) ( )
ii i
D fg D f g f D g= +
.
Định lý 1.4.1.7. (Đạo hàm của hàm hợp) Cho
( )
1
GC∈ ¡
thỏa
( )
00G =
,
( )
'
,Gt M t≤ ∀∈¡
và
( )

1,
,1
p
fW p∈ Ω ≤ <∞
.
Khi đó
( )
1, p
Gf W∈Ωo
và
( ) ( )
'
ii
D G f G f Df=o
.
1.4.2. Không gian Sobolev
,mp
W

Định nghĩa 1.4.2.1. Cho một số nguyên
2m ≥
và một số thực
1 p≤ ≤∞
, ta định nghĩa bằng
quy nạp
( ) ( )
( )
, 1, 1,
, , 1,
mp mp mp

i
f
W fW W i N
x
−−

∂
Ω=∈Ω∈Ω∀=

∂


hay ta cũng có thể định nghĩa một cách tương đương
( ) ( )
( )
{
,
,,
mp p p
W fL mg L
α
αα
Ω=∈Ω∀ ≤∃∈Ω
sao cho
( ) ( )
1,
c
fD g C
α
α

α
ϕ ϕϕ
∞
ΩΩ

=− ∀∈ Ω


∫∫

Ta ký hiệu
Df g
α
α
=
và
( ) ( )
,2mm
HWΩ= Ω
.
Chú ý 1.4.2.2. Một đa chỉ số
α
là một bộ
( )
12
, , ,
N
α αα α
=
với

0
i
α
≥
nguyên, ta đặt
1
N
i
i
αα
=
=
∑
và
12
12

12

N
N
N
D
xx x
αα α
α
α
αα
ϕϕ
+ ++

∂
=
∂∂ ∂
.
Định lý 1.4.2.3. Không gian
,mp
W
được trang bị bởi chuẩn
,
0
mp p
p
wL
L
m
f f Df
α
α
≤≤
= +
∑

là một không gian Banach.
Định lý 1.4.2.4. Không gian
( )
m
H Ω
được trang bị bởi tích vô hướng

2

2
0
,, ,
m
HL
L
m
fg fg DfDg
αα
α
≤≤
= +
∑

là một không gian Hilbert.
Ta chứng minh được rằng chuẩn của
( )
,mp
W Ω
là tương đương với chuẩn
p
p
L
L
m
f Df
α
α
=
+

∑
.

1.5. Biến đổi Fourier
(xem [1, tr. 56-68]; xem [8, Chương 6]; xem [10, Chương 4]; xem [18, Chương 9)
1.5.1. Biến đổi Fourier trong
( )
1
L ¡

Định nghĩa 1.5.1.1. Cho
( )
1
fL∈ ¡
, hàm
F
định bởi
( ) ( ) ( )
ixt
F f F x e f t dt
+∞
−∞
= =
∫

được gọi là biến đổi Fourier của
f
.
Định lý 1.5.1.2. Cho
( )

1
, ,,fg L
λµ
∈∈¡£
. Khi đó, ta có:
(i)
( ) ( ) ( )
F f g Ff Fg
λµ λ µ
+= +
,
(ii)
( ) ( ) ( )
Ff g FfFg∗=
,
(iii)
( )
1
sup
L
x
Fx f
∈
≤
¡
,
(iv)
( ) ( )
0Fx Fy−→
khi

0xy−→
,
(v)
( )
0Fx→
khi
x →∞
.
Định lý 1.5.1.3. Với
0r >
, đặt
( ) ( )
r
f t f rt=
. Ta có
( ) ( )
1
rr
x
Ff Fx F
rr

= =



Định lý 1.5.1.4. Với
a∈ ¡
, đặt
( ) ( )

a
f t ft a= +
. Ta có
( )
( ) ( )
iax
aa
Ff F x e Fx
−
= =

Định lý 1.5.1.5. Cho
( )
1
fL∈ ¡
thỏa
[ ]
supp ;f aa⊂−
. Ta có
F
là hàm giải tích trên
£
.
Định lý 1.5.1.6. Cho dãy
{ }
1,2,
n
n
f
=

hội tụ trong
( )
1
L ¡
. Khi đó, dãy
{ }
1,2,
n
n
F
=
hội tụ đều trên
¡
.

Định lý 1.5.1.7. Cho
( )
1
fL∈ ¡
thỏa tính chất
( )
'1
fL∈ ¡
và
f
liên tục tuyệt đối trên mọi
khoảng hữu hạn. Khi đó
( ) ( )
'F x ixF x= −
.

Định lý 1.5.1.8. Nếu
f
có đạo hàm bậc càng cao trong
( )
1
L ¡
thì
F
hội tụ về 0 càng nhanh
khi
x →∞
, nghĩa là,
( )
( )
( )
n
n
Fx
Fx
x
=
.
Định lý 1.5.1.9. Cho
( )
1
fL∈ ¡
. Nếu
''f
tồn tại và
( )

1
''fL∈ ¡
thì
( )
1
FL∈ ¡
.
Định lý 1.5.1.10. Cho
( )
1
fL∈ ¡
bị chặn, liên tục và
( )
1
FL∈ ¡
. Khi đó ta có
( ) ( )
1
2
itx
f t e F x dx
π
+∞
−
−∞
=
∫
.
1.5.2. Biến đổi Fourier trong
( )

2
L ¡

Định lý 1.5.2.1. (Plancherel) Với mọi
( )
2
fL∈ ¡
,
0N >
, ta đặt
{ }( ) ( )
N
ixt
N
N
F f x e f t dt
−
=
∫

Khi đó
(i)
{ }
N
Ff
hội tụ trong
( )
2
L ¡
đến một hàm

{ }
Ff
khi
N →∞
. Hơn nữa
{ }
2
2
2
2
2
L
L
Ff f
π
=

(ii) Nếu
( ) ( )
12
fL L∈∩¡¡
thì
{ } ( )
Ff Ff=
h.h trên
¡
.
(iii) Đặt
( ) { }( )
N

itx
N
N
t e F f x dx
φ
−
−
=
∫

thì
N
φ
hội tụ trong
( )
2
L ¡
đến
f
khi
N →∞
.
(iv) Toán tử
F
là một đẳng cấu từ
( )
2
L ¡
vào
( )

2
L ¡
.


Hệ quả 1.5.2.2. Nếu
( )
2
fL∈ ¡
và
( )
1
FL∈ ¡
thì
( ) ( )
1
2
itx
f t e F x dx
π
+∞
−
−∞
=
∫
với h .h .x.

Định lý 1.5.2.3. (Đẳng thức Parseval) Cho
( )
2

fL∈ ¡
. Ta có
22
2
LL
Ff
π
=
.
1.6. Đa thức Lagrange (xem [2])
Ký hiệu
K
là tập các số thực
¡
hoặc tập các số phức
£
và
( )
n
P ¡
hoặc
( )
n
P £
là tập tất cả
các đa thức bậc nhỏ hơn hoặc bằng
1n −
. Cho
n
điểm phân biệt

i
tK∈
và
n
giá trị
,1
i
K in
α
∈ ≤≤
.
Ta tìm một đa thức thỏa
( )
,1
ni i
Pt i n
α
= ≤≤

Để làm điều đó, ta giới thiệu các đa thức
i
l

( )
( )
1
1
, , ; , , 1,2, ,
n
j

ii n
j
ij
ji
tt
lt lt tt t Ki n
tt
=
≠
−
= = ∈=
−
∏
.
Rõ ràng
( )
, 1,2, ,
in
l PK i n∈=
và
( )
1
ij
lt =
nếu
ji=
,
( )
0
ij

lt =
nếu
ji≠
.
Các đa thức
, 1,2, ,
i
li n=
được gọi là các đa thức Lagrange cơ bản. Chúng có thể được viết
dưới dạng khác.
Ta giới thiệu đa thức
( )
( )
( )
1
1
, , ;
n
nj
j
wt wt t t t t
=
= = −
∏

Khi đó
( )
( )
1
n

j
j
i
ji
wt
tt
tt
=
≠
−=
−
∏
,
( )
( )
( )
1
lim '
i
n
ij i
tt
j
i
ji
wt
t t wt
tt
→
=

≠
−= =
−
∏
.
Điều đó cho phép ta viết
( )
( )
( )( )
'
i
ii
wt
lt
wt t t
=
−

Dễ thấy rằng, đa thức
( ) ( )
1
n
n ii
i
pt lt
α
=
=
∑

là đa thức duy nhất trong
( )
n
PK
thỏa
( )
,1
ni i
Pt i n
α
= ≤≤
. Dạng
( )
n
pt
của đa thức nội suy được
gọi là dạng Lagrange.
Bây giờ, nếu
:fK K→
là một hàm bất kỳ và
, 1,2, ,
i
t Ki n∈=
là các điểm nút phân biệt
thì
( ) ( )
( )
( )
1

, ,
1
;; ,
n
n
n tt ii
i
L ft L ft ft lt t K
=
= = ∈
∑

là đa thức duy nhất trong
( )
n
PK
mà nó đồng nhất với
f
tại các điểm nút
, 1,2, ,
i
ti n=
.
Hiển nhiên, nếu
( )
n
p PK∈
thì
( ) ( )
;

n
L pt pt≡

vì
p
được xác định duy nhất bởi các giá trị
( )
, 1,2, ,
i
pt i n=
của nó.
Do đó, toán tử tuyến tính
( )
:
nn
L K PK→
là lũy đẳng, nghĩa là
2
nn
LL=
. Vì vậy, nó là một
phép chiếu, ta gọi là phép chiếu nội suy Lagrange.
1.7. Bài toán chỉnh và bài toán không chỉnh (xem [26])
0T Xét phương trình
Ax y=

với
A
là một toán tử liên tục (không nhất thiết tuyến tính) từ một không gian Banach
X

vào một
không gian Banach
Y
và
xX∈
được tìm từ
y
đã cho.
Ta nói phương trình
Ax y=
biểu diễn một bài toán chỉnh theo nghĩa Hadamard nếu toán tử
A
có một toán tử ngược liên tục từ
Y
vào
X
, với
X
và
Y
là các không gian Banach. Nói cách
khác, chúng ta đòi hỏi rằng:
(i) Với bất kỳ
yY∈
có nhiều nhất một
xX∈
thỏa
Ax y=
(tính duy nhất nghiệm);
(ii) Với bất kỳ

yY∈
tồn tại một nghiệm
xX∈
thỏa
Ax y=
(sự tồn tại nghiệm);
(iii)
11
12
0
X
Ay Ay
−−
−→
khi
12
0
Y
yy−→
(tính ổn định nghiệm).
Nếu một trong ba điều kiện (i), (ii), (iii) không thỏa thì phương trình
Ax y=
biểu diễn một
bài toán không chỉnh theo nghĩa Hadamard.
1.8. Sự chỉnh hóa (xem [26])
0T Ý tưởng cơ bản trong việc giải bài toán 0T
Ax y=
0Tlà dùng sự chỉnh hóa, nghĩa là thay phương
trình này bởi một phương trình “gần” với nó bao gồm cả một tham số nhỏ
0T

α
0Tđể ta có thể giải

phương trình đã thay đổi một cách ổn định và nghiệm của nó là gần với nghiệm của phương trình
ban đầu khi
0T
α
là nhỏ.
Định nghĩa 1.8.1. Ta gọi
( )
,Ry
δ
là toán tử chỉnh hóa của phương trình
Ax y=
trong lân
cận của
ex
y
nếu thỏa các tính chất sau:
(i) Tồn tại
1
0
δ
>
sao cho
( )
,Ry
δ
xác định với mọi
[ ]

1
0;
δδ
∈
và mọi
yY
δ
∈
thỏa
ex
yy
δ
δ
−≤
.
(ii) Với mọi
0
ε
>
, tồn tại
( )
01
,
ex
y
δε δ
≤
sao cho
0ex
yy

δ
δδ
− ≤≤
thì
ex
xx
δ
ε
−<
với
( )
,x Ry
δδ
δ
=
.
Chú ý 1.8.2. Trong định nghĩa trên,
( )
{ }
,Ry
δ
δ
có thể là một tập hợp và
x
δ
là một phần tử
bất kỳ của
( )
{ }
,Ry

δ
δ
.
Trong nhiều trường hợp, ta sử dụng định nghĩa sau (bao hàm định nghĩa vừa nêu).
Định nghĩa 1.8.3. Ta gọi
( )
,Ry
α
là toán tử chỉnh hóa của phương trình
Ax y=
trong lân
cận của
ex
y
nếu thỏa các tính chất sau:
(i) Có một số
1
0
δ
>
sao cho
( )
,Ry
α
xác định với mọi
0
α
>
và với mọi
yY∈

thỏa
1ex
yy
δδ
− ≤<
.
(ii) Có một hàm
( )
α αδ
=
sao cho với mọi
0
ε
>
, tồn tại
( )
1
δε δ
≤
sao cho nếu
yY
δ
∈
và
( )
ex
yy
δ
δε
−≤

thì
ex
xx
α
ε
−<
, trong đó
( )
( )
,x Ry
αδ
αδ
=
.
Theo định nghĩa 1.8.2 thì với
0
δ
→
thì
ex
yy
δ
→
trong Y, ta có
( )
( )
,
ex
x Ry x
αδ

αδ
= →
nên
x
α
là nghiệm chỉnh hóa phụ thuộc liên tục vào thay đổi của vế phải. Vì vậy, vấn đề giải
x
α
trở
thành xây dựng toán tử chỉnh hóa
( )
,Ry
α
.
0TĐịnh lý 1.8.4. Với 0T
0
α
>
0T
và 0T
( )
,:Ry Y X
α
+
×→¡
0T
liên tục đối với 0T
y
0T
. Giả sử 0T

( )
0
lim ,R Ax x
α
α
→
=
với mọi
xX∈
0T
thì 0T
( )
,Ry
α
0T
là toán tử chỉnh hóa của phương trình 0T
Ax y=
.
0TChú ý 1.8.5. Số dương 0T
α
0T
được gọi là tham số chỉnh hóa.
0TNếu trong Định lý 1.8.4, 0T
( )
,Ry
α
0Tlà một dãy đếm được các toán tử thì ta có thể lấy các số tự
nhiên n làm tham số chỉnh hóa và điều kiện trên trở thành
( )
lim ,

n
R Ax n x
→∞
=
với mọi
xX∈
.


Chương 2: HÀM NGUYÊN
2.1. Hàm giải tích (xem [17])
0T Định nghĩa 2.1.1. Cho 0T
D
0T
là một tập mở khác rỗng trong 0T
£
. Hàm
:fD→ £
được gọi là
khả vi phức (
−£
khả vi) tại
0
zD∈
nếu tồn tại hàm
1
:fD→ £
liên tục tại
0
z

và
( )
( ) ( ) ( )
0 010
fz fz z z fz= +−
với mọi
zD∈

Hàm
1
f
như thế, nếu tồn tại thì được xác định duy nhất bởi
f
:
( )
( ) ( )
0
1
0
zz
z
ff
f
zz
−
=
−
với
{ }
0

\zDz∈

và bằng cách đặt
0
hzz= −
do tính liên tục của
1
f
tại
0
z
ta có:
( ) ( )
( )
00
10
0
lim
h
zh z
ff
fz
h
→
+
−
=

Số
( )

10
fz
∈
£
được gọi là đạo hàm của hàm
f
(theo biến
z
) tại
0
z
, ký hiệu là
( )
0
'fz
hoặc
( )
0
z
df
dz
.
Định nghĩa 2.1.2. Cho
D
là tập mở khác rỗng trong
£
. Hàm
:fD→ £
được gọi là chỉnh
hình trên

D
nếu nó khả vi phức tại mọi điểm thuộc
D
.
Hàm
f
được gọi là chỉnh hình tại điểm
0
zD∈
nếu tồn tại một lân cận mở
U
của
0
z
nằm
trong
D
sao cho hàm
U
f
chỉnh hình trên
U
. Tập hợp các điểm mà tại đó hàm chỉnh hình luôn là
tập mở trong
£
. Một hàm chỉnh hình tại
0
z
thì hàm đó khả vi phức tại
0

z
nhưng hàm khả vi phức
tại
0
z
không nhất thiết chỉnh hình tại
0
z
. Chẳng hạn, hàm
()f z zz=
khả vi tại điểm
0z =
nhưng
không chỉnh hình tại điểm này.
Hàm chỉnh hình còn được gọi là hàm giải tích.
Tập hợp các hàm chỉnh hình trong
D
được ký hiệu là
()HD
.
Ta có các bao hàm thức
() ()HD CD⊂⊂£
. Bao hàm thức thứ nhất có được do các hàm
hằng là các hàm khả vi phức trong toàn bộ
£
.
Chú ý 2.1.3. Ta có thể mở rộng định nghĩa trên cho trường hợp
D
là tập mở khác rỗng tùy ý
trong

∞
£
và
f
là ánh xạ từ
D
vào
∞
£
. Khi
0
z
hữu hạn và
0
()fz = ∞
, ta nói
f
chỉnh hình tại
0
z

nếu
1
()fz
chỉnh hình tại
0
z
. Khi
0
z = ∞

, ta nói
f
chỉnh hình tại
0
z
nếu
1
()f
z
chỉnh hình tại 0.
Nếu không nói rõ ta hiểu hàm chỉnh hình với
D ⊂ £
và
f
hữu hạn.

Định lý 2.1.4. (Định lý Liouville) Nếu
f
là hàm chỉnh hình và bị chặn trên
£
thì
f
là hàm
hằng.
Định lý 2.1.5. (D’Alembert-Gauss) Mọi phương trình đại số
1
1
( ) 0
nn
no n

P z az az a
−
= + ++ =
,
0,
o
a ≠
1
, , ,
on
aa a∈£

có đúng n nghiệm nếu mỗi nghiệm được tính một số lần bằng đúng số bội của nó.
Định lý 2.1.6. Cho
G
là miền trong
£
,
:fG→ £
là hàm chỉnh hình khác hằng. Khi đó, với
mọi
a∈£
tập hợp (thớ)
{ }
1
( ): : ( )f a z Gfz a
−
=∈=

mà ta gọi là tập các

a
-điểm của
f
, là tập rời rạc và đóng (tương đối) trong
G
. Đặc biệt, với mọi tập
compact
KG⊂
, mỗi tập
1
( ) , f a Ka
−
∩∈£
, là tập hữu hạn, dẫn đến
1
()fa
−
là tập không quá đếm
được, nghĩa là
f
có không quá đếm được các
a
-điểm trong
G
.
Định lý 2.1.7. (Định lý đồng nhất) Các mệnh đề sau về cặp
,fg
các hàm chỉnh hình trên
miền
G ⊂ £

là tương đương
(i)
fg=

(ii) Tập hợp
( ) ( )
{ }
:Gf g
ω ωω
∈=
có một điểm giới hạn trong
G
.
(iii) Có một
cG∈
sao cho
( )
( )
( )
( )
nn
fcgc=
,
n∀∈¥
.
Nhận xét 2.1.8. Từ định lý đồng nhất, ta có hai kết quả:
(i) Nếu
f
là hàm chỉnh hình trên một miền D và bằng 0 trên một đĩa mở nào đó nằm trong
D

thì nó bằng 0 trên toàn bộ
D
;
(ii) Giả sử
f
và
g
là các hàm chỉnh hình trên miền
D
và
() ()
nn
fz gz=
trên một dãy điểm
vô hạn các điểm phân biệt
{ }
n
zD⊂
và
lim
n
n
z aD
→∞
= ∈
. Khi đó,
() ()fz gz=
với mọi z
∈
D.

Đặc biệt, giả sử
f
là các hàm chỉnh hình trên miền
D
và
{ }
n
zD⊂
là một dãy các điểm đôi
một khác nhau, hội tụ đến điểm
0
zD∈
. Nếu
( )
0
n
fz =
với mọi
n∈¥
thì
0f ≡
trên
D
.
Định lý 2.1.9. (Định lý hội tụ Weierstrass) Cho
D
là tập mở khác rỗng trong
£
,
n

f
là dãy
các hàm chỉnh hình trong
D
hội tụ compact trong
D
về
:fD→ £
. Khi đó,
f
chỉnh hình trong
D

và với mọi
k ∈¥
, dãy các đạo hàm
( )
k
n
f
hội tụ compact trong
D
về
( )
k
f
.
Ta giả sử mêtric trên
()HD
được cảm sinh từ mêtric trên

(,)CD£
. Khi đó,
()HD
là không
gian con đóng của
(,)CD£
,
(,)CD£
là không gian đủ.
Hệ quả 2.1.10.
()HD
là không gian mêtric đủ.