Tổng hợp kiến thức và những bài tập hay khó về chương Tổ hợp Xác suất lớp 11

C¸c d¹ng to¸n th
C¸c d¹ng to¸n th


êng gÆp trong
êng gÆp trong


tæ hîp - x¸c suÊt
tæ hîp - x¸c suÊt
Hoán vị - Tổ hợp - Chỉnh hợp - Nhị thức Niutơn (Số 2)
1. Hoán vị
( )
. 1 2.1
n
P n n= −
2. Chỉnh hợp
( ) ( )
( )
!
1 1
!
k
n
n
A n n n k
n k
= − − + =
−

0

! 1, 1
n
O A= =

0 k n≤ ≤
3. Tổ hợp
( )
!
!. !
k
n
n
C
k n k
=
−
;
1 ,0
O
n
C k n= ≤ ≤
; Hai t/c của số
k
n
C
là: 1)
k n k
n n
C C
−

=
; 2)
1
1
k k k
n n n
C C C
−
+
= +
4. Nhị thức Niu tơn
( )
0 1 1
0
. .
k
n
k n k k n n k n k k n n
n n n n n
k
a b C a b C a C a b C a b C b
− − −
=
+ = = + + + + +
∑
T/c của khai triển của nhị thức Niu Tơn: Tổng có n+1 số hạng ,bậc của mỗi số hạng là n, Số hạng tổng quát
thứ k là
1
. .
k n k k

k n
T C a b
−
+
=
,bậc của số hạng đầu và cuối cách đều số hạng đứng giữa thì bằng nhau.
Phương trình, bất phương trình đại số tổ hợp.
* ĐN: Phương trình, bất phương trình đại số tổ hợp là phương trình, bất phương trình có chứa ẩn dưới các kí hiệu:
! n
,
n
P
,
k
n
A
,
k
n
C
.
* Cách giải:
• Bước 1: Đặt điều kiện của ẩn. Nhớ rằng:
! n
có nghĩa
⇔
∈n
N ;
n
P

có nghĩa
⇔
∈n
N
*
;
k
n
A
có nghĩa
⇔
∈nk,
N;
1 k n≤ ≤
;
k
n
C
có nghĩa
⇔
∈nk,
N;
nk ≤≤0
• Bước 2: Chuyển về giải phương trình, bất phương trình đại số thông thường nhờ các công thức tổ hợp
• Bước 3: Đối chiếu với tập xác định, kết luận.
Bài1. Giải các phương trình
1)
1 2 3 2
6. 6. 9 14
x x x

C C C x x+ + = −
; 2)
2 1
5 5 5
25
x x x
C C C
− −
+ + =
( Đs: x=7) 3)
5 6 7
5 2 14
x x x
C C C
− =
4)
79
21
=++
−− x
x
x
x
o
x
CCC
5)
xCA
x
xx

14
23
=+
−
(TNTHPT - 98 - 99)
6)
3 3
8 6
5
x
x x
C A
+
+ +
=
7)
xxCCC
xxx
14966
2321
−=++
(ĐHNN - 99- 00)
8)
2
7
321
x
CCC
xxx
=++

9)
1
1
1
.
72
y
x x y
x
A P
P
+
+ −
−
=
10)
1
4
2
1
1
6
711
++
=−
xxx
CCC
11)
( )
2 2

72 6 2
x x x x
P A A P+ = +
Bài 2.Giải hệ phương trình 1)
2 5 90
5 2 80
y y
x x
y y
x x
A C
A C

+ =

− =

(Đs:x=5,y=2) ;2)





=
=
−
−−
1
12
35

y
x
y
x
y
x
y
x
CC
CC
3)
2 5 90
5 2 80
y y
x x
y y
x x
A C
A C

+ =


− =



4) (TNTHPT 02- 03):
2:5:6::
11

1
=
−+
+
y
x
y
x
y
x
CC
C
(Đs: (x = 8; y = 3))
5)
1 1 1
1 1
( ): : 10:2:1
y y y y
x x x x
A yA A C
− − −
− −
+ =

Bài 3. Hãy tìm số nguyên dưong thỏa mãn phương trình:
4 3 2
1 1 2
5
0
4

n n n
C C A
− − −
− − =
(Đs: n=11)
Bài 4. Giải các bất phương trình 1)
2
1
2
3
10
n
n
C
n
C
+
≥
(Đs:
2
5
3
n
−
≤ ≤
) 2)
( )
3 1
1 1
14 1

n
n n
A C n
−
+ +
+ < +
(Đs:
7
4
2
n− < <
( )
4
4
143
3)
2 ! 4
n
n
A
n P
+
<
+
( Đs:
9,5 2,5n− < <
4)
4
3 4
1

24
23
n
n
n n
A
A C
−
+
≤
−
(Đs:
1 5n≤ ≤
)
5)
4 3 2
1 1 2
5
0
4
x x x
C C A
− − −
− − ≤
(Đs:
5 11x
≤ ≤
); 6)
2 2 3
2

1 6
10
2
x x x
A A C
x
− ≤ +
(Đs:
4x
≤
)
6)
xAA
xx
215
23
≤+
(ĐHQGHN - 98- 99) 7)
10
6
2
1
322
2
+≤−
xxx
C
x
AA
9)

3
1
4
1 3
1
14
n
n
n
C
A P
−
−
+
<

1
C¸c d¹ng to¸n th
C¸c d¹ng to¸n th


êng gÆp trong
êng gÆp trong


tæ hîp - x¸c suÊt
tæ hîp - x¸c suÊt
10)
4
1

3
1
14
n
n
n
n
A
P
C
+
−
−
<
12)
2 2 3
2
1 6
10
2
x x x
A A C
x
− ≤ +
(Đs:
3; 4x x
= =
)
11)
2

5
3
60
( )!
k
n
n
P
A
n k
+
+
+
≤
−
(TNTHPT 03 – 04 ) 12)
1 2
2 2
5
2
n n
n n n
C C A
−
− +
+ >
(TNTHPT 04 – 05 )
Chứng minh một số đẳng thức
Bài 13. Sử dụng tính chất
1

1
k k k
n n n
C C C
−
+
+ =
.CMR:
1)
1 2 3
3
3 3 3
k k k k k
n n n n n
C C C C C k n
− − −
+
+ + + = ≤ ≤
; 2)
1 2 3 2 3
2 3
2 5 4
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
+ + + + +
+ +
+ + + = +
3)
1 2 3 4

4
4 6 4
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
− + − −
+
+ + + + =
( Với
4 k n≤ ≤
)
4)
1 1 1 1
1 2 1

m m m m m
n n n m m
C C C C C
− − − −
− − −
= + + +
(Với
1 m n≤ ≤
), HD:
1
1
k k k
n n n
C C C
−

+
+ =
1
1 1
k k k
n n n
C C C
−
− −
⇒ = −
Tìm một số hạng hoặc hệ số của một số hạng
Bài 14. Tìm hệ số của số hạng:
a) chứa x
4
trong khai triển
10
1
x
x
 
+
 ÷
 
b) chứa x
43
trong khai triển
21
5
3 2
1

x
x
 
+
 ÷
 
c) chứa x
8
trong khai triển
5
3
1
n
x
x
 
+
 ÷
 
biết
( )
1
4 3
7 3
n n
n n
C C n
+
+ +
− = +

d) chứa
6 2
x y
trong khai triển
10
x
xy
y
 
+
 ÷
 
e) chứa x
31
trong khai triển
40
2
1
x
x
 
+
 ÷
 
Bài 16.Tìm số hạng không chứa x trong k.tr a)
7
3
4
1
x

x
 
+
 ÷
 
b)
28
3
15
n
x x x
−
 
+
 ÷
 
biết :
1 2
79
n n n
n n n
C C C
− −
+ + =
c) Biết
tổng hệ số của ba số hạng đầu tiên trong khai triển
3
15 28
1
n

x x
x
 
+
 ÷
 
bằng 79 .
Bài 17 Cho khai triển
3
3 2
3
n
x
x
 
+
 ÷
 
.Biết tổng của ba số hạng đầu tiên trong khai triển bằng 631 .Tìm hệ số của số
hạng có chứa x
5

0 1 2
3 9 631
n n n
C C C+ + =
Bài 18.Biết trong khai triển
1
3
n

x
 
−
 ÷
 
Có hệ số của số hạng thứ 3 bằng 5 Hãy tính số hạng đứng giữa trong khai triển
Bài 19. Biết tổng các hệ số : a) trong khai triển
( )
2
1
n
x+
bằng 1024 .Tìm hệ số của x
12

b) trong khai triển
( )
1 2
n
x+
bằng 6561.Tìm hệ số của x
4

Bài 20.Trong k.triển
(
)
12
2
3
xy xy+

.Tìm số hạng chứa x và y sao cho số mũ của x và y là các số nguyên dương
Bài 21.Tìm các hạng tử là số nguyên trong khai triển a )
( )
19
3
3 2+
b)
( )
125
3
3 7+
Bài 22.Có bao nhiêu hạng tử là số nguyên trong khai triển a)
( )
124
4
3 5+
b)
( )
64
3
4
7 3−
Bài 23. Khai triển đa thức
( ) ( ) ( ) ( )
9 10 14
14
0 1 14
1 1 1

P x x x x

A A x A x
= + + + + + + =
+ + +
. Tính A
9

Bài 24. Cho khai triển :
1
3
2
2 2
n
x
x
−
−
 
+
 ÷
 
/Biết
3 1
5
n n
C C=
và số hạng thứ 4 bằng 20n .Tìm x và n
Bài 25. Trong khai triển :
3
3
n

a b
b a
 
+
 ÷
 ÷
 
tìm số hạng chứa a,b có số mũ bằng nhau
Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển
Bài 26.Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số của các số hạng của khai triển
2
C¸c d¹ng to¸n th
C¸c d¹ng to¸n th


êng gÆp trong
êng gÆp trong


tæ hîp - x¸c suÊt
tæ hîp - x¸c suÊt
a)
( )
101
1 x+
b)
( )
30
1 2x+
. c)

40
1 2
3 3
x
 
+
 ÷
 
c)
( )
30
1 2x+
(HD: a)Hệ số của số hạng tổng quát
1
k
k n
T C
+
=

0 101k≤ ≤
,Xét
( )
( ) ( )
1 101
1
101
101!
!. 101 !
101!

1 ! 102 !
k
k
k
k
k k
T C
T C
k k
+
−
−
= =
− −
;
1
102
1 0 51
k
k
T
k
k
T k
+
−
= ≥ ⇔ ≤ ≤
; k=51
51
101

C
)
Các đề thi ĐH từ 2002 - 2008
1. (CĐ_Khối D 2008)Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển
18
5
1
2








+
x
x
,(x>0).ĐS: 6528
2. (ĐH_Khối D 2008) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức
2048
12
2
3
2
1
2
=+++
−n

nnn
CCC 
. (
k
n
C
là số tổ hợp
chập k của n phần tử). ĐS: n=6
3. (ĐH_Khối D 2007) Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của x(1−2x)
5
+x2(1+3x)
10
.ĐS: 3320
4. (ĐH_Khối D 2005)Tính giá trị biểu thức
( )
!1
3
34
1
+
+
=
+
n
AA
M
nn
, biết rằng
14922
2

4
2
3
2
2
2
1
=+++
++++ nnnn
CCCC
(n là số
nguyên dương,
k
n
A
là số chỉnh hợp chập k của n phần tử và
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử) ĐS:
4
3
=M
5. (ĐH_Khối D 2004) Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển
7
4
3
1









+
x
x
với x>0. ĐS: 35
3
C¸c d¹ng to¸n th
C¸c d¹ng to¸n th


êng gÆp trong
êng gÆp trong


tæ hîp - x¸c suÊt
tæ hîp - x¸c suÊt
6. (ĐH_Khối D 2003) Với n là số nguyên dương, gọi a
3n
−
3
là hệ số của x
3n
−
3
trong khai triển thành đa thức của

(x
2
+1)
n
(x+2)
n
. Tìm n để a
3n
−
3
=26n. ĐS: n=5

7. (ĐH_Khối D 2002) Tìm số nguyên dương n sao cho
2048242
210
=++++
n
n
n
nnn
CCCC 
.
ĐS: n=5
8. (ĐH_Khối B 2008)Chứng minh rằng
k
n
k
n
k
n

CCC
n
n 111
2
1
1
11
=








+
+
+
+
++
(n, k là các số nguyên dương, k≤n,
k
n
C
là số tổ
hợp chập k của n phần tử).
9. (ĐH_Khối B 2007) Tìm hệ số của số hạng chứa x
10
trong khai triển (2+x)

n
, biết: ĐS: 22
4
C¸c d¹ng to¸n th
C¸c d¹ng to¸n th


êng gÆp trong
êng gÆp trong


tæ hîp - x¸c suÊt
tæ hîp - x¸c suÊt
3
n
C
n
0
−3
n
−
1
C
n
1
+3
n
−
2
C

n
2
−3
n
−
3
C
n
3
+ … +(−1)
n
C
n
n
=2048 (n là số nguyên dương,
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
10. (ĐH_Khối B 2006) Cho tập A gồm n phần tử (n≥4). Biết rằng, số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số
tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm k∈{1,2,…,n} sao cho số tập con gồm k phần tử cua A lớn nhất.ĐS: k=9
11. (ĐH_Khối B 2003) Cho n là số nguyên dương. Tính tổng
n
n
n
nnn
C
n
CCC
1

12
3
12
2
12
1
2
3
1
2
0
+
−
++
−
+
−
+
+

, (
k
n
C
là số
tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS:
1
23
11
+

−
++
n
nn
12. (ĐH_Khối B 2002) Cho đa giác đều A
1
A
2
…A
n
(n≥2, n nguyên) nội tiếp đường tròn tâm (O). Biết rằng số tam
giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A
1
A
2
…A
n
nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm
A
1
A
2
…A
n
, tìm n. ĐS: n=8
13. (ĐH_Khối A 2008) Cho khai triển (1+2x)
n
=a
0
+a

1
x+ … +a
n
x
n
, trong đó n∈N* và các hệ số a
0
, a
1
,…a
n
thỏa mãn
hệ thức
4096
2
2
1
0
=+++
n
n
a
a
a 
. Tìm số lớn nhất trong các số a
0
, a
1
,…a
n

. ĐS: a
8
=126720
5
C¸c d¹ng to¸n th
C¸c d¹ng to¸n th


êng gÆp trong
êng gÆp trong


tæ hîp - x¸c suÊt
tæ hîp - x¸c suÊt
14. (ĐH_Khối A 2007) Chứng minh rằng
1
2
2
12
2
5
2
3
2
1
2
12
12
2
1

6
1
4
1
2
1
n
n
n
nnnn
C
n
C
n
CCC
+
−
=++++
−

, (
k
n
C
là số tổ hợp
chập k của n phần tử).

15. (ĐH_Khối A 2006) Tìm số hạng chứa x
26
trong khai triển nhị thức Newton của

n
x
x






+
7
4
1
, biết rằng
12
20
12
2
12
1
12
−=+++
+++
n
nnn
CCC 
, (n nguyên dương và
k
n
C

là số tổ hợp chập k của n phần tử).ĐS: 210
16. (ĐH_Khối A 2005) Tìm số nguyên dương n sao cho (
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
( )
20052.122.42.32.2
12
12
24
12
33
12
22
12
1
12
=+++−+−
+
+++++
n
n
n
nnnn
CnCCCC 
, ĐS: n=1002
17. (ĐH_Khối A 2004) Tìm hệ số của x
8
trong khai triển thành đa thức của [1+x

2
(1−x)]
8
. ĐS: 238
6
C¸c d¹ng to¸n th
C¸c d¹ng to¸n th


êng gÆp trong
êng gÆp trong


tæ hîp - x¸c suÊt
tæ hîp - x¸c suÊt
18. (ĐH_Khối A 2003) Tìm số hạng chứa x
8
trong khai triển nhị thức Newton của
n
x
x






+
5
3

1
, biết rằng
( )
37
3
1
4
+=−
+
+
+
nCC
n
n
n
n
, (n nguyên dương, x>0, (
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử).ĐS: 495
19. (ĐH_Khối A 2002) Cho khai triển nhị thức ĐS: n=7, x=4
n
x
n
n
n
x
x
n

n
x
n
x
n
n
x
n
n
x
x
CCCC








+

















++
















+









=








+
−
−
−
−
−
−
−
−−
−
−
3
1
3
2
1
1
3

1
2
1
1
2
1
0
3
2
1
22222222 
(n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó
13
5
nn
CC =
và số hạng thứ 4 bằng 20n, tìm n và x.
Cách giải bài toán xác suất lớp 11
1. Áp dụng định nghĩa cổ điển của xác suất:
Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu(số khả năng xảy ra).
Bước 2: Tính số phần tử của tập hợp mô tả biến cố đang xét (số kết quả thuận lợi).
Bước 3: Lấy số kết quả thuận lợi chia cho số khả năng xảy ra:
( )
.
A
P A
Ω
=
Ω
Chú ý:

1) Khi tính số phần tử của không gian mẫu và tập hợp mô tả biến cố cần nắm chắc kiến thức về tổ hợp để
tìm.
2) Khi áp dụng định nghĩa cổ điển của xác suất cần thoả mãn hai điều kiện:
- Không gian mẫu chỉ có hữu hạn các phần tử(số phần tử đếm được)
- Các kết quả của phép thử phải là đồng khả năng.
Ví dụ: Khi gieo con súc sắc hoặc đồng tiền phải cân đối đồng chất để khả năng xuất hiện các mặt là như nhau, khi chọn
quả cầu trong hộp thì khả năng chọn mỗi quả là như nhau đó chính là tính đồng khả năng. Khi gieo con súc sắc số lần
gieo hữu hạn, số quả cầu trong hộp hữu hạn đó chính là tính hữu hạn của các phần tử của không gian mẫu.
2. Áp dung các qui tắc tính xác suât:
* Bước 1: Đặt tên cho biến cố cần tính xác suất là A, các biến cố liên quan đến biến cố A là:
1 2
; ;
n
A A A
sao cho:
- Biến cố A biểu diễn được theo các biến cố :
1 2
; ;
n
A A A
.
- Xác xuất của các biến cố :
1 2
; ;
n
A A A
là tính được(dễ hơn so với A)
- Xác định được mối quan hệ giữa các biến cố
1 2
; ;

n
A A A
.
* Bước 2: Biểu diễn biến cố A theo các biến cố
1 2
; ;
n
A A A
.
* Bước 3: Xác định mối quan hệ giữa các biến cố và áp dụng qui tắc:
1) Nếu
1 2
,A A
xung khắc:
( ) ( ) ( )
1 2 1 2
P A A P A P A∪ = +
7
C¸c d¹ng to¸n th
C¸c d¹ng to¸n th


êng gÆp trong
êng gÆp trong


tæ hîp - x¸c suÊt
tæ hîp - x¸c suÊt
2) Nếu
1 2

,A A
đối nhau:
( ) ( )
1 2
1P A P A= −
3) Nếu
1 2
,A A
độc lập:
( ) ( ) ( )
1 2 1 2
P A A P A P A=
Chú ý: A và B độc lập thì
& ; & ; &A B A B A B
cũng độc lập.
A và B độc lập
( ) ( ) ( )
P AB P A P B⇔ =
Bài1:Trong một hộp có 5 bi đỏ, 6 bi đen. Lần lượt lấy ra 3 bi từ hộp.Tính xác suất để trong 3 bi lấy ra có 2 bi màu
đỏ.
Giải: Cách1: ĐN cổ điển của xác suất
Gọi A là biến cố: “Trong 3 bi lấy ra có 2 bi màu đỏ”
Vì sự lựa chọn không phân biệt thứ tự lấy nên số kết quả của quá trình lựa chọn là một tổ hợp chập 3 của 5+6=11
phần tử
3
11
C⇒ Ω =
.
Trong 3 bi lấy ra: Chọn 2 bi màu đỏ trong 5 bi đỏ có
2

5
C
cách, còn 1 bi (màu đen) chọn trong 6 bi có
1
6
C
cách
( )
2 1
2 1
5 6
5 6
3
11
4
11
A
C C
C C P A
C
⇒ Ω = ⇒ = =
Cách 2: Gọi
i
A
là biến cố lần thứ i lấy được bi màu đỏ, i=1,2,3
Có:
1 2 3 1 2 3 1 2 3
A A A A A A A A A A= ∪ ∪
1 2 3
; ;A A A

độc lập nên:
1 2 3
, ,A A A
độc lập;
1 2 3
, ,A A A
độc lập;
1 2 3
, ,A A A
độc lập
Ba biến cố:
1 2 3 1 2 3 1 2 3
, ,A A A A A A A A A
xung khắc
Vậy:

1 2 3 1 2 3 1 2 3
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5 4 6 5 6 4 6 5 4 4
1110 9 1110 9 1110 9 11
P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A= + +
= + + =
Bài toán:Trong một hộp có 5 bi đỏ, 6 bi đen, 7 bi vàng. Lần lượt lấy ra 4 bi từ hộp. Tính xác suất để trong 4 bi lấy ra
không có đủ 3 màu:
HD: Gọi A là biến cố “ Trong 4 bi lấy ra không đủ 3 màu”
A
⇒
là biến cố “ Trong 4 bi lấy ra có đủ 3 màu”
Các trường hợp chọn 4 bi đủ 3 màu: 2 đỏ, 1 xanh, 1 vàng
1 đỏ, 2 xanh, 1 vàng

1 đỏ, 1 xanh, 2 vàng
( )
( )
2 1 1 1 2 1 1 1 2
5 6 7 5 6 7 5 6 7
4
18
33
1 1
68
C C C C C C C C C
P A P A
C
+ +
⇒ = − = − =
Bài2:(Sách BTCB11)Có 2 hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 3 quả đỏ và 2 quả xanh, hộp thứ hai chứa 4 quả
đỏ và 6 quả xanh. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 1 quả. Tính xác suất sao cho lấy được hai quả khác màu
Giải: Cách 1: Gọi C là biến cố: “ lấy ra 2 quả khác màu”
Lấy từ hộp thứ nhất 1 quả, hộp thứ hai 1 quả
⇒
Số phần tử của không gian mẫu là:
1 1
5 10
50C CΩ = =
Có 2 khả năng lấy được hai quả khác màu:
Hộp 1 lấy được quả đỏ, hộp 2 lấy được quả xanh số khả năng:
1 1
3 6
18C C =
Hộp 1 lấy được quả xanh, hộp 2 lấy được quả đỏ số khả năng:

1 1
2 4
8C C =
( )
26
26 0,52
50
A
P A⇒ Ω = ⇒ = =
Cách 2: Gọi A là biến cố lấy được từ hộp 1 quả màu đỏ
Gọi B là biến cố lấy được từ hộp 2 quả màu đỏ
Có:
C AB AB= ∪
A và B độc lập thì
& ; &A B A B
cũng độc lập,
,AB AB
xung khắc nên:
3 6 2 4
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,52
5 10 5 10
P C P A P B P A P B= + = + =
Chú ý: Gọi D là biến cố: “ lấy ra 2 quả cùng màu”
D C⇒ =
8
C¸c d¹ng to¸n th
C¸c d¹ng to¸n th


êng gÆp trong

êng gÆp trong


tæ hîp - x¸c suÊt
tæ hîp - x¸c suÊt

( )
( )
( )
1 0,48P D P C P C⇒ = = − =
Bài 3:Có 3 xạ thủ cùng bắn vào tấm bia. Xác suất trúng đích lần lượt là: 0,6; 0,7; 0,8. Tính xác suất để có ít nhất một
người bắn trúng bia?
Giải: Gọi
i
A
là biến cố người thứ i bắn trúng bia, i=1,2,3
A là biến cố có ít nhất một người nào bắn trúng bia
A⇒
là biến cố không có người nào bắn trúng bia
1 2 3 1 2 3
( ) ( ) ( ) ( ) 0,4.0,3.0,2 0,024A A A A P A P A P A P A⇒ = ⇒ = = =
( )
( )
1 0,976P A P A⇒ = − =
.
Chú ý: 1.Bài toán trên nhưng nếu 3 xạ thủ bắn lần lượt cho đến khi bắn trúng bia thì thôi. Tính xác suất để mục tiêu
bị bắn trúng ở viên đạn thứ 5?
Giải: Gọi A là biến cố mục tiêu bị bắn trúng ở viên đạn thứ 5
Ta có:

( )
1 2 3 1 2 1 2 3 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0,4 .0,3.0,2. 0,4. 0,7 0,00672
A A A A A A P A P A P A P A P A P A= ⇒ =
= =
2.Bài toán: Có 1 xạ thủ bắn vào tấm bia. Xác suất trúng đích 0,2. Tính xác suất để trong 3 lần bắn có:
a) ít nhất một lần bắn trúng bia? b) Bắn trúng bia đúng 1 lần?
Giải: a.Gọi A là biến cố có ít nhất 1 lần bắn trúng bia

( ) ( )
( )
( )
1 1 1
A 0,8.0,8.0,8 0,512 1 0,488P P A A A P A P A⇒ = = = ⇒ = − =
b. Gọi
i
A
là biến cố người đó bắn trúng bia ở lần thứ i, i=1,2,3
A là biến cố trong 3 lần bắn người bắn trúng bia 1 lần

( )
1 2 3 1 2 3 1 2 3
3.0,128 0,384A A A A A A A A A A P A⇒ = ∪ ∪ ⇒ = =
3. Hiển nhiên khi đọc bài toán trên không thể giải theo định nghĩa cổ điển của xác suất vì không thể tìm được số
phần tử của không gian mẫu.
Bài 4: Trường THPT Đội Cấn có 2 đội bóng chuyền thi đấu. Họ thoả thuận với nhau rằng đội nào đầu tiên thắng 5
séc thì được nhận toàn bộ giải thưởng. Đang thi đấu thì trời mưa nên trận đấu phải dừng lại khi đội thứ nhất thắng 4
ván, đội thứ hai thắng 3 ván. Vậy cần phải chia giải thế nào thì hợp lí?
(Dựa theo nghịch lí chia giải thưởng cho hai đấu thủ)

Sai lầm thường gặp:Nhiều người cho rằng cần chia giải thưởng theo tỉ lệ 4:3, cũng có người cho rằng cần chia theo
tỉ lệ 3:2 (với lập luận Đội 1 thắng nhiều hơn 1 ván bằng
1
5
của 5 nên Đội 1 nhận
1
5
giải, phần còn lại chia đôi mỗi
người một nửa).Tất cả các ý kiến trên đều sai.
Bài giải: Nếu tiếp tục chơi thêm 2 ván “giả tạo” nữa thì xác suất chiến thắng của Đội 2 (nhận toàn bộ giải) là:
1 1 1
.
2 2 4
=
và do đó xác suất thắng cuộc của Đội 1 là
3
4
. Vì vậy phải chia giải thưởng theo tỉ lệ 3:1 là hợp lí nhất.
( Bài toán này được dựa trên bài toán "Nghịch lí chia giải thưởng cho hai đấu thủ" )
LOẠI 1: TÍNH XÁC SUẤT BẰNG ĐỊNH NGHĨA
1. Một lô hàng gồm 100 sản phẩm , trong đó có 30 sản phẩm xấu. Lấy ngẩu nhiên 1 sản phẩm từ lô hàng.
a. Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt
b. Lấy ra ngẫu nhiên (1 lần) 10 sản phẩm từ lô hàng. Tìm xác suất để 10 sản phẩm lấy ra có đúng 8 sản
phẩm tốt
2. Một hộp chứa 30 bi trắng, 7 bi đỏ và 15 bi xanh. Một hộp khác chứa 10 bi trắng , 6bi đỏ và 9 bi xanh. Lấy
ngẫu nhiên từ mỗi hộp bi. Tìm xác suất để 2 bi lấy ra cùng màu.
3. Gieo đồng thời 2 con xúc xắc cân đối đồng chất. Tìm xác suất sao cho :
a.Tổng số chấm trên mặt hai con xúc xắc bằng 8. b. Hiệu số chấm trên mặt hai con xúc xắc có trị tuyệt đối bằng 2.
c. Số chấm trên mặt hai con xúc xắc bằng nhau
4. Một lô hàng có n sản phẩm trong đó có k sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng k sản phẩm. Tìm xác suất

để k sản phẩm lấy ra có đúng s sản phẩm xấu.
5. Chia 12 tặng phẩm cho 3 người . Tìm xác suất để :
a.Người thứ nhất được 3 sản phẩm b.Mỗi người được 4 sản phẩm
6. 12 hành khách lên ngẩu nhiên 4 toa tàu. Tìm xác suất để :
a.Mỗi toa có 3 hành khách b.Một toa có 6 hành khách, một toa có 4 hành khách các toa còn lại có 1 hành khách.
9
C¸c d¹ng to¸n th
C¸c d¹ng to¸n th


êng gỈp trong
êng gỈp trong


tỉ hỵp - x¸c st
tỉ hỵp - x¸c st
7. Lấy ngẫu nhiên lần lược 3 chữ số từ 5 chữ số {0,1,2,3,4} xếp thành hàng ngang từ trái sang phải. Tìm xác
suất để nhận được số tự nhiên gồm 3 chữ số.
8. Một học sinh vào thi chỉ thuộc 18 câu trong 25 câu hỏi. Tìm xác suất để học sinh đó trả lời được 3 câu hỏi mà
học sinh đó rút được
9. Trong đề cương môn học gồm 10 câu hỏi lý thuyết và 30 bài tập. Mỗi đề thi gồm có 1 câu hỏi lý
thuyết và 3 bài tập được lấy ngẫu nhiên trong đề cương. Một học sinh A chỉ học 4 câu lý thuyết và 12
câu bài tập trong đề cương. Khi thi học sinh A chọn 1 đề thò một cách ngẫu nhiên. Với giả thiết học sinh
A chỉ trả lời được câu lý thuyết và bài tập đã học. Tính xác suất để học sinh A :
a/ không trả lời được lý thuyết. b/ chỉ trả lời được 2 câu bài tập.
c/ đạt yêu cầu. Biết rằng muốn đạt yêu cầu thì phải trả lời được câu hỏi lý thuyết và ít nhất 2 bài tập.
11. Một khách sạn có 6 phòng trọ phục vụ khách, nhưng có tất cả 10 khách đến xin nghỉ trọ, trong đó có 6
nam và 4 nữ. Khách sạn phục vụ theo nguyên tắc “ai đến trước phục vụ trước và mỗi phòng nhận 1
người”.
a/ Tìm xác suất để cho cả 6 nam đều được nghỉ trọ. b/ Tìm xác suất để 4 nam và 2 nữ được nghỉ trọ.

c/ Tìm xác suất sao cho ít nhất 2 trong số 4 nữ được nghỉ trọ.
12.Có 2 lô hàng :
Lô 1 : Có 90 sản phẩm đạt tiêu chuẩn và 10 phế phẩm
Lô 2 : Có 80 sản phẩm đạt tiêu chuẩn và 20 phế phẩm.Lấy ngẫu nhiên mỗi lô hàng một sản phẩm. Tính xs:
a/ Có một sản phẩm đạt tiêu chuẩn. b/ Có hai sản phẩm đạt tiêu chuẩn.
c/ Có ít nhất một sản phẩm đạt tiêu chuẩn.
13.Giả sử có 10 khách hàng vào một cửa hàng có 3 quầy, mỗi người chỉ tối một quầy. Tìm các xác suất :
a/ có 4 người đến quầy số 1; b/ có 4 người đến một quầy nào đó;
c/ có 4 người đến quầy 1 và 3 người đến quầy 2.
14. Có 5 khách hàng không quen biết nhau và cùng vào mua hàng ở một cửa hàng có 4 quầy hàng. Biết
sự lựa chọn quầy hàng của các khách hàng là độc lập và như nhau. Hãy tìm xác suất của các sự kiện sau:
a. Cả 5 khách hàng vào cùng 1 quầy hàng b. Có 3 người vào cùng 1 quầy.
c. Có 5 người vào 2 quầy tức là có đúng 2 quầy có khách. d. Mỗi quầy đều có người tới mua
15 .Một cơ quan ngoại giao có 25 nhân viên trong đó có 16 người biết nói tiếng Anh, 14 người biết nói
tiếng Pháp, 10 người biết nói tiếng Nha, 10 người biết nói tiếng Anh và Pháp, 5 người biết nói tiếng Anh và
Nga, 3 người biết tiếng Pháp và Nha, không có ai biết nói cả 3 thứ tiếng trên. Có 1 người trong cơ quan ấy
đi công tác. Tính xác suất để người ấy : a/ biết nói tiếng Anh hay Pháp.
b/ biết nói ít nhất 1 ngoại ngữ trong 3 ngoại ngữ trên. c/ chỉ biết nói 1 ngoại ngữ trong 3 ngoại ngữ trên.
16. Chọn ngẫu nhiên 5 con bài trong bộ bài tú – lơ – khơ :
a. Tính xác suất sao cho trong 5 qn bài đó có đúng 3 qn bài đó thuộc 1 bộ ( ví dụ : có 3 con 4)
b. Tính xác suất sao cho trong 5 qn bài đó có 4 qn bài thuộc một bộ
17. Gieo hai con xúc xắc cân đối đồng chất. Gọi A là biến cố “ tổng số chấm trên mặt của hai con xúc xắc bằng 4 “
a. Liệt kê các kết quả thuận lợi của biến cố A b. Tính xác suất của biến cố A
18. Một vé số có 5 chữ số. Khi quay số nếu vé của bạn mua có số trúng hồn tồn với kết quả thì bạn trúng giải nhất.
Nếu vé bạn trúng 4 chữ số sau thì bạn trúng giải nhì.
a. Tính xác suất để bạn trúng giải nhất. b. Tính xác suất để bạn trúng giải nhì.
19. Xếp 5 người ngồi vào bàn tròn. Tính xác suất để A, B ngồi gần nhau.
5. Một lớp có 50 học sinh trong đó 20 em sinh vào ngày chẵn. Chọn ngẩu nhiên 3 học sinh. Tính xác suất để 3 học
sinh được chọn có tổng các số ngày sinh là số chẵn.
20. Kết quả (b,c) của việc gieo hai con xúc xắc cân đối hai lần, được thay vào phương trình x

2
+ bx+ c =0. Tính xác
suất để :
a. Phương trình vơ nghiệm b. Phương trình có nghịêm kép c, Phương trình có hai nghiệm phân biệt
21. Gieo một con xúc xắc 2 lần . Tính xác suất để :
a. Mặt 4 chấm xuất hiện ở lần đầu tiên b. Mặt 4 chấm xuất hiện ở ít nhất 1 lần
22. Trong một bình có 3 quả cầu đen khác nhau và 4 quả cầu đỏ khác nhau. Lấy ra 2 quả cầu. Tính xác suất để :
a. Hai quả cầu lấy ra màu đen b. Hai quả cầu lấy ra cùng màu
23. Sắp xếp 5 người ngồi vào 5 ghế thẳng hàng. Tính xác suất để :
a. A, B ngồi cạnh nhau b. A,B ngồi cách nhau một ghế.
24. Gieo 3 con đồng xu. Tính xác suất để
10
C¸c d¹ng to¸n th
C¸c d¹ng to¸n th


êng gÆp trong
êng gÆp trong


tæ hîp - x¸c suÊt
tæ hîp - x¸c suÊt
a. Có đồng xu lật ngửa b. Không có đồng xu nào sấp
25. Gọi (x,y) là kết quả của việc gieo hai con xúc xắc khác nhau. Tính xác suất để :
a. x lẻ , y chẳn b. x>y c. x+y <4 d. x chia hết cho y
26.Có 4 tấm bìa đỏ ghi 1,2,3,4 và 5 tấm bìa xanh ghi 6,7,8. Rút ngẩu nhiên 1 tấm. Tính xác suất để :
a. Rút được tấm ghi số chẵn` b. Rút tấm bìa đỏ
27: Một lớp có 28 sinh viên trong đó có 5 SV giỏi,13 SV khá,10SV trung bình.Lấy ngẫu nhiên 4 SV đi dự ĐH đoàn
trường.Tính XS để có ít nhất 2 SV giỏi đc lấy.
28. Có 100 tấm bìa hình vuông được đánh số từ 1 đến 100.Ta lấy ngẫu nhiên 1 tấm bìa.Tìm xác suất để lấy được:

a/Một tấm bìa có số không chứa chữ số 5 P
a
= 0,8
b/Một tấm bìa có số chia hết cho 2 hoặc 5 hoặc cả 2 và 5 P
b
= 0,6
29. Một hộp có chứa a quả cầu trắng và b quả cầu đen.Lấy ra lần lượt từ hộp từng quả cầu(một cách ngẫu nhiên).Tìm
xác suất để:” a/Quả cầu thứ 2 là trắng b/ Quả cầu cuối cùng là trắng Đáp số : P
a
= P
b
= a/a+b
30. Gieo đồng thời 2 đồng xu.Tìm xác suất để có :
a/Hai mặt cùng sấp xuất hiện (P=0,25) b/Một mặt sấp,một mặt ngửa (P=0,5 ) c/Có ít nhất 1 mặt sấp (P=0,75 )
31 Gieo đồng thời 2 xúc xắc đối xứng và đồng chất.Tìm xác suất để được:
a/Tổng số chấm xuất hiện bằng 7 (P=1/6) b/Tổng số chấm xuất hiện nhỏ hơn 8 (P=7/12)
c/ Có ít nhất 1 mặt 6 chấm xuất hiện (P=11/36)
32.Thang máy của 1 toà nhà 7 tầng xuất phát từ tấng 1 với 3 khách.tìm xác suất để :
a/Tất cả cùng ra ở tầng 4 (P=1/216) b/Tất cả cùng ra ở một tầng (P=1/36)
c/Mỗi người ra ở một tầng khác nhau (P=5/9)
33. Mỗi vé xổ số kí hiệu bởi 1 số có 5 chữ số.Tìm xác suất để 1 người mua 1 vé được:'
a/Vé có 5 chữ số khác nhau (P=0,3024)
b/Vé có 5 chữ số đều chẵn (P=0,03125)
34. 5 người A,B,C,D,E ngồi một cách ngẫu nhiên vào 1 chiếc ghế dài.Tìm xác suất để:
a/Người C ngồi chính giữa (P=0,2) b/Hai người A,B ngồi ở 2 đầu (P=0,1)
35. Trong một chiếc hộp có n quả cầu được đánh số từ 1 đến n.Lấy ngẫu nhiên cùng lúc ra 2 quả cầu.Tính xác suất
để người đó lấy được 1 quả có số hiệu lớn hơn k và một quả có số hiệu nhỏ hơn k (đáp số :
2( 1)( )
( 1)
k n k

P
n n
− −
=
−
)
36* Có 10 người khách bước ngẫu nhiên vào một cửa hàng có 3 quầy.Hỏi xác suất để 3 người cùng đến quầy số 1 là
bao nhiêu?
HD: Mỗi khách có 3 khả năng như nhau để dến 3 quầy.Số biến cố đồng khả năng là: 3
10
.Còn số biến cố thuận lợi là:
3 7
10
.2C
suy ra
3 7
10
10
.2
3
C
P =
37. Có n người (trong đó có m người trùng tên) xếp ngẫu nhiên thành hàng ngang.Xác suất để m người trùng tên đó
đứng cạnh nhau là bao nhiêu?
Đáp số :
( 1)! !
!
n m m
P
n

− +
=
PHẦN 2 : BÀI TẬP SỬ DỤNG CÁC ĐỊNH LÝ XÁC SUẤT
Bài 1:Kiểm tra theo thứ tự một lô hàn gồm n sản phẩm. các sản phẩm lấy ra đều thuộc một trong hai loại tốt hoặc xấu
. Kí hiệu A
k
(k= 1,2,3 …N) là biến cố sản phẩm thứ k thuộc loại xấu.Viết các biến cố sau đây theo các biến cố A
k
.
a.Cả N sản phẩm đều xấu b.Có ít nhất một sản phẩm xấu
c.M sản phẩm đầu tốt , các sản phẩm còn lại xấu d.Các sản phẩm kiểm tra theo thứ tự chẵn là xấu còn lẻ là tốt
Bài2: Ba người cùng bắn vào một mục tiêu.Gọi
k
A
là biến cố người thứ ba bắn trúng mục tiêu (k=1,2,3).Các biến cố
sau đây được viết bằng kí hiệu ra sao?
a/Chỉ có người thứ nhất bắn trúng mục tiêu b/Chỉ có một người bắn trúng mục tiêu
c/Chỉ có hai người bắn trúng mục tiêu d/Có ít nhất một người bắn trúng mục tiêu
Bài3: Khi kiểm tra theo thứ tự một lô hàng có 10 sản phẩm(các sản phẩm đều thuộc 1 trong 2 loại tốt hoặc xấu).Gọi
A
k
là biến cố "sản phẩm thứ k là loại xấu".Viết bằng kí hiệu các biến cố sau:
a/Cả 10 sản phẩm đều xấu b/Có ít nhất 1 sản phẩm xấu
c/Sáu sản phẩm đầu là tốt còn lại là xấu d/Các sản phẩm kiểm tra theo thứ tự chẵn là tốt,thứ tự lẻ là xấu
Bài4: Có 2 hộp đựng bi:hộp 1 đựng 3 bi trắng,7 bi đỏ,15 bi xanh ; hộp 2 đựng 10 bi trắng,6 bi đỏ,9 bi xanh.Ta lấy
ngẫu nhiên từ mỗi hộp 1 viên bi.Tìm xác suất để 2 viên bi lấy ra cùng màu (P= 207/625)
Bài5: Hai người cùng bắn vào một mục tiêu.Xác suất bắn trúng của từng người là 0,8 và 0,9.Tìm xác suất của các
biến cố sau
a/Chỉ có một người bắn trúng mục tiêu (P=0,26) b/Có ít nhất một người bắn trúng mục tiêu (P=0,98)
c/Cả hai người bắn trượt (P=0,02)

11
C¸c d¹ng to¸n th
C¸c d¹ng to¸n th


êng gỈp trong
êng gỈp trong


tỉ hỵp - x¸c st
tỉ hỵp - x¸c st
Bài6: Bắn liên tiếp vào 1 mục tiêu đến khi viên đạn đầu tiên trúng mục tiêu thì dừng.Tính xác suất sao cho phải bắn
đến viên đạn thứ 6.Biết rằng xác suất trúng mục tiêu của mỗi viên đạn là 0,2.Và các lần bắn độc lập với nhau
(P=0,065536)
Bài7: Gieo 2 con xúc xắc đối xứng và đồng chất.Gọi A là biến cố tổng số chấm xuất hiện là số lẻ.B là biến cố được ít
nhất một mặt một chấm.Hãy tính
a/ P(
A B∪
) (P=23/36) b/ P(AB) (P=1/6)
Bài8: Có 2 bóng điện với xác suất hỏng là 0,1 và 0,2 (Việc chúng hỏng là độc lập với nhau).Tính xác suất để mạch
khơng có điện do bóng hỏng nếu
a/Chúng được mắc song song P=0,02 b/Chúng được mắc nối tiếp P=0,28
Bài 9: Ba cậu bé chơi trò chơi gieo đồng xu liên tiếp. Ai giei được mặt sấp trước thì thắng cuộc. Tìm xác suất thắng
cuộc của mỗi cậu bé.
Bài 10 : Xác suất để 1 sản phẩm của nhà máy A bò hỏng là 0,05, khi kiểm tra một lô hàng gồm các sản
phẩm của nhà máy A, người ta lấy ngẫu nhiên n sản phẩm trong lô hàng, lô hàng bò loại nếu có ít nhất k
phế phẩm trong n sản phẩm lấy ra. Tính xác suất để lô hàng bò loại với : a/ n = 3 ;k = 1b/ n = 5; k
= 2
Bài 11 : Một mạng điện gồm một ngắt điện K và hai bóng điện Đ1, Đ2 được ghép nối tiếp. Mạng điện bò
tắt nếu ít nhất một trong ba bộ phận trên bò hỏng.

Tìm xác suất để cho mạng điện bò tắt, biết rằng xác suất bò hỏng tương ứng K, Đ1, Đ2, là 0,4 ; 0,5 ; 0,6 và
các bộ phận đó hỏng hóc một cách độc lập với nhau.
Bài 12: Một máy bay gồm có ba bộ phận có tầm quan trọng khác nhau. Muốn bắn rơi máy bay, thì chỉ cần
có một viên đạn trúng bộ phận thứ nhất, hoặc hai viên đạn trúng bộ phận thứ hai, hoặc ba viên đạn trúng
bộ phận thứ ba.
Xác suất để một viên đạn trúng bộ phận thứ nhất, thứ hai, thứ ba với điều kiện viên đạn đó đã trúng máy
bay tương ứng bằng 0,15 ; 0,30 và 0,55.
Tìm xác suất để máy bay bò bắn rơi khi
a/ có một viên đạn trúng máy bay ; b/ có hai viên đạn trúng máy bay;
c/ có ba viên đạn trúng máy bay; d/ có bốn viên đạn trúng máy bay.
Bài 13: Hai máy bay lần lượt ném bom vào một mục tiêu đã đònh. Mỗi máy bay có mang theo ba quả bom
và mỗi lần lao xuống chỉ ném một quả. Xác suất trúng đích của một quả bom ở máy bay thứ nhất bằng 0,4
còn của máy bay thứ hai là 0,5. Mục tiêu bò phá hủy ngay sau khi qủa bom đầu tiên rơi trúng mục tiêu. Tìm
xác suất mục tiêu bò phá hủy sao cho không sử dụng hết tất cả số bom ở hai máy.
Bài 14: Một hộp có 10 viên bi trong đó có 7 bi đỏ và 3 bi xanh.
a. Lấy lần lượt từng bi một không hoàn lại cho tới khi lấy được bi xanh thì thôi.Tìm xác suất để lấy được bi
xanh không quá 2 lần lấy bi b. Lấy lần lượt từng bi một không hoàn lại
cho tới khi lấy được 2 bi đỏ thì thôi. Tìm xác suất để lấy được 2 bi đỏ khi lấy ra không quá 3 bi.
Bài 15: Hai cầu thủ bóng rổ, mỗi người ném bóng 2 lần, xác suất ném trúng đích của mỗi cầu thủ theo thứ
tự là 0,6 và 0,7. Tính xác suất :
a/ Số lần ném trúng rổ của cầu thủ thứ nhất nhiều hơn số lần ném trúng rổ của cầu thủ thứ hai.
b/ Số lần ném trúng rổ của hai người như nhau.
Bài 16 : Một căn phòng điều trò có 3 bệnh nhân bệnh nặng với xác suất cần cấp cứu trong vòng một giờ
của các bệnh nhân tương ứng là 0,7 ; 0,8 và 0,9. Tìm các xác suất sao cho trong vòng một giờ :
a/ có hai bệnh nhân cần cấp cứu. b/ có ít nhất một bệnh nhân không cần cấp cứu.
Bài 17: Một công ty đầu tư 2 dự án A và B. Xác suất thua lỗ dự án A là 10% và xác suất thua lỗ dự án B là 20%.
Sự thua lỗ của 2 dự án là phụ thuộc với nhau và biết xác suất để công ty thua lỗ cả 2 dự án A và B là 5%.
a/ Tìm xác suấ để cả 2 dự án A và B đều không bò thua lỗ. b/ Tìm xác suất để có đúng 1 dự án bò thua lỗ.
Bài 18: Một Công ty đấu thầu 2 dự án A và B, dự án A đấu thầu trước. Khả năng thắng thầu dự án A là
90%. Nếu dự án A thắng thầu thì khả năng thắng thầu dự án B là 80%. Nếu dự án A không thắng thầu thì

khả năng thắng thầu dự án B là 50%
a. Tìm xác suất Công ty thắng thầu ít nhất một dự án. b. Tìm xác suất Công ty chỉ thắng thầu một dự án
c. Tìm xác suất Công ty chỉ thắng thầu dự án B.
12
C¸c d¹ng to¸n th
C¸c d¹ng to¸n th


êng gỈp trong
êng gỈp trong


tỉ hỵp - x¸c st
tỉ hỵp - x¸c st
Bài 19 Một Công ty đấu thầu 2 dự án A và B, khả năng thắng thầu dự án A là 90%; khả năng thắng thầu
dự án B là 77% và khả năng thắng thầu đồng thời cả 2 dự án là 72%
a. Tìm xác suất Công ty chỉ thắng thầu 1 dự án b. Tìm xác suất Công ty có ít nhất 1 dự án không thắng
thầu
c. Tìm xác suất Công ty đều không thắng thầu cả 2 dự án .
Bài 20 : Một sọt cam rất lớn được phân loại theo cách sau: Chọn ngẫu nhiên 20 quả cam làm mẫu đại diện.
Nếu mẫu này không chứa quả cam hỏng nào thì sọt cam được xếp loại 1. Nếu mẫu cho một hoặc hai quả
hỏng thì sọt cam xếp loại 2. Trong trường hợp còn lại (có từ 3 quả hỏng trở lên) sọt cam được xếp loại 3.
Trên thực tế 3% số cam trong sọt bò hỏng. Tìm xác suất để sọt cam được xếp loại :
a/ Loại 1 ; b/ Loại 2 ; c/ Loại 3.
Bài 21 : Một bài thi trắc nghiệm (multiple-choice test) gồm 12 câu hỏi, mỗi câu hỏi cho 5 câu trả lời, trong
đó chỉ có một câu đúng. Giả sử mỗi câu trả lời đúng được 4 điểm và mỗi câu trả lời sai bò trừ 1 điểm.
Một học sinh kém làm bài bằng cách chọn hú họa một câu trả lời. Tìm xác suất để:
a/ Anh ta được 13 điểm ; b/ Anh ta được điểm âm.
Bài 22. Một hộp có 7 thành phẩm và 3 phế phẩm. Lẫy ngẫu nhiên lần lượt từng sản phẩm một không hoàn
lại cho tới khi lấy được hai thành phẩm thì dừng lại. a. Tìm xác suất để chỉ lấy ra sản phẩm ở lần

thứ tư thì dừng lại. b. Tìm xác suất để việc dừng lại khi không lấy quá 4 sản phẩm
Bài 23 : Một chiếc máy bay có thể xuất hiện ở vò trí A với xác suất
3
2
và ở vò trí B với xác suất
3
1
. Có ba
phương án bố trí 4 khẩu pháo bắn máy bay như sau :
Phương án 1 : 3 khẩu đặt tại A, một khẩu đặt tại B. Phương án 2 : 2 khẩu đặt ở A, 2 khẩu đặt ở B.
Phương án 3 : 1 khẩu đặt ở A và 3 khẩu đặt ở B.
Biết rằng xác suất bắn trúng máy bay của mỗi khẩu pháo là 0,7 và các khẩu pháo hoạt động độc lập với
nhau, hãy chọn phương án tốt nhất.
Bài 24. Một thiết bò có 2 bộ phận hoạt động độc lập. Khả năng chỉ có một bộ phận bò hỏng là 0,38. Tìm xác
suất để bộ phận thứ nhất bò hỏng, biết rằng khả năng để bộ phận thứ 2 bò hỏng là 0,8
Bài 25 : Một nhà máy sản xuất bóng đèn có tỉ lệ bóng đèn đạt tiêu chuẩn là 80%. Trước khi xuất ra thò
trường, mỗi bóng đèn đều được qua kiểm tra chất lượng. Vì sự kiểm tra không thể tuyệt đối hoàn hảo nên
một bóng đèn tốt có xác suất 0,9 được công nhận là tốt và một bóng đèn hỏng có xác suất 0,95 bò loại bỏ.
Hãy tính tỉ lệ bóng đạt tiêu chuẩn sau khi qua khâu kiểm tra chất lượng.
Bài 26 : Có 4 nhóm xạ thủ tập bắn. Nhóm thứ nhất có 5 người, nhóm thứ hai có 7 người, nhóm thứ ba có 4
người và nhóm thứ tư có 2 người. Xác suất bắn trúng đích của mỗi người trong nhóm thứ nhất, nhóm thứ
hai, nhóm thứ ba và nhóm thứ tư theo thứ tự là 0,8 ; 0,7 ; 0,6 và 0,5. Chọn ngẫu nhiên một xạ thủ và xạ thủ
này bắn trượt. Hãy xác đònh xem xạ thủ này có khả năng ở trong nhóm nào nhất.
Bài 27 : Trong số bệnh nhân ở một bệnh viện có 50% điều trò bệnh A, 30% điều trò bệnh B và 20% điều trò
bệnh C. Xác suất để chữa khỏi các bệnh A, B và C trong bệnh viện này tương ứng là 0,7 ; 0,8 và 0,9. Hãy
tính tỉ lệ bệnh nhân được chữa khỏi bệnh A trong tổng số bệnh nhân đã được chữa khỏi bệnh.
Bài 28 : Một nhà máy có 3 phân xưởng cùng sản xuất một loại sản phẩm (1 cách độc lập). Phân xưởng 1, 2,
3 sản xuất 36%, 34%, 30% tổng sản phẩm của nhà máy, tỉ lệ phế phẩm của phân xưởng 1, 2, 3 lần lượt là
0,12 ; 0,10 ; 0,08.
a/ Tìm tỉ lệ phế phẩm của nhà máy.

b/ Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm của nhà máy, giả sử sản phẩm đó là thành phẩm, khả năng thành
phẩm đó thuộc phân xưởng nào nhiều hơn.
Bài 29: Có 2 lô hàng, lô 1 có 10 thành phẩm, 4 phế phẩm ; lô II có 12 thành phẩm, 5 phế phẩm. Từ lô 1 lấy ra 1
sản phẩm, từ lô II lấy ra 3 sản phẩm. Rồi từ số sản phẩm lấy ra đó lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm, tính xác suất
để :
a/ 2 sản phẩm chọn ra lần cuối đều là thành phẩm. b/ có ít nhất 1 thành phẩm.
Bài 30 : Có 2 thùng hàng, thùng thứ I chứa 10 sản phẩm, thùng thứ II chứa 8 sản phẩm và trong mỗi thùng
đều có 2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm ở thùng hàng thứ I cho vào thùng hàng thứ II rồi lại lấy
ngẫu nhiên từ thùng hàng thứ II 1 sản phẩm rồi bỏ lại vào thùng hàng thứ I, cuối cùng lấy 1 sản phẩm từ
13
C¸c d¹ng to¸n th
C¸c d¹ng to¸n th


êng gỈp trong
êng gỈp trong


tỉ hỵp - x¸c st
tỉ hỵp - x¸c st
thùng hàng thứ I. Tính xác suất : a/ sản phẩm lấy ra cuối cùng là phế phẩm. b/ sản phẩm lấy
ra cuối cùng thuộc thùng hàng thứ II ở lúc ban đầu.
Bài 31 : Tỉ số khách nội tỉnh, ngoại tỉnh và ngoại quốc vào 1 cửa hàng A trong 1 ngày là 8 : 4 : 1. Xác suất
để khách nội tỉnh, ngoại tỉnh và ngoại quốc vào cửa hàng và mua hàng lần lượt là 0,4 ; 0,3 và 0,2.
a/ Tính xác suất để có 1 khách hàng vào cửa hàng mua hàng.
b/ Giả sử có 1 người khách mua hàng. Tính xác suất để người đó là khách ngoại quốc.
Bài 32 : Một hộp có 3 bi đỏ, 2 bi xanh lần thứ nhất lấy ra 1 bi và quan sát, nếu là bi đỏ thì bỏ bi đó vào hộp
cùng với 2 bi đỏ khác nhữa, nếu là bi xanh thì bỏ bi đó vào hộp cùng 1 bi xanh khác nữa. Lần thứ hai lấy ra
1 bi và quan sát. a/ Tính xác suất để bi lấy ra lần 2 là bi đỏ.
b/ Giả sử bi lấy ra lần 2 là bi đỏ, tính xác suất để bi đỏ đó là bi của hộp lúc ban đầu (tức không phải bi đỏ

mới bỏ vào).
Bài 33 : Trong việc truyền tin bằng điện tín ta thường dùng các tín hiệu chấm (.) và gạch ngang (−). Do
tiếng ồn ngẫu nhiên nên trung bình có
4
1
dấu chấm và
5
1
dấu gạch ngang truyền đi bò sai (tín hiệu này
chuyển thành tín hiệu kia). Tỷ số của các tín hiệu chấm và gạch ngang được truyền đi là 3/5. Tìm xác suất
để tín hiệu sau truyền đi đến nơi nhận đúng như ban đầu là :
a/ tín hiệu chấm. b/ tín hiệu gạch ngang.
Bài 34 : Có hai chiếc hộp, hộp I có 2 thành phẩm, 1 phế phẩm, hộp II có 3 thành phẩm, 1 phế phẩm. Lấy
ngẫu nhiên 1 hộp rồi từ đó lấy ra một sản phẩm bỏ vào hộp kia, sau đó từ hộp kia lấy ra 1 sản phẩm.
a/ Tính xác suất để sản phẩm lấy ra bỏ vào hộp kia và sản phẩm lấy từ hộp kia ra đều thành phẩm.
b/ Tính xác suất để sản phẩm lấy ra lần sau cũng là thành phẩm.
Bài 35 : Trong một kì thi vào Đại học mỗi thí sinh phải lần lượt thi 3 môn. Khả năng để một thí sinh A nào
đó thi đạt môn thứ 1 là 0,8, nếu thi đạt môn thứ 1 thì khả năng thi đạt môn 2 là 0,8 nhưng nếâu thi không
đạt môn thứ 1 thì khả năng thi đạt môn thứ 2 là 0,6, nếu thi đạt cả 2 môn đầu thì khả năng thi đạt môn 3 là
0,8, nếu thi không đạt cả hai môn đầu thì khả năng thi đạt môn 3 là 0,5 ; nếu chỉ có một môn trong 2 môn
thi trước đạt thì khả năng thi đạt môn 3 là 0,7. Tính xác suất để thí sinh đó thi
a/ đạt cả 3 môn. b/ không đạt cả 3 môn. c/ chỉ đạt có 2 môn.
Bài 36 : Có 2 xạ thủ loại 1 và tám xạ thủ loại 2, xác suất bắn trúng đích của các loại xạ thủ theo thứ tự là 0,9 và 0,8.
a/ Lấy ngẫu nhiên ra một xạ thủ và xạ thủ đó bắn một viên đạn. Tìm xác suất viên đạn đó trúng đích.
b/ Nếu lấy ra hai xạ thủ và mỗi người bắn một viên, thì khả năng của hai viên đều trúng đích là bao
nhiêu ?
Bài 37 : Có 2 lô sản phẩm.
Lô 1 : Gồm toàn chính phẩm. Lô 2 : Có tỉ lệ phế phẩm và chính phẩm là ¼.
Chọn ngẫu nhiên một lô, trong lô này lấy ngẫu nhiên một sản phẩm, thấy nó là chính phẩm, rồi hoàn lại
sản phẩm này vào lô. Hỏi rằng nếu lấy ngẫu nhiên (cũng từ lô đã chọn) một sản phẩm thì xác suất để sản

phẩm này là phế phẩm bằng bao nhiêu ?
Bài 38 : Có 2 lô hàng.
Lô 1 : Có 7 thành phẩm và 3 phế phẩm. Lô 2 : Có 8 thành phẩm và 2 phế phẩm.
Từ lô thứ nhất lấy ra 2 sản phẩm, từ lô thứ hai lấy ra 3 sản phẩm rồi trong số sản phẩm được lấy ra lại lấy
tiếp ngẫu nhiên 2 sản phẩm. Tính xác suất để trong hai sản phẩm đó có ít nhất một thành phẩm.
Bài 39 : Xí nghiệp A sản xuất một loại sản phẩm với xác suất hỏng của mỗi sản phẩm bằng p, ở phân
xưởng, sản phẩm có thể được một trong ba nhân viên kiểm tra chất lượng với xác suất như nhau. Xác suất
phát hiện sản phẩm hỏng của người thứ i là pi (i = 1,3). Nếu sản phẩm không bò loại ở phân xưởng thì được
chuyển đến KCS của nhà máy và ở đó, sản phẩm hỏng sẽ được phát hiện với xác suất po, tìm xác suất để
sản phẩm bò loại.
Bài 40 : Một hộp có đựng 15 quả bóng bàn trong đó có 9 quả bóng còn mới. Lần đầu ta lấy ra ba quả để thi
đấu. Sau đó lại trả ba quả đó vào hộp. Lần thứ hai lại lấy ra ba quả. Tìm xác suất để cả ba quả bóng lấy ra
lần thứ hai đều là bóng mới.
Bài 41: Có 3 chiếc hộp:Hộp 1 có 6 bi đỏ và 4 bi xanh
Hộp 2 có 5 bi đỏ và 2 bi xanh Hộp 3 có 4 bi đỏ bà 5 bi xanh
14
C¸c d¹ng to¸n th
C¸c d¹ng to¸n th


êng gỈp trong
êng gỈp trong


tỉ hỵp - x¸c st
tỉ hỵp - x¸c st
Lấy 2 bi từ hộp 1 bỏ vào hộp 2 sau đó lấy 1 bi bỏ vào hộp 3 rồi từ hộp 3 lấy ra 1 bi.
a. Tìm xác suất bi lấy ra từ hộp 3 là bi đỏ
b. Biết bi lấy ra từ hộp 3 là bi đỏ. Tìm xác suất để bi đó là bi của hộp 3 lúc đầu.
Bài 42 Có hai chiếc hộp: - Hộp 1 có 6 bi đỏ và 4 bi xanh - Hộp 2 có 4 bi đỏ và 3 bi xanh

Lấy ngẫu nhiên 1 hộp rồi từ đó lấy ra 1 bi bỏ vào hộp kia. Sau đó từ hộp kia lấy 2 bi.
a. Tìm xác suất 2 bi lấy ra từ hộp kia là 2 bi đỏ.
b. Biết 2 bi lấy ra từ hộp kia là 2 bi đỏ. Tìm xác suất để trong đó có 1 bi đỏ của hộp này và 1 bi của hộp kia.
Bài 43: Có 2 chiếc hộp : Hộp 1 : có 3 bi đỏ và 2 bi xanh Hộp 2 : có 5 bi đỏ và 3 bi xanh.
Lấy ngẫu nhiên 2 bi từ hộp 1 bỏ vào hộp 2 trộn đều. Sau đó từ hộp 2 lấy ra 2 bi.
a/ Tìm xác suất để 2 bi lấy ra từ hộp 2 là 2 bi đỏ.
b/ Tìm xác suất để 2 bi lấy ra từ hộp 2 có 1 bi của hộp 1 bỏ vào và 1 bi của hộp 2 lúc ban đầu. Khi
biết 2 bi đã lấy ra từ hộp 2 là 2 bi đỏ.
Bài 44. Một hộp có 6 bi đỏ và 4 bi xanh. Lần 1 lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 1 bi, nếu là bi đỏ thì bỏ bi đỏ đó trở
lại hộp và thêm vào 2 bi đỏ nữa, nếu là bi xanh thì bỏ bi xanh đó trở lại hộp và thêm vào 4 bi xanh nữa.
Lần 2 lấy từ hộp ra 2 bi. a. Tìm xác suất 2 bi lấy ra lần 2 là bi xanh.
b. Biết 2 bi lấy lần 2 là 2 bi xanh. Tìm xác suất để 2 bi xanh lấy ra đó là 2 bi xanh của hộp lúc ban
đầu.
Bài 45. Có 2 chiếc hộp: Hộp 1: Có 6 bi đỏ và 4 bi xanh Hộp 2: Có 5 bi đỏ và 3 bi xanh
Lấy ngẫu nhiên 2 bi từ hộp 1 bỏ vào hộp 2, sau đó từ hộp 2 lấy ra 2 bi.
a. Tìm xác suất 2 bi lấy ra từ hộp là 2 bi đỏ. b. Biết 2 bi lấy ra từ hộp 2 là 2 bi đỏ. Tìm xác suất để 2 bi
đỏ là 2 bi của hộp 1 bỏ vào. c. Biết 2 bi lấy ra từ hộp 2 là 2 bi đỏ và không bỏ 2 bi đó
trở lại mà lấy ra tiếp thêm 1 bi. Tìm xác suất bi lấy ra tiếp đó là bi đỏ.
Bài 46 Có 3 chiếc hộp: Hộp 1: Có 3 bi đỏ và 2 bi xanh Hộp 2: Có 7 bi đỏ và 3 bi xanh
Hộp 3: Có 4 bi đỏ và 3 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên từ hộp 1 ra 2 bi và từ hộp 2 ra 1 bi đem bỏ vào hộp 3 trộn
đều. Sau đó lấy từ hộp 3 ra 1 bi. a. Tìm xác suất bi lấy ra từ hộp 3 là bi đỏ
b. Biết bi lấy ra từ hộp 3 là bi đỏ. Tìm xác suất để bi đỏ lấy
Bài 47 : Tỷ số xe vận tải và ô tô con đi qua đường phố có trạm bơm dầu là
2
5
.
Xác suất để cho một xe tải qua phố được nhận dầu là 0,1. Còn xác suất để một xe con qua phố được đến
nhận dầu là 0,2.Có một xe ô tô đến trạm để nhận dầu. Tìm xác suất để xe đó là xe tải.
Bài 48: Một nhà máy sản xuất bút máy có 90% sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ thuật. Trong quá trình kiểm
nghiệm, xác suất để chấp nhận một sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ thuật là 0,95 và xác suất để chấp nhận

một sản phẩm không đạt tiêu chuẩn kỹ thuật là 0,08.
Tìm xác suất để một sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ thuật qua kiểm nghiệm được chấp nhận.
Bài 49: Có 2 quả tên lửa bắn vào một mục tiêu một cách độc lập. Xác suất trúng mục tiêu của quả tên lửa
thứ nhất và quả tên lửa thứ 2 tương ứng là 70% và 80%. Nếu có 1 quả trúng mục tiêu thì mục tiêu bò diệt
với xác suất là 80%. Nếu cả 2 quả trúng mục tiêu thì mục tiêu bò diệt với xác suất là 90%.
a. Tìm xác suất để mục tiêu bò diệt
b. Biết mục tiêu đã bò tiêu diệt. Tìm xác suất để quả tên lửa thứ nhất trúng mục tiêu.
Bài 50: Một hộp có 10 sản phẩm trong đó có 8 thành và 2 phế phẩm. Trong quá trình vận chuyển thì bò
mất đi 2 sản phẩm không rõ chất lượng ta lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm trong 8 sản phẩm còn lại.
a. Tìm xác suất để 2 sản phẩm ta lấy là thành phẩm.
b. Tìm xác suất để có ít nhất 1 thành phẩm bò mất. Biết rằng 2 sản phẩm ta lấy đều thành phẩm.
Bài 51: Một người có ba chỗ ưa thích như nhau để câu cá. Xác suất câu được cá trong 1 lần thả câu ở chỗ
thứ nhất, thứ 2 và thứ 3 tương ứng là 0,6; 0,7; 0,8. Biết rằng người đó đã chọn 1 chỗ và thả câu 3 lần độc
lập và chỉ câu được 2 con cá. Tìm xác suất để người đó câu ở chỗ thứ nhất.
Bài 52 :Một công nhân đi làm ở thành phố khi trở về nhà có hai cách : hoặc đi theo đường ngầm hoặc đi
qua cầu. Biết rằng ông ta đi lối đường ngầm trong 1/3 các trường hợp còn lại đi lối cầu. Nếu đi lối đường
15
C¸c d¹ng to¸n th
C¸c d¹ng to¸n th


êng gỈp trong
êng gỈp trong


tỉ hỵp - x¸c st
tỉ hỵp - x¸c st
ngầm 75% trường hợp ông ta về đến nhà trước 6 giờ; còn nếu đi lối cầu thì chỉ có 70% trường hợp (nhưng
đi lối cầu thích hơn). Tìm xác suất để cn đó đã đi lối cầu biết rằng ông ta về đến nhà sau 6 giờ.
Bài 53: Tại một bệnh viện tỷ lệ mắc bệnh A là 10%. Để chẩn đoán xác đònh người ta làm phản ứng miễn

dòch, nếu không bò bệnh thì phản ứng dương tính chỉ có 10%. Mặt khác biết rằng khi phản ứng là dương
tính thì xác suất bò bệnh là 0,5.
a/ Tìm xác suất phản ứng dương tính của nhóm có bệnh. b/ Tìm xác suất chẩn đoán
đúng.
Bài 54 : Hai người thợ cùng may một loại áo với xác suất để may được sản phẩm chất lượng cao tương ứng
là 0,8 và 0,9. Biết có một người khi may 6 áo thì có 5 sản phẩm chất lượng cao. Tìm xác suất để người đó
may 6 áo nữa thì có 5 áo chất lượng cao.
Bài 55 : Giả sử có 3 kiện hàng với số sản phẩm tốt tương ứng của mỗi kiện là 20, 15, 10. Lấy ngẫu nhiên
một kiện hàng (giả sử 1 kiện có cùng khả năng bò rút) rồi từ đó lấy hú họa 1 sản phẩm thì được sản phẩm
tốt. Trả sản phẩm đó lại kiện hàng vừa lấy ra, sau đó lại lấy tiếp 1 sản phẩm thì được sản phẩm tốt.
Tìm xác suất để các sản phẩm được lấy từ kiện hàng thứ 3, biết rằng các kiện hàng đều có 20 sản phẩm.
Bài 56: Một cái hộp có 8 thành phẩm và 2 phế phẩm. Trong quá trình vận chuyển bò mất đi 2 sản phẩm
không rõ chất lượng . Lấy ngẫu nhiên 2 sản trong 8 sản phẩm còn lại.
a/ Tìm xác suất 2 sản phẩm lấy ra là thành phẩm.
b/ Tìm xác suất để có ít nhất 1 thành phẩm bò mất , biết rằng 2 sản phẩm láy ra là thành phẩm.
c/ Biết rằng 2 sản phẩm lấy ra là thành phẩm. Tìm xác suất để lấy tiếp một sản phẩm nữa dược phế phẩm.
Bài 57: Một thùng rượu có 20 chai, trong đó có 3 chai rượu giả. Trong quá trình vận chuyển bò mất 1 chai
không rõ chất lượng. Lấy ngẫu nhiên 1 chai trong 19 chai còn lại.
a. Tìm xác suất để chai lấy ra là chai thật b. Biết chai lấy ra là chai thật. Tìm xác suất để lấy tiếp ra 2 chai
nữa có 1 chai thật và 1 chai giả.
Bài1: Một chi tiết máy được lấy ngẫu nhiên.Chi tiết loại 1(chi tiết A);chi tiết loại 2(chi tiết B);chi tiết loại 3(chi
tiết C).Hãy mơ tả các biến cố sau đây
a/
A B∪
b/
A B+
c/
( . )A B C∪
d/
.AC

Bài 58 : Ba người cùng bắn vào một mục tiêu. Xác suất bắn trúng đích của người thứ 1, 2, 3 lần lượt là 0,5 ;
0,6 ; 0,7. Gọi Ai là sự kiện chỉ người thứ i bắn trúng mục tiêu i = 1, 2, 3. Hãy biểu diễn các sự kiện sau theo
các sự kiện Ai,
i
A
; i = 1, 2, 3 và tính xác suất của các sự kiện đó.
a/ A = sự kiện chỉ có một người bắn trúng đích. b/ A = sự kiện có nhiều nhất 1 người bắn trúng đích.
c/ C = sự kiện mục tiêu (đích) bò bắn trúng.
Bài 59: Ta kiểm tra theo thứ tự một lô hàng có 10 sản phẩm. Các sản phẩm đều thuộc một trong hai loại :
tốt hoặc xấy. Ta ký hiệu Ak (k =
10,1
) là biến cố chỉ sản phẩm kiểm tra thứ k thuộc loại xấu. Viết bằng ký
hiệu các biến cố sau đây :
a/ Có 10 sản phẩm đều xấu. b/ Có ít nhất một sản phẩm xấu.
c/ Có 6 sản phẩm kiểm tra đầu là tốt, các sản phẩm còn lại là xấu.
d/ Các sản phẩm kiểm tra theo thứ tự chẵn là tốt, còn các sản phẩm kiểm tra theo thứ tự lẻ là xấu.
LOẠI 3 : BÀI TẬP VỀ BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC
Bài1: Một hộp có 3 quả cầu trắng và 2 quả cầu đen.Lấy ngẫu nhiên từng quả cầu cho đến khi lấy được quả cầu
trắng.Hãy lập bảng phân phối xác suất của các quả cầu được lấy ra
Bài2: Một phòng thi vấn đáp có 20 câu hỏi lý thuyết và 10 câu bài tập.Mỗi người vào thi được lấy 1 câu lý thuyết và
1 câu bài tập.Trả lời đúng được 5 điểm,trả lời sai được 0 điểm (cho mỗi câu).Việc trả lời câu lý thuyết và câu bài tập
là độc lập.Khi vào thi hcọ sinh A thuộc 12 câu lý thuyết và có thể làm được 6 câu bài tập.
a/Tính xác suất để A đạt điểm 0 (P= 4/25)
b/Gọi X là số điểm A đạt được.CMR: X là một biến ngẫu nhiên rời rạc
- Lập bảng phân bố xác suất của X.
- Tính xác suất để A đạt từ 5 điểm trở lên (P= 21/25)
c/Tính số điểm trung bình mà A có thể đạt được (Kỳ vọng E(X)=6)
Bài3: Một thiết bị gồm 3 bộ phận hoạt động độc lập với nhau.Xác suất trong thời gian t các bộ phận bị hỏng tương
ứng là: 0,4 ; 0,2 ; 0,3.Gọi X là số bộ phận bị hỏng trong thời gian t
a/Lập bảng phân bố xác suất của X

16
C¸c d¹ng to¸n th
C¸c d¹ng to¸n th


êng gÆp trong
êng gÆp trong


tæ hîp - x¸c suÊt
tæ hîp - x¸c suÊt
b/Xác suất để trong thời gian t có không quá 2 bộ phận bị hỏng là bao nhiêu?
Bài4: Một người đi từ nhà đến cơ quan phải qua 3 ngã tư.Xác suất để người đó gặp đèn đỏ ở các ngã tư tương ứng
là : 0,2 ; 0,4 ; 0,5.Mỗi khi gặp đèn đỏ người ấy phải dừng lại 3 phút.Hỏi thời gian trung bình mà người đó phải dừng
lại trên đường là bao nhiêu? (đáp số : khoảng 3,3 phút)
Bài5: Hai cầu thủ lần lượt ném bóng vào rổ cho đến khi trúng với xác suất ném trượt của từng người là: 0,7 và
0,6.Người thứ nhất ném trước
a/Lập bảng phân bố xác suất của số lần ném rổ cho mỗi người
b/Lập bảng phân bố xác suất của tổng số lần ném rổ của cả hai người
17