skkn: ỨNG DỤNG HỆ THỨC VIÉT TRONG GIẢI TOÁN
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (219.81 KB, 25 trang )
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
1. Tên sáng kiến:
ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI-ÉT
TRONG GIẢI TOÁN
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Môn Toán
3. Thời gian áp dụng sáng kiến:
Từ ngày 5/9/2009 đến ngày 5/5/2010
4. Tác giả:
Họ và tên: Phạm Thị Thuận
Năm sinh: 1976
Nơi thường trú: Thị trấn Gôi - Huyện Vụ Bản - Tỉnh Nam Định
Trình độ chuyên môn: ĐHSP Toán
Chức vụ công tác: Phó hiệu trưởng
Nơi làm việc:
Trường THCS Thị trấn Gôi - Huyện Vụ Bản - Tỉnh Nam Định
Địa chỉ liên hệ: Phạm Thị Thuận - Trường THCS Thị trấn Gôi - Huyện
Vụ Bản - Tỉnh Nam Định.
Số điện thoại: 0945273339
5. Đơn vị áp dụng sáng kiến:
Tên đơn vị: Trường THCS Thị trấn Gôi.
Địa chỉ: Thị trấn Gôi - Huyện Vụ Bản - Tỉnh Nam Định.
Số điện thoại: 03503820694.
Trang 1
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
I. Điều kiện, hoàn cảnh tạo ra sáng kiến:
Trong chương trình sách giáo khoa Toán lớp 9 THCS, học sinh được làm quen
với phương trình bậc hai, công thức nghiệm của phương trình bậc hai, đặc biệt là hệ
thức Vi-ét và ứng dụng của nó trong việc giải toán.
Song qua việc khảo sát tại trường THCS, tôi nhận thấy các em vận dụng hệ thức
Vi-ét chưa thật linh hoạt, chưa biết khai thác và sử dụng hệ thức vào giải nhiều loại
toán, trong khi đó hệ thức Vi-ét lại có phạm vi ứng dụng rất rộng rãi, đó là một nội
dung quan trọng trong chương trình Toán 9.
Đứng trước tình hình đó, tôi đi sâu nghiên cứu việc "Ứng dụng hệ thức Vi-ét
trong giải toán" với mong muốn giúp cho học sinh nắm vững và sử dụng thành thạo hệ
thức Vi-ét, đồng thời làm tăng khả năng, năng lực học toán và kích thích hứng thú học
tập của học sinh.
II. Thực trạng
Khi học về hệ thức Vi-ét, nhiều học sinh chỉ nắm được hệ thức và vận dụng đơn
thuần hệ thức để tính tổng, tích các nghiệm. Còn đứng trước một bài toán dạng: Tìm
giá trị của tham số để phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn điều kiện cho
trước hoặc lập hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số, thì với học
sinh đại trà, đa số các em thường tỏ ra lúng túng, không biết cách giải.
Để giúp học sinh nắm vững kiến thức về phương trình bậc hai, nhất là việc vận
dụng hệ thức Vi-ét, trong quá trình giảng dạy, tôi đã tổng hợp, phân dạng toán có sử
dụng hệ thức Vi-ét để giải nhằm giúp cho học sinh nắm được phương pháp giải từng
loại toán đó. Từ đó các em có kỹ năng nhận dạng và đề ra phương pháp giải thích hợp
trong từng trường hợp cụ thể.
III. Các giải pháp
1. Hệ thống kiến thức cơ bản
* §Þnh lý Vi-Ðt:
Nếu x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 thì
Trang 2
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
S = x
1
+x
2
=
b
a
−
P = x
1
.x
2
=
c
a
Điều cần lưu ý là để áp dụng được hệ thức Vi-ét thì phương trình phải có nghiệm.
* Ứng dụng:
+ Nếu phương trình ax
2
+ bx + c = 0
( )
0a ≠
có a + b + c = 0 thì phương trình có
một nghiệm là
1
1x =
, còn nghiệm kia là
2
c
x
a
=
+ Nếu phương trình ax
2
+ bx + c = 0
( )
0a ≠
có a - b + c = 0 thì phương trình có
một nghiệm là
1
1x = −
, còn nghiệm kia là
2
c
x
a
= −
+ Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của
phương trình X
2
- SX + P = 0.
Điều kiện để có hai số đó là:
2
4 0S P− ≥
2. C¸c d¹ng bµi tËp vËn dông hÖ thøc Vi-Ðt :
2.1. Dạng 1 : Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai
* Trường hợp phương trình bậc hai có các hệ số có quan hệ đặc biệt:
Ví dụ 1: Không giải phương trình, hãy nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a) 3x
2
- 5x + 2 = 0
b) 7x
2
+ x - 6 = 0
c) (m-1) x
2
+ mx - 1 = 0 (m
≠
1)
Giải:
a) 3x
2
- 5x + 2 = 0
Ta có a + b + c = 3 - 5 + 2 = 0 nên phương trình có hai nghiệm
x
1
= 1, x
2
=
c
a
=
2
3
b) 7x
2
+ x - 6 = 0
Ta có a - b + c = 7 -1 - 6 = 0 nên phương trình có hai nghiệm
Trang 3
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
x
1
= -1; x
2
=
c
a
−
=
6
7
c) (m-1) x
2
+ mx + 1 = 0 (m
≠
1)
Phương trình đã cho là phương trình bậc hai (do m
≠
1).
Ta có a - b + c = m -1 - m + 1 = 0 nên phương trình có hai nghiệm
x
1
= -1; x
2
=
c
a
−
=
1
1m −
* Trường hợp phương trình bậc hai không có sự đặc biệt về hệ số nhưng có
nghiệm nguyên đơn giản, ta có thể nhẩm nghiệm như sau:
Ví dụ 2: Nhẩm nghiệm của phương trình sau
a) x
2
- 7x + 10 = 0
b) x
2
+ 6x +8 = 0
Giải:
a) Ta có: 2 + 5 = 7 và 2 . 5 = 10.
Vậy ta nhẩm được hai nghiệm là x
1
= 2, x
2
= 5.
b) Tương tự như câu a) ta có -2 + (-4) = -6 và (-2)(-4) = 8.
Ta nhẩm được hai nghiệm là x
1
= -2, x
2
= -4
2.2. Dạng 2: Tìm giá trị của tham số khi biết một nghiệm của phương trình đã
cho và tìm nghiệm còn lại.
* Phương pháp:
+ Cách 1: Thay giá trị nghiệm đã biết vào phương trình để tìm tham số, sau đó
kết hợp với hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm còn lại.
+ Cách 2: Thay giá trị nghiệm đã biết vào một trong hai hệ thức của Vi-ét để tìm
nghiệm còn lại, sau đó kết hợp với hệ thức Vi-ét còn lại để tìm giá trị của tham số.
* Ví dụ:
Cho phương trình 2x
2
- px + 5 = 0.
Biết phương trình có một nghiệm là 2. Tìm p và tìm nghiệm còn lại
Giải:
Cách 1: Thay x = 2 vào phương trình ta được p =
13
2
. Theo hệ thức Vi-ét ta có
Trang 4
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
x
1
x
2
=
5
2
mà x
1
= 2 nên x
2
=
5
4
Cách 2: Vì phương trình có nghiệm nên theo hệ thức Vi-ét ta có
x
1
x
2
=
5
2
mà x
1
= 2 nên x
2
=
5
4
.
Mặt khác x
1
+ x
2
=
2
p
⇒
2
p
= 2 +
5
4
⇒ p =
13
2
2.3. Dạng 3: Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai
* Phương pháp: Dựa vào quan hệ về dấu của tổng và tích hai số với dấu của hai
số đó, kết hợp với hệ thức Vi-ét thì ta sẽ xét được dấu của hai nghiệm hoặc tìm điều
kiện của tham số để hai nghiệm thoả mãn điều kiện về dấu.
Cụ thể: Xét phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0.
Giả sử phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
. Gọi S là tổng hai nghiệm, P là tích hai
nghiệm. Khi đó:
a) P < 0 thì hai nghiệm đó trái dấu
b) P > 0 thì hai nghiệm đó cùng dấu
c) P > 0 và S > 0 thì hai nghiệm đều dương
d) P > 0 và S < 0 thì hai nghiệm đều âm
e) P < 0 và S > 0 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị
tuyệt đối lớn hơn.
f) P < 0 và S < 0 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt
đối lớn hơn.
+ Chú ý: Trước khi xét dấu nghiệm, cần chú ý xét xem phương trình có nghiệm
hay không.
* Các ví dụ:
Ví dụ1 : Không giải phương trình, xét dấu các nghiệm của các phương trình sau:
a) x
2
- 2
3
x + 4 = 0
b) x
2
+ 5x - 1 = 0
c) x
2
- 2
3
x + 1 =0
Trang 5
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
d) x
2
+ 9x + 6 = 0
Giải:
a) Ta có ∆ '= -1 < 0 nên phương trình vô nghiệm
b) Ta có P < 0 nên phương trình có hai nghiệm trái dấu
c) Ta có ∆' = 2 > 0; S = 2
3
> 0; P = 1 > 0 nên phương trình có
hai nghiệm dương phân biệt
d) Ta có ∆ =57 > 0; S = -9 < 0; P = 6 > 0 nên phương trình có
hai nghiệm âm phân biệt
Ví dụ 2: Tìm điều kiện của m để phương trình sau:
2x
2
+ (2m - 1)x + m - 1 = 0
a) Có hai nghiệm trái dấu
b) Có hai nghiệm phân biệt đều âm
c) Có hai nghiệm phân biệt đều dương
d) Có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau
Giải: Phương trình đã cho là phương trình bậc hai nên ta có:
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2 1 4.2. 1 4 4 1 8 8 4 12 9 2 3m m m m m m m m∆ = − − − = − + − + = − + = −
Ta thấy
0
∆ ≥
với mọi m (vì
( )
2
2 3 0m − ≥
với mọi m).
a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi P < 0 hay
1
0
2
m −
<
⇔ m < 1
b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm khi
( )
2
3
3
2 3 0
2
0
1
2
1 2 1
0 0 1 2 0
3
2 2
0 1 0
2
1 1
0
2
m
m
m
m
m
S m m
m
P m
m m
≠
− >
≠
∆ >
>
−
< ⇔ < ⇔ − < ⇔ > ⇔
≠
> − >
− >
>
c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương khi
Trang 6
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
( )
2
3
2
0 2 3 0
1
0 1 2 0
2
0 1 0
1
m
m
S m m
P m
m
≠
∆ > − >
> ⇔ − > ⇔ < ⇔
> − >
>
không có giá trị nào của m thoả mãn
d) Phương trình có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau
tức là phương trình có hai nghiệm đối nhau .
Phương trình có hai nghiệm đối nhau khi
0
0S
∆ ≥
=
⇔ 1 - 2m = 0 ⇔ m =
1
2
2.4. Dạng 4: Tính giá trị của biểu thức chứa các nghiệm của phương trình bậc
hai đã cho.
* Phương pháp: Biến đổi biểu thức về dạng chỉ chứa tổng và tích hai nghiệm, áp
dụng hệ thức Vi-ét ta sẽ tính được giá trị của biểu thức chứa các nghiệm.
* Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho phương trình x
2
+ mx + 1 = 0 (m là tham số)
Biết phương trình có nghiệm x
1
, x
2
. Hãy tính giá trị biểu thức sau theo m:
a) x
1
2
+ x
2
2
b) x
1
3
+ x
2
3
c)
1 2
x x−
Giải:
Vì phương trình có nghiệm x
1
, x
2
nên theo hệ thức Vi-ét ta có:
x
1
+ x
2
= -m và x
1
.x
2
= 1
a) x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+x
2
)
2
- 2x
1
x
2
= m
2
- 2
b) x
1
3
+ x
2
3
= (x
1
+x
2
)
3
- 3x
1
x
2
(x
1
+ x
2
) = -m
3
+ 3m
c) (x
1
- x
2
)
2
= (x
1
+x
2
)
2
- 4x
1
x
2
= m
2
- 4 nên
1 2
x x−
=
2
4m −
(vì phương trình
có hai nghiệm x
1
, x
2
nên ∆ = m
2
- 4 ≥ 0)
Ví dụ 2: Cho phương trình
x
2
- 4x + 1 = 0 . Tính giá trị của biểu thức
Trang 7
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
4
1 1 1
2 8 9 5A x x x= + + −
(với x
1
là một nghiệm của phương trình đã cho)
Phân tích: - Quan sát biểu thức ta thấy: cần biến đổi biểu thức dưới dấu căn bậc hai
thành dạng bình phương để đưa A về dạng A =
1 1
( ) 5B x x−
- Bằng cách xét dấu nghiệm ta chứng tỏ B(x
1
) > 0 từ đó tính được giá trị
của A.
Giải:
Vì x
1
là nghiệm của phương trình đã cho nên :
x
1
2
= 4x
1
-1 ⇒ x
1
4
= 16x
1
2
- 8x
1
+ 1
( )
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1
2 2
1 1 1 1 1 1
2
2
1 1 1 1 1 1 1
32 8 11 5 25 7 8 11 5
25 7(4 1) 8 11 5 (do 4 1)
25 20 4 5 5 2 5 5 2 5
A x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
= − + − = + − + −
= + − − + − = −
= + + − = + − = + −
Phương trình đã cho có ∆' > 0 nên theo hệ thức Vi-ét ta có:
1 2
1 2
4 0
1 0
x x
x x
+ = >
= >
Vậy phương trình có hai nghiệm cùng dương.
Ta có x
1
> 0 ⇒ 5x
1
+ 2 > 0 ⇒ A = 5x
1
+ 2 - 5x
1
= 2. Vậy A = 2.
Ví dụ 3: Cho phương trình x
2
+ x - 1 = 0
và x
1,
x
2
là nghiệm của phương trình (x
1
< x
2
) . Tính giá trị của biểu thức
8
1 1 1
10 13B x x x= + + +
Giải:
Từ giả thiết ta có: x
1
2
= 1 - x
1
⇒ x
1
4
= x
1
2
-2x
1
+ 1=(1 - x
1
) - 2x
1
+ 1=- 3x
1
+ 2
⇒ x
1
8
= 9x
1
2
- 12x
1
+ 4
⇒
8
1 1 1
10 13B x x x= + + +
=
2
1 1 1 1
9 12 4 10 13x x x x− + + + +
( )
( )
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2
2
1 1 1 1 1 1 1
9 2 17 8 2 17 8 1 2 17
10 25 5 5
x x x x x x x x x x x
x x x x x x x
= − + + = + − + + = + − − + +
= − + + = − + = − +
Theo hệ thức Vi-ét ta có P = x
1
x
2
= -1
Trang 8
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
Vì P < 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu mà x
1
< x
2
nên x
1
< 0
1
5 0x⇒ − <
Vậy B =
1 1
5x x− +
= 5 - x
1
+ x
1
= 5
2.5. Dạng 5: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn
hệ thức nào đó.
* Phương pháp:
- Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm (hoặc nếu nhận thấy
phương trình luôn có nghiệm thì chứng minh điều đó)
- + Đối với loại hệ thức bậc nhất giữa hai nghiệm (dạng mx
1
±
nx
2
= p) hoặc
dạng hiệu luỹ thừa của hai nghiệm (dạng x
m
- x
n
= p ) thì ta thường kết hợp với một
trong hai hệ thức của Vi-ét để được hệ phương trình. Giải hệ phương trình đó ta
tìm được hai nghiệm, thay vào hệ thức còn lại của Vi-ét ta tìm được giá trị của
tham số.
+ Đối với các hệ thức giữa hai nghiệm dạng khác (chẳng hạn: x
m
+ x
n
= p
hoặc
( ) ( )
m
xg
xg
xf
xf
=±
2
1
2
1
)()(
,
1 2
( ) ( )f x f x n± =
,
1 2
( ) ( )f x f x p± =
) ta thường biến đổi hệ
thức chứa nghiệm về dạng chỉ chứa tổng và tích hai nghiệm, từ đó áp dụng hệ thức
Vi-ét ta được phương trình có ẩn là tham số. Giải phương trình vừa lập ta tìm được
giá trị của tham số.
+ Đối với các phương trình có các hệ số có quan hệ đặc biệt (a + b + c = 0
hoặc a - b + c = 0) ta có thể tìm cụ thể nghiệm và thay vào hệ thức, từ đó tìm được
giá trị của tham số.
- Đối chiếu giá trị tìm được của tham số với điều kiện có nghiệm của phương
trình đã cho rồi kết luận.
* Các ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình x
2
+ 2x + m = 0 (m là tham số) có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn
a) 3x
1
+ 2x
2
= 1
Trang 9
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
b) x
1
2
-x
2
2
= 6
c) x
1
2
+ x
2
2
= 8
Giải: Phương trình x
2
+ 2x + m = 0 là phương trình bậc hai ẩn x nên ta có
' 1 m∆ = −
Để phương trình có nghiệm thì ∆'
≥
0 ⇔
1 0m
− ≥
⇔
1m
≤
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
1 2
1 2
2x x
x x m
+ = −
=
a) Kết hợp giả thiết với hệ thức Vi-ét ta có hệ:
1 2
1 2
1 2
2 (1)
3 2 1 (2)
(3)
x x
x x
x x m
+ = −
+ =
=
Giải hệ (1), (2) ta được x
1
= 5; x
2
= -7
Thay vào (3) ta được m = -35 (thoả mãn điều kiện)
b) Kết hợp giả thiết với hệ thức Vi-ét ta có hệ:
2 2
1 2
1 2
1 2
6 (1)
2 (2)
(3)
x x
x x
x x m
− =
+ = −
=
Giải hệ (1), (2) ta được x
1
=
5
2
−
; x
2
=
1
2
Thay vào (3) ta được m = -
5
4
(thoả mãn điều kiện)
c) x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
- 2x
1
x
2
= 4 - 2m
Ta có x
1
2
+ x
2
2
= 8
⇔
4 - 2m = 8
⇔
m = -2 (thoả mãn điều kiện)
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình (m-1)x
2
- 2mx +m + 2 = 0 (m là tham số) có hai
nghiệm phân biệt thoả mãn
1 2
2 1
6 0
x x
x x
+ + =
Giải:
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
( ) ( )
2
1
1 0 1
' 0 2
1 2 0
m
m m
m
m m m
≠
− ≠ ≠
⇔ ⇔ ⇔
∆ > <
− − + >
(*)
Điều kiện:
1 2
0 2x x m≠ ⇔ ≠ −
(**)
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:
Trang 10
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
1 2
1 2
2
1
2
1
m
x x
m
m
x x
m
+ =
−
+
=
−
Với điều kiện (*) và (**) ta có:
1 2
2 1
6 0
x x
x x
+ + =
( )
2
2 2
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
2
6 0 6 0
x x x x
x x
x x x x
+ −
+
⇔ + = ⇔ + =
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
4 2
2.
1
1 4 4 2 1
6 0 0
2
2 1
1
m m
m
m m m m
m
m m
m
+
−
−
− + + −
⇔ + = ⇔ =
+
+ −
−
( )
2 2 2
1 17
4
4 4 2 0 2 2 0
1 17
4
m
m m m m m
m
− −
=
⇔ + + − = ⇔ + − = ⇔
− +
=
Đối chiếu với điều kiện (*) và (**) thì m =
1 17
4
− ±
thỏa mãn. Vậy giá trị cần tìm của
m là: m =
1 17
4
− ±
.
Ví dụ 3: Cho phương trình: x
2
- (2m - 1)x -2m = 0 (1)
Tìm m để phương trình có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia?
Giải:
Nhận xét: Phương trình (1) là phương trình bậc hai ẩn x, có a = 1, b = -2m + 1,
c = -2m
Ta có a - b + c = 1 + 2m - 1 - 2m = 0 nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm: x
1
= -1,
x
2
= 2m với mọi m.
+ TH1: x
1
= 2 x
2
tức là
1
1 2.2
4
m m− = ⇔ = −
+ TH2: x
2
= 2 x
1
tức là
2 2.( 1) 1m m= − ⇔ = −
Vậy giá trị cần tìm của m là:
1
1,
4
m m= − = −
Ví dụ 4: Cho phương trình x
2
+ 3x – m = 0 (*)
Trang 11
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn điều kiện
1 2
3x x− =
Giải: Phương trình (*) là phương trình bậc hai nên ta có:
2
3 4 9 4m m∆ = + = +
Phương trình (*) có hai nghiệm
9
0 9 4 0
4
m m⇔ ∆ ≥ ⇔ + ≥ ⇔ ≥ −
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
1 2
1 2
3x x
x x m
+ = −
= −
( )
( )
2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2
1 2 1 2
2 4 2 4
5
4 4 9 4 4 (tmd )
4
x x x x x x x x
x x x x m m k
− = ⇔ − = ⇔ + − =
⇔ + − = ⇔ + = ⇔ = −
Vậy giá trị cần tìm của m là:
5
4
m = −
.
2.6. Dạng 6: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số
* Phương pháp:
+ Với dạng này thì cách giải chung là theo hệ thức Vi-ét ta có hai hệ thức
liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình. Từ một trong hai hệ thức ta biểu diễn
tham số theo hai nghiệm, sau đó thế vào hệ thức còn lại ta được hệ thức cần tìm.
+ Hoặc dùng quy tắc cộng để khử tham số từ hai hệ thức.
(Cần chú ý đến điều kiện có hai nghiệm của phương trình).
* Các ví dụ:
Ví dụ1 : Cho phương trình x
2
- 2(m + 1) x + m
2
=0
a) Tìm m để phương trình có nghiệm
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
Giải:
a) Phương trình đã cho là phương trình bậc hai ẩn x.
Ta có ∆' = (m + 1)
2
- m
2
= 2m + 1
Phương trình đã cho có nghiệm ⇔ ∆'
≥
0 ⇔ m
≥
-
1
2
b) Theo hệ thức Vi-ét ta có
1 2
2
1 2
2( 1) (1)
(2)
x x m
x x m
+ = +
=
Trang 12
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
Từ (1) ta có m =
1 2
1
2
x x+
−
thay vào (2) ta được
2
1 2
1 2
1
2
x x
x x
+
= −
÷
hay 4x
1
x
2
= (x
1
+ x
2
- 2)
2
là hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.
Ví dụ 2: Cho phương trình mx
2
- 2(m - 3)x + m+ 1 = 0 (m là tham số )
Biết phương trình luôn có hai nghiệm, tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ
thuộc vào m.
Giải :
Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm nên nó là phương trình bậc hai, do đó
0m ≠
Theo giả thiết phương trình luôn có hai nghiệm nên theo hệ thức Vi-ét ta có:
1 2
1 2
2( 3) 6
2 (1)
1 1
1 (2)
m
x x
m m
m
x x
m m
−
+ = = −
+
= = +
Ta có (2) ⇔ 6x
1
x
2
= 6 +
6
m
(3). Cộng vế với vế của (1) và (3)
ta được x
1
+ x
2
+ 6x
1
x
2
= 8.
Vậy hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m là:
x
1
+ x
2
+ 6x
1
x
2
= 8
2.7. Dạng 7: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất, chứng minh bất đẳng thức của biểu
thức chứa nghiệm.
* Phương pháp:
+Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.
+ Biến đổi biểu thức về dạng chỉ chứa tổng và tích hai nghiệm, từ đó vận
dụng hệ thức Vi-ét đưa biểu thức về dạng chỉ chứa tham số. Từ đó sử dụng các
phương pháp tìm cực trị, các phương pháp chứng minh bất đẳng thức ta sẽ giải
được bài toán (chú ý điều kiện có nghiệm).
* Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho phương trình x
2
- 2(m - 1)x + m - 5 = 0 với m là tham số
Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình trên. Với giá trị nào của m thì biểu thức
A = x
1
2
+ x
2
2
đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Trang 13
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
Giải:
Ta có ∆' = (m - 1)
2
-(m - 5) = m
2
- 3m + 6
2
3 15
2 4
m
= − +
÷
> 0 nên phương trình luôn
có nghiệm với mọi giá trị của m.
Theo hệ thức Vi-ét ta có: x
1
+ x
2
= 2(m - 1) và x
1
x
2
= m - 5
Ta có: A = x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+x
2
)
2
- 2x
1
x
2
= 4(m - 1)
2
- 2(m - 5)
= 4m
2
- 10m +14 =
2
5 31 31
2
2 4 4
m
− + ≥
÷
Dấu bằng xẩy ra khi m =
5
4
. Vậy A
min
=
31
4
khi m =
5
4
Ví dụ 2: Cho phương trình x
2
- mx + m - 1= 0 với m là tham số.
Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của
biểu thức:
1 2
2 2
1 2 1 2
2 3
2( 1)
x x
B
x x x x
+
=
+ + +
Giải:
Phương trình đã cho là phương trình bậc hai ẩn x.
Ta có ∆ = m
2
- 4(m - 1) = (m - 2)
2
≥
0 nên phương trình có nghiệm với mọi giá trị
của m.
Theo hệ thức Vi-ét ta có: x
1
+ x
2
= m và x
1
x
2
= m - 1
Thay vào biểu thức B ta có
( )
( )
1 2 1 2
2
2 2 2 2
1 2 1 2
1 2
2 1 3
2 3 2 3 2 1
2( 1) 2 2
2
m
x x x x m
B
x x x x m m
x x
− +
+ + +
= = = =
+ + + + +
+ +
Đặt t =
2
2 1
2
m
m
+
+
ta có tm
2
+ 2t = 2m+1
⇔
tm
2
- 2m + 2t - 1 = 0 (1)
Nếu t = 0 thì m =
1
2
−
Nếu t
≠
0 thì phương trình (1) là phương trình bậc hai đối với ẩn m. Ta có :
∆' = 1 - t(2t - 1) = -2t
2
+ t + 1
Trang 14
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
Biểu thức B nhận giá trị t khi phương trình (1) (phương trình bậc hai ẩn m) có nghiệm
⇔
' 0
∆ ≥
⇔ -2t
2
+ t + 1
≥
0 ⇔ 2t
2
- t - 1
≤
0 ⇔ (t - 1)(2t + 1)
≤
0 ⇔
1
1
2
t− ≤ ≤
t = -
1
2
khi m = -2 ; t =1 khi m = 1
Vậy B
min
=
1
2
−
khi m = -2; B
max
= 1 khi m = 1
Ví dụ 3: Giả sử x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình
2009x
2
- (2009m - 2010)x - 2009 = 0
Chứng minh:
C =
( )
2
2
1 2
1 2
1 2
3 1 1
2 24
2 2
x x
x x
x x
−
− + + − ≥
÷
Dấu bằng xảy ra khi nào?
Giải: Ta thấy phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = 2009, c = -2009.
a, c trái dấu nên phương trình luôn có hai nghiệm với mọi m.
Theo hệ thứcVi-ét ta có: x
1
+ x
2
=
2009 2010
2009
m −
và x
1
x
2
=
2009
1
2009
−
= −
Ta có:
( ) ( )
2 2
2 2
1 2 1 2 2 1
1 2 1 2
1 2 1 2
3 1 1 3
2 2
2 2 2 2
x x x x x x
C x x x x
x x x x
− − −
= − + + − = − + +
÷ ÷
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
1 2 2 1 1 2
1 2 1 2 1 2
3 3
2 2
2 2 1 2 2
x x x x x x
x x x x x x
− − −
= − + + = − + + −
÷
−
( )
( )
( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2
1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
3
3 3 9
2 6
2 2 2 2
x x
x x x x x x x x
−
= − + = − + − = −
Ta có: C = 6(x
1
- x
2
)
2
= 6[(x
1
+ x
2
)
2
- 4 x
1
x
2
] = 6[(x
1
+ x
2
)
2
+ 4]
≥
24
(vì (x
1
+ x
2
)
2
0≥
với mọi x
1
,
x
2
)
Dấu bằng xảy ra khi (x
1
+ x
2
)
2
= 0
⇔
x
1
+ x
2
= 0
⇔
2009 2010 2010
0
2009 2009
m
m
−
= ⇔ =
Ví dụ 4: Giả sử x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình x
2
+ 2mx + 4 = 0.
Xác định m để x
1
4
+ x
2
4
≤
32
Trang 15
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
Giải:
Phương trình đã cho là phương trình bậc hai ẩn x nên ta có
2
' 4m∆ = −
Để phương trình có nghiệm thì ∆'
≥
0 hay m
2
- 4
≥
0 ⇔
2m ≥
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
1 2
1 2
2
4
x x m
x x
+ = −
=
Ta có: x
1
4
+ x
2
4
= (x
1
2
+ x
2
2
)
2
- 2x
1
2
x
2
2
=
( )
2
2
2
1 2 1 2 1 2
2 2( )x x x x x x
+ − −
=(4m
2
- 8)
2
- 32
Do đó x
1
4
+ x
2
4
≤
32 ⇔ (4m
2
- 8)
2
- 32
≤
32
⇔
2 2
2 2 2 2 2 2m m m− ≤ ⇔ − ≤ − ≤ ⇔ ≤
Kết hợp với điều kiện ∆'
≥
0 ta được m = 2 hoặc m = -2
Ví dụ 5: Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình x
2
- 18x + 1= 0 .
Đặt S
n
= x
1
n
+ x
2
n
(n
∈
N
*
). Chứng minh:
a) S
n+2
= 18 S
n+1
- S
n
b) S
n
nguyên dương và S
n
không chia hết cho 17 với mọi n
∈
N
*
.
Giải:
a) Vì x
1
, x
2
là nghiệm phương trình x
2
- 18x + 1 = 0 nên theo hệ thức Vi-ét ta có:
x
1
+ x
2
= 18 và x
1
x
2
= 1
Ta có: S
n+2
= x
1
n+2
+ x
2
n+2
và S
n+1
= x
1
n+1
+ x
2
n+1
Mặt khác ta có: x
1
n
(x
1
2
- 18x
1
+ 1) + x
2
n
(x
2
2
- 18x
2
+ 1) = 0
hay x
1
n+2
+ x
2
n+2
- 18(x
1
n+1
+ x
2
n+1
) + (x
1
n
+ x
2
n
) = 0
⇒ S
n+2
= 18 S
n+1
- S
n
b) Ta có x
1
+ x
2
= 18 >0 và x
1
x
2
= 1 >0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm cùng
dương
1 2
0
n n
n
S x x⇒ = + >
với mọi n
∈
N
*
. (1)
Ta có: S
1
= x
1
+ x
2
= 18 , S
2
= x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
- 2x
1
x
2
= 18
2
- 2 = 322
Vì S
n+2
= 18 S
n+1
- S
n
nên:
từ S
1
, S
2
nguyên ta suy ra S
3
nguyên.
từ S
2
, S
3
nguyên ta suy ra S
4
nguyên.
Cứ tiếp tục lập luận như thế ta được S
n
nguyên với mọi n
∈
N
*
. (2)
Trang 16
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
Từ (1) và (2) ta có S
n
nguyên dương với mọi n
∈
N
*
.
Tương tự câu a) ta có: S
n+3
= 18S
n+2
- S
n+1
= 17S
n+2
+ S
n+2
- S
n+1
= 17S
n+2
+ (18S
n+1
- S
n
) - S
n+1
= 17(S
n+2
+ S
n+1
) - S
n
S
1
= 18; S
2
= 322; S
3
= 5778 không chia hết cho 17 suy ra S
4
không chia hết cho 17.
S
2
; S
3
; S
4
không chia hết cho 17 suy ra S
5
không chia hết cho 17.
Cứ tiếp tục lập luận như thế ta được S
n
không chia hết cho 17 với mọi n
∈
N
*
.
2.8. Dạng 8: Sử dụng ứng dụng của hệ thức Vi-ét: tìm hai số biết tổng và tích
vào bài tập.
+ Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của
phương trình X
2
- SX + P = 0. (1)
Điều kiện để có hai số đó là:
2
4 0S P− ≥
* Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm của nó thỏa mãn điều kiện cho trước
* Phương pháp: - Tính tổng và tích các nghiệm đề bài yêu cầu.
- Sử dụng ứng dụng (1) để lập phương trình
* Các ví dụ:
Ví dụ 1: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là:
1
5 1−
;
1
5 1+
Giải: Ta gọi
1
1
5 1
x =
−
,
2
1
5 1
x =
+
Xét:
1 2
1 1 5 1 5 1 2 5 5
5 1 4 2
5 1 5 1
x x
+ + −
+ = + = = =
−
− +
1 2
1 1 1 1
.
5 1 4
5 1 5 1
x x = = =
−
− +
Vậy
1 2
,x x
là hai nghiệm của phương trình:
2 2
5 1
0 4 2 5 1 0
2 4
x x x x− + = ⇔ − + =
Ví dụ 2: Cho phương trình 3x
2
+ 5x - 6 = 0 có nghiệm x
1
, x
2
.
Lập phương trình bậc hai ẩn t có hai nghiệm là:
1 1
2
1
t x
x
= +
,
2 2
1
1
t x
x
= +
Giải: Phương trình 3x
2
+ 5x - 6 = 0 có nghiệm x
1
, x
2
nên theo hệ thức Vi-ét ta có:
Trang 17
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
1 2
5
3
x x+ = −
và
1 2
6
2
3
x x = − = −
Khi đó:
( )
1 2
1 2 1 2 1 2
2 1 1 2
1 1 5 5 5
3 6 6
x x
t t x x x x
x x x x
+
+ = + + + = + + = − + = −
1 2 1 2 1 2
2 1 1 2
1 1 1 1 1
2 2 2
2 2
t t x x x x
x x x x
= + + = + + = − + + = −
÷ ÷
−
Vậy
1 2
,t t
là hai nghiệm của phương trình:
2
5 1
0
6 2
t t+ − =
hay 6t
2
+ 5t - 3 = 0
* Giải hệ phương trình:
Ứng dụng (1) thường được sử dụng vào giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn:
* Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:
a)
2 2
3
5
x y
x y
+ =
+ =
b)
2 2
2
34
x y
x y
− =
+ =
Giải:
a) Đặt S = x + y; P = xy ta có hệ
2
3
2 5
S
S P
=
− =
⇔
3
2
S
P
=
=
Do đó ta có:
3
2
x y
xy
+ =
=
Suy ra x, y là nghiệm của phương trình X
2
- 3X + 2 = 0
Giải phương trình ta được X
1
= 1; X
2
= 2 .
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là :
( ) ( )
1 1
; 1;2x y =
,
( ) ( )
2 2
; 2;1x y =
b) Đặt S = x - y; P = xy ta có hệ
2
2 2
2 34 15
S S
S P P
= =
⇔
+ = =
Do đó ta có:
2
15
x y
xy
− =
=
Suy ra x + (-y) = 2 và x(-y) = -15 hay x và -y là nghiệm của phương trình
X
2
- 2X - 15 = 0, giải ra ta được X
1
= 3; X
2
= -5
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là :
( ) ( )
1 1
; 3;5x y =
,
( ) ( )
2 2
; 5;3x y =
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
a)
2 2
4
2
x xy y
x xy y
+ + =
+ + =
b)
2 2
( 1)( 2) 2
2 1
xy x y
x x y y
+ − = −
+ + − =
Trang 18
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
Giải:
a) Đặt S = x + y; P = xy ta có hệ
2
4
2
S P
S P
− =
⇔
+ =
S = 2 , P = 0 hoặc S = -3; P = 5
Do đó ta có:
2
0
x y
xy
+ =
=
hoặc
3
5
x y
xy
+ = −
=
Suy ra x, y là nghiệm phương trình X
2
- 2X = 0 (1) hoặc X
2
+ 3X + 5 =0 (2)
Giải (1) được: X
1
= 0; X
2
= 2.
Giải (2):
2
3 4.1.5 11 0∆ = − = − <
⇒
phương trình (2) vô nghiệm.
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là :
( ) ( )
1 1
; 0;2x y =
,
( ) ( )
2 2
; 2;0x y =
b) Đặt x
2
+ x = S; y
2
- 2y = P ta đưa về hệ đối xứng hai ẩn sau:
2
1
SP
S P
= −
+ =
suy ra S, P là nghiệm phương trình X
2
- X - 2 = 0
Giải ra ta được X
1
= -1; X
2
= 2. Vậy
=
−=
2
1
P
S
hoặc
−=
=
1
2
P
S
Từ đó ta có (I)
2
2
1
2 2
x x
y y
+ = −
− =
hoặc (II)
2
2
2
2 1
x x
y y
+ =
− = −
Hệ (I) vô nghiệm. Hệ (II) có hai nghiệm là:
( ) ( )
1 1
; 1;1x y =
,
( ) ( )
2 2
; 2;1x y = −
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là:
( ) ( )
1 1
; 1;1x y =
,
( ) ( )
2 2
; 2;1x y = −
* Ứng dụng (1) còn được sử dụng vào chứng minh bất đẳng thức, vận dụng vào
các bài toán chứng minh khác :
* Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho ba số a, b, c thoả mãn điều kiện sau:
a > 0, a
2
= bc, a + b + c = abc. Chứng minh rằng:
a
≥
3
, b > 0, c > 0 và b
2
+ c
2
≥
2a
2
Giải:
Từ a + b + c = abc ⇒ b + c = a(bc - 1) = a(a
2
- 1) = a
3
- a (vì bc = a
2
)
Trang 19
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
Ta có:
=
−=+
2
3
abc
aacb
nên b, c là nghiệm của phương trình: X
2
- (a
3
- a)X + a
2
= 0
Ta có ∆ =(a
3
- a)
2
- 4a
2
≥
0 ⇔ (a
2
- 1)
2
≥
4 ⇔ a
2
≥
3 ⇔ a
≥
3
( vì a > 0)
Khi đó b+ c = a( a
2
- 1) > 0 và bc = a
2
> 0 nên b > 0, c > 0.
Mặt khác:
( )
2
2 2 2
0 2 2b c b c bc a− ≥ ⇒ + ≥ =
Vậy a
≥
3
, b > 0, c > 0, b
2
+ c
2
≥
2a
2
(đpcm)
Ví dụ 2: Cho a, b, c là ba số khác nhau từng đôi một và c
≠
0. Chứng minh rằng nếu
hai phương trình x
2
+ ax + bc = 0 (1) và x
2
+ bx + ca = 0 (2) có đúng một
nghiệm chung thì nghiệm khác của các phương trình đó thoả mãn phương trình
x
2
+ cx + ab = 0
Giải:
Giả sử (1) có nghiệm x
0
, x
1
và (2) có nghiệm x
0
, x
2
(x
1
≠
x
2
). Ta có:
2
0 0
2
0 0
0
0
x ax bc
x bx ca
+ + =
⇒
+ + =
(a - b)(x
0
- c) = 0 ⇒ x
0
= c ( vì a
≠
b)
Áp dụng định lý Vi-ét vào phương trình (1) và phương trình (2) ta có:
0 1
0 1
x x a
x x bc
+ = −
=
và
0 2
0 2
x x b
x x ca
+ = −
=
⇒
1
1 2
2
1 2
0
x b
x x c
x a
x x ab
a b c
=
+ = −
= ⇒
=
+ + =
Do đó x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình x
2
+ cx + ab = 0 (phương trình này luôn có
nghiệm vì ∆= c
2
- 4ab = (a + b)
2
- 4ab = (a - b)
2
> 0)
* Bài tập áp dụng:
Bài tập 1: Không giải phương trình hãy xét dấu các nghiệm của phương trình sau:
a) x
2
- 3x + 4 = 0
b) 2x
2
-
3
x + 4 = 0
Bài tập 2: Tìm m để phương trình x
4
- mx
2
+ m -1 = 0 có:
a) Bốn nghiệm phân biệt
b) Ba nghiệm phân biệt
c) Hai nghiệm phân biệt
Trang 20
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
Bài tập 3: Cho phương trình x
2
- 2kx +1 = 0 có nghiệm x
1
, x
2
. Lập phương trình bậc
hai sao cho các nghiệm y
1,
y
2
của nó gấp 3 lần nghiệm của phương trình trên.
Bài tập 4: Cho phương trình x
2
- mx + 6 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm
x
1
, x
2
thoả mãn: a) x
1
- x
2
= 1
b) x
1
2
+ x
2
2
= 37
Bài tập 5: Cho phương trình x
2
- 2(m + 1)x - m = 0
a) Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
c) Tìm m để phương trình có đúng một nghiệm âm
d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái
dấu nhau.
e) Tìm m để
1 2
x x−
nhỏ nhất.
Bài tập 6: Giải hệ
a)
2 2
25
( ) 84
x y
xy x y
+ =
+ =
b)
30
35
x y y x
x x y y
+ =
+ =
c)
2 2
( 3 ) 12
( 1)( 3) 20
x y x y
xy x y
+ − + =
− − =
Bài tập 7: Cho phương trình x
2
- 3x + 1 = 0. Tính giá trị biểu thức
A =
4
1 1
11 29 2x x x+ + −
(x
1
là một nghiệm của phương trình )
Bài tập 8: Cho phưong trình x
2
- 3x - 1 = 0 với
1 2
x x<
. Tính giá trị biểu thức
B =
4
1 1 1
25 5 2x x x− − +
Bài tập 9: Tìm p, q để phương trình x
2
+ px + q = 0 có các nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn:
1 2
3 3
1 2
5
35
x x
x x
− =
− =
Bài tập 10: Cho phương trình: (m - 3)x
2
- 2mx +m + 2 = 0 (1)
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dương
b) Giả sử x
1
, x
2
là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất
của x
1
2
+ x
2
2
.
c) Viết hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc m.
Trang 21
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
Bài tập 11: Xác định a để phương trình x
2
+ ax + 1 = 0 có nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn:
2 2
1 2
2 2
2 1
7
x x
x x
+ >
Bài tập 12: Giả sử phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm dương x
1
, x
2
.
Chứng minh rằng phương trình cx
2
+ bx + a = 0 có hai nghiệm dương x
3
, x
4
và
x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4
≥
4
IV. Hiệu quả do sáng kiến đem lại:
Trên đây là nội dung ứng dụng hệ thức Vi-ét vào các dạng bài tập mà tôi đã hệ
thống trong quá trình dạy cho học sinh lớp 9 ôn thi vào THPT và vào trường chuyên
lớp chọn . Bằng cách hệ thống rõ thành các dạng:
Dạng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai.
Dạng 2: Tìm giá trị của tham số khi biết một nghiệm của phương trình đã cho, tìm
nghiệm còn lại.
Dạng 3: Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai
Dạng 4: Tính giá trị của biểu thức chứa các nghiệm của phương trình bậc hai đã cho.
Dạng 5: Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn
hệ thức nào đó.
Dạng 6: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc tham số.
Dạng 7: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất; chứng minh bất đẳng thức của biểu thức chứa
nghiệm.
Dạng 8: Sử dụng ứng dụng của hệ thức Vi-ét: tìm hai số biết tổng và tích vào bài tập.
Tôi đã vận dụng từng phần sau mỗi tiết học lý thuyết và tiết luyện tập về hệ
thức Vi-ét để học sinh được củng cố và khắc sâu thêm, đồng thời rèn luyện cho các em
kỹ năng trình bày khi gặp các dạng này. Trong thời gian ôn thi, các em được hệ thống
lại một cách hoàn chỉnh theo các dạng trên, đặc biệt chú ý cho học sinh nhận dạng và
nêu phương pháp giải đối với từng dạng. Vì thế, việc làm các bài toán có áp dụng hệ
thức Vi-ét đối với các em khi gặp trong các kỳ thi vào THPT hay trường chuyên lớp
chọn không còn khó khăn nữa. Các em hứng thú, say sưa khi học về chuyên đề Hệ
thức Vi-ét và ứng dụng của nó.
Trang 22
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
Với việc áp dụng sáng kiến nêu trên, chất lượng bộ môn toán ở lớp tôi dạy có sự
tiến bộ vượt bậc so với thời điểm chưa áp dụng sáng kiến. Cụ thể: Các đề kiểm tra có
phần bài tập về hệ thức Vi-ét các em đều làm rất tốt. Kết quả kiểm tra chất lượng cuối
năm học đạt 97,1% học sinh có điểm từ trung bình trở lên, có 85,3% học sinh đạt điểm
giỏi. Trong khi đó, ở đợt kiểm tra khảo sát chất lượng đầu năm, tỉ lệ học sinh đạt điểm
từ trung bình trở lên chỉ có 34,3%, không có học sinh nào đạt điểm giỏi.
Trong kỳ thi tuyển sinh vào THPT, chất lượng bộ môn toán ở lớp tôi dạy xếp thứ
nhất huyện với tỷ lệ điểm khá, giỏi rất cao.
Không chỉ áp dụng sáng kiến vào quá trình giảng dạy của cá nhân mà tôi còn phổ
biến cho các bạn đồng nghiệp trong trường. Kết quả: các bạn đồng nghiệp đều phản
ánh là sáng kiến kinh nghiệm nêu trên đem lại kết quả tốt, học sinh vận dụng tốt hệ
thức Vi-ét vào giải toán. Chất lượng học của học sinh được nâng lên rõ rệt.
Trên đây là sáng kiến kinh nghiệm của bản thân tôi về "Ứng dụng hệ thức Vi-ét
trong giải toán". Tuy nhiên, chắc chắn không tránh khỏi những hạn chế nhất định. Vậy
tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo.
Xin trân trọng cảm ơn!
V. Đề xuất, kiến nghị:
* Ngành giáo dục nên phổ biến các sáng kiến kinh nghiệm hay cấp tỉnh, cấp quốc
gia để giáo viên chúng tôi được học tập, góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy.
* Định hướng những vấn đề "nóng" cần tháo gỡ để các cán bộ, giáo viên tập trung
trí tuệ nghiên cứu những vấn đề đó, đúc rút thành sáng kiến kinh nghiệm. Từ đó giúp
chúng ta tháo gỡ được những khó khăn trước mắt một cách nhanh chóng.
Xin chân thành cảm ơn!
TÁC GIẢ SÁNG KIẾN
PHẠM THỊ THUẬN
Trang 23
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN
(xác nhận, đánh giá, xếp loại)
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VỤ BẢN
(xác nhận, đánh giá, xếp loại)
Trang 24
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
CÁC PHỤ LỤC KÈM THEO SÁNG KIẾN
Danh mục các tài liệu tham khảo:
1) Sách giáo khoa Toán 9 - NXB giáo dục
2) Sách ôn tập Toán 9 - NXB giáo dục
3) Sách bài tập Toán 9 - NXB giáo dục
4) Kiến thức cơ bản và nâng cao Toán 9 - NXB Hà Nội
5) Luyện giải và ôn tập Toán 9 - NXB giáo dục
6) Toán nâng cao và các chuyên đề Đại số 9 - NXB giáo dục
7) Bài tập trắc nghiệm và các đề kiểm tra Toán 9 - NXB giáo dục
8) 500 bài toán chọn lọc lớp 9 - NXB đại học sư phạm
9) Ôn tập thi vào lớp 10 môn Toán - NXB giáo dục
10) Ôn tập thi vào lớp 10 - NXB đại học quốc gia Hà Nội
11) Tuyển chọn đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên - môn Toán - NXB Hà Nội
12) Toán bồi dưỡng học sinh - Đại số 9 - NXB giáo dục
13) Các bài toán đại số hay và khó - NXB giáo dục
14) 50 bộ đề Toán 9 - NXB giáo dục
15) Bộ đề toán luyện thi vào lớp 10 - NXB giáo dục
16) Toán luyện thi lớp 9 - NXB giáo dục
17) Tuyển tập đề thi vào lớp 10 THPT (đề chung) và chuyên Lê Hồng Phong - tỉnh
Nam Định, tuyển tập đề thi vào lớp 10 Quốc học Huế.
18) Nâng cao và phát triển Toán 9 - NXB giáo dục.
Trang 25
