Ứng dụng công thức Viette vào giải toán thuộc chương trình trung học phổ thông pptx

1

B GIÁO D C VÀ ĐÀO T O
Đ I H C ĐÀ N NG

TR N TH ÁI HOA

NG D NG CƠNG TH C VIETE
VÀO GI I TỐN THU C CHƯƠNG TRÌNH
TRUNG H C PH

THƠNG

Chun ngành: Phương pháp tốn sơ c p
Mã s : 60.46.40

TÓM T T LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C

Đà N ng - Năm 2011


2

Cơng trình đư c hồn thành t i
Đ I H C ĐÀ N NG

Ngư i hư ng d n khoa h c: TS. NGUY N NG C CHÂU

Ph n bi n 1: TS. LÊ H I TRUNG

Ph n bi n 2: PGS.TS. NGUY N GIA Đ NH

Lu n văn ñư c b o v trư c H i ñ ng ch m Lu n văn
t t nghi p th c sĩ khoa h c h p t i Đ i h c Đà N ng vào ngày
26 tháng 11 năm 2011

Có th tìm hi u lu n văn t i:
- Trung tâm Thông tin - H c li u, Đ i h c Đà N ng
- Thư vi n trư ng Đ i h c Sư Ph m, Đ i h c Đà N ng


1

M

Đ U

1. Lý do ch n ñ tài
Đa th c, phương trình là nh ng khái ni m cơ b n và quan tr ng
trong chương trình tốn Trung h c ph thơng. Bài tốn tìm nghi m c a
đa th c, c a phương trình đ i s đã ñư c các nhà toán h c quan tâm
nghiên c u trong nhi u th k . M c dù l i gi i c a các bài toán này cho
đ n nay ch m i tìm đư c đ i v i các đa th c, phương trình đ i s có
b c nh hơn 5, nhưng nhi u tính ch t v nghi m c a đa th c, c a
phương trình đã đư c phát hi n. M t trong nh ng tính ch t đó là m i
liên h gi a các nghi m và các h s c a ña th c, c a phương trình đ i
s , nó đư c th hi n b ng m t công th c n i ti ng – Công th c Viète.
ng d ng c a công th c Viète khá phong phú và hi u qu .
Trong chương trình tốn h c ph thơng, h c sinh đã đư c h c cơng
th c Viète ñ i v i tam th c b c hai, tuy nhiên v i m t th i lư ng
không nhi u và ch

m c ñ nh t ñ nh, hơn n a sách giáo khoa cũng

không ch ra vi c đ nh hư ng tìm tịi l i gi i b ng vi c ng d ng công
th c Viète và cũng chưa chú tr ng ñ n vi c rèn luy n k năng này nên
h c sinh thư ng lúng túng khi v n d ng công th c Viète đ gi i tốn.
Bên c nh đó, trong các ñ thi tuy n sinh ñ i h c, thi h c sinh gi i trong
và ngoài nư c thư ng có nh ng bài tốn mà l i gi i c a chúng có th
tìm đư c thơng qua cơng th c Viète.
V i m c đích tìm hi u và h th ng hóa m t cách ñ y ñ nh ng
ng d ng c a cơng th c Viète trong chương trình tốn

b c ph thơng,

tơi ch n đ tài “ NG D NG CƠNG TH C VIÈTE VÀO GI I TOÁN


2
THU C CHƯƠNG TRÌNH TRUNG H C PH

THƠNG” cho lu n

văn th c sĩ c a mình.
Lu n văn g m hai chương. Đ thu n ti n cho ngư i ñ c,
chương m t nh c l i m t s ki n th c cơ b n v ña th c, ñ c bi t là các
ña th c đ i x ng và cơng th c Viète ñ làm ti n ñ cho chương sau.
Chương hai là n i dung chính c a lu n văn: Nghiên c u, tìm hi u vi c
v n d ng cơng th c Viète đ gi i m t s l p bài toán trong các lĩnh v c
gi i tích, đ i s , đa th c, hình h c, lư ng giác thu c chương trình tốn
b c trung h c ph thơng.

2. M c đích nghiên c u
- Nghiên c u các ng d ng c a cơng th c Viète trong chương trình
tốn ph thơng.
- H th ng và phân lo i m t s bài tốn có th

ng d ng cơng th c

Viète đ gi i.
- Nh m nâng cao năng l c tư duy cho h c sinh c n thi t ph i xây
d ng chu i bài toán t bài toán g c, cũng như xây d ng bài toán t ng
quát nh m hư ng ñ n t ng ñ i tư ng h c sinh.
3. Đ i tư ng và ph m vi nghiên c u
- Nh ng ki n th c cơ b n v tam giác, các công th c lư ng giác,
các b t ñ ng th c quan tr ng, các tính ch t c a ña th c, ña th c ñ i
x ng, phương trình đ i x ng.
- Cơng th c Viète và các ng d ng trong chương trình tốn b c ph
thơng.
- Các bài tốn có th

ng d ng cơng th c Viète.


3
4. Phương pháp nghiên c u
- Nghiên c u các tài li u v công th c Viète và các ki n th c
liên quan, như sách giáo khoa, sách tham kh o, t p chí tốn h c, cùng
m t s tài li u khác t Internet.
- Thông qua th c t gi ng d y

trư ng trung h c ph thơng đ

t ng k t rút ra nh ng k t lu n c n thi t. K t h p nh ng ki n th c ñã đ t
đư c trong q trình thu th p thơng tin đ h th ng và đưa ra các bài
tốn có th gi i đư c b ng cơng th c Viète.
- Th o lu n, trao ñ i v i ngư i hư ng d n lu n văn.
5. Ý nghĩa khoa h c và th c ti n c a đ tài
Cơng th c Viète và các ng d ng c a nó có vai trị quan tr ng,
m ra hư ng gi i quy t cho nhi u bài tốn có liên quan đ n nghi m c a
phương trình đ i s

m t cách phong phú, ña d ng như: các bài toán

liên quan ñ n hàm s , ch ng minh các h th c ñ i s , tìm giá tr l n
nh t – giá tr nh nh t c a bi u th c, gi i phương trình và h phương
trình khơng m u m c, ch ng minh các bài toán lư ng giác, hình h c….
Vi c d y cơng th c Viète và các ng d ng c a nó trong chương
trình tốn h c ph thơng có ý nghĩa ñ c bi t là: làm cho h c sinh hi u
sâu s c hơn v các nghi m c a m t phương trình đ i s . Nêu đư c quan
h đ nh tính, đ nh lư ng gi a các nghi m s v i các h s c a m t
phương trình đ i s . Giúp h c sinh nhìn nh n các bài tốn trong m i
liên h sinh đ ng c a s ràng bu c gi a bi n s và tham s ; gi a h ng
và bi n, ph n nào giúp h c sinh nâng cao ch t lư ng h c t p mơn tốn.


4
6. C u trúc c a lu n văn
Ngoài ph n m ñ u, k t lu n và tài li u tham kh o trong lu n
văn g m có các chương như sau :
Chương 1 - ĐA TH C
Chương 2 - M T S

NG D NG C A CÔNG TH C

VIÈTE

Chương 1

ĐA TH C
1.1. VÀNH ĐA TH C M T N
Gi s

A là m t vành giao hoán, có đơn v ký hi u là 1. Ta g i

P là t p h p các dãy ( a0 , a1 ,..., an ,...) trong đó ai ∈ A v i m i i ∈

và ai = 0 t t c tr m t s h u h n.
Trên P ta đ nh nghĩa hai phép tốn c ng và nhân như sau

( a0 , a1 ,..., an ,...) + ( b0 , b1 ,..., bn ,...) = ( a0 + b0 , a1 + b1 ,..., an + bn ,...) (1.1)
( a0 , a1 ,..., an ,...) × ( b0 , b1 ,..., bn ,...) = ( c0 , c1 ,..., cn ,...)
v i ck = a0 bk + a1bk −1 + ... + ak b0 =

∑ ab

i j

(1.2)

k = 0,1,2,...

i + j =k

Vì các ai và bi b ng 0 t t c tr m t s h u h n nên các
ai + bi và ci cũng b ng 0 t t c tr m t s h u h n, nên (1.1) và
(1.2) xác ñ nh hai phép toán trong P .


5
T p P cùng v i hai phép toán c ng và nhân

trên là m t vành

giao hốn có đơn v . Ph n t không c a phép c ng là dãy ( 0,0,...) ,
ph n t ñơn v c a phép nhân này là (1,0,0...) .
Xét dãy x = ( 0,1,0,...,0,...) ∈ P
Theo quy t c c a phép nhân trong P , ta có


x n =  0,0,...,0,1,...,0,... 
4 3
 1 24

n



Ta quy ư c

x 0 = (1,0,0,...,0,...)

M t khác, xét ánh x : A → P
a a ( a,0,...,0,...)

D dàng ki m ch ng ñư c ánh x này là m t ñơn c u vành, do
đó ta đ ng nh t ph n t

a ∈ A v i dãy

( a,0,0,...) ∈ P

m t vành con c a vành P . Vì m i ph n t

( a0 , a1 ,...an ,...)

và xem A là

c a P là m t dãy

trong đó các ai = 0 t t c tr m t s h u h n, nên m i

ph n t c a P có d ng ( a0 ,..., an ,0,...) trong đó a0 ,..., an ∈ A (không
nh t thi t khác 0 ). Vi c ñ ng nh t a v i ( a, 0, 0,...) và vi c ñưa vào
dãy x cho phép ta vi t

( a0 ,..., an ,0,...) = ( a0 ,0,...) + ( 0, a1 ,0,...) + ... + ( 0,..., an ,0,...)
= ( a0 ,0,...) + ( a1 ,0,...)( 0,1,0,...) + ... + ( an ,0,...)( 0,..., 0,1, 0,...)
= a0 + a1 x + ... + an x n = a0 x 0 + a0 x + ... + an x n


6

Đ nh nghĩa 1.1. Vành P ñư c ñ nh nghĩa như trên, g i là vành ña
th c c a n x l y h t trong A , hay v n t t là vành ña th c c a n x
trên A , ký hi u A [ x ] . Các ph n t c a A [ x ] g i là các ña th c c a n
x l y h t trong A và thư ng ký hi u là f ( x ) , g ( x ) ,...
Trong m t ña th c f ( x ) = a0 x 0 + a1 x + ... + an x n , các ai , v i
i = 0,1,..., n g i là các h t c a ña th c, các ai xi g i là các h ng t c a

ña th c, ñ c bi t a0 x 0 = a0 g i là h ng t t do.
1.2. VÀNH ĐA TH C NHI U N
Đ nh nghĩa 2.1. Gi s

A là m t vành giao hốn có đơn v . Ta ñ t

A1 = A [ x1 ] ,

A2 = A1 [ x2 ] , …. An = An −1 [ xn ]

Vành An = An −1 [ xn ] đư c kí hi u A [ x1 , x2 ,...., xn ] và g i là
vành ña th c c a n n x1 ,...., xn l y h t trong A . M i ph n t c a
An g i là m t ña th c c a n n x1 ,...., xn l y h t trong A và thư ng

kí hi u là f ( x1 ,...., xn ) hay g ( x1 ,...., xn ) …
T đ nh nghĩa trên ta có dãy vành: A0 = A ⊂ A1 ⊂ A2 ⊂ ... ⊂ An
Trong đó Ai −1 là vành con c a vành Ai , i =1, 2,....
T tính ch t c a hai phép toán trong m t vành và b ng quy n p
ta ch ng minh ñư c m i ña th c
f ( x1 , x2 ,...., xn ) ∈ A [ x1 , x2 ,...., xn ] đ u có th vi t dư i d ng
f ( x1 , x2 ,...., xn ) = c1 x1a11 x2 a12 ...xn a1n + c2 x1a21 x2 a22 ....xn a2 n
+ .... + cm x1am1 x2 am 2 ....xn amn

7
v i ci ∈ A , ai1 , ai 2 , …., ain , i = 1, 2,...., m , là nh ng s t nhiên và

( ai1 ,...., ain )

(

≠ a j1 ,....., a jn

)

khi i ≠ j ; các ci g i là các h

t ,

ci x1ai1 x2 ai 2 ....xn ain g i là các h ng t c a ña th c f ( x1 , x2 ,...., xn ) . Đa

th c f ( x1 , x2 ,...., xn ) = 0 khi và ch khi các h t c a nó b ng khơng
t tc .
1.3. ĐA TH C Đ I X NG VÀ CƠNG TH C VIÈTE
1.3.1. Đa th c đ i x ng
Đ nh nghĩa 3.1.

Gi

A là m t vành giao hoán có đơn v ,

s

A [ x1 ,..., xn ] .

f ( x1 ,...., xn ) là m t ña th c c a vành
f ( x1 ,...., xn )

là

m t

ña

th c

(

ñ i

x ng

c a

)

f ( x1 , x2 ,...., xn ) = f xτ (1) , xτ (2) ,...., xτ ( n ) , v i m i phép th

Ta nói
n

n

n u

τ

2
....
n 
 1

 τ (1) τ ( 2 ) .... τ ( n ) 

τ =

(

)

trong đó f xτ (1) , xτ (2) ,...., xτ ( n ) có ñư c t

f ( x1 , x2 ,...., xn ) b ng

cách trong f ( x1 , x2 ,...., xn ) thay xi b i xτ ( i ) , i = 1, 2,..., n .
Đ nh lý 3.1. T p con g m các ña th c ñ i x ng c a vành A [ x1 ,..., xn ]
là m t vành con c a vành A [ x1 ,..., xn ] .
Các ña th c

σ 1 = x1 + x2 + .... + xn
σ 2 = x1 x2 + x1 x3 + .... + xn −1 xn
σ 3 = x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + .... + xn− 2 xn −1 xn

8
…

σk =

∑

i1 < i2 <... < ik

xi1 xi2 ... xik , k = 1,2,..., n

…

σ n −1 = x1 x2 ... xn −1 + x1 x2 .... xn − 2 xn + ... + x2 x3 ... xn
σ n = x1 x2 ....xn
là các ña th c ñ i x ng và g i là các ña th c ñ i x ng cơ b n ñ i v i n
n x1 , x2 , ...., xn .
Gi s

g ( x1 ,...., xn ) là m t ña th c c a A [ x1 ,..., xn ] , ph n t

c a A [ x1 ,..., xn ] có ñư c b ng cách trong g ( x1 ,...., xn ) thay x1 b i σ 1 ,
x2 b i σ 2 , …, xn b i σ n g i là m t ña th c c a các ña th c ñ i x ng

cơ b n, kí hi u là g (σ 1 , σ 2 ,..., σ n ) .
Vì

σ 1 , σ 2 ,..., σ n

là

nh ng ña

th c

ñ i

x ng nên

g (σ 1 , σ 2 ,..., σ n ) cũng là m t ña th c ñ i x ng theo ñ nh lý 3.1.

1.3.2. Cơng th c Viète
Cho đa th c b c n:
f ( x ) = a0 x n + a1 x n −1 + ... + ak x n − k + ... + an

l y h t trong trư ng T . Gi s

(1.3)

f ( x ) có trong T ho c trong m t m

r ng nào đó c a T , t c là m t trư ng nào đó ch a T làm m t trư ng
con,

n

nghi m

α1 , α 2 , ..., α n .

f ( x ) = a0 ( x − α1 )( x − α 2 ) ..... ( x − α n )

Khi

đó

ta

có
(1.4)

Khai tri n v ph i và so sánh các h t c a các lũy th a gi ng

:


9
nhau trong (1.3) và (1.4) ta s ñư c các công th c sau và g i là
công th c Viète ñ i v i ña th c b c n .
a1
= − (α1 + α 2 + .... + α n )
a0

….
ak
k
= ( −1) .
α i1α i2 ...α ik
a0

i1 < i2 < ...< ik

∑

….
an
n
= ( −1) α1α 2 ....α n
a0

Chú ý r ng v ph i c a công th c Viète là nh ng ña th c ñ i
x ng cơ b n ñ i v i các bi n α1 , α 2 , ..., α n

Chương 2

M TS

2.1.

NG D NG C A CÔNG TH C VIÈTE

NG D NG CƠNG TH C VIÈTE TRONG CÁC BÀI
TỐN LIÊN QUAN Đ N HÀM S

Bài toán: Cho hàm s

y = x4 − 6 x2 + 4 x + 6 .

Xét tam giác mà các ñ nh là các ñi m c c tr c a hàm s nói
trên. Ch ng minh r ng tr ng tâm c a tam giác y là g c t a ñ .

Gi i
Gi s M i ( xi ; yi ) là các ñi m c c tr v i i = 1,2,3


10
G ( xG ; yG ) là tr ng tâm c a tam giác M1M 2 M 3
x1 + x2 + x3

 xG =

3
⇔ 
 y = y1 + y2 + y3
 G
3

xi là nghi m c a phương trình b c ba: y ' = 4 x3 − 6 x + 4 = 0 .

Áp d ng công th c Viète, ta có:
 x1 + x2 + x3 = 0

 x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = − 3
x . x . x = −1
 1 2 3

⇒ xG = 0

Tính yi : y 'i ( xi ) = 0
y =

(

y'
x − 3 x2 − x − 2
4

)

(

(chia y cho y’)

⇒ yi = y ( xi ) = − 3 xi2 − xi − 2

(

)

)

2
2
yG = −  x12 + x2 + x3 − ( x1 + x2 + x3 ) − 6 



2
= − ( x1 + x2 + x3 ) − 2 ( x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ) − 6  = 0



V y G ( 0;0 ) ⇔ G ≡ O g c t a đ .
2.2.

NG D NG CƠNG TH C VIÈTE TRONG CÁC BÀI
TỐN TÌM GIÁ TR L N NH T – GIÁ TR NH

NH T

Bài toán: [Đ tuy n sinh ĐH – CĐ kh i A, năm 2006]
Cho hai s

( x + y ) xy

= x 2 + y 2 − xy

th c thay ñ i

x ≠ 0, y ≠ 0

th a mãn :


11
Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c A =

1
1
+ 3.
3

x
y

Gi i
Đ t

1
1
+ 3 = m
3
x
y

V i x ≠ 0, y ≠ 0 , xét h phương trình:
 ( x + y ) xy = x 2 + y 2 − xy

 1
1
 x3 + y 3 = m

( x + y ) xy = x 2 + y 2 − xy


⇔  ( x + y ) ( x 2 + y 2 − xy )
= m

3
( xy )



 ( x + y ) xy = x 2 + y 2 − xy


⇔  xy ( x + y )2
=m

3
 ( xy )




⇔




( x + y ) xy = ( x + y )
2

 x+ y

 =m
 xy 

2

− 3 xy

( 2.1)

S = x + y
Đ t 
 P = xy

Theo công th c Viète đ
phương trình t 2 − St + P = 0 thì
S 2 ≥ 4P .

x, y s là hai nghi m th c c a
S, P

ph i th a mãn ñi u ki n


12

 SP = S 2 − 3P

⇔   S 2
 P  = m
 

( 2.1)
H

( 2.1)

( 2.2 )

có nghi m x ≠ 0, y ≠ 0 ⇔ h

( 2.2 )

có nghi m

( S ; P ) th a mãn: S 2 ≥ 4 P .
2

1  3

Do SP = x 2 + y 2 − xy =  x − y  + y 2 > 0, ∀x ≠ 0, y ≠ 0
2  4


T đó :
- N u m ≤ 0 thì h

( 2.1)

vơ nghi m

- N u m > 0 thì t phương trình
2

S
S
= m ⇒ S = m .P
  = m ⇔

P
P


Thay vào phương trình đ u c a h

( 2.2 )

Ta đư c:

(

)

m.P 2 = m.P 2 − 3P ⇔ m − m P = 3 ( SP > 0, P ≠ 0 )

Đ có P t phương trình này thì:

m − m ≠ 0 ⇔ m ≠ 1 ( m > 0)
V y P=

H

( 2.2 )

m

(

3

)

m −1

có nghi m
2

khi :

 3 

 ≥
 m −1 

m

(

⇒S=

3
m −1

( S ; P ) th a mãn S 2 ≥ 4 P khi và ch

12

)

m −1


13

4

⇔ 3≥

(

m

(

⇔3 m ≥ 4
⇔

)

m −1

(

2

)

m −1

)

m −1

m ≤ 4

⇔ 0 < m ≤ 16 ( m ≠ 1)

V y giá tr l n nh t maxA = 16.
2.3.

NG

D NG

CÔNG

TH C

VIÈTE

TRONG

CÁC

BÀI TỐN GI I PHƯƠNG TRÌNH
Bài tốn: Gi i phương trình sau :
3

( 2.3)

7 x + 1 − 3 x 2 − x − 8 + 3 x 2 − 8 x −1 = 2

Gi i
Đ t

Đ t

u =

3

7 x +1, v = − 3 x 2 − x − 8 , w =

3

x 2 − 8 x −1

 a = u + v+ w

 b = uv + vw + wu
 c = uvw


Theo gi thi t, ta có :
u + v + w = 2

⇒

a= 2

và u 3 + v3 + w3 = 8
M t khác

(u

+ v + w ) 3 = a3

⇔ u 3 + v3 + w3 + 3u 2 v + 3u 2 w+ 3v 2u + 3v 2 w + 3w2u + 3w2v + 6uvw = a 3

(

⇔ u 3 + v3 + w3 = a 3 − 3u 2 v + 3u 2 w+ 3v 2u + 3v 2 w + 3w2u + 3w2v + 9uvw

)

+ 3uvw


14
⇔ u 3 + v3 + w3 = a3 − 3uv ( u + v + w ) − 3vw ( u + v + w ) − 3wu ( u + v + w )
+ 3uvw
⇔ u + v + w = a − 3 ( u + v + w )( uv + vw + wu ) + 3uvw
3

3

3

3

⇔ u 3 + v3 + w3 = a 3 − 3ab + 3c
⇒

a 3 − 3ab + 3c = 8 ⇒

c = 2b

Theo cơng th c Viète thì u, v, w là ba nghi m c a phương trình
X 3 − 2 X 2 + bX − 2b = 0

:
⇔

( X − 2) ( X 2 + b)

( 2.4 )

= 0

Ta nh n th y phương trình ( 2.4 ) có nghi m X = 2 .
Do tính ch t đ i x ng nên u, v, w có th nh n giá tr 2 đó.
i, Trư ng h p u = 2
Ta có : 7 x +1 = 8 ⇔ x = 1
Thay giá tr x = 1 vào phương trình đ u ta th y giá tr x = 1
nghi m đúng phương trình đã cho.
ii, Trư ng h p v = 2
x = 0
Ta có : − x 2 + x + 8 = 8 ⇔ x ( x −1) = 0 ⇔ 
x = 1

Thay giá tr x = 0 vào phương trình đ u ta th y giá tr x = 0
nghi m ñúng phương trình đã cho.
iii, Trư ng h p w = 2
 x = −1
Ta có: x 2 − 8 x −1 = 8 ⇔ x 2 − 8 x − 9 = 0 ⇔ 
 x=9


15
Thay giá tr x = − 1 và x = 9 vào phương trình đ u ta th y
giá tr x = − 1 và x = 9 ñ u nghi m đúng phương trình đã cho.
V y phương trình ( 2.3) có 4 nghi m : S = {−1; 0; 1; 9 } .
2.4.

NG

D NG

CƠNG

TH C

VIÈTE

TRONG

CÁC

BÀI TỐN GI I H PHƯƠNG TRÌNH

Bài tốn : Gi i h phương trình :

 x + 2 y − 3z = 9


 2 xy − 6 yz − 3 xz = 27
1
1
1
 +
−
=1
 x 2 y 3z


( 2.5)

Gi i
H phương trình ( 2.5 ) khơng ph i là h đ i x ng theo x , y , z .
Tuy nhiên n u ñ t u = x, v = 2 y , w = − 3z , thì ta có h đ i x ng








u+v+w =9
uv + vw + wu = 27

1
1
1
+
+
=1
u
v
w

Đ t a = u + v + w , b = uv + vw + wu , c = uvw .



Khi đó h ( 2.6 ) tr thành 




a = 9

a = 9

b = 27 ⇔ b = 27
c = 27
b

=1
c

( 2.6 )


16
Áp d ng cơng th c Viète thì u, v, w là ba nghi m c a phương
trình :

t 3 − 9t 2 + 27t − 27 = 0 ⇔

( t − 3)

=0

3

V y ta có t1 = t2 = t3 = 3 nên u = v = w = 3 .
T đó ta tìm đư c nghi m ( x ; y ; z ) c a h

( 2.5)

là:

3  
3 
3  3


 −1; ; 3  ,  −1; 3;  ,  3 ; − 1;  ,  ; 3 ; − 1  ,
2  
2 

2  2


 3
 3

 3; ; − 1  ; − 1 ; 3  .
2
2

 


2.5.

NG

D NG

CÔNG

TH C

VIÈTE

TRONG

CH NG MINH B T Đ NG TH C
Bài tốn: Cho phương trình

ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 ( a ≠ 0 ) có ba

nghi m dương x1 , x2 , x3 .
7
7
Ch ng minh r ng x17 + x2 + x3 ≥ −

b3c 2
81a 5

Gi i
Theo cơng th c Viète ta có :
b

 x1 + x2 + x3 = − a > 0


 xx + x x +x x = c >0
2 3
3 1
 1 2
a


B t ñ ng th c Bunyakovski cho ta :
2
2
x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ≤ x12 + x2 + x3 ⇔ 0 <

( x1 + x2 + x3 )

2

2
2
≤ 3 ( x12 + x2 + x3 ) ⇔ 0 <

c
2
2
≤ x12 + x2 + x3
a

( 2.7 )

b2
2
2
≤ x12 + x2 + x3
3a 2

( 2.8 )


17

( 2.7 )

T

và ( 2.8 ) ta suy ra: 0 <

b2 c
2
2 2
≤ ( x12 + x2 + x3 )
3
3a

Áp d ng b t ñ ng th c Bunyakovski ta l i có :

(x

2
1

2
2
+ x2 + x3 )

2

≤

(1 + 1 + 1) ( x14 + x24 + x34 )

b2c
4
4
≤ x14 + x2 + x3

9a 3

⇒ 0 <

( 2.9 )

Vì x1 , x2 , x3 > 0 nên suy ra :

(x

4
1

)

4 2
3

+x +x
4
2

1
7
1
7
 1 7

=  x12 .x12 + x22 .x22 + x32 .x32 




2

7
7
≤ ( x1 + x2 + x3 ) ( x17 + x2 + x3 )

T

( 2.9 )

( 2.10 )

và ( 2.10 ) ta ñư c :
b4 c 2
b
7
7
≤ − ( x17 + x2 + x3 )
6
81a
a

⇔ −

b3c 2
7
7
≤ x17 + x2 + x3

81a 5

7
7
V y ta có : x17 + x2 + x3 ≥ −

b3c 2
.
81a 5

D u “=” x y ra khi và ch khi x1 = x2 = x3 = −
2.6.

b
.
3a

NG D NG CÔNG TH C VIÈTE TRONG ĐA TH C

Bài toán: Gi s m t trong các nghi m c a ña th c
P ( x ) = x3 + ax 2 + bx + c (v i a, b, c ∈ Z ) b ng tích c a hai nghi m

kia.
Ch ng minh r ng 2 P ( −1) chia h t cho P (1) + P ( −1) − 2 (1 + P ( 0 ) ) .


18
Gi i
G i

x1 , x2 , x3

là

ba

nghi m

c a

ña

th c

P ( x ) = x3 + ax 2 + bx + c .

Theo gi thi t c a bài toán m t trong các nghi m b ng tích c a
hai nghi m kia, gi s

x3 = x1 x2 .

Áp d ng cơng th c Viète ta có :
 x1 + x2 + x1 x2 = − a
 x1 + x2 + x1 x2 = − a


 x1 x2 + x2 x1 x2 + x1 x2 x1 = b ⇔  x1 x2 (1 + x1 + x2 ) = b

 2 2
 x1 x2 x1 x2 = − c

 x1 x2 = − c

T đó b − c = x1 x2 (1+ x1 + x2 + x1 x2

)

= x1 x2 (1 − a )

b−c
là s h u t .
1− a

i, V i a ≠ 1 thì x1 x2 =

2
Mà x12 x2 = − c là s ngun do đó x1 x2 cũng là s nguyên.

Ta có
P (1) + P ( −1) − 2 (1 + P ( 0 ) ) = (1 + a + b + c ) + ( −1 + a − b + c ) − 2 (1 + c )

= − 2 + 2a = − 2 (1 − a ) = −2 (1 + x1 + x2 + x1 x2 )

= − 2 (1 + x1 )(1 + x2 ) ≠ 0.

( 2.11)

M t khác
2 P ( −1) = 2 ( −1 + a − b + c )
2
= − 2  −1 − x1 − x2 − x1 x2 − x1 x2 (1 + x1 + x2 ) − x12 x2 




= − 2 (1 + x1 x2 )(1 + x1 )(1 + x2 )

T

( 2.11)

và ( 2.12 ) ta có:

2 P ( −1) = (1 + x1 x2 )  P (1) + P ( −1) − 2 (1 + P ( 0 ) )  .



( 2.12 )


19
⇒

2 P ( −1)

P (1) + P ( −1) − 2 (1 + P ( 0 ) )

= 1 + x1 x2 .

Vì x1 x2 là s nguyên nên 1 + x1 x2 cũng là s ngun.
Do đó 2 P ( −1) chia h t cho P (1) + P ( −1) − 2 (1 + P ( 0 ) ) .
ii, V i a = 1 thì x1 + x2 + x1 x2 = − 1 ⇔ 1 + x1 + x2 + x1 x2 = 0

 x1 = −1
⇔ (1 + x1 )(1 + x2 ) ⇔ 
 x2 = −1

Suy ra P ( x ) có m t nghi m b ng -1.
Hay P ( −1) = 0 ⇒ 2 P ( −1) = 0.
Do đó 2 P ( −1) chia h t cho P (1) + P ( −1) − 2 (1 + P ( 0 ) ) .
V ys

2 P ( −1) chia h t cho s

P (1) + P ( −1) − 2 (1 + P ( 0 ) )

v i a , b, c ∈ Z .
2.7.

NG D NG CÔNG TH C VIÈTE TRONG HÌNH H C

Bài tốn: Cho Parabol ( P ) : y 2 = 4 x . M t ñư ng th ng b t kỳ ñi qua
tiêu ñi m c a Parabol ñã cho và c t Parabol t i hai ñi m phân bi t A
và B . Ch ng minh r ng tích các kho ng cách t

A và B đ n tr c

hồnh là m t ñ i lư ng không ñ i.
Gi i
Parabol ( P ) : y 2 = 2.2 x có tham s tiêu p = 2 và tiêu ñi m
F (1; 0 ) .

G i ñư ng th ng ñi qua tiêu ñi m F (1; 0 ) c a Parabol là ( d ) .

20
i, Đư ng th ng ( d ) song song v i tr c Oy ⇒ ( d ) : x = 1 .
Lúc đó ( d ) c t ( P ) t i hai ñi m A (1; − 2 ) và B (1; 2 ) .
⇒ AF .BF = 2.2 = 4.

ii, Đư ng th ng

(d )

không song song v i tr c Oy , khi đó đư ng

th ng ( d ) có phương trình y = k ( x − 1) , v i k ≠ 0 (vì ( d ) c t ( P )
t i hai đi m phân bi t).
Phương trình hồnh ñ giao ñi m c a

(d )

v i

(P)

là :

k 2 ( x − 1) = 4 x ⇔ k 2 x 2 − 2 ( k 2 + 2 ) x + k 2 = 0
2

Ta có ∆ ' = 4k 2 + 4 > 0, ∀k ≠ 0 . Do đó ( d ) ln c t

(P)

hai đi m phân bi t.
G i x1 , x2 l n lư t là hồnh đ c a A và B .
 y1 = k ( x1 − 1)

Như v y A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) , v i 
 y2 = k ( x2 − 1)


Ta có d ( A ; Ox ) .d ( B ; Ox ) = y1. y2 = k 2 ( x1 − 1)( x2 − 1)
= k 2  x1 x2 + 1 − ( x1 + x2 ) 


 x1 x2 = 1

Theo công th c Viète , ta có : 
2 ( k 2 + 2)
 x1 + x2 =
k2


2( k 2 + 2) 
1 +1 −
 = −4 = 4.
Nên y1. y2 = k
k2





2

t i


21
A và B đ n tr c hồnh là m t

V y tích các kho ng cách t
đ i lư ng khơng đ i.

2.8.

NG

D NG

CƠNG

TH C

VIÈTE TRONG

CÁC

BÀI TỐN LƯ NG GIÁC
Bài toán: Cho p, r , R l n lư t là n a chu vi, bán kính đư ng tròn n i
ti p, ngo i ti p tam giác ABC .
Ch ng minh r ng : p 2 ≥ 3r 2 + 12r.R .

D u b ng x y ra khi nào?

B

Gi i

P
M

r

r

I

r
A

Xét ∆AMI vuông t i M , ta có cot
⇒ AM = IM .cot

Và p − a =

C

N
A
AM
=
2

IM

A
A
= r.cot
2
2

b+c−a
AN + CN + AM + BM − CP − BP
=
2
2

Mà AM = AN , BM = BP, CN = CP nên p − a = AM = r.cot
⇒ r =

( p −a)
A
cot
2

= ( p − a ) tan

A
2

A
2

22
A
2 tan
a
2
=
Ta có sin A =
A
2R
1 + tan 2
2
A
r
Thay tan =
vào
2 p−a

⇔

( 2.13)

( 2.13) :

a
=
2R

2r
p−a

r2
1+
( p − a )2

2r ( p − a )
a
=
2R
( p − a )2 + r 2

⇔ a ( p 2 − 2 pa + a 2 ) + ar 2 = 4rRp − 4rRa
⇔ a 3 − 2 pa 2 + ( p 2 + r 2 + 4rR ) a − 4rRp = 0

Tương t v i b, c và ta có a, b, c
trình :

là nghi m c a phương

x3 − 2 px 2 + ( p 2 + r 2 + 4rR ) x − 4rRp = 0

 a + b + c = 2p
Theo công th c Viète : 
2
2
 ab + bc + ca = p + r + 4rR

M t khác, áp d ng b t ñ ng th c Bunyakovski:

( a 2 + b2 + c 2 )

≥ ( ab + bc + ca )

⇔ ( a + b + c ) ≥ 3 ( ab + bc + ca )
2

⇒ 4 p 2 ≥ 3 ( p 2 + r 2 + 4rR )
⇒ p 2 ≥ 3r 2 + 12rR.

D u b ng x y ra khi và ch khi

a b c
= =
b c a

⇒ a = b = c hay ABC là tam giác ñ u.


23
Các bài toán tương t
y = x3 − 3ax 2 + 4a 3 . Xác ñ nh

1. Cho hàm s

ñ ñư ng th ng

a

y = x c t ñ th hàm s t i ba ñi m A, B, C v i AB = BC .
x+

2. Cho hai s th c khơng âm x, y th a mãn đi u ki n
Tìm

giá

tr

Q=

nh

x +1 +

nh t,

giá

tr

l n

nh t

c a

y = 4.

bi u

th c

y+9 .

3. Gi i phương trình:

1 + x + 8 − x + (1 + x )(8 − x ) = 3 .

x+ y + 1 + 1 = 4

x y

4. Gi i h phương trình 
 x2 + y 2 + 1 + 1 = 4

x2 y2


5.

G i

m , n, p

là ba nghi m c a phương trình b c ba

ax 3 + bx 2 + cx − a = 0. Ch ng minh r ng :
m2 + n2 + p 2 ≥

6.

Cho ba s

ax 2 + bx + c

2
3
+
+
m
n

2+ 3
.
p

nguyên a, b, c , bi t r ng

a > 0 , cịn đa th c

có hai nghi m khác nhau trên kho ng

minh r ng a ≥ 5. Tìm ít nh t m t c p s

b, c ñ

( 0; 1) .

a = 5.

7. Ch ng minh r ng: tan 6 200 + tan 6 400 + tan 6 800 = 33273.

Ch ng