CÁC BẤT ĐẲNG THỨC, ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.63 MB, 33 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
H TRỌNG HU
CC BT ĐNG THC, ĐNG THC TRONG TAM
GIC V NG DNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội – Năm 2013
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
HÀ TRỌNG HU
CC BT ĐNG THC, ĐNG THC TRONG TAM
GIC VÀ NG DNG
:
: 604640
TÓM TẮT LUN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NG DN KHOA HC: TS.
i
Mc Lc
3
5
6
6
7
7
1.1
: 7
1.2
: 7
1.3
: 7
: 7
1.5
: 7
1.6
: 8
1.7
: 8
1.8
: 8
1.9
8
10
10
10
2.1.1
10
2.1.2 Nhng biu dic (2.1.4) thng bt 12
2.1.3. Nhng min con cng vi nh 13
u thc ca nh p,x,y 15
gia nhng trong m 17
2.2
22
2.2.1
22
23
NG MINH BNG TH 23
ng minh bng thc d c 23
3.2 dng bng th chng th 23
dng bng th chng th 23
3.4
25
KT LUN 30
liutham
k
h
o
32
. , phong
.
,
.
:
1:
-
,
,
, ,,
,
-
1.9
-
1.10
.
2:
.
.
=
+ +
2
=
4(+ + )
+ +
=
8
2
3
2
+
2
+
2
+ 2(+ + )
(+ + )
2
.
,
,
, , .
.
2.2
,
R, r, p. Ta
(, , )
.
3
,
, ,
,
Chebyshev
.
, .
, Ts.
.
, ,
.
!
.
,
, ,
.
,
.
. .
, 10\05\2013
A, B, C :
a, b, c : , B, C
,
,
: , B, C
:
:
,
,
: A, B,
:
:
1:
1.1
sin:
=
=
= 2.
1.2
cos:
2
=
2
+
2
2.
2
=
2
+
2
2.
2
=
2
+ 2.
1.3
tan:
+
=
2
+
2
+
=
2
+
2
+
=
2
+
2
1.4 :
=
1
2
=
1
2
=
1
2
=
1
2
. =
1
2
. =
1
2
.
=
4
= = ()
= ()
= ()
=
()()() ( -ron).
1.5 :
=
2
=
2
=
2
=
4
= ()
2
= ()
2
= ()
2
=
:
=
2
=
=
2
=
=
2
=
.
1.6
:
2
=
2
+
2
2
2
4
2
=
2
+
2
2
2
4
2
=
2
+
2
2
2
4
.
1.7 :
=
2
+
2
=
2
+
2
=
2
+
2
1.8
:
= . + . = (
2
+
2
)
= . + . = (
2
+
2
)
= . + . = (
2
+
2
).
1.9
1.9.4
, y,
sau
1.9.4.1 + + (+ + )
= 4
+
2
+
2
+
2
.
1.9.4.2+ + + (+ + )
= 4
+
2
+
2
+
2
.
1.9.4.3+ + (+ + )
=
(+ )(+ )(+ )
(+ + )
.
1.9.4.4 + + cot
+ +
=
(+ )(+ )(+ )
(+ + )
.
:Thay{ , , } 1.9.4
{, , }; {(2+ 1), (2+ 1), (2+ 1)}; {2, 2, 2};
{(2+ 1)
2
, (2+ 1)
2
, (2+ 1)
2
}
, ,
1.9.1; 1.9.2; 1.9.3.
:
2
u ng cnh ln nh nht ca m
nh th ba c
0 < < + (2.1.1)
2.1.1
=
+ +
2
,
=
4(+ + )
+ +
,
=
8
2
3
2
+
2
+
2
+ 2
+ +
+ +
2
. .
Chng minh rng nhng bng th
> 0 ; 0 < < 1; < 2
2
(. . )
Li gii.
1. Bng thc > 0hi
2. T (2.1.1) ta nhc
4 (+ + ) = 3 (+ ) + 2 (+ )
= (+ ) > 0
> 0.
3. 4 (+ + ) = + 2(+ ) < + 2(+ ) (+ ) = (+ +
) ,
< 1.
4ng thc sau:
+ > 0, + > 0, 2 > 0
ta nhc 2b
2
2a
2
2c
2
+ 4ac > 0 vii dng
5
2
3
2
3
2
+ 2
+ +
>
+ +
(3)
Hoc
8b
2
3
a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2(ab + bc + ca)
(a + b + c)
2
>
3b a c
a + b + c
> .
5ng thc sau 0, 0, 8 > 0, ta nhc
8
2
+
888
0 vit lc
5
2
3
2
3
2
+ 2
+ +
2 (+ + ) (3) (3)
2
Ho
8
2
3
2
+
2
+
2
+ 2(+ + )
(+ + )
2
4
+ +
+ +
3
2
+ +
2
2
2
.
Ta gii h (2.1.2) i vi a, c
=
1
4
3
; =
1
2
+ 1
; =
1
4
(3 + ), (2.1.4)
=
2
+ 10+ 1 8(2.1.5)
Biu thc (2.1.5) t vy, t (2.1.3)
8168
2
=
2
+ 10+ 1 (31)
2
2
+ 10+ 1(2.1.6)
2.1.2 Nhng biu dic (2.1.4) thng bt
2.1.1)
Li gii.
18> 8 = 168 + 8(1 ) > 168 vit li biu th
(3 )
2
>
2
+ 10+ 1 8 ho(2.1.3) (2.1.6) dn 3 >
> 0
2 8168
2
ho
(31)
2
2
(2.1.7)
Vi <
1
3
b(2.1.7) vii dng
(31) (2.1.8)
Bng th
1
3
. Ta vit (2.1.8)
1
4
2+ 2
1
4
3
, ta nhc .
3. Vi >
1
3
b(2.1.7) vii dng
(31) (2.1.9)
Bng th
1
3
. Ta vit (2.1.9)
1
4
2+ 2
1
4
3 +
, ta nhn c b .
4. Ta vit b8> 8 ng (+ 1)
2
>
2
+ 10+ 1 8 hoc
(2.1.3) (2.1.5) ng + 1 > vit li
1
4
(3 ) +
1
4
(2+ 2) >
1
4
(3 + ) ,+ > .
2.1.1 2.1.2t lp quan h gia nhng cp s
th(2.1.1) (2.1.3). Mi quan h ng mt - m
bng nn t tuy ng
i s c nh mt t th
0 < < 1; < 2
2
(2.1.10)
t c nh(, , ) ng dng. Bng thc (2.1.10) nh
trong h t mt min gii hn bng thng = = 2
2
nhm nm n
cung OM tr u thuc tng vn nh
ng dng vm ca minh tt c
nhi nhng lng dng.
2.1.3. Nhng min con cng vi nh
nh
u n nht c
=
2
+
2
2
2
.
thuu thc
2
+
2
2
> 0, = 0 hoc< 0.
T ph thuc
7
2
101
3
2
hoc <
7
2
101
(3)
2
Ph th c=
7x
2
10x1
(x3)
2
, 0 < < 1, nm trong min G, th hi
mng parabol = 2
2
t-
2
2 , 8
2 - 11).
1. Nhc vi tt c nhm trong min
3 2
2 < 1, =
7
2
101
(3)
2
Vi nha T tr m M.
2. Nhc t nhm trong min
0 < < 3 2
2, < 2
2
,
= 3 2
2, 3 2
2 < < 8
2 1. (2.1.12)
3 2
2 < < 1, < <
7
2
101
(3)
2
t nhm gii hn bng thng =
= 2
2
.
3. Nhn nhc t nhm trong min
3 2
2 < 1,
7
2
101
(3)
2
< 2
2
. (2.1.13)
t c nhm gii hn ba parabol =
2
2
.
4ng vi nh
T = c 1 3=
2
+ 10+ 1 8 i x
1
3
ng thc dng = 2
2
y ta
nhc cung parabol:
OQ : = 2
2
, 0 <
1
3
t c nh
QM: = 2
2
,
1
3
< 1.
= = ch tm Q(
1
3
,
5
9
).
X
1
0
O
1
Y
M
Q
P
Kt lun, tt c nhng vi nh
ng vi nhu. c bit nhu
ng nm trong min 3 2
2 < < 1, = 2
2
, nhu
ng nm trong min 0 < < 3 2
2, = 2
2
u
ng tm P.
2.u thc ca nhn trong tam g
p,x,y
2.1.4.1.Dic Heron
S =
() t
S =
1
2
p
2
(2.1.14)
t =
()(1 ) (2.1.15)
2.1.4.2i tip t = . ta nhc
=
1
2
(2.1.16)
2.1.4.3p c
= ()= ()= ()ta nhc:
=
1
(1 + )
4
=
2
1 + +
=
1
(2.1.17)
=
1
(1 + + )
4
=
2
1 +
2.1.4.4
,
,
t
=
2
+
() ,
=
2
+
(),
=
2
+
().
Ta nhc
2
=
+ 1
3+ 1 2+
(+ 5 )
2
8(3 + )
2
2
2
=
4
1
(12+)
(3)
2
2
(2.1.18)
2
=
+ 1
3+ 1 2
(+ 5 + )
2
8(3 + )
2
2
2.1.4.5 n t c
=
1
2
2(
2
+
2
)
2
,
=
1
2
2(
2
+
2
)
2
,
=
1
2
2(
2
+
2
)
2
,
ta nhc
=
1
8
10
2
+ 208+ 18 6(3 ),
=
1
8
2
+ 28+ 9,(2.1.19)
=
1
8
10
2
+ 208+ 18 + 6(3 ).
2.1.4.6 ng cao h
a
, h
b
, h
c
t ah
a
= bh
b
= ch
c
=2S ta nhc:
=
( 3 + )
2(1 + 2)
=
4
( 3 )
=
2
+1
(2.1.20)
=
( 3 )
2(1 + 2)
=
4
( 3 + )
2.1.4.7. Nh = = =
2
=
(
2
+
2
)
2
2
, =
(
2
+
2
)
2
2
, =
(
2
+
2
)
2
2
Ta nhc
=
8
(+ 1)( 3 + )
, =
2
+ 2+ 1 +
3
(+ 1)( 3 + )
=
4
(1 + 2)
, =
1
(1 + 2)
, (. . )
=
8
(+ 1)( 3 )
, =
2
+ 2+ 1
3
(+ 1)( 3 )
2.1.4.8i tip t c
=
=
=2R
ta nhn c=
8
( + 1)(1 + 2) (2.1.22)
2. gia nhng trong m
Qua nh t m gia nhi
ng ca m chong
thng thc ging ca m
rng khi s di th(2.1.10)ng minh rng trong
mu thng bng thc sau:
V d 2.1.1. p
2
3
3 .
Li gii: T c (2.1.14) , bng thng
2
9
3(2.1.23)
hoy
4+2727
2
27(1)
(2.1.24)
Bng thc (2.1.24) s thng thc m
2
2
4 + 2727
2
27(1 )
Bi(31)
2
(3 4) 0ng thc ch xy ra
khi =
1
3
. ng h phi ca (2. 1.24)
5
9
ng
thc ta chng minh ch xu.
Q(
1
3
,
5
9
))
V d 2.1.2.
+
+
> 6.
Li gii:
c (2.1.17) (2.1.20) bng th dng
(35)< 2
2
5 + 1 (2.1.25)
Bng thc (2.1.25) thu bng th
>
2
2
5 + 1
35
ng thi 1
2
> 0
V d 2.1.3.
1
+
+
1
+
+
1
+
9
++
.
Li gii.
c (2.1.14) (2.1.15) bng th dng
(7 9)10
2
+ 7+ 1 (2.1.26)
Vi =
7
9
, bng thc d kim tra th
Vi >
7
9
, bng thu bng th
102 + 7 + 1
7 9
ng thi bng thc hi
1 x
2
>0
Vi <
7
9
, bng thc (2.1.26) c thu bng th
2
2
10
2
+ 7 + 1
7 9
ng th
(1 )(31)
2
0 thy rng bng thu tr
ng thu.
V d 2.1.4.
1
+
1
+
1
5
2
.
Li gii: T ng thc (2.1.17), bng th dng
(5 3)6
2
31 (2.1.27)
Vi =
3
5
, bng thc d
Vi >
3
5
, bng thu bng th
>
6
2
31
5 3
Bng th bii v d
1 x
2
>0
Vi <
3
5
, bng thc (2.1.27) c thu bng th
2
2
<
6
2
31
5 3
ng th
(1 )[4
2
+ (1)
2
] > 0.
V d 2.1.5.
+
+
3.
Li gii: T ng thc (2.1.17), bng th dng
3(2.1.28)
= 1
2
+2()
Bng thc (2.1.28) bii v dng
4y
2
4( x
2
x +2) y + x
4
+ 4x
3
10x
2
(2.1.29)
vii dng
(x
2
4x 1+4y)
2
+ 3 (x 1)
2
t
2
ng thc xy ra khi
th
2
41 + 4 = 0,
2
+10+ 1 8 = 0y
ra khi =
1
3
, =
5
9
u.
V d 2.1.6. 5
3.
Li gii:
c (2.1.16) (2.1.22) bng th dng
914
2
+ + 5 8
3(2.1.30)
Bng thc (2.1.30) ng thc sau:
914
2
+ + 5 4 (2.1.28)(2.1.31)
i v dng (2.1.26) ng
thc ch xu.
V d 2.1.7.
2
+
2
+
2
2
1.
Li gii: T ng thc (2.1.19) bng th dng:
1
6
(3
2
+ 6+ 1)
bng thng thc (2.1.24)
v d 2.1.8. Trong nhng th
2
+
2
+
2
2
6(3 2
2 ).
Li gii: T ng thc (2.1.19) bng th dng:
<
1
2
(
2
+ 245 + 32
2 )(2.1.32)
Ta cn chng minh bng thc (2.1.32) i m
(2.1.12).
Vi 0 < < 3 2
2 bng thc (2.1.32) u b
2-
2
<
1
2
(
2
+ 245 + 32
2 )
ng thng
[ 3(3 2
2 + 4
3
2 4
]( 3 2
2 ) > 0
Vi = 3 2
2 bng thc (2.1.32) dng < 8
2 11
Vi > 3 2
2 bng thc (2.1.32) u b
7
2
101
(3)
2
<
2
+ 245 + 32
2
2
ng thc sau ng
( 3 2
2 )[( 2
2 + 1)
2
+ 16 (
2 1)] > 0.
2.2
,
R, r, p.
(, , )
.
2.2.1
NG MINH BNG
TH
ng minh bng thc d c
s
Trong m
1
sin
1
dng bng th chng
th
dng bng th cht
ng th
Bng thng hp n=3
xp th t ging nhau
1
2
3
1
2
3
ng thc
1
+
2
+
3
1
+
2
+
3
3(
1
1
+
2
2
+
3
3
)
Nu hai
=1
3
,
=1
3
sp xp theo th t c nhau :
1
+
2
+
3
1
+
2
+
3
3(
1
1
+
2
2
+
3
3
)
Nh 1: trong , nu th
2
2
2
2
2
2
Nh 2: Trong nhn, nu
222
Vi hai nhng thi = 3 p
sau.
ng:
Chng minh rng nu:
+
+
+
+
+
+
+
+
= + +
u.
Hướng dẫn:
p 3.3.2:Trong , chng minh rng:
. + . + .
+ +
1
2
p 3.3.3:Trong , chng minh rng:
