Ứng dụng định thức và ma trận vào việc giải quyết lớp các bài toán chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức

đại học tháI nguyên
Tr-ờng đại học khoa học


PHạM QUANG NGọC










ứNG DụNG ĐịNH THứC Và MA TRậN
VàO VIệC GIảI QUYếT LớP
CáC BàI TOáN CHứNG MINH
ĐẳNG THứC Và BấT ĐẳNG THứC








Luận văn thạc sĩ toán học

Thái Nguyên 2012
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
Mục lục
Mở đầu 3
1. Tóm tắt lý thuyết ma trận định thức và một số kiến thức liên quan 5
1.1. Ma trận, tính chất và các phép toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1. Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2. Tính chất và các phép toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Định thức của ma trận vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1. Các định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2. Định lý 1(Laplace) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3. Đa thức đặc trưng, giá trị riêng và véc tơ riêng . . . . . . . . . 9
1.3. Ma trận đối xứng và dạng toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1. Ma trận đối xứng và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2. Dạng toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2. Ứng dụng lý thuyết định thức và ma trận vào lớp các bài toán chứng
minh đẳng thức và bất đẳng thức 15
2.1. Chứng minh đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1. Đẳng thức Bine - Cauchy dưới dạng định thức . . . . . . . . . . 15
2.1.2. Chứng minh đẳng thức bằng cách tính định thức . . . . . . . . 18
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2.1.3. Áp dụng đẳng thức |A.B| = |A| . |B| . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.4. Áp dụng phương trình ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.5. Áp dụng vào đẳng thức tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . 27
2.2. Chứng minh bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.1. Áp dụng định lý 6(định lý Bine-Cauchy) . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.2. Áp dụng định lý Sylvestrer (định lý 2) . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.3. Áp dụng định lý 3 và định lý 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.4. Áp dụng định lý Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.5. Áp dụng bất đẳng thức độ lõm |A| . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.6. Áp dụng bất đẳng thức Adamar . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3. Bài tập đề nghị và hướng dẫn giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Tài liệu tham khảo 41
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Mở đầu
Lý thuyết Đại số tuyến tính nói chung và lý thuyết định thức và ma trận nói riêng
là kiến thức cơ bản của toán học. Nó là cơ sở để nghiên cứu các lý thuyết khác của
toán học như hình học cao cấp, giải tích, toán kinh tế v.v Ngoài ra nó còn có ứng
dụng trong việc nghiên cứu một số nghành khoa học như vật lý, cơ lý thuyết, hóa học
và một số nghành kỹ thuật khác .
Hiện nay các bài toán về đẳng thức và bất đẳng thức ta thường gặp trong rất nhiều
các giáo trình, trong các kỳ thi học sinh giỏi và có rất nhiều phương pháp giải hay và
độc đáo. Trong phạm vi đề tài này chúng tôi mạnh dạn trình bày một phương pháp
tiếp cận khác đó là phương pháp giải dựa trên lý thuyết của ma trận và định thức .
Bố cục của luận văn như sau luận văn ngoài các phần mở đầu, kết luận và tài liệu
tham khảo luận văn gồm có hai chương:

Chương 1: Lý thuyết ma trận, định thức và một số kiến thức có liên quan.
Chương 2: Ứng dụng lý thuyết ma trận và định thức vào lớp các bài toán chứng
minh đẳng thức và bất đẳng thức .
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên.
Để hoàn thành luận văn này, tác giả đã được nhận sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tình
của PGS.TS Nông Quốc Chinh.
Nhân đây, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã quan tâm,
hướng dẫn và đóng góp nhiều ý kiến qúy báu trong suốt quá trình hoàn thành luận
văn của tác giả.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới tập thể các thầy cô giáo trong khoa
Toán ĐHKH - ĐH Thái Nguyên vì sự dạy dỗ, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập
và hoàn thành luận văn này.
Cuối cùng tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã giúp đỡ và là nguồn
động viên tinh thần lớn trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Kết quả đạt được trong bản luận văn này còn nhiều khiêm tốn và chắc hẳn không
thể tránh khỏi những thiếu sót. Do vậy, tác giả rất mong nhận được sự đóng góp ý
kiến của thầy cô và các bạn bè để luận văn được hoàn thiện hơn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn !
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Thái Nguyên, tháng 08 năm 2012.
Học viên
Phạm Quang Ngọc.
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1.
Tóm tắt lý thuyết ma trận định
thức và một số kiến thức liên quan
1.1. Ma trận, tính chất và các phép toán
1.1.1. Các định nghĩa

Ma trận A cấp m × n là một bảng m hàng ( hay dòng ), n cột được viết cố định
như sau:
A = (a
i j
)
m×n
=








a
11
a
12
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2n
. . . . . . . . . . . .
a
m1

a
m2
. . . a
mn








( với i = 1,2, ,m; j =1,2, n ; a
ij
∈ R hoặc a
ij
∈ C).
Nếu m = n thì ta nói A là ma trận vuông cấp n, kí hiệu A = (a
ij
)
n
.
Ma trận A
t
= (a
ji
)
n×m
thu được từ ma trận A = (a
ij

)
m×n
bằng cách chuyển dòng thành
cột, cột thành dòng gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A .
Ma trận vuông A được gọi là ma trận đối xứng nếu a
ij
= a
ji
, ∀i, j = 1, n.
Ma trận vuông A gọi là ma trận phản đối xứng nếu a
ij
= −a
ji
, ∀i, j = 1, n.
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Ma trận vuông A được gọi là ma trận đơn vị nếu mọi phần tử nằm trên đường chéo
chính đều bằng 1, các phần tử còn lại bằng 0 và ta kí hiệu I
n
.
1.1.2. Tính chất và các phép toán
i) Phép nhân ma trận với một số
Tích của ma trận A với một số k là một ma trận B = k.A được xác định như sau:
B = (b
i j
)
m×n
=









ka
11
ka
12
. . . ka
1n
ka
21
ka
22
. . . ka
2n
. . . . . . . . . . . .
ka
m1
ka
m2
. . . ka
mn









ii) Phép cộng ma trận
Tổng của hai ma trận A = (a
ij
)
m×n
và B = (b
ij
)
m×n
là một ma trận C = (c
ij
)
m×n
với
c
ij
= a
ij
+ b
ij
, ∀i = 1, m, ∀j = 1, n.









a
11
. . . a
1n
a
21
. . . a
2n
. . . . . . . . .
a
m1
. . . a
mn








+









b
11
. . . b
1n
b
21
. . . b
2n
. . . . . . . . .
b
m1
. . . b
mn








=









a
11
+ b
11
. . . a
1n
+ b
1n
a
21
+ b
21
. . . a
2n
+ b
2n
. . . . . . . . .
a
m1
+ b
m1
. . . a
mn
+ b
mn









Hiển nhiên ta cũng thấy phép cộng hai ma trận cũng có tính giao hoán và kết hợp
Tính giao hoán: A + B = B + A.
Tính kết hợp : A + ( B + C ) = ( A + B ) + C.
iii) Phép nhân các ma trận
Tích của hai ma trận A = (a
ik
)
m×n
và B = (b
kj
)
n×p
là một ma trận C = (c
ij
)
m×p
được
định nghĩa như sau:
C = A.B =

n

k=1
a
ik

b
kj

m×p
.
Ta chú ý phép nhân ma trận A với ma trận B chỉ thực hiện được nếu số cột của ma
trận A bằng số dòng của ma trận B.
6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Phép nhân ma trận nói chung không có tính chất giao hoán. Tức là A.B = B.A.
Tuy nhiên phép nhân ma trận có tính chất kết hợp:(A.B).C = A.(B.C).
Ma trận vuôngA = (a
ij
)
n
được gọi là ma trận khả nghịch nếu tồn tại ma trận vuông
B = (b
ij
)
n
sao cho A.B = B.A = I
n
.
Ma trận vuông A gọi là ma trận trực giao nếu A.A
t
= I
n
.
Nhận xét : Ta thấy tập hợp các ma trận vuông cấp n cùng với phép cộng và nhân
ma trận lập thành một vành không giao hoán với phần tử không là ma trận O và phần

tử đơn vị là ma trận đơn vị I
n
. Hơn nữa nếu thêm vào phép nhân vô hướng, nó tạo
thành một đại số trên trường K. Kí hiệu tập các ma trận vuông cấp n là Mat(n, K),
ở đây K là trường R hoặc C.
1.2. Định thức của ma trận vuông
1.2.1. Các định nghĩa và tính chất
Định thức của ma trận vuông A = (a
ij
)
n
là một số kí hiệu là det(A) hoặc |A| được
xác định như sau:
det (A) =












a
11
a
12

. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2n
. . . . . . . . . . . .
a
m1
a
m2
. . . a
mn












=

σ∈S

n
sgn (σ)a
σ(1)1
a
σ(n)n.
Từ định nghĩa ta có một số tính chất và kết quả sau:
a) Nếu một cột(một hàng) của định thức có nhân tử chung thì ta đưa được nhân tử
chung ra ngoài.
Ví dụ:
7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên












a
11
. . . pa
1i
+ qb
1i
. . . a

1n
a
21
. . . pa
2i
+ qb
2i
. . . a
2n
. . . . . . . . . . . . . . .
a
m1
. . . pa
mi
+ qb
mi
. . . a
mn













= p












a
11
. . . a
1i
. . . a
1n
a
21
. . . a
2i
. . . a
2n
. . . . . . . . . . . . . . .
a
m1
. . . a
mi

. . . a
mn












+q












a
11
. . . b

1i
. . . a
1n
a
21
. . . b
2i
. . . a
2n
. . . . . . . . . . . . . . .
a
m1
. . . b
mi
. . . a
mn












b) Đổi chỗ hai cột của định thức thì định thức không đổi dấu.
c) Định thức có một cột bằng 0, định thức có hai cột bằng nhau, định thức có một cột

là tổ hợp tuyến tính của các cột còn lại thì bằng 0.
d) Nếu cộng thêm vào một cột một tổ hợp tuyến tính của các cột còn lại thì định thức
không thay đổi.
e) det (I
n
) = 1.
f) det (A.B) = det (A) . det (B) .
g) Ma trận A khả nghịch (không suy biến ) khi và chỉ khi det (A) = 0.
h) det (A) = det (A
t
) .
1.2.2. Định lý 1(Laplace)
Cho A = (a
ij
)
n
với các số nguyên 1  q < n, 1  i
1
< < i
q
 n, 1  j
1
< <
j
q
 n. Gọi ∆
j
1
j
q

i
1
i
q
(A) là định thức của ma trận cấp q tạo bởi các phần tử ở giao các
dòng i
1
, , i
q
, với các cột j
1
, , j
q
.Còn

∆
j
1
j
q
i
1
i
q
(A) là định thức của ma trận còn lại từ
A sau khi xóa đi các dòng i
1
, , i
q
, và các cột j

1
, , j
q
nhân với (−1)
i
1
+ +i
q
+j
1
+ +j
q
và
được gọi là định thức con bù của ∆
j
1
j
q
i
1
i
q
(A). Ta gọi (

∆
j
1
j
q
i

1
i
q
(A) là phần bù đại số của
∆
j
1
j
q
i
1
i
q
(A)). Giả sử đã chọn ra q dòng ( tương ứng, q cột ) trong một định thức cấp
n(1  q < n). Khi đó, định thức đã cho bằng tổng tất cả các định thức con cấp q lấy
ra từ q dòng ( tương ứng, q cột ) đã chọn với phần bù đại số của chúng. Nói cách khác
ta có :
(i) Công thức khai triển định thức của ma trận A theo q dòng i
1
, , i
q
:
det A =

1j
1
< <j
q
n
(−1)

i
1
+ +i
q
+j
1
+ +j
q
∆
j
1
j
q
i
1
i
q
(A).

∆
j
1
j
q
i
1
i
q
(A) .
8

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
(ii) Công thức khai triển định thức của ma trận A theo q cột j
1
, , j
q
:
det A =

1i
1
< <i
q
n
(−1)
i
1
+ +i
q
+j
1
+ +j
q
∆
j
1
j
q
i
1
i

q
(A).

∆
j
1
j
q
i
1
i
q
(A) .
Đặc biệt : det A =
n

j=1
a
ij
∼
a
ij
(ở đây
∼
a
ij
là phần bù đại số của a
ij
). Ta nói đây là công
thức khai triển 1 định thức theo 1 dòng ( hoặc 1 cột ) nào đó .

1.2.3. Đa thức đặc trưng, giá trị riêng và véc tơ riêng
Định nghĩa 2. Đa thức P
λ
(A) = det (A − λI
n
) được gọi là đa thức đặc trưng của ma
trận A. Hiển nhiên P
λ
(A) là đa thức biến λ bậc n và ta có:
P
λ
(A) = (−1)
n
λ
n
+ (−1)
n−1
b
1
λ
n−1
+ + b
n−1
(−λ) + b
n
.
trong đó b
k
là tổng của định thức con chính cấp k của ma trận A,∀k = 1, n.
Định nghĩa 3. Nghiệm của phương trình P

λ
(A) = 0 được gọi là giá trị riêng của ma
trận A.
Định nghĩa 4. Véc tơ x = (x
1
, x
2
, , x
n
) = 0 thuộc K
n
được gọi là véc tơ riêng ứng
với giá trị riêng λ của ma trận A nếu A [x] = λ [x] với [x] =


















x
1
x
2
.
.
.
x
n

















.
1.3. Ma trận đối xứng và dạng toàn phương
1.3.1. Ma trận đối xứng và các tính chất
Tính chất 1. Mọi nghiệm của phương trình đặc trưng của ma trận đối xứng A trên

trường số thực đều là thực .
9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chứng minh. Giả sử a + bi là một nghiệm của phương trình |A − λI| = 0 Khi đó
|A − (a + bi) I| = 0 hay |A − aI − ibI| = 0.
Tương tự như hệ phương trình tuyến tính thuần nhất với hệ số thực, hệ thuần nhất
có ma trận hệ số A − ai − ibI có một nghiệm không tầm thường
u + iv = (u
1
+ iv
1
, , u
n
+ iv
n
) = 0.
Bởi vì
(A − aI − ibI) [u + iv] = 0
nên tách riêng phần thực phần ảo ta được
(A − aI) [u] + b [v] = 0, (A − aI) [v] − b [u] = 0
Từ đó ta có
((A − aI) u |v ) + b (v |v ) = 0;
((A − aI) v |u) − b (u |u) = 0.
Vì A đối xứng nên A − aI cũng đối xứng nên ta có ((A − aI) u |v ) = (u |(A − aI) v ) =
((A − aI) v |u) . Trừ vế với hai đẳng thức trên ta có
b

|u|
2
+ |v|

2

= 0.
Đẳng thức này cho ta b = 0, vì |u|
2
+ |v|
2
= 0.
Vì |A − λI| = 0 là một phương trình đại số bậc n với hệ số thực nên một ma trận đối
xứng cấp n có đúng n giá trị riêng kể cả số lần bội. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Tính chất 2. Mọi ma trận đối xứng A đều chéo hóa được, tức là tồn tại ma trận trực
giao T sao cho T
∗
AT = T
−1
AT là ma trận chéo.
Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp theo cấp của A.
Với n = 1 kết quả là hiển nhiên.
Giả sử mọi ma trận đối xứng cấp n − 1, n  2 định lý đúng. Xét ma trận A = (a
ij
)
n
đối xứng cấp n. Theo tính chất 1, A có một giá trị riêng λ
1
. Chọn véc tơ riêng e
1
ứng
với giá trị riêng λ
1
thỏa mãn |e

1
| = 1. Khi đó :
Ae
1
= λ
1
e
1
.
10
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Bổ sung vào e
1
các véc tơ v
2
, , v
n
để được một cơ sở của R
n
, sau đó trực giao hóa và
trực chuẩn hóa, ta được một cở sở trực chuẩn E = {e
1
, e
2
, , e
n
} của R
n
. Gọi B là
ma trận của phép biến đổi tuyến tính A đối với cơ sở E. Khi đó

B = S
∗
AS.
Với S là ma trận có các véc tơ cột là e
1
, e
2
, , e
n
. Bởi vì ma trận S trực giao nên
B
∗
= (S
∗
AS)
∗
= S
∗
A
∗
S
∗∗
= S
∗
AS = B.
Nghĩa là B đối xứng. Do Ae
1
= λ
1
e

1
. nên cột thứ nhất của B là λ
1
, 0, , 0. Vì B đối
xứng nên dòng thứ nhất của B cũng như vậy . Từ đó
B =








λ
11
0 . . . 0
0 λ
22
. . . λ
2n
. . . . . . . . . . . .
0 λ
n2
. . . λ
nn









, với C =





λ
22
. . . λ
2n
. . . . . . . . .
λ
n2
. . . λ
nn





là ma trận đối xứng cấp n − 1. Theo giả thuyết quy nạp , tồn tại ma trận trực giao
cấp n − 1
T
0
=






t
22
. . . t
2n
. . . . . . . . .
t
n2
. . . t
nn





, sao cho T
∗
0
CT =





λ
2
. . . 0

. . . . . . . . .
0 . . . λ
n





là một ma trận chéo. Đặt
T
1
=








1 0 . . . 0
0 λ
22
. . . λ
2n
. . . . . . . . . . . .
0 λ
n2
. . . λ
nn









,
dễ thấy T
1
trực giao và
T
∗
1
BT
1
= D
λ
=








λ
1

0 . . . 0
0 λ
2
. . . 0
. . . . . . . . . . . .
0 0 . . . λ
n








11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Vì B = S
∗
AS nên
T
∗
1
S
∗
AST
1
= D
λ
.

Đặt T = ST
1
. Vì S, T
1
trực giao nên T trực giao và
T
∗
AT = D
λ
.
Suy ra điều phải chứng minh.
Tính chất 3. Cho A là ma trận đối xứng cấp n. Khi đó trong R
n
tồn tại một cơ sở
trực chuẩn gồm những véc tơ riêng của A.
Chứng minh. Theo tính chất 2
AT = T D
λ
trong đó T là ma trận trực giao, D
λ
là ma trận chéo. Gọi E = {e
1
, e
2
, , e
n
} là các
véc tơ cột của T. Khi đó E trực chuẩn và Ae
i
= λ

i
e
i
. với i = 1, , n. Vậy các véc tơ
thuộc E là các véc tơ riêng của A. Mặt khác vì ma trận A đối xứng nên A chéo hóa
được, do đó mọi giá trị riêng bội m của A có đúng m véc tơ riêng độc lập tuyến tính.
Giả sử λ
0
là một giá trị riêng bội m. Chọn m véc tơ riêng độc lập ứng với λ
0
và sau đó
trực chuẩn hóa hệ m véc tơ này ta được một hệ trực chuẩn gồm m véc tơ. Hiển nhiên
m véc tơ này cũng là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng λ
0
. Tiến hành như vậy đối với
tất cả các giá trị riêng ta được hệ n véc tơ E = {e
1
, e
2
, , e
n
}. Hệ này là một cơ sở
trực chuẩn của R
n
. Gọi T là ma trận có các véc tơ của E là các cột thì T trực giao và
T
∗
AT
1
=









λ
1
0 . . . 0
0 λ
2
. . . 0
. . . . . . . . . . . .
0 0 . . . λ
n








trong đó λ
i
là các giá trị riêng của véc tơ riêng e
i
. Từ đó ta có điều phải chứng minh.

1.3.2. Dạng toàn phương
Định nghĩa 5. Dạng Q(x) = Q(x
1
, x
2
, , x
n
) =
n

i,j=1
a
ij
x
i
x
j
được gọi là dạng toàn
phương nếu A = (a
ij
)
n
là ma trận đối xứng. Trong trường hợp này ma trận A được gọi
12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
là ma trận của dạng toàn phương.
khi sử dụng tích vô hướng của dạng toàn phương Q(x) sẽ được biểu diễn như sau:
Q(x) = (x, Ax).
Q(x) được gọi là xác định nếu Q(x) = 0 khi và chỉ khi x = 0
Q(x) được gọi là xác định dương nếu Q(x) > 0,∀x = 0.

Định lý 2 (Sylvestrer)
Cho Q(x) là dạng toàn phương xác định trên R và A là ma trận của Q(x).
Q(x) xác định dương khi và chỉ khi mọi định thức con chính ∆
m
của A là dương

m = 1, n

.
Q(x) xác định âm khi và chỉ khi mọi định thức con chính cấp chẵn của A dương, cấp
lẻ của A là âm.
Chứng minh
Nếu mọi ∆
m
= 0 thì ta sé có một cơ sở để trong cơ sở đó
Q (x) =
1
∆
1
x
2
1
+
∆
1
∆
2
x
2
2

+ +
∆
n−1
∆
n
x
2
n
.
Do đó nếu ∆
m
> 0 thì Q(x) sẽ xác định dương, nếu ∆
1
< 0, ∆
2
> 0, , (−1)
n
∆
n
> 0
thì Q(x) sẽ xác định âm.
Ngược lại nếu Q(x) xác định dương ( hoặc âm ), xét định thức con chính cấp m
∆
m
=













a
11
a
12
. . . a
1m
a
21
a
22
. . . a
2m
. . . . . . . . . . . .
a
m1
a
m2
. . . a
mm













Gọi X
m
là các véc tơ con của X sinh bởi các véc tơ cơ sở e
1
, e
2
, , e
m
. Khi đó
Q
m
(x) = Q(x), x ∈ X
m
cũng là một dạng toàn phương xác định dương (hoặc âm ).Xét
cơ sở mới trong X
m
để Q(x) có dạng chính tắc, ma trận của Q(x) trong cơ sở này có
dạng









b
1
0 . . . 0
0 b
2
. . . 0
. . . . . . . . . . . .
0 0 . . . b
m








13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Nếu gọi T là ma trận chuyển từ cở sở e
1
, e
2
, , e
m
sang cơ sở chính tắc thì ta có

b
1
b
2
b
m
= ∆
m
|T |
2
.
Do đó nếu Q(x) xác định dương thì mọi b
j
> 0, nên ∆
m
> 0. Nếu Q(x) xác định
âm thì mọi b
j
< 0, nên ∆
m
> 0 nếu m chẵn, ∆
m
< 0 nếu m lẻ.
Định nghĩa 6. Giả sử Q(x) xác định dương, A là ma trận của Q(x), khi đó A được
gọi là ma trận xác định dương.
Định lý 3. Nếu A là ma trận xác định dương thì mọi giá trị riêng của A đều dương.
Chứng minh. Ta có đa thức đặc trưng của A là :
P
λ
(A) = det


A − λI
n
) = (−1)
n
λ
n
+ (−1)
n−1
b
1
λ
n−1
+ + b
n−1
(−λ) + b
n
.
Giả sử tồn tại một nghiệm của P
λ
(A) = 0 thỏa mãn λ  0.Khi đó đặt µ = −λ ta có :
P
λ
(A) = 0 ⇔ µ
n
+ b
1
µ
n−1
+ + b

n−1
µ + b
n
. (1)
Do A xác định dương nên các b
i
> 0, ∀i =
1, n và µ = −λ  0.
suy ra: µ
n
+ b
1
µ
n−1
+ + b
n−1
µ + b
n
> 0 mâu thuẫn với (1), ta có điều phải chứng
minh.
Chúng ta công nhận mà không chứng minh hai định lí sau:
Định lý 4. Mọi dạng toàn phương Q(x) xác định trên R ta đưa về dạng chính tắc sau:
Q(x) = (x,Ax) =
n

i=1
λ
i
y
2

i
trong đó λ
i
là các giá trị riêng của A, y = T
t
x với T là ma trận trực giao đưa A về
dạng chéo và (x,x) =(y,y).
Định lý 5. Nếu ma trận thực B không suy biến thì ma trận A = B.B
t
xác định dương.
14
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 2.
Ứng dụng lý thuyết định thức và
ma trận vào lớp các bài toán chứng
minh đẳng thức và bất đẳng thức
2.1. Chứng minh đẳng thức
2.1.1. Đẳng thức Bine - Cauchy dưới dạng định thức
Định lý 6 ( Bine - Cauchy) Cho A = (a
ij
)
mn
, B = (b
ij
)
mn
. Đặt D = AB

= (c
ij

)
m
trong đó c
ij
=
n

k=1
a
ik
b

kj
=
n

k=1
a
ik
b
jk
. Ký hiệu A
(i
1
i
2
i
m
)
và B

(i
1
i
2
i
m
)
là định thức
con cấp m của các ma trận A và B được tạo bởi các dòng i
1
, i
2
, , i
m
khi đó ta có :
với m  n thì |D| =

1i
1
<i
2
< <i
m
m
A
i
1
i
2
i

m
B
i
1
i
2
i
m
, ( 1 ).
với m > n thì |D| = 0.
15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chứng minh. Ta có :
D =











n

k
1
=1

a
1k
1
b
1k
1
n

k
2
=1
a
1k
2
b
2k
2
. . .
n

k
m
=1
a
1k
m
b
mk
m
n


k
1
=1
a
2k
1
b
2k
1
n

k
2
=1
a
2k
2
b
2k
2
. . .
n

k
m
=1
a
2k
m

b
2k
m
. . . . . . . . . . . .
n

k
1
=1
a
mk
1
b
mk
1
n

k
2
=1
a
mk
2
b
2k
2
. . .
n

k

m
=1
a
mk
m
b
mk
m











Trong ma trận D ở cột thứ j

j =
1, m

mỗi phần tử là tổng của n phần tử theo
chỉ số k
j
= 1, n.
Phân tích định thức |D| cột thứ nhất thành tổng của n định thứ cấp m,sau đó lại phân
tích định thức cấp m vừa thu được thành tổng của n định thức theo cột thứ hai, ,

phân tích theo cột thứ m, cuối cùng ta có được định thức |D| được khai triển thành
tổng của n
m
định thức, mà trong mỗi định thức của tổng đó từ cột thứ j có nhân tử
chung là b
jk
j
được rút ra ngoài định thức

j = 1, m

, do vậy ta có :
|D| =
n

k
1
, ,k
m
=1
b
1k
1
b
2k
2
b
mk
m
A

k
1
k
2
k
m
(∗), trong đó n
m
hạng tử của tổng trên, chỉ số
lấy tổng thay đổi từ 1 đến n và không phụ thuộc lẫn nhau.
Khi có hai chỉ số trùng nhau thì định thức A
k
1
k
2
k
m
(∗) có ít nhất hai cột như nhau nên
nó bằng không.Vì vậy , khi m > n ta có mọi hạng tử đều bị triệt tiêu suy ra |D| = 0.
Xét trường hợp m  n, đối với mỗi bộ chỉ số :1  i
1
< i
2
< < i
m
 n, trong tổng
(*) xét tất cả các hạnh tử có các chỉ số k
1
, k
2

, , k
m
được tạo nên từ một hoán vị nào
đó của các chỉ số i
1
, i
2
, , i
m
, ta sẽ có tổng của các hạng tử đó bằng :
A
i
1
i
2
i
m


f∈S
m
Sgn (f ) b
1f(1)
b
2f(2)
b
mf(m)

= A
i

1
i
2
i
m
B
i
1
i
2
i
m
.
( S
m
là tập tất cả các phép thế bậc m của m phần tử ).
Vậy |D| =

1i
1
<i
2
< <i
m
m
A
i
1
i
2

i
m
B
i
1
i
2
i
m
, Ta có đẳng thức Bine - Cosi.
Ví dụ 1. ( Đẳng thức Cosi)
Cho a
i
, b
i
, c
i
, d
i
∈ R

i = 1, n

chứng minh rằng :
16
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

n

i=1

a
i
c
i

n

i=1
b
i
d
i

−

n

i=1
a
i
d
i

n

i=1
b
i
c
i


=

1i<kn
(a
i
b
k
− a
k
b
i
) (c
i
d
k
− c
k
d
i
).
Chứng minh. Đặt A =


a
1
a
2
. . . a
n

b
1
b
2
. . . b
n


, B =


c
1
c
2
. . . c
n
d
1
d
2
. . . d
n


Khi đó
AB

=




n

i=1
a
i
c
i
n

i=1
a
i
d
i
n

i=1
b
i
c
i
n

i=1
b
i
d
i




Suy ra


AB



=

n

i=1
a
i
c
i

n

i=1
b
i
d
i

−


n

i=1
a
i
d
i

n

i=1
b
i
c
i

Ta có


AB



=

1i<kn
A
i
1
i

2
B
i
1
i
2
=

1i<kn
(a
i
b
k
− a
k
b
i
) (c
i
d
k
− c
k
d
i
).
Từ đó suy ra đẳng thức Cosi cần chứng minh.
Ví dụ 2.(Đẳng thức lagrange)
Cho a
i

, b
i
∈ R

i = 1, n

chứng minh rằng :

n

i=1
a
2
i

n

i=1
b
2
i

−

n

i=1
a
i
b

i

2
=

1i<kn
(a
i
b
k
− a
k
b
i
)
2
.
Chứng minh.
Phép chứng minh được suy ra từ đẳng thức cosi bằng cách đặt c
i
= a
i
, d
i
= b
i
.
17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2.1.2. Chứng minh đẳng thức bằng cách tính định thức

Ví dụ 3. Với p ∈ N, x ∈ R đặt :
φ
p
(x) =
























1 0 0 . . . . 0 x
1 2 0 . . . . 0 x

2
1 3 3 . . . . 0 x
3
1 4 6 . . . . 0 x
4
. . . . . . . . .
1 . . . . . . . .
1. . . . . . . C
p−1
p
x
p
1 C
1
p+1
C
2
p+1
. . . . C
p−1
p+1
x
p+1

























a) Tính φ
p
(x + 1) − φ
p
(x)
b) Áp dụng: không dùng quy nạp chứng minh các đẳng thức sau :
n

k=1
k =
n(n + 1)
2
n


k=1
k
2
=
n(n + 1)(2n + 1)
6
n

k=1
k
3
=
n
2
(n + 1)
2
4
Giải:
a)Ta có
φ
p
(x + 1) − φ
p
(x) =
















1 0 0 . . . . . . (1 + x) − x
1 2 0 . . . . . . (1 + x)
2
− x
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . C
p−1
p
(1 + x)
p
− x
p
1 C
1
p+1
C
2
p+1
. . . C

p−1
p+1
(1 + x)
p+1
− x
p+1















Cột cuối của định thức trên được phân tích thành :
18
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên












1 + x) − x
(1 + x)
2
− x
2

(1 + x)
p
− x
p
(1 + x)
p+1
− x
p+1












=











1
1
.
.
1











+x












0
2
3
.
C
1
p+1











+x
2












0
0
3
.
C
2
p+1











+ +x

p−1











0
.
.
C
p−1
p
C
p−1
p+1












+x
p











0
.
.
.
C
p
p+1












Khai triển định thức thành tổng của các định thức theo cột cuối và do tính chất tuyến
tính nên:
φ
p
(x + 1) − φ
p
(x) =


















1 0 0 0 . . . 0
1 2 0 0 . . . 0

1 3 3 0 . . . 0
. . . . . . 0 0
. . . . . . C
p−1
p
0
1 C
1
p+1
C
2
p+1
. . . C
p−1
p+1
C
p
p+1
x
p



















= 1.2.3 p(p + 1) x
p
= (p + 1)!x
p
.
b) Ta có :
φ
p
(n + 1) − φ
p
(n) = (p + 1)!n
p
φ
p
(n) − φ
p
(n − 1) = (p + 1)! (n − 1)
p

φ
p
(2) − φ

p
(1) = (p + 1)!1
p
φ
p
(1) = 0.
Cộng n + 1 đẳng thức trên ta được kết quả như sau :
φ
p
(n + 1) = (p + 1)!
n

k=1
k
p
n

k=1
k
p
=
φ
p
(n + 1)
(p + 1)!
Áp dụng trực tiếp kết quả trên với p = 1, p = 2, p = 3 ta có :
19
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Với p = 1 khi đó :
n


k=1
k =
1
2!
φ
1
(n + 1) =
1
2






1 n + 1
1 (n + 1)
2






=
n(n + 1)
2
Với p = 2 khi đó :
n


k=1
k
2
=
1
3!
φ
2
(n + 1) =
1
2









1 0 (n + 1)
1 2 (n + 1)
2
1 3 (n + 1)
3










=
n (n + 1) (2n + 1)
6
Với p = 3 khi đó :
n

k=1
k
3
=
1
4!
φ
3
(n + 1) =
1
2













1 0 0 (n + 1)
1 2 0 (n + 1)
2
1 3 3 (n + 1)
3
1 4 3 (n + 1)
4












=
n
2
(n + 1)
2
4
Ví dụ 4. Chứng minh rằng :

cos(a + b) [sin(b + c) cos(c − a) − cos(b − c) sin(c + a)]
- cos(b + c) [sin(a + b) cos(c − a) − cos(a − b) sin(c + a)]
+ cos(c + a) [sin(a + b) cos(b − c) − cos(a − b) sin(b + c)]
= −2 sin(a − b) sin(b − c) sin(c − a)
Giải:
V T = cos(a + b) [sin(b + c) cos(c − a) − cos(b − c) sin(c + a)]
- cos(b + c) [sin(a + b) cos(c − a) − cos(a − b) sin(c + a)]
+ cos(c + a) [sin(a + b) cos(b − c) − cos(a − b) sin(b + c)]
= cos(a + b)






sin(b + c) sin(c + a)
cos(b − c) cos(c − a)






− cos(b + c)







sin(a + b) sin(c + a)
cos(a − b) cos(c − a)






20
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
+ cos(c + a)






sin(a + b) sin(b + c)
cos(a − b) cos(b − c)






=










cos (a + b) cos (b + c) cos (c + a)
sin (a + b) sin (b + c) sin (c + a)
cos (a − b) cos (b − c) cos (c − a)









Khai triển theo hàng cuối và đặt A = a − b, B = b − c, C = c − a.
khi đó A + B + C = 0
V T = cos (a − b) [cos (b + c) sin (c + a) − sin (b + c) cos (c + a)]
− cos (b − c) [cos (a + b) sin (c + a) − sin (a + b) cos (c + a)]
+ cos (c − a) [cos (a + b) sin (b + c) − sin (a + b) cos (b + c)]
= cos (a − b) sin (a − b) + cos (b − c) sin (b − c) + cos (c − a) sin (c − a)
=
1
2
sin 2A +
1
2
sin 2B +

1
2
sin 2C
= sin (A + B) cos (A − B) + cos C sin C
= sin C [cos (A + B) − cos (A − B)]
= −2 sin A sin B sin C
= −2 sin (a − b) sin (b − c) sin (c − a) .
Ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét:
Trên đây là hai ví dụ điển hình cho phương pháp chứng minh đẳng thức bằng cách
tính định thức. Tuy nhiên khi sử dụng phương pháp này đòi hỏi chúng ta phải thuần
thục trong việc tính định thức, đặc biệt theo chiều ngược lại, tức là : Đưa một vế của
đẳng thức về theo một định thức nào đó mà định thức khi tính kết quả là vế còn lại.
2.1.3. Áp dụng đẳng thức |A.B| = |A| . |B|
Trước hết ta chứng minh đẳng thức |A.B| = |A| . |B| .
Thật vậy, giả sử A = (a
ij
)
n
, B = (b
ij
)
n
, với i, j = 1, , n là hai ma trận vuông cấp n .
21
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Ta lập ma trận :
C =





















a
11
a
12
. . . a
1n
0 0 . . . 0
a
21
a
22
. . . a

2n
0 0 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
a
n2
. . . a
nn
0 0 . . . 0
−1 0 . . . 0 b
11
b
12
. . . b
1n
0 −1 . . . 0 b
21
b
22
. . . b
2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 . . . −1 b
n1
b
n2
. . . b
nn





















.
Khai triển theo n dòng đầu (theo định lý Laplace), ta có :
|C| = |A| . |B| . (1)
Mặt khác , biến đổi ma trận C bởi phép biến đổi sơ cấp sau : Nhân cột thứ nhất với
b
ij
, , cột thứ n với b
nj
rồi cộng vào cột thứ n + j(j = 1, 2, , n) ta được ma trận D
dạng sau mà định thức của C và D bằng nhau:
D =





















a
11
a
12
. . . a
1n
d
11
d
12

. . . d
1n
a
21
a
22
. . . a
2n
d
21
d
22
. . . d
2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
a
n2
. . . a
nn
d
n1
d
n2
. . . d
nn
−1 0 . . . 0 0 0 . . . 0
0 −1 . . . 0 0 0 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 0 . . . −1 0 0 . . . 0




















.
ở đó d
ij
=
n

k=1
a
ik

b
kj
, nghĩa là d
ij
= A.B.
Khai triển theo n cột cuối ( theo định lý Laplace ) ta có :
|D| = |d
ik
| = |A.B|. (2)
Từ (1) và (2) và do |C| = |D| nên ta có :
|A.B| = |A|.|B|.
22
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Ví dụ 5. Chứng minh đẳng thức:
(x
1
y
1
+ x
2
y
3
+ x
3
y
2
)
3
+ (x
1

y
2
+ x
2
y
1
+ x
3
y
3
)
3
+ (x
1
y
3
+ x
2
y
2
+ x
3
y
1
)
3
− 3 (x
1
y
1

+ x
2
y
3
+ x
3
y
2
) (x
1
y
2
+ x
2
y
1
+ x
3
y
3
) (x
1
y
3
+ x
2
y
2
+ x
3

y
1
)
=

x
3
1
+ x
3
2
+ x
3
3
− 3x
1
x
2
x
3

y
3
1
+ y
3
2
+ y
3
3

− 3y
1
y
2
y
3

.
Giải:
Xét ma trận
A =





x y z
z x y
y z x





Ta có
|A| =










x y z
z x y
y z x









=









x + y + z y z
x + y + z x y
x + y + z z x










= (x + y + z)









1 y z
1 x y
1 z x










= (x + y + z)









1 y z
0 x − y y − z
0 z − y x − z









= (x + y + z) [(x − y) (x − z) − (z − y) (y − z)]
= (x + y + z)

x
2
− xy − zx + yz + z
2

− 2yz + y
2

= (x + y + z)

x
2
+ y
2
+ z
2
− xy − zx − yz

= x
3
+ y
3
+ z
3
− 3xyz.
23
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Bây giờ ta xét: B =





x
1

x
2
x
3
x
3
x
1
x
2
x
2
x
3
x
1





, C =





y
1
y

2
y
3
y
3
y
1
y
2
y
2
y
3
y
1





có dạng ma trận A.
Ta chứng minh B.C cũng có dạng ma trận A.
Thật vậy :
B.C =





x

1
x
2
x
3
x
3
x
1
x
2
x
2
x
3
x
1










y
1
y

2
y
3
y
3
y
1
y
2
y
2
y
3
y
1





hay
B.C =





x
1
y

1
+ x
2
y
3
+ x
3
y
2
x
1
y
2
+ x
2
y
1
+ x
3
y
3
x
1
y
3
+ x
2
y
2
+ x

3
y
1
x
3
y
1
+ x
1
y
3
+ x
2
y
2
x
3
y
2
+ x
1
y
1
+ x
2
y
3
x
3
y

3
+ x
1
y
2
+ x
2
y
1
x
2
y
1
+ x
3
y
3
+ x
1
y
2
x
2
y
2
+ x
3
y
1
+ x

1
y
3
x
2
y
3
+ x
3
y
2
+ x
1
y
1





.
Vậy B.C cũng có dạng ma trận A, mặt khác ta có :
|B.C| = (x
1
y
1
+ x
2
y
3

+ x
3
y
2
)
3
+ (x
1
y
2
+ x
2
y
1
+ x
3
y
3
)
3
+ (x
1
y
3
+ x
2
y
2
+ x
3

y
1
)
3
- 3(x
1
y
1
+ x
2
y
3
+ x
3
y
2
) (x
1
y
2
+ x
2
y
1
+ x
3
y
3
) (x
1

y
3
+ x
2
y
2
+ x
3
y
1
) .
|B| |C| = (x
3
1
+ x
3
2
+ x
3
3
− 3x
1
x
2
x
3
) (y
3
1
+ y

3
2
+ y
3
3
− 3y
1
y
2
y
3
) .
Và vì |B.C| = |B| |C| nên ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 6. Chứng minh đẳng thức lagrange.
(ax + by + cz + dt)
2
+ (ay − bx + ct − dz)
2
+ (az − bt − cx + dy)
2
+ (at + bz − cy − dx)
2
=

a
2
+ b
2
+ c
2

+ d
2

x
2
+ y
2
+ z
2
+ t
2

.
Giải:
Xét ma trận
X =








x
1
x
2
x
3

x
4
−x
2
x
1
−x
4
x
3
−x
3
x
4
x
1
−x
2
−x
4
−x
3
x
2
x
1









24
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên