Ôn thi tốt nghiệp và đại học môn đại số ( có hướng dẫn)

Biên soạn : Lê Anh
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỪA THIÊN HUẾ
TRƯỜNG THPT AN LƯƠNG ĐÔNG

TÀI LIỆU CỦNG CỐ VÀ ÔN LUYỆN
THI TỐT NGHIỆP VÀ ĐẠI HỌC
(Dùng để dạy và học tăng tiết)
Môn: Đại số và giải tích
Giáo viên giảng dạy: Lê Anh
Phú Lộc, tháng 9/2012
Biên soạn : Lê Anh
Môn: Đại số và giải tích
CÁC BÀI TOÁN THI TỐT NGHIỆP THPT
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Câu 1)Tìm cực trị các hàm số sau:
2 3 2 4
2
2
) 2 3 ) 3 4 ) 2
1
) 2 1 )
1
a y x x b y x x c y x x
x x
d y x x e y
x
= + − = − + = −
+ +
= + + =
−
Câu 2)Tìm cực trị của hàm số:

3
4
)( −+=
x
xxf
Câu 3)Xác định m để:
3 2
3 5 2y mx x x= + + +
đạt cực đại tại x=2
Câu 4)Xác định a,b để:
)0()
2
≠
+
++
=
a
abx
abbxax
ya
Đạt CT tại x=0 và CĐ tại x=4
bax
x
yb
+−=
2
4
2
)
Đạt cực trị bằng -2 tại x=1

Câu 5)Xác định tham số m để hàm số y=x
3
−3mx
2
+(m
2
−1)x+2 đạt cực đại tại x=2.
Câu 6)Định m để hàm số y = f(x) = x
3
-3x
2
+3mx+3m+4
a.Không có cực trị.
b.Có cực đại và cực tiểu.
c.Có đồ thị (C
m
) nhận A(0; 4) làm một điểm cực trị (đạt cực trị = 4 khi x = 0).
d.Có cực đại và cực tiểu và đường thẳng d qua cực đại và cực tiểu đi qua O.
Câu 7) Định m để hàm số y = f(x) =



−
+−
a. Có cực đại và cực tiểu.
b.Đạt cực trị tại x = 2.
c.Đạt cực tiểu khi x = -1
Câu 8)Chứng tỏ rằng với mọi m hàm số y =




−
+−−+
luôn có cực trị.
Câu 9)Cho hàm số y = f(x) =


x
3
-mx
2
+(m
2
-m+1)x+1. Có giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 không?

Câu 10)Cho hàm số y = f(x) =


x
3
-mx
2
+(m+2)x-1. Xác định m để hàm số:
a) Có cực trị.
b) Có hai cực trị trong khoảng (0;+∞).
c) Có cực trị trong khoảng (0;+∞).
Câu 11)Biện luận theo m số cực trị của hàm số y = f(x) = -x
4
+2mx
2

-2m+1.
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Câu 1.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 

+ 

−+ trên −.
Câu 2.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
= + − +
 
      
.
Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nếu có của hàm số
+
=
+

 

 
.
Biên soạn : Lê Anh
Câu 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
1
y x 2
x
= + +
với x > 0
Câu 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x)=x
2

-2x+3.
Câu 6. Tìm GTLN, GTNN y = x – 5 +


−
.
Câu 7. Tìm giá trị LN và giá trị NN của hàm số y=2sinx−




trên đoạn [0;π]
Câu 8. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: f(x) = 2 sinx + sin2x trên đoạn
3
0;
2
π
 
 
 
Câu 9. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
3 2
( ) 2 6 1
= − +
f x x x
trên [−1; 1].
Câu 10. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
4 2
( ) 2 1= − +f x x x
trên [0; 2].

Câu 11. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
( ) 4 5= − +f x x x
trên đoạn
[ 2;3]
−
.
Câu 12. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
4
( ) 1
2
= − + −
+
f x x
x
trên
[ ]
1;2−

CÁC TIỆM ĐƯỜNG CẬN
Câu 1 Tìm các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của hàm số :
2
2
2 2 1
. . .
1 1
1 2 3 1
. . .
1 2 4 1
x x x

a y b y c y
x x x
x x x
d y e y f y
x x x x
+ +
= = =
− +
− −
= = =
+ + − +
Câu 2 Xác định hàm số :
ax
(c 0)
b
y
cx d
+
= ≠
+
Biết đồ thị qua A(-1 ; 7) và giao điểm của hai tiệm cận I(-2 ; 3)
Câu 3 Xác định m để hàm số :
2 2
2 (2 3) 2x m x m m
y
x m
− + + +
=
−
Không có tiệm cận

Câu 4 Cho hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−
a. Tìm các điểm trên đồ thị có tọa độ nguyên
b. Tìm các điểm trên đồ thị sao cho khoảng cách từ điểm đó đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ điểm đó đến
tiệm cận ngang
c. Gọi M là điểm thuộc đồ thị. CMR tich khoảng cách từ điểm đó đến tiệm cận đứng và khoảng cách từ điểm đó đến
tiệm cận ngang là một hằng số
d. Tìm N thuộc đồ thị sao cho tổng khoảng cách từ điểm đó đến tiệm cận đứng và khoảng cách từ điểm đó đến tiệm
cận ngang đạt giá trị nhỏ nhất.
PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
Câu 1 Cho hàm số y= x
3
- 3x
2
(C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C)
a/ Tại các giao điểm với trục hoành. b/ Tại điểm có hoành độ bằng 4.
c/ Biết tiếp tuyến có hệ số góc k= -3. d/ Biết tiếp tuyến song song đường thẳng y= 9x + 2005.
e/ Biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng y=


x + 2. f/Biết tiếp tuyến qua A(1;-2).
Câu 2Cho hàm số y=



x x
x
− +
+
(C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C)
a/ Tại các giao điểm với trục hoành. b/ Tại điểm có hoành độ bằng 2.
c/ Tại điểm có tung độ bằng -


. d//Biết tiếp tuyến qua A(2;0).
Biên soạn : Lê Anh
Câu 3 .Cho hàm số
2x 1
y
x 1
+
=
−
có đồ thị (C)Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) đi tại điểm M(2;5) .
Câu 4 Cho hàm số
 
  
− +
có đồ thị (C)Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua điểm M (

;0) .
Câu 5. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị

  


 
− +
=
−
, biết rằng tiếp tuyến này song song với đường thẳng
(d) :
   − + =
.
Câu 6. Tìm các hệ số a,b sao cho parabol (P) :
= + +

   
tiếp xúc với hypebol (H) :
=



Tại điểm M(1;1)
SỰ TƯƠNG GIAO
Câu 1:Cho hàm số: y=x
3
– 6x
2
+ 9x (C). Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình : x
3
– 6x
2
+ 9x – m = 0
Câu 2: Cho y=x

4
– 2x
2
– 3 (C). Biện luận số nghiệm của phương trình x
4
– 2x
2
- 3 - m +1=0 bằng phương pháp đồ thị
Câu 3: Cho y= x
4
– 4 x
2
+ 5.(C) Dựa vào đồ thị (C) Biện luận số nghiệm của phương trình: x
4
– 4 x
2
+ 5=m.
Câu 4: Cho y= x
3
- 3x – 2 (C) Dùng đồ thị (C), tìm m để phương trình : x
3
- 3x =m có 3 nghiệm phân biệt.
Câu 5: Cho đường cong (C): y= x
3
-3x +1 và đường thẳng (d) qua A(0;1) có hệ số góc k. Biện luận số giao điểm của
(d) và (C).
Câu 6: Cho hàm số
3 2x
y
x 1

−
=
−
.Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thị của hàm số
đã cho tại hai điểm phân biệt.
Câu 7: Cho (C): y=



x x
x
+ −
+
và ( d) qua gốc tọa độ có hệ số góc k. Biện luận theo k số giao điểm của d và (C).
Câu 8: Cho đường cong (C): y=

x −
. Biện luận theo k số giao điểm của (C) và đường thẳng y=k.
KHẢO SÁT VẼ ĐỒ THỊ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Câu 1:1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số :
2 1
1
−
=
+
x
y
x
2/ Xác định m để hàm số
( 2) 1

3
+ +
=
+
m x
y
x m
đồng biến trên từng khoảng xác định của nó
Câu 2: Cho hàm số
3 2
2
+
=
+
x
y
x
có đồ thị (C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
2.Tìm trên đồ thị (C) những điểm có toạ độ là các số nguyên.
Câu 3. Cho hàm số y = x
3
– 3x
2
+ 2 có đồ thị (C).
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x
3
– 3x
2

– m = 0.
Câu 4. Cho hàm số y = - x
4
+ 2x
2
+3 có đồ thị (C).
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Dựa vào đồ thị (C), tìm các giá trị của m để phương trình x
4
– 2x
2
+ m = 0 có bốn nghiệm thực phân biệt.
Câu 5. Cho hàm số y = - x
3
+ 3x -1 có đồ thị (C).
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm cực tiểu của (C).
Câu 6 Cho hàm số
2 1
1
− +
=
−
x
y
x
.
a). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
b). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết nó song song với đường thẳng
4

= +
y x
Câu 7 Cho hàm số y = 2x
3
-3x
2
-1 có đồ thị (C).
Biên soạn : Lê Anh
1/Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2/Gọi d
k
là đường thẳng đi qua M(0;-1) và có hệ số góc k .Tìm k để đường thẳng d
k
cắt(C) tại 3 điểm phân biệt .
Câu 8 Cho hàm số y =
2 1
1
+
−
x
x
có đồ thị (C).
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
Câu 9 Cho hàm số
3 2
3 4= + −y x x
có đồ thị (C)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
2.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại tâm đối xứng.

Câu 10 Cho hàm số
3
3 4= + −y x x
có đồ thị (C)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
2.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tai diểm có hoành độ x
o
là nghiệm của phương trình
//
( ) 6=
o
y x
Câu 11 Cho hàm số y = x
3
+(m -1) x
2
–(m +2)x -1 (1)
a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1
b) Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với đường thẳng y =
3
x
và tiếp xúc với đồ thị (C) của hàm số
Câu 12
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
3
1
+
=
+
x

y
x
2. CMR với mọi giá trị của m, đường thẳng (d) y = 2x + m luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt.
3. Gọi A là giao điểm của (C) với trục Ox. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại A.
Câu 13. Cho hàm số y =
2
1+
x
x
có đồ thị (C).
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Viết phương trình tiếp tuyến của(C) tại điểm có hòanh độ x = -2.
Câu14. Cho hàm số y =
1−
x
x
có đồ thị là (C).
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Tìm m để đường thẳng d: y = -x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.
Câu 15 Cho hàm số y = x(x – 3)
2
có đồ thị (C).
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Câu 16. Cho hàm số y =
4 2
1 5
3
2 2
− +x x

có đồ thị là (C).
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(1; 0).
Câu 17. Cho hàm số y = (x – 1)
2
(x +1)
2
có đồ thị (C).
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Tìm m để đường thẳng d: y = m cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt.
Câu 18 Cho hàm số
( )
1
1
1
+
=
−
x
y
x
có đồ thị là (C)
1) Khảo sát hàm số (1)
2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm P(3;1).
Câu 19. Cho hàm số y = -x
3
+ 3x
2
– 2 có đồ thị (C).
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k = -9.
Câu 20
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2
3
+
=
−
x
y
x
2.Tìm trên đồ thị điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đường tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến tiệm
cận ngang.
Câu 21 Cho hàm số y =
4 2
x + 2(m+1)x + 1
(1)
Biên soạn : Lê Anh
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.
2. Tìm m để hàm số có 3 cực trị.
LŨY THỪA – LÔGARIT
Câu 1 Rút gọn:
a.
5
6
( 3)
−
b.
32 + 4
-

32 - 4
c.
2
1
4
3
1
aa
a
+
−
4
1
4
1
a
a
aa
+
+
+ 1 d/
aaaa
: a
16
11
(a>0)
Câu 2 So sánh các số : a/ 3
6
và 5
4

? b/ 3
600
và 5
400
?
Câu 3 Rút gọn biểu thức A =
1 1 1 1 1
3 3 3 3 3
(4 10 25 )(2 5 )
− + +
Câu 4 Tính giá trị của biểu thức sau: A =
)4(:)3(
3log2
4log1
2
9
−
+
Câu 5 Cho a > 0 ;b > 0 ; c > 0 và a ,b ,c lập thành cấp số nhân.Chứng minh lna ; lnb ; lnc lập thành cấp
số cộng
Câu 6 Chứng minh rằng:
x
xb
bx
a
aa
ax
log1
loglog
)(log

+
+
=
Câu 7 Rút gọn: log
4
1250
Câu 8 Cho
lg392 , lg112
= =
a b
. Tính lg7 và lg5 theo a và b .
PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LÔGARIT
Câu 1:Giải các pt :
a. 25
x
– 7.5
x
+ 6 = 0. b.
6.9 13.6 6.4 0
− + =
x x x
c.
2 2
2 9.2 2 0
+
− + =
x x

d.
2 1

3 9.3 6 0
+
− + =
x x
. e.
16 17.4 16 0
− + =
x x
. f.
1 2
4 2 3 0.
+ +
+ − =
x x

g.
1
4 2.2 3 0
+
− + =
x x
h.
4 5.2 4 0
+ =
−
x x
Câu 2:Giải các pt :
a.
3 3 1
2

log ( 1) log (2 1) log 16 0
+ + + + =
x x
b.
( )
9 3
log log 4 5
+ =
x x

c.
3 3 3
log ( 2) log ( 2) log 5
+ + − =
x x
d.
2
3
2 2
4 0
log log
+ − =
x x

e.
1
5 25
log (5 1).log (5 5) 1
+
− − =

x x
f.
2
2 4
log 6log 4
+ =
x x
g.
2 2
2 2 2
log ( 1) 3log ( 1) log 32 0
+ − + + =
x x
h.
2
3
3
log log 9 9
+ =
x x
i.
2 2
log ( 3) log ( 1) 3
− + − =
x x
k.
( )
2loglog
37
+=

xx

l. log
x – 1
4 = 1 + log
2
(x – 1) m.5
( )
2
22
loglog xx
=−

Câu 3: Giải các phương trình :
a.
2
lg 1 lg lg 2
4 6 2.3 0
x x x
+ +
− − =
b.
03.264
2lnln1ln
2
=−−
++
xxx

c.

62.42
22
cossin
=+
xx
d.
12356356 =−++
xx
e.
1
5
cos
5
sin
=






+






xx
ππ

f.
( )
[ ]
{ }
2
1
log31log1log2log
2234
=++
x

h.
3 4
2 2
3 9
−
−
=
x
x
. i. x
4
.5
3
=
5log
5
x

HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LÔGARIT

Biên soạn : Lê Anh
Câu 1:Giải các hpt :
a.





−=−
=+
75,032
75,23.22.3
yx
yx
b.
1
2 3 0
5 5 10
x y
x y
−
− + =


+ =

c.
11
3.3 2.4
4

3 4 3
x y
x y

+ =



+ =

d.
x 3 y
x 4 y
3 2 4
3 .2 1
−
−

+ =


=



Câu 2: Giải các hpt :
a.
( )




+=+
+=+
xy
yx
522
5755
log315loglog3
2log1log.7loglog
b.
( )
1
1
log 2
log 4 2 3
x
y
y
y x
−
+
=



+ =


c.
2 2

2 3
4 2
log (2 ) log (2 ) 1

− =


+ − − =


x y
x y x y
d.
log (6 4 ) 2
log (6 4 ) 2
+ =



+ =


x
y
x y
y x
e.
( )
2
2 6 22 3 2

2
3
2 .3 144
log x y 2
y x x x
− + − +

=


− =



Câu 3: Giải hệ phương trình sau :
a.
−

=


−
+ =



   


   


b.



=+
=
1
5.2002
yx
yx
c.



=−
=−
1ylogxlog
1ylogxlog
2
2y
44
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LÔGARIT
Câu 1: Giải các bất phương trình
a.
1 1
3 3 10
+ −
+ <
x x

b.
1
1
1
( 2 1) ( 2 1)
−
−
+
+ ≥ −
x
x
x
c.
2
log
sin 2
4
3 1
−
+
>
x
x
d.
2222
≥+
x
x
Câu 2:Giải các bất phương trình:
a.

2
0,2 0,2
log log 6 0
− − ≤
x x
b.
3
3 5
log 1
1
−
≤
+
x
x
c.
2
0,2 0,2
log log 6 0
− − ≤
x x

d. log(x
2
–x - 2 ) < 2log (3 - x ) e.
log ( 3) log ( 2) 1
2 2
− + − ≤
x x
f.

3
3 5
log 1
1
−
≤
+
x
x

Câu 3: . Giải bất phương trình:
a.
x 2
log
sin 2
x 4
3 1
−
+
>
b.2.14
x
+ 3.49
x
- 4
x

≥
0 c.
3033

x2x2
<+
−+
TÍCH PHÂN
Câu 1:Tính các tích phân sau :
a. I =
2
1
0
( sin )
+
∫
x
x e x dx
b.
4
0
t anx

cos
π
=
∫
I dx
x
c.
2
2
0
sin 2

4 cos
π
=
−
∫
x
I dx
x
d.
( )
2
0
sin cos
π
= +
∫
I x x xdx
Câu 2:Tính các tích phân sau :
a.
2
3
0
(1 2sin ) cos
π
+
=
∫
x xdx
I
. b.

1
2
3
0
2
=
+
∫
x
I dx
x
c.
2
0
1= −
∫
I x dx
d. I=
3
2
0
1
+
∫
xdx
x
e.J=
2
2
2

0
( 2)
+
∫
xdx
x
Câu 3:Tính các tích phân:
a.
( )
2
3
0
sin cos sin
∏
= −
∫
I x x x x dx
b.
0
2
1
16 2
4 4
−
−
=
− +
∫
x
I dx

x x
c.
( )
4
4 4
0
cos sin
π
= −
∫
I x x dx

Biên soạn : Lê Anh
d. I =
1
2
0
1
−
∫
x dx
e.J=
2
0
( 1)sin .
π
+
∫
x x dx
f.

3
2
0
sin
cos
π
+
=
∫
x x
I dx
x
.
Câu 4: Tính các tích phân sau:
a.
( )
4
1
1
1
=
+
∫
I dx
x x
. b.
ln5
ln 2
( 1)
1

+
=
−
∫
x x
x
e e dx
J
e
. c.
1
0
(2 1)
= +
∫
x
K x e dx

d.
3
1
2 ln
=
∫
K x xdx
. e.
6
0
sin cos 2
π

=
∫
I x xdx
f.
1
5
0
(1 )
= −
∫
I x x dx

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN
I-DIỆN TÍCH:
Câu 1. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường ( C ) : y =


, (d) : y =
−
 
và trục hoành . Tính diện tích của
hình phẳng (H) .
Câu 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
=
x
y e
, trục hoành và các đường thẳng x= 1.
Câu 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
1
ln , ,

= = =
y x x x e
e
và trục hoành
Câu 4. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường ( C ) : y =
2
x
, (d) : y =
6
−
x
và trục hoành . Tính diện tích của
hình phẳng (H) .
Câu 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = e
x
,y = 2 và đường thẳng x = 1.
Câu 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y = x
2
và hai tiếp tuyến xuất phát từ A (0, -2).
Câu 7. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường (C):
=
+


 
,hai đường thẳng x = 0 , x = 1 và trục hoành . Xác
định giá trị của a để diện tích hình phẳng (H) bằng lna .
II- THỂ TÍCH :
Câu 1. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y =
− +


 
và trục hoành . Tính thể tích của khối tròn xoay tạo
thành khi quay hình (H) quanh trục hoành .
Câu 2. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường (C) : y =


và (G) : y =

. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo
thành khi quay hình (H) quanh trục
Câu 3 Tìm thể tích của vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y= 2x
2

và y = x
3
xung
quanh trục Ox
Câu 4 Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường (C) : y =
2
x
và (G) : y =
x
. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo
thành khi quay hình (H) quanh trục hoành .
Câu 5 Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y =
2
2
− +
x x

và trục hoành . Tính thể tích của khối tròn xoay tạo
thành khi quay hình (H) quanh trục hoành .
Câu 6 Cho hàm số y=
3 2
1
3
−
x x
có đồ thị là ( C ) .Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi ( C ) và
các đường thẳng y=0,x=0,x=3 quay quanh 0x.
Câu 7 Tính thể tích vật tròn xoay do hình giới hạn bởi các đường sau đây quay quanh truc Ox : y = - x
2
+ 2x và y = 0
Câu 8 Tính thể tích vật tròn xoay do hình giới hạn bởi các đường sau đây quay quanh truc Ox : y = cosx , y = 0, x = 0, x =
2
π

Câu 9 Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox:
2
2 2
1
− +
=
−
x x
y
x
, tiệm cận xiên,
2, 3
= =

x x
.
Biên soạn : Lê Anh
SỐ PHỨC
Câu 1 Thực hiện các phép tính sau:
a. (2 - 3i)(3 + i) b. (3 + 4i)
2
c.
3
1
3i
2
−
 
 ÷
 
Câu 2 Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau:(2+i)
3
- (3-i)
3
.
Câu 3 Cho số phức
1 3
= +
z i
.Tính
2 2
( )
+
z z

Câu 4 Cho số phức:
( ) ( )
2
1 2 2
= − +
z i i
. Tính giá trị biểu thức
.
=
A z z
.
Câu 5 Thực hiện các phép tính sau:
a.
(3 )(3 )
− +
i i i
b.
2 3 (5 )(6 )
+ + + −
i i i
Câu 6 Tìm môđun của số phức : z = 4 – 3i + (1 – i)
3
Câu 7 Xác định tập hợp các điểm biểu diển số phức Z trên mặt phẳng tọa độ thỏa mãn điều kiện :
3 4
+ + =
Z Z
Câu 8 Thực hiện phép tính:
a. (2 - i) +
1
2i

3
−
 
 ÷
 
b.
( )
2 5
2 3i i
3 4
− − −
 
 ÷
 
c.
1 3 1
3 i 2i i
3 2 2
− + − + −
   
 ÷  ÷
   
d.
3 1 5 3 4
i i 3 i
4 5 4 5 5
+ − − + + − −
     
 ÷  ÷  ÷
     

Câu 9 Thực hiện phép tính:
a. (2 - 3i)(3 + i) b. (3 + 4i)
2
c.
3
1
3i
2
−
 
 ÷
 
Câu 10 Thực hiện phép tính:
a.
1 i
2 i
+
−
b.
2 3i
4 5i
−
+
c.
3
5 i−
d.
( ) ( )
2 3i
4 i 2 2i

+
+ −
Câu 11 Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a. x
2
+ 7 = 0 b. x
2
- 3x + 3 = 0 c. x
2
- 4 = 0
d. x
2
- 2x + 18 = 0 e. x
4
+ x
2
-2 = 0 g. x
3
+27 = 0
Câu 12 Giải phương trình:
a.
( )
( )
2
z 3i z 2z 5 0
+ − + =
b.
( ) ( )
2 2
z 9 z z 1 0

+ − + =
c.
3 2
2z 3z 5z 0
− + =
Câu 13 Giải phương trình
3
8 0x
− =
trên tập số phức
Câu 14 Tìm hai số phức biết tổng của chúng bằng 2 và tích của chúng bằng 3
Câu 15 Giải phương trình sau trên tập hợp số phức:
2
2 17 0+ + =z z
Câu 16 Giải phương trình:
2 1 3
1 2
+ − +
=
− +
i i
z
i i
Biên soạn : Lê Anh
Môn: Hình học
KHỐI ĐA DIỆN
Câu 1. Cho hình chóp S,ABC . Gọi M là một điểm thuộc cạnh SA sao cho MS = 2 MA . Tính tỉ số thể tích của hai khối
chóp M.SBC và M.ABC .
Câu 2. Cho tứ diện SABC có ba cạnh SA,SB,SC vuông góc với nhau từng đôi một với SA = 1cm, SB = SC = 2cm .Xác
định tâm và tính bán kính của mặt cấu ngoại tiếp tứ diện , tính diện tích của mặt cầu và thể tích của khối cầu đó.

Câu 3. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cà các cạnh đều bằng a .Tính thể tích của hình lăng trụ và
diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ theo a
Câu 4. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a . Hình chiếu vuông góc của A’ xuống
mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB . Mặt bên (AA’C’C) tạo với đáy một góc bằng

o
. Tính thể tích của khối
lăng trụ này .
Câu 5.Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, biết cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và
SA=a
2

a/ Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
b/ Gọi I là trung điểm của BC . Chứng minh mp(SAI) vuông góc với mp(SBC). Tính thể tích của khối chóp SAIC theo
a .
c/ Gọi M là trung điểm của SB Tính AM theo a
Câu 6.Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, biết SA vuông góc với mặt đáy và SA=AC , AB=a và
góc
·
0
45ABC =
. Tính thể tích khối chóp S.ABC
Câu 7.Cho hình chóp tam giác đều có cạnh bằng
6
và đường cao h = 1 . Hãy tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp .
Câu 8.Tính tỉ số thể tích của hình lập phương và thể tích của hình trụ ngoại tiếp hình lập phương đó.
Câu 9.Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a . Hình chiếu vuông góc của A’ xuống
mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB .Mặt bên (AA’C’C) tạo với đáy một góc bằng
45

o
. Tính thể tích của khối lăng
trụ này .
Câu 10. Cho hình chóp S,ABC . Gọi M là một điểm thuộc cạnh SA sao cho MS = 2 MA . Tính tỉ số thể tích của hai khối
chóp M.SBC và M.ABC .
Câu 11.Cho hình chóp tam giác đều SABC có đường cao SO = 1 và đáy ABC có canh bằng 2
6
.Điểm M,N là trung
điểm của cạnh AC, AB tương ứng.Tính thể tích khối chóp SAMN
Câu 12.Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy
a/ Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a .
b/ Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
c/ Mặt phẳng (SAC) chia khối chóp S.ABCD thành 2 khối chóp .Hãy kể tên 2 kchóp đó
Câu 13.Cho hình chóp tứ giác đều SABCD đỉnh S, độ dài cạnh đáy AB=a và góc SAB=60
o
. Tính thể tích hình chóp
SABCD theo a
Câu 14.Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy ABCD là hìnhvuông cạnh a, SA = SB = SC =SD = a. Tính đường cao và
thể tích khối chóp theo a.
KHỐI TRÒN XOAY
1/ KHỐI NÓN
Câu 1. Một hình trụ có bán kính đáy R = 2 ,chiều cao h =

. Một hình vuông có các đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy
sao cho có ít nhất một cạnh không song song và không vuông góc với trục của hình trụ . Tính cạnh của hình vuông đó .
Câu 2. Một hình nón có đỉnh S , khoảng cách từ tâm O của đáy đến dây cung AB của đáy bằng a ,
·
 =
o
,

·
! =
o
. Tính độ dài đường sinh theo a .
Câu 3. Tính tỉ số thể tích của hình trụ ngoại tiếp hình lập phương
Câu 4.: Thiết diện qua trục của một khối nón là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a.
a. tính thể tích khối nón và diện tích xung quanh của hình nón
b. tính thể tích của khối nón
Câu 5.: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a.
a/Tính diện tích xung quanh và của hình nón
Biên soạn : Lê Anh
b/Tính thể tích của khối nón
Câu 6.: Một hình nón có đường sinh là l=1 và góc giữa đường sinh và đáy là 45
0
a. Tình diện tích xung quanh của hình nón
b. tính thể tích của khối nón.
Câu 7.: Trong không gian cho tam giác OIM vuông tại I, góc IOM bằng 30
0
và cạnh IM = a. khi quay tam giác OIM
quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình nón tròn xoay.
a/ Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay.
b/ Tính thể tích của khối nón tròn xoay
Câu 8.Cho hình nón đỉnh S đường cao SO, A và B là hai điểm . Thuộc đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ điểm O
đến AB bằng a và SAO = 30
0
, SAB = 60
0
.
a.Tính độ dài đường sinh và diện tích xung quanh theo a
b. Tính thể tích của khối nón

Câu 9.Một khối tứ diện đều cạnh a nội tiếp một khối nón. Tính thể tích của khối nón đó.
Câu 10.Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao SO = h và góc SAB =
α
(
α
> 45
0
). Tính diện tích xung quanh
của hình nón đỉnh S và có đtròn đáy ngoại tiếp hình vuông ABCD.
2/- KHỐI TRỤ:
Câu 1.Một khối trụ có bán kính r = 5cm, khoảng cách hai đáy bằng 7cm. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với
trục cách trục 3cm.
a.Tính diện tích của thiết diện và diện tích xung quanh
b. Tính thể tích khối trụ
Câu 2: Thiết diện chứa trục của khối trụ là hình vuông cạnh a
a. Tính diện tích xung quanh của hình trụ
b. Tính thể tích khối trụ
Câu 3.Trong không gian cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi I và H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Khi
quay hình vuông đó xung quanh trục IH ta được một htrụ trònxoay
a/Tính d tích xung quanh của hình trụ.
b/Tính thể tích của khối trụ
Câu 4.Một khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng 3 và chiều cao bằng 4 nội tiếp một khối trụ. Tính thể tích khối trụ
đó
Câu 5.: Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c nội tiếp trong một khối trụ.
a. Tính thể tích của khối trụ.
b. Tính diện tích xung quanh của hình trụ
Câu 6.Một khối trụ có chiều cao bằng 20cm và có bán kính đáy
bằng 10cm. Người ta kẻ hai bán kính OA và O’B’ lần lượt trên hai đáy sao cho chúng hợp với nhau một góc 30
0
. Cắt

khối trụ bởi một mặt phẳng chứa đường thẳng AB’ và song song với trục OO’ của khối trụ đó. Hãy tính diện tích của
thiết diện.
Câu 7.: Một hình trụ có bán kính đáy R và đường cao bằng
3R
; A và B là hai điểm trên hai đường tròn đáy sao cho góc
hợp bởi AB và trục của hình trụ là 30
0
.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của h trụ.
b) Tính thể tích của khối trụ tương ứng.
Câu 8.: Một hình trụ có bán kính đáy R và có thiết diện qua trục là một hình vuông.
a/Tính diện tích xung quanh của h trụ.
b/Tính thể tích của khối trụ tương đương.
3/ KHỐI CẦU
Câu 1.: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và
)(ABCSA ⊥
.
a) Gọi O là trung điểm của SC. Chứng minh: OA = OB = OC = SO. Suy ra bốn điểm A, B, C, S cùng nằm trên mặt cầu
tâm O bán kính
2
SC
R =
.
b) Cho SA = BC = a và
2aAB =
. Tính bán kính mặt cầu
Câu 2.: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
a,
)(ABCDSA ⊥
và

3aSA =
. Gọi O là tâm hình vuông ABCD và Klà hình chiếu của Btrên SC
a) Chúng minh ba điểm O, A, K cùng nhìn đoạn SB dưới một góc vuông. Suy ra năm điểm S, D, A, K B cùng nằm trên
mặt cầu đường kính SB.
Biên soạn : Lê Anh
b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu nói trên.
Câu 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy và cạnh
bên đều bằng a. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua năm điểm S, A, B, C, D.
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
HỆ TỌA ĐỘ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
Câu 1 Cho điểm M(-1,2,3).Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của M lên:
a.Trục ox
b.Mặt phẵng oyz
Câu 2 Cho A(1,2,1), B(-2,1,2)
a. Tìm A’ đối xứng A qua oy
b. Tìm B’ đối xứng B qua oxy
c. M chia AB theo tỷ số k=-3
d. Tính độ dài AB
Câu 3 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết: A(1,0,1), B(2,1,2), D(1,-1,1), C’(4,5,-5). Tìm toạ độ các đỉnh còn lại.
Câu 4 Trong hệ toạ độ oxyz cho 3 điểm: : A(1,2,-3), B(3,2,0),
C(-4,2,5).
a. CM A, B, C là 3 đỉnh một tam giác
b. Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành.
c. Tìm a,b để M(a+2,2b-1, 1) thuộc AC.
Câu 5 Cho tam giác ABC: A(1,0,3), B(2,2,4), C(0,3,-2)
a.CMR: tam giác ABC vuông tại A. Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.
b.Tính góc C của tam giác
Câu 6 Cho 3 điểm: A(2,0,1), B(0,0,1), C(1,1,2). Tính diện tích tam giác . từ đó suy ra độ dài đường cao AH.
Câu 7 Cho hình lập phương ABCD,A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm A’D’, B’B.
a. CM :

'MN AC
⊥
b. CM :
' ( ' )AC A BD⊥
Tính góc giữa MN và CC’
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ . Biết A’(0;0;0) ,
B’(a;0;0),D’(0;a;0) , A(0;0;a) với a>0 . Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và B’C’ .
a. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và song song với hai đường thẳng AN và BD’
b. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng AN và BD’
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có các đỉnh A,B,C lần lượt nằm trên các trục Ox,Oy,Oz
và có trọng tâm G(1;2;

−
) Hãy tính diện tích tam giác ABC .
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M(1;0;5) và hai mặt phẳng (P) :
− + + =
  "  
và
(Q) :
+ − + =  "  
.
a. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Q) .
b. Viết phương trình mặt phẳng ( R ) đi qua giao tuyến (d) của (P) và (Q) đồng thời vuông góc với mặt phẳng
(T) :
− + =   
Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;3;0) , mặt phẳng (P ) :
  "  
+ + + =
và mặt cầu

(S) :
  
  "   " # 
+ + − + − + =
.
a. Tìm điểm N là hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (P) .
b. Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S) .
Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;3;0) , mặt phẳng
(P ) :
2 1 0
+ + + =
x y z
và mặt cầu (S) :
2 2 2
2 4 6 8 0
+ + − + − + =
x y z x y z
. Viết phương trình mặt phẳng
(Q) song song với (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S) .
Biên soạn : Lê Anh
Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz .Viết phương trình mặt phẳng (P) qua O , vuông góc với mặt phẳng (Q) :
0
+ + =
x y z
và cách điểm M(1;2;
1
−
) một khoảng bằng
2
.

Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phươngABCD.A’B’C’D’.BiếtA’(0;0;0),B’(a;0;0),D’(0;a;0),
A(0;0;a) với a>0 . Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và B’C’ .Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và
song song với hai đường thẳng AN và BD’ .
Câu 8. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;4).Viết phương trình mặt phẳng
α
qua ba điểm
A, B, C
Câu 9. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A( 2; -1 ;1), B( 0;2 ;- 3) C( -1 ; 2 ;0).Chứng minh A,B,C không thẳng
hàng .Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
Câu 10. Trong không gian Oxyz cho 2 điểm A(5;-6;1) và B(1;0;-5).Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và chứa (
∆
)
Câu 11. Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(3;-2;-2), B(3;-2;0), C(0;2;1), D(-1;1;2). Viết phương trình mặt phẳng
(BCD). Từ đó suy ra ABCD là một tứ diện
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d ) :
    " 
  
+ + −
= =
và mặt phẳng (P) :
  "  + − + =
.
a. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) .
b. Tính góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) .
c. Viết phương trình đường thẳng (
∆
) là hình chiếu của đường thẳng (d) lên mặt phẳng (P).
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 4 điểm A(
−

2;1;
−
1) ,B(0;2;
−
1) ,C(0;3;0), D(1;0;1) .
a. Viết phương trình đường thẳng BC .
b. Chứng minh rằng 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng .
c. Tính thể tích tứ diện ABCD
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(1;
−
1;1) , hai đường thẳng

   "
 

  
−
∆ = =
−
,
  $
    $

" 

= −

∆ = +



=

và mặt phẳng (P) :
 " + =
a. Tìm điểm N là hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng (

∆
) .
b. Viết phương trình đường thẳng cắt cả hai đường thẳng
  % 
 
∆ ∆
và nằm trong mặt phẳng (P) .
Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với các đỉnh là A(0;
−
;1) ,
B(
−
;1;2) , C(1;
−
;4) .
a. Viết phương trình chính tắc của đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A của tam giác .
b. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm C và vuông góc với mặt phẳng (OAB) với O là gốc
tọa độ .
Câu 5.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng
(d ) :
  $
 $
" 


= +

=


= −

và mặt phẳng (P) :
  "  + − − =
.
a. Viết phương trình mặt cầu có tâm nằm trên (d) , bán kính bằng 3 và tiếp xúc với (P) .
b. Viết phương trình đường thẳng (
∆
) qua M(0;1;0) , nằm trong (P) và vuông góc với đường thẳng (d) .
Câu 6.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d) :
   " 
  
+ +
= =
−
và mặt phẳng (P) :
  "  + − − =

a. Chứng minh rằng (d) cắt (P) tại A . Tìm tọa độ điểm A .
Biên soạn : Lê Anh
b. Viết phương trình đường thẳng
(
∆
) đi qua A , nằm trong (P) và vuông góc với (d) .
Câu 7.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d ) :

  $
  $
"  $

= +

= +


=− +

và mặt phẳng
(P) :
  "  − + + + =

a. Chứng minh rằng (d) nằm trên mặt phẳng (P) .
b. Viết phương trình đường thẳng (
∆
) nằm trong (P), song song với (d) và cách (d) một khoảng là

.
Câu 8 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với các đỉnh là A(0;
2
−
;1) , B(
3
−
;1;2) , C(1;
1
−

;4) .
a. Viết phương trình chính tắc của đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A của tam giác .
b. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm C và vuông góc với mặt phẳng (OAB) với O là gốc
tọa độ .
Câu 9 Cho D(-3;1;2) và mặt phẳng (
α
) qua ba điểm A(1;0;11), B(0;1;10), C(1;1;8).
1.Viết phương trình tham số của đường thẳng AC
2.Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (
α
)
Câu 10 Trong không gian Oxyz cho ba điểm A( 2; -1 ;1), B( 0;2 ;- 3) C( -1 ; 2 ;0). Viết phương trình tham số của đường
thẳng BC.
Câu 11 Trong không gian Oxyz cho 2 điểm A(5;-6;1) và B(1;0;-5) Viết phương trình chính tắc của đường thẳng (
∆
) qua
B có véctơ chỉ phương
r
u
(3;1;2).
Câu 12 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho các điểm A(1,0,0); B(0,2,0); C(0,0,3)
1. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng qua ba điểm:A, B, C
2. Lập phương trình đường thẳng (d) qua C và vuông góc mặt phẳng (ABC)
Câu 13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;−1; 3) và mặt phẳng (P) : x −2y −2z −10 = 0.
1. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P).
2. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P).
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng
− −
∆ = =

− −
    "
 

  
,
= −


∆ = − +


=

  $
    $

" 
a. Chứng minh rằng đường thẳng
∆ 

và đường thẳng
∆ 

chéo nhau .
b. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng
∆ 

và song song với đường thẳng
∆ 


.
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng
x 2 2t
(d ) : y 3
1
z t
= −


=


=

và
x 2 y 1 z
(d ) :
2
1 1 2
− −
= =
−
.
a. Chứng minh rằng hai đường thẳng
(d ),(d )
1 2
vuông góc nhau nhưng không cắt nhau .
b. Viết phương trình đường vuông góc chung của
(d ),(d )

1 2
.
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (
α
) :
  "  − + − =
và hai
đường thẳng (
&

) :
    "
  
− −
= =
−
, (
&

) :
    " '
  
+ + −
= =
−
.
a. Chứng tỏ đường thẳng (
&

) song song mặt phẳng (

α
) và (
&

) cắt mặt phẳng (
α
) .
b. Tính khoảng cách giữa đường thẳng (
&

) và (
&

).
Biên soạn : Lê Anh
c. Viết phương trình đường thẳng (
∆
) song song với mặt phẳng (
α
) , cắt đường thẳng (
&

) và (
&

) lần lượt
tại M và N sao cho MN = 3
Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,chohai đường thẳng
1
2 2

( ) : 3

= −


=


=

x t
d y
z t
và
2
2 1
( ) :
1 1 2
− −
= =
−
x y z
d
.
Chứng minh rằng hai đường thẳng
1 2
( ),( )d d
vuông góc nhau nhưng không cắt nhau .
Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (
α

) :
2 2 3 0
− + − =
x y z
và hai đường thẳng
(
1
d
) :
4 1
2 2 1
− −
= =
−
x y z
,(
2
d
):
3 5 7
2 3 2
+ + −
= =
−
x y z
Chứng tỏ đường thẳng (
1
d
) song song mặt phẳng (
α

) và (
2
d
) cắt mặt phẳng (
α
) .
Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
1
1 2
( ) :
2 2 1
− −
∆ = =
− −
x y z
,
2
2
( ) : 5 3
4
= −


∆ =− +


=

x t
y t

z

Chứng minh rằng đường thẳng
1
( )∆
và đường thẳng
2
( )∆
chéo nhau .
Câu 7. Trong không gian (Oxyz) cho đường thẳng (d):
1
3
2
= +


= −


= +

x t
y t
z t
và mặt phẳng (P): 2x+y+2z =0. Chứng tỏ (d) cắt
(P).Tìm giao điểm đó
Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu ( S) : x
2
+ y
2

+ z
2
– 2x + 2y + 4z – 3 = 0 và hai đường thẳng

( ) ( )
1 2
2 2 0
1
: ; :
2 0
1 1 1
+ − =

−
∆ ∆ = =

− =
− −

x y
x y z
x z
1.Chứng minh
( )
1
∆
và
( )
2
∆

chéo nhau
2.Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu ( S) biết tiếp diện đó song song với hai đường thẳng
( )
1
∆
và
( )
2
∆

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Câu 1 Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B có AB = a, BC = a

, SA vuông góc với mặt
phẳng (ABC), SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB và SC.
Tính thể tích của khối chóp A.BCNM.
Hướng dẫn tóm tắt:
Đặt V
1
=V
S.AMN
; V
2
=V
A BCNM
; V=V
S.ABC
;
V
SM SN SM

(1)
V SB SC SB


 

= =
4a SM
AM a SM=
SB
 


 
= ⇒ =
⇒
V V
V V (2)
V V
 

  
  
= ⇒ = ⇒ =
ABC
a
V S SA

  


 
∆
= =
⇒
a
V


 

=
Câu 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật; SA ⊥ (ABCD); AB = SA = 1;
AD =
. Gọi M,
N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC. Tính thể tích khối tứ diện ANIB.
Hướng dẫn tóm tắt:
ANIB
V


=
Câu 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình vuông tâm O. Các mặt bên (SAB) và (SAD) vuông
góc với đáy (ABCD). Cho AB = a, SA = a

. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD .Tính
thể tích khối chóp O.AHK.
Hướng dẫn tóm tắt:
Biên soạn : Lê Anh
a
V AH AK AO


 
% 
 '
 
= =
 
uuur uuur uuur
Câu 4 Cho lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
có AB = a, AC = 2a, AA
1

a =
và
·
o
BAC =
. Gọi M là trung điểm
của cạnh CC
1
. Chứng minh MB ⊥ MA
1
và tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A
1
BM).

Hướng dẫn tóm tắt:


 !(  !( 
 
   
)   !%(   (!%(  
  
∆
   
= = = =
 
 
uuuuur uuur uuuur uuur uuuuur
⇒
= =
)  
& 
 
Câu 5 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng a, mặt bên hợp với đáy góc
α
. Tìm
α
để thể tích
của khối chóp đạt giá trị lớn nhất.
Hướng dẫn tóm tắt:
V=
3
2 3
4 tan

.
3
(2 tan )
α
α
+
a
. Ta có
2
2 3
tan
(2 tan )
α
α
=
+
2
2
tan
2 tan
α
α
+
.
2
1
2 tan
α
+
.

2
1
2 tan
α
+
1
27
≤

⇒
V
max
3
4 3
27
=
a
khi đó tan
2
α
=1
⇒
α
= 45
o
.
Câu 6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB =2a, BC= a, các cạnh bên của hình chóp bằng nhau
và bằng
2a
. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD; K là điểm trên cạnh AD sao cho

3
a
AK =
. Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và SK theo a.
Hướng dẫn tóm tắt:
I là trung điểm AD,
( ) ( ;( ))HL SI HL SAD HL d H SAD⊥ ⇒ ⊥ ⇒ =
MN // AD ⇒ MN // (SAD), SK ⊂ (SAD)
⇒ d(MN, SK) = d(MN, (SAD)) = d(H, (SAD)) = HL =
21
7
a
.
Câu 7 Cho hình chóp S.ABC có góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ACB) bằng 60
0
, ABC và SBC là các tam
giác đều cạnh a. Tính khoảng cách từ B đến mp(SAC).
Hướng dẫn tóm tắt:
V
S.ABC
=
SAC
a
S SO

 

 
=
=

SAC
S d B SAC

   

.
SAC
a
S

 

=
⇒ d(B; SAC) =
a

Câu 8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi với
µ
0
120=A
, BD = a >0. Cạnh bên SA vuông góc với
đáy. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và đáy bằng 60
0
. Một mặt phẳng (α) đi qua BD và vuông góc với cạnh
SC. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần của hình chóp do mặt phẳng (α) tạo ra khi cắt hình chóp.
Hướng dẫn tóm tắt:
Gọi V, V1, và V2 là thể tích của hình chóp S.ABCD, K.BCD và phần còn lại của hình chóp S.ABCD:
1
.
2. 13

.
= = =
ABCD
BCD
S SA
V SA
V S HK HK
Ta được:
1 2 2 2
1 1 1 1
1 13 12
+
= = + = ⇔ =
V V V V
V
V V V V
Câu 9 Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh AB=AD = a, AA’ =
3
2
a
và góc BAD = 60
0
. Gọi M
và N lần lượt là trung điểm của các cạnh A’D’ và A’B’. Chứng minh rằng AC’ vuông góc với mặt phẳng
(BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN.
Hướng dẫn tóm tắt:
V
A.BDMN
=
3

4
V
S.ABD
=
3
4
.
1
3
SA.S
ABD
=
1
4
.a
3
.
2 3
3 3
4 16
=
a a
Biên soạn : Lê Anh
Câu 10 Cho lăng trụ tam giác ABC.A
1
B
1
C
1
có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy

bằng 30
0
. Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A
1
B
1
C
1
) thuộc đường thẳng B
1
C
1
. Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng AA
1
và B
1
C
1
theo a.
Hướng dẫn tóm tắt:
Kẻ đường cao HK của ∆AA
1
H thì HK chính là khoảng cách giữa AA
1
và B
1
C
1
.

Ta có AA
1
.HK = A
1
H.AH
1
1
.
3
4
⇒ = =
A H AH
a
HK
AA
Câu 11 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có ∆ABC là tam giác vuông tại B và AB = a, BC = b, AA’ = c (
2 2 2
≥ +c a b
). Tính diện tích thiết diện của hình lăng trụ bị cắt bởi mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc
với CA′.
Hướng dẫn tóm tắt:
2 2 2
2
+ +
=
td
ab a b c
S
c
Câu 12 Cho khối chóp S.ABC có SA

⊥
(ABC), ∆ABC vuông cân đỉnh C và SC =
a
. Tính góc
ϕ
giữa 2 mặt
phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp lớn nhất.
Hướng dẫn tóm tắt:
·
0;
2
π
ϕ
 
= ∈
 ÷
 
SCA

3
3
(sin sin )
6
ϕ ϕ
⇒ = −
SABC
a
V
. Xét hàm số
3

sin sin= −y x x
trên khoảng
0;
2
π
 
 ÷
 
. Từ BBT
3 3
max max
3
( )
6 9
⇒ = =
SABC
a a
V y
khi
1
sin
3
ϕ
=
,
0;
2
π
ϕ
 

∈
 ÷
 
Câu 13 Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a và điểm M trên cạnh AB sao cho AM = x, (0 < x <
a). Mặt phẳng (MA'C') cắt BC tại N. Tính x theo a để thể tích khối đa diện MBNC'A'B' bằng
1
3
thể tích
khối lập phương ABCD.A'B'C'D'.
Hướng dẫn tóm tắt:
Ta có A'M, B'B, C'N đồng quy tại S. Đặt V
1
= V
SBMN
, V
2
= V
SB'A'C'
, V = V
MBNC'A'B'
.
Ta có
( )
'
−
−
= ⇒ =
a a x
SB a x
SB

SB a x
, (0< x < a)
Xét phép vị tự tâm S tỉ số k =
1−
x
a
ta có:
3
1
2
−
 
=
 ÷
 
V
a x
V a
. Mà
4
2 ' ' '
1
. '
3 6
∆
= =
A B C
a
V S SB
x

.
⇒
3
4
1
1
6
 
= −
 ÷
 
a x
V
x a
; Do đó:
3 2
4 3
2 1
1 1 1 1 1
6 6
   
     
= − = − − = + − + −
 ÷
 
 ÷  ÷  ÷
 ÷
     
 
   

a x a x x
V V V
x a a a

Theo đề bài V =
2 2
3
3 3
1 1
1 1 1 1 1 1 0
3 6 3
 
       
⇔ + − + − = ⇔ − + − − =
 
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
 
 
a x x x x
a a
a a a a
(*)
Đặt
1 , 0
 
= − >
 ÷
 
x

t t
a
(vì 0 < x < a), PT (*) ⇔ t
2
+ t – 1 = 0 ⇒ t =
1
( 5 1)
2
−
⇒
3 5
2
−
=x a
Câu 14 Trên cạnh AD của hình vuông ABCD có độ dài là a, lấy điểm M sao cho AM = x (0 ≤ m ≤ a). Trên nửa đường
thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại điểm A, lấy điểm S sao cho SA = y (y > 0). Tính thể tích khối chóp
S.ABCM theo a, y và x. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABCM, biết rằng x
2
+ y
2
= a
2
.
V =
1
( )
6
+ya a x
.
2 2 3

1
( )( )
36
= − +V a a x a x
. V
max
=
3
3
8
a
khi
2
=
a
x
.
Câu 15 Cho hình nón đỉnh S, đường tròn đáy có tâm O và đường kính là AB = 2R. Gọi M là điểm thuộc đường
tròn đáy và
·
2
α
=ASB
,
·
2
β
=ASM
. Tính thể tích khối tứ diện SAOM theo R, α và β .
Hướng dẫn tóm tắt:

Gọi OH là đường cao của
OAMD
, ta có:
Biên soạn : Lê Anh
. .
sin
.sin
sin
sin sin
α α
β
β
α
α α
= =


⇒ = =

= =


SO OA cotg R cotg
AH SA R
OA R
SA
2 2 2 2
sin sin
sin
α β

α
⇒ = − = −
R
OH OA AH
.
Vậy:
3
2 2
.
3
1 cos sin
. . . sin sin
3 3sin
α β
α β
α
= = −
S AOM
R
V SO AH OH
.
Câu 16 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh bên bằng 1. Các mặt bên hợp với mặt phẳng đáy
một góc α. Tính thể tích hình cầu nội tiếp hình chóp S.ABC.
Hướng dẫn tóm tắt:
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, M là trung điểm của BC
·
α
=AMS
. Gọi I là tâm của mặt cầu nội
tiếp hình chóp, I ∈ SO; N là hình chiếu của I trên SM, MI là phân giác của

·
α
=AMS
.
Ta có SO = OM tanα =
3
6
a
tanα ( Với a là độ dài của cạnh đáy)
Ta có SO
2
+ OM
2
= SB
2
– BM
2

2 2 2
2
tan 1
12 12 4
α
⇔ + = −
a a a

2
2 3
4 tan
α

⇒ =
+
a
r = OI = OM.tan
2
α
=
2
tan
2
4 tan
α
α
+
. Vậy V =
( )
3
3
2
4 tan
2
3 4 tan
α
π
α
+
Câu 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA
⊥
(ABCD) và SA = a. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm AD, SC. Tính thể tích tứ diện BDMN và khoảng cách từ D đến mp(BMN).

Hướng dẫn tóm tắt:
Gắn hệ trục toạ độ sao cho: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), C(a; a; 0), S(0; 0; a),
0 0
2 2 2 2
a a a a
M N  %  
   
 ÷  ÷
   
⇒
2 2 2
, ; ;
4 2 4
 
 
= − −
 ÷
 
 
uuur uuuur
a a a
BN BM
⇒
3
1
,
6 24
 
= =
 

uuur uuuur uuur
BMND
a
V BN BM BD
Mặt khác,
( )
1
. ,( )
3
=
BMND BMN
V S d D BMN
,
2
1 3
,
2
4 2
 
= =
 
uuur uuuur
BMN
a
S BN BM
( )
3
6
,( )
6

⇒ = =
BMND
BMN
V
a
d D BMN
S
Câu 18 Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a. BC =
2
a
.
3=SA a
,
·
·
0
30= =SAB SAC
Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Hướng dẫn tóm tắt:
Dùng định lí côsin tính được:
aSB =
, SC = a.
Gọi M là trung điểm của SA. Hai tam giác SAB và SAC cân nên MB ⊥ SA, MC ⊥ SA. Suy ra SA ⊥ (MBC).
Ta có
MBCMBCMBCMBC.AMBC.SABC.S
S.SA
3
1
S.SA
3

1
S.MA
3
1
VVV =+=+=
Hai tam giác SAB và SAC bằng nhau. Do đó MB = MC ⇒ ∆MBC cân tại M. Gọi N là trung điểm của BC ⇒ MN
⊥ BC. Tương tự MN ⊥ SA.
16
a3
2
3a
4
a
aAMBNABAMANMN
2
2
2
2222222
=








−







−=−−=−=
4
3a
MN =⇒
.
Biên soạn : Lê Anh
Do đó:
16
a
2
a
.
4
3a
.3a
6
1
BC.MN
2
1
.SA
3
1
V
3
ABC.S

===
.
Câu 19 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt
phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Một mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc với AA’, cắt
lăng trụ theo một thiết diện có diện tích bằng
2
3
8
a
. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
Hướng dẫn tóm tắt:
Gọi M là trung điểm của BC, gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên AA’. Khi đó (P)
≡
(BCH). Do góc
·
'A AM

nhọn nên H nằm giữa AA’. Thiết diện của lăng trụ cắt bởi (P) là tam giác BCH.
Do tam giác ABC đều cạnh a nên
3 2 3
,
2 3 3
= = =
a a
AM AO AM
Theo bài ra
2 2
3 1 3 3
.
8 2 8 4

= ⇒ = ⇒ =
BCH
a a a
S HM BC HM
2 2
2 2
3 3 3
4 16 4
= − = − =
a a a
AH AM HM
Do ∆A’AO và ∆MAH đồng dạng nên
'
=
A O HM
AO AH
⇒
. 3 3 4
'
3 4 3 3
= = =
AO HM a a a
A O
AH a
Thể tích khối lăng trụ:
3
1 1 3 3
. . .
2 2 3 2 12
′ ′

= = = =
ABC
a a a
V A O S A O AM BC a
Câu 20 Xác định vị trí tâm và độ dài bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có
2, 3, 1, 10, 5, 13= = = = = =AB AC AD CD DB BC
.
Hướng dẫn tóm tắt:
Ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
10 ; 5 ; 13 ;= = + = = + = = +CD AC AD DB AD AB BC AB AC
Do đó tứ diện ABCD có ba mặt là ba tam giác vuông tại cùng đỉnh A.
Lấy các điểm E, F, G, H sao cho đa diện ABEC.DGHF là hình hộp chữ nhật. Hiển nhiên, mặt cầu ngoại tiếp tứ
diện cũng là mặt cầu ngoại tiếp hình hộp. Tâm mặt cầu này là trung điểm I của đoạn AH, còn bán kính là
2 2 2
1 1 14
2 3 1
2 2 2
= = + + =R AH
.
Câu 21 Tính thể tích của hình chóp S.ABC, biết đáy ABC là một tam giác đều cạnh a, mặt bên (SAB) vuông
góc với đáy, hai mặt bên còn lại cùng tạo với đáy góc α.
Hướng dẫn tóm tắt:
Dựng
⊥SH AB
( )⇒ ⊥SH ABC
và SH là đường cao của hình chóp.
Dựng
,⊥ ⊥HN BC HP AC
·

·
,
α
⇒ ⊥ ⊥ ⇒ = =SN BC SP AC SPH SNH
∆ SHN = ∆ SHP ⇒ HN = HP.
∆ AHP vuông có:
3
.sin 60
4
= =
o
a
HP HA
; ∆ SHP vuông có:
3
.tan tan
4
α α
= =
a
SH HP
Thể tích hình chóp
2 3
1 1 3 3
. : . . . .tan . tan
3 3 4 4 16
α α
= = =
ABC
a a a

S ABC V SH S
Câu 22. Cho hình chóp S.ABC có đáy là ∆ABC vuông cân tại A, AB = AC = a. Mặt bên qua cạnh huyền BC
vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại đều hợp với mặt đáy các góc 60
0
. Tính thể tích của khối chóp
S.ABC.
Hướng dẫn tóm tắt:
Kẻ SH ⊥ BC. Suy ra SH ⊥ (ABC). Kẻ SI ⊥ AB; SJ ⊥ AC.
⇒
·
·
0
60= =SIH SJH
⇒ ∆SIH = ∆SJH ⇒ HI = HJ ⇒ AIHJ là hình vuông
⇒ I là trung điểm AB ⇒
2=IH a
Biên soạn : Lê Anh
Trong tam giác vuông SHI ta có:
3
2
=
a
SH
. Vậy:
3
.
1 3
.
3 12
= =

S ABC ABC
a
V SH S
Câu 23 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tai A và D. Biết AD = AB = a, CD
= 2a, cạnh bên SD vuông góc với mặt phẳng đáy và SD = a. Tính thể tứ diện ASBC theo a.
Hướng dẫn tóm tắt:
Ta có S
ABC
= S
ABCD
– S
ADC
=
2
1
2
a
. V
ASBC
=
1
3
S
ABC
.SA =
3
1
6
a
Câu 24 Cho hình chóp lục giác đều S.ABCDEF với SA = a, AB = b. Tính thể tích của hình chóp đó và khoảng

cách giữa các đường thẳng SA, BE.
Hướng dẫn tóm tắt:
Nhận xét: Tâm O của lục giác đều ABCDEF là trung điểm của các đường chéo AD, BE, CF. SO ⊥(ABCDEF). Các
tam giác OAB, OBC, OCD, ODE,OEF, OFA là các tam giac đều bằng nhau cạnh b.
Diện tích đáy: S
đáy
= 6S
∆
OAB
=
2
2
3 3 3
6
4 2
=
b
b
(đvdt)
Chiều cao h =

SO =
2 2 2 2
− = −SA OA a b
⇒ Thể tích V =
2 2 2
3( )
1
3 2
−

=
dáy
b a b
S h
* Xác định được d(SA, BE) = d(O, (SAF)) = OJ. Chứng minh OJ ⊥(SAF)
Trong ∆SOJ vuông tại O ta có OJ =
2 2
2 2
2 2
. 3( )
4
−
=
−
+
OI SO a b
b
a b
OI SO
Câu 25 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,
·
0
60=BAD
, SA vuông góc mặt phẳng
(ABCD), SA = a. Gọi C′ là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) đi qua AC′ và song với BD, cắt các cạnh
SB, SD của hình chóp lần lượt tại B′, D′. Tính thể tích của khối chóp S.AB′C′D′.
Hướng dẫn tóm tắt:
Ta có: ∆SAC vuông tại A ⇒
2 2
2= + =SC SA AC a

⇒ AC′ =
2
SC
= a ⇒ ∆SAC′ đều Vì (P) chứa AC′ và (P) // BD
⇒ B′D′ // BD. Gọi O là tâm hình thoi ABCD và I là giao điểm của AC′ và B′D′ ⇒ I là trọng tâm của ∆SBD. Do
đó:
2 2
3 3
′ ′
= =B D BD a
.
Mặt khác, BD ⊥ (SAC) ⇒ D′B′ ⊥ (SAC) ⇒ B′D′ ⊥ AC′
Do đó: S
AB'C'D'
=
2
1
.
2 3
′ ′ ′
=
a
AC B D
.
Đường cao h của khối chóp S.AB′C′D′ chính là đường cao của tam giác đều SAC′ ⇒
3
2
=
a
h

. Vậy thể tích của
khối chóp S. AB′C′D′ là V =
3
' ' '
1 3
.
3 18
=
AB C D
a
h S
.
Câu 26 Tính thể tích hình chóp S.ABC biết SA = a, SB = b, SC = c,
·
0
60=ASB
,
·
·
0 0
90 , 120= =BSC CSA
.
Hướng dẫn tóm tắt:
Trên SB, SC lấy các điểm B′, C′ sao cho SB′ = SC′ = a. Ta có AB′ = a, B′C′ = a
2
, AC′ = a
3
⇒ ∆AB′C′ vuông
tại B′. Gọi H là trung điểm của AC′, thì ∆SHB′ vuông tại H. Vậy SH là đường cao của hình chop S.AB′C′
Vậy: V

S.AB’C’
=
3
2
12
a
.
.
3 2
. ' '
= =
S ABC
S AB C
V
abc bc
V a a
⇒ V
S.ABC
=
2
12
abc
Câu 27 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang AB = a, BC = a,
·
0
90BAD =
, cạnh
2SA a=
và SA
vuông góc với đáy, tam giác SCD vuông tại C. Gọi H là hình chiếu của A trên SB. Tính thể tích của tứ diện SBCD

và khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD).
Hướng dẫn tóm tắt:
• Chứng minh: ∆ ACD vuông tại C ⇒ ∆ACD vuông cân tại C.
Biên soạn : Lê Anh
2; 2 ; 5= = = =AC CD a CD a BD a
• V
SBCD
= V
S.ABCD
– V
SABD
.
• Chứng minh BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AH ⇒ AH ⊥ (SBC).
Kẻ AK ⊥ (SC) ⇒ AK ⊥ (SCD) ⇒ (AKH) ⊥ (SCD).
Kéo dài AB và CD cắt nhau tại E. Kéo dài AH cắt SE tại M.
Có (AMK) ⊥ (SCD) hay (AMK) ⊥ (SED).
AH ⊥ (SBC) ⇒ AH ⊥ HK ⇒ tam giác AHK vuông tại H.
Kẻ HI ⊥ MK có HI = d(H, (SCD)).
• Tính AH, AM ⇒ HM; Tính AK ⇒ HK. Từ đó tính được HI.
Câu 28 Cho lăng trụ đứng ABCA
1
B
1
C
1
có AB = a, AC = 2a, AA
1

2 5= a
và

·
120=
o
BAC
. Gọi M là trung điểm
của cạnh CC
1
. Tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A
1
BM).
Hướng dẫn tóm tắt:
Chọn hệ trục Oxyz sao cho: A ≡ O,
( )
2 ,0,0−C a
,
1
(0,0,2 5)A a

3
(0;0;0), ; ;0
2 2
 
⇒
 ÷
 ÷
 
a a
A B
,
( 2 ,0, 5)−M a a

1
5 3
; ; 5 , (2;0; 5)
2 2
 
⇒ = − − =
 ÷
 ÷
 
uuuur uuuur
BM a MA a

Ta có thể tích khối tứ diện AA
1
BM là :
1 1
3
2
1 1
1 15 1
. , ; , 3 3
6 3 2
∆
   
= = = =
 
 
uuuur uuur uuuur uuur uuuur
AA BM BMA
a

V A A AB AM S MB MA a
Suy ra khoảng cách từ A đến mp (BMA
1
) bằng
3 5
.
3
= =
V a
d
S
Câu 29 Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có đáy ABCD là hình vuông, AB = AA′ = 2a. Hình chiếu vuông góc
của A′ lên mặt phẳng đáy trùng với tâm của đáy. M là trung điểm của BC. Tính thể tích hình hộp và cosin
của góc giữa hai đường thẳng AM và A′C
Hướng dẫn tóm tắt:
Ta có AO=OC=a
2
2 2 2 2
4 2 2
′ ′
⇒ = − = − =A O AA AO a a a
Suy ra V=B.h=
4 2 4 2=
2 3
a .a a

Tính góc giữa AM và A′C. Gọi N là trung điểm AD, suy ra AM // CN.
Xét ∆A′CN ta có:
2 2 2 2 2 2
2 ; 5; 5

′ ′ ′ ′
= + = = = + = = + =A C A O OC a CN AM AB BM a A N AA AN a
.
⇒
2 2 2 2 2 2
4 5 5 3
cos 0
2. .
2.2 . 5 2 5
′ ′
+ − + −
= = = >
′
CA CN A N a a a
C
CA CN
a a
Vậy cosin của góc giữa AM và A′C bằng
3
2 5
.
Câu 30 Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng
đáy. Biết góc BAC = 120
0
, tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.
Hướng dẫn tóm tắt:
Hình chiếu của SB và SC trên (ABC) là AB và AC, mà SB = SC nên AB = AC.
Ta có : BC
2
= 2AB

2
– 2AB
2
cos120
0
⇔ a
2
= 3AB
2
⇔
3
a
AB =
2
2 2
2
3
3
− ⇒
a a
SA = a SA =
;
2 2
0
1 1 3 3
. .sin120
2 2 3 2 12
∆ABC
a a
S = AB AC = =

⇒
2 3
1 2 3 2
3 12 36
3
a a a
V = =

Câu 31 Tính thể tích của hình chóp S.ABC, biết đáy ABC là một tam giác đều cạnh a, mặt bên (SAB) vuông
góc với đáy, hai mặt bên còn lại cùng tạo với đáy góc a.
Hướng dẫn tóm tắt:
Dựng
⊥SH AB
. Ta có:
( ) ( ), ( ) ( ) , ( )⊥ ∩ = ⊂SAB ABC SAB ABC AB SH SAB
Biên soạn : Lê Anh
( )⇒ ⊥SH ABC
và SH là đường cao của hình chóp.
Dựng
,⊥ ⊥HN BC HP AC
·
·
,
α
⇒ ⊥ ⊥ ⇒ = =SN BC SP AC SPH SNH
∆SHN = ∆SHP ⇒ HN = HP.
∆AHP vuông có:
3
.sin 60 .
4

= =
o
a
HP HA
∆SHP vuông có:
3
.tan tan
4
α α
= =
a
SH HP
Thể tích hình chóp
2 3
1 1 3 3
. : . . . .tan . tan
3 3 4 4 16
α α
= = =
ABC
a a a
S ABC V SH S
Câu 32 Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a, góc
·
BAD
= 60
0
. Gọi
M là trung điểm AA′ và N là trung điểm của CC′. Chứng minh rằng bốn điểm B′, M, N, D đồng phẳng.
Hãy tính độ dài cạnh AA′ theo a để tứ giác B′MDN là hình vuông.

Hướng dẫn tóm tắt:
Gọi P là trung điểm của DD′. A′B′NP là hình bình hành ⇒ A′P // B′N
A′PDM là hình bình hành ⇒ A′P // MD
⇒ B′N // MD hay B′, M, N, D đồng phẳng.
Tứ giác B′NDM là hình bình hành. Để B’MND là hình vuông thì 2B′N
2
= B′D
2
.
Đặt: y = AA’
⇒
2
2 2 2
2
4
 
+ = +
 ÷
 
y
a y a
⇒ y =
2a
Câu 33 Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có A′.ABC là hình chóp tam giác đều cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA′ = b.
Gọi
α
là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A′BC). Tính tan
α
và thể tích của khối chóp A′.BB′C′C.
Hướng dẫn tóm tắt:

Gọi E là trung điểm của BC, H là trọng tâm của ∆ ABC. Vì A′.ABC là hình chóp đều nên góc giữa hai mặt phẳng
(ABC) và (A′BC) là ϕ =
·
′
A EH
.
Ta có :
3 3 3
, ,
2 3 6
= = =
a a a
AE AH HE
⇒
2 2
2 2
9 3
' '
3
−
= − =
b a
A H A A AH
.
Do đó:
2 2
' 2 3
tan
ϕ
−

= =
A H b a
HE a
;
2 2 2 2
. ' ' '
3 3
' .
4 4
∆ ∆
−
= ⇒ = =
ABC ABC A B C ABC
a a b a
S V A H S
2 2 2
'.
1 3
' .
3 12
∆
−
= =
A ABC ABC
a b a
V A H S
.
Do đó:
' ' ' . ' ' ' '.
= −

A BB CC ABC A B C A ABC
V V V
=
2 2 2
3
6
−a b a
Câu 34 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy bằng a, các mặt bên tạo với mặt đáy góc 60
o
.
Mặt phẳng (P) chứa AB và đi qua trọng tâm của tam giác SAC cắt SC, SD lần lượt tại M, N. Tính thể
tích khối chóp S.ABMN theo a.
Hướng dẫn tóm tắt:
Gọi I, J lần lượt là trung điểm cúa AB và CD; G là trọng tâm ∆SAC
∆SIJ đều cạnh a nên G cũng là trọng tâm ∆SIJ
IG cắt SJ tại K là trung điểm cúa SJ; M, N là trung điểm cúa SC, SD
3
2
=
a
IK
; S
ABMN
=
2
1 3 3
( )
2 8
+ =
a

AB MN IK
SK ⊥ (ABMN); SK =
2
a
. V=
3
1 3
.
3 16
=
ABMN
a
S SK
.
Câu 35 Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh CD, A′D′.
Điểm P thuộc cạnh DD’ sao cho PD′ = 2PD. Chứng tỏ (MNP) vuông góc với (A′AM) và tính thể tích của
khối tứ diện A′AMP.
Hướng dẫn tóm tắt:
Gọi Q là giao điểm của NP và AD. Do PD′ = 2PD nên D′N = 2DQ
Biên soạn : Lê Anh
2
2
.
4
= = ⇒ ⊥
a
AD DQ MD QM AM
(đpcm).
Ta có:
'

1
.
3
∆
=
A AP
V MD S
(1).
2
' ' ' ' '
2
∆ ∆ ∆
= − − =
A AP ADD A APD A D P
a
S S S S
Thay vào (1), ta được:
3
12
=
a
V
.
Câu 36 Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, với AB = 2AD = 2a, sạnh SA vuông góc với mặt
phẳng (ABCD), cạnh SC tạo với mặt đáy (ABCD) một góc


. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB, mặt phẳng
(GCD) cắt SA, SB lần lượt tại P và Q. Tính thể tích khối chóp S.PQCD theo a.
Hướng dẫn tóm tắt:

Kẻ SH ⊥ PD ⇒ SH ⊥ ((PQCD)
⇒
S PQCD PQCD
a a
V S SH a



       
  
  * '

= = =
•
Có thể dùng công thức tỉ số thể tích:
S PQC
S PQC S ABC
S ABC
S PCD
S PCD S ACD
S ACD
V
SP SQ
V V a
V SA SB
V
SP
V V a
V SA



 



 

    
 
  * '
   
  *

= = ⇒ = =




= = ⇒ = =


⇒
S PQCD S PQC S PCD
V V V a

  
 
'
= + =
Câu 37 Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy góc



. Gọi M là điểm đối xứng với C
qua D, N là trung điểm của SC. Mặt phẳng (BMN) chia khối chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
Hướng dẫn tóm tắt:
Gọi P = MN ∩ SD, Q = BM ∩ AD ⇒ P là trọng tâm ∆SCM, Q là trung điểm của MB.
•
MDPQ
MCNB
V
MD MP MQ
V MC MN MB
   
   
   
= = =
⇒
DPQCNB MCNB
V V


=
• Vì D là trung điểm của MC nên
d M CNB d D CNB %    % =

⇒
MCNB DCNB DCSB S ABCD
V V V V





= = =
⇒
DPQCNB S ABCD
V V



=
⇒
SABNPQ S ABCD
V V

'

=
⇒
SABNPQ
DPQCNB
V
V
'

=
.
Câu 38 Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a. Gọi K là trung điểm của cạnh BC và I là tâm của mặt bên CC′D′D.
Tính thể tích của các hình đa diện do mặt phẳng (AKI) chia hình lập phương.
Hướng dẫn tóm tắt:
Gọi E = AK ∩ DC, M = IE ∩ CC′, N = IE ∩ DD′. Mặt phẳng (AKI) chia hình lập phương thành hai đa diện:

KMCAND và KBB′C′MAA′D′N. Đặt V
1
= V
KMCAND
, V
2
= V
KBB
′
C
′
MAA
′
D
′
N
.
• V
hlp
=
a

, V
EAND
=
ADN
ED S a

 
 

 *
∆
=
.
•
EKMC
EAND
V
EK EM EC
V EA EN ED

 
#
= =
⇒
KMCAND EAND
V V V a a
 

' '  '

# # * 
= = = =
,
V
2
= V
hlp
– V
1

=
a

*

⇒
V
V


'
*
=
.
Biên soạn : Lê Anh
Câu 39 Cho đường tròn (C) đường kính AB = 2R. Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng chứa (C) lấy điểm
S sao cho SA = h. Gọi M là điểm chính giữa cung AB. Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với SB, cắt SB, SM lần
lượt tại H và K Tính thể tích của khối chóp S.AHK theo R và h.
Hướng dẫn tóm tắt:
S AHK
R h
V
R h R h
 

   
  
=
+ +
Câu 40 Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và C′D′. Tính thể

tích khối chóp B′.A′MCN và cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (A′MCN) và (ABCD).
Hướng dẫn tóm tắt:
A′MCN là hình thoi ⇒ MN ⊥ A′C, ∆B′MN cân tại B′ ⇒ MN ⊥ B′O ⇒ MN ⊥ (A′B′C).
•
MA B C A B C
a a
V MO S a a

   
    
    
∆
′ ′ ′ ′
= = =
⇒
B A MCN MA B C
a
V V




′ ′ ′ ′
= =
• Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (A′MCN) và (ABCD), P là trung điểm của CD
⇒ NP ⊥ (ABCD).
MCN
a
S




∆
=
,
MCP
a
S


∆
=
⇒
MCP
MCN
S
S



∆
∆
ϕ
= =
.
Câu 41 Tính thể tích của khối chóp S.ABC, biết đáy ABC là một tam giác đều cạnh a, mặt bên (SAB) vuông góc với đáy,
hai mặt bên còn lại cùng tạo với đáy góc α.
Hướng dẫn tóm tắt:
Gọi H, M, I lần lượt là trung điểm của AB, AC, AM ⇒ SH ⊥ (ABC),
·

SIH
α
=
.
SH =
a
IH

$ $

α α
=
⇒
S ABC ABC
a
V SH S



 $
 
∆
α
= =
.
Câu 42 Tính thể tích khối chóp S.ABC, biết SA = a, SB = b, SC = c,
·
ASB

=

,
·
BSC

*=
,
·
CSA

=
.
Trên AC lấy điểm D sao cho: DS ⊥ SC (D thuộc đoạn AC) ⇒
·
ASD

=
.
Hướng dẫn tóm tắt:
Ta có:
ASD
CSD
AS SD
S
AD a
CD S c
CS SD


 






= = =
⇒
a
DA DC
c
= −
uuur uuur
⇒
cSA aSC
SD
c a


+
=
+
uur uur
uuur
⇒
cSA aSC c
SD SB SB SA SB
c a c a
 
  
 
 

+
= =
 ÷
+ +
 
uur uur
uuur uur uur uur uur
=
c abc
ab
c a c a



 
=
+ +
và
c SA a SC caSA SC
SD
c a
   


  
 
+ +
=
+
uur uur

=
a c a c a c a c
c a c a
       
 
  
   
+ −
=
+ +

⇒ SD =
ac
c a

 +
Mặt khác,
·
abc
SD SB
c a
SDB
SD SB
ac
b
c a
 


 




+
= = =
+
uuur uur
⇒
·
SDB



=
·
SDBC SDB
V SC S SC SD SB SDB
 
   
 
= =
=
abc
c a



  +
Mà
ASDB

CSDB
V
AD a
V DC c
= =
⇒
ASDB CSDB
a a bc
V V
c c a



  
= =
+
Biên soạn : Lê Anh
Vậy:
SABC ASDB CSDB
a bc abc
V V V abc
c a
 
  
  
 
+
= + = =
 ÷
+

 
.
Câu 43 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, cạnh a,
·
ABC

=
, chiều cao SO của hình chóp bằng
a 

, trong đó O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi M là trung điểm của AD, mặt phẳng (P) chứa BM và
song song với SA, cắt SC tại K. Tính thể tích khối chóp K.BCDM.
Hướng dẫn tóm tắt:
Gọi N = BM ∩ AC ⇒ N là trọng tâm của ∆ABD.
Kẻ NK // SA (K ∈ SC). Kẻ KI // SO (I ∈ AC) ⇒ KI ⊥ (ABCD). Vậy
K BCDM BCDM
V KI S




=
Ta có: ∆SOC ~ ∆KIC ⇒
KI CK
SO CS
=
(1), ∆KNC ~ ∆SAC ⇒
CK CN
CS CA
=

(2)
Từ (1) và (2) ⇒
CO CO
KI CN CO ON
SO CA CO CO



  
+
+
= = = =
⇒
a
KI SO
 
 
= =
Ta có: ∆ADC đều ⇒ CM ⊥ AD và CM =
a 

⇒ S
BCDM
=
DM BC CM a

  
 
 #
+ =

⇒ V
K.BCDM
=
BCDM
a
KI S



 #
=
Câu 44 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, A′M ⊥ (ABC), A′M =
a 

(M là
trung điểm cạnh BC). Tính thể tích khối đa diện ABA′B′C.
Hướng dẫn tóm tắt:
Vì ABB′A′ là hình bình hành nên ta có:
C ABB C AB A
V V
 +  + +
=
.
Mà
C ABB ABC
a a a
V A M S
 
 +
   

  
    #
′
= = =
Vậy,
C ABB A C ABB
a a
V V
 
 + +  +
 
# 
= = =
.
Câu 45 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a, CD = a; góc giữa hai mặt
phẳng (SBC) và (ABCD) bằng


. Gọi I là trung điểm của AD. Hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với
mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Hướng dẫn tóm tắt:
Gọi E là trung điểm của AB ⇒ BC =
a 
. Ta có:
BIC ABCD ABI CDI
a
S S S S




= − − =
Trong tam giác BIC, kẻ đường cao IF, ta có: IF =
BIC
S
a
BC



=
.
Từ giả thiết ⇒ SI ⊥ (ABCD) ⇒
·
SFI

=
⇒ SI =
a
IF

 
$

=
⇒ Thể tích khối chóp S.ABCD:
ABCD
a
V SI S a a
 
     

  
  

= = =
.
Câu 46 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và tính
bán kính mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp đó.
Hướng dẫn tóm tắt:
Gọi O là giao điểm AC và BD
( )
SO ABCD⇒ ⊥
.