bài giảng chuyên đề phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình

Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
§.PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC
1. PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM ĐẶC BIỆT
()
−−+=
−+−+
−+ − +−=
⎛⎞
−
−−−−+=
⎜⎟
⎝⎠
32
32
54 3 2
5433
1. 8 12 0
2. 9 27 27 0
3. 8 20 20 19 12 0 1,3,4
13
4.6 5 5 4 34 12 0 ,2,
32
xx x
xx x
xx x x x
xxxx x

2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH.
43
43 2
1. 5 20 16 0

2. 7 11 7 10 0
xx x
xx xx
−+ −=
++ ++=

3. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP.
()()
()()
()
()
2
22
42
222
2
22
1. 4 3 4 2 0
2. 1 6 1 5 0
3. 16 3 9 0
xx xxx x
xx xxx x
xx x
++ + ++ + =
−+ − −+ + =
−−+=
2
4

4. PHƯƠNG TRÌNH HỒI QUI BẬC BA.

3
32
0 víi
dc
ax bx cx d
ab
⎛⎞
+++= =
⎜⎟
⎝⎠

Phương trình có một nghiệm là:
0
c
x
b
=
−

5. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG:
⎡
+=∀
⎢
−
=∀ >
⎢
⎣
3
3
43 ,

43 ,:
xxmm
xxmmm
1

Phương trình có nghiệm duy nhất.
Ta nghiên cứu các khai triển sau:
3
3
33
33
3
3
3
3
3
3
3
3
11111113
*3
288
11 1 111
43
22 2
11 111 1
43
222
1
*

aa a a a a
aaa a a
aa a
aaa
aaa
aaa
aa
a
⎡⎤
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛ ⎞⎛⎞
+=+++⇒ + = +++
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝ ⎠⎝⎠
⎣⎦
⎡⎤
⎛⎞ ⎛ ⎞⎛⎞
⇒+=+++
⎜⎟ ⎜ ⎟⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠ ⎝ ⎠⎝⎠
⎣⎦
⎡⎤⎡⎤
⎛⎞ ⎛⎞⎛ ⎞
⇒+−+=+
⎜⎟ ⎜⎟⎜ ⎟
⎢⎥⎢⎥
⎝⎠ ⎝⎠⎝ ⎠
⎣⎦⎣⎦
⎛⎞

−=
⎜⎟
⎝⎠
1
a
3
3
3
3
11
3
11 111 1
43
222
a
aa
aaa
aaa
⎛⎞
−− −
⎜⎟
⎝⎠
⎡⎤⎡⎤
⎛⎞ ⎛⎞⎛ ⎞
⇒−+−=−
⎜⎟ ⎜⎟⎜ ⎟
⎢⎥⎢⎥
⎝⎠ ⎝⎠⎝ ⎠
⎣⎦⎣⎦

Do đó với việc chọn a thích hợp ta có được một nghiệm của phương trình.
6. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG:
−
=∀ ≤
3
43 ,:xxmmm1

Phương trình có không quá ba nghiệm
Tác giả: Huỳnh Thanh Ln Trang 1
Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
Đặt
()
[
]
cos cos 2 ; 0;m
α
απα π
== ± ∈
. Khi đó:
()
3
3
cos 4cos 3cos
33
22
cos 2 4cos 3cos
33
m
m
α

α
α
α
πα
απ
== −
±±
=±= −
π

Vậy phương trình có ba nghiệm:
2
cos ; cos
33
xx
α
απ
±
==

7. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG:
+
++=
32
0tatbtc

B1: Khử bậc hai bằng cách đặt:
3
3
a

ty y pyq
=
−→ − =

B2: Đưa về pt cơ bản:
±=
3
43
x
xm
bằng cách đặt
2
3
p
y =

8. PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG.
Cho phương trình . Đònh tham số để:
()
422
12 10xaxa+− + −=
1. Pt vô nghiệm.
2. Phương trình có một nghiệm.
3. Phương trình có hai nghiệm.
4. Phương trình có 3 nghiệm.
5. Phương trình có bốn nghiệm.
6. Phương trình có bốn nghiệm lập thành một cấp số cộng.
9. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG :
()()
44

xx
α
βχ
+
++ =

()()
()()
44
44
1. 4 6 2
2. 4 2 82
xx
xx
+++=
+++=

3.
()

()
44
2 3 2 5 706xx++ −=
10. PHƯƠNG TRÌNH HỒI QUI BẬC BỐN.
2
432
0, ®k:
ed
ax bx cx dx e
ab

⎛⎞
++++= =
⎜⎟
⎝⎠

432
43 2
1.4 12 47 12 4 0.
2.2 21 74 105 50 0.
xxxx
xxx x
++++=
−+−+=

3.Tìm để phương trình vô nghiêïm:
432
10xmxmxmx
+
+++=
.
11. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG:
(
)
(
)
(
)
(
)
,

x
axbxcxd eabcd
+
+++=+=+

()( )()( )
()()()
2
1. 1 2 3 4 10
2. 6 5 3 2 1 35
xx xx
xxx
++ ++=
+++=

12. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG:
(
)
(
)
2
22
0Ax ax Bx ax C
+
+++=
432
432
1. 4 3 14 6 0
2.3 6 5 2 5 0
xxx x

xxxx
+−−+=
−+−−=

13. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG:
(
)
()
2
2
2
xax
α
β
+=+
Tác giả: Huỳnh Thanh Ln Trang 2
Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
Tác giả: Huỳnh Thanh Ln Trang 3
4
42
42
1. 4 1 0
2. 3 10 4 0
3. 2 8 4 0
xx
xx x
x
xx
+−=
−−−=

++−=

LUYỆN TẬP:
Bài tập12:
()()
()()
()
()( )( )
()
()
()
−++=
−+ −=
++ ++=
−− =− −
−+ − + − + −+=
−+ ++ −+ =−
−−−=
−−+−= −±
44
44
43 2
2
232
87 6 5 4 3 2
22 2
2
2
2
432

1. 1 1 16
2. 2 3 2 5 2
3. 6 16 21 12 0
4. 6 9 4 9
5.2 9 20 33 46 66 80 72 32 0
6. 3 1 3 2 9 20 30
7. 6 2 3 81
8. 2 6 16 8 0 2;2; 1 3
9.
xx
xx
xx x x
xx xxx
xx x x x x x x
xx xx xx
xx x
xxx x
x
()
()( )()( )
()()
()
α
−+−+= =
++ + − + = ++ − +
⇔+=
−+ ++
⇔+=
+− ++
−+=

→−+ = =
−+−−+−+=
432
2222
22
62
3
7 6 543 2
4 3 8 4 0 1
10.2 2 3 13 2 5 3 6 2 3 2 5 3
213
6
2532 3
213
6
33
2521
11. 7 6 0
7 6 0 6
12. 2 3 3 2 1 0
xxx
xxx xxx xx xx
xx
xx xx
xx
xx
xx
tt t
x
xxxxxx

Phương trình hồi qui với các hệ số đối xứng và bậc lẻ nên phương trình sẽ có
nghiệm đặc biệt và thu được phương trình hồi qui bậc chẵn giải bằng cách
chia số hạng chính giữa.
1x =−
()
()
65432
1367631xxxxxxx→+ − + − + −+=0

Bài tập13:
Cho phương trình : . Đònh tham số để phương trình :
432
10xaxxax++++=
1. Có bốn nghiệm phân biệt.
2. Có không ít hơn hai nghiệm âm phân biệt.
Bài tập14:
Cho phương trình : . Đònh tham số để phương trình :
()
43 2
21 10xax a xax−−+ ++=
1. Có bốn nghiệm phân biệt.
2. Có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1.
Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
Bài tập15:
Tìm m để phương trình :
(
)
(
)

(
)
32
21 31 1xmxmxm−+ ++−+=0
có 3 nghiệm dương
phân biệt.
Bài tập16:
Giải và biện luận:
()
(
)
322
21 2xaxaaxa−+ ++ −=
2
0
0

Bài tập17:
Cho phương trình : .
()
43 2
4422xxmxmxm+++ + +=
1. Giải phương trình khi m = 1.
2. Giải và biện luận.
Bài tập18:
Cho phương trình :
43
22
x
xx a−++=

.
1. Giải phương trình khi a = 132.
2. Giải và biện luận.
Bài tập19:
Cho phương trình :
43
482
x
xx−++=a
.
0
.
1. Giải phương trình khi a = 5.
2. Giải và biện luận.
Bài tập20:
Cho phương trình Đinh m để:
32
28 0mx x x m−−+ =
1. Phương trình có 3 nghiệm phân biệt
2. Phương trình có nghiệm bội.
3. Phương trình có 3 nghiệm phân biệt bé hơn -1.
ĐỊNH LÝ VIÉT CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC BẬC CAO.
Bài tập21:
Cho phương trình
32
3332xmxxm+−−+=
1. Xác đònh m để phương trình có 3 nghiệm và tổng bình phương 3 nghiệm
của chúng đạt giá trò nhỏ nhất.
2. Xác đònh m để phương trình có 3 nghiệm lập thành một cấp số cộng.
Bài tập22: Xác đònh tham số để phương trình có 3 nghiệm lập thành một cấp số

cộng.
()
()
32 2
32 3
32
32
1. 2 1 9 0
2. 3 4 0
3. 3 9 0
4. 3 9 1 0
xmx mm x mm
xaxxa
xxxm
xxax b
−+ ++−+
−−+=
−−−=
−+−+−=

Bài tập23:
Giả sử phương trình có ba nghiệm
32
0xaxbxc+++=
123
,,
x
xx. Hãy tính

12

nn
n
Sxxx=++
3
n
Bài tập24:
Tác giả: Huỳnh Thanh Ln Trang 4
Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
Giả sử phương trình có ba nghiệm
32
0,,,xaxbxc abc+++= ∈]
123
,,
x
xx. Cho f(x) là
một đa thức nguyên.
123
:()()()CMR f x f x f x
+
+∈] .
Hd: Ta cm qui nạp dưa vào công thức :
123
0
nn n n
SaS bS cS
−−−
+
++=.
§.DÙNG ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH.
A. Hiểu về ẩn phụ:

1. Là ẩn mà do người giải tự đưa vào chứ trong đề bài không nói tới.
2. Ta đưa ẩn phụ vào là để chuyển dạng bài toán về dạng mới dễ nhận dạng
hơn hay là dạng đã quen thuộc.
B. Điều kiện cho ẩn phụ:
1. nghóa, lý do:
− Tìm điều kiện cho ẩn phụ tức là đi tìm mxđ cho bài toán mới.
− Tuỳ vào mục đích của ẩn phụ mà ta tìm đk ẩn phụ như thế nào là phù
hợp nhất ( dễ, không gây sai bài toán ).
2. Có hai kiểu tìm ẩn đk cho phụ:
− Tìm đk đúng cho ẩn phụ.
− Tìm thừa đk cho ẩn phụ.
C. Một số dạng đặt ẩn phụ:
Dạng 1: Giữ nguyên số ẩn.
()
()
()
()
()
4
22
32
32
2
2
23
22
22
22
2
1, 1 1 2

2,10 8 3 6
3, 1 3 1
4,2 1 7 1 13 1
5, 5 14 9 20 5 1
6, 8
xx xx
xxx
xxx
xx x x
x
xxx x
ax
xa
xa
−−++−=
+= −+
−= + −
++ − − = −
++−−−= +
+=
+

Có một số bài toán đặc biệt rất gọn nếu dùng ẩn phụ lượng giác. Dùng ẩn
phụ lượng giác tức là ta lợi dụng các công thức lượng giác để tự phá căn thức mà
không dùng phép nâng luỹ thừa. Vì hàm lượng giác là hàm tuần hoàn nên ta cần
lưu ý chọn miền xác đònh sao cho có lợi nhất.
() ()
()()
(
)

+− = −
+−
=−
⎡⎤
+− −−+ =+−
⎢⎥
⎣⎦
+− = + −
3
32 2
2
2
33
22
22
7, 1 1
12 1
8, 1 2
2
9, 1 1 1 1 2 1
10, 1 1 1 2 1
xxxax
xx
x
x
xx
xx x
x

Tác giả: Huỳnh Thanh Ln Trang 5

Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
Tác giả: Huỳnh Thanh Ln Trang 6
()()
()
+− −+ =
++ −= ≥
+−−=
+− −= −+ +
xxx
ax ax aa
ax ax x
ax ax ax xax
11, 1 1 1 1 2
12, , 0
13, 1 1
14,2

()()
⎛⎞⎛⎞
+−
++ −− + − = + =
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
xx
xx xxmHD
22
36
15, 3 6 3 6 ; : 1
33

16, Tìm nghiệm của phương trình sau trên
[
]
1; 1−
:
(
)( )
242
812 8 8 1 1x xxx
−
−+=

17, Tìm nghiệm của phương trình sau trên
[
]
0;1
:
()( )
2
22
1
32 1 2 1 1xx x
x
−
−=−

Dạng 2: Thay đổi số ẩn, thường là tăng thêm số ẩn để giảm nhẹ sự rắc rối,
đơn giản trong tính toán.
()()

()
() ()
22
3322
3
22
3
3
44
3
3
33
33
1, 3 10 5
2, 2 2 4
3, 3 3 3 6 3
4, 1 8 1 8 3
5, 9 3 6
6, 5 1 2
7, 24 12 6
8, 7 1
34 1 1 34
9, 30
34 1
xx
xx xx
xx xx
xx xx
xx
xx

xx
xx
xx x x
xx
++ − =
++ + −− =
−++ −+=
++ −+ + − =
−= − +
−+ −=
++ −=
+− =
−+−+ −
=
−− +

()()
() ()
()() ()
−− −
=−
−+ −
⎡⎤
−= −−−
⎣⎦
+−− −− −=−
+−+−=−++ −
++ − = + + −
−+ − − = + ++ −+
++−=

+=
22
33
33
4
23
4
32
44
4
22 2 2
33
sin cos
75
10. 6
75
1
:6 7 5
2
11.121211
12. 1 1 1 1
13. 8 1 3 5 7 4 2 2
14. 2 1 3 2 2 2 3 2
15. 7 2 3
16.81 81 30
xx
xx
x
xx
HD x x x

xxxx xx
xxx x xx xx
xx x x
xxx xxxx
tgx tgx

Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
Tác giả: Huỳnh Thanh Ln Trang 7
+=
+− + − =
⎛⎞⎛ ⎞
−−
+=
⎜⎟⎜ ⎟
++
⎝⎠⎝ ⎠
⎛⎞
⎛⎞⎛⎞
−+ −
−+
⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
+−
−
⎝⎠⎝⎠
⎝⎠
33
3
22
22

22
2
2
17. sin cos 4
18.sin 2 sin sin 2 sin 3
55
19. 6
11
22 4
20.20 5 48 0
11
1
xx
xxxx
xx
xx
xx
xx x
xx
x
=

Dạng 3: Chuyển theo phương trình ẩn phụ và xem ẩn ban đầu là tham số.
()()()()
()
()
()()( )( )
()
2
33

22
2
22
22
2
2
2
22
1. 3 log 2 4 2 log 2 16
2. 4 1 1 2 2 1
3.41 1 3 21 1
4.2 1 21 21
5.1 2 3 1 2 1
6.45610123
7. 12 1 36
8. sin sin sin cos 1
9.4 3 4 sin 2cos
2
xxxx
xx xx
xx xx
xxxxx
xx x x
xxx x x
xx x
xx xx
xy
xx xy
+++++=
−+=++

+−= + ++ −
−+−=−−
+− = −− +
+++ +=
++ +=
++ + =
+
⎛⎞
−++
⎜⎟
⎝⎠
()
2
13 4cos
11 1
10.2 1 3 0
x
y
x
xx
xx x
⎡⎤
=
++
⎢⎥
⎣⎦
−
+−−−−=

Dạng 4: Chuyển về hệ phương trình gồm ẩn phụ và ẩn chính.

Dạng này hay dùng đối với phương trình chứa hai hàm số ngược nhau.
()
n
n
ax b px q x
α
βγ
+= +++
Loại 1:
()
−+=
++=
=− −
++=−++− <<
3
3
2
2
2
22
1, 3 3 2 2
2, 1 1
3, 5 5
111
4, 2 ;0
16 16 4
xx
xx
xx
xax aax a

⎧
=− + + −
⎪
⎪
=+ +→
⎨
⎪
=− ± + −
⎪
⎩
2
2
2
1
1
16
:2
16
1
16
yaax
HD y x ax
xaay

Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
Tác giả: Huỳnh Thanh Ln Trang 8
()
++ =
++=

=− −
++=
2
2
2
2
5,3 3
6, 5 5
7,
8,
x
x
xx
x
ababx
xxaa

9,
2
29 12 61
3
636
x
xx
+
+− =

22
29 12 61
3 18 6 29 12 61

636
x
xx x x x
+
+− = ⇔ + − = +

Vì =>
2
() 18 6 29fx x x=+−
(
)
'( ) 6 6 1
=
+→fx x Đặt 12 61 6 1xy
+
=+
10,
2
2004 1 16032 2004xx x−− + =

(Thi chọn HSG Bắc Giang năm học 2003 – 2004).
Xét hàm số f(x) = x
2
– x – 2004 => f’(x) = 2x – 1. Đặt
2
1
,12160321
≥−=+ ttx

Ta có hệ PT sau:

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−
=−
txx
xtt
4008
4008
2
2
11,
3
2
3
63 3 9
3
832 4
x
xx−=− +
x

3
23
3
3
63 3 9 2 9
32463

832 4 3 2
x
xxxxxx−=− + ⇔ −= − +
2
3x

Xét hàm số f(x) =
() ()
32 2
29 9
3'26''
32 2
xx xfxxx fx x−+⇒ =−+⇒ =−
46

Đặt
3
24 63 2 3xy−=−
12,( Toán học và Tuổi trẻ Tháng 6 năm 2001) Giải PT sau:

2
3
4
2881
23
3
−+−=− xxxx

Xét hàm số f(x) =
2

3
4
2
23
−+− xxx
=> f’(x) = 3x
2
– 4x + 4/3
=> f’’(x) = 6x – 4. Đặt
23881
3
−=− yx

13)
22
2
+−= xx
14) 534
2
+=−− xxx
15)
3
3
2332 −=+ xx
16) 513413
2
−+−=+ xxx
17) 541
2
++=+ xxx

18)
xx
x
77
28
94
2
+=
+

19)
2
953 23
x
xx−= + +

Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
Các phương trình kể trên là các phương trình đối xứng, tuy nhiên hai ví dụ sau
cũng cần nghiên cứu.
()
2
2
20,4 3 1 5 13
23 31
xx x
xx
+++=
⇔−=−+++
4x

Đặt
()
()
2
2
23 2
3123
23 31
xyx
xy
yx
⎧
1
−
=++
⎪
−+=−→
⎨
−=+
⎪
⎩

()
32
3
3
3
21,8 53 36 3 5 5
23 35 2
xxx x

xxx
+= + −+
⇔−= −+−

Đặt
()
()
3
3
3
23 2
3523
23 35
xyx
xy
yx
⎧
−=+−
⎪
−= −→
⎨
−=−
⎪
⎩
5

Loại 2:
(
)
log

x
a
abpxqcx
αβ
+
=++d+

PP: Đặt:
(
)
log
a
px q y
α
β
+= +

()
()
()
2
3
7
3
2sin
4
22,7 2log 6 1 1
23,3 1 log 1 2
11
24, cos2 log 3cos2 1

22
x
x
x
x
xx
xx
=++
=+ + +
⎛⎞
+= + −
⎜⎟
⎝⎠

§. PHƯƠNG PHÁP “MÒ” NGHIỆM
22
3
1
1, 3 1 2
1
xx xx
x
++ ++ + = +
+

VT đồng biến, VP nghòch biến
⇒ có không quá một nghiệm.
“Mò” là một nghiệm.
0x =
()

1
2, 3 2 2
x
x−
−=
Lập bảng biến thiên
⇒có không quá hai nghiệm.
“Mò” là nghiệm.
2, 4xx==
()()
()()
()()
()()
(
)
(
)
()()
1
3,
xaxb xbxc xcxa
cc a c b aa b a c bb c b a x
−− −− −−
++
−− −− −−
=

Trong đó a, b, c là ba số khác nhau và khác không.
Pt bậc 3 nên có không quá 3 nghiệm.
“Mò” có ba nghiệm a, b, c.

()( )( )
(
)
23 3
22 2 2
4, 1 1aaxx aa xx−−+=−+−
2

Xét TH đặc biệt
TQ: Pt bậc 6 nên có không quá 6 nghiệm.
Tác giả: Huỳnh Thanh Ln Trang 9
Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
NX: Nếu
0
x
là nghiệm thì
0
0
1
&1
x
x
−
cũng là nghiệm, do đó
00
0
111
,1 ,
1
1

1
xx
x
−
−
−
cũng
là nghiệm. Dễ thấy a là một nghiệm.
2
32
4
5,2 7 2 7 35
6, 3 8 40 8 4 4 0
xxx x x
xxx x
++++ +<
−−+− +=

Mò được nghiệm nên ta sẽ phân tích ra thừa số chung
()
.
3x = 3x−
32
4
32
4
3840
44
8
3840

244
8
xxx
x
xxx
x
−−+
⇔=+
−−+
⇔−=
2
+−

53
22
35
4
32
7, 1 3 4 0
8, 15 3 2 8
9, 1 5 7 7 5 13 7 8
111
10,5 4 3 2 2 5 7 17
236
xxxx
xxx
xx x
xxx
xx x x
xxx

+−−+=
+=−+ +
++ − + −+ − <
+++= ++− + −+

§. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
Phương pháp này hay dùng trong phương trình có nhiều ẩn, có nhiều loại hàm
số, biểu thức phức tạp.
22
22
22
tan tan
1, sin sin
1tan tan
+
=+
++
xy
x
y
xy

Đặt
22
tan , tan , 0==⇒axbyab≥
Trở thành:
111
+
=+
++ + +

ab a b
ab a b

Ta có:
11
1111
11
⎧
≤
⎪
⎪
++ +
⇒+≤+
⎨
++ ++ + +
⎪
≤
⎪
++ +
⎩
aa
aba
ab a
bb
ab ab a b
ab b
b

(
)

(
)
(
)
()
222
2, 5 2 6 2 5 2 4++ ++ +=++
x
yz y zx z xy x y z

Xét 2 vector
(
)
(
)
222
5; 6; 5 , 2 ; 2 ; 2==++
GG
abxyzyzxz+xy
Khi đó,
.; .==
G
GG
VT a b VP a b
G

36 4
3, 28 4 2 1
21
+=−−−

−−
−
x
y
xy

Dùng CauChy.
Tác giả: Huỳnh Thanh Ln Trang 10
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 11
2
4
44
2
4
4; 1 1 1 3
*) 1 1
−+−++=
−≤
xxx
x

44
11 11
11
11 11
22
*) 1 1 2
22 2 2
+

−++
++
+− ++
−+ +≤ + ≤ + =
xx
xx
xx

2
4
44 44
0
1113111
111
0
=
⎧
⎪
⇒−+−++=⇔ −=+=⇔=
⎨
⎪
−= +=
⎩
x
xxx xxx
xx

(
)
()

()
44 22 2
22 22
22
22
22
2
2
5;tan tan 2cot .cot 3 sin
2tan .tan 2cot .cot 4tan .tan .cot .cot 4
314
tan tan
tan tan
tan tan
1
tan .tan cot .cot tan .tan
tan .tan
sin 1
sin 1
++ =+ +
≥+≥ =
≤+=
⎧
=
=
⎧
=
⎪
⎪
⎪

→=⇔=⇔
⎨⎨
⎪⎪
+=
⎩
⎪
+=
⎩
xy xy xy
VT x y x y x y x y
VP
xy
xy
xy
xy xy xy
xy
xy
xy
()
()
()
22
2
2
2
2
tan .tan 1
sin 1
42
tan 1

42
tan 1 , )
42
2
cos 0
42
2
(b»ng c¸ch rót theo
ππ
ππ
ππ
ππ
π
π
⎧
⎪
=
⎨
⎪
+=
⎩
⎧
=+
⎪
⎧
⎧
=
⎪
=+
⎪

⎪
⎪⎪
⇔=⇔=+⇔
⎨⎨⎨
⎪⎪⎪
=+ −
+=
⎩
⎪
⎪
⎩
+= +
⎪
⎩
xy
xy
xk
x
xk
yyl l
ymk
xy
xy m
mk

()()
[
]
()()
()

2
2
2
6; 4 6 2 , 4;6
:1 6
:6,
46
*) 4 6 5
2
*) 2 1 1 5
T×m m ®Ó
§kc
§k®
+−≤−+∀∈−
=→ ≥
≥
++−
+−≤ =
−+=−+−≥
xxxxmx
xm
gs m
xx
xx
xxmx m

Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 12
()
()

()
()
()
()()
2
22
2
2
2
2
22
7; 2 4 6 11
*) 2 4 1 1 2 4 2
*) 6 11 3 2 2
8; 1 3 2 3 2 2
*) 1 3 1 1 1 3
13
9;sin 2sin2 sin3 2 2
*)sin 2sin2 sin3 2cos2 .sin 2sin2

−+ −= − +
−+ −≤ + −+− =
−+=− +≥
−+−≥ − + −
⎡⎤
−+−≤ + − + −
⎣⎦
⇒−=−
−−=
−−=− −

xxxx
xx xx
xx x
xx x x
xx x x
xx
xxx
xxx xxx
()()
()
22
2
0
2
2cos2 2sin2 sin 1 2 2
2cos2 2sin2
sin 1
sin 1

⎡⎤
≤− +− +≤
⎣⎦
−−
⎧
=
⎪
→→
⎨
⎪
=

⎩
xxx
xx
vn
x
x

28
0
84
42
3
10, 2
8
2
*) :
2
1
*)2
8
1
*)
4
xx
Nn x
xx
xx
=+
=±
+≥

+≥

() ()
2
2
2
11, 4 5 2 2 3
*) 4 5 2 2 3 3 3 1 1 0 1
xx x
xx x x x x
++= +
++= +≤ ++⇔+≤⇔=−

2
0
22
15
12,8
2
1
*) :
4
1 111111115
*)8 8
4444
x
x
Nn x
xx
x xxxx

+=
=
+=++++≥
2

()()
22
22 42
4
4
4
13, 4 9 4 9 6
*) 2 4 9 4 9 2 2 81 2 81 6
xx xx
VT x x x x x x
−++ ++=
≥−+++=++≥
=

Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 13
()
()
()
2
3
42 2
3
222
3

14, 25 2 9 4
25 2 9 4 3
55 9
*)
3
xx x
x
xx x
xxx
VT VP
+=+
⇔+=+
+++
≤=

()
22
15, 9
1
11
*) 2 2 1 8 1
11
11
xx
x
xx
VT x x VP
xx
xx
+=+

+
⎛⎞
=++≤+++
⎜⎟
++
++
⎝⎠
=

()
()( )
()( )
()( )
()( )()( )
22 2 2
22 2 2 2 2 2 2
22
22 22
1
16, 3 1 1 7 4
22
*) 1 1 3 1 1 2 5
225
11
*) 2 2 5 2 5
2
22
xxxxx xx
VT x x xxx x xx
xxx

VP x x x x x x
−+ − − += −+
≤ ++ −+−++= + −
⎡⎤
++ −
⎣⎦
=≥+−=
+−

() () ()()
[]
22
2
2
22
22
17, 2 5 6 10 5
*) 1 2 3 1 1 3 2 1 5
*)
xx xx
VT x x x x
abab
−+− −+=
⎡⎤
=−+−−+≤ −−−+−=
⎣⎦
−≤−
GGGG

(

)
()
()()
23
22
2
2
18, 3 1 5 2 40 34 10
*) 3 1 1 5 2
*) . .
xx x x x x
VT x x x VP
ab a b
−−+−=−+−
⎡⎤
⎡⎤
≤−+ −+− =
⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦
≤
GG G G

()
22
135135
19,
80
*) 1 6
xxx yyy

xyx y
pt x y
⎧
++ ++ += −+ −+ −
⎪
⎨
++ + =
⎪
⎩
⇔=−

42
22
697
20,
81
344
xy
xyxyxy
⎧
+=
⎪
⎨
⎪
++−−+=
⎩
0

Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
*) Xét phương trình hai. Nếu xem là phương trình ẩn x thì ta được

7
0
3
y
≤
≤
, còn
ngược lại nếu xem là phương trình ẩn y thì ta lại được
4
0
3
x
≤
≤

*)
42
42
47
33
xy V
⎛⎞ ⎛⎞
+≤ + =
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
P

§. LƯNG LIÊN HP.
()
(

)
(
)
(
)
(
)
()
()
22
2
2
2
2
2
22 2
2
22
22
2
2
2
2
2
22
1, 3 2 1 3
3
21
3
3

211 1
3
211211 21
3
2211
3
2, 3 1 3 3 2 3
323
3
31
323
32 2
31
1
3
323
:3
31
αβ α
++=++
++
⇔+=
+
++
⇔+−= −
+
⇔+− ++= ++
+
⇔= ++
+

++=++
++
⇔+=
+
⎧
++
+− = −
⎪
⎪
+
⇔
⎨
⎪
>−
⎪
⎩
++
+− + = − +
+
xxxx
xx
x
x
xx
x
x
x
xx x
x
x

xx
x
xx xx
xx
x
x
xx
xx x
x
x
xx
Px x x
x
()
β
1

()
()
()
22
2
22
3; 3 2 3 4
4; 1 8 4
5; 2 1 3 3 2
420
6; 3
33
+++=+

++=++
++=++
−=−−
xxxxx
xxxx
xx xx
xx
+
x

()
22
7; 3 1 2 3 3 2+++=+xxx xx+

Tác giả: Huỳnh Thanh Ln Trang 14
Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
Tác giả: Huỳnh Thanh Ln Trang 15
2
2
1
8; 2 3 1
23
17
9; 3 5
22
−
−+=
−
+= − +
x

xx
x
xx
x

§. HOÁN ĐỔI VAI TRÒ CỦA ẨN SỐ VÀ THAM SỐ.
() ( )
() ()
()
43 2 2
32 2
1; 10 2 1 2 5 6 2 0
2; 4 3 4 2 4 1 0
xxax axaa
xaxaaxa
−−−+ +++=
−+ + +− −=

§. THAM SỐ HÓA CHO PHƯƠNG TRÌNH
PP tham số hóa cho một phương trình là đưa vào phương trình một tham số
nào đó. Có hai dạng chính sau:
Dạng 1: Chọn một hằng số phù hợp và tham số hóa nó, sau đó hoán đổi
vai trò của ẩn số và tham số để giải.
3
3
3
3
68 15
1,
217 17 2

x
xx
x
xx
+=
−
⇔+ =

Chọn
17
làm tham số. Khi đó ta xét phương trình sau:
2
2
32262
4
3
2
22
220
2
mx
mm
xxmmxx
x
xx
m
x
⎡
=−
−

⎢
+= ⇔ −−−=⇔
+
⎢
=
⎢
⎣

Do đó phương trình đã cho tương đương với
2
4
2
17
2
17
x
x
x
⎡
−=
⎢
+
⎢
=
⎢
⎣

()
43 2
2

2, 2 15 25 0
3, 11 11 11 11
xx x x
xx x
+− − +=
++=⇔−=+
x

Dạng 2: Mượn tham số trong đònh lý Lagrange.
33
33
33
log 7 log
5
3
log log
3
log log
33
4, 2 log
725log
77log22log
x
xx
xx
xx
x
xx
=+
⇔=+

⇔− =−

Gs số dương
α
nào đó là nghiệm của phương trình đã cho. Khi đó ta có
33
log log
33
77log22log
αα
α
α
−=−
Xét hàm số
(
)
3
log
3
lo
g
ft t t
α
α
=−
. Vì
(
)
ft
có đạo hàm trên

[
nên theo đònh lý
Lagrange ta có:
]
2;7
()()
(
)
(
)
72
2;7 : '
72
ff
mfm
−
∃∈ =
−

Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT

(
)
3
3
log 1
33
3
log 1
' 0 log . log 0

log 0
1
3
10
fm m
m
α
α
αα
α
α
α
−
−
⇒=⇔ −
=
⎡
=
⎡
⇔⇔
⎢
⎢
=
−=
⎣
⎣
=

Thử lại ta có tập nghiệm của pt đã cho là
{

}
1;3S =

(
)
()
cot cot cot cot cot cot
cot
5,71112cot7113117cot73.7cot113.11cot
3cot
11 5 4
6,
23 14 21
xx xx x x
xx
xx
xxx
ft t t
α
α
− = ⇔− =− ⇔+ = +
→=+
⎛⎞⎛⎞
−= −
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
x

()
() ( )

32
55 5
55 5
555
55 5
5
5
77
log log log 7
log log log
log log log log
log log log log
log
log
log 11 log
151
2147
:
141
3217
1
7
7,2 2
84 7
8457
8574
3
8, 3 2
xx
xx x

5
5
x
xxx
x
xx
x
NX
ft t t
xx
x
ft t t
xx
α
α
α
α
⎧
=+
⎪
⎪
⎨
⎪
=+
⎪
⎩
⎛⎞
→=+−
⎜⎟
⎝⎠

+=+
⇔+=+
⇔+=+
⇔−=−
→=+ −
+=
x

§. PHÂN TÍCH HP LÝ.
2
2
2
1217
1,
24
1
12171113111
12 2
24 24 24
1
++=
−
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞
⇔ − =− − + =− − + =− − +
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
−
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
xx
x
xx x x x x

x
3

Ta ph©n tÝch sao ®Ĩ tam thøc bËc hai cã n
g
hiƯm ®Ỉc biƯt.

()
111113
2
24
1
22
2
24
11 1
−−
⎛⎞⎛⎞
⇔=−−+
⎜⎟⎜⎟
−
⎝⎠⎝⎠
−−
⎛⎞
⇔=−
⎜⎟
⎝⎠
−+−
x
xx

x
xx
xx
xx
13
+

Tác giả: Huỳnh Thanh Ln Trang 16
Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
Tác giả: Huỳnh Thanh Ln Trang 17
()
(
)
22
2
22
2
22 2
2
22
11
2, 2
42
1
1311
1
422 2
1
333
2

1
212
41
4
++
+= +
+
+
⎛⎞
⎛⎞
⎛⎞
++
⇔−+−=−
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
+
+
⎝⎠
⎝⎠
⎝⎠
−−−
⇔+=
⎛⎞
++
1
+
++
++

⎜⎟
⎜⎟
+
⎝⎠
xx x
x
x
xx x
x
x
xx x
xx
xx
x
x

()()
()
() ()
3
32
3
3
0
3; 3 3 1 1 0
131 3
13

−++−+=
−+ + +⎡⎤

=⇒=−
⎢⎥
−−
⎣⎦
xx axa
aa a
cn x
1
3

(
)
(
)
()
() ()()()
()()()
()
2
32
3
23
32
23
332
3
3
4; 3 3 1 1 0
13 131 10
3131 1

10
gÇn gièng cđa khai triĨn
−++−+=
−
→+ − ++ + −+ =
⎡⎤
→+− +++ −+ =
⎣⎦
→+−+ =
⎡⎤
⎣⎦
xx axa
ab
axxa a xa
axxxa a xa
ax x a
0

852
5; 1 0−+−+=xxxx

Không nhẩm nghiệm vì bậc quá cao và nghiệm hữu tỷ của pt chỉ có thể là 1
±
. Ta
sẽ phân tích thành tổng các bình phương.
2
85 4
2
22
2

852 4
*)
2
*) 1 1
2
11
22
⎛⎞
−→ −
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
−+→ −
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞⎛⎞
→−+−+= − + − +
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
x
xx x
x
x
2
x
xx
xxxx x

6;cos 3 3sin cos7
cos cos7 3 3sin 0

2sin4 .sin3 3 3sin 0
−=
⇔− − =
⇔−
xxx
xx x
xx x
=

()
2
2sin4 .sin 3 4sin 3 3sin 0⇔−−xx x x=

Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
Tác giả: Huỳnh Thanh Ln Trang 18
()
sin 0
2sin4 4sin4 .cos2 3 3 *
=
⎡
⇔
⎢
+=
⎢
⎣
x
xxx

()
22 2 2

2
2
22
22
33
*sin2.cos2sin4.cos2
4
cos 2 sin 4 cos 2 1 4sin 2
114cos214sin2253
.4cos 2 1 4sin 2 .
442164
Ta cã:
⇔+=
⎡⎤
+= +
⎣⎦
⎛⎞
⎛⎞
++
⎡⎤
=+≤ =<→
⎜⎟
⎜⎟
⎣⎦
⎝⎠
⎝⎠
o
xx xx
xx x x
xx

3
x
xptvn

()
()
()
()
()
()
() ()
()
() ()
cos cos
2
7; 1 cos 2 4 3.4
cos , 1 1
3.4
1243.4 1 0
24
3.4 6.ln4.4
1' 1
24
24
'0 0
1
0; 1;
2
§Ỉt
§Ỉt

cã kh«ng qu¸ hai nghiƯm nªn cã kh«ng qu¸ ba nghiƯm.
t lμ ba nghiƯm.
++=
=−≤≤
→+ + = ⇔ −+=
+
=−+→= −
+
+
==
===
xx
t
tt
t
tt
t
t
x
txt
tt
ft t f t
ft ft
tt

11
12 2
8;
1
2122

2
2
−−
−
+≤
−+
+
1−
x
xx
x
a

a) Giải khi
4a =
b) Tìm a để bpt có ít nhất hai nghiệm trong đó có một nghiệm nhỏ hơn
1, một nghiệm lớn hơn 1.
()
()()
()
()()
()()
()()
1111 1
1
2
11
11
11
11 11

2
11
11
12 2 2 2 2
1
2122 21 22
21
2
2
22
22
22
2121 2121
2121
2121
−−−− −
−
−
−−
−−
−−
−− −−
−−
−−
+≤ ⇔+ ≤
−+ + +
−
+
+
+

⇔≤⇔≤
+
+− +−
⎡⎤
++ −
⎣⎦
⇔≤
+−
1−
x
xx x x
x
x
xx
xx
xx
xx xx
xx
xx
aa
a
a
a
x

(
)
(
)
()()

2
11
11
2121
)4
2121

−−
−−
⎡⎤
++ −
⎣⎦
=→ ≤
+−
xx
xx
aa
4

Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 19
(
)
1
:2 1 0 1 0 lu«n ®ón
g
.
−
−<⇔<→ <→
x

TH x VT

()
()
2
1
:2 1 0 1 4 4, 0
−
⎡
⎤
+
−>⇔>→ ≥= ≥∀>
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
x
ab
TH x VT VP ab
ab

)1§kc: ®Ó cã mét nghiÖm
§k®: Khi th× bpt tháa yc bt.
>→≥bx4a

log log 3
22
3

22 33
2
2
22
22
2
23
33
2
2
2
9;log log log log
1
23log
log log
2
log log
log log
2
23
2
log 3
32
2
§k
§Æt
=
>
⎧
⎧

=
=
=
⎧
⎪⎪
=→ →→
⎨⎨⎨
=
=
=
⎩
⎪
⎪
⎩
⎩
⎧
⎛⎞
=
⎪
⎜⎟
→→=
⎝⎠
⎨
⎪
=
⎩
t
t
tt
t

tt
t
xx
x
xt
x
tx
xt
x
x
x
3

()
()
235235
52 3 235
5
2
23 2323
23
3
2
10;log log log log .log .log
0
log log 5 log 5 1 log .log .log
log 0
log 5 log 5 1 log .log log 3 log
1
log 5 log 5 1

log
log 3
§k:
++=
>
→++=
=
⎡
→
⎢
++= =
⎢
⎣
=
⎡
⎢
→
++
⎢
=±
⎢
⎣
xxxxxx
x
xx
x
xx
x
xx
x

x

()
()
()
()
()()
()
234 432
2
434 432
2
34 32
2
34 3 4 3 34
2
34 34 3
3
34 34
11;log log log log log log
4
log log log log log log
log log log log
log log log 2log log 2 log log
log log log log log 2 0
114log2
log log , 4 log log
2
§k:
l−u ý ®k

=
>
→=
⇔=
⇔= =+
⇔−−=
++
⇔= >→
xx
x
xx
xx
xx x
xx
xx
()
0>x

Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
Tác giả: Huỳnh Thanh Ln Trang 20
()
()
1
1
log
log 1
log log
12; 1 2
1.§k:
L−u ý:

+
+
−
+− ≤
>
=
x
x
bb
x
x
ca
xx
x
ac

()
()
()
2
log 4
2
2
222
13; 8
0
log 4 .log log 8
§k:
LÊy logrit c¬ sè 2 hai vÕ
≥

>
→≥
x
xx
x
x
xx

(
)
(
)
(
)
()
() ()
23 4 5
22 4
33 5
24
35
14;log log 1 log 2 log 3
0
22
1loglog log
24 2 4 4
*) 2
13 1 3
1log log log
35 3 5 5

log log 2
log 1 log 3
*) 2
*) 2
§k:

lμ n
++=+++
>
++
⎧⎧
>> > >
⎪⎪
⎪⎪
>→ →
⎨⎨
++ + + +
⎪⎪
>> > >
⎪⎪
⎩⎩
>+⎧
⎪
→
⎨
+> +
⎪
⎩
<
=

o
xx x x
x
xx x x x
x
xx x x x
xx
xx
xtt
x
2
3
+

()
() ()
()( ) ( ) ()
2
2
2
2
2
22
22
22
21
15;2 6 2 log
1
1
1

2
262log21log 1
21 211log21log 1
§k:
+
−+=
−
−<≠
→−+= +− −
⇔−−++= +− −
x
xx
x
x
xx x x
xx x x

()( ) ( ) ()
() () ( ) ( )
()( ) ()
22
22
22
22
2
2
21 21log21log21
21log21 21log21
21 21, log v× hμm sè t ®ång biÕn.
⇔−−+= +− −

⎡⎤
⇔−+ −=++ +
⎡
⎤
⎣
⎦
⎣⎦
⇔−=+ =+
xx x x
xxxx
xx ftt

§. MỘT SỐ BÀI VỀ HỆ ĐỐI XỨNG, ĐẲNG CẤP.
2
1
1;
222 1
xem z lμ tham sè.
++=
⎧
⎨
+− +=
⎩
xyz
xyxyz

Trng THPT chuyờn Hựng Vng Gia Lai Bi ging chuyờn PT-BPT-HPT-HBPT
Tỏc gi: Hunh Thanh Luõn Trang 21
()
3

1
22
2222
22
3
3333
22
0
3
2;
4
1
8
3
4
31
2
4; 5;
3
31
4
2
5
6; 7;
252
2
, đây l hệ đối xứng ba ẩn cơ bản
3;

++=



++=



=



++ =

+
=+


=+


++=

=+



+
=+
++=

+=



=


xyz
xy yz zx
xyz
xza
xxy
yyx
xyza
xxy
yyx
xyza
xxyy
xx y y
yx
xy xy
()
22
231
+

+ =


xy
xy xy

Đ. PHệễNG PHAP THAM BIEN
()
()
()
()
()
2
22 22
0
22
22
1,
11,0
1;
11
11
2
01
3
1 4 31 1 4 31
2
22
,;0

3
1 4 31 1 4 31
22
Đkcn
Hệ có nghiệm:
+=

+ +=




++= ++=
=



+

+

==

+


+
==

xy aa
xy xy aa
xyxy xyxy
xy a
a
aaaa
xx
a
aaaa
yy
1

()
()
22 22
22 22
2
22
2
11
2; , 0, 0
44
44
22
3
,0,0 ,0,0
22
222
2
3

3
0, 0
10
22 0
2
20
22
0
3
Đkcn

++ +=++



+ += +


+


+=
+=+




++
+
=

=










+



++




o
x y xy x y xy a
ab
x y xy x y xy b
ab
xy
xy a b
ab ab
ab

ab
xy
xy
ab
b
a
ab
b
ab


Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
3; Tìm gtnn, gtln của
(
)
22
,
=
+−Pxy x y xy
, biết x, y thỏa:
22
2
3
+≤
⎧
⎨
++=
⎩
xy
xyxy

Ta viết lại điều kiện:
()
2
22
2
2
,0
3
23
+=−
⎧
+=−
⎧
⎪
≥⇔
⎨⎨
++=
=
−−
⎪
⎩
⎩
xy a
xy a
a
xyxy
xy a


(

)
() ( )
()
()
2
,04
,922
03
,9, 2
3
3
21
min , 1, 0
11
§k
Khi ®ã:


∃→≤≤
=− −
⎧
+= =
⎧
⎪
==→ →
⎨⎨
=−
=
−
⎩

⎪
⎩
+= =
⎧⎧
==→ →
⎨⎨
==
⎩⎩
xy a
Pxy a
xy x
maxP x y khi a
xy
y
xy x
Pxy khia
xy y

§. HỆ BẬC HAI TỔNG QUÁT.
Sau đây ta sẽ trình bày một pp tổng quát để giải hệ bậc hai tổng quát.
Ta dựa vào nhận xét rằng: Nghiệm của hệ bất kỳ được chia làm hai nhóm:
(
)
0; y
và
(
)
;,≠xtx x 0
1
.

()
22
22
22
1;
21
xyxy
xy xy
⎧
++−=
⎪
⎨
++ +=
⎪
⎩

*) Ta tìm nghiệm dạng:
()
.
0; y
Ta có: Tức hệ không có nghiệm dạng
2
2
22
211
o
yy
vn
yy
⎧

−=
⎪
→
⎨
+=
⎪
⎩
(
)
0; y
.
*) Ta tìm nghiệm dạng
()
;, 0xtx x
≠
:
Ta có,
()
()
()
()
22
22
112
121
tx tx
tx tx
⎧
++−=
⎪

⎨
+++=
⎪
⎩
2
11
Ta xem là hệ tuyến tính theo hai ẩn
2
x
và
x
.
()
()
()
2
2
2
14
91
26 7
x
x
Dtt
Dt
Dt
=+ +
=+
=−
1

1
*)
4
t =−
hệ vô nghiệm, điều đó có nghóa là hệ đã cho không có nghiệm dạng
1
;
4
x
x
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠

()
()
()
()
2
2
22
2
19 267 2679
*) ;
44
441 41
141141
23

t
tt
txx
tt
t
tt tt
=
⎡
−−
⎛⎞
⎢
≠− → = = ⇒ = ⇔
⎜⎟
⎢
++
=−
++ ++
⎝⎠
⎣

Tác giả: Huỳnh Thanh Ln Trang 22
Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
Đến đây ta hiểu rằng hệ đã cho chỉ có nghiệm dạng
()
44
;2 ; 0
23
vμ víi ab mμ th«i.aa b b
⎛⎞
−≠

⎜⎟
⎝⎠

23
9
1
44
17
2;
4.2 1
44
23
22
17
x
x
tt
yx
y
−
⎧
=
⎧
⎪
==
⎪⎪
=→ =− →
+
⎨⎨
⎪⎪

==
=
⎩
⎪
⎩

22
22
42 3
2;
21
xy xy
xxyyxy
⎧
+−+ =−
⎪
⎨
−++− =
⎪
⎩
2

3; Chứng minh rằng
(
)
21 3
1;
3
m
⎡⎤

+
⎢
∀∈−
⎢⎥
⎣⎦
⎥
thì hệ sau luôn có nghiệm:
22
2
1xyxy
x
xy x y m
⎧
++≤
⎪
⎨
+
++=
⎪
⎩

*) Ta tìm xem khi nào thì hệ có nghiệm dạng:
(
)
0; y
.
Ta có: . Tức với
2
2
1

11
y
m
ym
⎧
≤
⇒≤⇔−≤≤
⎨
=
⎩
1m
11m
−
≤≤
thì hệ có nghiệm (cụ thể là
).
()
0;m
*) Ta tìm xem khi nào hệ có nghiệm dạng:
(
)
;
x
x
.
Ta có:
()
2
2
2

11
31
3
22
22 *
x
x
xxm
xxm
⎧
−≤≤
⎧
≤
⎪⎪
⇔
⎨⎨
+=
⎪
⎩
⎪
+=
⎩
3
Ta cần tìm m để pt (*) có nghiệm trong đoạn
11
;
33
⎡⎤
−
⎢⎥

⎣⎦
.
Dùng khảo sát hàm số ta sẽ có:
(
)
21 3
1
23
m
+
−≤ ≤
. Tức với
(
)
21 3
1
23
m
+
−≤ ≤
thì
hệ đã cho có nghiệm dạng
()
;
x
x
.
Từ các kết quả trên ta có đpcm.
4; Đònh m để hệ có nghiệm.
22

2
2
22
2
x
xy y x m
xxyxm
⎧
−
+−≤
⎪
⎨
−
−≤−
⎪
⎩

Ta có:

()()
()()
22 22
2 2
22
222
22
222 222
22 2223
2213
⎧

⎧
−+ −≤ −+ −≤
⎪
⎪
⎪⎪
⇔−−+≤ ⇔−−+≤
⎨⎨
⎪⎪
−+ −+ − −+≤
−+−≤
⎪
⎪
⎩
⎩
xxyyxm xxyyxm
xxyx m xxyx m
xxyyx x xyx m
x
yx m

Nếu hệ vô nghiệm.
0m <
Nếu , ta thấy (3) luôn đúng với mọi tại
0m ≥ 0m ≥
1
1;
2
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

.
Thử lại cụ thể ta thấy
1
1;
2
⎛
⎜
⎝⎠
⎞
⎟
là một nghiệm của hệ đã cho khi .
0m ≥
Tác giả: Huỳnh Thanh Ln Trang 23
Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
Vậy hệ đã cho có nghiệm khi .
0m ≥
§. HỆ CHỨA CĂN THỨC.
()
(
)
()()
()()
()()
55
5
1;
558
55
5513
55

3
55
xxyy
xy
xy
xxyy
xxyy
xxyy
⎧
++ + ++ =
⎧
+=
⎪⎪
⇔
⎨⎨
++ +=
+− + +− =
⎪⎪
⎩
⎩
⎧
++ + ++ =
⎪
⎪
⇔
⎨
+=
⎪
++ ++
⎪

⎩
13
3

()()
()
12
2;
21
1, 2
12
11220
§K:
Nh©n l−ỵng liªn hỵp ®Ĩ rót ®¹i l−ỵng chung lμ
xya
xy a
xy
xya
x
y
xy yx
⎧
++ − =
⎪
⎨
−+ +=
⎪
⎩
−≤ ≤
⎧

++ − =
⎪
−
⎨
+− + + − − − =
⎪
⎩

22
3;
21 317
⎧
++ + +=
⎪
⎨
++ +=
⎪
⎩
xy x y
xy
7

1
2
1
3
0
22
§K:
⎧

≥−
⎪
⎪
⎪
≥−
⎨
⎪
+≥
⎪
⎪
++≥
⎩
x
y
xy
xy
0

()( )( )
(
)
:22213++++= ++ +NX x y x y x y 1

21 317
21 31 2 2
21.31 . 2 2
21 317
21
31 22
21 317

21 2 2
31
B×nh ph−¬ng hai vÕ:
xy
xyxyxy
xy xyxy
xy
xxy
yxy
xy
xxy
yxy
⎧
++ +=
⎪
⎪
⇔+++=++++
⎨
⎪
++=+++
⎪
⎩
⎡
⎧
++ +=
⎢
⎪
⎪
⎢
+= +

⎨
⎢
⎪
+= + +
⎢
⎪
⎩
⎢
⇔
⎢
⎧
++ +=
⎢
⎪
⎪
⎢
+= + +
⎨
⎢
⎪
+= +
⎢
⎪
⎩
⎣

Tác giả: Huỳnh Thanh Ln Trang 24
Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
Tác giả: Huỳnh Thanh Ln Trang 25
() ( )

2
4;
1
1
0, 0.
*) 1,
*) 1,
*) 1, 0; ,0 1
X¸c ®Þnh ®Ĩ hƯ cã nghiƯm duy nhÊt.
§K:
hƯ v« nghiƯm.
hƯ cã nghiƯm duy nhÊt.
hƯ cã v« sè nghiƯm d¹ng
a
xya
yxa
xy
a
a
at
⎧
++ ≤
⎪
⎨
++ ≤
⎪
⎩
≥≥
<
=

>≤
ta
≤−

()
4
4
44
01 01
1
21
11
2
5;
22
1
21
2
11
11
22
2
21
xx
x
y
xy
xx
yy
x

xy
y
xx
xx
x
⎧
⎧
⎪
⎪
⎪
≤≤ ≤≤
⎪
⎪
⎧
−
=
⎪
⎪
⎪
⎧
+=
−−
⎪⎪⎪ ⎪
⇔⇔=⇔=
⎨⎨⎨ ⎨
−
+=
⎪
⎪⎪ ⎪
⎩

=
⎪⎪ ⎪
⎩
⎛⎞ ⎛
−−
−−
⎪⎪
=
⎜⎟ ⎜
=
⎜⎟
⎪⎪
⎜⎟
⎝⎠
⎩
+
⎪
⎝⎠
⎩
⎞
⎟

01 01
11
1
6;
11
21
2121
01 01

11
111
11;0
2121
yy
xx
xy y y
x
yyy xyy
xy y y
xyyy xyyy
yy
xx
yyxy
xx
yy
xy y y xy y y
≤≤ <≤
⎧⎧
⎪⎪
≥≥
⎧
+−≤
⎪⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨⎨
+−≤ +−≤
−− =−
⎪⎪⎪
⎩

⎪⎪
−− =− −− =−
⎩⎩
<≤ <≤
⎧⎧
⎪⎪
≥≥
⎪⎪
⎪⎪
−−⇔⇔⇔==
⎨⎨
+≤ = =
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
−− =− −− =−
⎩⎩
y

()
()
2
432 2 432 2
432
2
22
1
7; 2 1 1 2 1 1
21
11, gi¶i pt bËc 3 tỉng qu¸t.

xyy
yyy yy yyy yy
xy y y
yy yy
⎧
≤++
⎪
⇒+ ++≤ ++⇔ + ++≤ ++
⎨
−− −=
⎪
⎩
⇔++≤ ++

§. HỆ LẶP BA ẨN
(Hoán vò vòng quanh)
1. Đònh nghóa: Hệ lặp ba ẩn là hệ có dạng
()
()
()
x
fy
yfz
z
fx
=
⎧
⎪
=
⎨

⎪
=
⎩

()
∗
.Trong đó f là hàm số.
2. Phương pháp giải: Xét hệ lặp ba ẩn
()
∗
, với f là hàm số có tập xác đònh là D,
tập giá trò là T, T
D
⊆
, hàm số f đồng biến trên T.