cẩm nang ôn luyện thi đại học môn toán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI THƯƠNG






TRUNG TÂM LUYỆN THI ĐẠI HỌC


CẨM NANG PHƢƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TỐN
ƠN THI ĐẠI HỌC
PGS.TS LÊ ANH VŨ - TS.HUỲNH CƠNG THÁI
(GV ĐẠI HỌC QUỐC GIA TPHCM)

- NẮM VỮNG LÝ THUYẾT & CÁC DẠNG TOÁN
- CHUẨN BỊ CÁC KỸ THUẬT GIẢI ĐỀ THI ĐẠI HỌC









NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI – 2014

Trửụứng ẹaùi hoùc Ngoaùi thửụng - Trung taõm luyeọn thi ủaùi hoùc Hotline: 0989 88 1800

1
481/8 Trửụứng Chinh, P14, Taõn Bỡnh, TPHCM, www.ftu2.edu.vn
Truy cp: tham kho nhiu ti liu hn


TRNG I HC NGOI THNG

TRUNG TM LUYN THI I HC

THễNG BO CHIấU SINH CC KHI A, A1, B, C, D
LP LUYN THI CP TC
Khai ging ngy 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10 thỏng 06 nm 2014

Chỳng tụi t ho l trung tõm cú t l i hc cao nht Tp. HCM

Ni dung khúa hc
- Chỳ trng h thng húa kin thc, nhn mnh trng tõm, giỳp cho hc
sinh cú hc lc cha tt vn cú th im u i hc.
- ễn tp tng hp, gii thi mu
- Rốn luyn tõm lý trng thi , giỳp cỏc em vng vng tõm lý- t tin
vo chớnh minh khi bc vo phũng thi
- Rốn luyn phng phỏp gii bi tp trc nghim nhanh nht. Vi nhng
phng phỏp ny, cỏc em khi lm bi thi s bit ngay cỏch gii mt cỏch
nhanh v chớnh xỏc.
- Rốn luyn phng phỏp trỡnh by bi gii trong phn thi t lun t
im s ti u
- c bit cỏc thy s chia s trc tip trờn lp nhng bớ kớp sau bao nm
thỏng ging dy , nghiờn cu v ra thi.
õy l ni dung ging dy c bit duy nht ch cú ti trung tõm ca
chỳng tụi

i ng ging viờn luyn thi hng u Tp. HCM
Chỳng tụi t ho l trung tõm duy nht cú i ng ging viờn xut sc nht v tõm
huyt vi hc sinh:
- L nhng Ging viờn ang ging dy ti cỏc trng i hc uy tớn nht nc
- L cỏc Phú giỏo s, Tin s dy dn kinh nghim ging dy, ra thi v
chm thi hng nm
- L tỏc gi ca nhng b sỏch ụn luyn thi i hc bỏn chy nht nc
Trường Đại học Ngoại thương - Trung tâm luyện thi đại học Hotline: 0989 88 1800
2
481/8 Trường Chinh, P14, Tân Bình, TPHCM, www.ftu2.edu.vn
Truy cập: để tham khảo nhiều tài liệu hơn




DANH SÁCH ĐỘI NGŨ GIẢNG VIÊN
Mơn học
Giảng viên
Giảng viên
Đơn vị cơng tác
Mơn Tốn
PGS.TS Lê Anh Vũ
GV Đại học Sư pham & ĐH Kinh tế Luật
PGS.TS Võ Khắc Thường
GV Đại học Ngoại Thương
TS. Huỳnh Cơng Thái
GV Đại học Bách Khoa & Trường chun Lê
Hồng Phong
TS. Nguyễn Thái Sơn

GV Đại Học Sư Phạm
ThS. Trần Đức Hun
GV Trường chun Lê Hồng Phong
ThS. Nguyễn Anh Trường
GV Trường chun Lê Hồng Phong

Mơn Hóa
ThS. Bùi Văn Thơm
Chun viên Bộ Giáo Dục - GV T.T Trường
chun Lê Hồng Phong
ThS. Nguyễn Đình Độ
GV TT Trường chun Lê Hồng Phong
CN. Nguyễn Văn Phong
GV TT Trường chun Lê Hồng Phong
Mơn Lý

ThS. Trần Quang Phú
GV Đại Học Khoa Học Tự Nhiên
ThS. Vũ Thị Phát Minh
GV Đại Học Khoa Học Tự Nhiên
ThS. Hồ Văn Huyết
GV Trường chun Lê Hồng Phong
ThS. Trương Trường Sơn
GV Đại Học Sư Phạm
Mơn Sinh
Thầy Phan Kỳ Nam
GV. Trường Chun Lê Hồng Phong
Cơ Phạm Thu Hằng
GV T.T Đại học Ngoại Thương
Mơn Anh

Ths. Bạch Thanh minh
GV Đại Học Sư Phạm Tp. HCM
Ths. Đinh Xn Lan
GV Đại học Ngoại Thương
Mơn Văn
CN. Nguyễn Đức Hùng
Soạn giả
ThS. Nguyễn Tấn Phúc
GV Trường chun Lê Hồng Phong

ƢU ĐÃI LỚN KHI ĐĂNG KÝ TRƢỚC NGÀY 31/5/2014
- Giảm ngay 20% học phí tương đương 600.000đ ( 1 triệu đối với lớp đặc
biệt )
- Miễn phí ở ký túc xá đến hết kì thi đại học 2014
- Miễn phí đưa đón các em học sinh và phụ huynh từ bến xe, ga tàu về
trường
- Miễn phí tài liệu học tập cả 3 mơn học
- Được tặng bộ sách nỗi tiếng "Bí quyết phát hiện ra manh để tìm lời giải
Trường Đại học Ngoại thương - Trung tâm luyện thi đại học Hotline: 0989 88 1800
3
481/8 Trường Chinh, P14, Tân Bình, TPHCM, www.ftu2.edu.vn
Truy cập: để tham khảo nhiều tài liệu hơn


hay nhất trong đề thi đại học" của nhóm tác giả: PGS.TS Lê Anh Vũ, TS Huỳnh
Cơng Thái, TS Nguyễn Phúc Sơn trị giá 500.000 đ
- Tặng ngay tài khoản đọc sách online miễn phí 1 năm tại
trang docsachtructuyen.vn
- Miễn, giảm học phí cho các bạn HS có hồn cảnh khó khăn, con thương
binh liệt sĩ…

Sỉ số lớp: 30 học sinh/ lớp

HỌC PHÍ
1. Lớp thường: 1.500.000 đ/tháng/3 mơn
2. Lớp VIP: 3.000.000 đ/ tháng/ 3 mơn
3. Lớp đặc biệt: 5.000.000 đ/tháng/3 mơn
Còn chần chờ gì nữa mà khơng đăng ký ngay ? Lớp học chỉ có ≤ 30
học sinh/lớp. Cam kết tuyệt đối khơng nhồi nhét học sinh

Còn chần chờ gì nữa mà khơng đăng ký ngay ???
Số lƣợng ký túc xá có hạn
Đăng ký ngay để nhận 100% ƢU ĐÃI từ trung tâm

CAM KẾT HỒN TRẢ 100% HỌC PHÍ NẾU KHƠNG HÀI LỊNG

Vui lòng gọi Thầy Thắng để ghi danh trƣớc
Hotline : 08 668 224 88 - 0989 88 1800





Đòa chỉ:
1. 481/8 Trường Chinh, P14, Tân Bình, TPHCM
2. 73 Văn Cao, P Phú Thọ Hoà, Tân Phú, TPHCM
Trường Đại học Ngoại thương - Trung tâm luyện thi đại học Hotline: 0989 88 1800
4
481/8 Trường Chinh, P14, Tân Bình, TPHCM, www.ftu2.edu.vn
Truy cập: để tham khảo nhiều tài liệu hơn

3. 327 Nguyễn Thái Bình, P12, Tân Bình, TPHCM
Website: www.ftu2.edu.vn,
Email:


PHẦN I. 1) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số (1 điểm)
2) Các bài toán liên quan đến đồ thò (1 điểm)
Dạng 1: Vẽ đồ thò và biến đổi đồ thò
Loại 1: Các bước vẽ đồ thò hàm số (C): y = f(x)
 Trong đề thi Đại học, chúng ta chỉ khảo sát và vẽ đồ thò của ba hàm số sau:
a) Hàm y =


ax b
cx d
; b) Hàm y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d
c) Hàm y = ax
4
+ bx
2
+ c
 Dù là hàm số nào đi chăng nữa thì vẫn thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Tìm tập xác đònh D
+ Bước 2: Tính y = f(x)

– Nếu (C) là hàm số hữu tỉ bậc 1/1 thì y > 0 (hay y < 0) với mọi x  D.
– Nếu (C) là hàm bậc ba; bốn thì ta cho y = 0, giải tìm nghiệm.
+ Bước 3:
– Nếu (C) là hàm bậc ba, bốn thì ta tính giới hạn
x
lim

y;
x
lim

y
– Nếu (C) là hàm hữu tỉ thì ta tính:

x
lim

y =
a
c
 (C) có TCN là: y =
a
c


x
lim y


= ∞  (C) có TCĐ là: x = α (α là nghiệm của mẫu số)

+ Bước 4: – Lập bảng biến thiên
– Tìm các khoảng tăng; giảm
– Tìm các điểm cực trò của hàm số
+ Bước 5: – Tìm các điểm đặc biệt để vẽ đồ thò gồm
 Tâm đối xứng , các giao điểm của (C) với hai trục Ox, Oy
 Tìm thêm các điểm đặc biệt có tọa độ nguyên và nhỏ nhất
+ Bước 6: Vẽ đồ thò: – Nếu (C) là hàm bậc ba thì đồ thò đối xứng qua tâm
(là điểm uốn của (C))
Trường Đại học Ngoại thương - Trung tâm luyện thi đại học Hotline: 0989 88 1800
5
481/8 Trường Chinh, P14, Tân Bình, TPHCM, www.ftu2.edu.vn
Truy cập: để tham khảo nhiều tài liệu hơn


– Nếu (C) là hàm bậc bốn trùng phương thì đồ thò đối xứng qua Oy
– Nếu (C) là hàm hữu tỉ thì ta chú ý:
 Vẽ nhánh có cắt Ox, Oy trước
 Nhánh còn lại đối xứng qua tâm

Loại 2: Biến đổi đồ thò:
Bài toán: Dựa vào đồ thò (C): y = f(x), suy ra đồ thò (C) của
a) Hàm y =

f(x)

:
+ Giữ nguyên phần đồ thò (C1) của (C) có y ≥ 0
+ Đối xứng phần đồ thò của (C) có y < 0 qua Ox được (C
2
) thì (C) gồm (C

1
)
và (C
2
) . Vẽ lại đồ thò (C)
b) Hàm y = f(

x

):
+ Giữ nguyên phần đồ thò (C1) của (C) có x ≥ 0
+ Đối xứng chính phần này qua Oy được (C
2
)
+ Cắt bỏ phần đồ thò của (C) có x < 0 thì ta được đồ thò (C) gồm (C
1
) và
(C
2
). Vẽ lại đồ thò của (C)
Dạng 2: Dựa vào đồ thò (C) đã vẽ, hãy biện luận nghiệm của
phương trình có dạng: F(x, m) = 0 (1) (m là tham số)
 * Kỹ thuật giải:
+ Bước 1: Vẽ đồ thò (C): y = f(x)
+ Bước 2: Biến đổi trực tiếp phương trình (1) về dạng f(x) = g(m)
– Nếu (1) là phương trình phức tạp thì ta đặt ẩn phụ t trước rồi biến ẩn sau.
+ Bước 3: Số nghiệm của (1) là số giao điểm của (C): y = f(x) và đường thẳng
: y = g(m) di động và song song với Ox.
– Cho  dạng khắp đồ thò của (C) và // Oy, quan sát số giao điểm rồi suy ra
số nghiệm cần thỏa mãn yêu cầu bài toán.

 * Chú ý quan trọng:
+ Nếu đề yêu cầu biện luận nghiệm x  (a; b) thì ta phải giới hạn đồ thò (C)
trong (a; b); cắt bỏ phần đồ thò còn lại.
+ Khi đặt ẩn phụ t thì ta phải tìm miền giá trò chính xác của t. Nếu miền
giá trò của t sai thì bài toán sẽ giải sai.
Dạng 3: Tính đơn điệu của hàm số và ứng dụng để giải toán
Trường Đại học Ngoại thương - Trung tâm luyện thi đại học Hotline: 0989 88 1800
6
481/8 Trường Chinh, P14, Tân Bình, TPHCM, www.ftu2.edu.vn
Truy cập: để tham khảo nhiều tài liệu hơn



Loại 1: Tìm các giá trò của tham số m để hàm số hữu tỉ:
y =
ax b
cx d


luôn đồng biến; nghòch biến trên:
a) Miền xác đònh của nó:

Cách giải: + Tìm D = R \ {–
d
c
}. + Tính y =
2
ad bc
(cx d)




+ Hàm số luôn đồng biến (hay nghòch biến) trên miền xác đònh của nó
 y > 0 (hay y < 0) x  D
b) Khoảng (α;

):
Cách giải:
Hàm số đồng biến (hay nghòch biến) trên (α; ) 


     


   


y 0 (y 0) x ( ; )
d
( ; )
c


Loại 2: Tính đơn điệu của hàm số hữu tỉ y =
2
ax bx c
ex f



a) Tìm các giá trò của tham số để hàm số luôn đồng biến (hay nghòch biến)
trên miền xác đònh của nó.
Cách giải: + MXĐ: D = R \ {–
f
e
}
+ Hàm số luôn đồng biến (hay nghòch biến) trên miền xác đònh của nó
 y ≥ 0 (hay y ≤ 0) x  D.
+ Dùng đònh lý về dấu của tam thức bậc hai


≥
  




Δ0

≤
  




Δ0
b) Tìm các giá trò của tham số để hàm số luôn đồng biến (hay nghòch biến)
trên (α; )
Cách giải

Cách 1
Dùng đònh lí Viet:
+ x
1
< α < x
2
 (x
1
– α)(x
2
– α) < 0
+ α < x
1
< x
2

12
12
x x 2
(x )(x ) 0

  


    



Cách 2
Dùng đònh lý min–max:

+ Bất phương trình f(x) ≥ g(m).
Nghiệm đúng x  D
 minf(x) ≥ g(m)
Trường Đại học Ngoại thương - Trung tâm luyện thi đại học Hotline: 0989 88 1800
7
481/8 Trường Chinh, P14, Tân Bình, TPHCM, www.ftu2.edu.vn
Truy cập: để tham khảo nhiều tài liệu hơn


+ x
1
< x
2
< α 
12
12
x x 2
(x )(x ) 0

  


    



+ Bất phương trình f(x) ≤ g(m)
nghiệm đúng x  D
 maxf(x) ≤ g(m)


Loại 3: Tính đơn điệu của hàm bậc ba:
a) Tìm các giá trò của tham số để hàm số luôn đồng biến (hay nghòch biến)
trên R.
Cách giải:
+ Tính y và dùng đònh lý vế dấu của tam thức bậc hai
b) Tìm các giá trò của tham số để hàm số luôn đồng biến (hay nghòch biến)
trên (α; ).
Cách giải

Cách 1
Dùng đònh lý Viet:
Cách 2
Dùng đònh lý Min–Max

Loại 4: Tính đơn điệu của hàm số trùng phương: y = ax
4
+ bx
2
+ c trên một
khoảng (α; )
Cách giải:
+ Tính y = 2x(2ax
2
+ b) . Cho y = 0 
2
x0
2ax b 0







+ Dựa vào đồ thò của hàm trùng phương để biện luận vò trí của hoành độ
cực trò với α; .
 Các ứng dụng của tính đơn điệu

Loại 1: Dùng tính đơn điệu để giải phương trình:
Cách 1: Dùng đònh lý: “Cho hai hàm f(x) và g(x) đối nghòch nhau nghiêm ngặt trên
cùng miền D. Khi đó phương trình f(x) = g(x) chỉ có thể có nghiệm duy
nhất trên D”. Các bước giải:
+ Bước 1: Tìm miền xác đònh của phương trình.
+ Bước 2: Biến đổi (1)  f(x) = g(x) sao cho f(x) tăng và g(x) giảm trên D hay
ngược lại.
+ Bước 3: Nhẩm một nghiệm và kết luận nghiệm trên là duy nhất.
Cách 2: Ta chứng minh f(x) ≥ 0 x  D hay f(x) ≤ 0 x  D
Sau đó xét dấu “=” xảy ra.
Cách 3: + Biến đổi (1)  f(x) = g(x)
+ Sau đó chứng minh f(x) ≤ g(x) x  D hay f(x) ≥ g(x) x  D
Trường Đại học Ngoại thương - Trung tâm luyện thi đại học Hotline: 0989 88 1800
8
481/8 Trường Chinh, P14, Tân Bình, TPHCM, www.ftu2.edu.vn
Truy cập: để tham khảo nhiều tài liệu hơn


+ Xét dấu “=” xảy ra
Cách 4: + Biến đổi (1)  f(x) = g(x)
+ Chứng minh f(x) ≥ A ≥ g(x) hay f(x) ≤ A ≤ g(x). Xét dấu “=” xảy ra
Cách 5: Đưa (1) về dạng f(u) = f(v)
+ Dùng đạo hàm chứng minh u = v


Loại 2: Dùng tính đơn điệu để giải bất phương trình: h(x) ≥ 0 (≤ 0)
Cách 1: Ta chứng minh trực tiếp h(x) ≥ 0 x  D hay h(x) ≤ 0 x  D
Cách 2: + Nhẩm một nghiệm x = α của phương trình h(x) = 0
+ Lập bảng biến thiên,chứng minh h(x) ≥ h(α) = 0 hay h(x) ≤ h(α) = 0
Cách 3: + Biến đổi (1)  f(x) ≥ g(x) (hay f(x) ≤ g(x))
+ Nhẩm 1 nghiệm x = α của phương trình f(x) = g(x)
+ Chứng minh f(x) và g(x) đối nghòch nhau trên một miền D
Cách 4: + Biến đổi (1)  f(x) ≥ A ≥ g(x) hay f(x) ≤ A ≤ g(x)
Cách 5: + Đưa về dạng f(u) ≥ f(v)
+ Chứng minh f(t) luôn tăng luôn giảm

Loại 3: Dùng tính đơn điệu để giải hệ phương trình:
Cách 1: + Đưa hệ về dạng f(u) = f(v):
+ Chứng minh hàm f(t) luôn tăng (hay luôn giảm) trên D
+ Từ đó, suy ra u = v
Cách 2: Đưa về hệ lặp ba ẩn
x f (y)
y f (z)
z f (x)









+ Dùng tính đơn điệu, chứng minh x = y = z

Cách 3: Dùng phép thế hay phép đặt ẩn phụ rồi dùng đạo hàm.

Dạng 4: Cực trò của hàm số
 Các loại toán
 Loại 1: Cho hàm số y = f(x, m) (m là tham số). Tìm m để hàm số đạt cực
đại, cực tiểu tại điểm x = x
0
.
Cách giải
Trường Đại học Ngoại thương - Trung tâm luyện thi đại học Hotline: 0989 88 1800
9
481/8 Trường Chinh, P14, Tân Bình, TPHCM, www.ftu2.edu.vn
Truy cập: để tham khảo nhiều tài liệu hơn


Cách 1
Xét dấu y:
+ B
1
: Tính y
+ B
2
: Điều kiện cần để hàm số đạt
cực trò tại x = x
0
là y(x
0
) = 0
 m
+ B

3
: Thế m vào y rồi giải y = 0
tìm nghiệm
+ B
4
: Lập BBT và kết luận
Cách 2
Dùng đạo hàm cấp 2
+ B
1
: Tính y = f(x, m) và y
+ B
2
: Điều kiện cần để hàm số đạt
cực trò tại x = x
0
là: y(x
0
) = 0
Ta giải tìm m
+ B
3
: Với giá trò m vừa tìm được,
ta kiểm tra dấu của y(x
0
) và
kết luận.
 Loại 2: Cực trò của hàm bậc ba:
Cho hàm số: y = f(x, m). Tìm m để hàm số có hai cực trò tại (x
1

; y
1
) và (x
2
;
y
2
) thỏa mãn một điều kiện cho trước.

Điều kiện cho trước
Cách giải
 Viết phương trình đường
thẳng qua hai đỉnh cực
trò A; B
Cách 1:
+ Tìm rõ tọa độ hai điểm cực trò A, B
nếu phương trình y = 0 có hai
nghiệm x
1
; x
2
đơn giản.
Cách 2: Nếu y = 0 có hai nghiệm x
1
, x
2

không đơn giản thì ta giải như sau:
+ B
1

: Lấy y chia cho y và viết y dưới dạng:
y = y(x + ) + ax + b
+ B
2
: do hàm số có cực trò nên y = 0 nên
y = ax + b. Đây là phương trình đường
thẳng qua hai điểm qua hai điểm cực trò.
 Liên quan đến hoành
độ cực trò, tung độ cực
trò; khoảng cách hai
điểm cực trò.
Dùng đònh lý Viet.
 Liên quan đến tính chất
hình học như tính đối
xứng; tam giác cân,
vuông, đều, hình chữ
vuông, hình chữ nhật…
Dùng tính chất học, kết hợp với đònh lý Viet.
 Loại 2: Cực trò của hàm trùng phương: y = ax
4
+ bx
2
+ 2
Cách giải:
Trường Đại học Ngoại thương - Trung tâm luyện thi đại học Hotline: 0989 88 1800
10
481/8 Trường Chinh, P14, Tân Bình, TPHCM, www.ftu2.edu.vn
Truy cập: để tham khảo nhiều tài liệu hơn

+ Tính y = 0 cho y = 0 
2
x0
2ax b 0 (1)






a) Hàm số có 1 cực trò  (1) vờ nghiệm hay a  0 và b = 0
b) Hàm số có cực đại mà không có cực tiểu thì biện luận nghiệm của (1) và
dấu của hệ số a.
c) Hàm số có 3 điểm cực trò A, B, C thỏa mãn một tính chất hình học.
+ B
1
: Tìm giá trò của tham số để hàm số có 3 điểm cực trò.
+ B
2
: Tìm tọa độ của 3 điểm cực trò và dùng tính chất hình học để tìm giá
trò tham số m thỏa mãn B
1
.
 Loại 3: Cực trò của hàm hữu tỉ 2/1: Có các bài toán giống như hàm bậc 3.
 Loại 4: Dùng tính chất cực trò để khảo sát nghiệm của phương trình bậc ba:
ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 (1)

Bài toán
Cách giải
 Phương trình (1) có
nghiệm duy nhất
 y = 0 vô nghiệm

12
12
y 0 có hai nghiệm phân biệt x , x
y (x ).y(x ) 0









 Phương trình (1) có hai
nghiệm phân biệt

12
12
y 0 có hai nghiệm phân biệt x , x
y (x ).y( x ) 0










 Phương trình (1) có 3
nghiệm phân biệt

12
12
y 0 có hai nghiệm phân biệt x , x
y (x ).y(x ) 0









Dạng 5: Tiếp tuyến của đồ thò
 Loại 1: Viết phương trình tiếp tuyến

Bài toán
Cách giải
Bài toán 1: Viết phương
trình tiếp tuyến tại
M(x

0
; y
0
)  (C): y = f(x)
 B
1
: Tính y = f(x)
 B
2
: Tính hệ số góc k = f(x
0
) và phương
trình tiếp tuyến tại M là:
y = k(x – x
0
) + y
0

Bài toán 2: Viết phương
trình tiếp tuyến 
Cho (C) biết  vuông
góc; song song; tạo với
đường thẳng d góc 
 B
1
: Dựa vào giả thiết ta tìm hệ số góc k
của   : y = kx + b
 B
2
:  tiếp xúc với (C)

Trường Đại học Ngoại thương - Trung tâm luyện thi đại học Hotline: 0989 88 1800
11
481/8 Trường Chinh, P14, Tân Bình, TPHCM, www.ftu2.edu.vn
Truy cập: để tham khảo nhiều tài liệu hơn



f (x) kx b (1)
f (x) k (2)






có nghiệm
 B
3
: Giải (2), tìm x thế vào (1)  b  
Bài toán 3: Viết phương
trình tiếp tuyến cho (C)
đi qua A(x
A
; y
A
)
B
1
: có dạng: y = k(x – x
A

) + y
A

 B
2
:  tiếp xúc với (C)

AA
f (x) k(x x ) y (1)
f (x) k (2)

  







có nghiệm
 B
3
: Thế k ở (2) vào (1), giải tìm x  k  
 Loại 2: Biện luận số tiếp tuyến đi qua một điểm

Bài toán
Cách giải
Cho (C): y = f(x) và
đường thẳng . Tìm
các điểm M nằm trên

 để từ M kẻ đến (C)
đúng 1, 2, 3, 4 tiếp
tuyến thỏa mãn một
điều kiện cho trước
+ B
1
: Trên  lấy M(a; b) và viết d qua M có
hệ số góc k là: y = k(x – a) + b
+ B
2
:  tiếp xúc với (C)

f (x) k(x a) b (1)
f (x) k (2)

  




có nghiệm
+ B
3
: Thế k ở (2) vào (1) và rút gọn được:
h(x) = 0 (3)
+ B
4
: Số tiếp tuyến kẻ từ M cho (C) là số
nghiệm của (3). Biện luận số nghiệm
của (3).

+ B
5
: Xử lí điều kiện cho trước thường dùng
đònh lý Viet.
 Loại 3: Tìm điểm M  (C): y = f(x) thỏa mãn một điều kiện và tiếp tuyến
Cách giải: + B
1
: Tìm (C) lấy điểm M(a; f(a))
+ B
2
: Dựa vào đề, ta lập một phương trình và giải tìm a.

Dạng 6: Sự tiếp xúc của hai đồ thò
Bài toán
Cách giải
Cho hai đường cong:
+ B
1
: (C
1
) tiếp xúc với (C
2
)
Trường Đại học Ngoại thương - Trung tâm luyện thi đại học Hotline: 0989 88 1800
12
481/8 Trường Chinh, P14, Tân Bình, TPHCM, www.ftu2.edu.vn
Truy cập: để tham khảo nhiều tài liệu hơn


(C

1
): y = f(x, m),
(C
2
): y = g(x, m)
Tìm m để (C
1
), (C
2
) tiếp
xúc nhau

f (x, m) g(x,m) (1)
f (x, m) g (x,m) (2)






có nghiệm
+ B
2
: Giải hệ trên bằng phép thế  m
Dạng 7: Sự tương giao của hai đồ thò
 Bài toán
 Cách giải
Cho hai đồ thò: (C
1
): y =

f(x,m), (C
2
): y = g(x,m)
Tìm m để (C
1
) cắt (C
2
) tại
2, 3, 4 điểm thỏa mãn một
điều kiện cho trước
+ B
1
: Viết phương trình hoành độ giao
điểm và rút gọn
+ B
2
: Đònh m để phương trình có số nghiệm
bằng số giao điểm
+ B
3
: Xử lí điều kiện dùng đònh lý Viet và
tính chất hình học
Dạng 8: Các bài toán đối xứng
 Bài toán
 Cách giải
Bài toán 1: Tìm cặp điểm
A, B nằm trên (C): y =
f(x) đối xứng nhau qua
điểm I
+ B

1
: Gọi A(a; f(a))  (C). Điểm B đối
xứng với A qua I nên B(2x
I
– a;
2y
I
– f(a))
+ B
2
: Do B  (C) nên tọa độ B thỏa mãn
(C): y
B
= f(x
B
)
+ B
3
: Giải phương trình này  A, B
Bài toán 2: Tìm cặp điểm
A, B nằm trên (C) đối
xứng nhau qua d:
y = ax + b
+ B
1
: Gọi   d:  : y =
1
a
x + m
+ B

2
: Tìm I =   d  x
I

+ B
3
: Viết phương
trình hoành
độ giao điểm
của  và (C),
rút gọn được:
h(x) = 0 (1)
+ B
4
: Gọi A(x
A
; y
A
), B(x
B
; y
B
) là hai điểm
thuộc (C) thì x
A
, x
B
là hai nghiệm
của (1). A và B đối xứng nhau qua d
nên I là trung điểm AB

 x
A
+ x
B
= 2x
I
 m
d
A
B

I
Trường Đại học Ngoại thương - Trung tâm luyện thi đại học Hotline: 0989 88 1800
13
481/8 Trường Chinh, P14, Tân Bình, TPHCM, www.ftu2.edu.vn
Truy cập: để tham khảo nhiều tài liệu hơn


+ B
5
: Thế m vào (1) và giải tìm x
A
, x
B

 A, B

Dạng 9: Toán về khoảng cách, chu vi, diện tích

Loại 1: Khoảng cách giữa hai điểm A, B bằng a > 0 hay AB bé nhất trong đó A,

B là hai điểm cực trò hay 2 giao điểm của hai đồ thò cắt nhau.
Cách giải:+ B
1
: Tìm giá trò của tham số để tồn tại hai điểm
+ B
2
: Gọi hai điểm A(x
A
; y
A
), B(x
B
; y
B
) và dùng đònh lý Viet.

Loại 2: Khoảng cách từ 1 điểm M thuộc (C): y = f(x) đến đường thẳng:
Cách giải: + B
1
: Trên (C) lấy điểm M(a; f(a))
+ B
2
: Tính toán các dữ liệu có liên quan theo a
+ B
3
: Giải theo yêu cầu của đề bài.

Loại 3: Khoảng cách từ 1 điểm M  (C) đến đường thẳng  đi qua hai điểm
cực trò
Cách 1: Dùng tính chất hình học:

+ B
1
: Tìm điểm cố đònh A của đường
thẳng  ( qua 2 điểm cực trò)
+ B
2
: Kẻ MH   thì: MH ≤ MA
 (MH)
min
= MA đạt được
 MA  
Cách 2: Nếu  không đi qua điểm cố đònh nào thì ta dùng: khảo sát hàm số;
điều kiện có nghiệm của phương trình hai; các bất đẳng thức cơ bản như
Côsi… để giải.

Loại 4: Tìm cặp điểm A, B nằm trên hai nhánh của đường cong (C) hàm
hữu tỉ sao cho AB bé nhất.
Cách giải: + B
1
: (C) có tiệm cận đứng x = 
Gọi A(x
A
; f(x)), B(x
B
; f(x
0
)) thuộc hai nhánh của (1) và giả sử:
x
A
< x < x

B

+ B
2
: Đặt
A
B
a x 0
b x 0

   


   


và tính lại tọa độ A, B theo a, b
+ B
3
: Tính độ dài đoạn AB bình phương và biến đổi
+ B
4
: Dùng bất đẳng thức Cô sy.
PHẦN II. HÀM SỐ MŨ & LOGARIT (1 ĐIỂM)
M
A
H

Trường Đại học Ngoại thương - Trung tâm luyện thi đại học Hotline: 0989 88 1800
14

481/8 Trường Chinh, P14, Tân Bình, TPHCM, www.ftu2.edu.vn
Truy cập: để tham khảo nhiều tài liệu hơn


A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I. Các công thức luỹ thừa

0
a1
;
n
n
1
a
a


;
n n n
(a.b) a .b
;
n
n
n
aa
b
b





;
m n n m m.n
(a ) (a ) a
;
m n m n
a .a a


;
m
mn
n
a
a
a


;
n
m
n
m
aa

II. Hàm số mũ: y = a
x

1. Xác đònh  a > 0 ; 2. Miền giá trò
 

0;

3. Nếu 0 < a < 1 thì hàm số giảm (nghòch biến)
4. Nếu a > 1 thì hàm số tăng (đồng biến)
5. Dạng đồ thò: đồ thò của hàm số mũ y = a
x
có tiệm cận ngang
là trục Ox.

III. Hàm số logarit và các tính chất:
a
y log x

1. Hàm số y = log
a
x xác đònh 
0 a 1
x0





; 2. Miền giá trò R.
3. Nếu 0 < a < 1 thì y = log
a
x luôn giảm
4. Nếu a > 1 thì y = log
a
x luôn tăng.

IV. Các công thức biến đổi (cơ số và biểu thức chứa trong
logarit đã xác đònh)
1. y = log
a
x x = a
y
. 2. log
a
a = 1; log
a
1 = 0
3. log
a
(x.y) = log
a
x + log
a
y 4.
a a a
x
log log x log y
y





Chú ý: Công thức 3 và 4 chỉ áp dụng được khi x > 0 và y > 0.
5.
n

aa
log x n log x
(x > 0) 6.
n
a
a
1
log x log x
n


7.
a
x
1
log x
log a

(0 < x  1) 8.
a a b
log x log b.log x

9.
a
log x
ax
10.
bb
log c log a
ac

B. CÁC DẠNG TOÁN MŨ & LOGARIT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Trường Đại học Ngoại thương - Trung tâm luyện thi đại học Hotline: 0989 88 1800
15
481/8 Trường Chinh, P14, Tân Bình, TPHCM, www.ftu2.edu.vn
Truy cập: để tham khảo nhiều tài liệu hơn


Phương pháp 1: BIẾN ĐỔI Å ĐƯA VỀ CÁC DẠNG CƠ BẢN
1. Các dạng cơ bản
Dạng 1:
f ( x ) b
a b f(x) a (a 0; b 0)    

Dạng 2:
 
f ( x ) g( x )
a0
aa
(a 1) f ( x) g(x) 0





  



Dạng 3:
a
b
0 a 1
log f (x) b
f (x) a









Dạng 4:
aa
0 a 1
log f (x) log g(x) f (x) 0 (hay g(x) 0)
f (x) g(x)



   





Dạng 5:

f (x)
ab
(1) ;
f (x)
ab
(Tương tự)
Cách giải: + Nếu 0 < a < 1 thì (1)  f(x)  log
a
b
+ Nếu a > 1 thì (1)  f(x)  log
a
b
Dạng 6:
f (x) g(x)
aa
(3);
f (x) g(x)
aa
(Tương tự)
Cách giải: + Nếu (3) có dấu “=” thì xét a = 1
+ Nếu a > 1 thì (3)  f(x)  g(x)
+ Nếu 0 < a < 1 thì (3)  f(x)  g(x).
Dạng 7:
a
log f(x) b
(5) ;
a
log f(x) b
(Tương tự)
Cách giải: + Nếu a > 1 thì (5)  f(x)  a

b

+ Nếu 0 < a < 1 thì (5)  0 < f(x)  a
b
.
Dạng 8:
aa
log f(x) log g(x)
(7) ;
aa
log f(x) log g(x)
(Tương tự)
Cách giải: + Nếu a > 1 thì (7) 
g(x) 0
f (x) g (x)






+ Nếu 0 < a < 1 thì (7) 
f (x) 0
f (x) g(x)






2. Kỹ thuật biến đổi
a. Đối với cơ số
 có dạng mũ; tích; thương, liên hiệp
 Phép nghòch đảo:
a
b
1
log b
log a


Trường Đại học Ngoại thương - Trung tâm luyện thi đại học Hotline: 0989 88 1800
16
481/8 Trường Chinh, P14, Tân Bình, TPHCM, www.ftu2.edu.vn
Truy cập: để tham khảo nhiều tài liệu hơn


 Xen cơ số: log
a
b = log
a
c.log
c
b
b. Đối với biểu thức chứa trong loga
 Có dạng mũ; tích; thương
 Dùng phép nghòch đảo:
a
b
1

log b
log a


 Biểu thức liên hợp

3. Chú ý: Khi cơ số chứa x
 Trước hết ta dự vào miền xác đònh của bất phương trình để xem cơ số a đó 
(0; 1) hay lớn hơn 1.
 Nếu không biết chính xác cơ số a thuộc khoảng (0; 1) hay > 1 thì ta chia
trường hợp để giải.
4. Các bước giải
Bước 1: Tìm miền xác đònh của bất phương trình
Bước 2: Dùng công thức biến đổi mũ; cơ số; loga để đưa về các dạng cơ bản
Bước 3: Vận dụng cách giải các dạng cơ bản
Bước 4: Giao nghiệm được nghiệm của bài toán
Phương pháp 2: LẤY LOGARIT HAI VẾ
1. Nhận dạng
+ Khi biến đổi phương trình về dạng:
f ( x) g( x)
ab
. Lấy logart cơ số a
hoặc b hai vế.
+ Khi hai vế của phương trình chứa tích hay thương các hàm mũ.
Phương pháp 3: ĐẶT THỪA SỐ CHUNG ĐƯA VỀ TÍCH
1. Nhận dạng
+ Khi phương trình có cùng số mũ nhưng không thể biến đổi về
phương trình cùng cơ số.
+ Khi phương trình chứa nhiều loại hàm khác nhau.
+ Khi phương trình có dạng:

h( x) g( x )
a ma h(x) m  

Trong đó:
g(x) f (x) h( x)


Phương pháp 4: ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC
HAI, BẬC BA; BẬC BỐN
Trường Đại học Ngoại thương - Trung tâm luyện thi đại học Hotline: 0989 88 1800
17
481/8 Trường Chinh, P14, Tân Bình, TPHCM, www.ftu2.edu.vn
Truy cập: để tham khảo nhiều tài liệu hơn


CÁC DẠNG THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Phương trình chỉ chứa hàm
f (x)
a
: Đặt
f (x)
ta

Dạng 2: Phương trình có dạng:
f (x) f ( x) f (x)
.a b .c    

Cách giải:
+ Chia hai vế của phương trình cho hàm mũ có cơ số lớn nhất
hoặc bé nhất ; + Đưa về phương trình bậc hai; bậc ba.

Dạng 3: Phương trình có dạng:
   
f (x) f (x)
. a b a b 0       

với
  
a b a b 1  
.
Cách giải:+ Đặt
 
f (x)
t a b
thì
 
f (x)
1
ab
t


+ Đưa về phương trình bậc hai; bậc ba.
Dạng 4: Phương trình có dạng:
   
f (x) f (x)
f (x)
. a b a b .c      

Cách giải: + Chia hai vế của phương trình cho f(x).
+ Đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc hai, bậc ba

Dạng 5: Chia hai vế của phương trình và đưa về dạng 1.

Phương pháp 5: CHỨNG MINH NGHIỆM DUY NHẤT
1. Các hƣờng xử lí:
Hƣớng 1: Nhẩm một nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất
Hƣớng 2: Chia khoảng
Hƣớng 3: Dùng tính đơn điệu
2. Nhận dạng
a. Phương trình chứa hai hay nhiều loại hàm khác nhau.
b. Phương trình đưa về hai hàm f(x) và g(x) đối nghịch nhau

Phương pháp 6: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ DẠNG f(x) = f(y)
1. Đònh lý
Với mọi x; y; t  D; hàm f(t) luôn tăng hoặc luôn giảm trên D.
Khi đó: f(x) = f(y)  x = y
2. Dạng phương trình thường gặp
Trường Đại học Ngoại thương - Trung tâm luyện thi đại học Hotline: 0989 88 1800
18
481/8 Trường Chinh, P14, Tân Bình, TPHCM, www.ftu2.edu.vn
Truy cập: để tham khảo nhiều tài liệu hơn


Dạng 1:
f (x) g(x)
a a h(x)
với h(x) = g(x) – f(x)
Dạng 2:
a
f (x)
log h( x)

g(x)

với h(x) = g(x) – f(x)
Cách giải: + Đặt
u f (x)
v g(x)





thì h(x) = v – u

PHẦN III. Giải phương trình lượng giác (1 điểm)

A. Các công thức biến đổi lượng giác:
I. Cung liên kết:

Cung
Hàm
Đối (–a)
Phụ
a
2






Bù ( – a)
Hơn
2


a
2






Hơn 
( + a)
sin
–sina
cosa
sina
cosa
–sina
cos
cosa
sina
–cosa
–sina
–cosa
tan
–tana
cota

–tana
–cota
tana
cot
–cota
tana
–cota
–tana
cota

II. Hệ thức cơ bản:
1) sin
2
a + cos
2
a = 1; 2) tana =
sin a
cos a
; 3) cota =
cos a
sin a
;
4) tanacota = 1; 5) 1 + tan
2
a =
2
1
cos a
; 6) 1 + cot
2

a =
2
1
sin a


III. Công thức cộng:
1) cos(a ± b) = cosacosb sinasinb,
2) sin(a ± b) = sinacosb ± sinbcosa, 3) tan(a ± b) =
tana tan b
1 tan a tan b



IV. Công thức nhân đôi
1) sin2a = 2sinacosa =
2
2 tan a
1 tan a
3) tan2a =
2
2 tan a
1 tan a

2) cos2a = cos
2
a – sin
2
a = 2cos
2

a – 1 = 1 – 2sin
2
a =
2
2
1 tan a
1 tan a




Trường Đại học Ngoại thương - Trung tâm luyện thi đại học Hotline: 0989 88 1800
19
481/8 Trường Chinh, P14, Tân Bình, TPHCM, www.ftu2.edu.vn
Truy cập: để tham khảo nhiều tài liệu hơn


V. Công thức nhân ba
1) cos3a = 4cos
3
a – 3cosa; 2) sin3a = 3sina – 4sin3a

VI. Công thức hạ bậc
1) sin
2
a =
1 cos2a
2

; 2) cos

2
a =
1 cos2a
2


3) sin
3
a =
1
4
(3sina – sin3a); 4) cos
3
a =
1
4
(3cosa – cos3a)

VII. Hằng đẳng thức bậc chẵn
1) cos
4
a + sin
4
a = 1 –
1
2
sin
2
2a; 2) cos
6

a + sin
6
a = 1 –
3
4
sin
2
2a

VIII. Công thức biến đổi tổng thành tích:
1) cosa + cosb = 2cos
ab
2

.cos
ab
2

;
2) cosa – cosb = –2sin
ab
2

.sin
ab
2

;
3) sina + sinb = 2sin
a b a b

.cos
22

;
4) sina – sinb = 2cos
ab
2

.sin
ab
2

;
5) tana + tanb =
sin(a b)
cosa cos b

;
6) tana – tanb =
sin(a b)
cosa cos b

.

IX. Công thức biến đổi tích thành tổng
1) cosacosb =
1
2
[cos(a + b) + cos(a – b)];
2) sinacosb =

1
2
[sin(a + b) + sin(a + b)]
3) sinasinb =
1
2
[cos(a – b) – cos(a + b)]

X. Các hằng đẳng thức đáng nhớ:
Trường Đại học Ngoại thương - Trung tâm luyện thi đại học Hotline: 0989 88 1800
20
481/8 Trường Chinh, P14, Tân Bình, TPHCM, www.ftu2.edu.vn
Truy cập: để tham khảo nhiều tài liệu hơn


1) sina + cosa =
2
sin(a +
4

) =
2
cos(a –
4

)
2) sina – cosa =
2
sin(a –
4


) ; 3) cosa – sina =
2
cos(a +
4

)
4) 1 ± sin2a = (cosa ± sina)
2

5) cota + tana =
2
sin 2a
; 6) cota – tana = 2cot2a

B. Các dạng toán:

Dạng 1: Biến đổi và rút gọn, đưa về phương trình bậc nhất
chứa 1 hàm lượng giác

* Công thức nghiệm cơ bản:
a) sinu = sinv 
u v k2
u u v k2

  

   

b) cosu = cosv  u = ±v + k2

c) tanu = tanv  u = v + k d) cotu = cotv  u = v + k

Dạng 2: Biến đổi về phương trình bậc nhất chứa hai hàm
sin và cos: asinx + bcosx = c (1)
 Cách giải: + Chia hai vế của (1) cho
22
ab

+ (1) 
22
a
ab
sinx +
22
b
ab
cosx =
22
c
ab

+ Đặt sin =
22
a
ab
; cos =
22
b
ab
(hay ngược lại)

Ta được: cosxcos + sinxsin =
22
c
ab
 cos(x – ) =
22
c
ab

+ Nếu
22
c
ab
 [–1; 1] thì đặt
22
c
ab
= cos
Ta được: cos(x – ) = cos (dạng 1)


Bí quyết
Khi vế trái của một phương trình có dạng asinx + bcosx thì chỉ
chia cho

22
ab
nếu vế phải có một trong b dạng sau:
Trường Đại học Ngoại thương - Trung tâm luyện thi đại học Hotline: 0989 88 1800
21

481/8 Trường Chinh, P14, Tân Bình, TPHCM, www.ftu2.edu.vn
Truy cập: để tham khảo nhiều tài liệu hơn


1) Vế phải là một hằng số c
2) Vế phải đối xứng với vế trái (nghóa là vế hai vế có chứa hệ
số giống nhau)
3) Vế phải là: k.cos

x hay k.sin

x

Dạng 3: Biến đổi về phương trình bậc 2, 3, 4 đối với một hàm
lượng giác
Cách giải:
* Đối với phương trình chứa sin, cos thì ta hạ bậc chẵn và chú ý cung nhân
đôi, nhân ba.
* Đối với phương trình chứa tan, cot mà khi biến đổi về sin, cos không thế
rút gọn được thì ta tách ghép để cho hai hàm tan, cot cùng bậc 1; cùng hệ
số và biến đổi về sin, cos.
Dạng 4: Biến đổi về phương trình đẳng cấp
 Nhận dạng: Phương trình đẳng cấp là phương trình
+ Chỉ chứa sin và cos
+ Tổng số bậc của sin và cos ở dạng tích bằng tổng bậc của sin và cos ở dạng
tổng, hiệu.
+ Cùng cung
 Cách giải:
+ Xét cosx = 0  sinx = ±1, thế vào phương trình và kiểm tra
+ Khi cosx  0: chia hai vế của phương trình cho cos

n
x (n là cấp của phương
trình) và đưa về phương trình theo tanx.
Dạng 5: Biến đổi về phương trình đối xứng sin, cos
 Có dạng: a(sinx ± cosx)
m
+ b(sinxcisx)
n
+ c = 0
 Cách giải:
+ Đặt t = sinx ± cosx; điều kiện –
2
≤ t ≤
2

+ Bình phương t  tích sinx.cosx theo t
+ Đưa về phương trình đa thức theo t
Trường Đại học Ngoại thương - Trung tâm luyện thi đại học Hotline: 0989 88 1800
22
481/8 Trường Chinh, P14, Tân Bình, TPHCM, www.ftu2.edu.vn
Truy cập: để tham khảo nhiều tài liệu hơn


Dạng 6: Biến đổi về phương trình đối xứng (tan và cot)
 Nhận dạng: Phương trình đối xứng tan, cot có đặc điểm:
+ Cùng cung
+ Chỉ chứa tan; cot có từng cặp cùng hệ số và cùng bậc
 Cách giải:
+ Đặt t = tanx + cotx; điều kiện t  2
t = tanx – cotx (t  R)

+ Bình phương t để tính tan
2
x + cot
2
x theo t
+ Đưa về phương trình đa thức theo t
Dạng 7: Biến đổi về phương trình tích
Các kỹ thuật biến đổi về tích:
(a) Một vế đã có tích sẵn thì ta biến đổi vế còn lại về tích
(b) Chọn một hàm tối giản làm hàm mục tiêu và biến đổi các hàm còn lại về
hàm mục tiêu đó.
(c) Chọn hàm tối giản ghép với một hàm nào đó để biến đổi. Kết quả của
phép biến đổi sinh ra tích; sinh ra các hàm rút gọn được với các hàm còn lại.
(d) Ghép cặp hàm thích hợp và biến đổi để tạo ra thừa số chung
(e) Tách hệ số để tạo hàm và biến đổi về tích
(f) Tách bậc để tạo hàm và biến đổi về tích
Dạng 8: Đặt ẩn phụ cung
Khi phương trình chứa cung phức tạp và không đồng nhất thì ta có thể xử lí
theo các cách sau:
Cách 1: Nếu cung có dạng x + k; x +
k
2

thì ta dùng chu kỳ và cung liên
kết để rút gọn
Cách 2: Hạ bậc chẵn để nâng cung
Cách 3: Biến đổi tích thành tổng và ngược lại
Cách 4: Ghép hàm thích hợp và biến đổi thành tích
Cách 5: Đặt ẩn phụ cung phức tạp và có hệ số của x bé nhất. Sau đó biến đổi
đưa về cung liên kết.

Dạng 9: Đại số hóa trong phương trình lượng giác
Trường Đại học Ngoại thương - Trung tâm luyện thi đại học Hotline: 0989 88 1800
23
481/8 Trường Chinh, P14, Tân Bình, TPHCM, www.ftu2.edu.vn
Truy cập: để tham khảo nhiều tài liệu hơn


Nhận dạng và cách giải:
1) Khi phương trình có dạng đối xứng sin và cos
2) Khi phương trình có dạng đối xứng tan, cot
3) Khi phương trình chứa 1 biểu thức giống nhau
4) Khi phương trình có cung của hàm sin, cos, tan gấp đôi cung của hàm tan
và cot thì ta đặt t = tan
x
2
với x là cung chứa trong các hàm sin, cos.

Dạng 10: Nghiệm của phương trình lượng giác có điều kiện
 Loại 1: Tìm nghiệm x  (a; b) của phương trình lượng giác:
+ Giải tìm nghiệm tổng quát theo k  Z của phương trình ban đầu
+ Cho x  (a; b) và giải tìm k  Z  các nghiệm x

 Loại 2: Tìm nghiệm x thỏa mãn điều kiện xác đònh của phương trình:
a) Cách đặt điều kiện:
+ Đặt điều kiện để các biểu thức xác đònh
+ Rút gọn tối đa điều kiện để số lượng hàm trong điều kiện ít nhất
+ Để điều kiện ởù dạng hàm
b) Cách kiểm tra điều kiện của nghiệm:
Cách 1: Dùng đường tròn lượng giác:
+ Họ nghiệm x =  +

k2
n

biểu diễn n điểm lên đường tròn lượng giác
– Ta biểu diễn họ nghiệm trong điều kiện và họ nghiệm của phương trình
lên cùng một đường tròn lượng giác. Những điểm nào trùng nhau thì ta loại; còn
những điểm không trùng nhau thì ta nhận làm nghiệm của phương trình ban đầu.
Cách 2: Tìm nghiệm và thế vào điều kiện để tính toán và kiểm tra.
Cách 3: Biến đổi hàm của phương trình và hàm trong điều kiện giống
nhau để so sánh.
PHẦN IV. GIẢI PHƢƠNG TRÌNH & BẤT PHƢƠNG
TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (1 ĐIỂM)
A. Các công thức cơ bản
I. Phép lũy thừa, khai căn và tách căn và phép nghòch đảo:
Trường Đại học Ngoại thương - Trung tâm luyện thi đại học Hotline: 0989 88 1800
24
481/8 Trường Chinh, P14, Tân Bình, TPHCM, www.ftu2.edu.vn
Truy cập: để tham khảo nhiều tài liệu hơn


1) A = B 
















nn
nn
A B nếu n lẻ (n Z )
A B nếu n chẵn (n Z )
A 0 ; B 0

2)
n
n
A
=




A nếu n lẻ
A nếu n chẵn
(n  Z
+
; n  2) 3) A
B
=







2
2
A B nếu A 0
A B nếu A 0

4)
AB
=
A. B
nếu A  0 và B  0
5) Nếu A < 0 và B < 0 thì
AB
=
A. B
6)
11
AB


AB 0
AB






II. Các phương trình và bất phương trình trò tuyệt đối cơ bản
1) A = B 
22
B0
AB







2) A = B  A = ±B
3) A < B  –A < A < B 4) A > B 
AB
AB






III. Các phương trình và bất phương trình căn thức cơ bản:
1)
A
= B 
2
B0
AB








2)
AB






A 0 (hay B 0)
AB

3)
A
< B 
2
A0
B0
AB









4)
A
> B 











2
B0
B0
v
A0
AB

B. Các dạng toán và phương pháp giải:
Dạng 1: Phương pháp lũy thừa, làm mất căn và đưa về
các phương trình, bất phương trình quen thuộc
* Nhận dạng đặc điểm của bài toán để dùng phương pháp lũy thừa:
1) Có một trong năm phương trình và bất phương trình cơ bản trên
2) Khi lũy thừa thì bậc cao triệt tiêu hay số lượng căn giảm dần

3) Có dạng: A
n
ax b
± B
n
cx d




c
n
ex f

4) Các biểu thức trong và ngoài căn có chung một nghiệm
5) Khi lũy thừa đưa được về dạng đặc biệt như: a
2
+ b
2




0 (a ± b)
2