Tài liệu bồi dưỡng hình học 11 (hay)

Tài liệu bồi dưỡng Hình học 11 (hay)
CHƯƠNG I:
PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG
I. Phép tịnh tiến
•
v
T
r
: M
a
M′ ⇔
'MM v=
uuuuur
r
•
v
T
r
(M) = M′,
v
T
r
(N) = N′ ⇒
' 'M N MN=
uuuuuur uuuur
•
v
T
r
: M(x; y)
a

M′(x′; y′). Khi đó:
'
'
x x a
y y b

= +

= +

II. Phép đối xứng trục
• Đ
d
: M
a
M′ ⇔
0 0
'M M M M= −
uuuuuur uuuuur
(M
0
là hình chiếu của M trên d)
• Đ
d
(M) = M′ ⇔ Đ
d
(M′) = M
• Đ
d
(M) = M′, Đ

d
(N) = N′ ⇒ M′N′ = MN
• Đ
Ox
: M(x; y)
a
M′(x′; y′). Khi đó:
'
'
x x
y y

=

= −

Đ
Oy
: M(x; y)
a
M′(x′; y′). Khi đó:
'
'
x x
y y

= −

=


III. Phép đối xứng tâm
• Đ
I
: M
a
M′ ⇔
'IM IM= −
uuur uuur
• Đ
I
(M) = M′ ⇔ Đ
I
(M′) = M
• Đ
I
(M) = M′, Đ
I
(N) = N′ ⇒
' 'M N MN= −
uuuuuur uuuur
• Cho I(a; b). Đ
I
: M(x; y)
a
M′(x′; y′). Khi đó:
' 2
' 2
x a x
y b y


= −

= −

Đặc biệt: Đ
O
: M(x; y)
a
M′(x′; y′). Khi đó:
'
'
x x
y y

= −

= −

IV. Phép quay
• Q
(I,
α
)
: M
a
M′ ⇔
'
( ; ')
IM IM
IM IM


=

= α

• Q
(I,
α
)
(M) = M′, Q
(I,
α
)
(N) = N′ ⇒ M′N′ = MN
• Q
(I,
α
)
(d) = d′. Khi đó:
·
( )
0
2
, '
2
neáu
d d
neáu

π

α < α ≤

=

π

π−α ≤ α < π

• Q
(O,90
0
)
: M(x; y)
a
M′(x′; y′). Khi đó:
'
'
x y
y x

= −

=

Q
(O,–90
0
)
: M(x; y)
a

M′(x′; y′). Khi đó:
'
'
x y
y x

=

= −

V. Phép vị tự
• V
(I,k)
: M
a
M′ ⇔
' .IM k IM=
uuur uuur
(k ≠ 0)
• V
(I,k)
(M) = M′, V
(I,k)
(N) = N′ ⇒
' ' .M N k MN=
uuuuuur uuuur
• Cho I(a; b). V
(I,k)
: M(x; y)
a

M′(x′; y′). Khi đó:
' (1 )
' (1 )
x kx k a
y ky k b

= + −

= + −

Chú ý: Nếu phép dời hình (phép đồng dạng) biến
∆
ABC thành
∆
A
′
B
′
C
′
thì nó
cũng biến trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của
1
Hình học 11 Phan Công Trứ
∆
ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp,
ngoại tiếp của
∆
A
′

B
′
C
′
.
I. PHÉP TỊNH TIẾN
1. Cho hai điểm cố định B, C trên đường tròn (O) và một điểm A thay đổi trên
đường tròn đó. Tìm quĩ tích trực tâm H của ∆ABC.
HD: Vẽ đường kính BB
′
. Xét phép tịnh tiến theo
'v B C=
uuuur
r
. Quĩ tích điểm H là
đường tròn (O
′
) ảnh của (O) qua phép tịnh tiến đó.
2. Cho đường tròn (O; R), đường kính AB cố định và đường kính CD thay đổi.
Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B cắt AC tại E, AD tại F. Tìm tập hợp trực
tâm các tam giác CEF và DEF.
HD: Gọi H là trực tâm
∆
CEF, K là trực tâm
∆
DEF. Xét phép tịnh tiến theo
vectơ
v BA=
uuur
r

. Tập hợp các điểm H vàK là đường tròn (O
′
) ảnh của (O) qua
phép tịnh tiến đó (trừ hai điểm A và A' với
'AA BA=
uuur uuur
).
3. Cho tứ giác lồi ABCD và một điểm M được xác định bởi
AB DM=
uuur uuuur
và
·
·
CBM CDM=
. Chứng minh:
·
·
ACD BCM=
.
HD: Xét phép tịnh tiến theo vectơ
AB
uuur
.
4. Cho tứ giác ABCD có
µ
A
= 60
0
,
µ

B
= 150
0
,
µ
D
= 90
0
, AB =
6 3
, CD = 12. Tính
độ dài các cạnh AD và BC.
HD: Xét phép tịnh tiến theo vectơ
BA
uuur
. BC = 6, AD =
6 3
.
5. Cho ∆ABC. Dựng hình vuông BCDE về phía ngoài tam giác. Từ D và E lần
lượt dựng các đường vuông góc với AB, AC. Chứng minh rằng hai đường
vuông góc đó với đường cao AH của ∆ABC đồng qui.
HD: Xét phép tịnh tiến theo vectơ
BE
uuur
,
∆
ABC
→

∆

A
′
ED.
6. Tìm ảnh của các điểm A(0; 2), B(1; 3), C(–3; 4) qua phép tịnh tiến
v
T
r
trong
các trường hợp sau:
a)
v
r
= (1; 1) b)
v
r
= (2; 1) c)
v
r
= (–2; 1) d)
v
r
= (3; –2)
e)
v
r
= (0; 0) f)
v
r
= (–3; 2)
7. Cho điểm A(1; 4). Tìm toạ độ điểm B sao cho

( )
v
A T B=
r
trong các trường hợp
sau:
a)
( )
2; 3v = −
r
b)
v
r
= (2; 1) c)
v
r
= (–2; 1) d)
v
r
= (3; –2)
e)
v
r
= (0; 0) f)
v
r
= (–3; 2)
8. Tìm toạ độ vectơ
v
r

sao cho
( )
/
v
T M M=
r
trong các trường hợp sau:
a) M(−10; 1), M’(3; 8) b) M(−5; 2), M′(4; −3) c) M(–1; 2), M′(4;
5)
d) M(0; 0), M′(–3; 4) c) M(5; –2), M′(2; 6) f) M(2; 3), M′(4; –
5)
9. Trong mpOxy, cho đường thẳng (d) : 2x − y + 5 = 0. Tìm phương trình của
đường thẳng (d’) là ảnh của (d) qua phép tịnh tiến theo
v
r
trong các trường hợp
sau:
a)
( )
4; 3v = −
r
b)
v
r
= (2; 1) c)
v
r
= (–2; 1) d)
v
r

= (3; –2)
2
Tài liệu bồi dưỡng Hình học 11 (hay)
10. Trong mpOxy, cho đường tròn (C):
( ) ( )
2 2
1 2 4x y− + + =
. Tìm phương trình của
đường tròn (C′) là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo
v
r
trong các trường hợp
sau:
a)
( )
4; 3v = −
r
b)
v
r
= (2; 1) c)
v
r
= (–2; 1) d)
v
r
= (3; –2)
11. Trong mpOxy, cho Elip (E):
2 2
1

9 4
x y
+ =
. Tìm phương trình của elip (E′) là ảnh
của (E) qua phép tịnh tiến theo
v
r
trong các trường hợp sau:
a)
( )
4; 3v = −
r
b)
v
r
= (2; 1) c)
v
r
= (–2; 1) d)
v
r
= (3; –2)
12. Trong mpOxy, cho Hypebol (H):
2 2
1
16 9
x y
− =
. Tìm phương trình của Hypebol
(H′) là ảnh của (H) qua phép tịnh tiến theo

v
r
trong các trường hợp sau:
a)
( )
4; 3v = −
r
b)
v
r
= (2; 1) c)
v
r
= (–2; 1) d)
v
r
= (3; –2)
13. Trong mpOxy, cho Parabol (P): y
2
= 16x. Tìm phương trình của Parabol (P′) là
ảnh của (P) qua phép tịnh tiến theo
v
r
trong các trường hợp sau:
a)
( )
4; 3v = −
r
b)
v

r
= (2; 1) c)
v
r
= (–2; 1) d)
v
r
= (3; –2)
14. Cho đường thẳng d: x + 2y – 1 = 0 và vectơ
v
r
= (2; m). Tìm m để phép tịnh
tiến
v
T
r
biến d thành chính nó.
II. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC
1. Cho hai điểm B, C cố định trên đường tròn (O) và một điểm A thay đổi trên
đường tròn đó. Tìm quĩ tích trực tâm H của ∆ABC.
HD: Gọi H
′
là giao điểm thứ hai của đường thẳng AH với (O). Xét phép đối
xứng trục BC. Quĩ tích điểm H là đường tròn (O
′
) ảnh của (O) qua phép Đ
BC
.
2. Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm về một phía của d. Tìm trên d một
điểm M sao cho tổng AM + MB có giá trị nhỏ nhất.

HD: Gọi A
′
= Đ
d
(A). M là giao điểm của A
′
B và d.
3. Cho ∆ABC với trực tâm H.
a) Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác HAB, HBC, HCA
có bán kính bằng nhau.
b) Gọi O
1
, O
2
, O
3
là tâm của các đường tròn nói trên. Chứng minh rằng đường
tròn đi qua 3 điểm O
1
, O
2
, O
3
có bán kính bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp
∆ABC.
4. Cho góc nhọn xOy và một điểm A thuộc miền trong góc này. Tìm điểm B ∈
Ox, C ∈ Oy sao cho chu vi ∆ABC là bé nhất.
HD: Xét các phép đối xứng trục: Đ
Ox
(A) = A

1
; Đ
Oy
(A) = A
2
. B, C là các giao
điểm của A
1
A
2
với các cạnh Ox, Oy.
5. Cho ∆ABC có các góc đều nhọn và điểm M chạy trên cạnh BC. Giả sử
Đ
AB
(M) = M
1
, Đ
AC
(M) = M
2
. Tìm vị trí của M trên cạnh BC để đoạn thẳng
M
1
M
2
có độ dài ngắn nhất.
HD: M là chân đường cao vẽ từ A của
∆
ABC.
3

Hình học 11 Phan Công Trứ
6. Cho ∆ABC cân đỉnh A. Điểm M chạy trên BC. Kẻ MD ⊥ AB, ME ⊥ AC. Gọi
D′ = Đ
BC
(D). Tính
·
'BD M
và chứng tỏ MD + ME không phụ thuộc vào vị trí
điểm M.
HD:
·
'BD M
= 1v; MD + ME = BH.
7. Tìm ảnh của các điểm sau qua phép đối xứng trục Ox: A(2; 3), B(–2; 3), C(0;
6), D(4; –3).
8. Tìm ảnh của các điểm sau qua phép đối xứng trục Oy: A(2; 3), B(–2; 3), C(0;
6), D(4; –3).
9. Tìm ảnh của điểm A(3; 2) qua phép đối xứng trục d với d: x – y = 0.
10. Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng trục Ox:
a) x – 2 = 0 b) y – 3 = 0 c) 2x + y – 4 = 0 d) x + y – 1 = 0
11. Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng trục Oy:
a) x – 2 = 0 b) y – 3 = 0 c) 2x + y – 4 = 0 d) x + y – 1 = 0
12. Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép đối xứng trục Ox:
a) (x + 1)
2
+ (y – 1)
2
= 9 b) x
2
+ (y – 2)

2
= 4
c) x
2
+ y
2
– 4x – 2y – 4 = 0 d) x
2
+ y
2
+ 2x – 4y – 11 = 0
13. Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép đối xứng trục Oy:
a) (x + 1)
2
+ (y – 1)
2
= 9 b) x
2
+ (y – 2)
2
= 4
c) x
2
+ y
2
– 4x – 2y – 4 = 0 d) x
2
+ y
2
+ 2x – 4y – 11 = 0

14. Tìm ảnh của các elip sau qua phép đối xứng trục Ox (Oy):
a)
2 2
1
16 9
x y
+ =
b) x
2
+ 4y
2
= 1 c) 9x
2
+ 16y
2
= 144
15. Tìm ảnh của các hypebol sau qua phép đối xứng trục Ox (Oy):
a)
2 2
1
16 9
x y
- =
b) x
2
– 4y
2
= 1 c) 9x
2
– 25y

2
= 225
16. Tìm ảnh của các parabol sau qua phép đối xứng trục Ox:
a) y
2
= 2x b) x
2
= 2y c) y = x
2
17. Tìm ảnh của các parabol sau qua phép đối xứng trục Oy:
a) y
2
= 2x b) x
2
= 2y c) y = x
2
III. PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM
1. Trên đường tròn (O) cho hai điểm B, C cố định và một điểm A thay đổi. Gọi H
là trực tâm của ∆ABC và H′ là điểm sao cho HBH′C là hình bình hành. Chứng
minh rằng H′ nằm trên đường tròn (O). Từ đó suy ra quĩ tích của điểm H.
HD: Gọi I là trung điểm của BC. Đ
I
(H
′
) = H
⇒
Quĩ tích điểm H là đường tròn
(O
′
) ảnh của (O) qua phép Đ

I
.
2. Điểm M thuộc miền trong tứ giác lồi ABCD. Gọi A′, B′, C′, D′ lần lượt là
điểm đối xứng của M qua trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh
tứ giác A′B′C′D′ là hình bình hành.
4
Tài liệu bồi dưỡng Hình học 11 (hay)
3. Cho đường tròn (O, R) và một dây cố định AB = R
2
. Điểm M chạy trên
cung lớn
»
AB
thoả mãn ∆MAB có các góc đều nhọn, có H là trực tâm. AH và
BH cắt (O) theo thứ tự tại A′ và B′. A′B cắt AB′ tại N.
a) Chứng minh A′B′ cũng là đường kính của đường tròn (O, R).
b) Tứ giác AMBN là hình bình hành.
c) HN có độ dài không đổi khi M chạy như trên.
d) HN cắt A′B′ tại I. Tìm tập hợp các điểm I khi M chạy như trên.
HD: a)
·
' 'A BB
= 1v b) AM //A
′
N, BM // AN c) HN = B
′
A
′
= 2R
d) Gọi J là trung điểm AB. Đ

J
(M) = N, Đ
J
(O) = O
′
.
·
'OIO
= 1v
⇒
Tập hợp các
điểm I là đường tròn đường kính OO′.
4. Một đường thẳng đi qua tâm O của hình bình hành ABCD cắt các cạnh DC,
AB tại P và Q. Chứng minh rẳng các giao điểm của các đường thẳng AP, BP,
CQ, DQ với các đường chéo của hình bình hành là các đỉnh của một hình bình
hành mới.
HD: Xét phép Đ
O
.
5. Tìm ảnh của các điểm A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6), D(4; –3) qua phép đối xứng
tâm với:
a) Tâm O(0; 0) b) Tâm I(1; –2) c) Tâm H(–2; 3)
6. Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng tâm O(0; 0):
a) 2x – y = 0 b) x + y + 2 = 0 c) 2x + y – 4 = 0 d) y = 2 e) x = –1
7. Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng tâm I(2; 1):
a) 2x – y = 0 b) x + y + 2 = 0 c) 2x + y – 4 = 0 d) y = 2 e) x = –1
8. Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép đối xứng tâm I(2; 1):
a) (x + 1)
2
+ (y – 1)

2
= 9 b) x
2
+ (y – 2)
2
= 4
c) x
2
+ y
2
– 4x – 2y – 4 = 0 d) x
2
+ y
2
+ 2x – 4y – 11 = 0
9. Tìm ảnh của các elip sau qua phép đối xứng tâm I(1; –2):
a)
2 2
1
16 9
x y
+ =
b) x
2
+ 4y
2
= 1 c) 9x
2
+ 16y
2

= 144
10. Tìm ảnh của các hypebol sau qua phép đối xứng tâm I(–1; 2):
a)
2 2
1
16 9
x y
- =
b) x
2
– 4y
2
= 1 c) 9x
2
– 25y
2
= 225
11. Tìm ảnh của các parabol sau qua phép đối xứng tâm O(0; 0):
a) y
2
= 2x b) x
2
= 2y c) y = x
2
IV. PHÉP QUAY
1. Cho ∆ABC. Dựng về phía ngoài tam giác đó các tam giác BAE và CAF vuông
cân tại A. Gọi I, M, J theo thứ tự là trung điểm của EB, BC, CF. Chứng minh
∆IMJ vuông cân.
HD: Xét phép quay Q
(A,90

0
)
.
5
Hình học 11 Phan Công Trứ
2. Cho ∆ABC. Dựng về phía ngoài tam giác đó các hình vuông ABEF và ACIK.
Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM vuông góc vơi FK và AM
=
1
2
FK.
HD: Gọi D = Đ
(A)
(B). Xét phép quay Q
(A,90
0
)
.
3. Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự. Lấy các đoạn thẳng AB, BC làm
cạnh, dựng các tam giác đều ABE và BCF nằm cùng về một phía so với đường
thẳng AB. Gọi M, N lần lượt là các trung điểm của các đoạn thẳng AF, CE.
Chứng minh ∆BMN đều.
HD: Xét phép quay Q
(B,60
0
)
.
4. Cho ∆ABC. Lấy các cạnh của tam giác đó làm cạnh, dựng ra phía ngoài tam
giác các tam giác đều ABC
1

, CAB
1
, CAB
1
. Chứng minh rằng các đoạn thẳng
AA
1
, BB
1
, CC
1
bằng nhau.
HD: Xét các phép quay Q
(A,60
0
)
,

Q
(B,60
0
)
.
5. Cho ∆ABC đều tâm O. Trên các cạnh AB, AC đặt các đoạn thẳng AD, AE sao
cho AD + AE = AB. Chứng minh rằng OD = OE và
·
DOE
= 120
0
.

HD: Xét phép quay Q
(O,120
0
)
.
6. Cho hình vuông ABCD và điểm M trên cạnh AB. Đường thẳng qua C vuông
góc với CM, cắt AB và AD tại E và F. CM cắt AD tại N. Chứng minh rằng:
a) CM + CN = EF b)
2 2 2
1 1 1
CM CN AB
+ =
HD: Xét phép quay Q
(C,90
0
)
.
7. Cho ∆ABC. Dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE và ACIJ sao
cho C và D nằm khác phía với AB. Chứng minh giao điểm của BI và CD nằm
trên đường cao AH của ∆ABC.
HD: Lấy trên tia đối của AH một đoạn AK = BC. Gọi O là tâm hình vuông
ACIJ. Xét phép quay Q
(O,90
0
)

⇒
IB
⊥
CK. Tương tự CD

⊥
BK.
8. Tìm ảnh của các điểm A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6), D(4; –3) qua phép quay tâm
O góc α với:
a) α = 90
0
b) α = –90
0
c) α = 180
0
9. Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép quay tâm O góc 90
0
:
a) 2x – y = 0 b) x + y + 2 = 0 c) 2x + y – 4 = 0 d) y = 2 e) x = –1
10. Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép quay tâm O góc 90
0
:
a) (x + 1)
2
+ (y – 1)
2
= 9 b) x
2
+ (y – 2)
2
= 4
c) x
2
+ y
2

– 4x – 2y – 4 = 0 d) x
2
+ y
2
+ 2x – 4y – 11 = 0
V. PHÉP VỊ TỰ
1. Cho ∆ABC với trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O.
Chứng minh ba điểm G, H, O thẳng hàng và
2GH GO= −
uuur uuur
.
HD: Xét phép vị tự V
(G,–2)
(O) = H.
6
Tài liệu bồi dưỡng Hình học 11 (hay)
2. Tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định, còn đỉnh A chạy trên một đường tròn
(O). Tìm quĩ tích trọng tâm G của ∆ABC.
HD: Gọi I là trung điểm của BC. Xét phép vị tự
1
( , )
3
I
V
(A) = G.
3. Cho đường tròn (O) có đường kính AB. Gọi C là điểm đối xứng của A qua B,
PQ là một đường kính thay đổi của (O). Đường thẳng CQ cắt PA và PB lần
lượt tại M và N.
a) Chứng minh rằng Q là trung điểm của CM, N là trung điểm của CQ.
b) Tìm quĩ tích của M và N khi đường kính PQ thay đổi.

HD: a) Sử dụng tính chất đường trung bình.
b) Xét các phép vị tự V
(C,2)
(Q) = M;
1
( , )
2
C
V
(Q) = N.
4. Cho đường tròn (O, R) và đường thẳng d không có điểm chung với đường
tròn. Từ một điểm M bất kì trên d, kẻ các tiếp tuyến MP, MQ với đường tròn
(O).
a) Chứng minh PQ luôn đi qua một điểm cố định.
b) Tìm tập hợp trung điểm K của PQ, tâm O′ của đường tròn ngoại tiếp
∆MPQ, trực tâm H của ∆MPQ.
HD: a) Kẻ OI
⊥
d, OI cắt PQ tại N.
2
.OI ON r=
uur uuur

⇒
N cố định.
b) Tập hợp các điểm K là đường tròn (O
1
) đường kính NO.
Tập hợp các điểm O
′

đường trung trực đoạn OI.
Tập hợp các điểm H là đường tròn (O
2
) = V
(O,2)
.
5. Cho điểm A ở ngoài đường tròn (O, R) và đường kính MN quay xung quanh
tâm O. AM và AN cắt đường tròn (O) tại B và C.
a) Chứng minh đường tròn (AMN) luôn đi qua một điểm cố định khác A.
b) Chứng minh BC luôn đi qua một điểm cố định.
c) Tìm tập hợp trung điểm I của BC và trọng tâm G của ∆ABC.
HD: a) AO cắt (AMN) tại D.
2
. .OA OD OM ON R= = −
uuur uuur uuuur uuur

⇒
D cố định.
b) AO cắt BC tại E.
2 2
.AE AD AO R= −
uuur uuur

⇒
E cố định.
c) Tập hợp các điểm I là đường tròn (O
1
) đường kính EO.
Tập hợp các điểm G là đường tròn (O
2

) =
2
( , )
3
A
V
(O
1
).
6. Cho đường tròn (O, R), đường kính AB. Một đường thẳng d vuông góc với
AB tại một điểm C ở ngoài đường tròn. Một điểm M chạy trên đường tròn.
AM cắt d tại D, CM cắt (O) tại N, BD cắt (O) tại E.
a) Chứng minh AM.AD không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
b) Tứ giác CDNE là hình gì?
c) Tìm tập hợp trọng tâm G của ∆MAC.
HD: a) AM.AD = AB.AC (không đổi) b) NE // CD
⇒
CDNE là hình
thang.
c) Gọi I là trung điểm AC. Kẻ GK // MO. Tập hợp các điểm G là đường tròn
(K,
3
R
) ảnh của đường tròn (O, R) qua phép
1
( , )
3
I
V
.

7. Tìm ảnh của các điểm sau qua phép vị tự tâm I(2; 3), tỉ số k = –2: A(2; 3), B(–
3; 4), C(0; 5), D(3; 0), O(0; 0).
7
Hình học 11 Phan Công Trứ
8. Tìm ảnh của các điểm sau qua phép vị tự tâm I(2; 3), tỉ số k =
1
2
: A(2; 3), B(–
3; 4), C(0; 5), D(3; 0), O(0; 0).
9. Phép vi tự tâm I tỉ số
1
2
k =
biến điểm M thành M’. Tìm toạ độ của điểm I
trong các trường hợp sau:
a) M(4; 6) và M’(–3; 5). b) M(2; 3) và M′(6; 1) c) M(–1; 4) và M′(–3; –
6)
10. Phép vị tự tâm I tỉ số k biến điểm M thành M’. Tìm k trong các trường hợp
sau:
a) I(–2; 1), M(1; 1), M’(–1; 1). b) I(1; 2), M(0; 4) và M′(2; 0)
c) I(2; –1), M(–1; 2), M′(–2; 3)
11. Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép vị tự tâm O(0; 0) tỉ số k = 2:
a) x + 2y – 1 = 0 b) x – 2y + 3 = 0 c) y – 3 = 0 d) x + 4 = 0
12. Tìm ảnh của đường thẳng d: x – 2y + 1 = 0 qua phép vị tự tâm I(2; 1) tỉ số k
trong các trường hợp sau:
a) k = 1 b) k = 2 c) k = – 1 d) k = – 2 e) k =
1
2
f) k =
1

2
−
13. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng ∆
1
: x – 2y + 1 = 0 và ∆
2
: x – 2y +
4 = 0 và điểm I(2; 1). Tìm tỉ số k để phép vị tự V
(I,k)
biến ∆
1
thành ∆
2
.
14. Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép vị tự tâm O(0; 0) tỉ số k = 2:
a)
2 2
( 1) ( 5) 4x y- + - =
b)
2 2
( 2) ( 1) 9x y+ + + =
c) x
2
+ y
2
= 4
15. Tìm ảnh của đường tròn (C): (x + 1)
2
+ (y – 3)
2

= 9 qua phép vị tự tâm I(2; 1)
tỉ số k trong các trường hợp sau:
a) k = 1 b) k = 2 c) k = – 1 d) k = – 2 e) k =
1
2
f) k =
1
2
−
16. Xét phép vị tự tâm I(1; 0) tỉ số k = 3 biến đường tròn (C) thành (C′). Tìm
phương trình của đường tròn (C) nếu biết phương trình đường tròn (C′) là:
a)
2 2
( 1) ( 5) 4x y- + - =
b)
2 2
( 2) ( 1) 9x y+ + + =
c)
2 2
1x y+ =
ÔN TẬP CHƯƠNG I
1. Cho hình bình hành ABCD có CD cố định, đường chéo AC = a không đổi.
Chứng minh rằng khi A di động thì điểm B di động trên một đường tròn xác
định.
2. Cho 2 điểm A, B cố định thuộc đường tròn (C) cho trước. M là một điểm di
động trên (C) nhưng không trùng với A và B. Dựng hình bình hành AMBN.
Chứng minh rằng tập hợp các điểm N là một đường tròn.
8
Tài liệu bồi dưỡng Hình học 11 (hay)
3. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Một điểm C chạy trên nửa đường

tròn đó. Dựng về phía ngoài tam giác ABC hình vuông CBEF. Chứng minh
điểm E chạy trên một nửa đường tròn cố định.
4. Cho hình vuông ABCD có tâm I. Trên tia BC lấy điểm E sao cho BE = AI.
a) Xác định một phép dời hình biến A thành B, I thành E.
b) Dựng ảnh của hình vuông ABCD qua phép dời hình ấy.
5. Cho hai đường tròn (O; R) và (O′; R′). Xác định các tâm vị tự của hai đường
tròn nếu R′ = 2R và OO′ =
3
2
R.
6. Cho
v
r
= (–2; 1), các đường thẳng d: 2x – 3y + 3 = 0, d
1
: 2x – 3y – 5 = 0.
a) Viết phương trình đường thẳng d′ =
v
T
r
(d).
b) Tìm toạ độ vectơ
u
r
vuông góc với phương của d sao cho d
1
=
u
T
r

(d).
7. Cho đường tròn (C): x
2
+ y
2
– 2x + 4y – 4 = 0. Tìm (C′) =
v
T
r
(C) với
v
r
= (–2;
5).
8. Cho M(3; –5), đường thẳng d: 3x + 2y – 6 = 0 và đường tròn (C): x
2
+ y
2
– 2x
+ 4y – 4 = 0.
a) Tìm ảnh của M, d, (C) qua phép đối xứng trục Ox.
b) Tìm ảnh của d và (C) qua phép đối xứng tâm M.
9. Tìm điểm M trên đường thẳng d: x – y + 1 = 0 sao cho MA + MB là ngắn nhất
với A(0; –2), B(1; –1).
10. Viết phương trình đường tròn là ảnh của đường tròn tâm A(–2; 3) bán kính 4
qua phép đối xứng tâm, biết:
a) Tâm đối xứng là gốc toạ độ O b) Tâm đối xứng là điểm I(–4; 2)
11. Cho đường thẳng d: x + y – 2 = 0. Viết phương trình của đường thẳng d′ là ảnh
của đường thẳng d qua phép quay tâm O góc quay α, với:
a) α = 90

0
b) α = 40
0
.
12. Cho
v
r
= (3; 1) và đường thẳng d: y = 2x. Tìm ảnh của d qua phép dời hình có
được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc 90
0
và phép tịnh tiến
theo vectơ
v
r
.
13. Cho đường thẳng d: y =
2 2
. Viết phương trình đường thẳng d′ là ảnh của d
qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ
số k =
1
2
và phép quay tâm O góc 45
0
.
14. Cho đường tròn (C): (x – 2)
2
+ (y – 1)
2
= 4. Viết phương trình đường tròn (C′)

là ảnh của (C) qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép
vị tự tâm O tỉ số k = – 2 và phép đối xứng qua trục Oy.
15. Xét phép biến hình F biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M′(–2x + 3; 2y – 1).
Chứng minh F là một phép đồng dạng.
=================
CHƯƠNG II:
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
9
Hình học 11 Phan Công Trứ
QUAN HỆ SONG SONG
I. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1. Xác định một mặt phẳng
• Ba điểm không thẳng hàng thuộc mặt phẳng. (mp(ABC), (ABC))
• Một điểm và một đường thẳng không đi qua điểm đó thuộc mặt phẳng.
(mp(A,d))
• Hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng. (mp(a, b))
2. Một số qui tắc vẽ hình biểu diễn của hình không gian
• Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn
thẳng.
• Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song,
của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau.
• Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng.
• Đường nhìn thấy vẽ nét liền, đường bị che khuất vẽ nét đứt.
VẤN ĐỀ 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ta có thể tìm hai điểm chung phân
biệt của hai mặt phẳng. Khi đó giao tuyến là đường thẳng đi qua hai điểm
chung đó.
1.Cho hình chóp S.ABCD. Đáy ABCD có AB cắt CD tại E, AC cắt BD tại F.
a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (SAB) và (SCD), (SAC) và (SBD).
b) Tìm giao tuyến của (SEF) với các mặt phẳng (SAD), (SBC).

2. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. M, N, P lần
lượt là trung điểm của BC, CD, SO. Tìm giao tuyến của mp(MNP) với các mặt
phẳng (SAB), (SAD), (SBC) và (SCD).
3. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC và BC. K là một
điểm trên cạnh BD sao cho KD < KB. Tìm giao tuyến của mp(IJK) với (ACD)
và (ABD).
4. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC.
a) Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (IBC) và (JAD).
b) M là một điểm trên cạnh AB, N là một điểm trên cạnh AC. Tìm giao tuyến
của 2 mặt phẳng (IBC) và (DMN).
5. Cho tứ diện (ABCD). M là một điểm bên trong ∆ABD, N là một điểm bên
trong ∆ACD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (AMN) và (BCD),
(DMN) và (ABC).
VẤN ĐỀ 2: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Muốn tìm giao điểm của một đường thẳng và một mặt phẳng ta có thể tìm giao
điểm của đường thẳng đó với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng đã cho.
10
Tài liệu bồi dưỡng Hình học 11 (hay)
1.Cho tứ diện ABCD. Trên AC và AD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho MN
không song song vói CD. Gọi O là một điểm bên trong ∆BCD.
a) Tìm giao tuyến của (OMN) và (BCD).
b) Tìm giao điểm của BC và BD với mặt phẳng (OMN).
2.Cho hình chóp S.ABCD. M là một điểm trên cạnh SC.
a) Tìm giao điểm của AM và (SBD).
b) Gọi N là một điểm trên cạnh BC. Tìm giao điểm của SD và (AMN).
3.Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. K là một
điểm trên cạnh BD và không trùng với trung điểm của BD. Tìm giao điểm của
CD và AD với mặt phẳng (MNK).
4.Cho tứ diện ABCD. M, N là hai điểm lần lượt trên AC và AD. O là một điểm bên
trong ∆BCD. Tìm giao điểm của:

a) MN và (ABO). b) AO và (BMN).
HD: a) Tìm giao tuyến của (ABO) và (ACD).
b) Tìm giao tuyến của (BMN) và (ABO).
5.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang, cạnh đáy lớn AB. Gọi I, J, K là ba
điểm lần lượt trên SA, AB, BC.
a) Tìm giao điểm của IK với (SBD).
b) Tìm các giao điểm của mặt phẳng (IJK) với SD và SC.
HD: a) Tìm giao tuyến của (SBD) với (IJK).
b) Tìm giao tuyến của (IJK) với (SBD và (SCD).
VẤN ĐỀ 3: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng qui
•
Muốn chứng minh ba điểm thẳng hàng ta có thể chứng minh chúng cùng
thuộc hai mặt phẳng phân biệt.
•
Muốn chứng minh ba đường thẳng đồng qui ta có thể chứng minh giao điểm
của hai đường thẳng này là điểm chung của hai mặt phẳng mà giao tuyến là
đường thẳng thứ ba.
1.Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I, J là hai điểm cố định trên SA và SC với SI > IA
và SJ < JC. Một mặt phẳng (P) quay quanh IJ cắt SB tại M, SD tại N.
a) CMR: IJ, MN và SO đồng qui (O =AC∩BD). Suy ra cách dựng điểm N khi
biết M.
b) AD cắt BC tại E, IN cắt MJ tại F. CMR: S, E, F thẳng hàng.
c) IN cắt AD tại P, MJ cắt BC tại Q. CMR PQ luôn đi qua 1 điểm cố định khi
(P) di động.
2.Cho mặt phẳng (P) và ba điểm A, B, C không thẳng hàng ở ngoài (P). Giả sử các
đường thẳng BC, CA, AB lần lượt cắt (P) tại D, E, F. Chứng minh D, E, F
thẳng hàng.
3.Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là ba điểm trên ba cạnh AB, AC, BD sao
cho EF cắt BC tại I, EG cắt AD tại H. Chứng minh CD, IG, HF đồng qui.
4.Cho hai điểm cố định A, B ở ngoài mặt phẳng (P) sao cho AB không song song

với (P). M là một điểm di động trong không gian sao cho MA, MB cắt (P) tại
A′, B′. Chứng minh A′B′ luôn đi qua một điểm cố định.
11
Hình học 11 Phan Công Trứ
5.Cho tứ diện SABC. Qua C dựng mặt phẳng (P) cắt AB, SB tại B
1
, B′. Qua B
dựng mặt phẳng (Q) cắt AC, SC tại C
1
, C′. BB′, CC′ cắt nhau tại O′; BB
1
, CC
1
cắt nhau tại O
1
. Giả sử O′O
1
kéo dài cắt SA tại I.
a) Chứng minh: AO
1
, SO′, BC đồng qui.
b) Chứng minh: I, B
1
, B′ và I, C
1
, C′ thẳng hàng.
VẤN ĐỀ 4: Xác định thiết diện của một hình chóp với một mặt phẳng
Muốn xác định thiết diện của một hình chóp với mặt phẳng (P) ta có thể làm như
sau:
•

Từ điểm chung có sẵn, xác định giao tuyến đầu tiên của (P) với một mặt của
hình chóp (có thể là mặt phẳng trung gian).
•
Cho giao tuyến này cắt các cạnh của mặt đó của hình chóp, ta sẽ được các
điểm chung mới của (P) với các mặt khác. Từ đó xác định được các giao tuyến
mới với các mặt này.
•
Tiếp tục như trên cho tới khi các giao tuyến khép kín ta được thiết diện.
1.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, I là ba điểm
trên AD, CD, SO. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNI).
2.Cho tứ diện đều ABCD, cạnh bằng a. Kéo dài BC một đoạn CE=a. Kéo dài BD
một đoạn DF=a. Gọi M là trung điểm của AB.
a) Tìm thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (MEF).
b) Tính diện tích của thiết diện. HD: b)
2
6
a
3.Cho hình chóp S.ABC. M là một điểm trên cạnh SC, N và P lần lượt là trung
điểm của AB và AD. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP).
HD: Thiết diện là 1 ngũ giác.
4.Cho hình chóp S.ABCD. Trong ∆SBC, lấy một điểm M. Trong ∆SCD, lấy một
điểm N.
a) Tìm giao điểm của MN và (SAC).
b) Tìm giao điểm của SC với (AMN).
c) Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (AMN).
HD: a) Tìm (SMN)
∩
(SAC) b) Thiết diện là tứ giác.
5.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là
trung điểm của SB, SD và OC.

a) Tìm giao tuyến của (MNP) với (SAC), và giao điểm của (MNP) với SA.
b) Xác định thiết diện của hình chóp với (MNP) và tính tỉ số mà (MNP) chia
các cạnh SA, BC, CD.
HD: b) Thiết diện là ngũ giác. Các tỉ số là: 1/3; 1; 1.
6.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SB,
G là trọng tâm ∆SAD.
a) Tìm giao điểm I của GM với (ABCD). Chứng minh (CGM) chứa CD.
b) Chứng minh (CGM) đi qua trung điểm của SA. Tìm thiết diện của hình
chóp với (CGM).
c) Tìm thiết diện của hình chóp với (AGM).
HD: b) Thiết diện là tứ giác c) Tìm (AGM)
∩
(SAC). Thiết diện là tứ giác.
12
Tài liệu bồi dưỡng Hình học 11 (hay)
7.Cho hình chóp S.ABCD, M là một điểm trên cạnh BC, N là một điểm trên cạnh
SD.
a) Tìm giao điểm I của BN và (SAC) và giao điểm J của MN và (SAC).
b) DM cắt AC tại K. Chứng minh S, K, J thẳng hàng.
c) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (BCN).
HD: a) Gọi O=AC
∩
BD thì I=SO
∩
BN, J=AI
∩
MN
b) J là điểm chung của (SAC) và (SDM)
c) Nối CI cắt SA tại P. Thiết diện là tứ giác BCNP.
8.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang ABCD với AB//CD và AB > CD.

Gọi I là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) quay quanh AI cắt các cạnh SB, SD
lần lượt tại M, N.
a) Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố định.
b) IM kéo dài cắt BC tại P, IN kéo dài cắt CD tại Q. Chứng minh PQ luôn đi
qua 1 điểm cố định.
c) Tìm tập hợp giao điểm của IM và AN.
HD: a) Qua giao điểm của AI và SO=(SAC)
∩
(SBD).
b) Điểm A.
c) Một đoạn thẳng.
II. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
1. Định nghĩa
, ( )
/ /
a b P
a b
a b

⊂
⇔

∩ = ∅

2. Tính chất
• Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến phân
biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng qui hoặc đôi một song song.
•
Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì
giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một

trong hai đường thẳng đó.
•
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song
song với nhau.
VẤN ĐỀ 1: Chứng minh hai đường thẳng song song
Phương pháp: Có thể sử dụng 1 trong các cách sau:
1. Chứng minh 2 đường thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng phương pháp
chứng minh song song trong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình,
định lí Talét đảo, …)
2. Chứng minh 2 đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ ba.
3. Áp dụng định lí về giao tuyến song song.
13
a
b
P
Hình học 11 Phan Công Trứ
1.Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ABD.
Chứng minh IJ//CD.
2.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang với đáy lớn AB. Gọi M, N lần lượt
là trung điểm của SA và SB.
a) Chứng minh: MN // CD.
b) Tìm giao điểm P của SC với (AND). Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I.
Chứng minh SI // AB // CD. Tứ giác SABI là hình gì?
3.Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC,
AD, AC, BD.
a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành.
b) Từ đó suy ra ba đoạn MN, PQ, RS cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.
4.Cho tam giác ABC nằm trong mặt phẳng (P). Gọi Bx, Cy là hai nửa đường thẳng
song song và nằm về cùng một phía đối với (P). M, N là hai điểm di động lần
lượt trên Bx, Cy sao cho CN = 2BM.

a) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua 1 điểm cố định I khi M, N di
động.
b) E thuộc đoạn AM và EM =
1
3
EA. IE cắt AN tại F. Gọi Q là giao điểm của
BE và CF. CMR AQ song song với Bx, Cy và (QMN) chứa 1 đường thẳng cố
định khi M, N di động.
5.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q là các điểm
lần lượt nằm trên BC, SC, SD, AD sao cho MN // BS, NP // CD, MQ // CD.
a) Chứng minh: PQ // SA.
b) Gọi K là giao điểm của MN và PQ. Chứng minh: SK // AD // BC.
c) Qua Q dựng các đường thẳng Qx // SC và Qy // SB. Tìm giao điểm của Qx
với (SAB) và của Qy với (SCD).
VẤN ĐỀ 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Phương pháp:
•
Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng.
•
Áp dụng định lí về giao tuyến để tìm phương của giao tuyến.
Giao tuyến sẽ là đường thẳng qua điểm chung và song song với đường thẳng
ấy.
1.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang với đáy lớn AB. Gọi I, J lần lượt là
trung điểm của AD, BC và G là trọng tâm của ∆SAB.
a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJG).
b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJG). Thiết diện là hình
gì? Tìm điều kiện đối với AB và CD để thiết diện là hình bình hành.
2.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm
của các tam giác SAB, SAD. M là trung điểm của CD. Xác định thiết diện của
hình chóp với mặt phẳng (IJM).

3.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang với các đáy AD = a, BC = b. Gọi I,
J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAD, SBC.
14
Tài liệu bồi dưỡng Hình học 11 (hay)
a) Tìm đoạn giao tuyến của (ADJ) với mặt (SBC) và đoạn giao tuyến của
(BCI) với mặt (SAD).
b) Tìm độ dài đoạn giao tuyến của hai mặt phẳng (ADJ) và (BCI) giới hạn bởi
hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
HD: b)
2
5
(a+b).
4.Cho tứ diện đều ABCD, cạnh a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC, BC. Gọi
K là một điểm trên cạnh BD với KB = 2KD.
a) Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJK). Chứng minh thiết diện
là hình thang cân.
b) Tính diện tích thiết diện đó.
HD: b)
2
5 51
288
a
5.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O. Mặt bên SAB là
tam giác đều. Ngoài ra
·
SAD
= 90
0
. Gọi Dx là đường thẳng qua D và song song
với SC.

a) Tìm giao điểm I của Dx với mp(SAB). Chứng minh: AI // SB.
b) Tìm thiết diện của hình chóp SABCD với mp(AIC). Tính diện tích thiết
diện.
HD: b) Tam giác AMC với M là trung điểm của SD. Diện tích
2
14
8
a
III. ĐƯỜNG THẲNG và MẶT PHẲNG SONG SONG
1. Định nghĩa
d // (P)
⇔
d
∩
(P) =
∅
2. Tính chất
•
Nếu đường thẳng d không nằm trên mặt phẳng (P) và d song song với đường
thẳng d
′
nằm trong (P) thì d song song với (P).
•
Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng (Q)
chứa d mà cắt (P) thì cắt theo giao tuyến song song với d.
•
Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao
tuyến của chúng cũng song song với đường thẳng đó.
15
Hình học 11 Phan Công Trứ

•
Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau thì có duy nhất một mặt phẳng chứa
a và song song với b.
VẤN ĐỀ 1: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
Phương pháp: Ta chứng minh d không nằm trong (P) và song song với một đường
thẳng d
′
nào đó nằm trong (P).
1.Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.
a) Gọi O, O′ lần lượt là tâm của ABCD và ABEF. Chứng minh OO′ song song
với các mặt phẳng (ADF) và (BCE).
b) M, N là 2 điểm lần lượt trên hai cạnh AE, BD sao cho AM =
1
3
AE, BN =
1
3
BD. Chứng minh MN // (CDFE).
2.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của các cạnh AB, CD.
a) Chứng minh MN song song với các mặt phẳng (SBC), (SAD).
b) Gọi P là trung điểm của SA. Chứng minh SB, SC đều song song với
(MNP).
c) Gọi G
1
, G
2
là trọng tâm của các tam giác ABC, SBC. Chứng minh G
1
G

2
//
(SBC).
3.Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm của ∆ABD. M là 1 điểm trên cạnh BC sao
cho MB = 2MC. Chứng minh MG // (ACD).
HD: Chứng minh MG song song với giao tuyến của (BMG) và (ACD).
4.Cho tứ diện ABCD. Gọi O, O′ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác
ABC, ABD. Chứng minh rằng:
a) Điều kiện cần và đủ để OO′ // (BCD) là
BC AB AC
BD AB AD
+
=
+
b) Điều kiện cần và đủ để OO′ song song với 2 mặt phẳng (BCD), (ACD)
là BC = BD và AC = AD.
HD: Sử đụng tính chất đường phân giác trong tam giác.
5.Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và G
là trung điểm của đoạn MN.
a) Tìm giao điểm A′ của đường thẳng AG với mp(BCD).
b) Qua M kẻ đường thẳng Mx song song với AA′ và Mx cắt (BCD) tại M′.
Chứng minh B, M′, A′ thẳng hàng và BM′ = M′A′ = A′N.
c) Chứng minh GA = 3GA′.
VẤN ĐỀ 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Phương pháp: Tìm phương của giao tuyến. Từ đó xác định thiết diện của hình
chóp tạo bởi mặt phẳng song song với một hoặc hai đường thẳng cho trước.
1.Cho hình chóp S.ABCD. M, N là hai điểm trên AB, CD. Mặt phẳng (P) qua MN
và song song với SA.
16
Tài liệu bồi dưỡng Hình học 11 (hay)

a) Tìm các giao tuyến của (P) với (SAB) và (SAC).
b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P).
c) Tìm điều kiện của MN để thiết diện là hình thang.
HD: c) MN // BC
2.Trong mặt phẳng (P), cho tam giác ABC vuông tại A,
µ
B
= 60
0
, AB = a. Gọi O là
trung điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài (P) sao cho SB = a và SB ⊥ OA. Gọi
M là 1 điểm trên cạnh AB. Mặt phẳng (Q) qua M và song song với SB và OA,
cắt BC, SC, SA lần lượt tại N, P, Q. Đặt x = BM (0 < x < a).
a) Chứng minh MNPQ là hình thang vuông.
b) Tính diện tích hình thang đó. Tìm x để diện tích lớn nhất.
HD: b) S
MNPQ
=
(4 3 )
4
x a x−
. S
MNPQ
đạt lớn nhất khi x =
2
3
a
3.Cho hình chóp S.ABCD. M, N là hai điểm bất kì trên SB, CD. Mặt phẳng (P) qua
MN và song song với SC.
a) Tìm các giao tuyến của (P) với các mặt phẳng (SBC), (SCD), (SAC).

b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P).
4.Cho tứ diện ABCD có AB = a, CD = b. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và
CD. Mặt phẳng (P) đi qua một điểm M trên đoạn IJ và song song với AB và
CD.
a) Tìm giao tuyến của (P) với (ICD).
b) Xác định thiết diện của tứ diện ABCD với (P).
5.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi C′ là trung điểm của SC,
M là 1 điểm di động trên cạnh SA. Mặt phẳng (P) di động luôn đi qua C′M và
song song với BC.
a) Chứng minh (P) luôn chứa một đường thẳng cố định.
b) Xác định thiết diện mà (P) cắt hình chóp SABCD. Xác định vị trí điểm M
để thiết diện là hình bình hành.
c) Tìm tập hợp giao điểm của 2 cạnh đối của thiết diện khi M di động trên
cạnh SA.
HD: a) Đường thẳng qua C
′
và song song với BC.
b) Hình thang. Hình bình hành khi M là trung điểm của SA.
c) Hai nửa đường thẳng.
IV. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
17
Hình học 11 Phan Công Trứ
1. Định nghĩa
(P) // (Q)
⇔
(P)
∩
(Q) =
∅
2. Tính chất

• Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song
với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q).
•
Nếu đường thẳng d song song với mp(P) thì có duy nhất một mp(Q) chứa d
và song song với (P).
•
Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song
với nhau.
•
Cho một điểm A
∉
(P). khi đó mọi đường thẳng đi qua A và song song với
(P) đều nằm trong một mp(Q) đi qua A và song song với (P).
•
Nếu một mặt phẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì cũng cắt mặt
phẳng kia và các giao tuyến của chúng song song với nhau.
•
Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn
thẳng bằng nhau.
•
Định lí Thales: Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất
kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
•
Định lí Thales đảo: Giả sử trên hai đường thẳng d và d
′
lần lượt lấy các
điểm A, B, C và A
′
, B
′

, C
′
sao cho:
' ' ' ' ' '
AB BC CA
A B B C C A
= =
Khi đó, ba đường thẳng AA
′
, BB
′
, CC
′
lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song
song, tức là chúng cùng song với một mặt phẳng.
VẤN ĐỀ 1: Chứng minh hai mặt phẳng song song
Phương pháp: Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần
lượt song song với hai đường thẳng trong mặt phẳng kia.
1.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của SA, SD.
a) Chứng minh (OMN) // (SBC).
b) Gọi P, Q là trung điểm của AB, ON. Chứng minh PQ // (SBC).
2.Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là hai điểm di động lần lượt trên các cạnh AD, BC
sao cho luôn có:
IA JB
ID JC
=
.
a) CMR: IJ luôn song song với 1 mặt phẳng cố định.
b) Tìm tập hợp điểm M chia đoạn IJ theo tỉ số k cho trước.

HD: a) IJ song song với mp qua AB và song song CD.
b) Tập hợp điểm M là đoạn EF với E, F là các điểm chia AB, CD theo tỉ số
k.
3.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của SA và CD.
a) CMR: (OMN) // (SBC).
18
Tài liệu bồi dưỡng Hình học 11 (hay)
b) Gọi I là trung điểm của SD, J là một điểm trên (ABCD) và cách đều AB,
CD. Chứng minh IJ song song (SAB).
c) Giả sử hai tam giác SAD, ABC đều cân tại A. Gọi AE, AF là các đường
phân giác trong của các tam giác ACD và SAB. Chứng minh EF // (SAD).
HD: c) Chú ý:
ED FS
EC FB
=
4.Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các
đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho: AM = BN. Các
đường thẳng song song với AB vẽ từ M, N lần lượt cắt AD, AF tại M′, N′.
a) Chứng minh: (CBE) // (ADF).
b) Chứng minh: (DEF) // (MNN′M′).
c) Gọi I là trung điểm của MN, tìm tập hợp điểm I khi M, N di động.
HD: c) Trung tuyến tam giác ODE vẽ từ O.
5.Cho hai nửa đường thẳng chéo nhau Ax, By. M và N là hai điểm di động lần lượt
trên Ax, By sao cho AM = BN. Vẽ
NP BA=
uuur uuur
.
a) Chứng minh MP có phương không đổi và MN luôn song song với 1 mặt
phẳng cố định.

b) Gọi I là trung điểm của MN. CMR I nằm trên 1 đường thẳng cố định khi M,
N di động.
6.Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD. CMR các đường phân giác ngoài của các
góc
·
·
·
, ,BAC CAD DAB
đồng phẳng.
HD: Cùng nằm trong mặt phẳng qua A và song song với (BCD).
VẤN ĐỀ 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Phương pháp:
•
Tìm phương của giao tuyến bằng cách sử dụng định lí: Nếu 2 mặt phẳng song
song bị cắt bởi 1 mặt phẳng thứ ba thì 2 giao tuyến song song.
•
Sử dụng định lí trên để xác định thiết diện của hình chóp bị cắt bởi 1 mặt
phẳng song song với 1 mặt phẳng cho trước.
1.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O với AC = a, BD = b.
Tam giác SBD đều. Một mặt phẳng (P) di động luôn song song với mp(SBD)
và đi qua điểm I trên đoạn AC.
a) Xác định thiết diện của hình chóp với (P).
b) Tính diện tích thiết diện theo a, b và x = AI.
HD: a) Xét 2 trường hợp: I
∈
OA, I
∈
OC . Thiết diện là tam giác đều.
b)
2 2

2
2 2
2
3
0
2
( ) 3
2
thieát dieän
b x a
neáu x
a
S
b a x a
neáu x a
a

< <


=

−

< <


2.Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Tam giác ABC nằm trong (P) và đoạn
thẳng MN nằm trong (Q).
19

Hình học 11 Phan Công Trứ
a) Tìm giao tuyến của (MAB) và (Q); của (NAC) và (Q).
b) Tìm giao tuyến của (MAB) và (NAC).
3.Từ bốn đỉnh của hình bình hành ABCD vẽ bốn nửa đường thẳng song song cùng
chiều Ax, By, Cz, Dt không nằm trong (ABCD). Một mặt phẳng (P) cắt bốn
nửa đường thẳng tại A′, B′, C′, D′.
a) Chứng minh (Ax,By) // (Cz,Dt).
b) Chứng minh A′B′C′D′ là hình bình hành.
c) Chứng minh: AA′ + CC′ = BB′ + DD′.
4.Cho tứ diện ABCD. Gọi G
1
, G
2
, G
3
lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC,
ACD, ADB.
a) Chứng minh (G
1
G
2
G
3
) // (BCD).
b) Tìm thiết diện của tứ diện ABCD với mp(G
1
G
2
G
3

). Tính diện tích thiết diện
khi biết diện tích tam giác BCD là S.
c) M là điểm di động bên trong tứ diện sao cho G
1
M luôn song song với
mp(ACD). Tìm tập hợp những điểm M.
HD: b)
4
9
S
5.Cho lăng trụ ABC.A′B′C′. Gọi H là trung điểm của A′B′.
a) Chứng minh CB′ // (AHC′).
b) Tìm giao điểm của AC′ với (BCH).
c) Mặt phẳng (P) qua trung điểm của CC′ và song song với AH và CB′. Xác
định thiết diện và tỉ số mà các đỉnh của thiết diện chia cạnh tương ứng của lăng
trụ.
HD: c) M, N, P, Q, R theo thứ tự chia các đoạn CC
′
, B
′
C
′
, A
′
B
′
, AB, AC
theo các tỉ số 1, 1, 3,
1
3

, 1.
6.Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′.
a) Chứng minh hai mặt phẳng (BDA′) và (B′D′C) song song.
b) Chứng minh đường chéo AC′ đi qua các trọng tâm G
1
, G
2
của 2 tam giác
BDA′, B′D′C. Chứng minh G
1
, G
2
chia đoạn AC′ làm ba phần bằng nhau.
c) Xác định thiết diện của hình hộp cắt bởi mp(A′B′G
2
). Thiết diện là hình gì?
HD: c) Hình bình hành.
7.Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a. Trên AB, CC′, C′D′, AA′ lần lượt
lấy các điểm M, N, P, Q sao cho AM = C′N = C′P = AQ = x (0 ≤ x ≤ a).
a) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng và MP, NQ cắt nhau tại 1
điểm cố định.
b) Chứng minh mp(MNPQ) luôn chứa 1 đường thẳng cố định.
Tìm x để (MNPQ) // (A′BC′).
c) Dựng thiết diện của hình lập phương cắt bởi (MNPQ). Thiết diện có đặc
điểm gì? Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của chu vi thiết diện.
HD: a) MP và NQ cắt nhau tại tâm O của hình lập phương.
b) (MNPQ) đi qua trung điểm R, S của BC và A
′
D
′

. x =
2
a
.
c) Thiết diện là lục giác MRNPSQ có tâm đối xứng là O.
20
Tài liệu bồi dưỡng Hình học 11 (hay)
Chu vi nhỏ nhất: 3a
2
; chu vi lớn nhất: 2a(
2
+ 1).
8.Cho lăng trụ ABC.A′B′C′.
a) Tìm giao tuyến của (AB′C′) và (BA′C′).
b) Gọi M, N lần lượt là 2 điểm bất kì trên AA′ và BC. Tìm giao điểm của B′C′
với mặt phẳng (AA′N) và giao điểm của MN với mp(AB′C′).
9.Cho lăng trụ ABC.A′B′C′. Chứng minh rằng các mặt phẳng (ABC′), (BCA′) và
(CAB′) có một điểm chung O ở trên đoạn GG′ nối trọng tâm ∆ABC và trọng
tâm ∆A′B′C′. Tính
OG
OG
′
. HD:
1
2
BÀI TẬP ÔN
1.Cho tứ diện ABCD có AB = 2a, tam giác BCD vuông tại C có BD = 2a, BC = a.
Gọi E là trung điểm của BD. Cho biết
·
0

( , ) 60AB CE =
.
a) Tính 2AC
2
– AD
2
theo a.
b) (P) là 1 mặt phẳng song song với AB và CE, cắt các cạnh BC, BD, AE, AC
theo thứ tự tại M, N, P, Q. Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a và x = BM (0
< x < a). Xác định x để diện tích ấy lớn nhất.
c) Tìm x để tổng bình phương các đường chéo của MNPQ là nhỏ nhất.
d) Gọi O là giao điểm của MP và NQ. Tìm (P) để OA
2
+ OB
2
+ OC
2
+ OD
2
nhỏ nhất.
HD: a) Gọi F là trung điểm của AD.
Xét
· ·
0 0
60 , 120CEF CEF= =
⇒
2AC
2
– AD
2

= 6a
2
hoặc –2a
2
.
b) S = x(a – x)
3
;
2 2
a
x =
c) x =
2
a
d) OA
2
+ OB
2
+ OC
2
+ OD
2
= 4OG
2
+ GA
2
+ GB
2
+ GC
2

+ GD
2
.
O di động trên đoạn IJ nối trung điểm của AB và CE. Tổng nhỏ nhất khi O
là hình chiếu của G lên IJ ( G là trọng tâm tứ diện ABCD).
2.Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi I, J là trọng tâm các tam giác ABC và DBC.
Mặt phẳng (P) qua IJ cắt các cạnh AB, AC, DC, DB tại M, N, P, Q.
a) Chứng minh MN, PQ, BC đồng qui hoặc song song và MNPQ thường là
hình thang cân.
b) Đặt AM = x, AN = y. CMR: a(x + y) = 3xy. Suy ra:
4 3
3 2
a a
x y≤ + ≤
.
c) Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a và s = x + y.
HD: b) S
∆
AMN
= S
AMI
+ S
ANI
c)
2
2 8
.
4 3
a s as
s

−
−
.
3.Cho hình chóp S.ABCD. Tứ giác đáy có AB và CD cắt nhau tại E, AD và BC cắt
nhau tại F, AC và BD cắt nhau tại G. Mặt phẳng (P) cắt SA, SB, SC lần lượt
tại A′, B′, C′.
21
Hình học 11 Phan Công Trứ
a) Tìm giao điểm D′ của SD với (P).
b) Tìm điều kiện của (P) để A′B′ // C′D′.
c) Với điều kiện nào của (P) thì A′B′C′D′ là hình bình hành? CMR khi đó:
SA SC SB SD
SA SC SB SD
′ ′ ′ ′
+ = +
d) Tính diện tích tứ giác A′B′C′D′.
HD: b) (P) // SE.
c) (P) // (SEF). Gọi G
′
= A
′
C
′∩
B
′
D
′
. Chứng minh:
2SA SC SG
SA SC SG

′ ′ ′
+ =
d) S
A
′
B
′
C
′
D
′
=
2
3
32
a
.
4.Cho mặt phẳng (P) và hai đường thẳng chéo nhau d
1
, d
2
cắt (P) tại A và B. Đường
thẳng (∆) thay đổi luôn song song với (P), cắt d
1
tại M, d
2
tại N. Đường thẳng
qua N và song song d1 cắt (P) tại N′.
a) Tứ giác AMNN′ là hình gì? Tìm tập hợp điểm N′.
b) Xác định vị trí của (∆) để MN có độ dài nhỏ nhất.

c) Gọi O là trung điểm của AB, I là trung điểm của MN. Chứng minh OI là
đường thẳng cố định khi M di động.
d) Tam giác BMN vuông cân đỉnh B và BM = a. Tính diện tích thiết diện của
hình chóp B.AMNN′ với mặt phẳng qua O và song song với mặt phẳng
(BMN).
HD: a) Hình bình hành. Tập hợp các điểm N
′
là d
3
, giao tuyến của (P) với
mặt phẳng qua d
2
và song song với d
1.
b) MN nhỏ nhất khi AN
′
vuông góc d
3
tại N
′
.
d)
2
3
8
a
5.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. M và P là hai điểm lần lượt di
động trên AD và SC sao cho:
MA PS
x

MD PC
= =
(x > 0).
a) CMR: MP luôn song song với một mặt phẳng cố định (P).
b) Tìm giao điểm I của (SBD) với MP.
c) Mặt phẳng qua M và song song với (P) cắt hình chóp SABCD theo một
thiết diện và cắt BD tại J. Chứng minh IJ có phương không đổi. Tìm x để PJ
song song với (SAD).
d) Tìm x để diện tích thiết diện bằng k lần diện tích ∆SAB (k > 0 cho trước).
HD: a) Mặt phẳng (SAB). c) Phương của SB; x = 1.
d) x =
1 1k k
k
− + −
(0 < k < 1).
6.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. SA = SB =
SC = SD = a. Gọi M là một điểm trên đoạn AO. (P) là mặt phẳng qua M và
song song với AD và SO. Đặt
AM
k
AO
=
(0 < k < 1).
a) Chứng minh thiết diện của hình chóp với (P) là hình thang cân.
b) Tính các cạnh của thiết diện theo a và k.
22
Tài liệu bồi dưỡng Hình học 11 (hay)
c) Tìm k để thiết diện trên ngoại tiếp được 1 đường tròn. Khi đó hãy tính diện
tích thiết diện theo a.
HD: b) a; (1 – k)a;

3
2
ka
c) k=
2
6
3 1;
9
a
−
7.Cho lăng trụ ABC.A′B′C′. Gọi M, N, P là 3 điểm lần lượt nằm trên 3 đoạn AB′,
AC′, B′C sao cho
AM C N CP
x
AB AC CB
′
= = =
′ ′ ′
.
a) Tìm x để (MNP) // (A′BC′). Khi đó hãy tính diện tích của thiết diện cắt bởi
mp(MNP), biết tam giác A′BC′ là tam giác đều cạnh a.
b) Tìm tập hợp trung điểm của NP khi x thay đổi.
HD: a) x =
2
1 2 3
;
3 9
a
b) Đoạn thẳng nối trung điểm của CC
′

và
AB.
8.Cho lăng trụ ABCD.A′B′C′D′, có đáy là hình thang với AD = CD = BC = a, AB
= 2a Mặt phẳng (P) qua A cắt các cạnh BB′, CC′, DD′ lần lượt tại M, N, P.
a) Tứ giác AMNP là hình gì? So sánh AM và NP.
b) Tìm tập hợp giao điểm của AN và MP khi (P) di động.
c) CMR: BM + 2DP = 2CN.
HD: a) Hình thang. AM = 2NP. b) Đoạn thẳng song song với
cạnh bên.
c) DP =
5
4
a
.
=======================
CHƯƠNG III:
VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
I. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
1. Định nghĩa và các phép toán
• Định nghĩa, tính chất, các phép toán về vectơ trong không gian được xây
dựng hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng.
• Lưu ý:
+ Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có:
AB BC AC+ =
uuur uuur uuur
+ Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có:
AB AD AC+ =
uuur uuur uuur
+ Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′, ta có:

' 'AB AD AA AC+ + =
uuur uuur uuur uuuur
+ Hêï thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB,
O tuỳ ý.
Ta có:
0IA IB+ =
uur uur
r
;
2OA OB OI+ =
uuur uuur uur
+ Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuỳ
ý. Ta có:
23
Hỡnh hc 11 Phan Cụng Tr
0; 3GA GB GC OA OB OC OG+ + = + + =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
r
+ H thc trng tõm t din: Cho G l trng tõm ca t din ABCD, O tu
ý. Ta cú:
0; 4GA GB GC GD OA OB OC OD OG+ + + = + + + =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
r
+ iu kin hai vect cựng phng:
( 0) ! :a vaứ b cuứng phửụng a k R b ka =
r r r
r r r
+ im M chia on thng AB theo t s k (k 1), O tu ý. Ta cú:
;
1

OA kOB
MA kMB OM
k

= =

uuur uuur
uuur uuur uuuur
2. S ng phng ca ba vect
Ba vect c gi l ng phng nu cỏc giỏ ca chỳng cựng song song vi
mt mt phng.
iu kin ba vect ng phng: Cho ba vect
, ,a b c
r
r r
, trong ú
a vaứ b
r
r
khụng cựng phng. Khi ú:
, ,a b c
r
r r
ng phng ! m, n R:
c ma nb= +
r
r r
Cho ba vect
, ,a b c
r

r r
khụng ng phng,
x
r
tu ý.
Khi ú: ! m, n, p R:
x ma nb pc= + +
r
r r r
3. Tớch vụ hng ca hai vect
Gúc gia hai vect trong khụng gian:
ã ã
0 0
, ( , ) (0 180 )AB u AC v u v BAC BAC= = =
uuur uuur
r r r r
Tớch vụ hng ca hai vect trong khụng gian:
+ Cho
, 0u v
r
r r
. Khi ú:
. . .cos( , )u v u v u v=
r r r r r r
+ Vi
0 0u hoaởc v= =
r r
r r
. Qui c:
. 0u v =

r r
+
. 0u v u v
=
r r r r
VN 1: Chng minh mt ng thc vect.
Da vo qui tc cỏc phộp toỏn v vect v cỏc h thc vect.
6.Cho t din ABCD. Gi E, F ln lt l trung im ca AB v CD, I l trung
im ca EF.
a) Chng minh:
0IA IB IC ID+ + + =
uur uur uur uur
r
.
b) Chng minh:
4MA MB MC MD MI+ + + =
uuur uuur uuuur uuuur uuur
, vi M tu ý.
c) Tỡm im M thuc mt phng c nh (P) sao cho:
MA MB MC MD+ + +
uuur uuur uuuur uuuur
nh
nht.
7. Chng minh rng trong mt t din bt kỡ, cỏc on thng ni trung im ca
cỏc cnh i ng qui ti trung im ca chỳng. (im ng qui ú c gi
l trng tõm ca t din)
24
Tài liệu bồi dưỡng Hình học 11 (hay)
8. Cho tứ diện ABCD. Gọi A′, B′, C′, D′ lần lượt là các điểm chia các cạnh AB,
BC, CD, DA theo tỉ số k (k ≠ 1). Chứng minh rằng hai tứ diện ABCD và

A′B′C′D′ có cùng trọng tâm.
VẤN ĐỀ 2: Chứng minh ba vectơ đồng phẳng.
Phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng
•
Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta có thể chứng minh bằng một trong
các cách:
+ Chứng minh các giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng.
+ Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng:
Nếu có m, n ∈ R:
c ma nb= +
r
r r
thì
, ,a b c
r
r r
đồng phẳng
•
Để phân tích một vectơ
x
r
theo ba vectơ
, ,a b c
r
r r
không đồng phẳng, ta tìm các
số m, n, p sao cho:
x ma nb pc= + +
r
r r r

6.Cho tam giác ABC. Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC). Trên đoạn SA lấy
điểm M sao cho
2MS MA= −
uuur uuur
và trên đoạn BC lấy điểm N sao cho
1
2
NB NC= −
uuur uuur
.
Chứng minh rằng ba vectơ
, ,AB MN SC
uuur uuuur uuur
đồng phẳng.
HD: Chứng minh
2 1
3 3
MN AB SC= +
uuuur uuur uuur
.
7.Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi M, N, I, J, K, L lần lượt là trung điểm của các
cạnh AE, CG, AD, DH, GH, FG; P và Q lần lượt là trung điểm của NG và JH.
a) Chứng minh ba vectơ
, ,MN FH PQ
uuuur uuur uuur
đồng phẳng.
b) Chứng minh ba vectơ
, ,IL JK AH
uur uuur uuur
đồng phẳng.

HD: a)
, ,MN FH PQ
uuuur uuur uuur
có giá cùng song song với (ABCD).
b)
, ,IL JK AH
uur uuur uuur
có giá cùng song song với (BDG).
8. Cho hình lăng trụ ABC.DEF. Gọi G, H, I, J, K lần lượt là trung điểm của AE,
EC, CD, BC, BE.
a) Chứng minh ba vectơ
, ,AJ GI HK
uur uur uuur
đồng phẳng.
b) Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên AF và CE sao cho
1
3
FM CN
FA CE
= =
. Các
đường thẳng vẽ từ M và N song song với CF lần lượt cắt DF và EF tại P và Q.
Chứng minh ba vectơ
, ,MN PQ CF
uuuur uuur uuur
đồng phẳng.
9.Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và
DD′; G và G′ lần lượt là trọng tâm của các tứ diện A′D′MN và BCC′D′.
Chứng minh rằng đường thẳng GG′ và mặt phẳng (ABB′A′) song song với
nhau.

HD: Chứng minh
( )
1
' 5 '
8
GG AB AA= −
uuuur uuur uuur

⇒

, ', 'AB AA GG
uuur uuur uuuur
đồng phẳng.
10. Cho ba vectơ
, ,a b c
r
r r
không đồng phẳng và vectơ
d
r
.
a) Cho
d ma nb= +
r r
r
với m và n ≠ 0. Chứng minh các bộ ba vectơ sau không
đồng phẳng:
25