Phương pháp luyện tập về khảo sát hàm số luyện thi đại học

PHƯƠNG PHÁP LUYỆN TẬP
KHẢO SÁT HÀM SỐ
Hội Đồng Bộ Môn Toán – Tỉnh Đồng Tháp
CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
I. Đặt vấn đề
Nhằm giúp học sinh có định hướng tốt môn toán cho kỳ thi TN THPT , ta đưa ra một số
bài toán khảo sát hàm số nằm trong nội dung kiến chương trình ,để học sinh có cơ hội
làm quen được dạng toán của kỳ thi . Với một số bài toán dưới đây không là tất cả , mà
nó chỉ là nét điển hình chung để phác hoạ lên kiến thức yêu cầu của một bài toán khảo sát
hàm số . Mong HĐBM cùng với các thầy cô cùng tham luận để nâng cao chất lượng dạy
và học toán của tỉnh nhà .
II. Nội dung thực hiện
Yêu cầu kiến thức
• Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số .
• Biện luận số nghiệm phương trình , số giao điểm giữa hai đồ thị .
• Phương trình tiếp tuyến tại một điểm cho trước .
• Phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc .
• Phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm .
• Phương trình tiếp tuyến song song với một đường thẳng cho trước .
• Phương trình tiếp tuyến vuông góc với một đường thẳng cho trước .
• Một số dạng toán liên quan đến đơn điệu , cực trị , giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất
và đồ thị chứa dấu giá trị tuyệt đối .
Yêu cầu đối với học sinh
• Phải bảo đảm tất cả mọi học sinh đều thành thạo trong việc khảo sát và vẽ được đồ
thị ba hàm số
3 2 4 2
ax b
y ax bx cx d; y ax bx c; y
cx d
+
= + + + = + + =

+
theo đúng mẫu của SGD
gởi đến.
GV:Nguyễn Văn Rinh Trường THPT Hồng Ngự I
1
Hội Đồng Bộ Môn Toán – Tỉnh Đồng Tháp
CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
• Phải bảo đảm mọi học sinh thực hiện tốt các bài toán liên quan đến khảo sát hàm
số .
• Phải thường xuyên ôn tập cho học sinh (Bằng cách ra đề tương tự bắt học sinh làm
tại nhà ).
III. Bài toán luyện tập
a. Hàm số bậc ba
( )
0a ≠

Bài 1. Cho hàm số
3
3 2y x x= − +
(C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Dựa vào đồ thị (C) , biện luận theo m số nghiệm thực của phương
3
3 2 0x x m− + − =
.
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm
( )
2;4M
.
4. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ

1
2
x =
.
5. Viết phương trình của (C) tại các điểm có tung độ
0y =
.
Bài 2. Cho hàm số
3 2
3 4y x x= − + −
(C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Dựa vào đồ thị (C) , biện luận theo m số nghiệm thực của phương
3 2
3 0x x m− + =
.
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ là
1
2
x =
.
4. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến
9
4
k =
.
5. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) , biết tiếp tuyến song song với đường
thẳng
( )
: 3 2010d y x= +

.
Bài 3. Cho hàm số
3
4 3 1y x x= − −
(C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
GV:Nguyễn Văn Rinh Trường THPT Hồng Ngự I
2
3 2
y = ax + bx +cx + d
Hội Đồng Bộ Môn Toán – Tỉnh Đồng Tháp
CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
2. Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm thực phương trình :

− + =
3
3
0
4
x x m
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng

( )
1
15
: 2010
9
d y x= − +
4. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

( )
2
: 2010
72
x
d y = − +
5. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết tiếp tuyến đi qua điểm
( )
1, 4M −
.
Bài 4. Cho hàm số
3 2
2 3 1y x x= - -
(C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

( )
1
2
: 2010
3
d y x= +
3. Viết phương trình đường thẳng đi qua
( )
2;3M
và tiếp xúc với đồ thị (C).
4. Tìm m để đường thẳng
( )
2

: 1d y mx= −
cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt .
5. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị
(C).
Bài 5. Cho hàm số
3 2
2 3 1y x x= - + -
(C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
GV:Nguyễn Văn Rinh Trường THPT Hồng Ngự I
3
Hội Đồng Bộ Môn Toán – Tỉnh Đồng Tháp
CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

( )
1
2
: 2010
3
d y x= − +
3. Viết phương trình đường thẳng đi qua
1
1;
4
M
 
 ÷
 
và tiếp xúc với đồ thị (C).

4. Tìm m để đường thẳng
( )
2
: 1d y mx= −
cắt đồ thị (C) tại một điểm duy nhất .
5. Tìm m để đường thẳng
( ) ( )
3
: 1d y m x= −
cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt .
Bài 6. Cho hàm số
( ) ( )
2
2 1y x x= - +
(C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Tìm m để đồ thị (C’)
( ) ( )
2 2y x m= − −
cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt .
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

( )
1
3
: 2010
8
d y x= − +
4. Tìm m để đường thẳng
( ) ( )

2
: 1d y m x= +
cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt .
5. Viết phương trình parabol đi qua các điểm cực đai, cực tiểu và điểm
( )
3;4M −
.
Bài 7. Cho hàm số
3
2
2 3 1
3
x
y x x= − + +
(C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình :

3 2
6 9 3 0x x x m− + + − =
3. Tìm tất cả các tâm đối xứng của đồ thị (C) .
4. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hệ số góc tiếp tuyến nhỏ nhất .
5. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm
7
4;
3
M
 
 ÷
 

và tiếp xúc đồ thị (C) .
Bài 8. Cho hàm số
( )
3 2
3 1 2y x m x= − + + −
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
0m =
.
GV:Nguyễn Văn Rinh Trường THPT Hồng Ngự I
4
Hội Đồng Bộ Môn Toán – Tỉnh Đồng Tháp
CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
2. Biện luận theo k số nghiệm thực của phương trình :
3 2
3 2 0x x k− − =
.
3. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu .Viết phương trình đường thẳng đi qua
hai điểm cực đại và cực tiểu .
4. Tìm m để hàm số đạt cực đại tại
2x
=
.
5. Tìm tất cả những điểm
( )
M C∈
sao cho ta kẻ được đúng một tiếp tuyến đến
(C) .
Bài 9. Cho hàm số
3 2
8 4 16

27 9 9
y x x x= − − +
(C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình :

3 2
8 12 48 0x x x m+ − − =
3. Tìm tất cả các tâm đối xứng của đồ thị (C) .
4. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hệ số góc tiếp tuyến lớn nhất .
5. Tìm k để phương trình
3
2
8 12 48 0x x x k+ − + =
có hai nghiệm thực trên đoạn
[ ]
2;2−
.
Bài 10. Cho hàm số
( )
3
4 3 1 1y x m x= − + +

( )
m
C
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C
0
) của hàm số khi
0m =

.
2. Dựa vào đồ thị (C
0
) biện luận theo k số nghiệm thực của phương trình :

3
4 3 0x x k− + =
3. Tìm m để họ đồ thị (C
m
) có hai cực trị .
4. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của họ đồ thị (C
m
).
5. Tìm quĩ tích cực trị của họ đồ thị (C
m
) .
b. Hàm số trùng phương
( )
0a ≠
Bài 1. Cho hàm số
4 2
2y x x= −
(C)
GV:Nguyễn Văn Rinh Trường THPT Hồng Ngự I
5
4 2
y = ax + bx + c
Hội Đồng Bộ Môn Toán – Tỉnh Đồng Tháp
CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .

2. Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình
4 2
2x x m− =
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ
2x =
.
4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ
8y =
.
5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng
24 .
Bài 2. Cho hàm số
4 2
2 1y x x= − + −
(C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình
4 2
2x x m− =
.
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ
2x
=
.
4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ
9y = −
.
5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng
24
Bài 3. Cho hàm số

4 2
1y x x= + +
(C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình
4 2
2x x m− =
.
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ
21
16
y =
.
4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với
đường
thẳng
( )
1
: 6 2010d y x= +
.
5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với
đường thẳng
( )
2
1
: 2010
6
d y x= +
.
Bài 4. Cho hàm số

4 2
1y x x= − +
(C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình
4 2
0x x m− + + =
GV:Nguyễn Văn Rinh Trường THPT Hồng Ngự I
6
Hội Đồng Bộ Môn Toán – Tỉnh Đồng Tháp
CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ
3
16
y =
.
4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng
2.
5. Tìm các điểm trên trục tung sao cho từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) .
Bài 5. Cho hàm số
4 2
1
2
4
y x x= −
(C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Tìm m để phương trình
4 2
8x x m− + =

có 4 nghiệm thực phân biệt.
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với
đường
thẳng
( )
1
: 15 2010d y x= +
.
4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với
đường
thẳng
( )
2
8
: 2010
45
d y x= − +
.
5. Viết phương trình parabol đi qua các điểm cực trị của đồ thị (C) .
Bài 6. Cho hàm số
4 2
1
2 1
4
y x x= − + −
(C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Tìm m để phương trình
4 2
8 4x x m− + =

có 2 nghiệm thực phân biệt .
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ
1x
=
.
4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với
đường
thẳng
( )
: 8 231 1 0d x y− + =
.
5. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm
( )
0; 1M −
và tiếp xúc với đồ thị (C) .
Bài 7. Cho hàm số
4 2
2 3y x x= − +
(C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
GV:Nguyễn Văn Rinh Trường THPT Hồng Ngự I
7
Hội Đồng Bộ Môn Toán – Tỉnh Đồng Tháp
CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
2. Dựa vào đồ thị (C) , hãy giải bất phương trình
4 2
2 8x x− + > −
.
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung .
4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng 3 .

5. Tìm m để đường thẳng
( )
: 3d y mx= +
cắt đồ thị (C) tại 4 điểm phân biệt .
Bài 8. Cho hàm số
4
2
5
3
2 2
x
y mx m= − +
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
1m
=
.
2. Biện luận theo k số nghiệm thực của phương trình
4 2
6 0x x k− + =
.
3. Dựa vào đồ thị (C) , hãy giải bất phương trình
4
2
3 4
2
x
x− < −
.
4. Tìm m để hàm số (1) đạt cực tiểu tại
3x =

.
5. Tìm m để hàm số (1) có 3 cực trị .
Bài 9. Cho hàm số
4 2 2
2y x mx m m= + + +

1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
2m
= −
.
2. Biện luận theo k số nghiệm thực của phương trình
4 2
4 0x x k− + =
.
3. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại
1x
= −
.
4. Tìm m để hàm số có 1 cực trị .
5. Tìm m để hàm số (1) có 3 điểm cực trị và 3 điểm cực trị đó lập thành một tam
giác có một góc 120
0
.
Bài 10. Cho hàm số
( )
4 2 2
9 10y mx m x= + − +
(1)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
1m =

.
2. Tìm k để phương trình
4 2
8 10 0x x k− + =
có hai nghiệm thực phân biệt .
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với
đường thẳng
( )
: 2 45 1 0d x y+ − =
.
4. Tìm m để hàm số có một điểm cực trị .
5. Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị .
GV:Nguyễn Văn Rinh Trường THPT Hồng Ngự I
8
ax + b
y =
cx +d
Hội Đồng Bộ Môn Toán – Tỉnh Đồng Tháp
CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
c. Hàm số hữu tỉ
Bài 1. Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
+
(C)

1. Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ
1
2
x =
.
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ
1
2
y = −
.
4. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến
3k
= −
.
5. Tìm m để đường thẳng
( )
5
: 2
3
d y mx m= + −
cắt (C) tại 2 điểm phân biệt .
Bài 2. Cho hàm số
1
1
x
y
x
+
=

−
(C)
1. Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ
1
2
y =
.
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với
đường
thẳng
( )
1
9
: 2010
2
d y x= − +
.
4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với
đường thẳng
( )
2
1
: 1
8
d y x= −
.
5. Tìm m để đường thẳng
( )
3

1
: 2
3
d y mx m= + +
cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt
có hoành độ âm .
Bài 3. Cho hàm số
1
1
x
y
x
−
=
+
(C)
GV:Nguyễn Văn Rinh Trường THPT Hồng Ngự I
9
Hội Đồng Bộ Môn Toán – Tỉnh Đồng Tháp
CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
1. Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục hoành .
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục tung .
4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với
đường thẳng
( )
1
8 1
:
9 3

d y x= − +
.
5. Tìm m để đường thẳng
( )
2
1
: 2
3
d y mx m= − +
cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt
có hoành độ dương .
Bài 4. Cho hàm số
3 1
1
x
y
x
+
=
−
(C)
1. Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với
đường phân giác của góc phần tư thứ nhất .
3. Tìm m để đường thẳng
( )
1
: 2 7d y mx m= − −
cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B phân
biệt .Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng AB .

4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với
đường thẳng
( )
2
: 2 0d x y+ − =
.
5. Tìm những điểm trên đồ thị (C) có toạ độ với hoành độ và tung độ đều là số
nguyên .
Bài 5. Cho hàm số
2
2
x
y
x
+
=
−
(C)
1. Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với
đường phân giác của góc phần tư thứ hai .
3. Viết phương trình đường thẳng qua điểm
( )
3;4M
và tiếp xúc với đồ thị (C) .
4. Tìm m để đường thẳng
( )
1
: 3d y mx m= + −
đồ thị (C) tại hai điểm A, B phân

biệt .Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng AB .
GV:Nguyễn Văn Rinh Trường THPT Hồng Ngự I
10
Hội Đồng Bộ Môn Toán – Tỉnh Đồng Tháp
CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
5. Tìm những điểm trên đồ thị (C) có toạ độ với hoành độ và tung độ đều là số
nguyên .
Bài 6. Cho hàm số
3
2 1
x
y
x
−
=
−
(C)
1. Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với
đường phân giác của góc phần tư thứ hai .
3. Viết phương trình đường thẳng qua điểm
6
3;
5
M
 
−
 ÷
 
và tiếp xúc với đồ thị (C) .

4. Tìm những điểm trên đồ thị (C) có toạ độ với hoành độ và tung độ đều là số
nguyên .
5. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên (C) đến hai
đường tiệm cận của (C) là một hằng số .
Bài 7. Cho hàm số
4
1
x
y
x
+
=
+
(C)
1. Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Tìm m để đường thẳng
( )
: 0d x y m− + =
cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A,
B . Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng AB .
3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
cos 4
( )
cos 1
t
g t
t
+
=
+

trên
0;
2
π
 
 
 
.
4. Viết phương trình đường thẳng qua điểm
10
2;
3
M
 
−
 ÷
 
và tiếp xúc với đồ thị (C) .
5. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên (C) đến hai
đường tiệm cận của (C) là một hằng số .
Bài 8. Cho hàm số
2 4
1
x
y
x
−
=
+
(C)

1. Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số giao điểm của đồ thị (C) và đường
thẳng
y m=
.
GV:Nguyễn Văn Rinh Trường THPT Hồng Ngự I
11
Hội Đồng Bộ Môn Toán – Tỉnh Đồng Tháp
CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) và đường thẳng
( )
1
:d y x= −
.
4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2sin2 4
( )
sin 2 1
t
g t
t
−
=
+
trên
0;
2
π
 
 

 
.
5. Tìm trên đồ thị (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng
( )
2
3
:
2
x
d y
− −
=
.
Bài 9. Cho hàm số
2
1
x
y
x
+
=
−
(C)
1. Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Tìm những điểm trên (C) sao cho khoảng từ điểm đó đến trục hoành gấp đôi
khoảng cách từ đó đến trục tung .
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại những điểm tìm được ở câu 2 .
4. Tìm tất cả các tâm đối xứng của đồ thị (C) .
5. Tìm m để phương trình
sin 2

sin 1
t
m
t
+
=
−
có nghiệm .
Bài 10. Cho hàm số
2 2
2
x
y
x
−
=
+
(C)
1. Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Tìm toạ độ những điểm M sao cho
[ ]
[ ]
,
4
, 5
d M Ox
d M Oy
=
.
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại những điểm tìm được ở câu 2 .

4. Chứng tỏ giao điểm hai đường tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị (C) .
5. Tìm m để phương trình
2 2
2
x
m
x
−
=
+
có 4 nghiệm phân biệt .
BÀI GIẢI
a. Hàm số bậc ba
( )
0a ≠
GV:Nguyễn Văn Rinh Trường THPT Hồng Ngự I
12
3 2
y = ax + bx + cx + d
Hội Đồng Bộ Môn Toán – Tỉnh Đồng Tháp
CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Bài 1. Cho hàm số
3
3 2y x x= − +
(C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Dựa vào đồ thị (C) , biện luận theo m số nghiệm của phương
3
3 2 0x x m− + − =

.
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm
( )
2;4M
.
4. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ
1
2
x =
.
5. Viết phương trình của (C) tại các điểm có tung độ là 0 .
Đáp án:
CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM
CÂU 1
(x
điểm)
1. (điểm)
1) Tập xác định:
D = ¡
2) Sự biến thiên
a) Giới hạn
x
lim y
→−∞
= −∞
và
x
lim y
→+∞
= +∞

b) Bảng biến thiên
2
y' 3x 3= −
y' 0 x 1= ⇔ = ±
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng
( )
; 1−∞ −
và
( )
1;+∞
,
nghịch biến trên khoảng
( )
1;1−
.
Hàm số đạt cực đại tại
x 1= −
,
CÑ
y 4=
, đạt cực tiểu tại
x 1=
,
CT
y 0=
.
3) Đồ thị
• Điểm uốn: (chương trình chuẩn không học)
GV:Nguyễn Văn Rinh Trường THPT Hồng Ngự I

x
y’
y
-∞
-1
1
+∞
0
0
+
-
+
4
+∞
-∞
0
13
Hội Đồng Bộ Môn Toán – Tỉnh Đồng Tháp
CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM
y'' 6x=
y'' 0 x 0= ⇔ =
Do y'' đổi dấu khi x đi qua
0
x 0=
Tọa độ điểm uốn
( )
U 0;2
• Giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ
+ Giao điểm với Oy:

x 0 y 2= ⇒ =
:
( )
0;2
+ Giao điểm với Ox:
( ) ( )
x 1
y 0 : 1;0 , 2;0
x 2
=

= ⇔ −
= −



-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
Nhận xét: Đồ thị nhận điểm uốn
( )
U 0;2

làm tâm đối xứng.
2. (điểm)
Số nghiệm thực của phương trình
3
3 2 0x x m− + − =
bằng số giao điểm
của đồ
thị (C) của hàm số
3
y x 3x 2= − +
và đừờng thẳng (d):
y m=
.
Dựa vào đồ thị ta có:
Với
m 0<
hoặc
m 4>
, (d) và (C) có một điểm chung, do đó phương
trình có
một nghiệm.
Với
m 0=
hoặc
m 4=
, (d) và (C) có hai điểm chung, do đó phương
trình có
hai nghiệm.
Với
0 m 4

< <
, (d) và (C) có ba điểm chung, do đó phương trình có ba
nghiệm.
3. (điểm)
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm
( )
M 2;4
là
( )
y' 2 9=
.
GV:Nguyễn Văn Rinh Trường THPT Hồng Ngự I
14
Hội Đồng Bộ Môn Toán – Tỉnh Đồng Tháp
CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M là
y 9x 14= −
.
4. (điểm)
Điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ
0
1
x
2
=
, có tung độ
0
1
y

2
=
.
Hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm
1 1
;
2 2
 
 ÷
 
là
1 9
y'
2 4
 
= −
 ÷
 
Phương tình tiếp tuyến của (C) tại điểm
1 1
;
2 2
 
 ÷
 
là
9 13
y x
4 8
= − +

.
5. (điểm)
Điểm thuộc (C) có tung độ
0
y 0=
, có hoành độ
01
x 2= −
hoặc
02
x 1=
.
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm
( )
2;0−
là
( )
y' 2 9− =
.
Phương trình của hai tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 0 là
y 9x 18= +
và
y 0=
.
GV:Nguyễn Văn Rinh Trường THPT Hồng Ngự I
15
Hội Đồng Bộ Môn Toán – Tỉnh Đồng Tháp
CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
b. Hàm số trùng phương
( )

0a ≠
Bài 1. Cho hàm số
4 2
2y x x= −
(C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình
4 2
2x x m− =
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ
2=x
.
4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ
8=y
.
5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng
24 .
Đáp án:
CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM
CÂU 1
(x
điểm)
1. (điểm)
1) Tập xác định:
D = ¡
2) Sự biến thiên
a) Giới hạn
x
lim y
→±∞

= +∞
b) Bảng biến thiên
( )
3 2
y' 4x 4x 4x x 1= − = −
y' 0 x 0= ⇔ =
và
x 1= ±
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng
( )
1;0−
và
( )
1;+∞
, nghịch
biến trên các khoảng
( )
; 1−∞ −
và
( )
0;1
.
Hàm số đạt cực đại tại
x 0
=
,
CÑ
y 0=
, đạt cực tiểu tại

x 1= ±
,
CT
y 0=
.
GV:Nguyễn Văn Rinh Trường THPT Hồng Ngự I
x
y’
y
-∞
-1
1
+∞
0 0
+
–
+
-1
+∞
+∞
0
0
–
-1
16
4 2
y = ax + bx + c
Hội Đồng Bộ Môn Toán – Tỉnh Đồng Tháp
CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM

3) Đồ thị
• Điểm uốn: (chương trình chuẩn không học)
2
y'' 12x 4= −
1
y'' 0 x
3
= ⇔ = ±
Do y'' đổi dấu khi x đi qua
0
1
x
3
= ±
Tọa độ điểm uốn
1,2
1 5
U ;
3 9
 
± −
 ÷
 ÷
 
• Giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ
+ Giao điểm với Oy:
x 0 y 0= ⇒ =
:
( )
0;0

+ Giao điểm với Ox:
( )
( )
x 0
y 0 : 0;0 , 2;0
x 2
=

= ⇔ ±

= ±


-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
x
y
2
2−
Nhận xét: Hàm số đã cho là hàm số chẵn nên đồ thị của nó
nhận trục tung làm trục đối xứng.
2. (điểm)
Số nghiệm thực của phương trình
4 2
x 2x m− =
bằng số giao điểm của
đồ

thị (C) của hàm số
4 2
y x 2x= −
và đường thẳng (d):
y m=
.
Dựa vào đồ thị ta có:
Với
m 1< −
, (d) và (C) không có điểm chung, do đó phương trình vô
nghiệm.
GV:Nguyễn Văn Rinh Trường THPT Hồng Ngự I
17
Hội Đồng Bộ Môn Toán – Tỉnh Đồng Tháp
CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM
Với
m 1= −
hoặc
m 0>
, (d) và (C) có hai điểm chung, do đó phương
trình có hai nghiệm.
Với
− < <1 m 0
, (d) và (C) có bốn điểm chung, do đó phương trình có
bốn nghiệm.
3. (điểm)
Tung độ của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ
0
2=x

là
0
y 8=
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm
( )
2;8
là
( )
=y' 2 24
.
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm
( )
2;8
là
= −y 24x 56
.
4. (điểm)
Điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ
=
0
y 8
, có hoành độ
0
x 2= ±
.
Hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm và
( )
−2;8
lần lượt là
( )

=y' 2 24
,
( )
− = −y' 2 24
.
Phương tình tiếp tuyến của (C) tại điểm
( )
2;8
là
= −y 24x 56
và tại
điểm
( )
−2;8
là
= − −y 24x 40
.
5. (điểm)
Điểm
( )
0 0
M x ;y
thuộc (C) có hệ số góc tiếp tuyến tại M là
( )
0
y' x 24=
.
Khi đó, ta có:
( )
( )

3 2
0 0 0 0 0 0
4x 4x 24 0 x 2 4x 8x 12 0 x 2− − = ⇔ − + + = ⇔ =
Lúc này tung độ của M là
0
y 8=
.
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M là
= −y 24x 56
.
GV:Nguyễn Văn Rinh Trường THPT Hồng Ngự I
18
Hội Đồng Bộ Môn Toán – Tỉnh Đồng Tháp
CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
c. Hàm số hữu tỉ
Bài 1. Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
+
(C)
6. Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
7. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ
1
2
x =

.
8. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ
1
2
y = −
.
9. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến
4=k
.
10.Tìm m để đường thẳng
( )
5
: 2
3
d y mx m= + −
cắt (C) tại 2 điểm phân biệt .
Đáp án:
CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM
CÂU 1
(x
điểm)
1. (điểm)
1) Tập xác định:
{ }
= −¡D \ 1
2) Sự biến thiên
a) Giới hạn
•
( )
−

→ −
= +∞
x 1
lim y
và
( )
+
→ −
= −∞
x 1
lim y

⇒ = −
x 1
là tiệm cận đứng
•
→−∞
=
x
lim y 2
và
→+∞
=
x
lim y 2

⇒ = y 2
là tiệm cận ngang
b) Bảng biến thiên
( )

= > ∀ ≠ −
+
2
1
y' 0, x 1
x 1
Bảng biến thiên:
GV:Nguyễn Văn Rinh Trường THPT Hồng Ngự I
x
y’
y
-∞
-1
+∞
2
+
+
+∞
-∞
2
19
ax + b
y =
cx +d
Hội Đồng Bộ Môn Toán – Tỉnh Đồng Tháp
CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM
Hàm số đồng biến trên các khoảng
( )
; 1−∞ −

và
( )
− +∞1;
.
Hàm số không có cực trị.
3) Đồ thị
• Giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ
+ Giao điểm với Oy:
= ⇒ =x 0 y 1
:
( )
0;1
+ Giao điểm với Ox:
 
= ⇔ = − −
 ÷
 
1 1
y 0 x : ;0
2 2

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2
3
4
5
6

7
x
y
1
2
−
Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm
( )
−I 1;2
của hai tiệm cận làm tâm đối
xứng.
2. (điểm)
Điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ
0
1
x
2
=
, có tung độ
=
0
4
y
3
.
Hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm
 
 ÷
 
1 4

;
2 3
là
 
=
 ÷
 
1 4
y'
2 9
Phương tình tiếp tuyến của (C) tại điểm
 
 ÷
 
1 4
;
2 3
là
= +
4 14
y x
9 9
.
3. (điểm)
Điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ
= −
0
1
y
2

, có hoành độ
= −
0
3
x
5
,
Hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm
 
− −
 ÷
 
3 1
;
5 2
là
 
− =
 ÷
 
3 5
y'
5 2
.
Phương tình tiếp tuyến của (C) tại điểm
 
− −
 ÷
 
3 1

;
5 2
là
= +
5
y x 1
2
.
4. (điểm)
Điểm
( )
0 0
M x ;y
thuộc đồ thị (C), có hệ số góc của tiếp tuyến tại M là
( )
0
y' x 4=
.
GV:Nguyễn Văn Rinh Trường THPT Hồng Ngự I
20
Hội Đồng Bộ Môn Toán – Tỉnh Đồng Tháp
CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM
Khi đó, ta có:
( )
0 01
2
0
1 1 1
4 x 1 x

2 2
x 1
= ⇔ + = ± ⇔ = −
+
hoặc
02
3
x
2
= −
.
Tung độ của điểm M là
01
1
y 0
2
 
− =
 ÷
 
hoặc
01
3
y 4
2
 
− =
 ÷
 
.

Vậy có hai tiếp tuyến có phương trình là
y 4x 2= +
và
y 4x 10= +
.
5. (điểm) Tìm m để đường thẳng
( )
5
: 2
3
d y mx m= + −
cắt (C) tại 2 điểm
phân biệt .
Đường thẳng (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt khi phương trình:
2x 1 5
mx 2m
x 1 3
+
= + −
+
(1) có hai nghiệm phân biệt và khác –1.
x 1∀ ≠ −
,
(1)
⇔
2
1 2
mx m x 2m 0
3 3
 

− + + − =
 ÷
 
(2)
Ta thấy (2) không có nghiệm
x 1= −
.
Khi đó (2) có 2 nghiệm phân biệt khi:
2
2
1 1
9m 2m 3m 0
9 3
 
∆ = − + = − >
 ÷
 

1
m
9
⇔ ≠
.
Vậy
1
m
9
∀ ≠
thì (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt.
GV:Nguyễn Văn Rinh Trường THPT Hồng Ngự I

21
Hội Đồng Bộ Môn Toán – Tỉnh Đồng Tháp
CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
GV:Nguyễn Văn Rinh Trường THPT Hồng Ngự I
22