Giải đề thi thử Lượng giác Toàn Học Tuổi Trẻ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (241.82 KB, 20 trang )
Chuyên LNG GIÁC Luyn thi i hc 2012
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in
TUYN TP THI “TOÁN HC TUI TR”:
LNG GIÁC
01: (THTT 2010) Gii phng trình:
( )
2 2
2 1
cos cos sin 1
3 3 2
x x x
π π
+ + + = +
Hng dn:
Bin i phng trình ta c
( )
2 4
1 cos 2 1 cos 2
1
3 3
sin 1
2 2 2
x x
x
π π
+ + + +
⇔ + = +
( )
2
2 4
cos 2 cos 2 sin 1
3 3
2cos 2 cos sin 1 1 cos2 sin 2sin sin
3
x x x
x x x x x x
π π
π
π
⇔ + + + = +
⇔ + = + ⇔ − = ⇔ =
áp s
:
5
; 2 ; 2 .
6 6
x k x k x k
π π
π π π
= = + = +
02: (THTT 2010)
Gi
i ph
ng trình:
(
)
2
2
2
sin cos 2sin
2
sin sin 3
1 cot 2 4 4
x x x
x x
x
π π
+ −
= − − −
+
Hng dn:
Bi
n
i PT
a v
d
ng:
( ) ( )
2
cos2 sin 2 sin 2 cos 2 sin cos 2 sin 1 0
4 4
x x x x x x x
π π
+ = − ⇔ − − =
áp s
:
3
; 2 .
8 2 2
k
x x k
π π π
π
= + = +
03: (THTT 2010)
Gi
i ph
ng trình:
2 2
1
tan cot 3
sin 2
x x
x
+ + =
Hng dn:
i
u ki
n:
sin 2 0
x
≠
Bi
n
i PT v
d
ng:
( )
2
2
1 1 1
tan cot 2 3 5 0
sin 2 sin cos sin 2
x x
x x x x
⇔ + − + = ⇔ + − =
2
4 1
5 0
sin 2 sin 2
x x
⇔ + − =
áp s
:
1 4 1 4
; arcsin ; arcsin .
4 2 5 2 2 5
x k x k x k
π π
π π π
= + = − + = − − +
04: (THTT 2010)
Gi
i ph
ng trình:
2cos cos2 cos3 5 7cos2
x x x x
+ =
Hng dn:
Chuyên LNG GIÁC Luyn thi i hc 2012
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in
PT
(
)
(
)
2
cos2 1 2cos2 5 0 cos2 1
x x x
⇔ − + = ⇔ =
áp s
:
.
x k
π
=
05: (THTT 2010)
Gi
i ph
ng trình:
2 3
cos cos sin 0
x x x
+ + =
Hng dn:
Bi
n
i PT v
d
ng
(
)
(
)
(
)
(
)
( )( )
2
1 cos cos sin .sin 0 1 cos cos sin 1 cos 1 cos 0
1 cos cos sin sin cos 0
x x x x x x x x x
x x x x x
⇔ + + = ⇔ + + + − =
⇔ + + − =
áp s
:
1 2 1 2
2 ; arccos 2 ; arccos 2 .
4 4
2 2
x k x k x k
π π
π π π π
− −
= + = − + = + +
07: (THTT 2010)
Gi
i ph
ng trình:
4
1 3 7
4cos cos2 cos4 cos
2 4 2
x
x x x
− − + =
Hng dn:
Bi
n
i PT v
d
ng
cos2 1
3
cos2 cos 2
3
4
cos 1
4
x
x
x
x
=
+ = ⇔
=
áp s
:
8 .
x k
π
=
07: (THTT 2010)
Tìm giá tr
nh
nh
t c
a hàm s
:
( )
2
cos
sin 2cos sin
x
y
x x x
=
−
, v
i
0
3
x
π
< ≤
Hng dn:
Vi
t hàm s
d
i d
ng
( )
2
2
1 tan
tan 2 tan
x
y
x x
+
=
−
.
t
(
)
tan 0 3
t x t= < ≤
. Kh
o sát hàm s
( )
2
2 3
1
( ) 0 3
2
t
f t t
t t
+
= < ≤
−
Ta
c k
t qu
:
min 2
y
=
khi
1
t
=
hay
.
4
x
π
=
08: (THTT 2010)
Gi
i ph
ng trình:
tan tan sin3 sin sin 2
6 3
x x x x x
π π
− + = +
Hng dn:
i
u ki
n:
cos cos 0
6 3
x x
π π
− + ≠
Ta có
( )
tan tan 1 sin 2 2cos 1 0
6 3
x x x x
π π
− + = − ⇔ + =
áp s
:
2
; 2 .
2 3
k
x x k
π π
π
= = − +
Chuyên LNG GIÁC Luyn thi i hc 2012
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in
09: (THTT 2010)
Gi
i ph
ng trình:
( )( )( )
1
1 cos 1 cos 2 1 cos3
2
x x x
+ + + =
Hng dn:
Bi
n
i PT v
d
ng:
2
3 1
cos .cos .cos
2 2 16
x x
x
=
áp s
:
2 2
; 2 ; 2 .
4 2 3 3
k
x x k x k
π π π π
π π
= + = − + = +
10: (THTT 2010)
Gi
i ph
ng trình:
4 4
3sin 1 sin cos
x x x
+ = −
Hng dn:
Bi
n
i PT v
d
ng
(
)
(
)
( )
4 4 2 2 2 2
2 2
3sin 1 sin cos 3sin 1 sin cos sin cos
3sin 1 sin cos 3sin 1 cos2 0
x x x x x x x x
x x x x x
+ = − ⇔ + = − +
⇔ + = − ⇔ + + =
2
2sin 3sin 2 0
x x
⇔ − − =
.
áp s
:
7
2 ; 2 .
6 6
x k x k
π π
π π
= − + = +
11: (THTT 2003)
Gi
i ph
ng trình:
(
)
8 8 14 14
cos sin 64 cos sin
x x x x
+ = +
Hng dn:
Ph
ng trình vô nghi
m. Áp d
ng B
T Cauchy
12: (THTT 2003)
Tìm các nghi
m c
a ph
ng trình:
2
2 1 2 1 2 1
sin sin 2cos 0
3 3
x x x
x x x
+ + +
+ − =
th
a mãn
1
10
x
≥
Hng dn:
t
2 1
3
x
t
x
+
= . Ta có
1 2
;4
10 3
x t
∀ ≥
∈
.
ý:
2 1 1
3 2 1
3 3 2
x
t xt x x
x t
+
= ⇔ = + ⇔ =
−
Lúc
ó ph
ng trình tr
thành:
2
sin 3 sin 2cos 0
t t t
+ − =
(
)
(
)
( ) ( )
( )
( )
3 2
3 2
2
2
2
3sin 4sin sin 2 1 sin 0
4sin 2sin 4sin 2 0
sin 4sin 2 4sin 2 0
1
sin
4sin 2 sin 1 0
2
sin 1
t t t t
t t t
t t t
t
t t
t
⇔ − + − − =
⇔ − + + − =
⇔ − + − − + =
=
⇔ − + − = ⇔
=
V
i
2
sin 1 cos 0
2
t t t k
π
π
= ⇔ = ⇔ = + .
Chuyên LNG GIÁC Luyn thi i hc 2012
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in
Do
2
4
2 2
;4 0
3 2
3 2 3 4
k
t k t x
k Z
π
π
π
π
< + ≤
∈ = = =
−
∈
T
ng t
v
i
1 2
sin
2 5 4
t x
π
= =
−
.
Ho
c có th
bi
n
i:
( )
2 2
2 2 2
sin3 sin 2cos 0 2sin 2 cos 2cos 0
4sin cos 2cos 0 cos 4sin 2 0
t t t t t t
t t t t t
+ − = ⇔ − =
⇔ − = ⇔ − =
áp s
:
2 2
;
3 4 5 4
x x
π π
= =
− −
13: (THTT 2004)
a) Ch
ng minh r
ng tam giác ABC có các góc th
a mãn tính ch
t sau thì tam giác ABC
là tam giác
u:
( )
3
sin sin sin cos cos cos sin sin sin
2 2 2 2 2 2 2
A B C A B C
A B C
+ + + + = + +
b) Tìm
i
u ki
n
hai ph
ng trình sau t
ng
ng:
sin sin 2
1
sin3
x x
x
+
= −
và
cos sin 2 0
x m x
+ =
Hng dn:
a) V
i m
i tam giác ABC:
sin sin cos cos
2 2 2 2
A B A B
≥ ⇔ ≤
b)
sin sin 2
1 cos 0
sin3
x x
x
x
+
= − ⇔ =
.
áp s
:
1
2
m
≤
14: (THTT 2004)
a) Ch
ng minh r
ng tam giác ABC có các góc th
a mãn tính ch
t sau thì tam giác ABC
là tam giác
u:
sin 2 sin 2 sin 2 sin sin sin 4sin sin sin
2 2 2
A B B C C A
A B C A B C
− − −
+ + = + + +
b) Gi
i h
ph
ng trình:
( )
( )
3tan 6sin 2sin
2
tan 2sin 6sin
2
y
x y x
y
x y x
+ = −
− = +
Hng dn:
a)
( ) ( ) ( )
4sin sin sin sin sin sin
2 2 2
A B B C C A
C B B A A C
− − −
= − + − + −
b) N
u
tan 0
2
y
=
thì h
có nghi
m
(
)
; 2
l k
π π
.
Chuyên LNG GIÁC Luyn thi i hc 2012
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in
N
u
tan 3
2
y
=
thì h
có nghi
m
2
2 ; 2
3
l k
π
α π π
+ +
trong
ó
;0
2
π
α
∈ −
và
1 4 3
cos , sin
7 7
α α
−
= = .
N
u
tan 3
2
y
= −
thì h
có nghi
m
2
2 ; 2
3
l k
π
α π π
−
− + +
trong
ó
;0
2
π
α
∈ −
và
1 4 3
cos , sin
7 7
α α
−
= = .
15: (THTT 2004)
Gi
i ph
ng trình:
1
cos3 sin 2 cos 4 sin 2 sin3 1 cos
2
x x x x x x
− = + +
Hng dn:
áp s
:
2 .
x k
π π
= +
16: (THTT 2004)
Tìm giá tr
l
n nh
t c
a bi
u th
c:
2 2 2
sin sin 2sin
Q A B C
= + + , trong
ó A, B, C là 3 góc c
a tam giác ABC b
t kì.
Hng dn:
áp s
:
25
8
17: (THTT 2010)
a) Gi
i ph
ng trình:
4cos .cos 2 .cos3 cos6
x x x x
=
.
b) Ch
ng minh r
ng tam giác ABC có các góc th
a mãn tính ch
t sau thì tam giác ABC
là tam giác
u:
2sin 3sin 4sin 5cos 3cos cos
2 2 2
A B C
A B C+ + = + +
Hng dn:
a) Bi
n
i ph
ng trình
(
)
(
)
( )
( )
( )
2
2
2
2 2cos .cos3 cos 2 cos6 2 cos2 cos4 cos2 cos6
2 cos2 cos4 cos 2 cos6 2cos 2 2cos2 cos4 cos6 0
2cos 2 cos2 cos6 cos6 0
2cos 2 cos2 0 cos2 2cos2 1 0
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x
x x x x
⇔ = ⇔ + =
⇔ + = ⇔ + − =
⇔ + + − =
⇔ + = ⇔ + =
áp s:
; ; .
4 2 3 3
x k x k x k
π π π π
π π
= + = + = − +
b) S dng
sin sin 2cos
2
C
A B+ ≤
18: (THTT 2005) Gii phng trình:
Chuyên LNG GIÁC Luyn thi i hc 2012
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in
3 3
sin .sin3 cos .cos3 1
8
tan tan
6 3
x x x x
x x
π π
+
=
− +
Hng dn:
X lý:
Hng 1:
sin sin cos cos2
6 3 2
tan tan 1
6 3
cos cos cos cos 2
6 3 2
x x x
x x x D
x x x
π π π
π π
π π π
− + − −
− + = = = − ∀ ∈
− + − +
Hng 2:
tan tan tan tan tan cot 1
6 3 6 2 6 6 6
x x x x x x x D
π π π π π π π
− + = − + − = − − − = − ∀ ∈
Cách 1:
S
d
ng
3 3
4sin 3sin sin3 ; 4cos 3cos cos3
x x x x x x
= − = +
Cách 2:
Bi
n
i:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
3 3
2 2
2 2
2 2
3
1
sin .sin 3 cos .cos3
8
1
sin .sin 3 sin cos .cos3 cos
8
1 1 1
cos2 cos4 sin cos2 cos4 cos
2 2 8
1 1 1
cos2 cos4 cos sin
2 2 8
1 1
cos2 cos2 cos4 cos2 1 cos4
4 4
1 1
2cos 2 cos2
4 2
x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x x
x x
+ = −
⇔ + = −
⇔ − + + = −
⇔ + − = −
⇔ + = − ⇔ + = −
⇔ = − ⇔ = −
i chi
u
i
u ki
n
áp s
:
.
6
x k
π
π
= − +
19: (THTT 2005)
Gi
i ph
ng trình:
1
cos .cos2 .cos3 sin .sin 2 .sin 3
2
x x x x x x
− =
Hng dn:
Cách 1:
S
d
ng
3 3
4sin 3sin sin3 ; 4cos 3cos cos3
x x x x x x
= − = +
Cách 2:
Bi
n
i:
Chuyên LNG GIÁC Luyn thi i hc 2012
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2
1
cos .cos2 .cos3 sin .sin 2 .sin 3
2
2 cos .cos3 cos2 2 sin .sin 3 .sin 2 1
cos2 cos4 cos2 cos2 cos4 .sin 2 1
cos 2 cos2 cos4 sin 2 cos2 sin 2 cos4 1 0
1 cos 2 cos2 cos4 sin 2 cos2 sin 2 cos 4 0
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
− =
⇔ − =
⇔ + − − =
⇔ + − + − =
⇔ − − + − + =
⇔
( )
( )
( )( )
2
2
sin 2 cos2 cos4 sin 2 cos2 sin 2 cos4 0
cos4 cos2 sin 2 sin 2 sin 2 cos2 0
cos2 sin 2 cos4 sin 2 0
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x
− + − + =
⇔ + − + =
⇔ + − =
áp s
:
; ; .
8 2 12 3 4
x k x k x k
π π π π π
π
= − + = + = − +
20: (THTT 2005)
a) Cho tam giác ABC th
a mãn:
2 3
tan tan
2 2 3
cos cos 1
A B
A B
+ =
+ =
. Ch
ng minh tam giác ABC
u.
b) Xét tam giác ABC. Tìm giá tr
nh
nh
t c
a bi
u th
c:
2 2 2
5cot 16cot 27cot
F A B C
= + +
Hng dn:
a)
t
( )
tan ; tan 0; 0
2 2
A B
x y x y
= = > >
.
b)Ta có:
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2
3 2 cot 12 4 cot 9 18 cot
3cot 12cot 4cot 9cot 18cot 2cot 12
F A B C
F A B B C C A
= + + + + +
= + + + + + ≥
áp s
:
min
1 1
12 khi cot 1, cot , cot .
2 3
F A B C
= = = =
21: (THTT 2005)
Tìm giá tr
l
n nh
t c
a bi
u th
c:
sin 1 6cos
2 2
x x
y
= +
Hng dn:
Kh
o sát hàm s
.
áp án:
[ ]
0;4
5 5
max
3
π
= v
i
0 0 0
5
2 4 0; ; sin
2 3
x k
π
α π α α
= + ∈ =
21: (THTT 2006)
a) Gi
i ph
ng trình:
2cos4
cot tan
sin 2
x
x x
x
= +
b) Tìm các góc A, B, C c
a tam giác ABC sao cho bi
u th
c:
Chuyên LNG GIÁC Luyn thi i hc 2012
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in
2 2 2
sin sin sin
Q A B C
= + −
t giá tr
nh
nh
t.
Hng dn:
a)
áp s
:
; .
3 3
x k x k
π π
π π
= + = − +
b)
0 0
30 , 120 .
A B C= = =
22: (THTT 2006)
Gi
i ph
ng trình:
( )
2 2
2 1
cos cos sin 1
3 3 2
x x x
π π
+ + + = +
Hng dn:
Bi
n
i ph
ng trình ta
c
2
1 cos2 sin 2sin sin
x x x x
− = ⇔ =
áp s
:
5
; 2 ; 2 .
6 6
x k x k x k
π π
π π π
= = + = +
23: (THTT 2006)
a) Ch
ng minh r
ng trong m
i tam giác ABC ta luôn có:
tan 3 tan 3 tan 3 4 tan tan tan 3
3 3 3 3 3 3
A B C A B C
− − − = + + −
b) Gi
i ph
ng trình:
2 2
2 2
sin sin 2
2
sin 2 sin
x x
x x
+ =
Hng dn:
b) Ta có:
2 2 2 2
2 2 2 2
sin sin 2 sin sin 2
: 2 . 2
sin 2 sin sin 2 sin
x x x x
x D
x x x x
∀ ∈ + ≥ =
ng th
c xãy ra
2 2 2
2
2 2 2
sin sin 2 1 4cos 1
cos
sin 2 sin 4cos 1 4
x x x
x
x x x
⇔ = ⇔ = ⇔ =
Hng khác:
2
2
1
: 4cos 2
4cos
x D x
x
∀ ∈ + =
.
t
2
cos 0
t x
= ≥
áp s
:
2
2 ; 2 .
3 3
x k x k
π π
π π
= ± + = ± +
24: (THTT 2006)
Gi
i ph
ng trình:
( )
2 2
1 8 1
2cos cos sin 2 3cos sin
3 3 2 3
x x x x x
π
π
+ + = + + + +
Hng dn:
Chuyên LNG GIÁC Luyn thi i hc 2012
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )( ) ( )
( )
2
1 1
sin 3 sin 2 3sin
3 3
1 1
cos2 3 sin 2 3sin
3 3
1
1 cos2 3 1 sin sin 2
3
2
3 1 sin sin 2
3
2 9 1 sin 6sin
1 sin 2 1 sin 1 sin 9 1 sin 0
1 sin
x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x
x
⇔ + − = − + −
⇔ + = − + −
⇔ + + = − +
⇔ + = − +
⇔ + = − +
⇔ − + − + − − =
⇔ −
( )
( )( )
2 2
2 1 sin 9 0
sin 1 2
1 sin 2sin 6 7 0
2
2sin 6 7 6 7
x x
x x k
x x x
x x
π
π
+ + − =
= ⇔ = +
⇔ − + − = ⇔
+ = + <
áp s
:
2 .
2
x k
π
π
= +
25: (THTT 2006)
Tính các góc c
a tam giác ABC bi
t
2 3 , 2 .
A B a b
= =
Hng dn:
áp s
:
0 0 0
45 ; 30 ; 105 .
A B C= = =
24: (THTT 2007)
Gi
i ph
ng trình:
(
)
2 2 3 3
tan tan .sin 1 cos 0
x x x x
− − − =
Hng dn:
a v
ph
ng trình tích.
áp s
:
2 1
2 ; ; 2 ; 2 cos
4 4 4
2
x k x k x k x k
π π π
π π α π α π α
−
= = + = + + = − + =
25: (THTT 2007)
a) Ch
ng minh r
ng tam giác ABC
u n
u:
sin
sin
sin
sin
2
4sin 1 4sin
2
2
4sin 1 4sin
2
A
B
B
C
A B
B C
+ = +
+ = +
b) Gi
i ph
ng trình:
(
)
2
3 4sin 2 2cos2 1 2sin
x x x
− = +
Hng dn:
a) Hàm s
2 4
x
y x
= +
ng bi
n trên R có
( ) 1 0
y x x
= ⇔ =
.
Ta có:
sin
sin
2
4sin 1 4sin sin sin
2
A
B
A B A B
+ = + =
b) Bi
n
i:
Chuyên LNG GIÁC Luyn thi i hc 2012
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in
(
)
( )
( )
( )
( )( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )( )( )
2
2
2
2
2
3 4sin 2 2cos2 1 2sin
3 4 1 cos 2 2cos 2 1 2sin
4cos 2 1 2cos2 1 2sin
2cos2 1 2cos2 1 2cos2 1 2sin
2 1 2sin 1 2cos2 1 2cos2 1 2sin
1 4sin 2cos2 1 2cos2 1 2sin
1 2sin 1 2sin 2cos2 1 2co
x x x
x x x
x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
− = +
⇔ − − = +
⇔ − = +
⇔ − + = +
⇔ − − + = +
⇔ − + = +
⇔ − + + =
( )
( ) ( )( )
( )( )
s2 1 2sin
1 2sin 1 2sin 2cos2 1 2cos2 0
1
sin
2sin 1 4sin cos2 2sin 1 0
2
4sin cos 2 2sin 1 0 (*)
x x
x x x x
x
x x x x
x x x
+
⇔ + − + − =
=
⇔ − − − + = ⇔
− − + =
i v
i ph
ng trình (*):
(
)
2
4sin cos2 2sin 1 0 4sin 1 2sin 2sin 1 0
x x x x x x
− − + = ⇔ − − − + =
(
)
3 3
8sin 6sin 1 0 2 3sin 4sin 1 0 2sin3 1 0
1
sin3
2
x x x x x
x
⇔ − + = ⇔ − − + = ⇔ − + =
⇔ =
áp s:
7 2 5 2
2 ; 2 ; ; .
6 6 18 3 18 3
x k x k x k x k
π π π π π π
π π
= − + = + = + = +
26: (THTT 2007) Gii phng trình:
2cos cos2 cos3 5 7cos 2
x x x x
+ =
Hng dn:
Bin i phng trình:
(
)
2cos cos2 cos3 2cos2 5 1 cos2 0
x x x x x
⇔ − + − =
(
)
(
)
( ) ( )
( )
( )
( )( ) ( )
( ) ( )
2
2
cos2 2cos cos3 2 5 1 cos2 0
cos2 cos2 cos4 2 5 1 cos2 0
cos2 2cos 2 cos2 3 5 1 cos2 0
cos2 2cos2 3 cos2 1 5 1 cos2 0
cos2 1 2cos2 5 0 cos2 1
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
⇔ − + − =
⇔ + − + − =
⇔ + − + − =
⇔ − − + − =
⇔ − + = ⇔ =
áp s:
.
x k
π
=
27: (THTT 2007) Gii phng trình:
3 3
sin cos cos2 .tan .tan
4 4
x x x x x
π π
− = + −
Hng dn:
Chuyên LNG GIÁC Luyn thi i hc 2012
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in
Nhn xét:
sin .sin
cos cos2
4 4
2
tan .tan 1
4 4
cos cos 2
cos .cos
2
4 4
x x
x
x x
x
x x
π π
π
π π
π
π π
+ −
−
+ − = = = −
+
+ −
Lúc
ó ph
ng trình
( )( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
3 3
sin cos cos 2
sin cos 1 sin cos sin cos sin cos 0
sin cos 1 sin cos sin cos 0
sin cos
1 sin cos sin cos 0 sin cos
x x x
x x x x x x x x
x x x x x x
x x
x x x x x x
⇔ − = −
⇔ − + − − + =
⇔ − + − + =
=
⇔
+ − + =
Ta
c k
t qu
:
áp s
:
2 ; 2
2
x k x k
π
π π
= + =
28: (THTT 2007)
Gi
i ph
ng trình:
sin 3 sin 2 .sin
4 4
x x x
π π
− = +
Hng dn:
Bi
n
i PT v
d
ng:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )( ) ( )
3 3
3 3
2 sin 3 2 sin 2 .sin
4 4
sin3 cos3 sin 2 sin cos
3sin 4sin 4cos 3cos sin 2 sin cos
3 sin cos 4 sin cos sin 2 sin cos
3 sin cos 4 sin cos 1 sin .cos sin 2 sin cos
sin cos
x x x
x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x x x
x
π π
− = +
⇔ − = +
⇔ − − − = +
⇔ + − + = +
⇔ + − + − = +
⇔ +
( ) ( )
( )
[ ]
3 4 1 sin .cos sin 2 0
sin cos 1 4sin .cos sin 2 0
sin cos 0
1 4sin .cos sin 2 0 sin 2 1
x x x x
x x x x x
x x
x x x x
− − − =
⇔ + − + − =
+ =
⇔
− + − = ⇔ =
Ta
c k
t qu
:
áp s
:
.
4 2
x k
π π
= +
29: (THTT 2008)
Gi
i ph
ng trình:
( )( )( )
1
1 cos 1 cos 2 1 cos3
2
x x x
+ + + =
Hng dn:
Chuyên LNG GIÁC Luyn thi i hc 2012
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in
Bi
n
i PT v
d
ng:
2
3 1
cos .cos .cos (2)
3 1
2 2 4
cos .cos .cos
3 1
2 2 16
cos .cos .cos (3)
2 2 4
x x
x
x x
x
x x
x
=
= ⇔
= −
Gi
i (2):
( )
( )
2 2
3 1 1 1 1
cos .cos cos cos cos2 cos cos 2cos 1 cos
2 2 4 2 4 2
x x
x x x x x x x
= ⇔ + = ⇔ + − =
Hoàn toàn t
ng t
cho ph
ng trình (3), ta
c k
t qu
:
áp s
:
2 2
; 2 ; 2 .
4 2 3 3
k
x x k x k
π π π π
π π
= + = − + = +
30: (THTT 2008)
Gi
i ph
ng trình:
5 3 2
2sin 2sin .cos cos2 sin 0
x x x x x
+ + − =
Hng dn:
Bi
n
i PT v
d
ng:
(
)
( )
( ) ( ) ( )
( )
3 2 2
3 3 2
2 2
2
2sin sin cos cos 2 sin 0
2sin cos2 sin 0 2sin 1 2sin sin 0
sin 1
2sin sin 1 sin 1 0 sin 1 2sin 1 0
1
sin
2
x x x x x
x x x x x x
x
x x x x x
x
⇔ + + − =
⇔ + − = ⇔ + − − =
=
⇔ − − − = ⇔ − − = ⇔
=
Ta
c k
t qu
:
áp s
:
; 2 .
4 2
x k x k
π π
π π
= ± + = +
31: (THTT 2008)
a) Gi
i ph
ng trình:
1 tan .tan 2 cos3
x x x
− =
.
b) Cho tam giác ABC th
a mãn:
( )
5
cos2 3 cos2 cos2 0
2
A B C
+ + + =
. Tính
l
n ba
góc c
a tam giác
ó.
Hng dn:
a) Bi
n
i PT v
d
ng:
( )
sin .sin 2
1 tan .tan 2 cos3 1 cos3
cos cos2
cos cos2 sin .sin 2 cos3
cos3 cos3
cos cos2 cos cos2
cos3 0
cos3 1 cos cos2 0
cos cos2 1
x x
x x x x
x x
x x x x x
x x
x x x x
x
x x x
x x
− = ⇔ − =
−
⇔ = ⇔ =
=
⇔ − = ⇔
=
b)
áp s
:
0 0
30 , 75 .
A B C= = =
32: (THTT 2009)
Gi
i ph
ng trình:
Chuyên LNG GIÁC Luyn thi i hc 2012
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in
tan tan sin3 sin sin 2
6 3
x x x x x
π π
− + = +
Hng dn:
Hng 1:
sin sin cos cos2
6 3 2
tan tan 1
6 3
cos cos cos cos2
6 3 2
x x x
x x x D
x x x
π π π
π π
π π π
− + − −
− + = = = − ∀ ∈
− + − +
Hng 2:
tan tan tan tan tan cot 1
6 3 6 2 6 6 6
x x x x x x x D
π π π π π π π
− + = − + − = − − − = − ∀ ∈
Lúc
ó ph
ng trình tr
thành:
(
)
sin3 sin sin 2 sin sin 2 sin3 0 sin sin3 sin 2 0
x x x x x x x x x
− = + ⇔ + + = ⇔ + + =
i chi
u
i
u ki
n ta có k
t qu
:
áp s
:
2
; ; 2 .
2 3
x k x k x k
π π
π π
= = = − +
33: (THTT 2009)
Gi
i ph
ng trình:
4
1 3 7
4cos cos2 cos4 cos
2 4 2
x
x x x
− − + =
Hng dn:
Bi
n
i PT v
d
ng
( )
( )
( )
4
2
2
2
2
1 3 7
4cos cos2 cos4 cos
2 4 2
1 3 7
2cos cos2 cos4 cos
2 4 2
1 3 7
1 cos2 cos2 cos4 cos
2 4 2
1 3 7
1 2cos 2 cos 2 cos2 cos4 cos
2 4 2
1 cos4 1 3 7
1 2cos 2 cos2 cos 4 cos
2 2 4 2
c
3
cos2 cos 2
4
x
x x x
x
x x x
x
x x x
x
x x x x
x x
x x x
x
x
− − + =
⇔ − − + =
⇔ + − − + =
⇔ + + − − + =
+
⇔ + + − − + =
⇔ + = ⇔
os2 1
3 8
cos 1
4 3
x x k
x m
x
π
π
= ⇔ =
= ⇔ =
Xét
8
3 8 8 3 8
3
m
k k m k
π
π
= ⇔ =
. Do 3 là s
nguyên t
nên
(
)
8 8
k k t t Z
= ∈
V
y nghi
m c
a ph
ng trình
ã cho là:
(
)
8 .
x t t Z
π
= ∈
áp s
:
(
)
8 .
x t t Z
π
= ∈
34: (THTT 2010)
Gi
i ph
ng trình:
Chuyên LNG GIÁC Luyn thi i hc 2012
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in
5 cos2
2cos
3 2tan
x
x
x
+
=
+
Hng dn:
Bi
n
i ph
ng trình
(
)
( ) ( )
( )( )
2 2
2 2
2 2
5 cos sin 2 3cos 2sin
cos 6cos 5 sin 4sin
cos 3 sin 2
cos sin 1 cos sin 5 0
x x x x
x x x x
x x
x x x x
⇔ + − = +
⇔ − + = +
⇔ − = +
⇔ + − − − =
áp s
:
35: (THTT 2010)
a) Gi
i ph
ng trình:
2 2
2cos 2 cos2 .sin 3 3sin 2 3
x x x x
+ + =
.
b) Tìm GTLN- GTNN c
a hàm s
:
sin 2cos
2
( )
cos 2sin
2
x
x
f x
x
x
+
=
+
trên
0;
2
π
Hng dn:
a) Bin i PT v dng:
(
)
( )
2 2
2 2
2cos 2 cos2 .sin 3 3 1 sin 2 0
2cos 2 cos2 .sin 3 3cos 2 0 cos2 sin3 cos2 0
cos2 0
sin3 cos2 sin3 sin 2
2
x x x x
x x x x x x x
x
x x x x
π
+ − − =
⇔ + − = ⇔ − =
=
⇔
= ⇔ = −
36: (THTT 2011)
Gi
i ph
ng trình:
2
4
2
1 tan
16cos 4. 2sin 4
4 1 tan
x
x x
x
π
−
+ = −
+
Hng dn:
Bi
n
i ph
ng trình
4
16cos 4cos2 2sin 4
4
x x x
π
⇔ + = −
( )
( )
( ) ( ) ( )( )
2
4 2cos 4cos2 1 sin 2
4
4 1 cos 2 4cos 2 1 sin 2
2
4 1 sin 2 4cos2 1 sin 2 4 1 sin 2 1 cos2 0
sin 2 1
cos2 1
x x x
x x x
x x x x x
x
x
π
π
⇔ + = −
⇔ + + = −
⇔ − = − ⇔ − − =
=
⇔
=
i chi
u
i
u ki
n ta có k
t lu
n:
Chuyên LNG GIÁC Luyn thi i hc 2012
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in
áp s
:
, .
4
x k x k
π
π π
= + =
37: (THTT 2011)
Gi
i ph
ng trình:
sin3 cos3 2 2 cos 1 0
4
x x x
π
+ − + + =
Hng dn:
Bi
n
i PT v
d
ng:
(
)
(
)
(
)
( )
( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
3 3
3 3
3sin 4sin 4cos 3cos 2 cos sin 1 0
5 cos sin 1 4 cos sin 0
5 cos sin 1 4 cos sin 1 sin cos 0
cos sin 5 4 1 sin cos 1 0 cos sin 1 4sin cos 1 0
x x x x x x
x x x x
x x x x x x
x x x x x x x x
⇔ − + − − − + =
⇔ − − + + − =
⇔ − − + + − + =
⇔ − − + + + = ⇔ − − + + =
ây là ph
ng trình ph
n x
ng
sin
x
và
cos
x
.
38: (THTT 2011)
Gi
i ph
ng trình:
( )
( )
2
sin 1
2 1 cos cot 1
cos sin
x
x x
x x
−
+ + =
+
Hng dn:
Bi
n
i PT v
d
ng:
( )
( )
( )
( )
( ) ( )( )
2
2
2
sin 1
2 1 cos cot 1
cos sin
1 sin 1
2 1 cos
sin cos sin
1 sin 1 2 sin 1
2 1 cos
1 cos cos sin 1 cos cos sin
2 cos sin sin 1 1 cos
x
x x
x x
x
x
x x x
x x
x
x x x x x x
x x x x
−
+ + =
+
−
⇔ + =
+
− −
⇔ + = ⇔ =
− + − +
⇔ + = − −
ây là ph
ng trình
i x
ng
sin
x
và
cos
x
.
39: (THTT 2011)
Gi
i ph
ng trình:
1
2011tan cot 2 1005 3
sin 2
x x
x
+ = +
Hng dn:
( )
1
(1) 2010tan tan cot 2 1005 3
sin 2
2 1
2010tan 2 1005 3 2010tan 2010 3
sin 2 sin 2
tan 3
3
x x x
x
x x
x x
x x k
π
π
⇔ + + = +
⇔ + = + ⇔ =
⇔ = ⇔ = +
40: (THTT 2011)
Tìm
[
)
2;x
∈ +∞
th
a mãn ph
ng trình :
Chuyên LNG GIÁC Luyn thi i hc 2012
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in
(
)
2 2 1
2 1
sin 2 sin 1
1 1 4
x
x
x x
π
+
+
+ − =
− −
Hng dn:
i
u ki
n:
1
x
≠
.
t
( )
/
2
2 1 3
0
1
1
x
t t x D
x
x
+ −
= = < ∀ ∈
−
−
.
ý:
2 1 1
2 1
1 2
x t
t tx t x x
x t
+ +
= ⇔ − = + ⇔ =
− −
L
p b
ng bi
n thiên ta có:
[
)
(
]
2; 2;5
x t
∀ ∈ +∞ ∈
.
Lúc
ó, ph
ng trình tr
thành:
( )
sin 2 2 sin 1 sin cos 2sin cos 1 (1)
4
t t t t t t
π
+ − = ⇔ − + =
t
sin cos 2 sin 2
4
u t t t u
π
= − = −
≤
và
2
2
1
1 2sin cos sin cos
2
u
u t t t t
−
= − =
Ph
ng trình (1) tr
thành:
( )
( )
2 2
0
1 1 0 1 0
1
u
u u u u u u
u
=
+ − = ⇔ − = ⇔ − = ⇔
=
* V
i
0 2 sin 0
4 4 4
u t t k t k
π π π
π π
= ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = +
.
Do
(
]
2 1 5 1
2 5
2;5 1
4 4
4
k
k
t k
k Z
k Z
π
π
π π
− < ≤ −
< + ≤
∈ ⇔ =
∈
∈
.
V
i
5 4 5
1
4 5 8
k t x
π π
π
+
= = =
−
T
ng t
: V
i
1:
u
=
Ta
c các nghi
m là
1
2
x
π
π
+
=
−
.
áp s
:
4 5 1
; .
5 8 2
x x
π π
π π
+ +
= =
− −
41: (THTT 2011)
Gi
i ph
ng trình:
( )
4 4
2
1 cot 2 .cot
1 6 sin cos
cos
x x
x x
x
+
+ = +
Hng dn:
i
u ki
n:
sin 2 0
x
≠
( )
( )
( )
4 4
2
4 4
2
4 4 2
2
sin sin 2 cos cos2
(1) 1 6 sin cos
sin sin 2 cos
cos
1 6 sin cos
sin sin 2 cos
1 2 1
1 6 sin cos 1 6 1 sin 2
sin sin 2 cos sin 2 2
x x x x
x x
x x x
x
x x
x x x
x x x
x x x x
+
⇔ + = +
⇔ + = +
⇔ + = + ⇔ + = −
42: (THTT 2011)
Gi
i ph
ng trình:
2 2 2
1 1 15cos4
2cot 1 2tan 1 8 sin 2
x
x x x
+ =
+ + +
Chuyên LNG GIÁC Luyn thi i hc 2012
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in
Hng dn:
i
u ki
n:
sin 2 0
x
≠
( ) ( )
( )( )
( )
( )
2 2
2 2 2 2 2
2 2
2 2 2
2 2 2 2
2
2 2
4 4
2 2 2 2
sin cos 15cos 4
(1)
2cos sin 2sin cos 8 sin 2
sin cos 15cos4
cos 1 sin 1 8 sin 2
sin sin 1 cos cos 1
15cos4
8 sin 2
cos 1 sin 1
1 sin cos
15cos4
8
1 sin cos sin cos
x x x
x x x x x
x x x
x x x
x x x x
x
x
x x
x x
x
x x x x
⇔ + =
+ + +
⇔ + =
+ + +
+ + +
⇔ =
+
+ +
+ +
⇔ =
+ + +
( )
2
2
2
2 2 2 2 2
2 2
sin 2
1
1
4 2 sin 2
1 1 sin 2
15cos4 15cos4
2
2
2 sin cos 8 sin 2 8 sin 2 8 sin 2
8 2sin 2 15 1 2sin 2
x
x
x
x x
x x x x x
x x
+
−
+ −
⇔ = ⇔ =
+ + + +
⇔ − = −
43: (THTT 2011)
Gi
i ph
ng trình:
cos sin 2
1 0
cos3
x x
x
+
+ =
Hng dn:
i
u ki
n:
3
cos 0
3
cos3 0 4cos 3cos 0 cos
2
3
cos
2
x
x x x x
x
≠
≠ ⇔ − ≠ ⇔ ≠
≠ −
Bi
n
i ph
ng trình
(
)
cos sin 2 cos3 0 cos cos3 sin 2 0
x x x x x x
⇔ + + = ⇔ + + =
(
)
( )
( )
2
2
2cos2 cos 2sin cos 0 2cos cos 2 sin 0
cos 0
2cos 2sin sin 1 0
2sin sin 1 0
x x x x x x x
x
x x x
x x
⇔ + = ⇔ + =
=
⇔ − + + = ⇔
− + + =
Ph
ng trình (*)
(
)
( )
sin 1
1
sin
2
x
x
=
⇔
= −
K
t lu
n: Ph
ng trình
ã cho vô nghi
m
44: (THTT 2011)
Gi
i ph
ng trình:
2
2cos 3
tan cot
sin 2
x
x x
x
+ =
Hng dn:
Chuyên LNG GIÁC Luyn thi i hc 2012
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in
i
u ki
n:
sin 2 0
x
≠
Bi
n
i ph
ng trình
2 2
2cos 3 2cos 3
tan cot cot tan
sin 2 sin 2
x x
x x x x
x x
⇔ + = ⇔ = −
( )
2 2 2 2
2
2
3
2cos 3 cos sin 2cos 3 cos sin
sin 2 sin cos sin 2 sin cos
2cos 3 2cos2 1 cos6
cos 3 cos2 cos2
sin 2 sin 2 2
1 4cos 3cos 2 cos2
x x x x x x
x x x x x x
x x x
x x x
x x
x x x
−
⇔ = − ⇔ =
+
⇔ = ⇔ = ⇔ =
⇔ + − =
45: (THTT 2011)
Gi
i ph
ng trình:
a)
cos
4
tan 2012
x
x
π
+
=
b)
cos 2
tan 2012
x
x =
Hng dn:
i
u ki
n:
cos 0
x
≠
Dng ý là rt rõ ràng:
a v
logarith và s
d
ng tính
n
i
u
a)
cos
4
tan 2012 tan 0
x
x x
π
+
= >
L
u ý:
sin 0
tan 0
cos 0
x
x
x
>
> ⇔
>
ho
c
sin 0
cos 0
x
x
<
<
Ta có:
( )
cos
4
2012
2
tan 2012 log tan cos cos sin
4 2
x
x x x x x
π
π
+
= ⇔ = + = −
2012 2012
2 2
log sin log cos cos sin
2 2
x x x x
⇔ − = −
2012 2012
2 2
log sin sin log cos cos
2 2
x x x x
⇔ + = + (*)
t
( ) ( )
2012
2
log
2
f t t t f t
= +
ng bi
n trên D.
Ph
ng trình (*) có d
ng:
( ) ( )
sin cos sin cos tan 1
4
f x f x x x x x k
π
π
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = + .
b) Hoàn toàn t
ng t
:
cos
4
tan 2012 tan 0
x
x x
π
+
= >
L
u ý:
sin 0
tan 0
cos 0
x
x
x
>
> ⇔
>
ho
c
sin 0
cos 0
x
x
<
<
Ta có:
cos 2 2 2
2012
tan 2012 log tan cos2 cos sin
x
x x x x x
= ⇔ = = −
2 2
2012 2012
log sin log cos cos sin
x x x x
⇔ − = −
2 2
2012 2012
2 2
2012 2012
2 2 2 2
2012 2012
log sin sin log cos cos
2log sin 2sin 2log cos 2cos
log sin 2sin log cos 2cos (*)
x x x x
x x x x
x x x x
⇔ + = +
⇔ + = +
⇔ + = +
t
(
)
(
)
2012
log 2
f t t t f t
= +
ng bi
n trên D.
Ph
ng trình (*) có d
ng:
Chuyên LNG GIÁC Luyn thi i hc 2012
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in
( ) ( )
2 2 2 2 2
4
sin cos sin cos tan 1
4
x k
f x f x x x x
x k
π
π
π
π
= +
= ⇔ = ⇔ = ⇔
= − +
.
44: (THTT 2011)
Gi
i ph
ng trình:
( )
2
2
2sin 3 2 sin sin 2 1
1
sin cos
x x x
x x
+ − +
= −
+
Hng dn:
i
u ki
n:
tan 0
x
≠
Bi
n
i ph
ng trình
2
2sin 3 2 sin sin 2 1
1
1 sin 2
x x x
x
+ − +
⇔ = −
+
(
)
( )
2
2
2sin 3 2 sin sin 2 1 1 sin 2
2
sin
2sin 3 2 sin 2 0
2
sin 2
x x x x
x
x x
x
⇔ + − + = − +
= −
⇔ + + = ⇔
= −
Ta có:
( )
( )
2
2
4
sin
5
2
2
4
!"
#$%
x k
x
x k
π
π
π
π
= − +
= − ⇔
= +
44: (THTT 2011)
Gi
i ph
ng trình:
2 2
3 4sin 2 2sin 4
3
6sin 2cos
sin
3
x x
x x
x
π
π
− + +
= −
−
Hng dn:
i
u ki
n:
sin 0
3
x
π
− ≠
Bi
n
i ph
ng trình
(
)
2 3 2sin 2 2 3 cos2 2sin 4
1 2cos2
sin 3cos
x x x
x
x x
− − +
= −
−
(
)
( )
( )
( ) ( )
3 2sin 2 1 2cos2
1 2cos2
sin 3 cos
1 2cos2 3 2sin 2 sin 3 cos 0
x x
x
x x
x x x x
− −
⇔ = −
−
⇔ − − − − =
áp s
:
5
; ; 2 .
6 6 6
x k x k x k
π π π
π π π
= + = − + = +
44: (THTT 2010)
Gi
i ph
ng trình:
Chuyên LNG GIÁC Luyn thi i hc 2012
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in
(
)
2
2
2
sin cos 2sin
2
sin sin 3
1 cot 2 4 4
x x x
x x
x
π π
+ −
= − − −
+
Hng dn:
i
u ki
n:
sin 0
x
≠
Bi
n
i ph
ng trình v
d
ng
( )
2
sin 2 cos2 sin 2 cos 2 sin
4
x x x x x
π
⇔ + = −
(
)
(
)
( )( )
sin 2 cos2 sin sin 2 cos2
sin 2 cos2 sin 1 0
x x x x x
x x x
⇔ + = +
⇔ + − =
áp s
:
3
; 2 .
8 2 2
x k x m
π π π
π
= + = +
44: (THTT 2010)
Gi
i ph
ng trình:
2
8cos8 .cos 2 1 cos3 1 0
x x x
+ − + =
Hng dn:
i
u ki
n:
sin 0
x
≠
