Tích phân toàn tập luyện thi đại học

Tích phân tồn tập - Luyện thi Đại học

MỤC LỤC
PHẦN

TRANG

MỤC LỤC.....................................................................................................................................................1
NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN...................................................................................................................2
I. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN..................................................................................................................2
II. CÁC BÀI TẬP LUYỆN:.......................................................................................................................4
TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH...........................................................................................................................15
I. CÁC VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT.........................................................................................................15
II. BÀI TẬP LUYỆN:...............................................................................................................................15
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN................................................................................................................23
I - LÍ THUYẾT.........................................................................................................................................23
II - BÀI TẬP..............................................................................................................................................25
BẤT ĐẲNG TÍCH PHÂN..........................................................................................................................26
I - CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN....................................................................................................26
II - BÀI TẬP..............................................................................................................................................27
ĐẠI SỐ TỔ HỢP........................................................................................................................................27
I - LÝ THUYẾT........................................................................................................................................27
II - BÀI TẬP PHẦN TỔ HỢP.................................................................................................................29
III - BÀI TẬP NHỊ THỨC NEWTON....................................................................................................33

Tài liệu luyện thi đại học mơn Tốn

Trang 1


Tích phân tồn tập - Luyện thi Đại học

NGUN HÀM - TÍCH PHÂN
I. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN.
1. Định nghĩa:
Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm f(x) trên khoảng (a, b), nếu trong
khoảng đó ta có: F'(x) = f(x).
+Giả sử trên khoảng (a, b) hàm y = f(x) có một ngun hàm F(x) thì mọi hằng số C:
F(x) + C cũng là nguyên hàm của y = f(x) với mọi x thuộc khoảng (a, b).
+Mọi nguyên hàm của f(x) trên (a, b) là F(x) và k là một hằng số thì hàm số: y =
k.f(x) có ngun hàm là k.F(x) trên (a, b).
+Giả sử trên (a, b) có hàm f(x), g(x), h(x) có các nguyên hàm tương ứng là: F(x),
G(x), H(x), thì hàm số y = f(x) + g(x) - h(x) có nguyên hàm là: F(x) + G(x) - H(x).
+Từ đạo hàm ta có nguyên hàm các hàm cơ bản sau:
x α +1
1. y = f(x) = xα → F(x) =
+C
α +1
1
2. y = f(x) = → F(x) = ln x +C
x
3. y = f(x) = sinx → F(x) = -cosx +C
4. y = f(x) = cosx → F(x) = sinx + C
1
5. y = f(x) =
→ F(x) = -cotgx + C
sin 2 x
1
6. y = f(x) =
→ F(x) = tgx + C
cos 2 x

7. y = f(x) = ex → F(x) = ex + C
ax
x
8. y = f(x) = a → F(x) =
+C
ln a
+Mọi hàm liên tục trên một đoạn nào đó đều có nguyên hàm trên đoạn đó. Người ta
kí hiệu họ ngun hàm: F(x) + C =

∫ f (x ).dx

2. Vi phân:
Định nghĩa: Giả sử hàm số y = f(x) là một hàm số liên tục và có đạo hàm y' = f'(x)
trên khoảng (a, b). Xét một điểm x ∈ (a, b) tùy ý. Tại điểm cho số gia ∆x, sao cho x
+ ∆x ∈ (a, b), thì tích số gia f'(x).∆x gọi là vi phân của hàm số y = f(x) tại x tương
ứng với số gia ∆x.
+dy = df(x) = f'(x).∆x ⇔ dy = y'dx.
Ví dụ:
+d(x2) = 2x.dx
+ d(sinx) = cosxdx.
-Nếu y = y(u) và u = u(x) → dy = y'(u).du = y'(u).u'(x).dx = y'u(x).u'(x).dx
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán

Trang 2


Tích phân tồn tập - Luyện thi Đại học
Ví dụ: y = (2x+5)3 → dy = 3. (2x + 5)2.dx
3. Tính chất của tích phân:
'

+  ∫ f ( x ).dx  = f ( x )




+ ∫ f (u ).du = F(u ) + C
+ ∫ a.f ( x )dx = a.∫ f ( x )dx
+ ∫ (f ( x ) + g( x ))dx = ∫ f ( x )dx + ∫ g ( x )dx
+ ∫ (f ( x ) − g( x ))dx = ∫ f ( x )dx − ∫ g ( x )dx
Giả sử F(x) có đạo hàm là f(x) từ đó suy ra:

∫ d(F( x)) = F( x) + C
4. Công thức Newton - Lepnit:
b

∫a f ( x ).dx = F(b) − F(a )
5. Định nghĩa tích phân xác định:
+Giả sử hàm số y = f(x) liên tục và có giá trị khơng âm xác định trên khoảng (a, b),
hình chắn phía trên bởi y = f(x) và phía dưới bởi trục Ox và các đường thẳng x = a, x
= b.
y

0

x
b
+Để tính diện tích hình thang cong người ta chia đoạn [a, b] thành các đoạn nhỏ bởi
các điểm x0, x1, ..., xn. Ta gọi ∆xi = xi - xi-1. Từ các điểm xi, dựng các đường thẳng
song song với trục Oy khi đó hình thang cong được chia làm nhiều hình thang cong

nhỏ.
+Trong mỗi đoạn ∆xi chọn một điểm εi khi đó tung độ yi ứng với điểm εi là yi = f(εi)
suy ra, nếu ứng với mỗi đoạn nhỏ đựng hình chữ nhật có kích thước là (x i - xi-1); f(εi)
thì được mỗi hình chữ nhật đó là:
δi = f(εi) . (xi - xi-1). Suy ra diện tích tồn phần hình cong là:
a

Tài liệu luyện thi đại học mơn Toán

Trang 3


Tích phân tồn tập - Luyện thi Đại học
n

S = S1 + S2 +...+ Sn =

∑ Si
1

+Nếu n càng lớn thì ∆xi càng nhỏ và độ chính xác càng lớn.
n

S = Lim ∑ Si .
n →∞

i =1

Giới hạn phía phải được kí hiệu là:
n

b

Lim ∑ Si = ∫ f ( x )dx .
n →∞

a

i =1

+Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên đoạn [a, b].
Chia đoạn [a, b] thành n đoạn bởi các điểm (không nhất thiết phải cách đều nhau) a
= x0, x1, ..., xn = b.
Đặt ∆i = xi - xi-1 (1 ≤ i ≤ n).
Gọi số lớn nhất trong các kí hiệu đó là Max∆i.
Trong mỗi đoạn [xi-1, xi] chọn một điểm εi tùy ý: xi-1 ≤ εi ≤ xi.
Lập tích f(εi).∆i trên mỗi đoạn chia.
n

b

Lim
Lập tổng ∑ f (ε i ).∆x i → ∫a f ( x )dx = Max∆ →0 ∑ Si
i

i =1

Để tính tích phân theo định nghĩa ta thường chia thành các đoạn bằng nhau:
∆xi = xi - xi-1 = (b-a)/n = h.
Lấy điểm εi là đầu mút phải (hoặc trái) mỗi đoạn.

εi = a + (i-1).h (trái)
εi = a + i.h (phải)
+Tính chất của tích phân xác định:
b

b

C.f ( x )dx = C ∫ f ( x )dx

∫a
a
b
b
b
∫a [f (x ) ± g( x )]dx = ∫a f (x )dx ± ∫a g(x )dx

-Nếu f(x) ≤ g(x) thì:
b

∫a

b

f ( x )dx ≤ ∫ g ( x )dx
a

-Nếu m, M là các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm f(x) thì:
b

M (b − a ) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ m(b − a )

a

II. CÁC BÀI TẬP LUYỆN:
DẠNG 1: SỬ DỤNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN VÀ TÍNH CHẤT:
1.

∫ (e

3.

∫

x

+ 1) 3 dx

e x + e − x − 2dx

Tài liệu luyện thi đại học mơn Tốn

2.

∫e

4.

∫ 1 + x 2 dx

x

2 x dx
x

Trang 4


Tích phân tồn tập - Luyện thi Đại học
5.

∫ cos

2

xdx

6.

∫

7.

∫ sin

3

xdx

8.

∫ sin

9.

∫

2

2

x. a − x .dx
1+ x − x2

11.

∫

13.

∫

15.

∫ sin x cos

17.

∫

19.

∫

21.

∫

23.

∫

25.

∫

27.

∫

29.

∫

2 3

dx

(1 − x )
1 3
( x+
) dx

x
2

xdx

1
dx
2
x + 2x + 2
| 1 − x |2
.dx
x x
m
dx
2
3
(a + bx )
dx
2
x. cos (1 + ln x )
1 + tg 2 x
dx
1 + tgx
dx
x ( x 2 + 1)
(1 + e x ) 2
dx
1 + e2x

Tài liệu luyện thi đại học mơn Tốn

tg 2 xdx
2

x. cos x.dx

x3
dx
x4 +1

10.

∫

12.

∫ (ax

14.

∫(

16.

∫ sin

2

+ b) 3 dx

x + 23 x ) 2 dx
5

xdx

(1 + x ) 2
dx
x (1 + x 2 )

18.

∫

20.

∫ (a

22.

∫

x 2 .3 x 3 + 2.dx

24.

∫

sin x
dx
1 + 2 cos x

26.

∫

28.

∫

x

+ b x ) 2 dx

ex
dx
e 2x + 4
x6 + x5 + x4 + 2
dx
x6 + 1

Trang 5


Tích phân tồn tập - Luyện thi Đại học
DẠNG 2: DÙNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
Giả sử tính tích phân của f(x)dx (1).
+Đặt t = ϕ(x), lấy vi phân để tính dx theo dt và t.
+Biến đổi f(x) theo t.
+Đưa (1) về dạng:

∫ f (t )dt = F( t ) + C

(2)

+Thay t trong biểu thức nguyên hàm bằng ϕ(x).
Chú ý: Nếu (1) là tích phân xác định thì (2) là tích phân xác định cận từ ϕ(a) đến
ϕ(b), khi đó khơng có bước cuối.
Bài tập:
1.

∫

x 2 .(1 − x ) 8 dx

2.

∫

3.

∫

3x + 5
dx
x

sin 4x
dx
cos 2 2 x + 4

4.

∫

x 3 (1 − 2 x 4 )dx

5.

∫

x x .(1 + ln x )dx

x3 − x
dx
7. ∫ 6
x + 4x 4 + 4x 2 + 1
cos x
dx
9. ∫
sin x + cos x
dx
11. ∫
x. ln x. ln(ln x )
ln x
dx
13. ∫
x 1 + ln x
15.

∫

17.

∫

19.

∫

21.

∫

23.

∫

4

1 + x3
dx
x
x
dx
1+ x
sin x
dx
2 x
1 + cos
2

dx
cos x
dx
x2 + a

Tài liệu luyện thi đại học mơn Tốn

sin x. cos 3 x
dx
6. ∫
1 + cos 2 x
sin x
dx
8. ∫
sin x + cos x
arctg x
dx
10. ∫
(1 + x ) x
sin x + cos x
dx
12. ∫ 3
sin x − cos x
14.

∫

16.

∫

18.

∫

20.

∫

22.

∫

24.

∫

1 + x6
dx
x
dx
(1 − x 2 ) 3 / 2
dx
(x + 1 + x 2 ) 2
dx
x . cos x
dx
sin x
x2 −1
dx

x4 +1

Trang 6


Tích phân tồn tập - Luyện thi Đại học
25.

∫ cos

27.

∫ sin

29.

∫ 1 + cos 2 x dx

31.

∫

33.

∫

34.

∫

35.

∫

37.

5

xdx

26.

∫

tg 6 x.dx

3

x cos xdx

28.

∫

30.

∫

32.

∫

x sin x
dx
9 + 4 cos 2 x
cos x
dx
cos x + sin x
x2 + 4
dx
2x + 1

x sin x

∫

39.

∫

41.

∫

sin x
dx
cos x + sin x
cos x
dx
2 + cos 2 x

sin x cos x
a 2 cos 2 x + b 2 sin 2 x

dx (a ≠ b ≠ 0)

2

1 + x dx

36.

∫

38.

∫

1+ x
ln x
dx
( x + 1) 2

∫

cos 4 x
dx
cos 4 x + sin 4 x

x

1− e
dx
1 + ex
3

sin 3 x − sin x
. cot gx.dx
sin 3 x
x sin x
dx
2 + cos 2 x

Tài liệu luyện thi đại học mơn Tốn

x3

40.

3

2

dx

Trang 7


Tích phân tồn tập - Luyện thi Đại học
DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
1. Các vấn đề lý thuyết:

+Định lý: Cho hai hàm u, v liên tục trên đoạn [a, b] thì ta có:
b

b

∫a udv = u.v |a − ∫a vdu
b

+Để tính tích phân f(x)dx:
-Phải biến đổi tích phân f(x)dx về dạng tích phân của u.dv.
-Tính du và v.
-Tính tích phân của v.du.
+Các dạng thường gặp:
a.

∫

P( x ).Ax.dx (P(x) là một đa thức của x, Ax: ex, ax, sinx, cosx...)

Thì ta sẽ đặt u = P(x), dv = Ax.dx.
b.

∫

P( x ).Ax.dx (P(x) là một đa thức của x, Ax: arsinx, arccosx, arctgx...)

2. Bài tập:
1

∫0

2
3. ∫ x cos xdx
1.

1

∫0 xarctgxdx
4. ∫ ln xdx

x.e x dx

2.

5.

∫

e x sin xdx

6.

∫

7.

∫ cos(ln x)dx

8.

∫

9.

∫

2

x (arctgx ) dx

11.

∫e

13.

∫

15.

∫

17.

∫

19.

∫

21.

∫ arcsin x.arccos x.dx

2x

sin 2 xdx

dx
dx
(1 + x 2 ) 2
x8
dx
( x 4 − 1) 3
x 2 e x sin x.dx
2

2

a − x dx

Tài liệu luyện thi đại học mơn Tốn

x
dx
cos 2 x
arcsin x
dx
1+ x
x. ln( x + 1 + x 2 )

10.

∫

12.

∫ (arcsin x )

14.

∫

16.

∫(

ln x 3
) dx
x

18.

∫

x 2 + b .dx

20.

∫

arcsin e x
dx
ex

22.

∫

x.arctgx. ln(1 + x 2 )dx

1+ x
2

2

dx

dx

dx
(a + x 2 ) 2
2

Trang 8


Tích phân tồn tập - Luyện thi Đại học
23.
25.

∫
∫

x7
dx
(1 + x 4 ) 2

24.
26.

x 4 .arctgx
dx
1+ x2
x 2 .arctgx
dx
1+ x2

∫

x. ln( x + x 2 + 1)
dx
(1 − x 2 ) 2

∫

x. sin x .dx
x 3 . arccos x

28.

∫

∫ cos x.ln(1 + cos x).dx

30.

∫

31.

∫

32.

∫

33.

∫ cos(ln x).dx

34.

∫ sin(ln x).dx

35.

∫

36.

∫ sin(

37.

∫e

38.

∫

39.

∫

x.e −x / 2 .dx

40.

∫ ln(1 + x ).dx

41.

∫

x. ln( x 2 + x + 1)dx

27.

∫

29.

x 2 . arccos x.dx

arctgx
dx
x (1 + x 2 )
2

−2 x

. cos 3x.dx

42. Tìm a để:

∫0 [a
1

2

2

dx

1− x
x.e arctgx
dx
(1 + x 2 ) 3 / 2
arcsin x
dx

x2

3

x ).dx

x 3 . ln x.dx

]

+ (4 − 4a ).x + 4x 3 dx = 12

Tài liệu luyện thi đại học mơn Tốn

Trang 9


Tích phân tồn tập - Luyện thi Đại học
DẠNG 4: TÍCH PHÂN CÁC LOẠI HÀM SỐ:
1. Hàm hữu tỷ:
f (x)
.dx bậc của f(x) nhỏ hơn g(x).
g(x )
+Nếu bậc f(x) lớn hơn bậc g(x) thì chia đa thức đưa về phân số tối giản.
+Nếu bậc f(x) nhỏ hơn bậc g(x) thì phương trình hàm hữu tỷ đã cho đưa về hàm hữu
tỷ đơn giản hơn bằng phương pháp cân bằng hệ số bằng cách sau:
1
A
Bx + C
=

+
Tương đương với:
(ax + b)(a ' x 2 + b' x + c' ) ax + b a ' x 2 + b' x + c'
1
A
N
=
+ ... +
n
x−a
(x − a )
(x − a) n
+Các dạng thường gặp khi tính tích phân xác định:
− α +1
A
dx = A. ( x − a ) −α d( x − a ) = A. ( x − a )
Tích phân ∫
∫
(x − a )α
− α +1
A
d(x − a )
dx = A.∫
= A. ln | x − a |
Tích phân ∫
(x − a)
x−a
dx
Tích phân ∫
tùy theo ax2+bx+c = 0 có nghiệm hay không.

2
ax + bx + c
du
1
x − a
= . ln 
Nếu có nghiệm thì đưa về dạng: ∫ 2
u − a 2 2a  x + a 

a. Dạng tổng qt: Tính tích phân

∫

Nếu khơng có nghiệm thì đưa về dạng sau:
b. Bài tập luyện:
2x 2 − x + 3
dx
1. ∫ 3
x + 3x 2 + 3x + 2
5x 3 − 17 x 2 + 18x − 5
dx
3. ∫
( x − 1) 3 ( x − 2)
dx
5. ∫
x.( x 2 + 1)
x5 − x
dx
7. ∫ 8
x +1

x4 +1
dx
9. ∫ 3
x − 3x 2 + 2x
x2 +1
dx
11. ∫
( x − 1) 3 ( x + 3)
Tài liệu luyện thi đại học mơn Tốn

∫

du
1
u
= .arctg
2
u +a
a
a
2

x +1
dx
( x + 1)( x 2 + 9)
2x
dx
4. ∫
(1 + x ).(1 + x 2 ) 2
dx

6. ∫
10
x.( x + 1) 2
x4 +1
dx
8. ∫ 6
x +1
x5
dx
10. ∫ 4
x + 3x 2 + 2
1− x4
12. ∫ 6 dx
x +1
2.

∫

2

Trang 10


Tích phân tồn tập - Luyện thi Đại học
dx
13. ∫ 6
14.
x +1
2x 2 + 2 x + 13
dx

15. ∫
16.
( x − 2)( x 2 + 1) 2
dx
17. ∫
18.
x ( x + 1)( x + 2)( x + 3) 2
19.

∫

21.

∫

23.

∫

25.

∫

27.

∫

29.

∫

31.

∫

dx
x3 + 1
x2 −1
dx
x4 + x3 + x2 + x + 1
x7
dx
(1 + x 4 ) 2
x2
dx
x 6 + 2x 3 + 3
x
dx
4
x + 6x 2 + 5
dx
x5 − x2
x +1
dx
2
5x + 2 x + 1

∫

x

dx
x −1
8

dx
( x + 1)( x + 2)( x + 3) 2
dx
∫ x.(x + 1)(x 2 + x + 1)
x4 −1
dx
20. ∫
x ( x 4 − 5)( x 5 − 5x + 1)
1 − x7
dx
22. ∫
x (1 + x 7 )
x2
dx
24. ∫
( x − 1) 5
dx
26. ∫ 4
x + x2 +1
x 3 − 2x
dx
28. ∫ 2
( x + 1) 2
5x + 3
dx
30. ∫ 2

x + 10x + 29
x 2 + 2x − 1
dx
32. ∫
( x − 1)( x 2 + 1)

∫

2. Tích phân các hàm số lượng giác:
a. Các vấn đề lý thuyết:
+Tích phân có dạng:

∫ sin

m

x. cos n xdx

-Trường hợp 1: Nếu m lẻ, n chẵn thì đặt cosx = t.
-Trường hợp 2: Nếu m chẵn, n lẻ thì đặt sinx = t.
-Trường hợp 3: Nếu m, n cùng chẵn, khác dấu thì đặt tgx = t.
-Trường hợp 4: Nếu m, n cùng chẵn, cùng dương thì hạ bậc.
x
+Tích phân có dạng: ∫ R (sin x, cos x )dx thì đặt tg = t .
2
+Sử dụng phương pháp tích phân từng phần trong trường hợp có thể: Xem phương
pháp tích phân từng phần.
b. Bài tập luyện:
sin x + 2 cos x − 3
dx

dx
1. ∫
2. ∫
sin x − 2 cos x + 3
3 + 5 sin x + 3 cos x
2
x
x
cos xdx
3. ∫
4. ∫ sin x.sin .sin dx
2
3
sin 2 x + 4 sin x cos x
Tài liệu luyện thi đại học mơn Tốn

Trang 11


Tích phân tồn tập - Luyện thi Đại học
5.

∫

7.

∫

9.

∫

cos 4 x
dx
sin 3 x
dx
4

6.
8.

sin 3 x. cos 5 x

13.

∫

15.

∫

17.

∫

19.

∫

21.

∫ sin

23.

∫

25.

∫ cos

27.

∫

29.

∫

31.

∫

33.

∫

35.

∫

6

3. Tích phân của các hàm vơ tỷ:
a. Các vấn đề về lý thuyết:
Giả sử tính tích phân của f(x)dx.
+ f ( x ) = f ( x, a x , b x , c x ...) Thì đặt

∫

∫ sin

4

24.

∫ sin

2

26.

∫

28.

dx
4 + 3tgx
sin x − cos x
dx

(sin x + 2 cos x ) 2
cos x + sin x
dx
sin 2x
dx
sin x. cos x
sin 5 x
dx
sin 5 x + cos 5 x

∫

22.

xdx

∫

20.

cos 3 xdx
4.sin 2 x − 1

∫

18.

x. cos 4 xdx

∫

16.

cos 3x.3 sin 2 x

∫ cot g

14.

2

2

sin 3 x. cos 5 x
cos 5 x
dx
sin x

12.

dx
sin x + 2 sin x cos x + cos 2 x
dx
4
cos x sin x
sin 2xdx
3
cos x − sin 2 x − 1
dx
4

sin x. cos x
dx

∫

∫

dx

10.

tg 5 xdx

11.

∫

∫ sin

3

xdx

dx
sin x cos x
dx
4
sin x cos x
dx
2

2
a sin x + b 2 cos 2 x
sin x. cos x.dx
sin x + cos x
sin 2 x
dx
1 + cos 4 x
4

x. cos 5 xdx
x
x
cos 2 dx
4
4
dx

sin x. cos x. sin 4 x + cos 4 x
5

x. cos 5 xdx

cos 3 x
dx
sin 2 x.sin x

30.

∫

32.

∫

tgx dx

∫

dx
1 − sin x

34.

s

Tài liệu luyện thi đại học môn Toán

x = t với s là BSCNN của (a, b, c,...)
Trang 12


Tích phân tồn tập - Luyện thi Đại học
ax + b
= t với s là BSCNN của (a, b, c...)
cx + d
b 2
∆
+ f ( x ) = f ( x, ax 2 + bx + c ) biến đổi ax2+bx+c = a ( x + ) − 2
2a
4a

2
2
-Nếu ∆ < 0 thì:
Nếu f ( x ) = (u, α − u ) đặt u = α.sint
α
Nếu f ( x ) = (u, u 2 − α 2 ) đặt u =
sin t
+Phép thế ơcle: Dùng để biến đổi ax 2 + bx + c .
-Phép thế 1: Nếu ax2 + bx + c = 0 vô nghiệm và a > 0 thì đặt
ax 2 + bx + c = ± a .x + t
+ f ( x ) = f ( x, m

ax + b n ax + b
,
....) thì đặt
cx + d cx + d

s

-Phép thế 2: Nếu c > 0: Thì đặt ax 2 + bx + c = tx ± c
-Phép thế 3: Nếu x0 là một nghiệm của ax2 + bx+c=0 thì đặt
ax 2 + bx + c = t.( x − x 0 )
b. Bài tập luyện:
x + 1 + 2x
dx
1. ∫
( x + 1) 2 − x + 1
x3 x + 2
dx
3. ∫

x+3 x+2
dx
5. ∫ 2 2
x x +1
xdx
7. ∫
2 x2 +1 + 2
x2
dx
9. ∫
2
1+ x + x
dx
11. ∫ 3 2
x x +1
6
x
dx
13. ∫
1+ 3 x
1 − x dx
15. ∫
.
1+ x x
dx
17. ∫
x +1 − x −1

Tài liệu luyện thi đại học môn Toán

2.

∫

4.

∫

6.

∫

8.

∫

5x − 3
2

dx

2 x + 8x + 1
x +1 − x −1
dx
x +1 + x −1
x3
dx
1+ 3 x4 +1
x
dx

3 − 2x − x 2

10.

∫

12.

∫

14.

∫

16.

∫

18.

∫

1− x
dx
1+ x
1+ 4 x
dx
1+ x
dx
1 − 2x − 4 1 − 2x

dx
(1 − x 2 ) 3 / 2
xdx
4

x 3 (a − x )

Trang 13


Tích phân tồn tập - Luyện thi Đại học
19.

∫

dx
( x − 1) − x 2 + 2 x + 3
x 3dx

21.

∫

2

23.

∫

1 + 2x − x 2

x 3dx

3

25.

∫

x2 +1 −1
dx

27.

∫

2

x − x − x −1
x 2 + 2x + 2
dx
x
dx

29.

∫ 1+

31.

∫ 1+

33.

∫

35.

∫

1− x2 − x
dx
1 − 2x − x 2

x x 2 − 2 x + 2.`dx

20.

∫

22.

∫

24.

∫

26.

∫

28.

∫

x 3dx
( x + 1) 1 + 2x − x 2
( x 2 + 4 x )dx
x 2 + 2x + 2
xdx
( x − 1) 2 1 + 2x − x 2
1− x
dx
x3
dx
x 1+ x 2
x − x 2 + 3x + 2

30.

∫

32.

∫ 1+

34.

∫

x + x 2 + 3x + 2
dx

dx

x 2 + 2x + 2
dx
(1 + x.(2 − x ) ) 2

dx
x + x2 + x +1

Tài liệu luyện thi đại học mơn Tốn

Trang 14


Tích phân tồn tập - Luyện thi Đại học

TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
I. CÁC VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT
1. Công thức newtown - lepnit:
b

∫a f ( x ).dx = F(b) − F(a ) = F(x ) |a

b

2. Một số chú ý trong phương pháp đổi biến:
β

b

-Phải đổi cận: Đặt t = ϕ(x) ⇒ ∫a f ( x )dx = ∫α g( t )dt
α = ϕ(a); β = ϕ(b).

3. Cơng thức tính tích phân từng phần:
b

b

∫a udv = uv |a − ∫a vdu
b

4. Tính chất:
b

b

+ ∫−b f ( x )dx = 2.∫0 f ( x )dx với f(-x) = f(x).
b

+ ∫−b f ( x )dx = 0 với f(x) = -f(-x).
b

+ ∫−b
b

b
f (x)

dx = ∫ f ( x )dx với f(x) = f(-x).
0
ax +1
c

b

+ ∫a f ( x )dx = ∫a f ( x )dx + ∫c f ( x )dx

+ ∫a [ f ( x ) ± g( x )]dx = ∫a f ( x )dx ± ∫a g ( x )dx
b
b

b

b

a

+ ∫a f ( x )dx = − ∫b f ( x )dx
π
2
0

+∫

π
sin m x
cos m x
π

2
dx = ∫
dx =
m
m
m
m
0 sin x + cos x
4
cos x + sin x
b

+ f(x) ≥ 0 trên [a, b] ⇒ ∫ f ( x )dx ≥ 0
a

b

b

a

a

+ f(x) ≥ g(x) trên [a, b] ⇒ ∫ f ( x )dx ≥ ∫ g ( x )dx
b

+ m ≤ f(x) ≤ M trên [a, b] ⇒ m(b - a) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ M(b - a)
a

II. BÀI TẬP LUYỆN:

+) Tính các tính phân xác định sau:
Tài liệu luyện thi đại học mơn Tốn

Trang 15


Tích phân tồn tập - Luyện thi Đại học
1.
3.

3π

∫0

sin x.sin 2x.sin 3x.dx

4x

∫2

3

+1
dx
2

x
3 dx
5. ∫1/ 2
x

dx
∫π / 6 sin 2 x.cos 2 x

9.

∫−3| x

π/3

3

2.

2 cot g 2 x
∫π / 4 cos 2 x dx
3
π / 41 − sin x
dx
8. ∫
π / 6 sin 2 x
π / 33 −

6.

7.

3

+ 4x

∫1 x 3 dx
1/ 2  1
3 
4. ∫ 2 / 2  2 −
dx
1− x2 
x
3x

2

2

2

dx

− 1 | dx

10.

∫0 | x

11.

∫1 | x − 2 | dx

12.

∫1 x 2 + x

13.

∫0

2

3

2π

+ 2 x − 3 | dx

1 − cos 2 x .dx

+) Dùng phương pháp đổi biến, tính các tích phân sau:
π/6

∫0

2

cos 3x.dx

2.

∫1 (2x − 1)

x2
dx

3. ∫0 3
( x + 1) 3

4.

∫0

1.

1

π/ 4

∫0
2
7. ∫0
5.

tgxdx

4 − x 2 .x.dx

( x − x 3 )1/ 3
dx
9. ∫
1/ 3
x4
1

π/ 2

11.

∫0

13.

∫0

15.
17.
19.

sin 3 x. cos x.dx

π / 2 sin x

e

1 −2 x

. cos x.dx

π/ 4

10.

2

2

π/4

∫π / 6 cot gx.dx
1

x.dx

12.

∫0 1 + x 4

14.

∫0

16.

1

x 2 + 1.dx

18.

ln x + 1
dx
x

20.

∫1

dx
a cos x + b 2 sin 2 x
2

1

.x.dx

e

dx

∫0 x.ln(1 + x )dx
π/ 2
8. ∫0 cos 5 xdx
6.

∫0 e
∫0

5

π/6
4e

∫1

1

1 + 4 sin x . cos x.dx
x

dx
x
x2

∫0 3 1 + x 3 dx
π/ 2

∫0

dx
2 + sin x

+) Dùng phương pháp tích phân từng phần:
1.

1

∫0 x

4

.e x .dx

Tài liệu luyện thi đại học mơn Tốn

2.

π

∫0 x.sin x.dx
Trang 16


Tích phân tồn tập - Luyện thi Đại học
π

∫0 (2x + 1).cos x.dx
1
5. ∫0 x.arctgx.dx
e
7. ∫1 cos(ln x ).dx
3.

9.

π/ 2 x

∫0

e cos x.dx

π/ 2

∫0 x .cos x.dx
1/ 2
6. ∫0 arcsin x.dx

π
8. ∫0 e x sin x.dx
4.

10.

1 arcsin x

∫0

2

x
dx
cos 2 x
2
1 x. ln( x + 1 + x )
π/ 4

∫0

dx
dx
12. ∫0
2
1+ x
1+ x
+) Sử dụng các tính chất đặc biệt của tích phân:
a f (x)
a

∫−a a x + 1.dx = ∫0 f ( x ).dx
π/ 2
π/ 2
sin m x
cos m x
∫0 cos m x + sin m xdx = ∫0 sin m x + cos m x dx = π / 4
11.

a

∫−a f (x )dx = 0 nếu f(x) = -f(-x).
b
b
∫a f ( x )dx = ∫a f (a + b − x ).dx
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.

1

dx

∫−1 (e x + 1)( x 2 + 1)
sin 5 x
∫0 sin 5 x + cos5 x dx
π x sin x

∫0 1 + sin 2 x dx
π/ 4
cos x
∫0 sin x + cos x dx
1/ 2
1+ x
∫−1/ 2 cos x.ln 1 − x .dx
7
5
3
π / 4 x − 3x + 7 x − x + 1
dx
∫−π / 4
cos 2 x
π/ 2

1

∫−1 ln(x +

1 + x 2 )dx

ĐỀ THI MỘT SỐ TRƯỜNG ĐẠI HỌC
1. ĐHQG - D/99:
dx
∫ e x − 4e −x
Tài liệu luyện thi đại học mơn Tốn

Trang 17

Tích phân tồn tập - Luyện thi Đại học
2. ĐHBK -99:
Cho hàm số g(x) = sinx.sin2x.cos5x.
a. Tìm học nguyên hàm của hàm số g(x).
π / 2 g( x )
b. Tính: ∫−π / 2 x dx
e +1
3. ĐHTN A/99:
Chứng minh với mọi n nguyên dương ta có:
1

∫0

2

(2x − 1) 2 x +1.e x − x .dx = 0

4. ĐHSPII.99:
sin 3 x
Tìm nguyên hàm của f(x) =
3 sin 4x + sin 6x − 3 sin 2 x
5. ĐHKTQD-99:
Tìm họ nguyên hàm:
1
2x + 1 + 2x − 1

f(x) = tgx +
6. ĐHTDTT 99:
Tính

1

∫0 x

2

1 − x .dx

1

2

7. ĐHMỎ 99:
a. Tính

∫0 x

(1 + x 3 ) n .dx (n > 2)

b. Tính I(t) =

t

∫0 ( x.sin x )

2

.dx

+Tính khi t = π.
+Chứng minh I(t) + I(-t) = 0 (∀ t ∈ R)
8. ĐHTCKT - 99:
Tính các tích phân sau:
π / 3 cos x + sin x
dx
a. ∫π / 4
3 + sin 2x
4
1x +1
b. ∫ 6 dx
0 x +1
π / 2 sin x + 7 cos x + 6
.dx
c. ∫0
4 sin x + 3 cos x + 5
d.

π

∫0 x.cos

4

x.sin 3 x.dx

9. ĐHCĐ 99:
Tính các tích phân sau:
ln a
dx

a. ∫0
ex + 1

Tài liệu luyện thi đại học mơn Tốn

Trang 18


Tích phân tồn tập - Luyện thi Đại học
π/ 2
dx
b. ∫0
1 + sin 2x
c.

π/ 2

∫0

( 2x − 1).cos 2 x.dx

10. ĐHY 99:
dx

∫

a. Biết

2

x +3

= ln( x + x 2 + 3 ) + C

Tìm nguyên hàm F(x) =

∫

x 2 + 3.dx

dx
x
sin
2
11. HVBCVT 99:
1
x4
∫−11 + 2 x .dx
12. GTVT 99:
1
x
3
.dx + ∫ x.arctgx.dx
y = ∫−1
0
5 − 4x
13. HVNH 99:
cos 2 x
dx
a. ∫

sin x + 3. cos x
4π / 3

b. ∫π

b.

2

∫1 | x

2

− (a + 1) x + a | .dx (a là một số cho trước)

14. ĐHTS 99:
15. ĐHTM 99:

π/ 2

∫0

4

∫
1

( x 2 + 1).sin x.dx

dx

x 2 ( x + 1)

16. ĐHXD 99:
x2

a. Cho f(x) =
b.

∫

x2 −1

.

Tính

8/3

∫ 3 / 2 f (1/ x).dx

sin(a + x )
.dx (a là một số cho trước)
cos 2 x
π / 2 sin 2 x

17. ĐHKT 99:

∫1

18. ĐHNT A-99:

∫0 (x 2 + 3x + 2) 2

19. ĐHNT A-99:

e

.sin x. cos 3 x.dx

dx

1

+9
dx 20. ĐHNN 99:
x+3

1 2x

∫0

Tài liệu luyện thi đại học mơn Tốn

π/3

∫0

3

x +1

dx
3x + 1

Trang 19


Tích phân tồn tập - Luyện thi Đại học
1
dx
1
21. ĐHNT 99: ∫0 2
22. ĐHNNI B -99: ∫0 x.(1 − x )19 .dx
( x + 3x + 2)
23. ĐHXD 99:
x2
3
9. 2
a. Chứng minh 2,5 < ∫ f ( x ).dx <
với f(x) =
2
4
x2 −1
sin(a + x )
.dx (a là hằng số cho trước).
b. ∫
cos 2 x
24. HVKTMM 99:
b.

4

+1
∫0 x 6 + 1dx
1x

a.
c.

π/ 2

∫π / 2 cos x.ln(x +

x 2 + 1).dx

dx

π/3

∫π / 6 sin 4 x.cos x

1
1
x 25
1
.dx <
d. Chứng minh: 3 < ∫0 3
26
26 2
1 + x10
25

dx
25. ĐHTL 99:
∫1 x.(x 5 + 1)

26. ĐH MỎ ĐC 99:Giải bất phương trình:
27. ĐH AN NINH 99:

x dt
dt
< ∫ −3 x
e
t
2 t

2+ln x

∫ln x

dx

4

∫ 7 x.

x2 + 9

3 sin x + 4 cos x
∫0 3sin 2 x + 4 cos 2 x .dx
1
x

.dx
29. TÀI CHÍNH KẾ TỐN 2000: ∫0 4
x + x2 +1
28. ĐH THỦY LỢI 2000:

30. ĐH MỎ 2000: I1 =

π/3

∫π / 6

tg 2 x + cot g 2 x − 2.dx ,
dx

π/3

I2 = ∫π / 6

π
sin x.sin( x + )
6

31. ĐH BÁCH KHOA 2000: I =
32. ĐH GTVT 2000:

π/ 2

y=

ln 2

∫0

e2x
ex + 1

.dx

x + cos x
∫−π / 2 4 − sin 2 x .dx
π/ 2

4.sin x
∫0 (sin x +cos x )3 .dx
1 dx
2 ln( x + 1)
.dx
34. ĐH CƠNG ĐỒN 2000: I1 = ∫0 2 x
I2 = ∫1
e +3
x2
33. ĐH THƯƠNG MẠI 2000: I =

35. ĐHSPHNII 2000:

I1 =

π/ 2

∫0

π/ 2

(cos10x + sin 10x − cos 4 x.sin 4 x ).dx

Tài liệu luyện thi đại học mơn Tốn

Trang 20


Tích phân tồn tập - Luyện thi Đại học
1
2
dx
dx
I2 = ∫1
I3 = ∫0
( n = 1, 2, ...)
(1 + x n ) n 1 + x n
x 1 + x3
36. ĐHTHNGUYÊN 2000:
37ĐH DƯỢC 2000:
38. ĐHNNI 2000: I1 =

I=

∫0

π/ 2 1 +

sin(sin x + nx ).dx (n ∈ Z).

sin x x
.e .dx
1 + cos x

∫0

dx

2

2π

I =.

∫1 x.(1 + x 3 ) ;

I2 =

π/ 4

∫0

x.tg 4 x.dx

dx
∫0 2 + sin x + cos x
π/ 4
cos 2x

40. ĐH NGOẠI THƯƠNG 2000:
∫0 (sin x + cos x + 2)3 .dx
0
dx
41. CĐSPHN 2000:
I1 = ∫−1
x+4+ x+2
π / 4 sin x + 2 cos x
.dx
I2 = ∫0
3 sin x + cos x
x2 −1
dx
42. ĐHQG - A – 2001: ∫ 2
( x + 5x + 1)( x 2 − 3x + 1)
π/ 2

39. ĐH LÂM NGHIỆP 2000:

1

∫x

43. ĐHSPHN - B – 2001:

3

1 − x 2 dx

0

π
2

1+cos x

44. ĐHSP VINH - A – 2001: a) ln (1 + sin x )
∫
1 + cos x
0
π
3

b)

dx

x sin x

∫π cos 2 x dx

−

3

45. ĐHSP VINH - D - 2001

π
2

∫

1 − sin 2x .dx

0

1

46. ĐHNN – 2001:
47. ĐHGTVT – 2001:

∫ (1 − x − x

2 2

) dx

0
π
2

5 cos x − 4 sin x
∫ (cos x + sin x) 3 dx
0

Tài liệu luyện thi đại học mơn Tốn

Trang 21

Tích phân tồn tập - Luyện thi Đại học
π
 
2

48. ĐH KIẾN TRÚC – 2001:

3

∫ sin

3

x dx

0

π
2

π
4

49. ĐH TL – 2001: ln(1 + tgx )dx. 50. ĐHNNI – 2001:
∫
0

1

51. ĐHNNI - B - 2001

a)

dx

∫ (1 + x 2 ) 2

b)

−1

52. ĐHTN - A – 2001:

1+ 5
2

∫
1

10

53. ĐH DƯỢC – 2001:
54. ĐHNT - A – 2001:

π
2

∫
0

cos 6 x
∫ sin 4 x dx
π
4

cos x
dx
sin x + cos x

x2 + 1
dx
x4 − x2 + 1

∫ x lg

2

1
π
4

xdx
sin 4 x

∫ ( sin 6 x + cos 6 x )dx
0
1

55. ĐHTM – 2001:
56. ĐHAN – 2001:

57. HVKTQS – 2001:

e −2 nx
∫ 1 + e 2 x dx . Với n∈ N
0
xdx
∫ 3 x1
b
a − x2
∫ (a + x 2 ) 2 dx . Với a, b là các tham số cho trước.
0
3

58. ĐH Y HN – 2001:

∫

x 2 − 1dx

2

59. ĐHSPKT TPHCM - A – 2001:

π
2

∫ cos
0
1

60. ĐHSP TPHCM - A – 2001:

∫x

5

n

xdx .Với n là số nguyên dương.

1 − x 3 dx

0

61. ĐHNT TPHCM - A - 2001
Tìm họ nguyên hàm của f(x) =
62. ĐHQG TPHCM - A - 2001

Tài liệu luyện thi đại học mơn Tốn

cot gx
1 + sin 9 x

Trang 22


Tích phân tồn tập - Luyện thi Đại học
π
6

π
6

sin xdx
cos 2 x
và J =
∫ sin x + 3 cos x
∫ sin x + 3 cos x dx
0
0
a) Tính I - 3J và I + J
b) Từ các kết quả trên hãy tính các giá trị của I, J và
Đặt I =

5π
2

K=

2

cos 2 xdx
3 sin x

∫
3 π cos x −
2

1

63. CĐSPHN – 2001:

dx

∫ (e x + 1)(x 2 + 1)

−1

2 3

∫

64. TSĐH - A – 2003:

5

65. TSĐH - B – 2003:

dx
x x2 + 4

π
4

1 − 2 sin 2 x
∫ 1 + sin 2x dx
0
2

66. TSĐH - A – 2004:

x
∫ 1 + x − 1 dx
1
e

1 + 3 ln x ln x
dx
x
1
68. TSĐH - A – 2005:69. TSĐH - B - 2005
67. TSĐH - B – 2004:

∫

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
I - LÍ THUYẾT
1) DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
a) Cho hàm số y = f(x), liên tục và
trên [a, b]. Ta biết rằng diện tích S
thang cong giới hạn bởi đồ thị của
đường thẳng x = a, x = b và trục
b

a

S = ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x ) dx
O

Tài liệu luyện thi đại học mơn Tốn

y = f(x)

A

b

a

khơng âm
của hình
f(x), các
hồnh là:

y

A'

a

B

B'
b

x

Trang 23

Tích phân tồn tập - Luyện thi Đại học
+Nếu f(x) âm trên [a, b] thì diện tích
y
cong A'B'BA bằng diện tích của hình
A'B'B1A1 là hình đối xứng của hình
cho qua trục hồnh khi đó ta có:
S = SA'B'BA = SA 'B'A1B1 = O
b

B1
A1

A'

B'

a

b

b

x

A

∫ − f ( x ) dx = ∫ f ( x) dx
a

của hình thang

thang
cong
thang cong đã

B

a

b) Từ cơng thức tính diện tích của hình thang cong, ta có diện tích của hình phảng
giới hạn bởi hai đường thẳng x = a, x = b và đồ thị của hai hàm số y 1 = f1(x) và y2 =
b

f2(x) liên tục trên [a, b] được cho bởi công thức: S =

∫ f1 (x ) − f 2 ( x ) dx
a

Để tính diện tích S theo cơng thức trên trước hết ta phải tìm nghiệm của phương
trình f1(x) - f2(x) = 0 thuộc [a, b]. Giả sử đó là α, β:
a ≤ α < β ≤ b khi đó ta có:
β

α

S=

b

∫ f1 (x ) − f 2 ( x) dx + ∫ f1 ( x) − f 2 ( x) dx + ∫ f1 ( x ) − f 2 ( x) dx (*)
β

α

a

β

Để tính tích phân

∫ f1 ( x) − f 2 ( x) dx ta chú ý rằng voiứ mọi x ∈ (α, β) thì f1(x) - f2(x)

α

≠ 0. Vì f1(x) và f2(x) đều liên tục trên (α, β) nên
f1(x)-f2(x) luôn mang một dấu
Nếu f1(x)-f2(x) > 0 thì:
β

β

β

α

α

α

∫ f1 ( x) − f 2 ( x) dx = ∫ (f1 ( x) − f 2 ( x))dx = ∫ (f1 (x ) − f 2 (x ))dx

Nếu f1(x)-f2(x) < 0 thì:

β

β

β

α

α

α

∫ f1 ( x) − f 2 ( x) dx = ∫ (f 2 (x ) − f1 (x ))dx = ∫ (f1 (x ) − f 2 (x ))dx

Vậy trong mọi trường hợp ta đều có:
β

β

α

α

∫ f1 ( x) − f 2 ( x) dx = ∫ (f1 (x ) − f 2 (x ))dx

Do đó (*) trở thành:
α

b

S

=

∫ f1 (x ) − f 2 ( x ) dx

=

a

β

a

α

∫ (f1 (x ) − f 2 (x ))dx + ∫ (f1 (x ) − f 2 ( x ))dx +

b

∫ (f1 (x ) − f 2 (x ))dx
β

Tài liệu luyện thi đại học mơn Tốn

Trang 24


Tích phân tồn tập - Luyện thi Đại học
Ví dụ 1: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = x3, y =0, x = -1, x =

2.
Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng nằm giữa các đường:
f1(x) = x3 - 3x và f2(x) = x
c) Diện tích hình trịn và elip
2) Thể tích của các vật thể
a) Giả sử hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), x = a, x = b, y = 0 quay xung
quanh trục ox tạo thành vật thể tròn xoay T. Thiết diện của vật thể T với mặt phẳng
vng góc với ox tại điểm x là một hình trịn bán kính y (y = f(x)) nên diện tích thiết
diện S(x) = πy 2 . Vậy:
b

2
V = π∫ y dx
a

Ví dụ: Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh trục ox của
hình giới hạn bởi trục ox và đường y = sinx (0 ≤ x ≤ π)
b) Xét đường cong có phương trình x = g(y) trong đó g(y) là một hàm số liên tục
trên [a, b]. Nếu hình giới hạn bởi các đường: x = g(y), y = a, y = b, x = 0 quay xung
quanh trục oy thì thể tích vật thể trịn xoay sinh ra được tính theo cơng thức:
b

2
V = π∫ x dy
a

Ví dụ: Tính tiếp tuyến vật thể sinh ra bởi phép quay xung quanh trục oy của hình
x2
giới hạn bởi các đường: y =
, y = 2, y = 4, x = 0.

2

II - BÀI TẬP
1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) x = 0, x = 1 y = 0, y = 5x4 + 3x2 + 3.
b) y = x2 + 1, x = y = 3.
c) y = x2 + 2, y = 3x.
d) y = 4x - x2, y = 0.
e) y = lnx, y = 0, x = e.
f) x = y3, y = 1, x = 8.
π
g) x = , x = π, y = 0, y = cosx.
2
h) y = x(x - 1)(x - 2), y = 0.
i) xy = 4, y = 0, x = a, x = 3a (a > 0).
k) y = ex, y = e-x, x = 1.
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x 2 - 2x + 2, tiếp tuyến của nó tại điểm
M(3, 5) và oy.

Tài liệu luyện thi đại học môn Toán

Trang 25