Các bài toán tích phân trong các kì thi đại học, cao đẳng

香 書 昹
TÝch Ph©n
修 身 齊 家 治 國 平 天 下
NguyÔn §øc Thôy
TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
1.(A2004): T
1
=
2
1 1
1
x
dx
x
∫
+ −

2.(B2004): T
2
=
1 3ln .ln
1
e
x x
dx
x
+
∫
3.(D2004): T
3
=

( )
3
2
ln
2
x x dx−
∫

4.(A2005): T
4
=
2
sin 2 sin
1 3cos
0
x x
dx
x
π
+
∫
+
5.(B2005): T
5
=
2
sin 2 .cos
1 cos
0
x x

dx
x
π
∫
+

6.(D2005):
2
sin
cos cos
0
x
e x xdx
π
 
 ÷
 
+
∫
7. T
7
=
3
2
sin tan
0
x xdx
π
∫
8. T

8
=
2
cos
sin 2
0
x
e xdx
π
∫
9. T
9
=
4
2
1
2
4
0
x x
dx
x
− +
∫
+
10. T
10
=
7
2

3
1
0
x
dx
x
+
∫
+
11. T
11
=
4
sin
(tan .cos )
0
x
x e x dx
π
+
∫
12. T
12
=
2
ln
1
e
x xdx
∫

13. T
13
=
3
2
2
1
x x m dx− +
∫
a. TÝnh T
13
víi m = 1.
b. TÝnh T
13
theo m víi m < -3.
14.(C§SPA04) T
14
=
5 3
3
2
2
0
1
x x
dx
x
+
∫
+

15.(C§SP B¾c Ninh 2004)
T
15
=
3
tan
2
cos 1 cos
4
x
dx
x x
π
π
∫
+
16. (C§SP B×nh Phíc 2004)
T
16
=
2
sin
2
1 cos
0
x x
dx
x
π
∫

+
17. (C§SP Kon Tum 2004)
T
17
=
1
1
0
dx
x
e
∫
+
18. (C§SP Hµ Nam A2004)
T
18
=
1 x
dx
x
+
∫
19. (C§SP Hµ Nam A2004)
T
19
=
4
2
tan
0

x xdx
π
∫
20. (C§ GTVT 2004)
T
20
=
5
( 2 2 )
3
x x dx+ − −
∫
−
21. (C§ KTKT I A2004)
T
21
=
4
2
5
0
1
x
dx
x
∫
+
22. (C§ A2004)
T
22

=
1
2
2 5 2
0
dx
x x
∫
+ +
23. (C§ KTKH §µ N½ng 2004)
T
23
=
.
3
2 2
1
0
x x dx+
∫
24. (C§ 2005) T
24
=
1
3 2
3.
0
x x dx+
∫
25. (C§ XD sè 3- 2005)

T
25
=
3
3
3
1 3
1
x
dx
x x
−
∫
+ + +
−
26. (C§ GTVT 2005)
_______________________________________________________________
阮 昹 瑞 *Patience and time run through the longest way * 有 志 更 成

Tích Phân

Nguyễn Đức Thụy
T
26
=
1
5 2
1
0
x x dx

27. (CĐ KTKT I - 2005)
T
27
=
2
3 5
sin
0
x
e xdx


28. (CĐ TCKT IV - 2005)
T
28
=
3
2 5
1.
0
x x dx+

29. (CĐ Truyền hình A2005)
T
29
=
2
4
1 2sin

1 sin 2
0
x
dx
x



+
30. (CĐ SP TP. HCM 2005)
T
30
=
0
2
2 4
1
dx
x x

+ +

31. (CĐ KTKT Cần Thơ A2005)
T
31
=
ln
2
1
e

x
dx
x

32. (CĐ Sp Vĩnh Long 2005)
T
32
=
7
3
1
3
3 1
0
x
dx
x
+

+
33. (CĐ SP Bến Tre 2005)
T
33
=
2
cos3
sin 1
0
x
dx

x


+
34. (CĐ SP Sóc Trăng A2005)
T
34
=
2
sin
2 2
0
sin 2cos .cos
2
xdx
x
x x


+
35. (CĐ SP Sóc Trăng 2005)
T
35
=
2
3
.sin
2
sin 2 .cos
0

x x
dx
x x


36.(CĐ Cộng đồng Vĩnh Long A05)
T
36
=
ln
1
e
x xdx

37. (CĐ Công Nghiệp Hà Nội 2005)
T
37
=
2

4
.cos .
0
x x dx


38. (CĐ SP Hà Nam 2005)
T
38
=

3 2
2
2 4 9
2
4
0
x x x
dx
x
+ + +

+
39. (CĐ KT TC 2005)
T
39
=
1
3
( 3)
0
xdx
x

+
40. (CĐ SP Vĩnh Phúc 2005)
T
40
=
2
1

1 ln
e
dx
x x


41. (CĐ SP Hà Nội 2005)
T
41
=
2004
4
sin
2004 2004
sin cos
0
x
dx
x x


+
42. (CĐ SP Kon Tum 2005)
T
42
=
3
2
4sin
1 cos

0
x
dx
x


+
43. (CĐ KTKH Đà Nẵng 2005)
T
43
=
4
(sin cos )cos
0
dx
x x x


+
44. (CĐ SP Quảng Nam 2005)
T
44
=
1
2
3
0
( 1)
x
x e x dx+

45. (CĐ Y tế Thanh Hoá 2005)
T
45
=
ln2
2
5
0
x
x e dx

46. (CĐ SP Quảng Bình 2005)
T
46
=
2
1
2
3
0
( 1)
x x
dx
x
+

+
47. (CĐ SP Quảng Ngãi 2005)
_______________________________________________________________

*Patience and time run through the longest way *

Tích Phân

Nguyễn Đức Thụy
T
47
=
4
0
(1 tan tan )sin
2
x
x xdx

+

48. T
48
=
3
3
1
dx
x x

+
49. T
49
=

ln8
2
1.
ln3
x x
e e dx+

50. T
50
=
2
.sin
0
x xdx


51. T
51
=
1
1
0
x xdx

52. T
52
=
3
2
ln

ln 1
1
e
x
dx
x x

+
53. T
53
=
2
2
(2 1)cos
0
x xdx



54. (2002) T
54
=
3
1
2
0 1
x dx
x

+

55. (2002) T
55
=
ln3
3
0
( 1)
x
e dx
x
e

+
56.(2002)T
56
=
0
2
3
( 1)
1
x
x e x dx+ +


57.T
57
=
2
6

3 5
1 cos .sin cos
0
x x xdx



58. (2002) T
58
=
2 3
2
5
4
dx
x x

+
59. T
59
=
4
1 cos 2
0
x
dx
x


+

60. T
60
=
1
3 2
1
0
x x dx

61. (B2003) T
61
=
2
4
1 2sin
1 sin 2
0
x
dx
x



+
62. T
62
=
2
ln5
1

ln2
x
e dx
x
e


63.T
63
=
1
3
cos
1
x dx
x x

+

ữ
+

Dục hành viễn, tất tự nhĩ
64. T
64
=
1
2
3
0

x
x e dx

65. (D2003) T
65
=
2
2
0
x x dx

66. T
66
=
2
1
( 1) 1
0
x
dx
x x

+ +
67. (CĐ SP Vĩnh Phúc A2002)
T
67
=
2
sin sin 2 sin 3
0

x x xdx


68. (CĐ SP Hà Tĩnh A, B2002)
T
68
=
2
4 4
cos2 (sin cos )
0
x x x dx

+

69. (CĐ SP Hà Tĩnh AB2002)
T
69
=
2
5
cos
0
xdx


70. (CĐ SP KT I 2002)
Cho I
n
=

1
2 2
(1 )
0
n
x x dx

và
J
n
=
1
2
(1 )
0
n
x x dx

Với n nguyên dơng
a. Tính J
n
và chứng minh bất đẳng
thức I
n

1
2( 1)n

+
b. Tính I

n+1
theo I
n
và tìm
1
lim
I
n
n
I
n
+

71. (CĐ SP Quảng Ngãi 2002)
_______________________________________________________________
*Patience and time run through the longest way *

Tích Phân

Nguyễn Đức Thụy
T
71
=
( )
2
3 3
cos sin
0
x x dx

72. (CĐ SP Nha Trang 2002)
T
72
=
7
3
8 4
21 2
x
dx
x x

+
73. (CĐ KTKT Hải Dơng A2002)
T
73
=
2 2
ln
1
e
x xdx

74. (CĐ KT Hà Tây 2002)
T
74
=
ln

3
1
e
x
dx
x

75. (CĐ KTKT Thái Bình 2002)
T
75
=
3
2
3
2
2 1
0
x
dx
x x

+ +
76. (CĐ SP KT Vinh 2002)
T
76
=
2
4cos 3sin 1
4sin 3cos 5
0

x x
dx
x x

+

+ +
77.(CĐ A, D2003) T
77
=
9
3
. 1
1
x xdx

78. (CĐ M, T 2003)
T
78
=
2
1
3
3 2
0
x
dx
x
+

+
79. (CĐ GTVT 2003)
T
79
=
( )
1
2
2
0
x
x x e dx

+

80.(CĐ GTVT2003)T
80
=
6
sin
2
0
x
dx


81. (CĐ GTVT II 2003)
Cho hai hàm số f(x), g(x) xác định,
liên tục và cùng nhận giá trị trên
đoạn [0 ; 1]. Chứng minh:

2
1 1 1
0 0 0
( ) ( ) ( ) . ( )f x g x dx f x dx g x dx


ữ


82. (CĐ GTVT II 2003, tham khảo)
T
82
=
2
1
2 1
dx
x x +

83. (CĐ TCKT IV 2003) Cho 2 số
nguyên dơng m, n với m là số lẻ.
Tính theo m, n tích phân:
T
83
=
2
0
sin .cos
n m

x xdx


84. (CĐ TCKT IV tham khảo 2003)
a. Cho f(x) là hàm liên tục trên đoạn
[0 ; 1]. Chứng minh rằng:

2 2
0 0
(sin ) (cos )f x dx f x dx

=

b. Bằng cách đặt
2
x t

=
, hãy tính
các tích phân:

2003
2
2003 2003
0
sin
sin cos
xdx
I
x x

=
+

và
2003
2
2003 2003
0
cos
sin cos
xdx
J
x x

=
+

85. (CĐ Khí tợng thuỷ văn A2003)
T
85
=
3
3 2
0
1x x dx+

86. (CĐ Nông - Lâm 2003)
T
86

=
2
3
2
0
2 1
x
dx
x x+ +

87. (CĐ SP Phú Thọ A2003)
T
87
=
1
2
0
ln(1 )
1
x
dx
x
+
+

88. (CĐ SP KonTum A2003) Bằng
cách đặt
2
x t

=
, hãy tích tích
phân:
T
88
=
2
0
sin
sin cos
x
dx
x x

+

89. (CĐ SP Tây Ninh 2003)
_______________________________________________________________
*Patience and time run through the longest way *

Tích Phân

Nguyễn Đức Thụy
a. Tính tích phân: T
89
=
1
cos(ln )
e
x dx

b. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
của hàm số F(t) định bởi:
F(t) =
2
0
cos
t
x x dx

90. (CĐ SP Trà Vinh D2003)
a.
90
0
sinT x xdx

=

b.
2
2 3
90
0
sin cosT x xdx

=

91.(CĐ Cộng đồng Tiền Giang 2003)
Chứng minh rằng nếu:

(
)
2
ln 4y x x= + +
thì đạo hàm:
2
1
'
4
y
x
=
+
Sử dụng kết quả này, tính tích phân:

2
2
91
0
4T x dx= +

92. (ĐH Quốc Gia Hà Nội & HV
Ngân Hàng A2001- 2002) Tìm họ
nguyên hàm:
( ) ( )
2
92
2 2
1

5 1 3 1
x
T dx
x x x x

=
+ + +

93. (ĐH Quốc Gia Hà Nội & HV
Ngân Hàng D2001 - 2002) Tìm họ
nguyên hàm:

93
tan( )cot( )
3 6
T x x dx

= + +

94. (ĐH SP Hà Nội B, M, T ; HV
CTQG HCM; PV BC & TT 01 - 02)

1
3 2
94
0
1T x x dx=

95. (ĐH SP Hà Nội II A2001- 2002)
Chứng minh bất đẳng thức:

1
0
sin
1 ln 2
1 sin
x x
dx
x x

+

96.(ĐHSP Vinh D, M, T2001-2002)

2
96
0
1 sin 2T xdx

=

97. (ĐH SP Vinh A, B 2001- 2002)
a.
( )
1 cos
2
97
0
1 sin
ln

1 cos
x
x
T dx
x

+
+
=
+

b.
3
97
2
3
sin
cos
x x
T dx
x



=

98. (ĐH Ngoại Ngữ 2001- 2002)

( )
1

2
2
98
0
1T x x dx=

99. (ĐH BK Hà Nội A2001- 2002)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn
bởi các đờng có phơng trình:

2
4y x
=
và
2
3 0x y+ =
100. (ĐH GTVT 2001 - 2002)

( )
2
100
3
0
5cos 4sin
cos sin
x x
T dx
x x

=
+

101. (ĐH Xây Dựng 2001 - 2002)

1
101
4 2
1
12
x
T dx
x x

=


102. (ĐH Kiến Trúc Hà Nội 01- 02)

3
2
3
102
0
sinT xdx


ữ

=

103. (ĐH Mỏ- Địa Chất 2001-2002)
_______________________________________________________________
*Patience and time run through the longest way *

Tích Phân

Nguyễn Đức Thụy

4
6 6
103
4
sin cos
6 1
x
x x
T dx



+
=
+

104. (ĐH Thuỷ Lợi 2001 - 2002)

4
104
0

ln(1 tan )T x dx

= +

"Ti dĩ tự mục
Khiêm nhi dũ quang
Tiến đức tu nghiệp"
105. (ĐH Nông Nghiệp I A01 - 02)

2
6
105
4
4
cos
sin
x
T dx
x


=

106. (ĐH Nông Nghiệp I B01 - 02)
a.
( )
1
106
2
2

1
1
dx
T
x

=
+

b.
2
106
0
cos
sin cos
x
T dx
x x

=
+

107. (ĐH Luật, Dợc Hà Nội 01-02)

10
2
107
1
lgT x xdx=

108. (ĐH Thái Nguyên T 01- 02)

1 5
2
2
108
4 2
1
1
1
x
T dx
x x
+
+
=
+

109. (HV CN BC VT 2001- 2002)
Tính diện tích hình phẳng hữu hạn
giới hạn bởi các đờng:

, 0, 1, 2
x
y xe y x x= = = =
110. (ĐH KTQD 2001- 2002)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn
bởi đờng Parabol
2
4y x x=

và các
đờng tiếp tuyến với Parabol này, biết
rằng các tiếp tuyến đó đi qua điểm
5
;6
2
M

ữ

.
111. (ĐH Ngoại Thơng A01- 02)

4
111
6 6
0
sin 4
sin cos
x
T dx
x x

=
+

112. (ĐH TCKT Hà Nội 01- 02)
Tính diện tích của hình phẳng giới
hạn bởi các đờng
2 siny x= +

và
2
1 cosy x= +
với
[ ]
0 ; x


.
Khai quyển hữu ích (Minh Đạo gia
huấn)
113. (ĐH Thơng Mại 01- 02) Cho:

1
2
2
0
1
nx
n
x
e
T dx
e

=
+

với n = 0, 1, 2, ...
a. Tính

n
T
.
b. Tính
1n n
T T
+
+
.
114. (ĐH Công Đoàn 2001- 2002)
a. Tìm họ nguyên hàm của hàm số:

2
( ) cot 2
4
f x x


= +
ữ

b. Cho a > 0, tính diện tích hình
phẳng giới hạn bởi các đờng có ph-
ơng trình:
2 2
4
2 3
1
x ax a
y

a
+ +
=
+
và
2
4
1
a ax
y
a

=
+
Tìm giá trị của a để diện tích trên
đạt giá trị lớn nhất.
115. (ĐH An Ninh A2001- 2002)

115
3
1
xdx
T
x
=
+

116. (HV KTQS 2001- 2002)

( )

2
116
2
2
0
b
a x
T dx
a x

=
+

(a, b là các tham số dơng cho trớc)
117. (ĐH Y Hà Nội 2001- 2002)
_______________________________________________________________
*Patience and time run through the longest way *

Tích Phân

Nguyễn Đức Thụy
a.
3
2
117
2
1T x dx=

b. Tính diện tích hình phẳng giới hạn
bởi các đờng:

2
2
,
8
x
y x y= =
và
27
y
x
=
.
118. (ĐH Y Thái Bình 2002- 2002)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn
bởi các đờng:
2
5 , 0, 0
x
y y x

= = =

và
3y x=
.
Hiếu học cận hồ trí
Lực hành cận hồ nhân
Tri sỉ cận hồ dũng.
119.(ĐHDL Phơng Đông A01- 02)

1
2
119
2
0
4 1
3 2
x
T dx
x x

=
+

120. (ĐH Hồng Đức A2001- 2002)

( )
2
120
0
cos sinT x x dx

=

121. (ĐH SPKT TP. HCM A01- 02)
Cho tích phân:
2
0
cos
n

n
T xdx

=

Với n là số nguyên dơng.
a. Tính
3
T
và
4
T
.
b. Thiết lập hệ thức giữa
n
T
và
2n
T


với n > 2. Từ đó, tính
11
T
và
12
T
.
122. (ĐH S Phạm và ĐH Luật TP.
HCM A2001- 2002)

1
5 3
122
0
1T x x dx=

123. (ĐH Ngoại Thơng TP.HCM A,
B 2001- 2002)

123
9
cot
1 sin
x
T dx
x
=
+

124. (ĐH QG TP. HCM A01- 02)
Đặt
6
2
0
sin
sin 3 cos
xdx
I
x x

=
+

và

6
2
0
cos
sin 3 cos
xdx
J
x x

=
+

a. Tính
3I J
và
I J+
.
b. Từ các kết quả trên. hãy tính các
giá trị của I, J và:
T =
5
3
3
2

cos2
cos 3 sin
xdx
x x




Tử bất học, nhi sở nghi
125. (ĐH Y Dợc TP. HCM 01- 02)
Gọi (D) là miền đợc giới hạn bởi
các đờng:
2
3 10; 1; ( 0)y x y y x x= + = = >
Và (D) nằm ngoài parabol
2
y x=
.
Tính thể tích vật thể tròn xoay đợc
tạo nên khi (D) quay xung quanh
trục Ox.
126. (ĐH An Giang A, B 01- 02)
Tính thể tích của vật thể sinh ra bởi
phép quay quanh trục Ox của hình
giới hạn bởi các đờng:

2
; ; 0; 2.
x x
y e y e x x

+
= = = =
127. (ĐH Đà Lạt A, B01- 02)
a. Xác định các số A, B, C sao cho:

2
( 1)( 2)
dx
x x
=
+ +


2 1 2
A B C
dx
x x x

= + +
ữ
+ + +


b. Tính diện tích S(t) của hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị của hàm số
2
1
( 1)( 2)
y
x x

=
+ +
trên đoạn [0;t]
_______________________________________________________________
*Patience and time run through the longest way *