Tài liệu luyện thi đại học môn toán

Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
MỤC LỤC
PHẦN TRANG
MỤC LỤC 1
LƯỢNG GIÁC 2
HÀM MŨ VÀ HÀM LOGARIT 42
CÁC BÀI TOÁN VỀ GIẢI VÀ BIỆN LUẬN 59
CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐIỀU KIỆN NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH 63
CÁC BÀI TOÁN ĐIỀU KIỆN NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH 67
GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ 69
Trang 1
Ti liu luyn thi i hc mụn Toỏn
LNG GIC
A - CC VN V L THUYT.
I. NH NGHA CC HM S LNG GIC
1. Đờng tròn lợng giác.
2. Cung lợng giác và góc lợng giác
3. Định nghĩa các hàm số lợng giác
II. DU CA CC HM S LNG GIC
III. HM S LNG GIC CA NHNG GểC C BIT
IV. HM S LNG GIC CA NHNG GểC LIấN QUAN
C BIT
V. MI QUAN H GIA CC HM S LNG GIC
VI. CC CễNG THC BIN I LONG GIC
1. Công thức cộng.
2. Công thức góc nhân đôi
+) Cụng thc h bc.
+) Khai trin cỏc hm s lng giỏc theo tg gúc chia ụi
+) Cụng thc gúc nhõn 3
3. Công thức biến đổi tích thành tổng
4. Công thức biến đổi tổng thành tích

VII. NH L HM S SIN V COSIN.
VIII. CC CễNG THC TRONG TAM GIC.
Trang 2
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
B. BÀI TẬP.
DẠNG 1. CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC.
1. TÝnh hµm sè lîng gi¸c cña c¸c cung a sau
1) sina =
5
3
với 0 < a <
2
π
2) tga = -
2
với
2
π
< a <
π
3) cosa =
5
1
với -
2
π
< a < 0 4) sina =
3
1
với a ∈ (

2
π
, π )
5) tga = 2 với a ∈ (π,
2
3π
)
2. Chøng minh c¸c c«ng thøc sau:
1) sin
2
x + tg
2
x =
xcos
1
2
- cos
2
x 2) tg
2
x - sin
2
x = tg
2
xsin
2
x
3)
xtgxgcot
xsinxcos

22
22
−
−
= sin
2
xcos
2
x 4)
xtg1
)1
xcos
1
)(xgcot1(
2
2
2
+
−+
= 1
5) cosx + cos(2π/3 - x) + cos(2π/3 - x) = 0
6) sin(a + b)sin(a - b) = sin
2
a -sin
2
b = cos
2
b - cos
2
a

7)
batgtg1
btgatg
22
22
−
−
= tg(a +b)tg(a - b)
8) cos
3
xsinx - sin
3
xcosx =
4
1
sin4x 9)
xsinxcos
xsinxcos
+
−
=
x2cos
1
- tg2x
10)
xsin2x2sin
xsin2x2sin
+
−
= -tg

2
2
x
11) sin3xcos
3
x + sin
3
xcos3x =
4
3
sin4x
12) sinx - sin2x +sin3x = 4cos
2
x3
cosxsin
2
x

13) sinx +2sin3x + sin5x = 4sin3xcos
2
x
14)
)xcos1(2
xcosxcosxsin
2
244
−
+−
= cos
2

2
x
15)
xtg31
xtg3
tgx
x3tg
2
2
−
−
=
Trang 3
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
3. BiÕn ®æi c¸c biÓu thøc sau theo sinx vµ cosx
1) sin(x +
2
5π
) - 3cos(x -
2
7π
) + 2sin(x + π )
2) sin(x - π/2) + cos(x - π) - 5sin(
2
11
π
+ x)
3) cos(π/2 + a) + cos(2π - a) + sin(π - a) + cos(π + a)
4) 2cosa - 3cos(π + a) - 5sin(π/2 - a) + cotg(
2

3π
- a)
5) cos(π - a) - 2sin(3π/2 + a) + tg(
2
3π
- a ) + cotg(2π - a)
4. Chøng minh r»ng c¸c biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo a.
1) A = cos
4
a + cos
2
asin
2
a +sin
2
a
2) B = cos4a - sin4a + 2sin
2
a
3) C = 2(sin
6
a + cos
6
a) - 3(sin
4
a + cos
4
a)
4) D =
gacot1

gacot1
−
+
-
1tga
2
−
5) E =
acos4a4sin
2
+
+
asin4acos
24
+
6) F = cos
2
a + sin(30
0
+ a)sin(30
0
- a)
7) G = sin
6
a + cos
6
a + 3sin
2
acos
2

a
8) H =
1acosasin
1acosasin
66
44
−+
−+

9) m là mọt số cho trước, chứng minh rằng nếu:
m.sin(a + b) = cos(a - b)
Trong đó a - b
≠
kπ và m
≠
±
1 thì biểu thức:
A =
a2sinm1
1
−
+
b2sinm1
1
−
(m là hằng số không phụ
thuộc vào a, b ).
5. TÝnh c¸c biÓu thøc sau theo m.
1) Tính sin
3

a -cos
3
a biết sina -cosa = m
2) Biết sina + cosa = m hãy tính theo m giá trị của biểu thức:
A =
2
a
tg
2
a
gcot
a2cos1
−
+

3) Biết
)bacos(
)bacos(
−
+
=
q
p
. Tính tga.tgb
4) Biết sina + sinb = 2sin(a + b) với (a + b)
≠
k2π tính tg
2
a
.tg

2
b

Trang 4
Ti liu luyn thi i hc mụn Toỏn
5) Tớnh sin2x nu: 5tg
2
x - 12tgx - 5 = 0 (
4

< x <
2

)
6. Tính giá trị các biểu thức sau mà không tra bảng và không sử
dụng máy tính.
1) A = cos20
0
cos40
0
cos60
0
cos80
0
2) B = cos
7

.cos
7
4

.cos
7
5
3) C = sin6
0
.sin42
0
.sin66
0
.sin78
0
4) Vi a

k chng minh rng:
cosa.cos2a.cos4a. cos2na =
asin2
a2sin
1n
1n
+
+
, t ú tớnh :
D = cos
65

. cos
65
2
. cos
65

32
5) Tớnh: E = sin5
0
.sin15
0
sin25
0
.sin35
0
. sin85
0

6) Tớnh: F = sin
18

.sin
18
3
.sin
18
5
.sin
18
7
. sin
18
9

7) A = sin37
0

.cos53
0
+ sin127
0
.cos397
0
8) A = tg110
0
+ cotg20
0
9) Tớnh sin15
0
v cos15
0
10) Tớnh tgx.tgy bit :
)yxcos(
)yxcos(

+
=
2
1
7. Chỳ ý cỏc cụng th c sau:
1) 4sinx.sin(
3

- x)sin(
3

+ x) = sin3x

2) 4cosx.cos(
3

- x)cos(
3

+ x) = cos3x
3) tgx.tg(
3

- x)tg(
3

+ x) = tg3x
4) cosa.cos2a.cos4a cos2na =
asin2
a.2sin
1n
1n
+
+

5) tớnh S = cosa - cos(a + x) + cos(a +2x) + +(-1)
n
. cos(a +nx).
thỡ nhõn 2 v vi 2cos
2
x
nu cos
2

x

0.
8.Cỏc b i t p khỏc:
1. Chng minh rng :
Trang 5
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
a)
oo
oo
15sin15cos
15sin15cos
−
+
=
3
b)
oo
oo
75sin75cos
75cos75sin
+
−
=
3
1
2. Rút gọn các biểu thức sau:
a) A = sin3x.sin
3
x + cos3x.cos

3
x
b) B =
xsin
xcos1+
[1 +
xsin
)xcos1(
2
2
−
]
c) C = cos3x.cos
3
x - sin3x.sin
3
x
3. Không dùng bảng số hãy tính:
a) A = tg20
o
.tg40
o
.tg60
o
.tg80
o
b) B =
o
10sin2
1

- 2sin70
o
c) C = sin
4
16
π
+ sin
4
16
3π
+ sin
4
16
5π
+ sin
4
16
7π
d) D = tg2
12
π
+ tg
2
12
3π
+ tg
2
12
5π
e) E = tg9

o
- tg27
o
- tg63
o
+ tg81
o
.
f) F = cos
6
16
π
+ cos
6
16
3π
+ cos
6
16
5π
+

cos
6
16
7π
g) G
1
= sin18
o

.cos18
o
; G
2
= sin36
o
.cos36
o
h) H = cos
7
2π
+ cos
7
4π
+ cos
7
6π

i) I = sin
5
π
+ sin
5
23π
+ sin
6
π
+ cos
5
13π

k) K = cos
5
π
+ cos
5
2π
+ cos
5
3π
+ cos
5
4π
m) M = cos
5
π
- cos
5
2π

4. Với a ≠ kπ (k ∈ Z) chứng minh:
a) cosa.cos2a.cos4a cos16a =
asin.32
a32sin
b) cosa.cos2a.cos4a cos2
n
a =
asin2
a2sin
1n
1n

+
+
5. Tính: A = cos20
o
.cos40
o
.cos60
o
.
6. Tính: A = sin6
o
.sin42
o
.sin66
o
.sin78
o
.
7. Tính: A = cos
7
π
. cos
7
4π
. cos
7
5π
.
Trang 6
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán

8. Tính: cos
65
π
. cos
65
2π
. cos
65
4π
. cos
65
8π
. cos
65
16π
. cos
65
32π
.
9.Tính: sin
18
π
. sin
18
3π
. sin
18
5π
. sin
18

7π
. sin
18
9π
.
10. Tính: cos
15
π
. cos
15
2π
. cos
15
3π
. cos
15
4π
cos
15
7π
.
11. Tính: sin5
o
. sin15
o
.sin25
o
sin85
o
.

12. Tính: 96
3
.sin
48
π
.cos
48
π
. cos
24
π
. cos
12
π
. cos
6
π
.
13. Tính: 16.sin10
o
.sin30
o
.sin50
o
.sin70
o
.
14. Tính: sin10
o
.sin20

o
.sin30
o
sin80
o
.
15. Tính: cos9
o
. cos27
o
. cos45
o
. cos63
o
. cos81
o
. cos99
o
. cos117
o
.
cos135
o
. cos153
o
. cos171
o
.
16. Tính: A = cos
5

π
+ cos
5
2π
B = cos
5
π
+ cos
5
3π
17. Chứng minh rằng :
a) 4.cosx.cos(
3
π
- x).cos(
3
π
+ x) = cos3x.
b) 4.sinx.sin(
3
π
- x).sin(
3
π
+ x) = sin3x.
c) tgx.tg(
3
π
- x).tg(
3

π
+ x) = tg3x.
Áp dụng tính: A = sin20
o
.sin40
o
.sin80
o
.
B = cos10
o
.cos20
o
.cos30
o
cos80
o
.
C = tg20
o
.tg40
o
.tg60
o
.tg80
o
.
18. Chứng minh rằng :
a) sin
6

x + cos
6
x =
8
5
+

8
3
cos2x
b) tgx =
x2sin
x2cos1−
Áp dụng tính:
A = sin
6
(
24
π
) + cos
6
(
24
π
)
B = tg
2
(
12
π

) + tg
2
(3.
12
π
) + tg
2
(5.
12
π
)
19. Chứng minh rằng:
Trang 7
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
a) sin
4
x =
x4cos
8
1
x2cos
2
1
8
3
+−

b) sin
8
x + cos

8
x =
xcos
16
1
x4cos
16
7
64
35
++

Áp dụng tính A = sin
8
(
24
π
) + cos
8
(
24
π
)
B = sin
4
(
16
π
) + sin
4

(3.
16
π
) + sin
4
(5.
16
π
) + sin
4
(7.
16
π
)
20. Chứng minh rằng:
tg
2
x + tg
2
(
x
3
−
π
) + tg
2
(
x
3
+

π
) = 9tg còn thiếu
21. Tính: cos(
7
2π
) + cos(
7
4π
) + cos(
7
6π
)
22. Tính cos(
5
π
) + cos(
5
2π
) + cos(
5
3π
) + cos(
5
4π
)
23. Cho: sin2a + sin2b = 2sin2(a + b)
Tính: tga.tgb.
24. Chứng minh rằng:
00
00

75cos75sin
75cos75sin
+
−
=
3
1

Trang 8
Ti liu luyn thi i hc mụn Toỏn
DNG 2. CC BI TON TRONG TAM GIC.
I. Các kiến thức cơ bản
+ A + B + C =
+
ba
< c < a + b
+ a
2
= b
2
+ c
2
- 2a.b.cosC
+
R2
Csin
c
Bsin
b
Asin

a
===
+ S =
.r)ap(pr
R4
abc
Csin.ab
2
1
h.a
2
1
aa
====

)cp)(bp)(ap(p
Trong ú: p =
2
cba ++
r: bỏn kớnh ng trũn ni tip
r
a
: bỏn kớnh ng trũn ngoi tip gúc A.
+ nh lý hm tang:

2
ba
tg
)
2

ba
(tg
ba
ba
+

=
+

.

)
2
cb
(tg
)
2
cb
(tg
cb
cb
+

=
+



)
2

ca
(tg
)
2
ca
(tg
ca
ca
+

=
+

+ Cỏc cụng thc tớnh bỏn kớnh:
R =
Csin2
c
Bsin2
b
Asin2
a
==

r = (p - a)tg
2
A
= (p - b)tg
2
B
= (p - c)tg

2
C
=
A
2
C
2
B
2
cos
sin.sina
=
B
2
C
2
A
2
cos
sin.sinb
=
C
2
A
2
B
2
cos
sin.sinc
Trang 9

Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
r
a
= p.tg
2
A
= p.tg
2
B
= p.tg
2
C
.
=
A
2
C
2
B
2
cos
cos.cosa
=
B
2
C
2
A
2
cos

cos.cosb
=
C
2
A
2
B
2
cos
cos.cosc

+ Đường trung tuyến :
m
a
2
=
4
a
2
cb
222
−
+

m
b
2
=
4
b

2
ca
222
−
+

m
c
2
=
4
c
2
ab
222
−
+
+ Đường phân giác:
l
a
=
cb
2
A
cos.bc2
+
l
b
=
ca

2
B
cos.ac2
+
l
a
=
ba
2
C
cos.ab2
+
+ Mở rộng định lí hàm sin và cosin:
CotgA =
s4
acb
222
−+
CotgB =
s4
bca
222
−+
CotgC =
s4
cba
222
−+
II. C¸c c«ng thøc c¬ b¶n trong tam gi¸c
1. sinA + sinB + sinC = 4cos

2
A
. cos
2
B
. cos
2
C
.
2. sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC.
3. sin3A + sin3B + sin3C = -4cos
2
A3
. cos
2
B3
. cos
2
C3
.
4. sin4A + sin4B + sin4C = -4sin2A.sin2B.sin2C.
Trang 10
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
5. cosA + cosB + cosC = 1+ 4sin
2
A
.4sin
2
B
.4sin

2
C
.
6. cos2A + cos2B + cos2C = -1 -4cosA.cosB.cosC.
7. cos3A + cos3B + cos3C = 1 - 4sin
2
A3
. sin
2
B3
. sin
2
C3
.
8. cos4A + cos4B + cos4C = -1 + 4cos2A.cos2B.cos2C.
9. tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC.
10. tg2A +tg2B + tg2C = tg2A.tg2B.tg2C.
11. cotgA.cotgB + cotgB.cotgC + cotgC.cotgA = 1
12. tg
2
A
. tg
2
B
+ tg
2
B
. tg
2
C

+ tg
2
C
. tg
2
A
= 1
13. cotg
2
A
+ cotg
2
B
+ cotg
2
C
= cotg
2
A
.cotg
2
B
. cotg
2
C
.
14. cos
2
A + cos
2

B + cos
2
C = 1 - 2cosA.cosB.cosC.
15. cos
2
2A + cos
2
2B + cos
2
2C = 1 + 2cos2A.cos2B.cos2C.
16.
2
a
m
+
2
b
m
+
2
c
m
=
4
3
(a
2
+ b
2
+ c

2
).
17. la =
cb
2
A
cos.bc2
+
=
bc
2
)ap.(p.c.b −
.
18. r = p.tg
2
A
. tg
2
B
. tg
2
C
=
2
A
cos
2
C
sin
2

B
sina
.
19. R =
2
C
cos.
2
B
cos.
2
A
cos.4
p
.
20. r = 4R.cos
2
A
. cos
2
B
. cos
2
C
.
21. sin
2
A
=
bc

)cp)(ap( −−
=
2
C
cos.
2
B
cos
2
A
sin.p
22. cos
2
A
=
c.b
)ap.(p −
.
23. tg
2
A
=
)ap(p
)cp)(bp(
−
−−
.
Trang 11
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
24. (

a
1
+
b
1
)l
c
+ (
a
1
+
c
1
)l
b
+

(
c
1
+
b
1
)l
a
= 2(cos
2
A
+ cos
2

B
+ +cos
2
C
).
III. C¸c bµi to¸n vÒ hÖ thøc lîng trong Tam gi¸c
1. Chứng minh rằng diện tích tam giác có thể tính theo các công
thức sau:
S =
)BAsin(.2
Bsin.Asin).ba(
22
−
−
=
4
1
(a
2
sin2B + b
2
sin2A) =
= p
2
.tg
2
A
. tg
2
B

.tg
2
C
= 2R
2
.sinA.sinB.sinC.
2. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) a.sin(B - C) + b.sin(C - A) + c.sin(A - B) = 0
b) (b - c)cotg
2
A
+(c - a)cotg
2
B
+ (a - b)cotg
2
C
= 0.
c) (b
2
- c
2
)cotgA + (c
2
- a
2
)cotgB + (a
2
- b
2

)cotgC = 0.
d) 2p = (a + b)cosC + (a + c)cosB + (a + b)cosC.
e) sin
2
CB −
=
a
cb −
cos
2
A
.
f) cos
2
CB −
=
a
cb +
sin
2
A
.
g) b.cosB + c.cosC = a.cos(B - C).
h) cosA + cosB = 2
c
ba +
sin
2
2
C

.
i)
r
1
=
a
h
1
+
b
h
1
+
c
h
1
.
3. Tam giác ABC có 2a = b + c chứng minh rằng:
a) 2sinA = sinB + sinC.
b) tg
2
B
. tg
2
C
=
3
1
.
4. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. R, r là bán kính

đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp của tam giác. Chứng minh rằng:
a) r = 4R.cos
2
A
. cos
2
B
. cos
2
C
.
b) IA.IB.IC = 4Rr
2
.
c) cosA + cosB + cosC = 1 +
R
r
Trang 12
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
5. Các cạnh a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh
rằng công sai của cấp số cộng đó được xác định theo công thức
sau: d =
2
3
r(tg
2
C
- tg
2
A

)
6. Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN vuông góc.
Chứng minh rằng: b
2
+ c
2
= 5a
2
.
7. Chứng minh rằng:
a
l
2
A
cos
+
b
l
2
B
cos



c
l
2
C
cos
=

a
1


+
b
1
+
c
1
.
8. Chứng minh rằng các trung tuyến Â' và BB' vuông góc với nhau
khi: cotgC = 2(cotgA + cotgB).
9. Cho
b
c
=
c
b
m
m
≠ 1 chứng minh rằng : 2cotgA = cotgB + cotgC.
10. Cho tam giác ABC và AM là trung tuyến. gọi α =
AMB
.
Chứng minh rằng:
a) cotgα =
s4
cb
22

−
.
b) cotgα = cotgC - cotgB.
c) cotgα =
CsinBsin2
)cBsin(2 −
11. Chứng minh rằng
b
c
là nghiệm của phương trình:
(1 + x
2
-2xcosA)(b
2
- bc) = a
2
(1 - x).
12. Tam giác có 3 cạnh lần lượt là: (x2 +2); (x
2
- 2x +2);
(x
2
+ 2x + 2). Với giá trị nào của x(dương) thì tam giác đó tồn tại.
13. Cho m
a
= c. Chứng minh rằng:
a) bcosC = 3cosB.
b) tgB = 3tgC.
c) sinA = 2sin(B - C).
14. Gọi H là trực tâm tam giác ABC. H chia đường cao xuất phất từ

A theo tỉ số k cho trước. Chứng minh rằng :
a) tgB.tgC = 1 + k.
b) tgB + tgC = ktgA
c) cos(B - C) = ( 1 +
k
2
)cosA.
15. Cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c theo thứ tự lập thành cấp
số cộng. Chứng minh rằng : cotg
2
A
cotg
2
C
= 3.
Trang 13
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
16. Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: tgA.tgB = 6;
tgC
tgA
=3.
Chứng tỏ rằng: tgA, tgB, tgC theo thứ tự đó lập 1 cấp số cộng.
17. Tam giác ABC có cotg
2
A
, cotg
2
B
, cotg
2

C
theo thứ tự lập một
cấp số cộng. Chứng minh rằng : a, b, c theo thứ tự cũng lập một cấp
số cộng.
18. Tam giác ABC có: cotgA, cotgB, cotgC hteo thứ tự lập một cấp
số cộng. Chứng minh rằng a
2
, b
2
, c
2
theo thứ tự đó cũng lập một
cấp số cộng.
19. Cho tam giác ABC thỏa mãn: 2tgA = tgB + tgC. Chứng minh
rằng :
a) tgB.tgC = 3.
b) cos(B- C) = 2cosA.
IV - NhËn d¹ng Tam gi¸c.
A. Chứng minh rằng tam giác cân khi và chỉ khi:
1. atgA + btgB = (a+b)tg
2
BA +

2. 2tgB + tgc = tg
2
B.tgC.
3.
)tgBtgA(
2
1

BcosAcos
BsinAsin
+=
+
+
4.
)BgcotAg(cot
2
1
BsinAsin
BcosAcos
22
22
22
+=
+
+
5.
Csin
Bsin.Asin2
2
C
gcot =
6. sin
2
A
cos.
2
B
sin

2
B
cos.
2
A
33
=
7. (p - b)cotg
2
B
tg.p
2
C
=

8.
22
ca4
ca2
Bsin
Bcos1
−
+
=
+

9. a
2
sin2B +b
2

sin2A=c
2
cotg
2
C
10. a.sin(B - C)+b.sin(C - A) = 0
11.
sin
2
A
cos.
2
B
sin
2
B
cos.
2
A
33
=

12. ĐHSP BẮC NINH -B -99
a = 2b.cosC. Chứng minh ∆ ABC cân tại A.
Trang 14
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
B.Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu :
1.
tgC
tgB

Csin
Bsin
2
2
=
2. (b
2
+ c
2
)sin(C - B) = (C
2
- B
2
)sin(B - C)

3.
B2cos1
)CBcos(1
.2
b
)cb(
2
2
−
−−
=
−

4. sin(B - C)=
2

22
a
cb −
V. NhËn d¹ng tam gi¸c vu«ng
A. Chứng minh điều kiện cần và đủ để tam giác vuông là:
1. cos2a + cos2B + cos2C = -1
2. tg2A + tg2B + tg2C = 0
3. sinA + sinB + sinC = 1 + cosA + cosB + cosC
B. Chứng minh tam giác vuông khi:
1.
Csin.Bsin
a
Ccos
c
Bcos
b
=+
2. cotg
2
B
=
b
ca +

3.
)bc(
bc
a
gAcot
Asin

1
≠
−
=+
4.
a
cb
gAcot
Asin
1 +
=+
Trang 15
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
5. cotg2C =
)gBcotgC(cot
2
1
−
6.
tgB
)BCsin(Asin
)CBcos(
=
−+
−
7.
tgA
AcosBsin
BcosAsin
=

+
+
8. sin
2
B
=
a2
ca −
9. cos
a2
ac
2
B +
=
10. tg
ac
ac
2
B
+
−
=
11. cos(B - C) =
2
a
bc2
12. S =
B2sina
4
1

2
13.
Ccos.Bcos.Asin
Ccos
1
Bcos
1
CsinBsin
=
+
+
14. 1 + cotg(45
0
- B) =
gAcot1
2
−
15. sin
4
C + 2sin
4
A + 2sin
4
B = 2sin
2
C(sin
2
A + sin
2
B)

Trang 16
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
16. 3(cosB + 2sinC) + 4(sinB + 2cosC) = 15
17. (ĐHCĐ - 99)
cos2A + cos2B + cos2C + 1 = 0
C. Tam giác ABC có đặc điểm gì khi thỏa mãn các điều kiện sau.
1. sin3A + sin3B + sin3C = 0
2. sin4A + sin4B + sin4C = 0
3. sin5A + sin5B + sin5C + sin2A + sin2B = 4sinA.sinB
4. a
3
= b
3
+ c
3
5. c = Ccos2B + Bsin2B
6. (1+cotgA)(1 + cotgB) = 2
7. sin
2
A + sin
2
B =5sin
2
C
8.
a
l
1
c
1

b
1
=+

9. sin
2
A + sin
2
B + sin
2
C ≤ 2
10. cos
2
A + cos
2
B + cos
2
C ≤ 1
11. Chứng minh nếu trong tam giác ABC có:
Trang 17
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
sin
2
A
= sin
2
B
.sin
2
C

thì tg
2
B
. tg
2
C
=
2
1
và ngược lại.
12. Chứng minh rằng nếu a = 2c thì a
2
= bc + c
2
13 Trong tam giác ABC có đường cao CB cắt đường cao AD tại
trung điểm H của AD. Chứng minh rằng tgB.tgC = 2.
14. Cho tam giác ABC vuông tại A cạnh huyền có độ dài bằng a.
Chứng minh rằng: sin
2
B
.sin
2
C
= l
b
.
2
c
a4
l

15. Cho tam giác vuông ABC tại A. Gọi I là góc giữa đường cao và
đường trung tuyến ứng với cạnh huyền. Chứng minh rằng:
tg
2
I
= tg
2
CB −

16. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM = BA chứng minh rằng:
tgB = 3tgC; sin A = 2sin(B - C)
17. (ĐHBK - 99)
Cho A, B, C là 3 góc nhọn của một tam giác. Chứng minh rằng
điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều là có hệ thức.

3)gCcotgBcotgA(cot
Csin
1
Bsin
1
asin
1
=++−++
Trang 18
Ti liu luyn thi i hc mụn Toỏn
18. (HSP II - A99)
Cho tam giỏc ABC vi 3 gúc u nhn. Chng minh rng:
(sinA)
2sinB

+ (sinB)
2sinC
+ (sinC)
2sinA
> 2
Bt ng thc trờn cú ỳng khụng nu tam giỏc ABC vuụng, vỡ
sao?
VI. Bất đẳng thức trong Tam giác
A. Các kiến thức cơ bản.
a. Hm li lừm.
+ Tớnh cht hm li:
)
2
yx
(f
2
)x(f)x(f
21
+

+
x, y R
+ tớnh cht hm lừm:
)
2
yx
(f
2
)x(f)x(f
21

+

+

ng dng 1: Xột hm s y = sinx cú y
"
= -sinx. Nu x [0, ]
Cũn thiu
B. Bài toán áp dụng.
Chng minh cỏc bt ng thc sau:
1. sinA + sinB +sinC
2
33
Trang 19
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
2. 1 < sin
2
A
+ sin
2
B
+ sin
2
C
≤
2
3
3. 1 < cosA + cosB + cosC ≤
2
3

4. Sin
2
A + Sin
2
B + Sin
2
C ≥
4
9
5. 2 < cos
2
2
A
+ cos
2
2
B
+ cos
2
2
C
≤
4
9

6.
4
3
≤ sin
2

2
A
+ sin
2
2
B
+ sin
2
2
C
< 1.
7. sin
2
A
. sin
2
B
. sin
2
C
≤
8
1
8. sinA.sinB.sinC ≤
3
33
9. cosA.cosB.cosC ≤
8
1
10. cos

2
A
. cos
2
B
. cos
2
C
≤
3
33
11. 1 + cosA.cosB.cosC ≥
3
.sinA.sinB.sinC
12.
Acos
1
+
Bcos
1
+
Ccos
1
≥ 6
Trang 20
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
13.
2
A
sin

1
+
2
B
sin
1
+
2
C
sin
1
≥ 6
14.
CsinBsinAsin
Csin.Bsin.Asin.2
++
≤
33
1
15. (1 +
Asin
1
) + (1 +
Bsin
1
) + (1 +
Csin
1
) ≥ 5 +
9

326
16. (1 +
Asin
1
).(1 +
Bsin
1
).(1 +
Csin
1
).(1 +
Acos
1
)(1 +
Bcos
1
)(1
+
ccos
1
) ≥ 135 + 78
3
17. tg
2
A
+ tg
2
B
+ tg
2

C
≥
3
18. tg
2
2
A
+ tg
2
2
B
+ tg
2
2
C
≥ 1
19. tgA + tgB + tgC ≥ 3
3
. Với ∆ABC nhọn.
20. tg
2
A + tg
2
A + tg
2
A ≥ 9. Với ∆ABC nhọn.
21. tg
2
A
. tg

2
B
. tg
2
C
≥
33
1
22. cos
3
A + cos
3
A +

cos
3
A ≤
4
9
+
4
1
(cos3A + cos3B + cos3C).
Trang 21
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
23. 36r
2
≤ ab + bc + ca ≤ 9R
2
.

24. (a + b + c)(h
a
+ h
b
+ h
c
) ≥ 18S.
25. h
a
+ h
b
+ h
c
≥ 9r (
r
1
=
a
h
1
+
b
h
1
+
c
h
1
)
26. (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) ≤ abc

27. a
2
(b + c - a) + b
2
(a + c - b) + c
2
(a + b - c) ≤ 3abc.
28. a(b
2
+ c
2
- a
2
) + b(a
2
+ c
2
- b
2
) + c
2
(a
2
+ b
2
- c
2
) ≤ 3abc
29. a(b - c)
2

+ b(c - a)
2
+ c(a - b)
2
+ 4abc ≥ a
3
+ b
3
+ c
3
30.
c
l
ab
+
a
l
bc
+
b
l
ac
≤ 6R.
31.
a
r
1
+
b
r

1
+
c
r
1
≥ 3
3
2
abc)cba(r
R4
++
32.
2
a
m
+
2
b
m
+
2
c
m
≥
3
s
33. a
4
+ b
4

+ c
4
≥ 16S
2
.
34. tg
2
A
+ tg
2
B
+ tg
2
C
+ cotg
2
A
+ cotg
2
B
+ cotg
2
C
≥ 4
3
35. a
2
+ b
2
+ c

2
≥ 4S
3
Trang 22
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
36. a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
≥ 16S
2
.
Chứng minh ∆ABC đều khi thỏa mãn các điều kiện sau:
1. R = 2r
2. S =
3
2
R
2
(sin
3
A + sin

3
B + sin
3
C)
3.
AsincCsinbBsina
Ccos.cBcosbAcosa
++
++
=
R9
p2





=
=
−+
−+
Ccosb2a
a
acb
acb
.4
2
333
5.








=
−−
−−
=
4
3
Csin.Bsin
cba
cba
a
333
2
6.







−−
−−
=
=

cba
cba
a
4
1
Ccos.Bcos
333
2
7. A, B, C là nghiệm của phương trình: tgx - tg
2
x
=
3
32
8. 2(acosA + bcosB + c.cosC) = a + b + c
9. sinA + sinB + sinC = sin2A + sin2B + sin2C.
Trang 23
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
10. cosA + cosB + cos2C + cos2A + cos2b + cos2C = 0
11. cotg
2
A + cotg
2
B + cotg
2
C = 1
12.
cba
Ccos.cBcosbAcosa
++

++
=
2
1
13.
CsinBsinAsin
CcosBcosAcos
++
++
= 3.cotgA.cotgB.cotgC. Với ∆ABC nhọn
<TBS>
14.



≥+
≥+
Ccos2BcosAcos
Csin2BsinAsin
15. 3tg
2
A + tg
2
B + tg
2
C = tg
2
A. tg
2
B. tg

2
C
16.
Asin
1
2
+
Bsin
1
2
+
Csin
1
2
=
2
C
sin
2
B
sin
2
A
sin2
1
17. cotg
2
A
+ cotg
2

B
+ cotg
2
C
= tgA + tgB + tgC.
18. Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn:
cotg
2
A
+ cotg
2
B
cotg
2
C
= 9
Chứng minh tam giấc ABC là tam giác đều.
19. (ĐH Dược - 99)
Trang 24
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
Cho tam giác ABC thỏa mãn:
2
1
cba
Ccos.cBcos.bAcos.a
=
++
++
(A, B, C là các góc của tam giác a = BC, b = CA, c = AB). Chứng
minh tamgiác ABC là tam giác đều.

20. (HVKTQS - 99)
Chứng minh để tam giác đều, điều kiện cần và đủ là:
p + R = (2 + 3
3
).r
21. (ĐH Thủy Lợi - 99)
Cho tam giác ABC thỏa mãn:
2cosA.sinB.sinC +
3
(sinA + cosB + cosC) =
4
17
Hỏi tam giác ABC là tam giác gì? Chứng minh.
22. (ĐHNT - 99)
Các góc của tam giác ABC thỏa mãn:
cotgA + cotgB + cotgC = tg
2
A
+ tg
2
B
+ tg
2
C

Chứng minh tam giác ABC đều.
23. (HVKKTMM - 99)
Trang 25