Tai lieu luyen thi dai hoc mon Toan

Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i 0982814404
MỤC LỤC
PHẦN TRANG
MỤC LỤC...........................................................................................................................1
LƯỢNG GIÁC....................................................................................................................2
HÀM MŨ VÀ HÀM LOGARIT......................................................................................39
CÁC BÀI TOÁN VỀ GIẢI VÀ BIỆN LUẬN.................................................................57
CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐIỀU KIỆN NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH.......................60
CÁC BÀI TOÁN ĐIỀU KIỆN NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH....................64
GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ..............................................................67
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
Trang 1
Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i 0982814404
LƯỢNG GIÁC
A - CÁC VẤN ĐỀ VỀ LÍ THUYẾT.
I. ĐỊNH NGHĨA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1. Đường tròn lượng giác.
2. Cung lượng giác và góc lượng giác.
3. Định nghĩa các hàm số lượng giác.
II. DẤU CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
III. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA NHỮNG GÓC ĐẶC BIỆT
IV. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA NHỮNG GÓC LIÊN QUAN
ĐẶC BIỆT
V. MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
VI. CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LỰONG GIÁC
1. Công thức cộng.
2. Công thức góc nhân đôi
+) Công thức hạ bậc.
+) Khai triển các hàm số lượng giác theo tg góc chia đôi
+) Công thức góc nhân 3
3. Công thức biến đổi tích thành tổng.

4. Công thức biến đổi tổng thành tích.
VII. ĐỊNH LÍ HÀM SỐ SIN VÀ COSIN.
VIII. CÁC CÔNG THỨC TRONG TAM GIÁC.
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
Trang 2
Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i 0982814404
B. BÀI TẬP.
DẠNG 1. CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC.
1. Tính hàm số lượng giác của cung a sau.
1) sina =
5
3
với 0 < a <
2
π
2) tga = -
2
với
2
π
< a <
π
3) cosa =
5
1
với -
2
π
< a < 0 4) sina =
3

1
với a ∈ (
2
π
, π )
5) tga = 2 với a ∈ (π,
2
3
π
)
2. Chứng minh các đẳng thức sau:
1) sin
2
x + tg
2
x =
xcos
1
2
- cos
2
x 2) tg
2
x - sin
2
x = tg
2
xsin
2
x

3)
xtgxgcot
xsinxcos
22
22
−
−
= sin
2
xcos
2
x 4)
xtg1
)1
xcos
1
)(xgcot1(
2
2
2
+
−+
= 1
5) cosx + cos(2π/3 - x) + cos(2π/3 - x) = 0
6) sin(a + b)sin(a - b) = sin
2
a -sin
2
b = cos
2

b - cos
2
a
7)
batgtg1
btgatg
22
22
−
−
= tg(a +b)tg(a - b)
8) cos
3
xsinx - sin
3
xcosx =
4
1
sin4x 9)
xsinxcos
xsinxcos
+
−
=
x2cos
1
- tg2x
10)
xsin2x2sin
xsin2x2sin

+
−
= -tg
2
2
x
11) sin3xcos
3
x + sin
3
xcos3x =
4
3
sin4x
12) sinx - sin2x +sin3x = 4cos
2
x3
cosxsin
2
x

13) sinx +2sin3x + sin5x = 4sin3xcos
2
x
14)
)xcos1(2
xcosxcosxsin
2
244
−

+−
= cos
2
2
x
15)
xtg31
xtg3
tgx
x3tg
2
2
−
−
=
3. Biểu diễn các biểu thức sau theo sinx và cosx.
1) sin(x +
2
5
π
) - 3cos(x -
2
7
π
) + 2sin(x + π )
2) sin(x - π/2) + cos(x - π) - 5sin(
2
11
π
+ x)

3) cos(π/2 + a) + cos(2π - a) + sin(π - a) + cos(π + a)
4) 2cosa - 3cos(π + a) - 5sin(π/2 - a) + cotg(
2
3
π
- a)
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
Trang 3
Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i 0982814404
5) cos(π - a) - 2sin(3π/2 + a) + tg(
2
3
π
- a ) + cotg(2π - a)
4. Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào a.
1) A = cos
4
a + cos
2
asin
2
a +sin
2
a
2) B = cos4a - sin4a + 2sin
2
a
3) C = 2(sin
6
a + cos

6
a) - 3(sin
4
a + cos
4
a)
4) D =
gacot1
gacot1
−
+
-
1tga
2
−
5) E =
acos4a4sin
2
+
+
asin4acos
24
+
6) F = cos
2
a + sin(30
0
+ a)sin(30
0
- a)

7) G = sin
6
a + cos
6
a + 3sin
2
acos
2
a
8) H =
1acosasin
1acosasin
66
44
−+
−+

9) m là mọt số cho trước, chứng minh rằng nếu:
m.sin(a + b) = cos(a - b)
Trong đó a - b
≠
kπ và m
≠
±
1 thì biểu thức:
A =
a2sinm1
1
−
+

b2sinm1
1
−
(m là hằng số không phụ thuộc
vào a, b ).
5. Tính các biểu thức đại số.
1) Tính sin
3
a -cos
3
a biết sina -cosa = m
2) Biết sina + cosa = m hãy tính theo m giá trị của biểu thức:
A =
2
a
tg
2
a
gcot
a2cos1
−
+

3) Biết
)bacos(
)bacos(
−
+
=
q

p
. Tính tga.tgb
4) Biết sina + sinb = 2sin(a + b) với (a + b)
≠
k2π tính tg
2
a
.tg
2
b

5) Tính sin2x nếu: 5tg
2
x - 12tgx - 5 = 0 (
4
π
< x <
2
π
)
6. Tính giá trị các biểu thức mà không tra bảng.
1) A = cos20
0
cos40
0
cos60
0
cos80
0
2) B = cos

7
π
.cos
7
4
π
.cos
7
5
π
3) C = sin6
0
.sin42
0
.sin66
0
.sin78
0
4) Với a
≠
kπ chứng minh rằng:
cosa.cos2a.cos4a. ...... cos2na =
asin2
a2sin
1n
1n
+
+
, từ đó tính :
D = cos

65
π
. cos
65
2
π
. ........... cos
65
32
π
5) Tính: E = sin5
0
.sin15
0
sin25
0
.sin35
0
. ...... sin85
0

Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
Trang 4
Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i 0982814404
6) Tính: F = sin
18
π
.sin
18
3

π
.sin
18
5
π
.sin
18
7
π
. sin
18
9
π

7) A = sin37
0
.cos53
0
+ sin127
0
.cos397
0
8) A = tg110
0
+ cotg20
0
9) Tính sin15
0
và cos15
0

10) Tính tgx.tgy biết :
)yxcos(
)yxcos(
−
+
=
2
1
7. Chú ý các công thức sau:
1) 4sinx.sin(
3
π
- x)sin(
3
π
+ x) = sin3x
2) 4cosx.cos(
3
π
- x)cos(
3
π
+ x) = cos3x
3) tgx.tg(
3
π
- x)tg(
3
π
+ x) = tg3x

4) cosa.cos2a.cos4a .......... cos2na =
asin2
a.2sin
1n
1n
+
+

5) để tính S = cosa - cos(a + x) + cos(a +2x) +......+(-1)
n
. cos(a +nx).
thì nhân 2 vế với 2cos
2
x
nếu cos
2
x
≠
0.
8.Các bài tập khác:
1. Chứng minh rằng :
a)
oo
oo
15sin15cos
15sin15cos
−
+
=
3

b)
oo
oo
75sin75cos
75cos75sin
+
−
=
3
1
2. Rút gọn các biểu thức sau:
a) A = sin3x.sin
3
x + cos3x.cos
3
x
b) B =
xsin
xcos1
+
[1 +
xsin
)xcos1(
2
2
−
]
c) C = cos3x.cos
3
x - sin3x.sin

3
x
3. Không dùng bảng số hãy tính:
a) A = tg20
o
.tg40
o
.tg60
o
.tg80
o
b) B =
o
10sin2
1
- 2sin70
o
c) C = sin
4
16
π
+ sin
4
16
3
π
+ sin
4
16
5

π
+ sin
4
16
7
π
d) D = tg2
12
π
+ tg
2
12
3
π
+ tg
2
12
5
π
e) E = tg9
o
- tg27
o
- tg63
o
+ tg81
o
.
f) F = cos
6

16
π
+ cos
6
16
3
π
+ cos
6
16
5
π
+

cos
6
16
7
π
g) G
1
= sin18
o
.cos18
o
; G
2
= sin36
o
.cos36

o
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
Trang 5
Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i 0982814404
h) H = cos
7
2
π
+ cos
7
4
π
+ cos
7
6
π

i) I = sin
5
π
+ sin
5
23
π
+ sin
6
π
+ cos
5
13

π
k) K = cos
5
π
+ cos
5
2
π
+ cos
5
3
π
+ cos
5
4
π
m) M = cos
5
π
- cos
5
2
π

4. Với a ≠ kπ (k ∈ Z) chứng minh:
a) cosa.cos2a.cos4a...cos16a =
asin.32
a32sin
b) cosa.cos2a.cos4a....cos2
n

a =
asin2
a2sin
1n
1n
+
+
5. Tính: A = cos20
o
.cos40
o
.cos60
o
.
6. Tính: A = sin6
o
.sin42
o
.sin66
o
.sin78
o
.
7. Tính: A = cos
7
π
. cos
7
4
π

. cos
7
5
π
.
8. Tính: cos
65
π
. cos
65
2
π
. cos
65
4
π
. cos
65
8
π
. cos
65
16
π
. cos
65
32
π
.
9.Tính: sin

18
π
. sin
18
3
π
. sin
18
5
π
. sin
18
7
π
. sin
18
9
π
.
10. Tính: cos
15
π
. cos
15
2
π
. cos
15
3
π

. cos
15
4
π
.... cos
15
7
π
.
11. Tính: sin5
o
. sin15
o
.sin25
o
... sin85
o
.
12. Tính: 96
3
.sin
48
π
.cos
48
π
. cos
24
π
. cos

12
π
. cos
6
π
.
13. Tính: 16.sin10
o
.sin30
o
.sin50
o
.sin70
o
.
14. Tính: sin10
o
.sin20
o
.sin30
o
....sin80
o
.
15. Tính: cos9
o
. cos27
o
. cos45
o

. cos63
o
. cos81
o
. cos99
o
. cos117
o
.
cos135
o
. cos153
o
. cos171
o
.
16. Tính: A = cos
5
π
+ cos
5
2
π
B = cos
5
π
+ cos
5
3
π

17. Chứng minh rằng :
a) 4.cosx.cos(
3
π
- x).cos(
3
π
+ x) = cos3x.
b) 4.sinx.sin(
3
π
- x).sin(
3
π
+ x) = sin3x.
c) tgx.tg(
3
π
- x).tg(
3
π
+ x) = tg3x.
Áp dụng tính: A = sin20
o
.sin40
o
.sin80
o
.
B = cos10

o
.cos20
o
.cos30
o
....cos80
o
.
C = tg20
o
.tg40
o
.tg60
o
.tg80
o
.
18. Chứng minh rằng :
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
Trang 6
Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i 0982814404
a) sin
6
x + cos
6
x =
8
5
+

8
3
cos2x
b) tgx =
x2sin
x2cos1
−
Áp dụng tính:
A = sin
6
(
24
π
) + cos
6
(
24
π
)
B = tg
2
(
12
π
) + tg
2
(3.
12
π
) + tg

2
(5.
12
π
)
19. Chứng minh rằng:
a) sin
4
x =
x4cos
8
1
x2cos
2
1
8
3
+−

b) sin
8
x + cos
8
x =
xcos
16
1
x4cos
16
7

64
35
++

Áp dụng tính A = sin
8
(
24
π
) + cos
8
(
24
π
)
B = sin
4
(
16
π
) + sin
4
(3.
16
π
) + sin
4
(5.
16
π

) + sin
4
(7.
16
π
)
20. Chứng minh rằng:
tg
2
x + tg
2
(
x
3
−
π
) + tg
2
(
x
3
+
π
) = 9tg còn thiếu
21. Tính: cos(
7
2
π
) + cos(
7

4
π
) + cos(
7
6
π
)
22. Tính cos(
5
π
) + cos(
5
2
π
) + cos(
5
3
π
) + cos(
5
4
π
)
23. Cho: sin2a + sin2b = 2sin2(a + b)
Tính: tga.tgb.
24. Chứng minh rằng:
00
00
75cos75sin
75cos75sin

+
−
=
3
1

Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
Trang 7
Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i 0982814404
DẠNG 2. CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC.
I. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN.
+ A + B + C = π
+
ba
−
< c < a + b
+ a
2
= b
2
+ c
2
- 2a.b.cosC
+
R2
Csin
c
Bsin
b
Asin

a
===
+ S =
.r)ap(pr
R4
abc
Csin.ab
2
1
h.a
2
1
aa
−====

)cp)(bp)(ap(p
−−−
Trong đó: p =
2
cba
++
r: bán kính đường tròn nội tiếp
r
a
: bán kính đường tròn ngoại tiếp góc A.
+ Định lý hàm tang:

2
ba
tg

)
2
ba
(tg
ba
ba
+
−
=
+
−
.

)
2
cb
(tg
)
2
cb
(tg
cb
cb
+
−
=
+
−

)
2
ca
(tg
)
2
ca
(tg
ca
ca
+
−
=
+
−
+ Các công thức tính bán kính:
R =
Csin2
c
Bsin2
b
Asin2
a
==

r = (p - a)tg
2
A
= (p - b)tg
2

B
= (p - c)tg
2
C
=
A
2
C
2
B
2
cos
sin.sina
=
B
2
C
2
A
2
cos
sin.sinb
=
C
2
A
2
B
2
cos

sin.sinc
r
a
= p.tg
2
A
= p.tg
2
B
= p.tg
2
C
.
=
A
2
C
2
B
2
cos
cos.cosa
=
B
2
C
2
A
2
cos

cos.cosb
=
C
2
A
2
B
2
cos
cos.cosc

+ Đường trung tuyến :
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
Trang 8
Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i 0982814404
m
a
2
=
4
a
2
cb
222
−
+

m
b
2

=
4
b
2
ca
222
−
+

m
c
2
=
4
c
2
ab
222
−
+
+ Đường phân giác:
l
a
=
cb
2
A
cos.bc2
+
l

b
=
ca
2
B
cos.ac2
+
l
a
=
ba
2
C
cos.ab2
+
+ Mở rộng định lí hàm sin và cosin:
CotgA =
s4
acb
222
−+
CotgB =
s4
bca
222
−+
CotgC =
s4
cba
222

−+
II. CÁC ĐẲNG THỨC CƠ BẢN TRONG TAM GIÁC.
1. sinA + sinB + sinC = 4cos
2
A
. cos
2
B
. cos
2
C
.
2. sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC.
3. sin3A + sin3B + sin3C = -4cos
2
A3
. cos
2
B3
. cos
2
C3
.
4. sin4A + sin4B + sin4C = -4sin2A.sin2B.sin2C.
5. cosA + cosB + cosC = 1+ 4sin
2
A
.4sin
2
B

.4sin
2
C
.
6. cos2A + cos2B + cos2C = -1 -4cosA.cosB.cosC.
7. cos3A + cos3B + cos3C = 1 - 4sin
2
A3
. sin
2
B3
. sin
2
C3
.
8. cos4A + cos4B + cos4C = -1 + 4cos2A.cos2B.cos2C.
9. tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC.
10. tg2A +tg2B + tg2C = tg2A.tg2B.tg2C.
11. cotgA.cotgB + cotgB.cotgC + cotgC.cotgA = 1
12. tg
2
A
. tg
2
B
+ tg
2
B
. tg
2

C
+ tg
2
C
. tg
2
A
= 1
13. cotg
2
A
+ cotg
2
B
+ cotg
2
C
= cotg
2
A
.cotg
2
B
. cotg
2
C
.
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
Trang 9
Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i 0982814404

14. cos
2
A + cos
2
B + cos
2
C = 1 - 2cosA.cosB.cosC.
15. cos
2
2A + cos
2
2B + cos
2
2C = 1 + 2cos2A.cos2B.cos2C.
16.
2
a
m
+
2
b
m
+
2
c
m
=
4
3
(a

2
+ b
2
+ c
2
).
17. la =
cb
2
A
cos.bc2
+
=
bc
2
)ap.(p.c.b
−
.
18. r = p.tg
2
A
. tg
2
B
. tg
2
C
=
2
A

cos
2
C
sin
2
B
sina
.
19. R =
2
C
cos.
2
B
cos.
2
A
cos.4
p
.
20. r = 4R.cos
2
A
. cos
2
B
. cos
2
C
.

21. sin
2
A
=
bc
)cp)(ap(
−−
=
2
C
cos.
2
B
cos
2
A
sin.p
22. cos
2
A
=
c.b
)ap.(p
−
.
23. tg
2
A
=
)ap(p

)cp)(bp(
−
−−
.
24. (
a
1
+
b
1
)l
c
+ (
a
1
+
c
1
)l
b
+

(
c
1
+
b
1
)l
a

= 2(cos
2
A
+ cos
2
B
+
+cos
2
C
).
III. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC.
1. Chứng minh rằng diện tích tam giác có thể tính theo các công
thức sau:
S =
)BAsin(.2
Bsin.Asin).ba(
22
−
−
=
4
1
(a
2
sin2B + b
2
sin2A) =
= p
2

.tg
2
A
. tg
2
B
.tg
2
C
= 2R
2
.sinA.sinB.sinC.
2. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) a.sin(B - C) + b.sin(C - A) + c.sin(A - B) = 0
b) (b - c)cotg
2
A
+(c - a)cotg
2
B
+ (a - b)cotg
2
C
= 0.
c) (b
2
- c
2
)cotgA + (c
2

- a
2
)cotgB + (a
2
- b
2
)cotgC = 0.
d) 2p = (a + b)cosC + (a + c)cosB + (a + b)cosC.
e) sin
2
CB
−
=
a
cb
−
cos
2
A
.
f) cos
2
CB
−
=
a
cb
+
sin
2

A
.
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
Trang 10
Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i 0982814404
g) b.cosB + c.cosC = a.cos(B - C).
h) cosA + cosB = 2
c
ba
+
sin
2
2
C
.
i)
r
1
=
a
h
1
+
b
h
1
+
c
h
1

.
3. Tam giác ABC có 2a = b + c chứng minh rằng:
a) 2sinA = sinB + sinC.
b) tg
2
B
. tg
2
C
=
3
1
.
4. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. R, r là bán kính
đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp của tam giác. Chứng minh rằng:
a) r = 4R.cos
2
A
. cos
2
B
. cos
2
C
.
b) IA.IB.IC = 4Rr
2
.
c) cosA + cosB + cosC = 1 +
R

r
5. Các cạnh a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh
rằng công sai của cấp số cộng đó được xác định theo công thức
sau: d =
2
3
r(tg
2
C
- tg
2
A
)
6. Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN vuông góc.
Chứng minh rằng: b
2
+ c
2
= 5a
2
.
7. Chứng minh rằng:
a
l
2
A
cos
+
b
l

2
B
cos



c
l
2
C
cos
=
a
1


+
b
1
+
c
1
.
8. Chứng minh rằng các trung tuyến Â' và BB' vuông góc với nhau
khi: cotgC = 2(cotgA + cotgB).
9. Cho
b
c
=
c

b
m
m
≠ 1 chứng minh rằng : 2cotgA = cotgB + cotgC.
10. Cho tam giác ABC và AM là trung tuyến. gọi α =
AMB
.
Chứng minh rằng:
a) cotgα =
s4
cb
22
−
.
b) cotgα = cotgC - cotgB.
c) cotgα =
CsinBsin2
)cBsin(2
−
11. Chứng minh rằng
b
c
là nghiệm của phương trình:
(1 + x
2
-2xcosA)(b
2
- bc) = a
2
(1 - x).

12. Tam giác có 3 cạnh lần lượt là: (x2 +2); (x
2
- 2x +2);
(x
2
+ 2x + 2). Với giá trị nào của x(dương) thì tam giác đó tồn tại.
13. Cho m
a
= c. Chứng minh rằng:
a) bcosC = 3cosB.
b) tgB = 3tgC.
c) sinA = 2sin(B - C).
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
Trang 11
Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i 0982814404
14. Gọi H là trực tâm tam giác ABC. H chia đường cao xuất phất từ
A theo tỉ số k cho trước. Chứng minh rằng :
a) tgB.tgC = 1 + k.
b) tgB + tgC = ktgA
c) cos(B - C) = ( 1 +
k
2
)cosA.
15. Cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c theo thứ tự lập thành cấp
số cộng. Chứng minh rằng : cotg
2
A
cotg
2
C

= 3.
16. Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: tgA.tgB = 6;
tgC
tgA
=3.
Chứng tỏ rằng: tgA, tgB, tgC theo thứ tự đó lập 1 cấp số cộng.
17. Tam giác ABC có cotg
2
A
, cotg
2
B
, cotg
2
C
theo thứ tự lập một
cấp số cộng. Chứng minh rằng : a, b, c theo thứ tự cũng lập một cấp
số cộng.
18. Tam giác ABC có: cotgA, cotgB, cotgC hteo thứ tự lập một cấp
số cộng. Chứng minh rằng a
2
, b
2
, c
2
theo thứ tự đó cũng lập một
cấp số cộng.
19. Cho tam giác ABC thỏa mãn: 2tgA = tgB + tgC. Chứng minh
rằng :
a) tgB.tgC = 3.

b) cos(B- C) = 2cosA.
IV - NHẬN DẠNG TAM GIÁC CÂN.
A. Chứng minh rằng tam giác cân khi và chỉ khi:
1. atgA + btgB = (a+b)tg
2
BA
+

2. 2tgB + tgc = tg
2
B.tgC.
3.
)tgBtgA(
2
1
BcosAcos
BsinAsin
+=
+
+
4.
)BgcotAg(cot
2
1
BsinAsin
BcosAcos
22
22
22
+=

+
+
5.
Csin
Bsin.Asin2
2
C
gcot
=
6. sin
2
A
cos.
2
B
sin
2
B
cos.
2
A
33
=
7. (p - b)cotg
2
B
tg.p
2
C
=

8.
22
ca4
ca2
Bsin
Bcos1
−
+
=
+

9. a
2
sin2B +b
2
sin2A=c
2
cotg
2
C
10. a.sin(B - C)+b.sin(C - A) = 0
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
Trang 12
Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i 0982814404
11.
sin
2
A
cos.

2
B
sin
2
B
cos.
2
A
33
=

12. ĐHSP BẮC NINH -B -99
a = 2b.cosC. Chứng minh ∆ ABC cân tại A.
B.Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu :
1.
tgC
tgB
Csin
Bsin
2
2
=
2. (b
2
+ c
2
)sin(C - B) = (C
2
- B
2

)sin(B - C)

3.
B2cos1
)CBcos(1
.2
b
)cb(
2
2
−
−−
=
−

4. sin(B - C)=
2
22
a
cb
−
V. NHẬN DẠNG TAM GIÁC VUÔNG.
A. Chứng minh điều kiện cần và đủ để tam giác vuông là:
1. cos2a + cos2B + cos2C = -1
2. tg2A + tg2B + tg2C = 0
3. sinA + sinB + sinC = 1 + cosA + cosB + cosC
B. Chứng minh tam giác vuông khi:
1.
Csin.Bsin
a

Ccos
c
Bcos
b
=+
2. cotg
2
B
=
b
ca
+

3.
)bc(
bc
a
gAcot
Asin
1
≠
−
=+
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
Trang 13
Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i 0982814404
4.
a
cb
gAcot

Asin
1
+
=+
5. cotg2C =
)gBcotgC(cot
2
1
−
6.
tgB
)BCsin(Asin
)CBcos(
=
−+
−
7.
tgA
AcosBsin
BcosAsin
=
+
+
8. sin
2
B
=
a2
ca
−

9. cos
a2
ac
2
B
+
=
10. tg
ac
ac
2
B
+
−
=
11. cos(B - C) =
2
a
bc2
12. S =
B2sina
4
1
2
13.
Ccos.Bcos.Asin
Ccos
1
Bcos
1

CsinBsin
=
+
+
14. 1 + cotg(45
0
- B) =
gAcot1
2
−
15. sin
4
C + 2sin
4
A + 2sin
4
B = 2sin
2
C(sin
2
A + sin
2
B)
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
Trang 14
Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i 0982814404
16. 3(cosB + 2sinC) + 4(sinB + 2cosC) = 15
17. (ĐHCĐ - 99)
cos2A + cos2B + cos2C + 1 = 0
C. Tam giác ABC có đặc điểm gì khi thỏa mãn các điều kiện sau.

1. sin3A + sin3B + sin3C = 0
2. sin4A + sin4B + sin4C = 0
3. sin5A + sin5B + sin5C + sin2A + sin2B = 4sinA.sinB
4. a
3
= b
3
+ c
3
5. c = Ccos2B + Bsin2B
6. (1+cotgA)(1 + cotgB) = 2
7. sin
2
A + sin
2
B =5sin
2
C
8.
a
l
1
c
1
b
1
=+

9. sin
2

A + sin
2
B + sin
2
C ≤ 2
10. cos
2
A + cos
2
B + cos
2
C ≤ 1
11. Chứng minh nếu trong tam giác ABC có:
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
Trang 15
Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i 0982814404
sin
2
A
= sin
2
B
.sin
2
C
thì tg
2
B
. tg
2

C
=
2
1
và ngược lại.
12. Chứng minh rằng nếu a = 2c thì a
2
= bc + c
2
13 Trong tam giác ABC có đường cao CB cắt đường cao AD tại
trung điểm H của AD. Chứng minh rằng tgB.tgC = 2.
14. Cho tam giác ABC vuông tại A cạnh huyền có độ dài bằng a.
Chứng minh rằng: sin
2
B
.sin
2
C
= l
b
.
2
c
a4
l

15. Cho tam giác vuông ABC tại A. Gọi I là góc giữa đường cao và
đường trung tuyến ứng với cạnh huyền. Chứng minh rằng:
tg
2

I
= tg
2
CB
−

16. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM = BA chứng minh rằng:
tgB = 3tgC; sin A = 2sin(B - C)
17. (ĐHBK - 99)
Cho A, B, C là 3 góc nhọn của một tam giác. Chứng minh rằng
điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều là có hệ thức.

3)gCcotgBcotgA(cot
Csin
1
Bsin
1
asin
1
=++−++
18. (ĐHSP II - A99)
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
Trang 16
Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i 0982814404
Cho tam giác ABC với 3 góc đều nhọn. Chứng minh rằng:
(sinA)
2sinB
+ (sinB)
2sinC
+ (sinC)

2sinA
> 2
Bất đẳng thức trên có đúng không nếu tam giác ABC vuông, vì
sao?
VI. BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC.
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN.
a. Hàm lồi lõm.
+ Tính chất hàm lồi:
)
2
yx
(f
2
)x(f)x(f
21
+
≤
+
∀x, y ∈ R
+ tính chất hàm lõm:
)
2
yx
(f
2
)x(f)x(f
21
+
≥
+

Ứng dụng 1: Xét hàm số y = sinx có y
"
= -sinx. Nếu x ∈ [0, π]
Còn thiếu
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG.
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1. sinA + sinB +sinC ≤
2
33
2. 1 < sin
2
A
+ sin
2
B
+ sin
2
C
≤
2
3
3. 1 < cosA + cosB + cosC ≤
2
3
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
Trang 17
Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i 0982814404
4. Sin
2

A + Sin
2
B + Sin
2
C ≥
4
9
5. 2 < cos
2
2
A
+ cos
2
2
B
+ cos
2
2
C
≤
4
9

6.
4
3
≤ sin
2
2
A

+ sin
2
2
B
+ sin
2
2
C
< 1.
7. sin
2
A
. sin
2
B
. sin
2
C
≤
8
1
8. sinA.sinB.sinC ≤
3
33
9. cosA.cosB.cosC ≤
8
1
10. cos
2
A

. cos
2
B
. cos
2
C
≤
3
33
11. 1 + cosA.cosB.cosC ≥
3
.sinA.sinB.sinC
12.
Acos
1
+
Bcos
1
+
Ccos
1
≥ 6
13.
2
A
sin
1
+
2
B

sin
1
+
2
C
sin
1
≥ 6
14.
CsinBsinAsin
Csin.Bsin.Asin.2
++
≤
33
1
15. (1 +
Asin
1
) + (1 +
Bsin
1
) + (1 +
Csin
1
) ≥ 5 +
9
326
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
Trang 18
Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i 0982814404

16. (1 +
Asin
1
).(1 +
Bsin
1
).(1 +
Csin
1
).(1 +
Acos
1
)(1 +
Bcos
1
)(1
+
ccos
1
) ≥ 135 + 78
3
17. tg
2
A
+ tg
2
B
+ tg
2
C

≥
3
18. tg
2
2
A
+ tg
2
2
B
+ tg
2
2
C
≥ 1
19. tgA + tgB + tgC ≥ 3
3
. Với ∆ABC nhọn.
20. tg
2
A + tg
2
A + tg
2
A ≥ 9. Với ∆ABC nhọn.
21. tg
2
A
. tg
2

B
. tg
2
C
≥
33
1
22. cos
3
A + cos
3
A +

cos
3
A ≤
4
9
+
4
1
(cos3A + cos3B + cos3C).
23. 36r
2
≤ ab + bc + ca ≤ 9R
2
.
24. (a + b + c)(h
a
+ h

b
+ h
c
) ≥ 18S.
25. h
a
+ h
b
+ h
c
≥ 9r (
r
1
=
a
h
1
+
b
h
1
+
c
h
1
)
26. (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) ≤ abc
27. a
2
(b + c - a) + b

2
(a + c - b) + c
2
(a + b - c) ≤ 3abc.
28. a(b
2
+ c
2
- a
2
) + b(a
2
+ c
2
- b
2
) + c
2
(a
2
+ b
2
- c
2
) ≤ 3abc
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
Trang 19
Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i 0982814404
29. a(b - c)
2

+ b(c - a)
2
+ c(a - b)
2
+ 4abc ≥ a
3
+ b
3
+ c
3
30.
c
l
ab
+
a
l
bc
+
b
l
ac
≤ 6R.
31.
a
r
1
+
b
r

1
+
c
r
1
≥ 3
3
2
abc)cba(r
R4
++
32.
2
a
m
+
2
b
m
+
2
c
m
≥
3
s
33. a
4
+ b
4

+ c
4
≥ 16S
2
.
34. tg
2
A
+ tg
2
B
+ tg
2
C
+ cotg
2
A
+ cotg
2
B
+ cotg
2
C
≥ 4
3
35. a
2
+ b
2
+ c

2
≥ 4S
3
36. a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
≥ 16S
2
.
Chứng minh ∆ABC đều khi thỏa mãn các điều kiện sau:
1. R = 2r
2. S =
3
2
R
2
(sin
3
A + sin
3
B + sin

3
C)
3.
AsincCsinbBsina
Ccos.cBcosbAcosa
++
++
=
R9
p2
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
Trang 20
Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i 0982814404





=
=
−+
−+
Ccosb2a
a
acb
acb
.4
2
333
5.








=
−−
−−
=
4
3
Csin.Bsin
cba
cba
a
333
2
6.







−−
−−
=

=
cba
cba
a
4
1
Ccos.Bcos
333
2
7. A, B, C là nghiệm của phương trình: tgx - tg
2
x
=
3
32
8. 2(acosA + bcosB + c.cosC) = a + b + c
9. sinA + sinB + sinC = sin2A + sin2B + sin2C.
10. cosA + cosB + cos2C + cos2A + cos2b + cos2C = 0
11. cotg
2
A + cotg
2
B + cotg
2
C = 1
12.
cba
Ccos.cBcosbAcosa
++
++

=
2
1
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
Trang 21
Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i 0982814404
13.
CsinBsinAsin
CcosBcosAcos
++
++
= 3.cotgA.cotgB.cotgC. Với ∆ABC nhọn
<TBS>
14.



≥+
≥+
Ccos2BcosAcos
Csin2BsinAsin
15. 3tg
2
A + tg
2
B + tg
2
C = tg
2
A. tg

2
B. tg
2
C
16.
Asin
1
2
+
Bsin
1
2
+
Csin
1
2
=
2
C
sin
2
B
sin
2
A
sin2
1
17. cotg
2
A

+ cotg
2
B
+ cotg
2
C
= tgA + tgB + tgC.
18. Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn:
cotg
2
A
+ cotg
2
B
cotg
2
C
= 9
Chứng minh tam giấc ABC là tam giác đều.
19. (ĐH Dược - 99)
Cho tam giác ABC thỏa mãn:
2
1
cba
Ccos.cBcos.bAcos.a
=
++
++
(A, B, C là các góc của tam giác a = BC, b = CA, c = AB). Chứng
minh tamgiác ABC là tam giác đều.

20. (HVKTQS - 99)
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
Trang 22
Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i 0982814404
Chứng minh để tam giác đều, điều kiện cần và đủ là:
p + R = (2 + 3
3
).r
21. (ĐH Thủy Lợi - 99)
Cho tam giác ABC thỏa mãn:
2cosA.sinB.sinC +
3
(sinA + cosB + cosC) =
4
17
Hỏi tam giác ABC là tam giác gì? Chứng minh.
22. (ĐHNT - 99)
Các góc của tam giác ABC thỏa mãn:
cotgA + cotgB + cotgC = tg
2
A
+ tg
2
B
+ tg
2
C

Chứng minh tam giác ABC đều.
23. (HVKKTMM - 99)

Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có 3 góc thỏa mãn điều kiện:
sinA + sinB + sinC =sin2A + sin2B + sin2C
thì tam giác ABC là tam giác đều.
24. (Sỹ Quan - 99)
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
Trang 23
Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i 0982814404
Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thỏa mãn điều kiện:

3
333
a
cba
cba
=
−−
−−
và cosB.cosC =
4
1
thì tam giác đó là tam giác
đều.
25. (ĐHAN - 99)
Tam giác nhọn ABC có các góc thỏa mãn:

2
C
sin
1
2

B
sin
1
2
A
sin
1
Ccos
1
Bcos
1
Acos
1
++=++

Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.
26. (CĐSP Bắc Ninh - 99)
Chứng minh nếu tam giác ABC thỏa mãn điều kiện:
sin2A + sin2B + sin2C thì tam giác ABC đều.
27. ĐHSPHN - A - 01
Cho tam giác ABC có các góc A, B, C thỏa mãn:
Ccos.Bcos.Acos.2
1
C2sin
1
B2sin
1
A2sin
1
222

=++
Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều.
28. ĐHSPHN - B - 01
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
Trang 24
Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i 0982814404
Tính các góc của tam giác ABC nếu các góc A, B, C của tam giác đó
thỏa mãn hệ thức: cos2A +
3
(cos2B + cos2C) +
2
5
= 0
29. ĐHSP VINH - D - 01
Cho tam giác ABC thỏa mãn: sin(A + B).cos(A - B) = 2sinA.sinB
Chứng minh rằng tam giác ABC vuông.
30. ĐHBK - A - 01
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn bán kính bằng 1. Gọi
ma, mb, mc lần lượt là độ dài các đường trung tuyến kẻ từ các đỉnh
A, B, C của tam giác ABC. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam
giác đều khi và chỉ khi:
3
m
Csin
m
Bsin
m
Asin
cba
=++

31. ĐH MỎ - 01
Chứng minh rằng không tồn tại tam giác mà cả 3 góc trong của nó
đều là nghiệm của phương trình:
0)6x2sin
2
1
xsin7)(1xcos4(
2
=−−−
32.
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
Trang 25