Tuyển tập bộ đề luyện thi đại học môn toán new (kèm lời giải chi tiết)

www.MATHVN.com
Bộ đề ôn thi Đại học

Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D

ĐỀ 1
Câu I

2 3
x   cos  3sin   x 2  8 1  cos2  x  1
3
1. Chứng minh rằng với mọi  hàm số luôn có cực đại và cực tiểu.
2
2. Giả sử rằng hàm số đạt cực trị tại x1 , x 2 . Chứng minh: x12  x2  18
Câu II
1. Giải phương trình: 31  2cos x   t anx  t anx  2sin x 
Cho hàm số: Cho hàm số: y 

 3
3
x 
y 2

 2
2
2. Giải hệ phương trình sau: 
 3  x  3  y  10
 2
2

Câu III

1. Trong mặt phẳng Oxy, cho Parabol  P  : y 2  64 x và đường thẳng
 : 4 x  3 y  46  0 . Tìm A thuộc (P) sao cho khoảng cách từ A đến  nhỏ
nhất. Tính khoảng cách nhỏ nhất đó.
2. Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm M  0;0; 3 , N  2;0; 1 và mặt
phẳng   : 3 x  8 y  7 z  1  0 .
a) Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng MN với mặt phẳng   .
b) Tìm tọa độ P nằm trên mặt phẳng   sao cho tam giác MNP đều.
Câu IV
ln 5
e x dx
1.Tính tích phân : I  
.
x
x
ln 2 10  e  e  1
2. Tìm tập hợp điểm M mà tọa độ phức của nó thỏa mãn điều kiện:
z  2  i  1.
Câu V
2
20 C 0
21 C12010 2 2 C2010 23 C3
22010 C 2010
2010
2010
2010
1. Tính P 



 ... 

1.2
2.3
3.4
4.5
2011.2012
2. Cho a, b, c là ba số thực thoả mãn điều kiện: a  b  c  0 . Chứng minh
rằng: 27 a  27 b  27c  3a  3b  3c .

Văn Phú Quốc

♥ 0982 333 443

www.mathvn.com



1


www.MATHVN.com
Bộ đề ôn thi Đại học

Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu I
1. Xét PT: y  2x 2  2  cos  3sin   x  8 1  cos2   0
Ta
có:

2
2
2
   cos  3sin    16 1  cos2    cos  3sin    32cos   0  .
cos  3sin   0 sin   0
Nếu   0 thì 

 0  sin 2   cos 2  1 . Điều
cos  0
cos  0
này vô lý. Suy ra   0  . Do đó hàm số ln có cực đai, cực tiểu.
2. Theo định lý Viet, ta có: x1  x 2  3sin   cos ; x1x 2  4 1  cos2  .
2

2

2
x1  x 2   x1  x 2   2x1x 2   3sin   cos   8 1  cos2 
2

 9sin 2   6sin  cos  17 cos 2  .
2
x12  x2  18  9sin 2   6sin  cos  17 cos 2   18  sin 2   cos 2 

2

  3sin   cos   0 luôn đúng. Từ đây, ta suy ra: đpcm.
Câu II
1. ĐK: cos x  0
PT  3 1  2cos x   tan 2 x 1  2cos x   1  2cos x   3  tan 2 x   0

1

1
1
1



cos x   2
cos x  
cos x  
cos x  



2
2
2
 2
 2

2
2
2
cos 2 x  1
 tan x  3
sin x  3cos x
1  cos x  3cos x






4
1
1
2

 cos 2 x   cos2x    2x  
 k2  x    k
k  
4
2
3
3
thỏa mãn điều kiện ban đầu.
3
3
2. ĐK:   x, y  .
2
2
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski:
2

 3

3
3
3


2  1.  x  1.  y   12  12    x   y   x  y  2
2
2
2

 2


(1)

2



3
3
3
3

10  1.  x  1.  y   12  12    x   y   x  y  2
2
2
2
2



Văn Phú Quốc

♥ 0982 333 443

www.mathvn.com

(2)



2


www.MATHVN.com
Bộ đề ôn thi Đại học

Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D

Từ (1) và (2) suy ra x  y  2 , nghĩa là dấu bằng xảy ra ở (1) và (2). Khi đó











3
x

2

1
3
x
2

1

3
y
2
1
 x  y . Vậy  x; y   1;1 là nghiệm duy nhất của hệ.
3
y
2
1

Câu III

 a2 
1. A   P  : y  64x  A  ;a 
 64 
a2
4.  3a  46
64
1 2
1
2

d  A,   

a  48a  736 
 a  24   160
80
80
42  32
1
160
2
  a  24   160  
 2.
 80
80 
Dấu bằng xảy ra khi chỉ khi a  24  0  a  24 .
Lúc đó Mind  A,    2 khi A  9; 24  .
2.


a) Đường thẳng MN qua M  0;0; 3 nhận MN   2;0;2  làm VTCP nên có
 x  2t

phương trình:  y  0
 z  3  2t

I  MN   P   Tọa độ điểm I ứng với tham số t là nghiệm của phương trình:
2

11
4

 11
 I  ;0;   .
10
5
5
b) Gọi    là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MN. Gọi K là trung điểm
 1 

MN  K 1;0; 2  . Chọn n  MN  1;0;1 làm VTPT của    . Lúc đó,   
2
có phương trình: 1. x  1  1. z  2   0  x  z  1  0 .
3.2t  8.0  7. 3  2t   1  0  t 

 P       

P    sao cho MNP đều  
2
2
 MN  NP

Giả sử tọa độ điểm N là  a;b;c  , ta có:

Văn Phú Quốc

♥ 0982 333 443

www.mathvn.com

3


www.MATHVN.com
Bộ đề ôn thi Đại học

Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D

3a  8b  7c  1  0

.
a  c  1  0
 2
2
2
a  b   c  3  8

 2 2 1
Giải hệ phương trình , ta tìm được P  2; 2; 3 , P   ;  ;   .
 3 3 3
Câu IV
1. Đặt t  e x  1  t 2  e x  1  2tdt  e x dx
Đổi cận: x  ln 2  t  1 ; x  ln 5  t  2
2

2

2

2tdt

dt
1  1
1 
1 3 t
I
 2
 

 dt  ln
2
3  t  3  t  3 1  3  t 3  t 
3 3 t
1 9  t  t
1 

2

1

1 5
 ln .
3 2

2. Hai số phức liên hợp có mođun bằng nhau, ta suy ra
z 2i  z 2i
Vì z  2  i  z   2  i   z  2  i .
Từ đó ta có: z  2  i  1 .
Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I  2;1 , bán kính R  1.
Câu V
2

2010
20 C 0
21 C12010 2 2 C 2010 23 C3
2 2010 C2010
2010
2010
1. A 



 ... 
1
2
3
4
2011
Ta có:
k

k

2k C k
 2  2010!   2  2010!
2010

 1
 k  1 k! 2010  k ! k  1  k  1! 2010  k !
k

k

1
 2  2011!
1
k 1



  2  C k 1
2011
2011  k  1! 2011  k  1!
4022
1 
1
2
2011
  2  C12011   2  C2  ...   2  C 2011 
2011
2011 
4022
1 
2011
0
1

  2  1   2  C0  
2011 
4022
2011

P

2. Đặt x  3a ; y  3b ; z  3c . Bài toán quy về chứng minh bất đẳng
thức:
x 3  y3  z 3  x  y  z
với x, y, z dương thỏa mãn xyz  3a.3b.3c  3a  bc  30  1 .
Ta có: x 3  1  1  3 3 x 3 .1.1  3x . Tương tự y3  1  1  3y ; z 3  1  1  3z .
Văn Phú Quốc

♥ 0982 333 443

www.mathvn.com



4


www.MATHVN.com
Bộ đề ôn thi Đại học

Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D

Cộng vế theo vế
các
3
3
3
 x  y  z   6  3 x  y  z  .

bất

đẳng

thức

trên,
(1)

ta

được:

Mặt khác

3  x 3  y3  z 3    x 3  y3  z 3   2  x 3  y3  z3    x 3  y3  z 3   2.3 3 x 3 y3z 3 
  x 3  y 3  z3   2.3xyz   x 3  y 3  z3   6

(2)

Từ (1) và (2) suy đpcm.
ĐỀ 2
Câu I

2x 1
 C  và điểm M bất kì thuộc (C). Gọi I là giao điểm
x 1
hai tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B.
1. Chứng minh rằng: M là trung điểm AB.
2. Chứng minh diện tích tam giác IAB khơng đổi.

3. Tìm tọa độ điểm M để chu vi tam giác IAB nhỏ nhất.
Câu II
3
1. Giải phương trình:  8sin 3 x  1  162sin x  27  0 .
Cho hàm số: y 

2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
Câu III

x2  x  1  x2  x  1  m .

x2
1.Trong mặt phẳng Oxy, cho parabol (P): y  x  2 x và elip (E):  y 2  1 .
9
Chứng minh rằng (P) và (E) cắt nhau tại 4 điểm phân biệt A, B, C, D và bốn
điểm đó cùng nằm trên một đường trịn. Xác định tâm và bán kính của đường
trịn đó.
2. Cho 3 tia OA, OB, OC đơi một vng góc và OA = a, OB = b, OC = c.
Gọi  ,  ,  lần lượt là các góc của các mặt phẳng (OAB), (OBC) , (OCA) với
mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:
cos 2  cos 2   cos 2  1.
Câu IV
2


3

dx
1  sinx  cos x
0

1. Tính tích phân: I  

Văn Phú Quốc

♥ 0982 333 443

www.mathvn.com



5


www.MATHVN.com
Bộ đề ôn thi Đại học

Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D

2. Gọi A, B theo thứ tự là các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn số z khác 0
1 i
và z 
z . Chứng minh tam giác OAB vuông cân.
2
Câu V
 22 y  x  2 y  2 x 1

1. Giải hệ phương trình sau: 
2
2

log 5  x  3 y  1  log 5 y  2 x  4 y  1

2. Cho 3 số thực dương thay đổi x, y, z thỏa mãn điều kiện
 1
1 1 1
1
1
24  2  2  2   1  2     . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
y
z 
x
x y z
1
1
1
.
Q


30 x  4 y  2008 z 30 y  4 z  2008 x 30 z  4 x  2008 y
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu I

2x  1
2x  1
  ; TCN: y  2 vì lim
 2.
x 1 x  1
x  x  1
Giao điểm của hai tiệm cận là I 1;2 

1
Hàm số được viết lại như sau: y  2 
x 1

1 
Gọi M  x 0 ;2 
   C.
x0 1 

1
Tiếp tuyến với (C) tại M là: y  y  x 0  x  x 0   2 
.
x0 1
1. Ta có : TCĐ : x  1 vì lim


2 
Giao điểm của tiếp tuyến với TCĐ là A 1;2 
.
x0  1 

Giao điểm của tiếp tuyến với TCN là B  2x 0  1;2  .

x  xB

xM  A
 x0

2


Ta có : 
và A , M , B thẳng hàng nên M trung điểm
yA  yB
1
 yM 
2
2
x0 1


của đoạn thẳng AB.
1
1 2
2. S IAB  .IA.IB 
. 2  x 0  1  2.
2
2 x0  1
Vậy diện tích tam giác IAB không đổi.
Văn Phú Quốc

♥ 0982 333 443

www.mathvn.com



6


www.MATHVN.com

Bộ đề ôn thi Đại học

Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D

3. Ta có: IA.IB  4
Chu vi  IAB   IA  IB  AB  IA  IB  IA 2  IB2



 2 IA.IB  2IA.IB  2 2  2



 x 0  0  M  0; 1
Dấu bằng xảy ra khi IA  IB  2  x 0  1  1  
.
 x 0  2  M  2;3

Câu II
1. Đặt u  2sin x ĐK: 2  u  2
3

3

PT đã cho thành:  u 3  1  81u  27  0   u 3  1  81u  27 .
Đặt 3v  u 3  1  3u  v3  1 . Do đó, ta có:
 3
 3
 u 3  1  3v


 u  1  3v
u  1  3v
 3

 3
v  1  3u
 u  v3   3 v  u   u  v   u 2  uv  v2  3  0






3
 u  1  3v

u 3  1  3v
2



 3u  u 3  1

v 3 2
  u  v    u  2   4 v  3  0  u  v







1

Lúc đó: 6sin x  8sin 3 x  1  3sin x  4sin 3 x   sin 3x  sin
2
6


2


3x  6  k2
 x  18  k 3


5
3x 
 x  5  k 2
 k2



6

18
3
2.
2

2

2
2
1  3
1  3


x  x 1  x  x 1  m   x    
  x   
 m
2  2 
2  2 


 1 3
1 3
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, xét: A   ;
 ; B ;
 và đỉnh
2 2 
2 2 


M  x;0  ta có: AB  1 .
2

2

Với mọi điểm M thì AM  BM  AB  1 .
2

2
2
1  3
1  3


Mà AM   x    
 ; BM=  x    

2  2 
2  2 


Suy ra: m  1  1  m  1 .
Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi 1  m  1 .

Văn Phú Quốc

♥ 0982 333 443

www.mathvn.com

2



7

www.MATHVN.com
Bộ đề ôn thi Đại học

Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D

Câu III
1. Tọa độ giao điểm của (P) và (E) là nghiệm của hệ phương trình:
 y  x 2  2x
2
x2
 2

  x 2  2x   1  9x 4  36x 3  37x 2  9  0 .
x
2
9
  y 1
9
Đặt f  x   9x 4  36x 3  37x 2  9

f  x  liên tục trên  .
f  1 .f  0   657  0  x1   1;0  : f  x1   0
f  0  .f 1  9  0  x 2   0;1 : f  x 2   0
f 1.f  2   5  0  x 3  1;2  : f  x 3   0
f  2  .f  3  405  0  x 4   2;3  : f  x 4   0
Do PT: f  x   0 là PT bậc 4 nên có tối đa 4 nghiệm. Vậy PT f  x   0 có
đúng 4 nghiệm phân biệt nên (P) cắt (E) tại 4 điểm phân biệt.
Giả sử  P    E   M  x 0 ; y 0  . Khi đó, ta có:
2
 y0  x 0  2x 0

 2
 2
 2
 x 0  2x 0  y 0  0
8x 0  16x 0  8y 0  0
 2
 2
 x0
2
2
2
 y0  1
 x 0  9y 0  9  0
 x 0  9y 0  9  0



9
Cộng vế theo vế của hai phương trình trên, ta được :
16
8
2
2
2
2
9x 0  9y 0  16x 0  8y 0  9  0  x 0  y0  x 0  y 0  1  0
9
9
2
2

8 
4  161

. Vậy 4 giao điểm của (P) và (E) cùng nằm trên
 x 0     y0   
9 
9
81

161
8 4
đường tròn tâm I  ;  , bán kính R 
.
9
9 9

z
2.

C

O

B

A

x

Văn Phú Quốc

y

♥ 0982 333 443

www.mathvn.com



8


www.MATHVN.com
Bộ đề ôn thi Đại học

Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D

  1 1 1 
x y z
mp  ABC  :    1  0 có phương vectơ pháp tuyến n1   , , 
a b c
a b c
 


mp  OAB  có vectơ pháp tuyến n2  OC   0,0, c 
 

mp (OBC ) có vectơ pháp tuyến n3  OA   a,0,0 
 



mp  OAC  có vectơ pháp tuyến n4  OB  (0, b,0)
Gọi  ,  ,  lần lượt là góc giữa các mặt phẳng  OAB  ,  OBC  ,  OCA với
mp  ABC  .Vậy :

1
1
1
1
0 0 c
a
b
c
c
cos 

1 1 1
1
1 1
02  02  c2 2  2  2
 2 2
2
a b c
a b c
1
1
1
1
a 0 0

a
b
c
a
cos 

1 1 1
1
1 1
a 2  0 2  02 2  2  2
 2 2
2
a b c
a b c
1
1
1
1
0 b 0
a
b
c
b
cos 

1 1 1
1
1 1
0 2  b 2  02 2  2  2
 2 2

2
a b c
a b c
Từ (1), (2) và (3) suy ra: cos 2  cos 2   cos 2  1.
Câu IV
x
2dt
1. Đặt t  tan  dx 
2
1  t2

1
x 0t 0 ; x = t 
3
3
1
3

I


0

2dt

2t
1 t2 
2 
1  t  1  1  t 2  1  t 2 




1
3

dt
 1  t  ln 1  t
0

1
3
0

(1)

(2)

(3)

1 

 ln 1 
.
3


2. Giả sử z  x  yi thì ta có : A  x; y  . Vì z  0 nên x 2  y 2  0 .
1 i
1
xy xy

Ta có z 
z  1  i  x  yi  

i.
2
2
2
2
xy xy
Vậy B có tọa độ : B 
;
.
2 
 2
Văn Phú Quốc

♥ 0982 333 443

www.mathvn.com



9


www.MATHVN.com
Bộ đề ôn thi Đại học

Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D
2

2

2
2
xy xy x y
Ta lại có: OA  x  y ; OB  


.


2   2 
2

2
2
2
2
xy 
x  y   x  y   y  x  x 2  y2

2
AB   x 
.
 y
 
 
 
2  

2   2   2 
2

OB  AB
Từ đó, suy ra :
.

OA 2  OB2  AB2

Vậy tam giác OAB vuông cân tại B.
Câu V
 22 y  x  2 y  2 x 1
1

1. 
2
2
log 5  x  3 y  1  log 5 y  2 x  4 y  1  2 

ĐK: y  0 .
Chia cả hai vế của (1) cho 2 x  0 ta được:
 2 yx  1
2 y  x 
2 y  x 
y x
yx
2
2 22
 2  2  0   yx
 2  2

Loại 2 y x  2  0 ( vô lý).
Nhận 2 y x  1  x  y . Thay y  x vào (2) ta được:
1
2


log 5  x 2  3x  1  log 5 x  2x 2  4x  1  log 5  x   3   1  2  x  1 (3)
x


1


Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: VT  3  log 5  x   3   log 5  2  3   1 .
x


VP  3  1 .
1

x  x
Vậy VT  3  VP  3   1  
 x  1  y  1 (thỏa ĐK y  0 )
2
 x  1  0

Vậy  x; y   1;1 là nghiệm duy nhất của hệ phương trình.
2.
2
1

1
1
1 1
 . Dấu bằng xảy ra khi x  6 .
   0 2 
x
3x 36
x 6
1
1
1
Tương tự : 2 
 . Dấu bằng xảy ra khi y  6 .
y
3y 36
2

2

2

2

1
1
1
  . Dấu bằng xảy ra khi y  6 .
2
z
3z 36

Văn Phú Quốc

♥ 0982 333 443

www.mathvn.com



10


www.MATHVN.com
Bộ đề ôn thi Đại học

Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
 1
1
1 1 1 1 1 1  1
1
1  1 1 1
 2  2        24  2  2  2   8      2
2
x
y
z
3  x y z  12
y z  x y z
x

Kết hợp điều này với giả thiết, ta suy ra:
1 1 1
1 1 1
1 1 1 1
8     2  1  2         .
x y z 2
x y z
x y z
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2042 số dương:

30x  4y  2008z  x..  x    z...  z  20422042 x 30 y 4z 2008
 
 
  y  ..y  
30

4

2008

30 4 2008
1 1 1
 
 20422042 30 . 4 . 2008
x y
z
x y z
Nhân vế theo vế hai bất đẳng thức này, ta được:
 30 4 2008 
2

 x  y  z   30x  4y  2008z   4012



1
1  30 4 2008 

 
30x  4y  2008z 2042 2  x y
z 


Tương tự
1
1  30 4 2008 

 
30y  4z  2008x 2042 2  y z
x 




1
1  30 4 2008 

 
30z  4x  2008y 20422  z x
y 



Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức này, ta được:
1 1 1 1
1
P
 x  y  z   4084 .
2042 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x  y  z  6 .
1
Vậy MaxP 
khi x  y  z  6.
4084

ĐỀ 3
Câu I
Cho hàm số: y  x 4  2m 2 x 2  1 (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m  1.

Văn Phú Quốc

♥ 0982 333 443

www.mathvn.com



11

www.MATHVN.com
Bộ đề ôn thi Đại học

Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D

2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác
vuông cân.
Câu II
1. Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: 1  x 2  2. 3 1  x 2  m .
x  1  y2  1

2. Giải hệ phương trình sau: 
y  1  x2  3

Câu III

x 2 y2
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho elip  E  : 
 1 . Đường thẳng d tiếp xúc
18 8
với (E) tại M cắt hai trục tọa độ tại A và B. Tìm vị trí điểm M sao cho tam
giác OAB nhỏ nhất.
2. Trong không gian với hệ tọa độ trục chuẩn Oxyz
a) Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua các điểm M  0;0;1 ,

N  3;0;0  và tạo với mặt phẳng  Oxy  một góc .
3
b) Cho 3 điểm A  a;0;0  , B  0; b;0  , C  0;0; c  với a, b, c là các số dương thay
đổi và thỏa mãn a 2  b 2  c 2  3 . Xác định a, b, c sao cho khoảng cách từ
O  0;0;0  đến mặt phẳng  ABC  đạt giá trị lớn nhất.

Câu IV
1. Trong khai triển sau đây có bao nhiêu số hạng hữu tỉ



345



n

biết n thỏa

1
2
3
2n
mãn C4 n1  C4 n1  C4 n 1  ...  C4 n1  2496  1 .
2. Cho M, N là hai điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn theo thứ tự các số
2
2
phức z1 , z 2 khác 0 thỏa mãn đẳng thức z1  z 2  z1z 2 . Chứng minh tam giác
OMN là tam giác đều.
Câu V


4

1. Tính tích phân: I 

  tan

2

x  tan x  e  x dx .

3
4

x

1

2. Chứng minh rằng: x 1 x  x 1 x 

2
x   0;1 .
e

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu I
Văn Phú Quốc

♥ 0982 333 443

www.mathvn.com

12


www.MATHVN.com
Bộ đề ôn thi Đại học

Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D

1. Bạn đọc tự giải
2. y  x 4  2m 2 x 2  1
TXĐ: D   .
Đạo hàm y  4x 3  4m 2 x  4x  x 2  m 2  .
Hàm số có 3 cực trị  PT: y  0 có 3 nghiệm phân biệt  PT: x 2  m 2  0
 m2  0

có 2 nghiệm phân biệt khác 0   2
 m  0.
m  0


Tọa độ 3 điểm cực trị là:
A  0;1 ; B  m;1  m 4  ; C   m;1  m4  .
Dễ thấy AB  AC  tam giác ABC cân tại A.
 
 
Để tam giác ABC vuông cân chỉ cần AB  AC  AB.AC  0 .





Mà AB   m; m 4  ; AB    m;  m 4  .
Do đó:  m 2  m8  0  m 2  m 6  1  0  m  1 thỏa mãn điều kiện m  0 .
Vậy m  1 là giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu đề toán.
Câu II
1. Điều kiện đủ: Nếu phương trình có nghiệm x 0 thì  x 0 cũng là nghiệm của
nó. Do đó phương trình có nghiệm duy nhất thì điều kiện đủ là:
x 0   x 0  x 0  0 . Thay vào phương trình, ta được: m  3.
Điều kiện cần: Với m  3 , phương trình có dạng: 1  x 2  2 3 1  x 2  3 .
 1 x2  1

2
x 0 
 1  x 2  2 3 1  x 2  3 . Do đó phương trình có
3 1 x2  1

nghiệm khi và chỉ khi x  0.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m  3.
2. ĐK: 1  x, y  1 .
Đặt x  cos ; y  cos ,  ,    0;  .
Hệ phương trình thành:
2
 2
cos  sin   1

cos   2cos  .sin   sin   1 1
 2

2
cos  sin   3
 2

cos   2sin  .cos +sin   3


Cộng vế theo vế của (1) và (2) ta được:


sin      1          
(3)
2
2
Kết hợp (3) và PT: cos  sin   1 ta giải được:

cos 

1
1
3
hay x   y 
( thỏa ĐK)
2
2
2

Văn Phú Quốc

♥ 0982 333 443

www.mathvn.com

13


www.MATHVN.com
Bộ đề ôn thi Đại học

Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D

1 3
Vậy  x, y    ;
 là nghiệm duy nhất của hệ.
2 2 

Câu III
2
x 2 y0
0
1. Giả sử M  x 0 ; y0    E  

1.
18 8
xx yy
Tiếp tuyến d có dạng: 0  0  1 .
18
8
 18 
 8 
A  d  Ox  A  ;0  ; B  d  Oy  B  0; 
 x0 

 y0 
1
1
1 18 8
72
SOAB  OA.OB  x A y B  . .

2
2
2 x 0 y0
x 0 y0

 x 0 , y0  0 

2
2
x 0 y0
x 2 y2 x 0 y0
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: 1 
 2 0. 0 
 x 0 y0  6
18 8
18 8
6
Suy ra SOAB  12 .

2
2
 2
 x 0  3

x 0 y0 1
x 0  9
Dấu bằng xảy ra 

  2

18 8 2
 y 0  4  y 0  2


Vậy có 4 điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
 3;2  ,  3; 2  ,  3;2  ,  3; 2 
Và MinSOAB  12 .
2. Gọi   là mặt phẳng cần tìm có dạng: ax  by  cz  d  0
c  d  0
Vì M  0;0;1 , N  3;0;0     nên 
. Chọn a  1  d  3 , c  3
3a  d  0

Lúc đó:   : x  by  3z  3  0 có VTPT có VTPT n  1;b;3

Mặt phẳng Oxy có VTPT k   0;0;1

n.k
3

3
1
Theo đề, ta có: cos    


  b   26.
3 n k
1  b 2  9. 1
b 2  10 2
Vậy có 2 mặt phẳng   thỏa mãn đề toán:

x  26y  3z  3  0 ; x  26y  3z  3  0 .
x y z
2. Phương trình mặt phẳng (ABC):    1
a b c

Văn Phú Quốc

♥ 0982 333 443

www.mathvn.com



14


www.MATHVN.com
Bộ đề ôn thi Đại học

Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D

1
1 1 1
 

a 2 b2 c2

d  d O;  ABC   



2

1
1
 1
1 1 1 1 1 1
9   a.  b.  c.    a 2  b 2  c 2   2  2  2   3  2  2  2 
b
c
b c  a
b c 
 a
a
1 1 1
1
 2  2  2  3 d 
a
b c
3
1
1
1
Dấu bằng xảy ra  2  2  2  1  a  b  c  1.
a

b
c
1
Vậy Max d 
khi a  b  c  1 .
3
Câu IV
4n 1
2
4n 1
1. Ta có: 1  x 
 C0 1  C1 1x  C4n 1x 2  C3 1x 3  ...  C 4n 1x 4n 1
4n
4n
4n
2
4n 1
Chọn x  1  24n 1  C0 1  C1 1  C 4n 1  C3 1  ...  C4n 1
4n
4n
4n
2
2n
 2  C0 1  C1 1  C4n 1  C3 1  ...  C4n 1 
4n
4n
4n

2
2n

Suy ra 2 4n  C0 1  C1 1  C4n 1  C3 1  ...  C 4n 1
4n
4n
4n
Hay 2 4n  2 496  4n  496  n  124.



3 45

124



124
k
  C124
k 0

124  k

   
3

4

5

k

124

124  k
2

k
  C124 3

k

54 .

k 0

124  k  2

Trong khai triển có số hạng hữu tỉ   k  4
0  k  124

k 4
 k  4t


 0  t  31
0  k  124 0  4t  124

Có 32 giá trị của t suy ra có 32 giá trị của k. Vậy trong khai triển trên có 32 số
hạng hữu tỉ.
2.
 2

z 2  z1  z 2  z1   z 2  z1 z 2  z1
 2
2
2
Ta có: z1  z 2  z1z 2   2

 
z1  z 2  z1  z 2   z1 2  z 2 z 2  z1



Vì
z1 , z 2  0
nên
z1 , z 2  0 .
Từ
ta
có:
 
z 2  z1 

z2
z1

2
2



z1

z2

2
3

2

3

 z1  z 2  z1  z 2

Do đó: z 2  z1  z1  z 2
Văn Phú Quốc

♥ 0982 333 443

www.mathvn.com



15


www.MATHVN.com
Bộ đề ôn thi Đại học

Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D

Mà OM  z1 ; ON = z 2 ; MN = z 2  z1 .
Vậy tam giác OMN đều.

Câu V


1. I 



  tan

2

x  tan x  e dx 
x

3
4



 tan

2

x

x.e dx 

3
4

 t anx.e

x

dx  I1  I 2

3
4

Sử dụng tích phân từng phần đối với I 2 ta được:

I 2   t anx.e  x


3
4





 1  tan x .e
2

x

dx  e  I1  I  I1  I 2  e  .

3
4

x

1

x

x

x

2. Xét hàm số: f  x   x 1x  x 1 x  x 1 x  x.x 1x  1  x  x 1x x   0;1 .
x
1 x

f  x  

1  x  x
2
1  x 

 1 x

 ln x  .
 2.
 1 x


1 x
 ln x

1 x
2
1  x   0  g x
g  x  
đồng
biến
trên
 
2
x 1  x 
 0;1  g  x   g 1  0  f   x   0 x   0;1  f  x  nghịch biến trên  0;1

Xét: g  x   2.

1

1

 f  x   lim f  x   lim 1  x  x .x


x 1

1
1 x

x 1


1x


1 
2
 2lim 1 
  x   0;1

1
x 1
e


 1 x 

Đó là đpcm.

ĐỀ 4
Câu I
Cho hàm số: y  2x 3  3  m  3  x 2  18mx  8
1. Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hồnh.
2. Chứng minh rằng tồn tại điểm có hoành độ x 0 sao cho tiếp tuyến với đồ thị
tại đó song song nhau với mọi m.
3. Chứng minh rằng trên Parabol  P  : y  x 2 có hai điểm khơng thuộc đồ thị
hàm số với mọi m.
Văn Phú Quốc

♥ 0982 333 443

www.mathvn.com

16


www.MATHVN.com
Bộ đề ôn thi Đại học

Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D

Câu II
1. Giải phương trình:  3  x  x  1  5  2x   x 3  10x 2  34x  40

 x2  3  2 x  y  3

2. Giải hệ phương trình: 
 y2  3  2 y  x  3

Câu III
1. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: x cos t  ysin t  2cos t  1  0.
Chứng minh rằng d luôn tiếp xúc với một đường trịn cố định .
2. Trong khơng gian Oxyz, cho 2 điểm A  2;3;0  , B 0;  2;0 và đường





x  y  z  2  0
:
. Tìm điểm M thuộc  sao cho tổng độ dài MA  MB
x  y  z  2  0

ngắn nhất.
Câu IV
0
dx
1. Tính tích phân: 
 x 1  x 
11

2

n

 3i
2. Tìm số nguyên dương n bé nhất để 
 là số thực
1 i 

Câu V
x
x

  
1. Giải phương trình:  sin    cos   1 với 2  n   .
n 
n

2. Cho a, b, c   . Chứng minh rằng : sin a.sin b.sin c  cos a.cos b.cosc  1
HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu I

1. Đồ thị tiếp xúc với Ox  hệ sau có ngiệm :
 2x 3  3  m  3 x 2  18mx  8  0
1

 2
 2
6x  6  m  3 x  18m  0

x  m
 2   x 2   m  3 x  3m  0  
x  3
Với
x  m,
thế
vào
(1)
3
2
2
3
2
2m  3  m  3  m  18m  8  0  m  9m  8  0
Văn Phú Quốc

♥ 0982 333 443

www.mathvn.com

,

ta

được



17


www.MATHVN.com
Bộ đề ôn thi Đại học

Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D

m  1
  m  1  m 2  8m  8   0  
m  4  2 6
Với x  3, thế vào (1), ta được:
35
54  27  m  3   54m  8  0  m 
27
 35

Vậy m  1; ;4  2 6;4  2 6  là giá trị cần tìm .
 27

2. Bài tốn quy về tìm k và x 0 sao cho
2
y  x 0   k, m  6x 0  6  m  3 x 0  18m  k
2

 m 18  6x 0   k  6x 0  18x 0 m .

18  6x 0  0
x  3
Phương trình này đúng m  
 0
.
2
k  6x 0  18x 0  0 k  0

Vậy tồn tại điểm có hồnh độ x 0  3 sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại đó có hệ
số góc k = 0 tức tiếp tuyến song song nhau m.
2
3.  x 0 ;x 0    P  : y  x 2 .
2
2
Đồ thị không đi qua điểm  x 0 ;x 0   PT: x 0  2x 3  3  m  3 x 2  18mx 0  8
0
2
2
vô nghiệm đối với ẩn m  m  3x 0  18x 0   2x 3  10x 0  8 vô nghiệm
0

2
 3x 0  18x 0  0
x 0  0  x 0  6



 x0  0  x0  6 .

3
2
3
2
 2x 0  10x 0  8  0 2x 0  10x 0  8  0

Vậy đồ thị không đi qua hai điểm  0;0  ,  6;36  m.
Câu II
5
1. ĐK: 1  x 
2

PT   3  x  x  1  5  2x 

x

2

 6x  10   4  x 

2
  3  x  x  1  5  2x   3  x   1  4  x 


Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, chọn các vecto:


u   3  x  ;v  x  1; 5  2x

u.v   3  x  x  1  5  2x

 
2
u v   3  x   1. 4  x   x 3  10x 2  34x  40
  


3 x
1
u.v  u v  u và v cùng phương 

x 1
5  2x



Văn Phú Quốc



♥ 0982 333 443

www.mathvn.com



18


www.MATHVN.com
Bộ đề ôn thi Đại học

Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D

 2x 3  17x 2  49x  46  0   x  2   2x 2  13x  23   0  x  2 .
Vậy x = 2 là nghiệm của phương trình đã cho.
 x2  3  2 x  y  3

2. 
 y2  3  2 y  x  3

ĐK: x, y  0 .

 x2  3  2 x  y  3
1

HPT  
 x  3  y2  3  2 y
 2

Cộng vế theo vế của 1 và  2  ta được:
x2  3  3 x  3  y2  3  3 y  3
Xét hàm số: f  t   t 2  3  3 t  3
f  t  liên tục trên  0; 
t
3
f  t  

 0 t   0;    f  t  luôn đồng biến trên  0; 
2
2 t

t 3
Do đó: f  x   f  y   x  y .
Thay vào (1), ta được:



x2 1
x2  3  2





x2  3  x  3  0 



x 1  0 





 

x2  3  2 





x 1  0



  x  1 x  1

x 1 
 1  0


x2  3  2





Vì x  0 nên x  1  0  x  1 .
Vậy  x; y   1;1 là nghiệm duy nhất của hệ phương trình đã cho.
Câu III
1. Gọi I  x 0 ; y 0  là tâm và R là bán kính của đường trịn cần tìm.
d tiếp xúc với đường trịn khi và chỉ khi:
x cos t  y0 sin t  2cos t  1
d  I;d   R  0
R
cos 2 t  sin 2 t
 x 0 cos t  y 0 sin t  2cos t  1  R   x 0  2  cos t  y 0 sin t  1  R .
Để R là hằng số khơng phụ thuộc vào t thì: x 0  2; y 0  0
Lúc đó, d tiếp xúc với đường tròn cố định tâm I  2;0  , bán kính R = 1.
x  t


2.  có phương trình tham số là:  y  0
z  2  t

Văn Phú Quốc

♥ 0982 333 443

www.mathvn.com



19


www.MATHVN.com
Bộ đề ôn thi Đại học

Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D

M    M  t;0;2  t 
MA  MB 

 t  2

2

2

 9   2  t   t2  2   2  t 

2

2

2

 2t 2  8t  17  2t 2  4y  6  2  t  2   32  2  t  1  2 2


Trong mặt phẳng Oxy, đặt u  2  t  2  ;3 , v   2  t  1 ;2

   
MA  MB  u  v  u  v  3 3


Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi u và v cùng
2  t  2 3
7
phương 
 t
5
 2  t  1 2









 7 3
Min  MA  MB   3 3 khi M  ;0;  .
 5 5
Câu IV
0
0
dx
dx
1. I  

2
 x 1  x   1
1 1
1 1


  x
2
21
4 2

1
1
  
Đặt  x  sin t ; t    ; 
2
2
 2 2


2

Lúc đó: I  
0


2

cos tdt
2  1  sin 2 t


2

cos t
2 


dt   1 
dt   2J.
2  cos t
2  cos t 
2

0
0





2

dt
x
2dt
. Đặt t  tan  dx 
2  cos t
2
1  t2
0
2dt
1
1
1  t 2  2 dt
J
 3  t2
1  t2
0 2
0
2
1 t
Đặt t  3 tan u  dt  3 1  tan 2 u  du
J 


6

J
0

3 1  tan u  du


6

2

3  3tan 2 u





1

du 
.
3
6 3
0



94 3 


I   2.

.
2

18
6 3

Văn Phú Quốc

♥ 0982 333 443

www.mathvn.com



20


www.MATHVN.com
Bộ đề ôn thi Đại học

Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D





 
  
3  i  2  cos  isin  ; 1- i = 2  cos     isin    .
6
6

 4

 4 

3i
5
5 


 2  cos
 isin  .
1 i
12
12 


2. Ta có:

n

n
 3 1
5n
5n 

 isin

  2 2  cos
.
Do đó: 1  i
12
12 





5n
5n
5n
0
 k 
 k  k   .
12
12
12
Số nguyên dương bé nhất cần tìm là: n  12 .
Câu V
1. Khi n  2 , rõ ràng phương trình có một nghiệm x  2. Cần chứng minh

x  2 là nghiệm duy nhất của phương trình . Thật vậy! Ta có 0  sin  1 và
n

0  cos  1 .
n
x
2
x
2
 

   


Nếu x  2 thì  sin    sin  và  cos    cos  thì
n 
n
n 
n


x
x
2
2
   

  
 sin    cos    sin    cos   1 .
n 
n 
n 
n

Số đó là thực khi và chỉ khi sin

x

2

x

2

 

   

Nếu x  2 thì  sin    sin  và  cos    cos  thì
n 
n
n 
n


x
x
2
2
   

  
 sin    cos    sin    cos   1 .
n 
n 
n 
n

Điều này chứng tỏ x  2 không phải là nghiệm của phương trình. Vậy x  2
là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn


u   sin a,cos a   u  sin 2 a  cos 2a  1.



v   sin bsin c;cos bcosc   v  sin 2 bsin 2 c  cos 2bcos 2c
  
u.v  u . v  sin a.sin b.sin c  cosa.cos b.cos c  sin 2 bsin 2 c  cos 2 bcos 2c
Mà

sin 2 bsin 2 c  cos 2 bcos 2c  cos 2 b 1  sin 2 c   sin 2 b 1  cos 2c 

 cos 2b  cos 2 bsin 2 c  sin 2 b  sin 2 bcos 2 c
 1  cos 2 bsin 2 c  sin 2 bcos 2c  1.
Văn Phú Quốc

♥ 0982 333 443

www.mathvn.com



21


www.MATHVN.com
Bộ đề ôn thi Đại học

Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D

sin a  sin b  sin c  1
Dấu bằng xảy ra  
.

cosa  cos b  cos c  1
ĐỀ 5

Câu I

x 1
C
x 1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C  của hàm số.
2. Tìm M   C  để tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất.
Câu II
1.Tìm m để phương trình 1  2cos x  1  2sin x  m 1 có nghiệm.
Cho hàm số: y 

 x log3 y  2y log3 x  27
2. Giải hệ phương trình: 
log 3 y  log 3 x  1
Câu III
x 2 y2
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho hypebol  H  : 
 1. Tìm những điểm trên
4
2
trục Ox mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến (H) và hai tiếp tuyến này vng
góc nhau.
2. Cho hình chóp (S.ABCD) đáy ABCD là hình vng cạnh a và có tâm O. SA
vng góc với mặt phẳng (ABCB), SA = a. Gọi I là trung điểm của SC, M là
trung điểm của AB.
Chứng minh IO   ABCD  và tính khoảng cách từ I đến CM.
3. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A 1;2;5 và phương trình

hai đường trung tuyến :
x  3 y  6 z 1
x 4 y2 z2
d1 :


; d2 :


2
2
1
1
4
1
Viết phương trình chính tắc các cạnh của tam giác ABC.
Câu IV
4
ln  9  x 
1. Tính tích phân: I  
dx
ln  9  x   ln  x  3
2
2. Giải phương trình trên 

z

2

2

 3z  6   2z  z 2  6   3z 2  0

x

Câu V

Văn Phú Quốc

♥ 0982 333 443

www.mathvn.com



22


www.MATHVN.com
Bộ đề ôn thi Đại học

Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D

 x 2  xy  y 2  3

Cho các số thực x, y, z thỏa:  2
.
2
 y  yz  z  16


Chứng minh rằng: xy  yz  zx  8 .

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu I
1. Bạn đọc tự giải.

x 1
2. M   C   M  x 0 ; 0

x0  1 

Gọi d M là khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ, ta có:

d M  d  M;Ox   d  M;Oy   x 0 

x0 1
x0  1

Chọn M 1;0    H   d M  1 . Do đó, để tìm Mind M ta chỉ cần xét:

 x0  1
1  x 0  1


 0  x 0  1.
 x0 1
 1 1  x 0  1  x 0
 x 1
 0

Với 0  x 0  1 thì
1  x0
2
2
dM  x 0 
 x0 1 
  x 0  1 
2
1  x0
x0  1
x0  1

2

 x 0  1

2
22 2 22
x0 1





2 1 .

0  x 0  1

Dấu bằng xảy ra  
2  x0  2  1

x0  1 

x0  1

Vậy mind M  2 2  1 khi M 2  1;1  2 .









Câu II
1. Ta chỉ cần xét nghiệm trên   ;  ( một đường tròn lượng giác)

1  2cos x  0

2
ĐK: 
  x
.
1  2sin x  0
6
3

Văn Phú Quốc

♥ 0982 333 443

www.mathvn.com



23


www.MATHVN.com
Bộ đề ôn thi Đại học

Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D

Ta có:

m  0

(1)  
2
 2  2  sinx  cos x   2 1  2cos x 1  2sin x   m


2


Đặt t  sinx  cos x  2 sin  x   với   x 
6
3
4




2

3 1
t  2
2

Phương trình  2  trở thành: 2t  2  2 2t 2  2t  1  m 2

(3)

Phương trình đã cho có nghiệm khi chỉ khi phương trình  3 có nghiệm

 3 1

t
; 2 .
 2

Xét hàm số: f  t   2t  2  2 2t 2  2t  1

 3 1

f  t  liên tục trên đoạn 
; 2 .
 2

 3 1


4t  2
f  t   2 
 0 t  
; 2
2t 2  2t  1
 2

 3 1

Suy ra f  t  là hàm đồng biến trên 
; 2
 2

 3 1 
min f  t   f 
  3  1 ; max  f  t  =f
 3 1

3 1
2 
t
; 2
t
; 2

2
2








2 1



Từ đó ta kết luận phương trình có nghiệm khi
m  0


3 1  m  2

3  1  m2  4 2  1


2. ĐK: x, y  0 .



 2   4



2 1

a


a  log 3 x
x  3
Đặt 

b
 b  log 3 y  y  3

 3a b  2  3b a  27
 a  b  2
3ab  9

HPT đã cho thành: 


a  b  1  a  b  1
b  a  1


Văn Phú Quốc

♥ 0982 333 443

www.mathvn.com



24


www.MATHVN.com

Bộ đề ôn thi Đại học

 a ; b

Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D

phương
trình:
x  3

   a  1   a  1
y  9


 t  1   b  2
b  2

t2  t  2  0  


   x  1 thỏa mãn ĐK .
 a  2
 a  2

t  2

9




  b  1
  b  1   y  1



3


 1 1 
Vậy tập hợp nghiệm của HPT đã cho là: S   3;9  ,  ;   .
 9 3 

Câu III
1. Gọi M  x 0 ;0   Ox , d và d là hai đường thẳng qua M và vng góc nhau
là

nghiệm

của

 A  x  x 0   By  0  Ax  By  Ax 0  0

nên có dạng phương trình: 

B  x  x 0   Ay  0

 Bx  Ay  Bx 0  0

d
và

d
tiếp
xúc
với
(H)
2
 4B2  2A 2  A 2 x 0

2
2
 2  A 2  B 2    A 2  B2  x 0  x 0  2  x 0   2
 2
2
2 2
 4A  2B  B x 0

Vậy tìm được hai điểm M  2;0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.





z

2. Chọn hệ trục tọa độ
A  O , AB  Ox , AD  Oy , AS  Oz
Tọa độ tương ứng với các điểm:
A  0,0,0  , B  a,0,0  , C  a, a,0  , D  0, a,0  ,

S

I

a
 a a a
a a 
S  0,0, a  , M  ,0,0  , I  , ,  , O  , ,0 
2
 2 2 2
2 2 
Chứng minh IO   ABCD 
 

a 
IO   0,0,     


2    IO //SA  IO   ABCD  .



SA   0,0, a  


D

y
C

O

A

M

H

B

x

Tính khoảng cách tù S đến CM.

Văn Phú Quốc

♥ 0982 333 443

www.mathvn.com



25