Mô Phỏng :Mô Hình ising

1
Mô hình Ising
2
Một số kiến thức về thống kê
3
Một số kiến thức về thống kê

Không gian pha
●
Xét một hệ cổ điển N hạt
●
Trạng thái của hệ được xác định bởi tọa độ r và xung
lượng p của tất cả các hạt
●
Không gian pha: 6N biến, Γ = (r,p) hoặc (q,p)
●
Sự thay đổi trạng thái theo thời gian tuân theo các
phương trình cơ học cổ điển
˙
q
k
=
∂ H
∂ p
k
,
˙
p
k
=−
∂ H

∂ q
k
H = K V
p
4

●
Chuyển động của hệ theo thời gian mô tả bởi một
quỹ đạo trong không gian pha Γ(t)
●
Do tính tất định của các phương trình Newton, quỹ
đạo này không bao giờ cắt chính nó!
●
Poincare: nếu đợi đủ lâu thì hệ có thể quay trở về
trạng thái ban đầu!
–
Poincare recurrence time > tuổi vũ trụ đối với
hệ vĩ mô
5
Một số kiến thức về thống kê

●
Đại lượng đo được A(Γ)
●
Giá trị đo được bằng thực nghiệm là giá trị trung bình
theo thời gian
●
Gibbs: lấy trung bình theo tập hợp với phân bố cần
thiết!
–

ρ(Γ): mật độ xác suất trạng thái ở điều kiện vĩ mô
nhất định: NVE, NVT, NPT
A
obs
=〈 A〉
time
=〈 A t 〉
time
=
1
t
obs
∫
0
t
obs
A t dt
A
obs
=〈 A〉
ens
=
∑

A  
Tập hợp thống kê
6
Một số kiến thức về thống kê

●

Tập hợp: bao gồm các bản sao của hệ ở nhiều trạng
thái khác nhau
●
ρ(Γ,t) mật độ xác suất
●
Định lý Louville:
–
số hệ trong tập hợp không thay đổi theo thời gian
–
tập hợp chuyển động theo thời gian trong không
gian pha như một chất lỏng có độ nén bằng 0!
d 
dt
=0
∂ 
∂t
=−
∑
i=1
N

˙

r
i

∇
r
i


˙

p
i

∇
p
i


7
Một số kiến thức về thống kê

●
Khi t vô cùng lớn, ta có tập hợp cân bằng:
–
khi đó, ρ không phụ thuộc thời gian!
–
và ta có
●
Hệ ergodic: any point in phase space is accessible
from any other point
●
Hệ non-ergodic: some region of phase space is not
accessible from outside
∂ 
∂t
=0
〈 A〉
time

=〈 A〉
ens
8
Một số kiến thức về thống kê

●
Trọng số & hàm phân hoạch:
–
tùy thuộc vào cách lấy trọng số ta có các tập hợp khác
nhau
–
Mô phỏng Monte Carlo: cho phép tạo ra một tập hợp
các trạng thái theo mật độ xác xuất ρ cho trước, khi
đó
 =Q
−1
w 
Q=
∑

w 
〈 A〉=Q
−1
∑

Aw 
〈 A〉=
1
K
∑

k=1
K
A
k

9
Một số kiến thức về thống kê

Tập hợp vi chính tắc
●
N,V,E = constants
●
Phương pháp động lực học phân tử (MD): tạo ra tập vi
chính tắc (E=constant), đồng thời bảo toàn xung lượng
tổng cộng
Q
NVE
=
∑

H −E 
Q
NVE
=
1
N !
1
h
3N
∫

dr dp H r , p−E 
S =k
B
ln Q
NVE
entropy
10
Một số kiến thức về thống kê

Tập hợp chính tắc
●
N,V,T = constants
w(Γ)=e
−H (Γ)/k
B
T
Q
NVT
=
∑
Γ
e
−H (Γ)/ k
B
T
F =−k
B
T ln Q
NVT
Q

NVT
=
1
N !
1
h
3N
∫
dp e
−K / k
B
T
∫
dr e
−V
p
r/k
B
T
Năng lượng tự do Helmholtz
Z
NVT
=
Q
NVT
=
1
N ! h
2
/2mk

B
T 
3N /2
Z
NVE
∫
dr e
−V
p
r / k
B
T
Tíchphâncấuhình
11
Một số kiến thức về thống kê

Tập hợp đẳng nhiệt đẳng áp
●
N,P,T=constants
w =e
−H PV / k
B
T
Q
NPT
=
∑

∑
V

e
−H PV / k
B
T
=
∑
V
e
−P / k
B
T
Q
NVT
G=−k
B
T ln Q
NPT
Z
NPT
=
∫
dV e
−PV / k
B
T
∫
dr e
−V
p
r /k

B
T
Năng lượng tự do Gibbs
12
Một số kiến thức về thống kê

Tập hợp chính tắc lớn
●
µ,V,T=constants
w =e
−H − N / k
B
T
Q
 VT
=
∑

∑
N
e
−H − N / k
B
T
=
∑
N
e
 N /k
B

T
Q
NVT
PV =k
B
T ln Q
 VT
phương trình trạng thái
13
Một số kiến thức về thống kê

Định luật đẳng phân
●
Mỗi bậc tự do ứng với kích thích năng lượng kT
●
Số bậc tự do =
Nc là số ràng buộc (constraint)
〈
p
k
∂ H
∂ p
k
〉
=k
B
T
〈
q
k

∂ H
∂ q
k
〉
=k
B
T
3N−N
c
14
Một số kiến thức về thống kê

Nhiệt độ tức thì
●
Nhiệt độ đo được bằng thực nghiệm là nghiệt độ
trung bình theo thời gian
●
Trong mô phỏng có thể tính nhiệt độ từ một trạng
thái vi mô của hệ
●
Từ định luật đẳng phân ta có:
●
Nhiệt độ tức thì:
〈 K 〉=
〈
∑
i=1
N
∣p
i

∣
2
2 m
i
〉
=
3N
2
k
B
T

T =
2K
3Nk
B
=
1
3Nk
B
∑
i=1
N
∣p
i
∣
2
m
i
15

Một số kiến thức về thống kê

●
Trong trường hợp có Nc ràng buộc:
●
Nhiệt độ trung bình:

T =
2K
3N−N
c
k
B
=
1
3N−N
c
k
B
∑
i=1
N
∣p
i
∣
2
m
i
T =〈


T 〉
16
Một số kiến thức về thống kê

Áp suất tức thì
●
Từ trạng thái vi mô của hệ có thể tính được áp suất
tức thì
●
Từ định luật đằng phân ta có:
suy ra:
●
Lực tổng cộng bằng ngoại lực + nội lực:
〈q
k
˙
p
k
〉=−k
B
T
˙
p
k
= f
k
tot
=−
∂
∂ q

k
V
p
1
3
〈
∑
i=1
N

r
i
⋅

f
i
tot
〉
=−N k
B
T

f
i
tot
=

f
i
ext



f
i
internal
17
Một số kiến thức về thống kê

●
Ngoại lực cân bằng với áp suất lên các bức tường:
●
Hàm virial
●
Áp suất tức thì:
1
3
〈
∑
i=1
N

r
i
⋅

f
i
ext
〉
=−PV

W ≝
1
3
∑
i=1
N

r
i
⋅

f
i
internal
=−
1
3
∑
i=1
N

r
i
⋅∇

r
i
V
p
PV =N k

B
T 〈W 〉

P= k
B

T 
W
V
=

P
ideal gas


P
ex

P= k
B
T 
W
V
=〈

P
ideal gas
〉

P

ex
hoặc
18
Một số kiến thức về thống kê

●
Tương tác cặp
W =
1
3
∑
i
∑
i j

r
i
⋅

f
ij
=−
1
3
∑
i
∑
i j

r

i
⋅∇

r
ij
v r
ij

V
p
=
∑
i j
v r
ij

W =−
1
3
∑
i
∑
i j
w r
ij

w r =r
dv r 
dr
hàm virial cho tương tác cặp

19
Một số kiến thức về thống kê

Nhiệt dung riêng
●
N,V,T=constants
●
N,P,T=constants
E=〈 H 〉
〈 E
2
〉=〈 H
2
〉−〈 H 〉
2
C
v
=
〈 H
2
〉−〈 H 〉
2
k
B
T
2
C
p
=
〈 H

2
〉−〈 H 〉
2
k
B
T
2
Mô hình Ising
• Mô hình Ising là gì? Vì sao nó
quan trọng?
• Mô hình Ising là mô hình toán
học được đặt theo tên của nhà
Vật lý Ernst Ising (Người Đức).
• Mô hình Ising là mô hình dùng để mô tả hiện
tượng chuyển pha sắt từ mà chỉ sử dụng các
spin-up và down
Mô hình Ising
• Ising đã giải bài toán 1D năm 1924 trong luận
văn Tiến sĩ của mình (thuần tuý Toán). Trường
hợp mạng vuông 2D có thể giải chính xác được
bằng giải tích (Onsager, 1944)
• Đến nay, bài toán về mô hình Ising được áp dụng
trong rất nhiều lĩnh vực: vật lý, sinh học (liên
quan đến từ) đến các vấn đề xã hội (mô hình đơn
giản 2 lựa chọn)
• Mô hình Ising là mô hình chuẩn để thử xem một
thuật toán trong khuôn khổ áp dụng của mô hình
có hiệu quả không
Sắt từ
Các domain từ sắp xếp thẳng hàng theo một hướng

Thông thường, các domain không
sắp xếp thẳng hàng theo một hướng
Tuy nhiên, các domain có
thể được ép
Tại nhiệt độ thấp thì cấu hình ổn định là cấu hình với tất cả spin
đều hướng lên hoặc hướng xuống (2 cấu hình)
Nhiệt độ Curie (nhiệt độ tại đó toàn
bộ tính sắt từ biến mất).
Với sắt là 1043 K
Điểm tới hạn: là điểm xảy ra sự
chuyển pha (loại II)
Giản đồ pha
Nhiệt độ thấp Nhiệt độ cao
Mô hình
Universality Class – là một lớp của các hệ Vật lý có
chung một tính chất động mà không phụ thuộc vào các
tính chất động lực của hệ. Ví dụ: hệ hợp kim 2 chất, hệ
2 chất lỏng trộn lẫn, hay hệ siêu chảy của Helium trong
3 chiều đều thuộc vào một lớp
Mô hình Ising chỉ sử dụng các vector UP và DOWN
nhưng lại mô tả được rất nhiều pha khác nhau của vật chất
- Hợp kim 2 chất
- Trộn 2 chất lỏng
- Chất lỏng và khí trộn lẫn
- Siêu chảy của Helium
- Hiện tượng siêu dẫn
trong kim loại
Mô hình Ising
Giải tích
Ising – 1924

Onsager – 1944
Giải số, ví dụ
pp Monte Carlo
Nhiệt độ cao
2-D
3-D
Nhiệt độ thấp
1-D