bài tập toán cực hay gstt mới nhất

Truy cp website: hoc gi ti s n tho có th s hu cun sách này.
1 | LOVEBOOK.VN







n cun t thi th kèm li gii chi tit và bình luác gi th khoa, gii
quc gia GSTT GROUP biên son do Lovebook.vn sn xut.
Thời gian thấm thoát thoi đưa, cuốn siêu phẩm (cái tên do các em học sinh tặng) đã chào đời được gần 3 tháng.
Trong 3 tháng qua, chúng tôi đã nhận được rất nhiều những phản hồi góp ý từ các em học sinh và các thầy cô khắp cả
nước:
Theo thầy Nguyễn Minh Tuấn - GV chuyên Hóa - THPT Hùng Vương - Phú Thọ [tác giả của hơn 20 đầu sách ôn thi đại
học nổi tiếng và nhiều tài liệu chỉa sẻ trên mạng): “Đây thực sự là một cuốn sách ôn thi đại học chất nhất, công phu và
tâm huyết nhất mà thầy từng biết tới. Một học sinh ôn thi đại học mà không sở hữu cuốn này thì sẽ thiệt thòi rất nhiều
so với các bạn”.
Theo em Lê Nhất Duy [THPT TP Cao Lãnh – Đồng Tháp]: “Đây là lần đầu tiên em được đọc một cuốn sách tâm huyết
như thế này. Từng lời bình của anh chị GSTT GROUP rất chất và gần gũi nữa. Kể từ khi cầm trên tay cuốn sách này,
em đã cảm thấy tự tin và yêu môn toán hơn nhiều”.
Theo cô Lê Thị Bình [Thạc sĩ Toán - Hóa] - giảng viên khoa Toán Tin ứng dụng- ĐH Kiến Trúc Hà Nội: "Một cuốn sách
đẳng cấp và thiết thực nhất tôi từng biết. Không chỉ dừng lại ở những lời giải kho khan mà cuốn sách còn cho ta những
lối tư duy, những kinh nghiệm sương máu mà họ trải qua".
Theo Nguyễn Văn Tiến [cựu học sinh Lý Thái Tổ - Bắc Ninh, tân sinh viên Y Hà Nội 29/30]: Lovebook luôn biết cách
tạo ra những ấn phẩm thật hữu ích cho các em học sinh, đặc biệt cuốn Toán. Năm vừa rồi mình chỉ tiếc là chưa có cuốn
Toán, nếu có thì chắc kết quả của mình sẽ trọn vẹn hơn. Tuy nhiên với 2 cuốn Hóa năm ngoái cũng đủ khiến mình đạt
được ước mơ vào đại học Y Hà Nội".
Cun tp 2 g i hc c chn lc và tng hp t các  thi th ng chuyên trên c c trong
c 2013  2014. Ngoài ra cun sách còn có khong gn 300 bài toán luyn thêm sau mi bài tn hình cho
các em luyn.

Không ch có th cun sách còn bao gm 9 bài phân tích và d  i hc 2014. Vi phn d 
có th nc t tro thi chính tha B Giáo Dc và có nhng d
i chính xác v d c ôn tp s trng tâm và hiu qu 
Cu cc ch vit na.
 nm bt toàn b ni dung b TUYN T THI TH ch trong tháng cui, mi các bn tham giá khóa hc
c bit ca trung tâm VEDU:
NHÀ SÁCH GIÁO DC LOVEBOOK
Web: lovebook.vn
Facebook:
Gmail:
. a ch: 101 Nguyn Ngc Ni, Thanh Xuân, Hà Ni
Tuyển tập 90 đề thi thử đại học kèm lời giải chi tiết và bình luận môn Toán tập 2- LOVEBOOK.VN
LOVEBOOK.VN | 2
Ph THI + LI GII CHI TIT VÀ BÌNH LUN
 S 01
I. PHN CHUNG CHO TT C m)
m). Cho hàm s
2x 1
y
x1



 th (C).
1. Kho sát s bin thiên và v  th (C) ca hàm s (1).
2. Mt hình ch nht MNPQ có cnh PQ nng thng : 3x  y  m M, N thuc (C) và
 ng chéo ca hình ch nht bng
52
. Lng thng MN.
m). Gi

2sinxsin2x 11cosx cotx
2
cotx 3sin2x




m). Gi
11
x xln x 1
4x 4x

   



m). Tính tích phân I =
 
 
x
5
x
2
e 3x 2 x 1
dx
e x 1 x 1
  
  

.

m). Cho khi t din ABCD có AC = AD =
32
, BC = BD = 3, khong cách t n mt phng
(ACD) bng
3
, th tích ca khi t din ABCD là
15
. Tính góc gia hai mt phng (ACD) và (BCD).
m).  m thc phân bit:
 


 


3 x 1 1 x 3 x 1 x 3 m 3 x 1          
.
II. PHm). Thí sinh ch c làm mt trong hai phn (phn A hoc phn B)
n
m). Trong mt phng vi h trc t ng thng d: x + y  m M(3; 0).
ng thng  qua M cng thng d ti A. Gi H là hình chiu vuông góc ca A lên Ox. Vi
ng thng , bit khong cách t n  bng
2
5
.
m). Trong không gian vi h trc t m A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 3) và D(1;
2; 3). Vit phng (P) cha AD sao cho tng khong cách t n (P) là ln nht.
m). Gi z
1
, z

2
lt là hai nghim c
 
2
z 1 3iz 2 2i 0    
và tha mãn
12
zz
. Tìm giá tr ca biu thc
 
 
2
2
1
1
12
A z 1 z


  
.

m). Trong mt phng vi h trc t Oxy, cho hình thang OABC (OA // BC) có din tích bng 6,
nh A(nh B thung thng d
1
: x + y nh C thung thng d
2
: 3x + y + 2 = 0. Tìm
t nh B, C.
Câu 8.b m). Trong không gian vi h trc t ng cao qua A và

ng phân giác trong góc B ca tam giác ABC l
1
x 2 y 3 z 3
d:
1 1 2
  


và
2
x 1 y 4 z 3
d:
1 2 1
  


. Lng thng BC và tính din tích ca tam giác ABC.
m). Gii h 
22
2z w zw 7
z w 2w 2
  



   



 

z,w
.
Truy cp website: hoc gi ti s n tho có th s hu cun sách này.
3 | LOVEBOOK.VN

LI GII CHI TIT VÀ BÌNH LUN
Câu 1.
1.
nh:  \ {1}.
 bin thiên:
 S bin thiên:
 
2
3
 
x1



vi m .
Hàm s nghch bin trên các khong (; 1) và (1; +).
 Gii hn, tim cn:
xx
limy limy 2
 

;
x1
limy



 
;
x1
limy


 
.
 th hàm s nhng thng x = 1 làm tim cng và nhng thng y = 2 làm tim cn ngang.
 Bng bin thiên:
 th:
 th (C) ca hàm s ct trc tung tm (0; 1), ct trc hoành
tm
1
;0
2




ng thi (C) nhm cng
tim cn là I(1; 2) là tri xng.

2.
ng: u tiên vi d kin MNPQ là hình ch nht thì ta khai
c tính ch
có ngay dng c   ng thng MN là
3x  y + m = 0, vi m  
v M và N chính là nghim cm

cng th th (C)  
  biu din c tng và tích x
M
+
x
N
; x
M
x
N
theo bin m.

Tip theo, vng thc khong cách ging thi
khong cách ging thng song song chính bng khong cách ca mm bng thng này
ng thng kia. Trên  thì ta luôn lc mm K có t nh  dùng khong cách s c
khong cách t n MN   dài cnh PN = d(K, MN) (theo mt n m).
Vy d kin cui cùng là d king chéo. Vì ta có tng và tích x
M
+ x
N
, x
M
x
N
theo bin m nên vi dài
u d nh lí Pytago ta s có ngay: MN
2
+ NP
2
= PM

2
=


2
52
, t i
n m duy nht  tìm m  MN.
ng khá rõ ràng trên ta có li gii:
Bài gii:
Do MNPQ là hình ch nht nên MN // PQ  ng thng MN có dng 3x  y + m = 0  y = 3x + m.
x
O
1

2

y
I
M
N
P
Q
5


K

x


+
1


y 

+
2
2
y
Tuyển tập 90 đề thi thử đại học kèm lời giải chi tiết và bình luận môn Toán tập 2- LOVEBOOK.VN
LOVEBOOK.VN | 4
 m cng thng MN và (C) là:
  
2x 1
3x m 2x 1 x 1 3x m
x1

      

(d thy x = 1 không tha mãn)
 
2
3x m 5x m 1 0     
(*).
(*) có bit thc  =
   
2
2
m 5 4.3 m 1 m 2m 37 0       

vi m (*) luôn có hai nghim phân bit
x
1
, x
2
nh lí Viét:
12
12
5m
xx
3
m1
xx
3












Không mt tính tng quát, gi s M(x
1
; 3x
1

+ m) và N(x
2
; 3x
2
+ m) thì
MN
2
= 10(x
1
 x
2
)
2
= 10
 
2
1 2 1 2
x x 4xx




= 10
2
5 m m 1
4.
33


  







=
 
2
10
m 2m 37
9

.
K(0;   d(K, MN) =
 
 
2
2
3.0 11 m
31
  

=
m 11
10

 NP
2
= d

2
(K, MN) =
 
2
m 11
10

.
Áp dnh lí Pytac: MN
2
+ NP
2
= PM
2

 
 
 
2
2
2
m1
m 11
10
m 2m 37 5 2
289
9 10
m
109





     






i chiu kin m  c hai giá tr cn tìm ca m là m = 1 và m =
289
109

.
Câu 2.
ng: y rc tp quá, ch cha hàm sin,
cos và cot  du nhân t thì thy cotx =
cosx
sinx
; sin2x = 2sinxcosx thì thy
ngay c t và mu xut hin nhân t là cosx.
Tip tn cosx  t và mc:
1
2sinx.2sinx 11
sinx
2
1
3.2sinx
sinx





 bn cht cc cht n t = sinx.
Bài gii:
u kin:
0
0
x
x
x
2
0
1
x
x
1
x 6 x 0
x 3 0
6
x
x0






  

















sin
cos sin
cot
sin
cos
sin
sin
sin
sin
(*).
i:

cosx 1
2sinx.2sinxcosx 11cosx 2sinx.2sinx 11

sinx sinx
22
cosx 1
3.2sinxcosx 3.2sinx
sinx sinx
   
  

(do cosx  0).
2 3 2
11
4sin x 11 2 6sinx 4sin x 12sin x 11sinx 3 0
sinx sinx

         



Truy cp website: hoc gi ti s n tho có th s hu cun sách này.
5 | LOVEBOOK.VN
   
2sinx 1 2sinx 3 sinx 1 0    
π
x k2π
π
x k2π
6
5π
2
1

x
2
x
x k2π
1
6



















sin
sin

Th li (*) nghim là x =
π

6

5π
6

Câu 3.
ng: u kin x > 0 là không th thiu.
Nhn tha hàm hu t và c hàm logarit (hai hàm khác tính chn
  u.
u tiên giúp ta phát tring gii cho bài toán: Chúng ta nên dùng hàm s theo kiu
hay là nên dùng hàm s theo kiu hàm g(f(x)) = g(h(x)), vu?
 Nu tring th nh vio hàm tránh phc tp, chúng ta s nên chia hai v cho x. Bi vì ta
lo hàm ca
1
x.ln x
4x








thì s phc ti vic lo hàm ca ln
1
x
4x





.
y chia hai v c:
22
1 1 1 1 1 1
1 ln x 1 ln x 0
4x x x 4x
4x 4x
   
         
   
   
(*).
Th lo hàm ca v c:
 
 
 
32
3
2
32
2
1
1
11
4x
1
2x 1 4x
2x x

6x 1
2x 1 4
x
4x
x



  
  


.
Vy viu cc không âm vi
 ng vi nn nhé o hàm có nghim (và ch có mt nghi
v c bng bin thiên ca hàm s, và bi có nghip cho chúng ta nhn xét!
Tht vy, th lp bng bin thiên thì thy ngay VT(*)  0. Dng thc xy ra khi x =
1
2
(chính là nghim ca
o hàm luôn!).
 Nu tring dùng hàm s. Cách này s c các bio
hàm dùng!
ng:
A(x)
A(x) ln B(x)
B(x)

(vi m
thành:

A(x) ln A(x) B(x) lnB(x)
   
  
   
ng bin là f(t) = t + lnt, là hàm ng
bin trên (0; +).
Vy khi gy trong logarit có th c thành nhân tng thi mu
 c du tiên mình phi chia hai v 
2
2 2 2 2
1
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
4x
1 ln x 0 1 ln 1 ln 1 ln
x 4x 1 x x x
4x 4x 4x 4x
x



         

              
         
         
.
ng hàm s t hin  và vic còn li ca!
Bài gii:
Cách 1.

u kii:
Tuyển tập 90 đề thi thử đại học kèm lời giải chi tiết và bình luận môn Toán tập 2- LOVEBOOK.VN
LOVEBOOK.VN | 6

2 2 2
1 1 1 1 1 1
1 ln x 1 ln x 1
4x x x
4x 4x 4x

     
        

     
     


2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1
1 ln 1 lnx 1 ln 1 ln
x x x
4x 4x 4x 4x
         
           
         
         
(*).
Xét hàm s f(t) = t + l
1
  

t
  
vi mi t > 0  ng bi
Mt khác (*) có dng
2
11
f 1 f
x
4x
   

   
   
(vi
2
1
10
4x

và
1
0
x

) 
2
2
1 1 1 1
1 1 0 x
x 2x 2

4x

      


.
Vy nghim cng trình là x =
1
2
.
Cách 2.
u kin x > 0. Chia hai v cc:
22
1 1 1 1 1 1
1 ln x 1 ln x 0
4x x x 4x
4x 4x
   
         
   
   
.
Xét hàm s f(x) =
2
1 1 1
1 ln x
x 4x
4x

   



trên (0; +).
Ta có:
 
 
 
2
3
32
32
2
1
1
11
4x
1
2x 1 4x
2x
6x 1

x
x
4x
2x 1 4x



  


  


;
1
  
2
  
(do x > 0).
Lp bng bin thiên cho ta f(x)  0 vi mi x > 0. Ta có f(x) = 0  x =
1
2
.
Vy nghim c
1
2
.
Bài tp cng c:
Gi
xx
1969
2014 xln 1969
2014

: x = 0).
Câu 4.
ng: Nhn thy tích phân có cha c hàm vô t, hu t và c 
ng phn, hoc tác dng I =
bb
aa


f(x)
g(x)


 làm d i bài toán
thì cách dùng tích phân tng phn gu. Vng th hai là tách I thành dng
u gi ý cho chúng ta thc hi hai n s có phn ging vi mu s
(phi nói là rt ging), nên vic rút gn bt 
 
 
 
 
xx
xx
e 3x 2 x 1 e 2x 1
1
e x 1 x 1 e x 1 x 1
   

     
.
y s 1 tách ra thì d dàng lng
 
 
x
x
e 2x 1
e x 1 x 1


  
thì vng

g(x)
. Vy
phi làm sao? Không l li b cuc gia ch gp dng này thì mun xut hin dng

g(x)
thì
nhiu lúc ta phi cùng chia c t c mu cho mng,
Truy cp website: hoc gi ti s n tho có th s hu cun sách này.
7 | LOVEBOOK.VN
hoc là nhân t  mu s hoc t s), hoc có lúc là nhân c t và mu vi mt  xut hic
d xem nhé!
Vc di này thì ta s ng:
ng 1: Chia hai v cho e
x
c:
 
x
2x 1
x1
x1
e



 y xut hin dng

g(x)

.
ng 2: Chia hai v cho
x1
c:
 
x
x
e 2x 1
x1
e x 1 1



. Th lo hàm mu


 
x
x
e 2x 1
e x 1
x1




(chính
bng t s), thành công!
Bài gii:
Ta có:

 
 
x
55
x
22
e 2x 1
I dx dx
e x 1 x 1


  

.
+)
5
5
1
2
2
I dx x 5 2 3    

.
+)
 




x

x
55
5
5
x
2
2
xx
2
22
e 2x 1
e x 1 1
2e 1
2 x 1
I 2 dx 2 dx 2lne x 1 1 2ln
e1
e x 1 1 e x 1 1
'




     

   

.
Vy
5
12

2
2e 1
I I I 3 ln
e1

   

.
Câu 5.
ng: T di dài 4 cnh, và lc bim C,
D (AC = AD, BC = BD)  A, B nm trên mt phng trung trc ca cnh CD. Và mt phng trung trc này chính là
mt phm M ca CD  góc gia hai mt phng (ACD) và (BCD) chính bng
AMB
hoc
bng


0
180 AMB
 ln góc
AMB
là nh 
0
hay l
0
).
ng thi bài ra còn cho thêm khong cách gia mn mt phi din và cho thêm c th tích khi t
din  d c din tích mACD   dài CD (do  dài 2 cnh) 
nh các thông s v 3 cnh  tính ng cao BCD).
Ngoài ra nhn thy có khong cách t n (ACD) nên sin

 
(ACD)(BCD),
=
 
dB(ACD)
BM
,
 t c góc
gia hai mt phng
 
(ACD)(BCD),
.
Bài gii:
Theo bài ra: d(B, (ACD)) =
3
; V
ABCD
=
15

Ta có: S
ACD
=
 
ABCD
3V
dB(ACD),
=
3 15
3

= 3
5

Mt khác: S
ACD
=
1
2
AC.AD.sin
CAD


H
A
B
C
D
M
Tuyển tập 90 đề thi thử đại học kèm lời giải chi tiết và bình luận môn Toán tập 2- LOVEBOOK.VN
LOVEBOOK.VN | 8
 sin
CAD
=
DAC
2S
AC.AD

=
2.3 5
3 2.3 2

=
5
3
.
 cos
CAD
= ±
2
1 sin CAD
= ±
2
3
.
Gm ca CD thì do ACD cân ti A và BCD cân
ti B nên BM  CD và AM  CD  (ABM)  (ACD). Gi H là
hình chiu ca B lên (ACD) thì ta có H thung thng AM,
ng th dài BH = d(B, (ACD)) =
3
. Ta có góc gia mt
phng (BCD) và (ACD) chính bng
BMH
< 90
0
.
+) ng hp 1:

cos
CAD
=
2

3
 CD =
22
AC AD 2AC.ADcosCAD
= 2
3

 BM =
2
2
22
CD 2 3
BC 3 6
22


   





.
 sin
BMH
=
BH
BM
=
3

6

BMH
= 45
0
.
+) ng hp 2:
cos
CAD
=
2
3

 c CD =
2 15
> BC + BD, không tha mãn bng thc tam giác  loi.
Vy góc gia hai mt phng (BCD) và (ACD) là 45
0
.
 Có th xng hp v v   a thì góc gia hai
mt phng (BCD) và (ACD) vn bng 45
0
.
Câu 6:
ng: ng v nhng bài tì m là không xa l gì na  ng ca chúng
ta là cô l c d kt lun các giá tr ca m thu ki
bài.
Vi bài này, mun cô lp m mt cách nhanh chóng thì ta chia hai v cho



3 x 1
. Th c khi chia thì
ta phng h m bo


3 x 1
 0). Khi ta th x = 2 vào v trái thì thy rng v 
bng 0  chc chn v trái có th c nhân t (x  2)  nhân t (x  2) có th c cho


3 x 1
(vì c u có nghim bng x = 2). Tht vy:
x  2 = 
 




3 x 1 3 x 1 3 x 1

       

.
Vy nên ta chn cách thun li gi trái cha nhân t


3 x 1
 bài gic
ngn g
VT =



 


 
3 x 3 x 1 1 x x 2 3 x 3 x 1 1 x 1 3 x

             







3 x 1 3 x 1 x 1 3 x

       


.
y chuyn v ta s c hai nhân t là


3 x 1
và
  



3 x 1 x 1 x 3 x m 3       
.
H
A
B
C
D
M
Truy cp website: hoc gi ti s n tho có th s hu cun sách này.
9 | LOVEBOOK.VN
Cái khó còn l lí nhân t th hai:
     
3 x 1 x 1 x 3 x m 3 0 m 1 x 3 x 1 x 3 x 3                 
(1).
X  ng thì ta s t
  
2
t 1 x 3 x t 4 2 1 x 3 x        

 (1) gc x lí. Th i các bn thc vic gii thì s chn cách
kho sát v phi ca (1) luô không mt thi gian bin lun theo n t na.
Bài gii:
u kin
x1 3 
.
i:



   



3 x 3 x 1 1 x 1 3 x 3 m 3 x 1

          






 


3 x 1 3 x 1 x 1 3 x 3 m 3 x 1

           





  
3 x 1 3 x 1 x 1 x 3 x m 3 0

           



  

x2
m 1 x 3 x 1 x 3 x 3




       


(*)

 m phân bit khi và ch khi (*) có hai nghim phân bit khác 2.
Xét hàm s
    
f x 1 x 3 x 1 x 3 x 3       
trên
1;3



.
Vi mi
 
x 1;3
:
  
1 1 2x 2
 
2 1 x 2 3 x
2 1 x 3 x


   


.
 
             






1 x 3 x 1 x 3 x 1 x 3 x          


27
1 x 3 x 1 x
2

      
.
Bng bin thiên:
7

Da vào bng bin thiên, kt hp vu kin x  2 (và
f(2) 2 2 3
) ta có th kt luc các giá tr ca m
cn tìm là
11

5;
2
m




 
2 2 3
.
Câu 7.a.
ng:  m M nên có th ving thng   dng tng quát:
a(x  x
M
) + b(y  y
M
) = 0.


3
1
+
 





f(x)




5
1
x
+
0
Tuyển tập 90 đề thi thử đại học kèm lời giải chi tiết và bình luận môn Toán tập 2- LOVEBOOK.VN
LOVEBOOK.VN | 10
 dùng sn hai n a, b. Tip tc tìm t m A theo hai n a, b   c t m
c cui cùng là dùng d kin kho tìm t s
a
b
 .
Bài gii:
+)  
a(x  3) + b(y  0) = 0  : ax + by  u kin a
2
+ b
2

+) T A là nghim ca h:
   
3a 2b
x
y 2 x y 2 x
x y 2 0
ab
ax b2 x 3a 0 a bx 3a 2b
ax by 3a 0 3a 2b

y2
ab




   

  

  

  
   
      
   








u kin a  b).
+) Hình chiu H ca A lên Ox s có t là H(x
A
; 0)  H
3a 2b
0

ab





;
.
+) d(H, ) =
   
 
2
2
2 2 2 2 2 2
22
3a 2b
a. b.0 3a
ab
2 ab 4
a b 5ab 4a b a b
a b 5
5
ab




       







  
 
22
22
a 2b
a 2b 2a b 2a ab 2b 0 b 2a
2a ab 2b 0



       


  


 Nu a = 2b  chn b = 1  a = 2 (tha mãn)  : 2x + y  6 = 0.
 Nu b = 2a  chn a = 1  b = 2 (tha mãn)  : x + 2y  3 = 0.
Vi a  b thì
 
 
2
2 2 2 2
13
2a ab 2b a b a b 0
22

      
.
Vng thng  tha mãn là 
1
: 2x + y  6 = 0 và 
2
: x + 2y  3 = 0.
Câu 8.a.
ng: Mt phm c t t nên có th t
phng mt cách gián tip, bng cách gt phng (P)  dng tng quát (s ch có hai n). Vic x
lí tng khong cách ci ta s dùng bng thnhiacpxki (áp dng vi
các bn khá, gii), hoc các bn không quen dùng các bng thc thì có th dùng xét hàm s.
Bài gii:
+) Gi s u kin
2 2 2
a b c 0  
).
  2a + d = 0  d = 2a.
 m D(1;  a  2b + 3c + d = 0  c =
2b a d
3

=
2b a
3

.
 (P): ax + by +
a 2b
3


z  2a = 0.
ng x ng x t phng mt cách gián tip).
+) Tng khong cách t n mt phng (P) là:
h = d(B, (P)) + d(C, (P)) =
2 2 2
2 2 2 2 2 2
a 2b
3. 2a
4b 2a 32b a
3
a 2b a 2b a 2b
a b a b a b
2 2 2




     
  
     
     
     
.
Áp dng bng thc Bunhiacpc:
Truy cp website: hoc gi ti s n tho có th s hu cun sách này.
11 | LOVEBOOK.VN
h =
 
2

2
2 2 2 2
2
9.2b a 9. a 2b 9a 2b
6
3
a 2b
a 2b
2a 2b
2
2
a 2b
2 2 1 .a b
2



  



  






    









.
ng thc xy ra 
a 2b
ab
2
ab
2 2 1

    

 chn a = 3  b = 3  (P): 3x  3y  z  6 = 0.
Nhn xét: Mu cht cng th nào cho h 
ch n vic dùng bng thc cho mu s cho hp lí.
t ch  cp  .
Ta dùng bng thc:
 
 
2
2 2 2 2 2
a2 a1
xa yb
b
x y 1 a b b x a y 1b

2 22




   





       



là các hng s  s dng bng thc cho hp lí.
ng thc xy ra 
a 2b
a b a 2b
2
x 2y 2
x y 1 x 2y


     

(1).
Mun
 
1

x a y 1b
2

  


rút gc cho t s thì ta phi có
 
1
y 1 2x
2

   


(2).
Gii h (1), (2) c x = c áp bng thc Bunhiacpu d dàng .
 Vi bài toán này thì cách s di s là tt. Vic s dc s rt phc tp
trong vic bin lun, dn ng nhn kt qu  bài làm sai.
Câu 9.a.
n, ch yêu cu bn nc cách gic 2 trong tp s phc
i khuyên cho các bc nghim ci thì chng di gì li trình bày
c giy thi c! Hãy dùng cách phân tích nhân t  trong
bài làm, ta ch cn dùng các d không cn vit câu ch gì nhiu nhé .
Bài gii:
i:
      
2
z 2i
z 2i 1 i z 2i 1 i 0 z 2i z i 1 0

z i 1


   
           

   


.

Do
12
zz
nên ta có z
1
= 2i và z
2
= i + 1.
Ta có:
 
 
2 2 2
2
2
1
1
2
1 1 i 1 3
A 2i 1 i 1 i 1

2i i 2 2 2



           


.
Câu 7.b.
ng: Do t cng thnh  dng ca
 ng thng BC (ch cha mt n cn tìm là m). Vy hoàn toàn có th c t m B
và C theo mt n m, da vào h m cng thng BC vng thng d
1
c B); h
m cng thng BC vng thng d
2
c C).
Cui cùng ta khai thác d kin din tích: S =
   
1
OA BC dOBC
2
 .,
 t n duy nht
là m  tìm m  t B, C.
Bài gii:
Tuyển tập 90 đề thi thử đại học kèm lời giải chi tiết và bình luận môn Toán tập 2- LOVEBOOK.VN
LOVEBOOK.VN | 12

x 0 y 0

2x y 0.
1 0 2 0

   
  

OA // BC  ng thng BC có dng: 2x + y + m = 0 (vi m  0).
+) T B là nghim ca h:
x y 1 0 x 1 m
2x y m 0 y m 2
    



    

 B(1  m; m  2).
+) T C là nghim ca h:
3x y 2 0 x m 2
2x y m 0 y 4 3m
    



    

 C(m  2; 4  3m).
+) Din tích hình thang OABC là: S =
1
2

(OA + BC).d(O, BC)

2 2 2 2
22
m
1
( 1) 2 (2m 3) (4m 6) . 6
2
21

      



 
2m 3 1 m 12   
(*).
 gi là phá du giá tr tuyi!
 Nu m < 0 thì (*) thành: (3  2m + 1).(m) = 12  m
2
 2m  6 = 0  m = 1 ±
7
.
Kiu kin ta ch ly nghim m = 1 
7

 
B 7 1 7;
và
 

C 1 71 3 7  ;
.
 Nu 0 < m <
3
2
thì (*) thành: (3  2m + 1).m = 12  m
2
 2m + 6 = 0, vô nghim.
 Nu m 
3
2
thì (*) thành: (2m  3 + 1).m = 12  m
2
 m  6 = 0  m = 3 hoc m = 2.
Kiu kin ta ch ly nghim m = 3  B(2; 1) và C(1; 5).
Vy có hai cm B, C th 
Câu 8.b.
Ta x lí bài toán này gi lí mt bài toán hình hc phng, v i khi gp
ng cao (tn dng yu t ng phân giác (tn di xng).
Bài gii:
+) d
1
, d
2
 t là
1
u
= (1; 1; 2) và
2
u

= (1; 2; 1).

2
:
x 1 t
y 4 2t
z 3 t








 B(1 + t; 4  2t; 3 + t) 
CB
= (t  2; 2  2t; t).
d
1
ng cao k t A nên
1
u.CB 0
 (t  2) + (2  2t) + (2).t = 0  t = 0  B(1; 4; 3).

3
1
u BC
2


= (1;  
 ng thng BC là
x 3 t
y 2 t
z3









+) Gm ca CH thuc d
2
ng thi
2
CH u
nên t H là nghim ca h:
     
a 3 b 2 c 3
a1
1 4 3
2 2 2
b2
1 2 1
c5
1 a 3 2 b 2 1 c 3 0
  




  









     


. . .
 H(1; 2; 5).
+) Thy r
2
  A(1; 2; 5) và ABC vuông ti A.
Truy cp website: hoc gi ti s n tho có th s hu cun sách này.
13 | LOVEBOOK.VN
Din tích tam giác ABC là: S =
1
2
AB.AC =
1
.2 2.2 2
2


Nhn xét: Bài toán này s t ti hc nc không thung thng d
2
. Bi nu vy
m H, ta s phi tìm t A  dùng công thc di
tính din tích tam giác thì bài làm tr nên quá dài, không phù hp vi mi hc (nht là  m
 không gian). Vy nên trong quá trình làm bài, các bn s c bit c bài, ch ng
di gì mà c   dng lâu nay trong khi gii toán.
Nu gp m th c t H, nu th
2
thì khi dùng công thc tính din tích,
ta dùng S =
1
2
ng nên
dùng
công thc S =
1
2
ng hy s
phc t ch dùng công thc tính khong cách t mn mng thc!
Câu 9.b.
 nht ca h 
 
w7
z2 w w 7 z
2w

    


(d thy w = 2 không tha mãn).
Th  hai ca h c:

  
2
2 4 3 2 2 2
w7
w 2w 2 w 6w 15w 2w 57 0 w 7w 19 w w+3 0
2w


              




2
2
22
7 3i 3 5 3i 3
wz
22
7 27
7 3i 3 7 3i 3 5 3i 3
w
w w z
w 7w 19 0
24
2 2 2 2
w w 3 0

1 11 1 i 11 3 i 11
1 11
w w z
w
2 2 2 2
24
1 i 11 3 i 11
wz
22

  
  






  


     




  





   




  
  





     










  
  



Vy h m:

(z; w) =
5 3i 3 7 3i 3 5 3i 3 7 3i 3 3 i 11 1 i 11 3 i 11 1 i 11
2 2 2 2 2 2 2 2
       
           
       
       
       
; , ; , ; , ;
.
Nhn xét: Vic bic 4 có nghim thc thì không   nhm
nghi chung. Th c 4 nghim phc (và không có nghim thc) thì
vi nhm nghim r là không th. Vy nên ta pht gi
trình b phân tích nhân t chung mt cách nhanh chóng:
 
2
4 3 2 2 2
w 6w 15w 2w 57 0 w 3w 6w 2w 57          
.
Bây gi ta thêm vào hai v mng là
 
22
2m.w 3w m




 v c m
 
   

 
2
2 2 2
w 3w+m 2m 6w 21 3mw m 57      
(*).
Mun v phi là mc có th ng âm cA
2
) thì:

   
 
2
2
77 3 33
1 3m 2m 6 m 57 0 m 11 m
4

        
.
m mn m = 11. Thay m = 11 vào (*):
 
 
  
2
2
2 2 2 2
w 3w+11 16w 64w 64 4w 8 w 7w 19 w w+3 0          
.
Tuyển tập 90 đề thi thử đại học kèm lời giải chi tiết và bình luận môn Toán tập 2- LOVEBOOK.VN
LOVEBOOK.VN | 14

c này ta ch cn làm ngoài nháp rhé .

Truy cp website: hoc gi ti s n tho có th s hu cun sách này.
15 | LOVEBOOK.VN
 S 2
I. PHN CHUNG CHO TT C m)
m). Cho hàm s y =
x3
x2


 th (C).
1. Kho sát s bin thiên và v  th (C) ca hàm s.
2. Tìm các giá tr thc c ng thng (d): y = x + m ct (C) tm phân bit A, B nm  hai phía
trc tung sao cho góc
AOB
nhn (O là gc t).
m). Gi cosx  (1  
m). Gii b
 
 
2
2
3
x4x 9x 6
x4x 3x 1 1
1
2

  




m). Tính tích phân I =
   
π
2
π
3
sin2x cosx 1 2xcosx 1lnx
dx
sinx xlnx
   


.
   m).           i C, cnh AB = 2a và
góc
ABC
= 30
0
. Mt pho vi mt góc 60
0
. Tính th tích ca kh 
và tính khong cách ging th
m). Cho các s thc a, b, c thun [0; 1]. Chng minh rng:
   
a b c
1 a 1 b 1 c
b c 1

1
c a 1 a b 1
     
    


.
II. PHN RIÊNG m). Thí sinh ch c làm mt trong hai phn (phn A hoc phn B)
n
m). Trong mt phng vi h trc t Oxy, cho hình ch nhnh A nng
thng : x  g trình: 5x  y  nh t nh hình ch nh
cho, bit rm c là mt s nguyên.
m). Trong không gian vi h trc t Oxyz, cho mt cu (S):
2 2 2
x y z 2x 4y 4z 16     
và
ng thng :
x y z 5
1 1 4



. Ving thng  và ct mt cu (S) theo mng tròn
có bán kính bng 4.
m). Anh Thùy và ch Hic hp d
 c gng ca mình, ch Hic: nu ai thc 3 ván thì thng trn và
i thua phi thng 3K. Bit rng s trt mà ch Hin thng mi
trn là 0,4 và không có trng thi thc dng li. Tính xác
sut mà ch Hin s lc 3K t v thc này?


m). Trong mt phng vi h trc t Oxy, cho hình vuông ABCD. Gi M là trunm ca cnh
n CD sao cho CN = 2DN. Bing th y  m M có
t M
11
2
2



;
. Tìm t m A.
Câu 8.b m). Trong không gian vi h trc t Oxyz, cho bm A(1; 2; 3), B(2; 3; 1), C(0; 1; 1) và
D(4; 3; 5). Lt phng (P) bing thu (P).
m). a s phc z, bit rng
3
z 12i z
và z có phn th
 HT 
Tuyển tập 90 đề thi thử đại học kèm lời giải chi tiết và bình luận môn Toán tập 2- LOVEBOOK.VN
LOVEBOOK.VN | 16
LI GII CHI TIT VÀ BÌNH LUN
Câu 1.
1.
nh:  \ {2}.
 bin thiên:
 Chiu bin thiên:
 
2
5
 

x2



vi m.
Hàm s nghch bin trên các khong (; 2) và (2; +).
 Gii hn và tim cn:
xx
limy limy 1
 

;
x2
limy

 

;
x2
limy


= .
 th hàm s nhng thng y = 1 làm tim cn ngang và nhng thng x = 2 làm tim cng.
 Bng bin thiên:

 th:
 th (C) ca hàm s ct trc tung ti
3
0

2




;
, ct trc
hoành tm (ng thi (C) nhm ca
ng tim ci xng.
2.
ng: Chc chn là trong quá trình x lí bài toán thì ph m ca
(C) vi (d). Th m có dng bc 2 nên vi
Gi hai nghim c
1
, x
2
thì theo bài ra, x
1
và x
2
phi trái du  ac < 0.
Tip tc x lí góc
AOB
nh ý rng
AOB
chính là góc hp b
OA
và
OB
ng thi thy rng trong

quá trình gi dnh lí Viét, vy nên ta ct liên h i x áp dng c
nh lí Viét. Rõ ràng,
AOB
nhn  cos
AOB
> 0 (1). Thêm mt chút gia v vào hai v: nhân c hai v vi OA.OB
thì (1) 
OA.OB
t liên h i xng vi A, B giúp ta s dnh lí Viét!
Bài gii:
 m ca (C) và (d):
  
x3
x m x 2 x m x 3
x2

        

(d thy x = 2 không là nghim)
 
2
x m 1x 2m 3 0     
(*).
+) d ct (C) tm phân bit A, B nm  hai phía trc tung
 (*) có hai nghim phân bit x
1
, x
2
tha mãn x
1

x
2
< 0
 P = 2m + 3 < 0  m <
3
2

(**).
nh lí Viét ta có:
12
12
x x m 1
xx 2m 3
  





+) Không mt tính tng quát, gi s A(x
1
; x
1
+ m) và B(x
2
; x
2
+ m).
x
O

1

2

y
I
3



x

+
2


y 

+
1
1
y
Truy cp website: hoc gi ti s n tho có th s hu cun sách này.
17 | LOVEBOOK.VN
AOB
nhn  cos
AOB
> 0 
    
2

1 2 1 2 1 2 1 2
OA.OB 0 xx x m x m 0 2xx mx x m 0            

   
2
22m 3 mm 1 m 0 3m 6 0 m 2           
.
Kt hp vi (**) ta kt luc các giá tr m c
3
2
2





;
.
Cn nh:
AOB
nhn 
OA.OB 0
.
Câu 2.
Nhn xét:  dng khá thun, ta bii tanx =
sinx
cosx
c ngay d
trình quen thuc vng gii là phân tích nhân t chung:
cosx(cos2x + sin2x  cosx)  (1  sinx)sinx = 0 (*).

 th nghim thì thy rng (*) có các nghim là 0;
π
4

;
3π
4

;
π
2
ng ta
mi th nghim, ch không th nghing. Bi vì nu th nghing thì có th
làm mt s nghim c   nhân t c

 ý nht là cp nghing hi nhau ho
π
2
c), ta
nhn xét:
π
4

là nghim c
1
cosx 0
2





; còn
3π
4

là nghim c
1
cosx 0
2




. D ng
1
cosx
2




và
1
cosx
2




u là nhân t c nhân t chung

c là
2
1 1 1 cos2x
cosx cosx cos x
22
22
  
    
  
  
.
Vng tách nhân t chung cos2x = cos
2
x  sin
2
x.
(*)  cos2x.cosx + 2sinx.cos
2
x  cosx
2
 sinx + sin
2
x = 0
 cos2x.cosx + sinx(2cos
2
x  1)  (cosx
2
 sin
2
x) = 0.

 t hin ri! Vic d  ca chúng ta thành công m mãn 
Bài gii:
u kin: x 
π
2
(1).
i:
cos2x + 2sinxcosx  cosx  (1  sinx).
sinx
cosx
= 0
 cosx.cos2x + 2sinx.cos
2
x  cos
2
x  (1  sinx)sinx = 0
 cos2x.cosx + sinx(2cos
2
x  1)  (cos
2
x  sin
2
x) = 0
 cos2x.cosx + sinx.cos2x  cos2x = 0
 cos2x.(cosx + sinx  1) = 0 
π
π kπ
2x kπ
x
2x 0

2
42
π1
x x 1 π
x
x k2π x k2π
4
2
2


















   







cos
cos sin
cos

Kim tra lu kin (1), ta kt lu nghim là x =
π
4
+
kπ
2

Tuyển tập 90 đề thi thử đại học kèm lời giải chi tiết và bình luận môn Toán tập 2- LOVEBOOK.VN
LOVEBOOK.VN | 18
Câu 3.
ng: Cu tiên khi gp phi b. ng th,
u kinh c.
 u kinh c 0.
c tic biu phi tha nhn là b
ngay tronc ri (mung hp là x > 0 và x < 0), trong
c x nh vào b
gii bu kin phc tt vng vi
bng xét d kt lun nghim ca b
Bi:
   
 
22

3
2
3
x4x 9x 6 x4x 3x 2 1 1
x4x 3 1
0
x 2 1
      
  


.
m ca t s và mu s ca g(x) =
   
 
22
3
2
3
x4x 9x 6 x4x 3x 2 1 1
x4x 3x 2 1 1
      
   
và lp bng xét du
ca g(x).
 Nghim ca mu su kinh.
 Nghim ca t s là nghim c
   
22
3

x4x 9x 6 x4x 3x 2 1 1      
.
u ngo c d 
3
3 2 3 2
4x 9x 6x 1 4x 3x 2x 1      
(*).
 trái là mc bc ba. V phi là mc bc 3. Vy gii theo cách thông
ng là l s chc kt qu tt n ph g không kh quan, bi nt
thì ch c
3
32
t 4x 3x 2x 1   
mà không biu ding còn li theo bin.
c b ti hình thc ct v bc 3, mt v
cha c này.
Ta s nhm tính dùng hàm s bc ba, bng cách thêm vào hai v mng la v phi (*).
ng ép, bi khi cng thêm vào hai v mng là
 
32
4x 3x 2x 1  
thì bên
v phi xut hin s ha cao nht là 8x
3
= (2x)
3
, là la m
(*) 
3
3 2 3 2 3 2

8x 12x 8x 2 4x 3x 2x 1 4x 3x 2x 1          
.
Vy hàm s 
3
ng bin)  cn bin i v trái thành dng (ax
+ b)
3
  s bnh:
   
   
3
3 2 3 3 2 2 2 3
8x 12x 8x 2 ax b ax b ax 3abx 3ab ax b b            
3
2
2
3
a8
3ab 12 a 2
b1
3ab a 8
b b 2

















Vic còn li ca là trình bày ra giy na thôi nhé .
Bài gii:
u kin:
   
22
3
x4x 3x 2 1 1 x4x 3x 2 0 x 0.    

Truy cp website: hoc gi ti s n tho có th s hu cun sách này.
19 | LOVEBOOK.VN
Bt i:
   
 
22
3
2
3
x4x 9x 6 x4x 3x 2 1 1
x4x 3 1
0
x 2 1
      

  


(**).
Ta xét du ca v phi bng cách tìm nghim ca t s và mu s:
 Nghim ca mu s: x = 0.
 Nghim ca t s là nghim c

   
22
3
x4x 9x 6 x4x 3x 2 1 1      

3
3 2 3 2
4x 9x 6x 1 4x 3x 2x 1       

3
3 2 3 2 3 2
8x 12x 8x 2 4x 3x 2x 1 4x 3x 2x 1           

   
 
3
3
3 2 3 2
2x 1 2x 1 4x 3x 2x 1 4x 3x 2x 1           
(1).
Xét hàm s f(t) = t
3



= 3t
2
+ 1 > 0 vi m ng bi
Mt khác (1) có dng
 
33
3 2 3 2
f 2x 1 f 4x 3x 2x 1 2x 1 4x 3x 2x 1

          




 
3
3 2 3 2
9 17
2x 1 4x 3x 2x 1 4x 9x 4x 0 x 0 x
8

             
.
Lp bng xét du ca v phi (**):

Da vào bng xét du, ta kt luc tp nghim ca b
S =
 

9 17 9 17
00
88
   
   
    




   
; ; ;
.
Bài tp cng c:
1. Gi
 
3
22
2x x 1 2x 9x 1 11x 1     
 x = 0 và x = 2).
2. Gig trình
 
3
2 3 2
5x4x 5x 3 5. 7x 2x 9x 6     
 x = 1 và x =
8 17
8

).

3. Gii b
2
3
23 2
2x. 6x33x 35 5x 2x 4x 3    

5 97
x
12
71
9



).
Câu 4.
ng: Li mt tích phân bnh na cha tng hp nhiu loi hàm (hàm hu tng
giác). Vi cc bit và mu s cha hn hp nhiu hàm, nên vic dùng tích phân tng ph
không có tác dng gì. Tu tiên ca chúng ta v dng:
bb
aa

I f(x)
g(x)


 nhn ra khi mà t s có nhiu s hng vi mu s, vy nên ta s tách  t s thành
d ta s tách nhng du ngoc  t s  hng có cha xlnx và nhóm li vi
s hng thích hp, c th là:
x


 




 





0
0
0
T s VP(**)
Mu s VP(**)
VP(**)
+

+

+

0
0
+
+
+


Tuyển tập 90 đề thi thử đại học kèm lời giải chi tiết và bình luận môn Toán tập 2- LOVEBOOK.VN
LOVEBOOK.VN | 20
T s =
sin2x cosx 1 2cosx.xlnx lnx   
 s hng cha xlnx là 2cosx.xlnx   c dng f(x).g(x)
(vi g(x) là mu s) thì phi nhóm (sin2x + 2cosx.xlnx) = 2cosx.(sinx + xlnx).
ng còn li là (cosx + 1 + lnx) chính bo hàm ca mu s.
Bài gii:
Ta có:
   
π
2
π
3
sin2x 2cosx.xlnx cosx 1 lnx
dx
sinx x
I
lnx
   





   
π
3
2
π

2sinxcosx 2cosx.xlnx sinx xlnx
dx
sinx xlnx
  





 
   
ππ
ππ
ππ
33
33
ππ
22
22
sinx xlnx
dx 2sinx lnsinx xlnx
sinx xl
os
n
2c x
x


    








π π 3 π π
2 3 ln 1 ln ln ln
2 2 2 3 3




     








Vy I =
π π 3 π π
2 3 ln 1 ln ln ln
2 2 2 3 3


    






.
Thông tin thêm : Dc xut hi i hc Khi A  
Khi A    thi d b i hc Khi A  
Câu 5.
ng:
+) Tính th tích:
u tiên ph ng thì có cnh bên
vuông góc vi m  (ABC).
 c góc gia hai mt ph
(có giao tuyn là AB) thì ta cn dng mt mt phng vuông
góc vi giao tuy nh góc. Thy rn
li khi có mt cây c AB, vy nên không ngi thì
mà chúng ta không dng thêm mt cây cu nng
cao CM ca ABC cân ti C nên M là trung
 t c mt pht
phng vuông góc vi AB  góc cnh là

.
ng cao cc kì d dàng,
nh  tính th tích mt cách ngon
lành nhé .

+) Tính khong cách:
ng thng cn tính khong cách có mt cnh là c (cnh AB), mt cnh thì thuc mt
bên c (ci dng tính cht song song gia các cng cách gia
ng thng chéo nhau bng cách dng mt ph

Nhim v ca bây gi là ch dp lí. Mun thc hin
u này thì hãy chú ý r  y có mt mt pht

B
C

A


M
H
Truy cp website: hoc gi ti s n tho có th s hu cun sách này.
21 | LOVEBOOK.VN
m thuc AB (mt phng thi mt phng này còn vuông góc vi mng thng
t ph ng cao  trong mt phn li nht!
Bài gii:
+) Gm ca AB. Do ABC cân ti C  CM  AB. Mt khác AB   góc gia hai mt phng (ABC)


= 60
0
.
Ta có: CM = BM.tan
CBM
= a.tan30
0
=
a
3
.

 (ABC)   CM  

=
a
3
.tan60
0
= a.
+) Th tích kh là: V


ABC

1
2
AB.CM =
3
1 a a
.a.2a.
2
33


+) Gm c 
Ta có:
 
CM AB






 AB   nu trong  MH   MH   MH.
 MH  
+) i M nên
2 2 2
2 2 2
2
a
.a
    
3
MH
2
  
 
a
a
3
     






.
Mt ph song vi AB nên:

a

2
.
  mn v khong cách  phn cui cùng.
Câu 6.
Trong bài toán này, chúng ta s  cp m mc s d
m cuiLook at the end point n hóa rt nhiu bài
ging tht trong nhn bin mà ta ít gp.
ng da trên nhn sau v hàm bc nht:
Gi s f(x) là hàm bc nht theo x thì:
min{f(a), f(b)}  f(x)  max{f(a), f(b)} vi mi .
c minh ha mt cách rt trc quan b th.
Bài gii:
+) Gi s a = max{a, b, c} 
a b c a b c
b c 1 c a 1 a b 1 b c 1




     
.
t
   
a b c
P 1 a 1 b 1 c
b c 1 c a 1 a b 1
      
     
thì cn chng minh P  1.
Ta có: (P  1) 

   
a b c
1 a 1 b 1 c 1
b c 1

    

.
Xét
   
a b c
f(a) 1 a 1 b 1 c 1
b c 1

     

trên [0; 1]. nh lý: (P  1)  max{f(0); f(1)}.
Mt khác:
+) f(1) = 0.
Tuyển tập 90 đề thi thử đại học kèm lời giải chi tiết và bình luận môn Toán tập 2- LOVEBOOK.VN
LOVEBOOK.VN | 22
+) f(0) =
  
 
 
 
22
22
bc
b c 1 bc 1

bcb c b c bc 1
2
bc
1 b 1 c 0
b c 1 b c 1 b c 1


   

    


     
     
.
 max{f(0); f(1)}  0  (P  1)  0  P  1.
ng thc xy ra  (a, b, c) = (1; 1; 1), (1; 0; 0), (1; 1; 0) và các hoán v vòng.
Cách gii khác:
Gi s a = max{a, b, c}
a b c a b c
b c 1 c a 1 a b 1 b c 1




     
.
y ta ch cn chng minh rng:
   
1a

1 a 1 b 1 c
b c 1

   

.
S dng bng thc Cauchy ta có:
           
 
3
1 1 1 a 1 a
b c 1 1 b 1 c b c 1 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c
3 27 27b c 1 b c 1

                
   
.
ng thc xy ra  (a, b, c) = (1; 1; 1), (1; 0; 0), (1; 1; 0) và các hoán v vòng.
Bài tp cng c:
Cho các s thc a, b, c, d thun [0; 1]. Chng minh rng:
    
1 a 1 b 1 c 1 d a b c d 1        
.
Gi ý: Xem v trái là hàm vi bin a  nh lí ln 1 thì ta có: f(a)  min{f(0), f(1)}.
+) f(1) = 1 + b + c + d  1.
+) f(0) = (1  b)(1  c)(1  d) + b + c + d = g(b).
Tip tn b thì: g(b)  min{g(0), g(1)}.
+) g(1) = 1 + c + d  1.
+) g(0) = (1  c)(1  d) + c + d = 1 + cd  1.
 min{g(0), g(1)}  g(b)  1  f(0)  g(b)  1  min{f(0), f(1)}  1  f(a)  u phi chng minh).

Câu 7.a.
ng: Hình vuông có rt nhiu tính ch khai thác (tính cht vuông góc; các cp cnh bng nhau; hai
ng chéo ct nhau tm; tính chi xy nên nu gc t nh ra theo mt s
n ít nht thì vic x lí s không h khó.
u tiên t m A s vic mt n a. Hau có th nh t theo mt n khác,
c nu d ki
D
la s m ca CD  
m D, gi t D theo mt n  biu dic C theo t c th m CD)  ta
ch dùng tt c là hai n  cn 2 liên h  c hai t sau s giúp ta gii quyt v
trên 
(1) AD  ID và (2) m cng chéo AC thung thng BD.
Vi hai mi liên h này thì chc chn s c hai n  t A, C, D  t B.
Bài gii:
: x  y + 1 = 0    y  7 = 0  D(d; 5d  
m CD 
C I D
C I D
x 2x x
y 2x x





 C(2  d; 15  5d).
+) ABCD là hình ch nht ng chéo ct nhau tm mng.
 m M
a d 2 a 5d 16
22

   



;
ca AC thuc BD

a d 2 a 5d 16
5. 7 0 4a 20 0 a 5
22
   
       
 A(5; 6).
Truy cp website: hoc gi ti s n tho có th s hu cun sách này.
23 | LOVEBOOK.VN
+) AD  ID 
     
2
d2
ADID 0 d 5 d 1 5d 13 5d 11 0 26d 126d 14
37
d
1
0
3
8



            






.

(loi)

 D(2; 3)  C(0; 5)  M
5 11
22



;

B M D
B M D
5
x 2x x 2 2
2
11
y 2y y 2 3
2

   





   


.
.
 m BD).
Vy A(5; 6), B(3; 8), C(0; 5), D(2; 3).
Câu 8.a.
ng: c tâm và bán kính ca mt cu (S). Khi có
c bán kính mt cng tròn giao tuyn ca (S) vi (P)
 c khong cách t n (P) nh nh lí Pytago. Mt khác (P) li
cha   có th gc dng tng quát cu kin này là
có th t phng (P).
Bài gii:
+) Mt cu (S) có tâm I(1; 2; 2) và bán kính R = 5.
Do (P) ct (S) theo mng tròn có bán kính r = 4 nên khong cách d t
n mt phng (P) là:

d = d(I, (P)) =
2 2 2 2
R r 5 4 3   
.
ng thng  m M(0; 0; 5) và có m 
u
= (1; 1; 4).
Gi
P
n
n cu kin a

2
+ b
2
+ c
2
    
mt phng (P) là: ax + by + c(z + 5) = 0.
Do  
PP
n u n.u 0 a b 4c 0 a 4c b         
.
+) d(I, (P)) = 3 
 
 
 
2
2
22
2 2 2 2
22
4c b 2b 3c
a 2b 3c
3 3 7c b 9 4c b b c
a b c
4c b b c
  


        




  


  
22
b 2c
17b 86bc 104c 0 b 2c 17b 52c 0
52c
b
17



        




 Nu b = 2c  a = 2c  chn c = 1  a = b = 2  (P): 2x + 2y + z + 5 = 0.
 Nu b =
52c
17
 a =
16c
17
 chn c = 17  a = 16 và b = 52  (P): 16a + 52b + 17c + 85 = 0.
Câu 9.a.
+) Do không có trn hòa nên xác sut ch Hin thua mt ván là 1  0,4 = 0,6.

+) Gi H, A, B, C lt là các bin c Hin th Hin th Hin thng
 Hin thc sau 5 vánn c A, B, C xung khc.
ng quy tc cng xác sut thì P(H) = P(A) + P(B) + P(C).
Vì cung li thng ván th 3 nên ván cui cùng trong s  là ván ch Hin
thng.
Ta có:
P(A) = 0,4
3
= 0,064.
  Hin th tc là ván th 4 ch Hin dành chin thng, và trong 3 tru tiên thì: có 1
trn ch Hin thua và 2 trn ch Hin thng.
I
R
r
d
Tuyển tập 90 đề thi thử đại học kèm lời giải chi tiết và bình luận môn Toán tập 2- LOVEBOOK.VN
LOVEBOOK.VN | 24
 P(B) = C
2
3
.(0,4)
2
.0,6.0,4 = 0,1152.
 : P(C) = C
2
3
.(0,4)
2
.(0,6)
2

.0,4 = 0,13824.
 Xác su ch Hin thng là P(H) = 0,31744.
Câu 7.b.
ng: ng, vi mt hình vuông cnh bng 1 chng
hc  v m M, N c nh trên hình
vuông ri thì chc chn mu rng, các góc trong hình v t
k là góc nào to t m A, B, C, D, M, N trên hình vu
có th c!
 dài cc,
 i so vi m dài
b ng thm M, vy nên
vi
MAN
s là mt bin pháp thun l c ta
 m A, nh vic vip vng thng AN
mt góc
MAN
t!

Bài gii:
t AB = BC = CD = DA = a thì BM =
a
2
và CN = 2DN =
2a
3
.
nh lí côsin trong c:
     
2 2 2 2 2 2

2 2 2
2 2 2 2
AB BM AD DN CM CN
AM AN MN
cosMAN
2AM.AN
2 AB BM. AD DN
    





2 2 2 2
22
22
22
a a a 2a
aa
2 3 2 3
1
2
aa
2 a . a
23
       
    
       
       


   

   
   
.
 y  3 = 0  A(x; 2x  3) 
11 7
AM x 2x
22

  


;
.
 
AN
u
= (1; 2).
Ta có:
 
2
2
AN
22
22
11 7
1 x 2 2x
22
1 25 85

u AM MAN 2 5x 55x 25x
22
2
11 7
1 2 x 2x
22
   
  
   
   
   
       
   
   
   
   
   
   

cos ; cos
.


x 1 A(1 1)
x 4 A(45)
  






;
;

Vm A th bài là A
1
(1; 1) và A
2
(4; 5).
Nhn xét, cách gii khác: Bài gii trên ch là mt trong s các cách có th  nh
c góc
MAN
thì ta còn có th da vào công thc cng cung, ví d 
Cách 1:
A
B
C
D
N
M
Truy cp website: hoc gi ti s n tho có th s hu cun sách này.
25 | LOVEBOOK.VN




11
BM DN
π tanMAB tanNAD
23

AB AD
cotMAN cot MAB NAD tanMAB NAD 1
2 BMDN 11
1 tanMAB.tanNAD
1 . 1 .
AB AD 23




        






MAN
= 45
0
.
Cách 2:


0
1
2
tanMAD tanNAD
3
tanMAN tanMAD NAD 1 MAN 45.

1
1 tanMAD.tanNAD
1 2.
3


     



Và còn nhing n tip cn góc
MAN
dnh lí sin, cosin, cng cung.
Câu 8.b.
ng: c  dùng gián tit phng (hai a
vào d kiu (P)  mi quan h t l a : b  c mt phng (P)  xong phim!
Bài gii:
+) Gt phu kin a
2
+ b
2
+ c
2
 0).
 a + 2b + 3c + d = 0  d = a  2b  3c (1).
 2a + 3b  c + d = 0  c = 2a + 3b + d (2).
T (1) và (2)  c =
3a b
4


và d =
5a 11b
4

.
+) Ta có:
d(C, (P)) = d(D, (P)) 
2 2 2 2 2 2
b c d 4a 3b 5c d
b c d 4a 3b 5c d
a b c a b c
     
        
   

3a b 3a b
b 4a 3b 5
b c d 4a 3b 5c d 7a 3b
44
b c d 4a 3b 5c d 3a b 5a 11b 3a b 5a 11b a b
b 4a 3b 5
4 4 4 4
   

    

        

  



             


     


.
.

 Nu 7a = 3b, chn a = 3  b = 7  c = 4 và d = 23  (P): 3x  7y  4z + 23 = 0.
 Nu a = b, chn a = 1  b = 1  c = 1 và d = 4  (P): x  y  z + 4 = 0.
Nhn xét: Khi bic mt mt phm thì vit phng mt cách
gián tip s rt thun li cho vic gii toán.
 cng c thêm, các bn hãy gii các bài tp sau:
Bài 1. Trong không gian vi h t Oxyz, cho bm A(1; 1; 1), B(2; 1; 3), C(0; 0; 2) và D(2; 3; 5). Lp
t phng (P) bing thi khong cách t n mt phng (P)
gp hai ln khong cách t n mt phng (P).
Bài 2. Trong không gian vi h t Oxyz, cho bm A(2; 1; 3), B(1; 2; 3), C(1; 0; 2) và D(2; 2; 1). Lp
t phng (P) bing thi khong cách t n mt phng (P)
bng mt na khong cách t n mt phng (P).
Câu 9.b.
t z = x + yi (v
z x yi
.
+) Theo bài ra:

 
   
3

3 3 2 2 3
z 12i z x yi 12i x yi x 3xy 3xy y 12i x yi             