100 đề thi thử Quốc gia 2015 môn toán tập 3

LÊ NGUYÊN THẠCH
TUYỂN CHỌN
100 ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC
MÔN TOÁN
TẬP 3(31-40)
THANH HÓA, THÁNG 09 - 2014
LỜI NÓI ĐẦU
Các em học sinh thân mến!
Luyện giải bộ đề trước kỳ thi tuyển sinh Đại học là một quá trình hết sức quan trọng.
Cuốn sách Tuyển tập “100 ĐỀ TOÁN LUYỆN THI VÀO ĐẠI HỌC” do thầy tổng hợp
và biên soạn từ nhiều đề thi thử Đại học trong cả nước với nhiều đề thi hay để giúp các
em hệ thống lại kiến thức và chuyên đề đã được học, rèn luyện kĩ năng giải toán tạo nền
tảng kiến thức tốt nhất cho kỳ thi Đại học sắp tới.
Nội dung sách được viết trên tinh thần đổi mới ,cách giải trình bày chi tiết, rõ ràng phù
hợp theo quan điểm ra đề và chấm thi của Bộ Giáo dục và Đào tạo rất phù hợp để các
em tự ôn luyện.
Toán là môn khoa học trừu tượng với phạm vi ứng dụng rộng rãi trong mọi hoạt động
của con người. Để học toán tốt trước hết rất cần sự tỉ mỉ, cần cù, nỗ lực phấn đấu. Bên
cạnh đó phương pháp học cũng rất quan trọng, nên đi từ cái dễ và cơ bản tới cái khó hơn
với một tư duy logic. Tiếp xúc một bài toán không chỉ dừng lại ở cách giải thông thường
mà nên suy nghĩ, áp dụng nhiều hướng và cách giải khác nhau. Sau mỗi bài toán nên rút
ra cho mình những điểm chú ý quan trọng.
Cuối cùng thầy chúc tất cả các em luôn có được SỨC KHỎE, NIỀM VUI, SỰ ĐAM
MÊ, và THÀNH CÔNG trong các kỳ thi sắp tới!
Thanh hóa.Tháng 9 năm 2014
Tác giả
ĐỀ SỐ 31
Câu 1.(2,0 điểm). Cho hàm số
2 4
( )
1

x
y C
x
−
=
+
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Gọi M là một điểm bất kỳ trên đồ thị (C), tiếp tuyến tại M cắt các tiệm cận của (C) tại
A, B. CMR diện tích tam giác ABI (I là giao của hai tiệm cận) không phụ thuộc vào vị
trí của M.
Câu 2.(1,0 điểm)
1. Giải phương trình:
2 2
2sin 2sin tanx
4
x x
π
 
− = −
 ÷
 
.
2. Giải bất phương trình:
( ) ( )
2 2
1 5 3 1
3 5
log log 1 log log 1x x x x+ + > + −
Câu 3.(1,0 điểm): Tính tích phân:

2
3
1
ln 2 ln
e
x x
I dx
x
+
=
∫
.
Câu 4.(1,0 điểm):
1. Cho tập
{ }
0;1;2;3;4;5A
=
, từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiêu gồm 5 chữ số
khác nhau, trong đó nhất thiết phải có chữ số 0 và 3.
2. Tính tổng:
1 3 5 2013
2014 2014 2014 2014
A C C C C= − + − +
Câu 5.(1,0 điểm) Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A(2; 5), B(4;1) và tiếp xúc với
đường thẳng có phương trình 3x – y + 9 = 0.
Câu 6.(1,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) và
đường thẳng ∆:
x y z1 1
2 1 2
+ −

= =
−
. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm B và cắt đường
thẳng ∆ tại điểm C sao cho diện tích tam giác ABC có giá trị nhỏ nhất.
Câu 7.(1,0 điểm). Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ với A’.ABC là hình chóp tam giác đều
cạnh đáy AB = a; cạnh bên AA’ = b. Gọi
α
là góc giữa hai mp(ABC) và mp(A’BC).
Tính
tan
α
và thể tích chóp A’.BCC’B’.
Câu 8.(1,0 điểm) :Giải hệ phương trình:
2 2
2
2
1
xy
x y
x y
x y x y

+ + =

+


+ = −

Câu 9: (1,0 điểm) Cho

0, 0, 1x y x y
> > + =
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1 1
x y
T
x y
= +
− −
LỜI GIẢI
Câu 1: Cho hàm số
2 4
( )
1
x
y C
x
−
=
+
.
1(1,0điểm).Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 4
( )
1
x
y C
x
−

=
+
.
-Tập xác định: R\{-1}
-
( )
1
lim 1
x
y x
±
→ −
= ∞ → = −
m
là tiệm cận đứng
-
lim 2 2
x
y y
→±∞
= → =
là tiệm cận ngang
-Sự biến thiên:
( )
2
6
' 0 1
1
y x
x

= > ∀ ≠ −
+
.
Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng xác định của hàm số.
-Bảng biến thiên
-Đồ thị
2.(0,5 điểm). Tìm cặp điểm đối xứng….(1,0 điểm)
Gọi
( )
2 4
; 1
1
a
M a C a
a
−
 
∈ ≠ −
 ÷
+
 
Tiếp tuyến tại M có phương trình:
( )
( )
2
6 2 4
1
1
a
y x a

a
a
−
= − +
+
+
Giao điểm với tiệm cận đứng
1x = −
là
2 10
1;
1
a
A
a
−
 
−
 ÷
+
 
Giao điểm với tiệm cận ngang
2y =
là
( )
2 1;2B a +
Giao hai tiệm cận I(-1; 2)
( ) ( )
12 1 1
; 2 1 . .24 12

1 2 2
IAB
IA IB a S IA AB dvdt
a
= = + ⇒ = = =
+
Suy ra đpcm
Câu 2.(1,0 điểm):
1.(0,5 điểm) Giải phương trình:
2 2
2sin 2sin tanx
4
x x
π
 
− = −
 ÷
 
Đk:
cos 0x ≠
(*)
2 2 2
sinx
2sin 2sin tanx 1 cos 2 2sin
4 2 cos
x x x x
x
π π
   
− = − ⇔ − − = −

 ÷  ÷
   
( )
2
cos sin2 .cos 2sin .cos sinx cos sinx sin2 cos sinx 0x x x x x x x x
⇔ − − + ⇔ + − + =
cos 0
sinx cos tanx 1
4
4 2
sin 2 1 2 2
2 4
x
x x k
x k
x x l x l
π
π
π π
π π
π π
≠

= − → = − ⇔ = − +

⇔ → = +


= ⇔ = + ⇔ = +



(tm(*))…
2.(0,5 điểm): Giải bất phương trình
( ) ( )
2 2
1 5 3 1
3 5
log log 1 log log 1 (1)x x x x+ + > + −
Đk:
0x >
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
3 1 3 5
5
2 2 2 2
3 1 5 5
5
1 log log 1 log log 1 0
log log 1 .log 1 0 log 1 1
x x x x
x x x x x x
⇔ + − + + + <
 
⇔ + − + + < ⇔ + + <
 ÷
 
( )
2

5
0 log 1 1x x⇔ < + + <
*)
( )
2
5
0 log 1 0x x x< + + ⇔ >
*)
( )
2 2 2
5
12
log 1 1 1 5 1 5
5
x x x x x x x+ + < ⇔ + + < ⇔ + < − ⇔ ⇔ <
Vậy BPT có nghiệm
12
0;
5
x
 
∈
 ÷
 
Câu 3. (1,0 điểm):Tính tích phân :
2
3
1
ln 2 ln
e

x x
I dx
x
+
=
∫
( )
( ) ( )
( )
2
3
1
2 2 2
3
3
1 1 1
4
2
3
4 4
3
3
1
ln 2 ln 1
ln 2 ln ln 2 ln 2 ln
2
3 2 ln
1 3
. 3 2
2 4 8

e e e
e
x x
I dx x xd x x d x
x
x
+
= = + = + +
+
 
= = −
 
∫ ∫ ∫
Câu 4.(1,0 điểm) :
1.(0,5 điểm) -Gọi số cần tìm là
( )
0abcde a
≠
-Tìm số các số có 5 chữ số khác nhau mà có mặt 0 và 3 không xét đến vị trí a.
Xếp 0 và 3 vào 5 vị trí có:
2
5
A
cách
3 vị trí còn lại có
3
4
A
cách. Suy ra có
2 3

5 4
A A
số
-Tìm số các số có 5 chữ số khác nhau mà có mặt 0 và 3 với a = 0.
Xếp 3 có 4 cách
3 vị trí còn lại có
3
4
A
cách . Suy ra có
3
4
4.A
số
Vậy số các số cần tìm là:
2 3
5 4
A A
-
3
4
4.A
= 384
2.(0,5 điểm) Tính tổng:
1 3 5 2013
2014 2014 2014 2014
A C C C C= − + − +

Ta có:
( )

2014
1 0 1 1 2 2 3 3 4 4 2013 2013 2014 2014
2014 2014 2014 2014 2014 2014 2014
1 i C i C i C i C i C i C i C i+ = + + + + + + +

1 1 2 3 4 2013 2014
2014 2014 2014 2014 2014 2014 2014
C C i C C i C C i C= + − − + − + −
( ) ( )
1 2 2014 1 3 2013
2014 2014 2014 2014 2014 2014
C C C C C C i B Ai= − + − + − − + = +
( )
2014
2014
2014
1007
1 1
1 2 2 . cos .sin
4 4
2 2
i i i
π π
 
 
 
+ = + = +
 ÷
 
 ÷

 
 
 

( )
1007 1007 1007
2014 2014
2 . cos .sin 2 . 0 2 .
4 4
i i i
π π
 
= + = − = −
 ÷
 
Vậy
1007
2A = −
Câu 5.(1,0 điểm) : Gọi
( )
;I a b
là tâm đường tròn ta có hệ
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2 2 2 2
2
2 2

2 5 4 1 (1)
3 9
;
2 5 2
10
a b a b
IA IB
a b
IA d I
a b

− + − = − + −
=


⇔
 
− +
= ∆

− + − =


( )
1 2 3a b
⇔ = −
thế vào (2) ta có
2
12 20 0 2 10b b b b− + = ⇔ = ∨ =
*) với

( ) ( ) ( )
2 2
2 1; 10 : 1 2 10b a R C x y
= ⇒ = = ⇒ − + − =
*)với
( ) ( ) ( )
2 2
10 17; 250 : 17 10 250b a R C x y= ⇒ = = ⇒ − + − =
Phương trình tham số của ∆:
= − +


= −


=

x t
y t
z t
1 2
1
2
.
Điểm C thuộc đường thẳng ∆ nên tọa độ điểm C có dạng
− + −C t t t( 1 2 ;1 ;2 )
.
AC ( 2 2t; 4 t;2t);AB (2; 2;6)= − + − − = −
uuur uuur
   

= − − − − ⇒ = − +
   
AC AB t t t AC AB t t
2
, ( 24 2 ;12 8 ;12 2 ) , 2 18 36 216
uuur uuur uuur uuur
Diện tích ∆ABC là
 
= = − +
 
S AC A B t t
2
1
, 18 36 216
2
uuur uuur
=
t
2
18( 1) 198− +
≥
198
Vậy Min S =
198
khi
t 1
=
hay C(1; 0; 2).
Đường thẳng BC đi qua đi qua B và nhận
BC ( 2; 3; 4)= − − −

uuur
làm vectơ chỉ phương nên có
phương trình chính tắc là
x 3 y 3 z 6
2 3 4
− − −
= =
− − −
.
Câu 7.(1,0 điểm) Gọi O là tâm đáy suy ra
( )
'A O ABC
⊥
và góc
·
'AIA
α
=
*)Tính
tan
α
'
tan
A O
OI
α
=
với
1 1 3 3
3 3 2 6

a a
OI AI= = =
2 2 2
2 2 2 2
3
' '
3 3
a b a
A O A A AO b
−
= − = − =
2 2
2 3
tan
b a
a
α
−
⇒ =
*)Tính
'. ' 'A BCC B
V
( )
'. ' ' . ' ' ' '.
2 2 2 2 2
1
' . ' .
3
2 3 1 3 3
. . .

3 2 2 6
3
A BCC B ABC A B C A ABC ABC ABC
V V V A O S A O S
b a a a b a
a dvtt
= − = −
− −
= =
Câu 8.(1,0 điểm): Giải hệ :
( )
( )
( )
2 2
2
2
1 1
0
2
xy
x y
x y
dk x y
x y x y

+ + =

+
+ >



+ = −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 3
2
1 2 1 0 2 2 0
xy
x y xy x y xy x y xy x y
x y
⇔ + − + − = ⇔ + − + + − + =
+
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
1 2 1 0 1 1 2 0x y x y xy x y x y x y x y xy
⇔ + + − − + − = ⇔ + − + + + − = 
 
( )
( )
2 2
1 3
0 4
x y
x y x y
+ =
⇔

+ + + =



Dễ thấy (4) vô nghiệm vì x+y>0. Thế (3) vào (2) ta được
2
1x y
− =

Giải hệ
2
1
1; 0
2; 3
1
x y
x y
x y
x y
+ =
= =


⇒


= − =
− =


Hệ phương trình có nghiệm là (1;0) và (-2;3)
Câu 9.(1,0 điểm): Đặt

2 2
cos ; sin 0;
2
x a y a a
π
 
= = ⇒ ∈
 ÷
 
khi đó
( ) ( )
2 2 3 3
sin cos 1 sin .cos
cos sin cos sin
sin cos sina.cos sin .cos
a a a a
a a a a
T
a a a a a
+ −
+
= + = =
Đặt
2
1
sin cos 2 sin sin .cos
4 2
t
t a a a a a
π

−
 
= + = + ⇒ =
 ÷
 
Với
0 1 2
2
a t
π
< < ⇒ < ≤
. Khi đó
( )
3
2
3
1
t t
T f t
t
− −
= =
−
;
( )
( )
(
( )
( )
4

2
2
3
' 0 1; 2 2 2
1
t
f t t f t f
t
− −

= < ∀ ∈ ⇒ ≥ =

−
Vậy
(
( )
( )
1; 2
min 2 2
t
f t f

∈

= =
khi
1
2
x y
= =

.
Hay
min 2T
=
khi
1
2
x y
= =
.
ĐỀ SỐ 32
Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số
2
y 2x(1 x )= −
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Gọi A, B là các giao điểm của (C) với trục hoành ( khác gốc tọa độ O). Tìm các
điểm I thuộc (C) sao cho tam giác IAB vuông tại I.
Câu 2.(1,0 điểm)
1. Giải phương trình
2sin 2x 1 4sin x
6
π
 
− + =
 ÷
 
2. Giải hệ phương trình:
( ) ( )
x y
3 3

x y x y
log x log y 1

+ = −


− =


Câu 3.(1,0 điểm)
Tính tích phân
( )
1
2
3
0
x x
I dx
x 1
+
=
+
∫
Câu 4.(1,0 điểm):
1. Trong một lớp học có 3 tổ: tổ I có 3 bạn, tổ II có 4 bạn, tổ III có 5 bạn. Hỏi có bao
nhiêu cách sắp các bạn của cả 3 tổ đứng thành hàng ngang sao cho các bạn tổ I đứng cạnh
nhau, các bạn tổ III đứng cạnh nhau nhưng không có hai bạn nào của tổ I và III đứng cạnh
nhau.
2. Chứng minh rằng số phức
1 z

1 z
−
+
là số ảo nếu và chỉ nếu
z 1 và z 1.= ≠ −
Câu 5.(1.0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn
( )
2
2
(C): x 5 y 20− + =
và đường
thẳng
d : x y 3 0+ + =
.Tìm các điểm M thuộc (C) và N thuộc d sao cho hai điểm M,N đối xứng
nhau qua trục Oy.
Câu.6(1,0 điểm):Trong không gian Oxyz,cho đường thẳng
x 1 y 2 z
d :
1 1 2
− +
= =
−
và hai điểm
A(1;4;2) và B(-1;2;4). Viết phương trình đường thẳng d’ qua A, cắt d và khoảng cách từ điểm
B đến đường thẳng d’ đạt giá trị lớn nhất.
Câu 7.(1,0 điểm):Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AA’= AB= a.
Tính phần thể tích chung của hai khối chóp A.BB’C’C và A’.BB’C’C.
Câu 8.(1,0 điểm): Giải hệ phương trình :
2 2
4 2 2

2 3 15 0
2 4 5 0
x y x y
x y x y

+ + − =


+ − − − =


Câu 9.(1,0 điểm):Cho a, b, c là 3 cạnh một tam giác có chu vi bằng 3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
( ) ( ) ( )
3 3 3
a b c c a b b c a
P
3c 3b 3a
+ − + − + −
= + +
LỜI GIẢI
Câu 1.(2,0 điểm): Cho hàm số
2
y 2x(1 x )= −
1. (1,0 điểm) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số
2
y 2x(1 x )= −
Tập xác định:
D = ¡

Giới hạn:
lim ; lim
→−∞ →+∞
= +∞ = −∞
x x
y y
Sự biến thiên:
2
y' 2(1 3x ),= −

1 1
y' 0 x ;x
3 3
= ⇔ = = −
Hàm số đồng biến trên các khoảng
1 1
;
3 3
 
−
 ÷
 
;
nghịch biến trên khoảng
1 1
; ; ;
3 3
   
−∞ − +∞
 ÷  ÷

   
.
Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại
CT
1 4 3
x ;y
9
3
= − = −
, đạt cực đại tại
CD
1 4 3
x ;y
9
3
= =
.
Bảng biến thiên:
x -∞
1
3
−
1
3
+∞
y' - 0 + 0 -
y +∞
4 3
9
−

4 3
9
-∞
• Đồ thị:
2.(1,0 điểm) Gọi A, B là các giao điểm của (C) với trục hoành ( khác gốc tọa độ O). Tìm
các điểm I thuộc (C) sao cho tam giác IAB vuông tại I.
Ta có A(-1,0), B(1,0). Tam giác IAB vuông tại I nên I thuộc đường tròn tâm O( gốc tọa độ) với
bán kính bằng 1.
Tọa độ I là nghiệm của hệ:
2
2 2
y 2x(1 x )(1)
x y 1(2)

= −


+ =


Thay (1) vào (2) ta được:
2 3 2 6 4 2
x (2x 2x ) 1 4x 8x 5x 1 0+ − = ↔ − + − =
2
2
x 1(loai vì I A,B)
1 1
x y
1
2 2

x
2

= ≠

↔ → = ± → = ±

=


Do
2 2
x 1 1 x 0≤ → − ≥
nên x,y cùng dấu.
Vậy chỉ có hai điểm I thỏa đề là
1 1 1 1
; ; ;
2 2 2 2
   
− −
 ÷  ÷
   
Câu 2. (1,0 điểm)
1. (0,5 điểm) Giải phương trình
2sin 2x 1 4sin x
6
π
 
− + =
 ÷

 
(1)
(1) 2 sin2x cos sin cos 2x 1 4sin x 3 sin2x cos 2x 1 4sin x
6 6
π π
 
⇔ − + = ⇔ − + =
 ÷
 
( )
2 2
2 3sin xcos x (1 2sin x) 1 4sin x 0 2 3sin xcos x 2sin x 4sin x 0
2sin x 3cos x sin x 2 0
⇔ − − + − = ⇔ + − =
⇔ + − =
*
3 1
3 cos x sin x 2 cos x sin x 1 sin x 1 x k2
2 2 3 6
π π
 
+ = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = + π
 ÷
 
*
sin x 0 x k= ⇔ = π
Vậy nghiệm của phương trình là:
x k2
6
π

= + π
;
x k ; k Z= π ∈
2.(0,5 điểm) Giải hệ phương trình:
( ) ( )
x y
3 3
x y x y (1)
log x log y 1(2)

+ = −


− =


ĐK:
x 0; y 0,x y> > >
3
x
(2) log 1 x 3y
y
→ = → =
( ) ( ) ( )
3y y
3y 3y y y y 3y 2y y 6 y 2y y 5y 2y
1 4y 2y 4 .y 2 .y do y 0 4 .y 2 2 .y 2 2 .y 1→ = ↔ = > → = → = → =
( )
y
5 2 5 2 2

5
1
2 .y 1do y 0 nên2 .y 1 y
2
→ = > = → =
2 3 2
y x
8 8
= → =
.
So sánh điều kiện ta được nghiệm của hệ là:
3 2 2
;
8 8
 
 ÷
 
Câu 3.(1,0 điểm) Tính tích phân
( )
1
2
3
0
x x
I dx
x 1
+
=
+
∫

( )
dx
x
xx
A
∫
+
+
=
1
0
3
2
1
=
( )
( )
dx
x
xxx
∫
+
+−++
1
0
3
2
1
112
=

( ) ( )
( )
dx
x
xx
∫
+
+−+
1
0
3
2
1
11
= =
( )
dx
x
x
∫
+
+
−
1
0
2
1
1
1
1

Đặt
( )
2
1
1
1
1
+
=⇒
+
−=
x
dx
dt
x
t

Khi x=0 thì t=0,x=1 thì t=
1
2

1
1
2
2
0
0
2 1
|
3

3 2
A tdt t t= = =
∫
Câu 4.(1,0 điểm)
1.(0,5 điểm). Trong một lớp học có 3 tổ: tổ I có 3 bạn, tổ II có 4 bạn, tổ III có 5 bạn. Hỏi có
bao.nhiêu cách sắp các bạn của cả 3 tổ đứng thành hàng ngang sao cho các bạn tổ I đứng cạnh
nhau, các bạn tổ III đứng cạnh nhau nhưng không có hai bạn nào của tổ I và III đứng cạnh
nhau.
Sắp 4 bạn tổ II đứng thành hàng ngang có 4!= 24 cách sắp.
Giữa 4 bạn tổ II có 5 “vách ngăn”.
“Buộc” 3 bạn tổ I thành nhóm I, “buộc” 5 bạn tổ III thành nhóm III.
Sắp nhóm I và nhóm II vào 5 vách ngăn có
2
5
A 20=
cách sắp.
Vậy số cách sắp thỏa đề là:
2
5
4!.A .3!.5! 345600=
cách sắp.
2.(0,5 điểm). Chứng minh rằng số phức
1 z
1 z
−
+
là số ảo nếu và chỉ nếu
z 1 và z 1.= ≠ −
Giả sử z = a + bi, a,b thuộc R .Lúc đó
( )

( )
2 2
2
2
1 a b 2bi
1 z
1 z
1 a b
− − −
−
=
+
+ +
Ta có số phức
1 z
1 z
−
+
là ảo nếu và chỉ nếu
( )
( )
2 2
2
2
1 a b
z 1 và 0
1 a b
− −
≠ − =
+ +

( )
2 2 2 2
1 a b 0 a b 1⇔ − − = ⇔ + =
2
z 1 z 1⇔ = ⇔ =
Câu 5.(1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn
( )
2
2
(C): x 5 y 20− + =
và đường thẳng
d : x y 3 0+ + =
.Tìm các điểm M thuộc (C) và N thuộc d sao cho hai điểm M,N đối xứng nhau
qua trục Oy.
Gọi d’ là đường thẳng đối xứng với d qua Oy, d’: - x + y + 3 = 0
Tọa độ giao điểm của d’ với (C) là nghiệm của hệ:
( )
( ) ( )
2
2
1 2
x 5 y 20
M 7;4 , M 1, 2
x y 3 0

− + =

⇒ −

− + + =



Suy ra N
1
(-7,4) thuộc d đối xứng với M
1
(7,4) thuộc (C) qua Oy.
Và Suy ra N
2
(-1,-2) thuộc d đối xứng với M
2
(1,-2) thuộc (C) qua Oy.
Câu 6.(1,0 điểm) Trong không gian Oxyz,cho đường thẳng
x 1 y 2 z
d :
1 1 2
− +
= =
−
và hai điểm
A(1;4;2) và B(-1;2;4). Viết phương trình đường thẳng d’ qua A, cắt d và khoảng cách từ điểm
B đến đường thẳng d’ đạt giá trị lớn nhất.
Đường thẳng d' qua A cắt d tại M(1-t, -2+t,2t) thuộc d.
Khi đó
( )
2
2
AM;AB
28t 152t 208
d B,d'

3t 10t 20
AM
 
− +
 
= =
− +
uuuur uuur
uuuur

Xét hàm
2
2
28t 152t 208
f (t) có
3t 10t 20
− +
=
− +
( )
( )
2
2
2
t 2
16 11t 8t 60
f '(t) 0
30
t
3t 10t 20

11
= −

− −

= = ⇔

=
− +

Ta có
t
30 4 28
f ( 2) 2 3; f ; lim f (t)
11 35 3
→±∞
 
− = = =
 ÷
 
Nên khoảng cách từ B đến d’ lớn nhất bằng
2 3
khi t = -2
Lúc đó
x 1 y 4 z 2
d' :
1 4 3
− − −
= =
− −

Câu 7.(1,0 điểm) Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AA’= AB= a.
Tính phần thể tích chung của hai khối chóp A.BB’C’C và A’.BB’C’C.
Phần chung của 2 khối chóp là đa diện OO’BB’C’C.
Gọi V là thể tích đa diện đó.
Ta có
A'.BB'C'C A '.OB'C'O'
V V V= −

3
ABC.A' B'C' ABC
a 3
V S .AA'
4
= =
3
A.A'B'C'
a 3
V
12
=

3
A'.BB'C'C
a 3
V
6
=

Mà
A.A' B'C'

A.A' OO'
V AO AO'
4
V AB' AC'
= =

Nên suy ra
3
A.A 'OO' A'.OB'C'O' A.A' B'C'
3 a 3
V V V
4 16
= = =
Vậy
3 3 3
a 3 a 3 5a 3
V
6 16 48
= − =
Câu 8.(1,0 điểm):
Giải hệ phương trình:
2 2
4 2 2
2 3 15 0
2 4 5 0
x y x y
x y x y

+ + − =



+ − − − =



2 2
2 2 2
( 1)( 2) 4( 1) 4( 2) 5
( 1) ( 2) 10
x y x y
x y

− − + − + − =

⇔

− + − =


.
Đặt
2
1
2
u x
v y

= −

= −



Ta có hệ phương trình:
2 2 2
10 ( ) 2 10
4( ) 5 4( ) 5
u v u v uv
uv u v uv u v
 
+ = + − =
⇔
 
+ + = + + =
 
⇔
10
45
u v
uv
+ = −


=

(vô nghiệm) hoặc
2
3
u v
uv
+ =



= −

3
1
u
v
=

⇔

= −

hoặc
1
3
u
v
= −


=

+)
3
1
u
v
=



= −

Tìm được 2 nghiệm
( ; ) (2;1)x y =
và
( ; ) ( 2;1)x y = −
+)
1
3
u
v
= −


=

Tìm được nghiệm
( ; ) (0;5)x y =
Kết luận: Hệ phương trình có 3 nghiệm: (2;1), (-2;1), (0;5)
Câu 9: (1,0 điểm) Cho a, b, c là 3 cạnh một tam giác có chu vi bằng 3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
( ) ( ) ( )
3 3 3
a b c c a b b c a
P
3c 3b 3a
+ − + − + −
= + +

Cho a, b, c là 3 cạnh một tam giác có chu vi bằng 3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( ) ( ) ( )
3 3 3
a b c c a b b c a
P
3c 3b 3a
+ − + − + −
= + +
Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương
3
( )
,
3 3
+ −a b c c

c
và
1
3

ta được:
3
( ) 1
3 3 3
+ −
+ + ≥ + −
a b c c
a b c
c

(1).
3
( ) 4 1
3 3 3
+ −
⇒ ≥ + − −
a b c c
a b
c
(1)
Tương tự:
3
( ) 4 1
3 3 3
+ −
≥ + − −
b c a a
b c
a
(2)

3
( ) 4 1
3 3 3
+ −
≥ + − −
c a b b
c a
b
(3).

Cộng (1), (2) và (3) ta suy ra
1 min 1≥ ⇒ =P P
khi
1= = =a b c
.
ĐỀ SỐ 33
Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số
2
1
x
y
x
−
=
−
có đồ thị (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trên;
2. Hãy lập phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm
( )
3; 1M −
và cắt đồ thị (C) tại hai
điểm phân biệt A, B sao cho
3MB MA
=
Câu 2.(1,0 điểm)
1. Giải phương trình
( )
( )
sin 3 cos3 sin 2sin 2 1 4cos 1 3x x x x x
− = − + −

2. Giải bất phương trình
3
2 3 1 8 3 1 5x x
+ ≥ − −

( )
x ∈¡
Câu 3.(1,0 điểm)
Tính tích phân
( )
1
2 1 ln 2 4
ln 1
e
x x x
I dx
x x x
+ + +
=
+ +
∫
Câu 4.(1,0 điểm)
1. Tìm tất cả các số thực
,b c
sao cho số phức
( )
( )
( )
( )
12

6
6
1 3 2
1 3 1
i i
i i
+ −
− +

là nghiệm của phương trình
2
8 64 0.z bz c
+ + =
.
2. Một lớp học có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Thầy giáo chủ nhiệm chọn ra 5 học
sinh để lập một tốp ca hát chào mừng ngày 30 tháng 4. Tính xác suất sao cho trong đó
có ít nhất một học sinh nữ.
Câu 5.(1,0 điểm) :
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc (Oxy), cho đường tròn (C) và đường thẳng
(d) lần lượt có phương trình
( ) ( )
2 2
2 1 8x y− + + =
và
2 3 0x y− + =
. Cho hình thoi ABCD ngoại
tiếp đường tròn (C) và điểm A thuộc đường thẳng (d). Hãy tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D; biết
rằng
2BD AC
=

và tung độ của điểm A không nhỏ hơn 2.
Câu 6.(1,0 điểm)
Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc (Oxyz), cho 3 điểm
( ) ( ) ( )
1;2; 1 , 2;1;1 ; 0;1;2A B C
−
và đường thẳng (d) có phương trình là:
( )
1 1 2
:
2 1 2
x y z
d
− + +
= =
−
.
Hãy lập phương trình đường thẳng
( )
∆
đi qua trực tâm của tam giác ABC, nằm trong mặt
phẳng (ABC) và vuông góc với đường thẳng (d).
Câu 7.(1,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và tam giác SAB là tam giác cân tại
đỉnh S. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng đáy bằng
0
45
, góc giữa mặt phẳng (SAB) và
mặt phẳng đáy bằng
0

60
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD, biết rằng khoảng cách giữa hai
đường thẳng CD và SA bằng
6a
.
Câu 8.(1,0 điểm): Giải hệ phương trình
( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
2 6 2 2 3 0
3 3 2
x y y y
x y x xy y x y

+ − − + + =


− + + + = + +



( )
,x y ∈¡
Câu 9.(1,0 điểm): Cho
, ,x y z
là các số thực dương thoả mãn
x y z≥ ≥
và
3x y z+ + =

.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
3
x z
P y
z y
= + +

LỜI GIẢI
Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số
2
1
x
y
x
−
=
−
có đồ thị (C).
1. (1,0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2
1
x
y
x
−
=
−
a. Tập xác định
{ }

\ 1D = ¡
+) Giới hạn
2
1
lim lim 1 1
1
1
x x
x
y y
x
→±∞ →±∞
−
= = ⇒ =
−
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
1 1 1 1
2 2
lim lim , lim lim
1 1
x x x x
x x
y y
x x
+ + − −
→ → → →
− −
= = −∞ = = +∞ ⇒
− −

1x
=
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
b. Sự biến thiên
+)
( )
2
1
' 0,
1
y x D
x
= > ∀ ∈
−

+) Bảng biến thiên
1
1
-
∞
+
∞
+
+
1
y
y'
+
∞
-

∞
x
Hàm số đồng biến trên
( )
;1−∞
và
( )
1;+∞
a)Đồ thị
8
6
4
2
-2
-4
-6
-15
-10
-5
5
10
15
1
2
1
0
2.(1,0 điểm) Hãy lập phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm
( )
3; 1M −
và cắt đồ thị (C) tại

hai điểm phân biệt A, B sao cho
3MB MA
=
Ta thấy nếu đường thẳng (d) không có hệ số góc thì nó chỉ cắt (C) tại đúng một điểm suy ra (d)
phải có hệ số góc. Giả sử (d) có hệ số góc là k thì phương trình của (d):
3 1y kx k= − −
.
Phương trình hoành độ giao điểm là:
( )
2
1
2
3 1
2 2 1 3 3 0
1
x
x
kx k
kx k x k
x
≠

−

= − − ⇔

− + + + =
−



( )
2
2 2 1 3 3 0kx k x k
⇔ − + + + =
(1) ( do
1x
=
không phải là nghiệm)
+) Để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt thì (1) có hai nghiệm phân biệt
2
0
0
' 1 0
k
k
k k
≠

⇔ ⇔ ≠

∆ = + + >

+) Giả sử
( ) ( )
1 1 2 2
; 3 1 , ; 3 1A x kx k B x kx k
− − − −
, trong đó
1 2
,x x

là hai ngiệm của (1) và theo Vi et
ta có:
1 2 1 2
4 2 3 3
;
k k
x x x x
k k
+ +
+ = =
(2)
Ta xét hai trường hợp sau:
TH1.
2 1
3. 3 6MB MA x x
= ⇔ − = −
uuur uuur
, kết hợp với (2) ta được:
1 2
5 1 3 3 5 1 3 3 3 3
, ; . 1
2 2 2 2
k k k k k
x x k
k k k k k
+ + + + +
= = = ⇔ = −
+)
1 ( ) : 2k d y x= − ⇒ = − +
TH2.

2 1
3. 3 12MB MA x x
= − ⇔ = − +
uuur uuur
, kết hợp với (2) ta được
1 2
4 1 3 4 1 3 3 3 3 5
, ; .
2
k k k
x x k
k k k k k
− − + ±
= = = ⇔ =
Phương trình đường thẳng (d):
( )
3 5
3 1
2
y x
±
= − −

Vậy đường thẳng cần tìm là: y=-x+2,
( )
3 5
3 1
2
y x
±

= − −
Câu 2.(1,0 điểm):
1. (0,5 điểm) Giải phương trình
( )
( )
sin 3 cos3 sin 2sin 2 1 4cos 1 3x x x x x
− = − + −
Pt
( )
( )
3 3
3sin 4sin 4cos 3cos sin 2sin 2 1 4cos 1 3x x x x x x x
⇔ − − + = − + −
( ) ( ) ( )
( )
sin cos 2sin 2 1 sin 2sin 2 1 4cos 1 3x x x x x x⇔ + − = − + −
( ) ( ) ( )
( )
sin cos 2sin 2 1 sin 2sin 2 1 4cos 1 3x x x x x x⇔ + − = − + −
( )
( )
1
sin 2
2
2sin 2 1 2sin 2 cos 3 sin 0
3 sin cos 2sin 2
x
x x x x
x x x


=

⇔ − − − = ⇔

+ =


+)
1
12
sin 2 sin ,
5
2 6
12
x k
x k
x k
π
π
π
π
π

= +

= = ⇔ ∈


= +



¢
+)
3 sin cos 2sin 2 sin .cos cos .sin sin 2
6 6
x x x x x x
π π
+ = ⇔ + =
2 2 2
6 6
sin sin 2 ,
5 2
6
2 2
6 18 3
x x k x k
x x k
x x k x k
π π
π π
π
π π π
π π
 
= + + = +
 
 
⇔ + = ⇔ ⇔ ∈
 
 ÷

 
 
= − − + = +
 
 
¢

Vậy phương trình có 4 họ nghiệm:
5
; ;
12 12
x k x k
π π
π π
= + = +
5 2
2 ;
6 18 3
x k x k
π π π
π
= + = +
2. (0,5 điểm) Giải bất phương trình
3
2 3 1 8 3 1 5x x
+ ≥ − −

( )
x ∈¡
Đk:

1
5
x ≤
,
Đặt
3
3
1
3 1
3
t
t x x
−
= + ⇒ =
,
Thay vào bất phương trình đó cho:
3
3
1
2 8 3 1 5. 24 15 8 2
3
t
t t t
−
≥ − − ⇔ − ≥ −
3 2
4
4
24 15 64 32 4
t

t
t t t
≥


<
⇔




− ≥ − +


( )
( )
2
3 2
4
4
4
4
2 15 26 20 0
15 4 32 40 0
t
t
t
t
t t t
t t t

≥

≥



<

<
⇔ ⇔




 


+ − + ≤
+ − + ≤





4
4 21
4
2 3
2
t

t x
t
t x
t
≥

≥ ≥
 

⇔ ⇔ ⇔
<

 

≤ − ≤ −

 

≤ −


.
Vậy tập nghiệm của bpt là
(
] [
)
; 3 21;S = −∞ − +∞U
Câu 3.(1,0 điểm): Tính tích phân
( )
1

2 1 ln 2 4
ln 1
e
x x x
I dx
x x x
+ + +
=
+ +
∫
Ta có
( )
1 1 1
2 ln 1 ln 2
ln 2
2
ln 1 ln 1
e e e
x x x x
x
I dx dx dx
x x x x x x
+ + + +
+
= = +
+ + + +
∫ ∫ ∫
( )
( )
( )

1
1
1
ln 1
2 2 2 ln ln 1 2 2 ln 2 1 ln 2
ln 1
e
e
e
d x x x
x e x x x e e
x x x
+ +
= + = − + + + = − + + −
+ +
∫

Câu 4.(1,0 điểm):
1.(0,5 điểm). Tìm tất cả các số thực
,b c
sao cho số phức
( )
( )
( )
( )
12
6
6
1 3 2
1 3 1

i i
i i
+ −
− +

là nghiệm của phương trình
2
8 64 0.z bz c
+ + =
.
Ta có
( )
3
2 3
1 3 1 3 3 3.3 3 3 8i i i i
+ = + + + = −


( )
3
2 3
1 3 1 3 3 3.3 3 3 8i i i i
− = − + − = −

( )
2
1 2i i
+ =
Do đó
( )

( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
12
4
6 2 3
6
1 3 2
8 2 8 2
8 1 2 8 16
8 2
1 3 1
i i
i i
i i
i
i
i i
+ −
− − −
= = − = + = +
−
− +
Theo giả thiết ta có
( ) ( )
2

8 16 8 8 16 64 0i b i c
+ + + + =
( ) ( ) ( )
2
1 2 1 2 0 2 4 3 0i b i c b i b c
⇔ + + + + = ⇔ + + + − =
2 4 0 2
3 0 5
b b
b c c
+ = = −
 
⇔ ⇔
 
+ − = =
 
.
Vậy b=-2;c=5
2.(0,5 điểm). Một lớp học có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Thầy giáo chủ nhiệm chọn ra
5 học sinh để lập một tốp ca hát chào mừng ngày 30 tháng 4. Tính xác suất sao cho trong đó có
ít nhất một học sinh nữ.
Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh trong 35 học sinh của lớp có
5
35
C
cách. Gọi A là biến cố: ‘‘ Chọn
được 5 học sinh trong đó có ít nhất một em nữ’’
Suy ra
A
là biến cố: “Chọn được 5 học sinh trong đó không có học sinh nữ nào”

Ta có số kết quả thuận lợi cho
A
là
5
20
C
( )
5
20
5
35
C
P A
C
=
( )
( )
5
20
5
35
2273
1 1 0,95224
2387
C
P A P A
C
= − = − = ≈
Câu 5.(1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc (Oxy), cho đường tròn (C) và
đường thẳng (d) lần lượt có phương trình

( ) ( )
2 2
2 1 8x y− + + =
và
2 3 0x y− + =
. Cho hình thoi
ABCD ngoại tiếp đường tròn (C) và điểm A thuộc đường thẳng (d). Hãy tìm tọa độ các đỉnh A,
B, C, D; biết rằng
2BD AC
=
và tung độ của điểm A không nhỏ hơn 2.
Đường tròn (C) có tâm
( )
2; 1I −
, bán kính
2 2R =
,
2IB IA
=
.
Trong tam giác vuông IAB ta có:
2 2 2 2
1 1 1 5 1
10
4 8
IA
IH IA IB IA
= + = = ⇒ =
H
I

D
C
B
A
Do A thuộc (d) nên
( )
2 3;A t t−
, kết hợp với
10IA
=
( ) ( )
2 2
2
2
2 5 1 10 5 18 16 0 2
1,6
t
t t t t t
t
=

⇔ − + + = ⇔ − + = ⇔ ⇒ =

=

Suy ra
( )
1;2A
, do I là trung điểm AC nên
( )

3; 4C −
.
Giả sử đường thẳng AC có vtpt là
( )
2 2
; , 0
AB
n a b a b= + >
uuur
Pt AB:
( ) ( )
1 2 0a x b y− + − =
.
Ta có
( ) ( )
( )
2
2 2
2 2
3
; 8 8 3 8
a b
d I AB a b a b
a b
−
= ⇔ = ⇔ − = +
+
2 2
7 6 0a ab b⇔ + − =

;7a b a b⇔ = − =
+) Nếu
a b
= −
, chọn
1, 1a b= = −
: 1 0AB x y⇒ − + =
+) Nếu
7a b
=
, chọn
1, 7a b= =
: 7 15 0AB x y⇒ + − =
Như vậy ta có nếu
: 1 0 : 7 15 0AB x y AC x y
− + = ⇒ + − =
và ngược lại.
Giả sử
: 1 0 : 7 15 0AB x y AC x y
− + = ⇒ + − =
Đường thẳng CD song song với AB nên
: 0CD x y c− + =
,
Do CD đi qua C nên
3 4 0 7c c
+ + = ⇒ = −
: 7 0CD x y⇒ − − =
Do đó tọa độ D là nghiệm của hệ
( )
7 0 8

8;1
7 15 0 1
x y x
D
x y y
− − = =
 
⇔ ⇒
 
+ − = =
 
,
kết hợp với I là trung điểm BD suy ra
( )
4; 3B − −
.
Vậy tọa độ các đỉnh là
Câu 6. (1,0 điểm) Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc (Oxyz), cho 3 điểm
( ) ( ) ( )
1;2; 1 , 2;1;1 ; 0;1;2A B C
−
và đường thẳng (d) có phương trình là:
( )
1 1 2
:
2 1 2
x y z
d
− + +
= =

−
.
Hãy lập phương trình đường thẳng
( )
∆
đi qua trực tâm của tam giác ABC, nằm trong mặt
phẳng (ABC) và vuông góc với đường thẳng (d).
Ta có
( ) ( ) ( )
1; 1;2 , 1; 1;3 , 1; 5; 2AB AC AB AC
 
= − = − − ⇒ = − − −
 
uuur uuur uuur uuur

Phương trình mặt phẳng (ABC):
( ) ( ) ( )
1 1 5 2 2 1 0 5 2 9 0x y z x y z
− − − − − + = ⇔ + + − =
Gọi trực tâm của tam giác ABC là
( )
, ,H a b c
,
Khi đó ta có hệ:
( )
( )
. 0
2 3 2
. 0 3 0 1 2;1;1
5 2 9 1

BH AC
a b c a
CH AB a b c b H
a b c c
H ABC

=
− + = =
 

  
= ⇔ + − = ⇔ = ⇒
  
  
+ + = =
∈
 


uuur uuur
uuur uuur
Do đường thẳng
( )
∆
nằm trong (ABC) và vuông góc với (d)
Nên:
( )
, 12,2, 11
ABC
ABC d

d
u n
u n n
u u
∆
∆
∆

⊥

 
⇒ = = −

 
⊥


uur r
uur r r
uur uur
.
Vậy đường thẳng
( )
∆
đi qua điểm
( )
2;1;1H
và có vtcp
( )
12,2, 11−

có phương trình:
2 1 1
:
12 2 11
x y z− − −
∆ = =
−

Câu 7.(1,0 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và tam giác SAB
là tam giác cân tại đỉnh S. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng đáy bằng
0
45
, góc giữa mặt
phẳng (SAB) và mặt phẳng đáy bằng
0
60
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD, biết rằng khoảng
cách giữa hai đường thẳng CD và SA bằng
6a
.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lờn mặt đáy, M là trung điểm AB và do tam giác SAB
cân tại S nên SM vuông góc với AB và kết hợp với SH vuông góc với đáy suy ra AB vuông
góc với mặt phẳng SMN nên theo giả thiết ta được:
( )
·
·
0
,( ) 45 2SA ABCD SAH SA SH
= = ⇒ =
P

N
M
H
D
C
B
S
A
( )
( )
·
( )
·
·
0
2
( ), , 60 .
3
SAB ABCD SM MH SMH SM SH
= = = ⇒ =
Từ điểm N kẻ NP vuông góc với SM thì dễ thấy NP là khoảng cách giữa hai đường thẳng SA
và CD suy ra
6NP a
=
. Ta có
2
. . . 6. 2 2
3
SH MN NP SM SH AB a SH AB a
= ⇔ = ⇔ =

Trong tam giác SAM ta có
2
2 2 2 2 2
4
2 2 3
3
SH
SA AM SM SH a SH a
= + ⇔ = + ⇔ =
2 3
.
1 3.8 8 3
.
3 3 3
S ABCD ABCD
a a a
V SH S
= = =
Câu 8.(1,0 điểm): Giải hệ phương trình
( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
2 6 2 2 3 0
3 3 2
x y y y
x y x xy y x y

+ − − + + =



− + + + = + +



( )
,x y ∈¡
Đk
1,5y ≥ −
.
Phương trình thứ hai của hệ tương đương với
( )
( ) ( )
3 3
3 3 2 2
3 3 3 2 1 1 1 1 2x y x y x y x y x y y x
− + − = + + ⇔ − = + ⇔ − = + ⇔ = −
Thay vào pt thứ nhất ta được:
2 2
2
2 1 1
1 1
3 1 2 1 2 1
2 2
2 1
x x
x x x x x
x x

− = −

   
− + = − − ⇔ − = − − ⇔

 ÷  ÷
   
− =


Giải hai pt này ta được
1, 2 2x x= = −
Vậy hệ có hai nghiệm là
( ) ( )
( )
; 1; 1 , 2 2, 2x y
= − − −
.
Câu 9.(1,0 điểm): Cho
, ,x y z
là các số thực dương thoả mãn
x y z≥ ≥
và
3x y z+ + =
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
3
x z
P y
z y
= + +

Ta có:
2 , 2
x z
xz x yz z
z y
+ ≥ + ≥
Từ đó suy ra
3 2 2 3
x z
P y x xz z yz y
z y
= + + ≥ − + − +

2
2( ) ( ) 2( ) ( )x z y x y z xz yz x z y x y z= + + + + − − = + + + −
Do
0x >
và
y z≥
nên
( ) 0x y z− ≥
.
Từ đây kết hợp với trên ta được
2 2 2
3 2( ) 2(3 ) ( 1) 5 5
x z
P y x z y y y y
z y
= + + ≥ + + = − + = − + ≥
.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 5 đạt khi x=y=z=1
ĐỀ SỐ 34
Câu 1. (2,0 điểm)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
)(H
của hàm số
.
1
12
+
+−
=
x
x
y
2. Tìm m để đường thẳng
mxyd +−=:
cắt
)(H
tại hai điểm A, B thỏa mãn
22=AB
.
Câu 2. (2,0 điểm)
1. Giải phương trình
.cos2cos3cos1sin2sin3sin xxxxxx
−+=+++
2. Giải bất phương trình
.2
4
4

27
−+>
−
+
x
x
x
x
xx
Câu 3.(1,0 điểm)
Tính tích phân
.d
2
2ln
0
∫
++
=
−
x
ee
x
I
xx
Câu 4.(1,0 điểm)
1. Tính hệ số của
4
x
trong khai triển biểu thức
),0(,)

1
1(3 >






−+ x
x
x
n
biết rằng n là số
nguyên dương thỏa mãn
.383
3
1
2
2
1
1 +++
=+
nnn
CCC

2. Giả sử
z
là số phức thỏa mãn
.042
2

=+− zz
Tìm số phức
.
2
31
7








+
−+
=
z
z
w
Câu 5.(1,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ
,Oxy
cho parabol
xyP 2:)(
2
=
và điểm
).0;2(K
Đường thẳng d đi qua K cắt (P) tại hai điểm phân biệt M, N.

Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN nằm trên đường thẳng d.
Câu 6.(1,0 điểm):
Trong không gian với hệ tọa độ
,Oxyz
cho mặt phẳng
052:)( =+−+ zyxP
và đường
thẳng
.
1
3
1
1
2
3
:
−
=
+
=
+ zyx
d
Gọi
'd
là hình chiếu vuông góc của d lờn (P) và E là giao điểm
của d và (P). Tìm tọa độ điểm F thuộc (P) sao cho EF vuông góc với
'd
và
.35=EF

Câu 7.(1,0 điểm)
Cho hình lăng trụ
1 1 1
.ABC A B C
có M là trung điểm cạnh AB,
·
0
2 , 90BC a ACB= =
và
·
0
60 ,ABC =
cạnh bên
1
CC
tạo với mặt phẳng
)(ABC
một góc
,45
0
hình chiếu vuông góc của
1
C

lờn mặt phẳng
)(ABC
là trung điểm của CM. Tính thể tích khối lăng trụ đó cho và góc tạo bởi hai
mặt phẳng
)(ABC
và

).(
11
AACC
Câu 8.(1,0 điểm): Giải hệ phương trình :
2 2 3
2 2 2
5 4 3 2( ) 0
( ) 2 ( )
x y xy y x y
xy x y x y

− + − + =


+ + = +



Câu 9.(1,0 điểm)
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn
.3≤++ zyx
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

.
111222
222222333
xzxzzyzyyxyxzyx
P
+−
+

+−
+
+−
+++=
LỜI GIẢI
Câu 1.(2,0 điểm)
1. (1,0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
)(H
của hàm số
.
1
12
+
+−
=
x
x
y
a) Tập xác định:
}1{\ −
.
b) Sự biến thiên:
* Giới hạn, tiệm cận:
Ta có
( )
−∞=
−
−→
y
x 1

lim
và
( )
.lim
1
+∞=
+
−→
y
x
Nên đường thẳng
1
−=
x
là tiệm cận đứng của (H).
Vì
2limlim −==
+∞→−∞→
yy
xx
nên đường thẳng
2−=y
là tiệm cận ngang của đồ thị.
* Chiều biến thiên: Ta có
.1,0
)1(
3
'
2
−≠∀<

+
−
= x
x
y

Suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
( ) ( )
.;1,1; ∞+−−∞−
* Bảng biến thiên
x
∞−

1−

∞+
'y

−

−
y

∞+


2−

2−

∞−

c) Đồ thị: Đồ thị (H) cắt Ox tại






0;
2
1
, cắt Oy
tại
( )
.1;0
(H) nhận giao điểm
( )
2;1 −−I
của hai
đường tiệm cận làm tâm đối xứng.
2. (1,0 điểm) Tìm m để đường thẳng
mxyd +−=:
cắt
)(H
tại hai điểm A, B thỏa mãn
22=AB
.

Hoành độ giao điểm của d và (H) là nghiệm của phương trình

mx
x
x
+−=
+
+−
1
12
2
2 1 ( 1)( ), 1 ( 1) 1 0(1)x x x m x x m x m⇔ − + = + − + ≠ − ⇔ − + − + =
Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
0)1(4)1(0
2
>+−−+⇔>∆⇔ mm

2
6 3 0 3 2 3, 3 2 3m m m m⇔ + − > ⇔ < − − > − +
(2)
Khi đó
),;(),;(
2211
mxxBmxxA +−+−
với
.1,1
2121
+−=+=+ mxxmxx
Từ giả thiết ta có
4)(8)()(8

2
12
2
12
2
12
2
=−⇔=−+−⇔= xxxxxxAB

2 2 2
1 2 1 2
( ) 4 4 ( 1) 4( 1) 4 6 7 0 1, 7x x x x m m m m m m⇔ + − = ⇔ + − − + = ⇔ + − = ⇔ = = −
Đối chiếu với (2), ta có các giá trị cần tìm của m là
.7,1 −== mm
Câu 2. (1,0 điểm )
1.(0,5) điểm) Giải phương trình
.cos2cos3cos1sin2sin3sin xxxxxx −+=+++
Ta có:
xxxxxx cos3cos2cos12sin)sin3(sin −=−+++
xxxxxxx cos2sin2sin2cossin2cos2sin2
2
−=++⇔
sin 2 (cos sin ) sin (cos sin ) 0x x x x x x⇔ + + + =
sin (2cos 1)(cos sin ) 0.x x x x⇔ + + =
Từ đó ta có các trường hợp sau
*)
.,0sin ∈=⇔= kkxx
π
*)
.,2

3
2
2
1
cos01cos2 ∈+±=⇔−=⇔=+ kkxxx
π
π
*)
.,
4
0sincos ∈+−=⇔=+ kkxxx
π
π
Vậy phương trình đó cho có nghiệm:
2
, 2 , ,
3 4
x k x k x k k
π π
π π π
= = ± + = − + ∈¢
x
O
1
−
2
1
y
I
2

−
1
2.(0,5 điểm) Giải bất phương trình
.2
4
4
27
−+>
−
+
x
x
x
x
xx
Điều kiện:
.0
02
4
0
>⇔





>−+
>
x
x

x
x
Khi đó bpt đó cho tương đương với
.24427
22
xxxx −+>−+
Đặt
0,42
2
≥=+− ttxx
ta được:



>
<
⇔>+−⇔>+
3
1
03443
22
t
t
tttt
*) Với
1<t
ta có
,142
2
<+− xx

bpt này vô nghiệm.
*) Với
3>t
ta có




−<
+>
⇔>−−⇔>+−
61
61
052342
22
x
x
xxxx
Đối chiếu điều kiện, ta có nghiệm
.61+>x
Câu 3.(1,0 điểm) Tính tích phân
.d
2
2ln
0
∫
++
=
−
x

ee
x
I
xx
Ta có
.d
)1(
2ln
0
2
∫
+
= x
e
xe
I
x
x
Đặt
,dd xuxu =⇒=

.
1
1
d
)1(
d
2
+
−=⇒

+
=
xx
x
e
vx
e
e
v
Theo công thức tích phân từng phần ta có:
∫∫
+
+−=
+
+
+
−=
2ln
0
2ln
0
0
2ln
1
d
3
2ln
1
d
1

xxx
e
x
e
x
e
x
I
(1)
Tính
.
1
d
2ln
0
1
∫
+
=
x
e
x
I
Đặt
te
x
=

Đổi cận ta có
22ln;10 =⇒==⇒= txtx

và
.
d
d
t
t
x =
Suy ra
.3ln2ln2)1ln(lnd
1
11
)1(
d
1
2
1
2
2
1
2
1
1
−=+−=






+

−=
+
=
∫∫
ttt
tttt
t
I
Thay vào (1) ta được
.3ln2ln
3
5
−=I
Câu 4.(1,0 điểm)
1.(0,5 điểm). Tính hệ số của
4
x
trong khai triển biểu thức
),0(,)
1
1(3 >






−+ x
x
x

n
biết rằng n là
số nguyên dương thỏa mãn
.383
3
1
2
2
1
1 +++
=+
nnn
CCC

Từ giả thiết ta có
2,
6
)1()1(
.3
2
)1)(2(
.8)1(3 ≥
−+
=
++
++ n
nnnnn
n
,
n

∈
¥

2
6 8( 2) ( 1) 9 22 0 11 2 11.n n n n n n n n⇔ + + = − ⇔ − − = ⇔ = = − ⇔ =
Theo khai triển nhị thức Newton ta có:
∑∑∑
=
−
=
−
=
−
=






−=













−+
k
i
i
i
i
k
kk
k
k
k
kk
k
k
x
CxC
x
xC
x
x
0
11
11
0
11
11
11

0
11
11
)1(
.)(3.
1
13.).(
1
13
.)1(.3.
2
11
0
11
0
11
i
k
i
k
i
i
k
k
k
k
xCC
−
−
==

−=
∑∑
Xét phương trình
110,4
2
11
≤≤≤=−
−
kii
k




==
==
⇔≤≤≤=+⇔
0,3
1,1
110,32
ik
ik
kiik
Suy ra hệ số của
4
x
là
.44223.)1.(.3.
33
11

11
1
1
11
=+− CCC
2.(0,5 điểm). Giả sử
z
là số phức thỏa mãn
.042
2
=+− zz
Tìm số phức
.
2
31
7








+
−+
=
z
z
w

Từ giả thiết
042
2
=+− zz
ta có
.313)1(
2
izz ±=⇔−=−
*) Với
iz 31−=
ta có:
7
7
(1 ) 1
.
( 3 ) 8 2
i
w
i
+
= =
−
7
7
(cos sin )
4 4
(cos sin )
6 6
i
i

π π
π π
+
− −
+
.
32
13
32
13
3
1
.
8
1
6
7
sin
6
7
cos
4
7
sin
4
7
cos
.
28
1

i
i
i
i
i
−
+
+
−=
+−
−
=
−
+
−
+
=
ππ
ππ
*) Với
iz 31+=
ta có
7
7
7
7
7
)
6
sin

6
(cos
)
4
sin
4
(cos
.
28
1
)3(
)1(
33
33
ππ
ππ
i
i
i
i
i
i
w
+
−
+
−
=
+
−

=








+
−
=

7 7
cos sin
1 1 1 3 1 3 1
4 4
. . .
7 7
8 32 32
8 2 3
cos sin
6 6
i
i
i
i
i
π π
π π

− −
+
+ + −
= = − = − −
+
+
Vậy:
3 1 3 1
;
32 32
i
ω
+ −
= − +
3 1 3 1
32 32
i
ω
+ −
= − −
Câu 5. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ
,Oxy
cho parabol
xyP 2:)(
2
=
và điểm
).0;2(K
Đường thẳng d đi qua K cắt (P) tại hai điểm phân biệt M, N.
Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN nằm trên đường thẳng d.

TH1:
.2:
=⇒⊥
xdOxd
Từ
0.
)2;2(
)2;2(
2
2
2
=⇒



−
⇒



=
=
ONOM
N
M
xy
x
.(1)
– TH2:
.2: kkxydOxd −=⇒⊥/

Tọa độ M, N là nghiệm của



=
−=
xy
kkxy
2
2
2
2 2
, . 2
2 2
y y
x y k k⇔ = = −

042
2
=−−⇒ kyky
.(2).
Để d cắt (P) tại M, N phân biệt thì (2) phải có 2 nghiệm phân biệt
.0
≠⇔
k
Gọi

















2
2
2
1
2
1
;
2
,;
2
y
y
Ny
y
M
trong đó
21

, yy
là nghiệm của (2).
Ta có
0)4()2(
2
.
2
21
2
21
=−+−=+






= yy
yy
ONOM
. (3)
Từ (1) và (3) suy ra
·
0
90MON OMN= ⇒ ∆
vuông tại O.
Suy ra tâm I của đường tròn ngoại tiếp
OMN∆
là trung điểm MN
.dI ∈⇒

Câu 6.(1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ
,Oxyz
cho mặt phẳng
052:)( =+−+ zyxP

và đường thẳng
.
1
3
1
1
2
3
:
−
=
+
=
+ zyx
d
Gọi
'd
là hình chiếu vuông góc của d lờn (P) và E là
giao điểm của d và (P). Tìm tọa độ điểm F thuộc (P) sao cho EF vuông góc với
'd
và
.35=EF

d cắt (P) tại
)4;0;1(−E

. Giả sử
052)(),;;(
000000
=+−+⇒∈ zyxPFzyxF
. (1)
Vì
'dEF
⊥
nên
dEF
⊥
(định lí 3 đường vuông góc)
0. =⇒ EFu
d
.022
000
=−++⇔ zyx
(2)
75)4()1(35
2
0
2
0
2
0
=−+++⇔= zyxEF
(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra
),1;5;4( −−F
hoặc

).9;5;6(−F
Câu 7.(1,0 điểm)
Gọi H là trung điểm CM.
Từ giả thiết
·
( )
( )
·
1 1 1
( ), ;C H ABC C CH CC ABC⇒ ⊥ =
*)
Từ tam giác vuông ABC với
·
0
2 , 60 2 3BC a ABC AC a= = ⇒ =
,
aCHaABCMaAM =⇒=== 2
2
1
,4

.45tan
0
1
aCHHC ==⇒
.3232
32
1.
111
aaaSHCV

ABCCBAABC
===
*) Kẻ
⇒⊥
ACHK
đường xiên
( ) ( )
( )
·
·
1 1 1 1
;C K AC ABC ACC A C KH⊥ ⇒ =

Tam giác MCA cân tại M nên
·
·
0
30
2
a
MCA MAC HK HC= = ⇒ = =
Câu 8.(1,0 điểm) Giải hệ phương
trình:
2 3
2 2 2
5 4 3 2( ) 0 (1)
( ) 2 ( ) (2)
x y xy y x y
xy x y x y
2


− + − + =


+ + = +


2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
(2) ( ) 2 2 ( )( 1) 2( 1) 0
1
( 1)( 2) 0
2
xy x y x y xy x y xy xy
xy
xy x y
x y
⇔ + + = + + ⇔ + − − − =
=

⇔ − + − = ⇔

+ =

2 3
1 1
5 4 3 2( ) 0
TH1:
1 1

1
x x
x y xy y x y
y y
xy
2
= = −

− + − + =
 
⇔ ∪
  
= = −
=
 

2 3 2 3 2 2
2 2 2 2
5 4 3 2( ) 0 5 4 3 ( )( ) 0
TH2 :
2 2
x y xy y x y x y xy y x y x y
x y x y
2 2
 
− + − + = − + − + + =
 
⇔
 
+ = + =

 
 

2 2
2 2 2 2
1
5 5
2
2 2
2
5 5
x x
y x v y x
x y
y y
 
= = −

 
= =
  
⇔ ⇔ ∪
  
  
+ =
= = −

 
 
Vậy hệ có bốn nghiệm là

( ) ( )
2 2 2 2 2 2
1;1 ; 1; 1 ; ; ; ;
5 5 5 5
   
− − − −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
Câu 9.(1,0 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn
.3≤++ zyx
Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:
.
111222
222222333
xzxzzyzyyxyxzyx
P
+−
+
+−
+
+−
+++=
Ta có
.
3
1
11
;

3
1
11
;
3
1
11
333333
zx
xz
yz
zy
xy
yx
≥++≥++≥++
Suy ra
.
333
3
222
333
zxyzxy
zyx
++≥+++
Suy ra
.
111333
3
222222
xzxzzyzyyxyx

zxyzxy
P
+−
+
+−
+
+−
+++≥+
Mặt khác, áp dụng BĐT
,
411
baba +
≥+
với
0, >ba

ta có:






+−
++









+−
++








+−
++++≥+
222222
111111222
3
xzxzzxzyzyyzyxyxxyzxyzxy
P

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
3
2 2 2 4 4 4 1 1 1 1 1 1
4 4 4
2 2 2
16 16 16 3 3.9 3.9
16. 16. 16. 12.

( ) ( ) ( ) (2 2 2 ) 4.3
( ) ( ) ( )
xy yz zx xy yz zx
x y y z z x x y y z z x
x y y z z x x y z
x y y z z x
   
 
≥ + + + + + = + + + + +
 ÷  ÷
 ÷
+ + + + + +
 
   
≥ + + ≥ ≥ ≥ =
+ + + + +
+ + +
Do đó
.9≥P
Dấu đẳng thức xảy ra khi
.1=== zyx
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 9, đạt được khi
.1=== zyx
ĐỀ SỐ 35
Câu 1. Cho hàm số
3 2
(2 1) 1y x m x m= − + + − −
(m là tham số).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi
1.m =

2. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để đồ thị của hàm số đó chi tiếp xúc với đường
thẳng
2 1.y mx m= − −
·
( ) ( )
( )
·
1 1 1
tan 2 ; arctan 2.
CH
C KH ABC ACC A
HK
⇒ = = ⇒ =
C
A
M
H
K
1
C
1
B
1
A
2a
B
Câu 2.
1.Giải phương trình
( )
( )

2
3 2cos cos 2 3 2cos sin 0x x x x+ − + − =
.
2.Giải hệ phương trình
2 1 1
3 2 4
x y x y
x y

+ + − + =


+ =


(
,x y ∈¡
)
Câu 3.(1,0 điểm)
Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
1,
x
y e= +
trục hoành và hai đường
thẳng
ln3, ln8.x x= =
Câu 4.(1,0 điểm):
1. Tìm hệ số của
4
x

trong khai triển
2
(1 3 )
n
x x+ −
,
Biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn
1 2 3
156.
n n n
A A A+ + =
2. Giải phương trình
2 4
2 16
2 2
3
log ( 5) log | 1| 1 log ( 3 2)
2
x x x x+ + − = + − +
Câu 5.(1,0 điểm).
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với các đường thẳng chứa đường cao
kẻ từ B, phân giác trong kẻ từ A lần lượt có phương trình
33 4 0, 12 0.x y x y+ − = + − =
Biết rằng
điểm
(0;2)M
là một điểm nằm trên đường thẳng AB và cách đỉnh C một khoảng bằng
2 10,

tìm tọa độ các đỉnh của tam giác.

Câu 6.(1,0 điểm).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm
(3;2;1),A
mặt phẳng
( ) : 2 0P x y z+ + + =
và
đường thẳng
1
1
1 2 1
: .
y
x z
−
+
= =
−
∆
Viết phương trình của đường thẳng d đi qua A, cắt
∆
và
( )P

theo thứ tự tại B và C sao cho A là trung điểm BC.
Câu 7.(1,0 điểm).
Cho hình lăng trụ
.ABC A B C
′ ′ ′
có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu của đỉnh
A

′
trên mặt
phẳng
( )ABC
trùng với tâm O của tam giác ABC. Biết rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng
BC và
AA
′
bằng
3
4
,
a
hãy tính thể tích của hình lăng trụ và diện tích của thiết diện khi cắt
lăng trụ bởi mặt phẳng đi qua BC vuông góc với
AA
′
.
Câu 8.(1,0 điểm) : Giải hệ phương trình:
( ) ( )
3 7 1 2 1
2 4 5
x x y y y
x y x y
− + = − −


+ + + =



Câu 9.(1,0 điểm).
Cho các số thực
, ,a b c
bất kỳ. Chứng minh rằng
2 2 2 2
( 2)( 2)( 2) 3( )a b c a b c+ + + ≥ + +
LỜI GIẢI
Câu 1.(2,0 điểm): Cho hàm số
3 2
(2 1) 1y x m x m= − + + − −
(m là tham số).
1.(1,0 điểm): Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi
1.m
=
Với m=1 ta có:
3 2
3 2y x x= − + −
.
TXĐ:
¡
Nhánh vô cực:
( ) ( )
3 2 3 2
lim lim 3 2 ; lim lim 3 2
x x x x
y x x y x x
→+∞ →+∞ →−∞ →−∞
= − + − = −∞ = − + − = +∞
,
Chiều biến thiên:

3 (2 ), 0 0 2y x x y x x
′ ′
= − = ⇔ = ∨ =
Xét dấu
y
′
và kết luận:
Hàm số đồng biến trên
(0;2),
nghịch biến trên các khoảng
( ;0),(2; )−∞ +∞
;
Hàm số đạt cực đại tại
2, (2) 2;
cd
x y y= = =
hàm số đạt cực tiểu tại
0, (0) 2
ct
x y y= = = −
Lập bảng biến thiên
Vẽ đồ thị
3. 2.(1,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để đồ thị của hàm số đó chi tiếp
xúc với đường thẳng
2 1.y mx m= − −
Đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng
2 1y mx m= − −
khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm
( )
( )

3 2
2
2 1 1 2 1 (1)
3 2 2 1 2 (2)
x m x m mx m
x m x m

− + + − − = − −


− + + =


Phương trình (1) tương đương với
2
( (2 1) 2 ) 0x x m x m− + + =
do đó luôn có nghiệm
0, 1x x= =

và
2x m=
. Do đó, hệ (1)-(2) có nghiệm khi và chỉ khi ít nhất một trong ba nghiệm của (1) là
nghiệm của (2).
0x =
thỏa mãn (2):
0m =
;
1x =
thỏa mãn (2):
1

2
m =
;
2x m
=
thỏa mãn (2):
tìm được
0m
=
và
1
2
m =
Kết luận
Câu 2.(1,0 điểm):
1.(0,5 điểm). Giải phương trình
( )
( )
2
3 2cos cos 2 3 2cos sin 0x x x x+ − + − =
.
Phương trình đó cho tương đương với
( ) ( )
2
2 3cos 2 3 2sin cos 3 cos 3sin 0x x x xx − − + + =
( )
( )
( )
2 2 2
2 3cos 2 3 sin cos 2sin cos 3 cos 3sin 0x x x xx x x⇔ − + − + + =

⇔
( ) ( )
cos 3sin 3 2sin 0x x x+ − =
Giải phương trình
3 2sin 0x− =
thu được
2 · ( )
3
x k k
π
π
= + ∈¢
và
2
2 · ( )
3
x m m
π
π
= + ∈¢
Giải phương trình
cos 3sin 0x x+ =
thu được
· ( )
6
x n n
π
π
= − + ∈¢

Kết luận : Phương trình có 3 họ nghiệm
2 · ;
3
x k
π
π
= +
2
2 · ;
3
x m
π
π
= +
· ( )
6
x n n
π
π
= − + ∈¢
2.(0,5 điểm). Giải hệ phương trình
2 1 1
3 2 4
x y x y
x y

+ + − + =


+ =



(
,x y ∈¡
)
Điều kiện:
2 1 0, 0x y x y+ + ≥ + ≥
Đặt
2 1 , , ( , 0),x y a x y b a b+ + = + = ≥

để ý rằng
3 2 (2 1) ( ) 1,x y x y y x y+ = + + + + + −

ta được hệ
2 2
1
5
a b
a b
− =


+ =

2
1
a
b
=


⇔

=

Với
2
1
a
b
=


=

⇔
2 3
1
x y
x y
+ =


+ =

.
2
1
x
y
=


⇔

= −

Hệ phương trình có nghiệm:
( ; ) (2; 1)x y = −