TÓM TẮT LUẬN VĂN NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG HỆ MẬT TRÊN CẤP SỐ NHÂN CYCLIC TRONG HÀM BĂM

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG




ĐINH MẠNH TOÀN


NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG HỆ MẬT TRÊN CẤP SỐ NHÂN CYCLIC
TRONG HÀM BĂM



Chuyên ngành : Kỹ thuật Viễn thông
Mã số : 60.52.02.08

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ





HÀ NỘI - 2013

Luận văn được hoàn thành tại:
HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG


Người hướng dẫn khoa học:
……………………………………………………………
(Ghi rõ học hàm, học vị)


Phản biện 1:
……………………………………………………………………………

Phản biện 2:
…………………………………………………………………………


Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ tại Học viện
Công nghệ Bưu chính Viễn thông
Vào lúc: giờ ngày tháng năm

Có thể tìm hiểu luận văn tại:
- Thư viện của Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông

TS. Ngô Đức Thiện
1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Với sự bùng nổ của mạng internet hiện nay, mạng máy tính đang ngày càng đóng vai trò
thiết yếu trong mọi lĩnh vực hoạt động của toàn xã hội, đi đôi với lợi ích mà nó mang lại thì
một vấn đề hết sức quan trọng đó là yêu cầu bảo mật thông tin, xác thực nội dung thông tin
cũng như xác thực chủ thể nội dung.
Sự phát triển của ngành mật mã học gắn liền với quá trình hình thành của hai hệ mật chính
là hệ mật khóa bí mật và hệ mật mã công khai. Hệ mật khóa công khai với các ưu điểm như:
không phải sử dụng kênh an toàn để truyền khóa, số lượng khóa cần tạo và bảo mật phù hợp
cho số lượng người dùng, thuận tiện và phù hợp cho yêu cầu bảo mật thông tin và các dịch
vụ xác thực trên mạng với sự bùng nổ số lượng người dùng như hiện nay.
Việc giao dịch điện tử an toàn cũng như truyền thông tin trên mạng đòi hỏi cần có các dịch
vụ xác thực nội dung và chữ ký số. Trong các sơ đồ xác thực và chữ ký số thì hàm băm
đóng một vai trò quan trọng, nó là một hàm dùng để nén một chuỗi bit ở đầu vào tùy ý
thành một chuỗi bit có độ dài cố định ở đầu ra, chuỗi đầu ra được gọi mã băm, (hay kết quả
băm, giá trị băm, mã xác thực). Mã băm có thể xem như “đại diện” của tài liệu số hay “tóm
lược” thông báo và được sử dụng trong một số ứng dụng như: Xác thực tính toàn vẹn của dữ
liệu; xác thực số, chữ ký số, bảo vệ bản quyền tài liệu số, nhận dạng mật khẩu; nhận dạng
đối tượng
Các sơ đồ hàm băm thường được xây dựng trên mật mã khối theo một số sơ đồ cụ thể. Đặc
tính quan trọng nhất của hàm băm là tính khuếch tán và độ dài mã băm, cả hai đặc tính này
đều phụ thuộc vào mật mã khối được sử dụng trong lược đồ hàm băm. Do đó, nếu ta xây
dựng được một hệ mật đảm bảo tính khuếch tán tốt và tính dễ tính toán (không yêu cầu tính

bảo mật cao) thì hoàn toàn có thể sử dụng để xây dựng các hàm băm mới thỏa mãn các yêu
cầu của thực tế.
Theo các kết quả nghiên cứu gần đây về hệ mật xây dựng trên các cấp số nhân cyclic cho
thấy các hệ mật mới này thỏa mãn các yêu cầu để xây dựng hàm băm. Trên cơ sở đó luận
văn sẽ tập trung tìm hiểu hệ mật xây dựng trên các cấp số nhân trên vành đa thức lớn và từ
đó áp dụng vào xây dựng các hàm băm có độ dài tối thiểu là 128 bit.
2

2. Mục đích nghiên cứu:
 Tìm hiểu hệ mật xây dựng trên cấp số nhân cyclic của vành đa thức.
 Áp dụng các hệ mật này để xây dựng các hàm băm mới.
 Mô phỏng tính khuếch tán của các hàm băm đề xuất.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
 Đối tượng nghiên cứu: Mật mã khối, hàm băm, nhóm nhân và cấp số nhân trên
vành đa thức.
 Phạm vi nghiên cứu: Sử dụng cấp số nhân cyclic trên vành đa thức xây dựng hệ
mật mã khối và áp dụng vào hàm băm.
4. Phương pháp nghiên cứu:
 Sử dụng lý thuyết về mật mã học, các cấu trúc đại số trên vành đa thức, kết hợp
với việc tính toán và mô phỏng tính khuếch tán của các hàm băm đề xuất.
5. Cấu trúc luận văn
Luận văn có phần mở đầu, kết luận và 03 chương nội dung được trình bày trong 69 trang
đánh máy, không kể tài liệu tham khảo và các phụ lục.
Chương 1: Tổng quan về mật mã học và hàm băm
Chương này sẽ trình bày các vấn đề cơ bản về mật mã cổ điển, hệ mật mã khóa công khai,
hàm băm và một số sơ đồ xác thực thông tin và chữ ký số.
Chương 2: Hệ mật xây dựng trên cấp số nhân cyclic của vành đa thức
Chương này tập trung vào việc nghiên cứu phân tích cấu trúc nhóm nhân cyclic và cấp số
nhân trên vành đa thức, trên cơ sở đó xây dựng một hệ mật khóa bí mật làm cơ sở thực hiện
các hàm băm mới.

Chương 3: Áp dụng hệ mật xây dựng trên cấp số nhân cyclic vào hàm băm
Nội dung chương này đề cập đến cấu trúc cơ bản của các hàm băm, một số ví dụ về hàm
băm và các phép tấn công hàm băm cơ bản. Phần tiếp theo là đề xuất xây dựng một hàm
băm MDC-2 mới 256 bit.
3

Được sự giúp đỡ tận tình của thầy TS. Ngô Đức Thiện và sự nổ lực của bản thân luận văn
đã được hòan thành. Tuy nhiên do thời gian hạn hẹp và trình độ hạn chế việc hiểu và trình
bày các vấn đề được nêu không thể tránh khỏi còn nhiều thiếu sót. Rất mong được sự góp ý
của các thầy và các bạn có quan tâm.
CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ MẬT MÃ HỌC VÀ HÀM BĂM
1.1 Hệ mật khóa bí mật

Nguồn tin
Nguồn tin
Bộ mã hóa
Bộ mã hóa
Kênh mở
Kênh mở
Bộ giải mã
Bộ giải mã
Nhận tin
Nhận tin
Thám mã
Thám mã
Kênh an toàn
Kênh an toàn
Nguồn khóa
Nguồn khóa
Bản rõ

Bản mã
Bản mã
Bản rõ
(Oscar)
(Bob)
(Alice)
E
K
D
K

Hình 1.1. Sơ đồ chức năng hệ mật khóa bí mật.
1.1.1. Mật mã thay thế
1.1.2. Mật mã hoán vị (MHV)
1.1.3. Ưu nhược điểm của mật mã khóa bí mật
1.2. Hệ mật khóa công khai
1.2.1. Sơ đồ chức năng
Mã hóa
Mã hóa
Kênh mở
Kênh mở
Giải mã
Giải mã
RB
K
CB
K
( , )
CB
C E M K

1
( , )
RB
M E K C


Nguồn tin
Nhận tin

Hình 1.2. Sơ đồ mật mã hóa công khai
1.2.2. Một số bài toán xây dựng hệ mật khóa công khai
4

Với yêu cầu với hệ mật khóa công khai: Dễ mã hóa, khó giải mã (Hàm một chiều), các
hướng nghiên cứu từ năm 1976 cho đến nay đã tìm được 5 hàm một chiều, tương ứng với 5
bài toán
1.2.2.1. Bài toán logarit rời rạc và hệ mật liên quan
1.2.2.2. Bài toán phân tích thừa số và hệ mật RSA
1.2.2.3. Bài toán xếp ba lô và hệ mật Merkle – Hellman
1.2.2.4. Bài toán mã sửa sai và hệ mật Mc. Eliece
1.2.2.5. Đường cong Elliptic và các hệ mật liên quan
1.3. Hàm băm và ứng dụng
Các hàm băm đóng vai trò cơ bản trong mật mã hiện đại. Hàm băm sẽ tạo ra một đầu
ra từ bản tin đầu vào. Đầu ra này được định nghĩa là mã băm (kết quả băm, giá trị băm). Nói
một cách chính xác hơn, hàm băm h sẽ tạo ra ánh xạ các xâu bit có độ dài hữu hạn tuỳ ý
thành các xâu bit có độ dài n cố định.
Hàm băm được phân ra thành 2 loại chính :
- Các hàm băm không khóa MDC.
- Các hàm băm có khóa MAC.
Hàm băm

Hàm băm
Không có khóa
Không có khóa
Có khóa
Có khóa
MDC
MDC
Các ứng dụng khác
Các ứng dụng khác
Các ứng dụng khác
Các ứng dụng khác
MDC
MDC
OWHF
OWHF
CRHF
CRHF

Hình 1.3. Phân loại hàm băm
1.3.1. Các định nghĩa và tính chất cơ bản
5

Hàm băm là một hàm h có ít nhất hai tính chất sau:
a)Tính chất nén: h sẽ ánh xạ một đầu vào x có độ dài bit hữu hạn tuỳ ý tới một đầu ra có độ
dài bit n hữu hạn.
b) Tính chất dễ dàng tính toán: Với h cho trước và một đầu vào x, có thể dễ dàng tính được.
1.3.1.2. Một số tính chất của các hàm băm không có khoá
a) Tính khó tính toán nghịch ảnh
c) Tính khó va chạm
b) Khó tìm nghịch ảnh thứ hai

1.3.1.3. Thuật toán mã xác thực thông báo (MAC).
1.3.2. Các phương pháp xây dựng hàm băm
1.3.2.1. Các hàm băm không có khoá
a) MDC độ dài đơn.
Ba sơ đồ dưới đây có liên quan chặt chẽ với các hàm băm độ dài đơn, xây dựng trên các mật
mã khối. Các sơ đồ này có sử dụng các thành phần được xác định trước như sau:
H
i-1
g
g
E
E
+
+
H
i
x
i
Matyas – Mayer - Oseas Davies - Mayer
E
E
x
i
E
E
+
+
H
i
H

i-1
x
i
H
i-1
g
g
+
+
H
i
Miyaguchi - Preneel

Hình 1.3 Sơ đồ xây dựng hàm băm độ dài đơn
- Một mật mã khối n bit khởi sinh được tham số hoá bằng một khoá đối xứng k.
6

- Một hàm g ánh xạ n bit vào thành khoá k sử dụng cho E (Nếu các khoá cho E cũng
có độ dài n thì g có thể là hàm đồng nhất)
- Một giá trị ban đầu cố định IV thích hợp để dùng với E.
b) MDC độ dài kép: MDC -2 và MDC - 4.
MDC -2 và MDC - 4 là các mã phát hiện sự sửa đổi yêu cầu tương ứng là 2 và 4 phép toán
mã hoá khối trên mỗi khối đầu vào hàm băm. Chúng sử dụng 2 hoặc 4 phép lặp của sơ đồ M
- D - O để tạo ra hàm băm có dộ dài kép.
* Thuật toán MDC - 2
* Thuật toán MDC – 4


Hình 1.4. Thuât toán MDC -2
Hình 1.5. Thuật toán MDC-4

1.3.2.2. Các hàm băm có khoá (MAC)
1.3.3. Ứng dụng của hàm băm
1.3.3.1. Tính toàn vẹn của dữ liệu và xác thực thông báo
Tính toàn vẹn của dữ liệu là tính chất đảm bảo dữ liệu không bị sửa đổi một cách bất hợp
pháp kể từ khi dữ liệu được tạo ra, được phát hoặc được lưu giữ bởi một nguồn xác định.
Các phương pháp cung cấp tính toàn vẹn của dữ liệu đó bằng cách dùng các hàm băm:
7

- Sử dụng MDC và kênh tin cậy
- Dùng MDC và mã hóa
- Chỉ dùng MAC
1.3.3.2. Chữ ký số
a) Định nghĩa chữ ký số
b) Các ưu điểm của chữ ký số
1.4. KẾT LUẬN CHƯƠNG 1
CHƯƠNG 2: HỆ MẬT XÂY DỰNG TRÊN CÁC CẤP SỐ NHÂN
CYCLIC
Chương này tập trung vào việc nghiên cứu phân tích cấu trúc nhóm nhân cyclic và cấp số
nhân trên vành đa thức, trên cơ sở đó xây dựng một hệ mật khóa bí mật làm cơ sở thực hiện
các hàm băm mới.
2.1. Nhóm nhân Cyclic trên vành đa thức
2.1.1. Định nghĩa nhóm nhân cyclic trên vành đa thức
Định nghĩa 2.1: Nhóm nhân cyclic (CMG-Cyclic Multiplicate Group) trong vành đa thức là
tập hợp các phần tử đều bằng lũy thừa của một phần tử gọi là phần tử sinh. Trong vành đa
thức có nhiều nhóm nhân cyclic, số nhóm nhân bằng số các lũy đẳng có thể có trong vành.
23
{ , , , }
m
A     

Trong đó:
A
là nhóm nhân cyclic

là phần tử sinh (đa thức sinh), .
m
là cấp của nhóm nhân.
2.1.2. Phân loại nhóm nhân cyclic trên vành đa thức
8

2.1.2.1. Nhóm nhân cyclic đơn vị
Định nghĩa 2.3:Nhóm nhân cyclic đơn vị là một nhóm nhân bao gồm mọi đơn thức có
trong vành và nó có cấp là
n
. Ký hiệu là
21
{ , , , ,1}
n
I x x x


.
Hay nói cách khác nhóm nhân cyclic đơn vị là nhóm nhân cyclic có phần tử sinh là x.

2 3 1
{ ,( ) ,( ) ,( ) ,1}
n
I x x x x



2.1.2.2. Nhóm nhân cyclic với phần tử sinh
()ax

2.1.2.3. Đa thức đối xứng và các nhóm nhân cyclic đối xứng
2.2. CẤP SỐ NHÂN CYCLIC TRÊN VÀNH ĐA THỨC
2.2.1. Khái niệm về cấp số nhân cyclic trên vành đa thức
Xét vành đa thức
2
[ ]/ 1
n
xx
với n lẻ, giả sử
()ax
là số hạng đầu tiên của cấp số
nhân cyclic và
()qx
là công bội của cấp số nhân.
Định nghĩa 2.6:Cấp số nhân cyclic (CGP - Cyclic Geometic Progressions) trên vành
đa thức là một tập hợp con có dạng sau:

21
( , )
{ ( ), ( ) ( ), ( ) ( ), , ( ) ( )}
m
aq
A a x a x q x a x q x a x q x



Trong đó: m là số các số hạng của cấp số nhân.

()ax
là số hạng đầu của cấp số nhân.

()qx
là công bội.

( ) ( ) ( )mod 1
mn
a x q x a x x

trong vành đa thức, nếu ta chọn số hạng đầu và hạt nhân phân hoạch khác nhau thì ta sẽ tạo
ra nhiều kiểu phân hoạch khác nhau của vành, do đó ta có các cấp số nhân cyclic để xây
dựng được các mã cyclic có cấu trúc khác nhau.
2.2.2. Phân hoạch vành đa thức
9

Quá trình phân hoạch vành đa thức thực chất là quá trình phân chia các phần tử trong vành
đa thức thành các tập (hay các lớp kề) không trùng nhau.
2.2.2.3 Các loại phân hoạch
a) Phân hoạch chuẩn
b) Phân hoạch cực đại
c) Phân hoạch cực tiểu
d) Phân hoạch vành thành các cấp số nhân có cùng trọng số
e) Phân hoạch vành thành các phần tử có trọng số cùng tính chẵn lẻ.
f) Phân hoạch vành đa thức thành các cấp số nhân theo modulo h(x).
2.3. HỆ MẬT XÂY DỰNG TRÊN CÁC CẤP SỐ NHÂN CYCLIC
2.3.1. Vấn đề mã hóa

Hình 2.1. Mã hóa và giải mã xây dựng trên cấp số nhân cyclic
2.3.2. Xây dựng hệ mật dùng cấp số nhân cyclic
2.3.2.1. Mạng hoán vị - thay thế Feistel
2.3.2.2. Xây dựng hệ mật dùng cấp số nhân cyclic
Trong sơ đồ xây dựng hệ mật, sơ đồ Feistel được sử dụng làm nền cho hệ mật dùng các cấp
số nhân cyclic trên vành đa thức.
10

Hàm
f
được xây dựng trên cơ sở hệ mật sử dụng
các cấp số nhân cyclic trên vành đa thức có hai
lớp kề. Các khóa
i
K
là các phần tử trong một cấp
số nhân được chọn như sau:
61
mod 1; ( 1,16)
i
i a o
K K K x i  

với
a
K
là một đa thức có trọng số lẻ tùy ý
sao cho:
deg 61
a

K 

0
K
là một phần tử nguyên thủy của nhóm
nhân cyclic có cấp bằng
60
21
và cũng là một đa
thức có trọng số lẻ. Cần chú ý rằng với
61n 

vành
61
2
/1[]Z x x 
là một vành có hai lớp kề
cyclic.

Hình 2.5. Sơ đồ mã hóa khối E
Hàm
f
được xây dựng trên cơ sở hệ mật sử dụng các cấp số nhân cyclic trên vành đa thức
có hai lớp kề. Các khóa
i
K
là các phần tử trong một cấp số nhân được chọn như sau:
61
mod 1; ( 1,16)
i

i a o
K K K x i  

với
a
K
là một đa thức có trọng số lẻ tùy ý sao cho:
deg 61
a
K 

0
K
là một phần tử nguyên thủy của nhóm nhân cyclic có cấp bằng
60
21
và cũng là
một đa thức có trọng số lẻ. Cần chú ý rằng với
61n 
vành
61
2
/1[]Z x x 
là một vành có hai
lớp kề cyclic.




11

Bảng 2.3 Bảng hoán vị ban đầu (IP)

Bảng 2.4 Bảng hoán vị đảo (IP
-1
)

Giả sử ta chọn phần tử sinh của khóa
3
0
1 (013)K x x   
,
Phần tử đầu
2
1 (012);
a
K x x   
Phần tử đầu của cấp số nhân và cũng là khóa
đầu tiên là:
45
10
. 1 (045).
a
K K K x x    
Sơ đồ khối bộ mã hóa
f
với khóa
1
K
như

trong hình 2.6.

Hình 2.6 Sơ đồ khối mã hóa , với khóa
45
1
1K x x  

Một khâu mã hóa được thực hiện theo quy tắc:
12

 
1
11
,
i i i
i i i i
L R K
R L f R K










2.3.2.3. Tạo khóa cho hệ mật
Ta có thể sử dụng các CGP để tạo các khóa cho hệ mật, tuy nhiên để tạo số lượng khóa

nhiều nên sử dụng các CGP trên vành đa thức có hai lớp kề cyclic. Thực chất các CGP này
được coi là M-dãy lồng ghép.
a) Vành đa thức có hai lớp kề cyclic
Định nghĩa 2.10
Vành đa thức theo modulo
1
n
x 
được gọi là vành đa thức có hai lớp kề cyclic nếu
phân tích của
1
n
x 
thành tích của các đa thức bất khả quy trên trường GF(2) có dạng sau:
1
0
1 (1 )
n
ni
i
x x x


  


Trong đó
1
n
x 

và
1
0
0
()
n
i
i
e x x




là các đa thức bất khả quy.
Bổ đề 2.14
Vành đa thức theo modulo
1
n
x 
là một vành đa thức có hai lớp kề cyclic nếu n thoả
mãn:
 n phải là một số nguyên tố;
 phần tử thứ hai phải thoả điều kiện
( )/
2 1mod
np
n


với mỗi ước nguyên tố p của

(n). (Trong đó (n) là hàm phi Euler)
b) M-dãy xây dựng trên vành đa thức
Xét vành đa thức
2
[ ]/ 1
n
xx
với
n
là số lẻ. Theo cách thông thường thì các M-dãy
có thể được tạo từ bất kỳ các thức nguyên thủy
()gx
có bậc là
m
theo phương trình đồng
dư sau:
( ) ( ). mod ( ); 1,2,3
i
a x b x x g x i

13

Trong đó:
()gx
- đa thức nguyên thủy;
deg ( )g x m


()bx
- đa thức mầm;

deg ( ) 1b x m

c) M-dãy lồng ghép xây dựng từ các cấp số nhân cyclic trên vành đa thức có hai lớp kề
Bổ đề 2.15: M-dãy lồng ghép trên vành đa thức có hai lớp kề có thể được tạo từ
phương trình đồng dư sau:
( ) ( ) ( )mod ( ); 1,2, ,2 1
im
b x c x a x h x i  

Thực chất
()bx
là một CGP.
Trong đó:
1
( ) 2 1ord
n
ax



Số lượng các đa thức
()ax
là:
(2 1)
m
a
N



Trọng số
( ( ))W
a
a x w
là một số chẵn.
Trọng số
( ( ))
h
W h x w
là một số lẻ với
deg ( ) 1.h x n

Số lượng các đa thức
()hx
tính như sau:
( 1)/2
22
1
0
2
n
in
hn
i
NC








()cx
là đa thức mầm với
deg ( ) 1c x m
.
Số lượng các M-dãy lồng ghép tính theo công thức:
ah
N N N

Số lượng các M-dãy lồng ghép của một số vành tính được như trong bảng 2.5
Bảng 2.5 Số lượng M-dãy lồng ghép với một vài giá trị n khác nhau
n

(2 1)
m
a
N



2
2
n
h
N



ah

N N N

T

5
8
8
64
15
14

11
600
512
30.720
1.023
13
1.728
2.048
3.538.944
4.095
19
139.968
131.072
1,8346.10
10
262.143
29
132.765.696
134.217.728

1,782.10
16

268.435.455
2.3.2.4. Đánh giá độ khuếch tán của hệ mật
Tiến hành tính toán độ khuếch tán khi thay đổi dữ liệu của hệ mật như trên với các
tham số sau:
Phần tử sinh của khóa:
15 30 45 59
0
( ) 1K x x x x x    

Phần tử đầu:
2
( ) 1
a
K x x x  

Đa thức lấy modulo:
60
0
()
i
i
h x x




Các khóa được tạo từ phương trình đồng dư sau:

0
( ) ( )mod ( ); 1,2,
i
ia
K K x K x h x i

Bản tin rõ đầu tiên gồm 32 ký tự dạng hexa (tương ứng 128 bit) là:
M
1
= 00112233445566778899AABBCCDDEEFF
Bảng 2.6 là kết quả tính toán phân bố của bộ mã khi thay đổi 32 bản tin rõ [2], mỗi bản
tin chỉ khác 1 bit, với cùng một bộ khóa
i
K
.
Bảng 2.6 Khoảng cách Hamming
1
( , )
Hi
d C C
giữa các cặp bản mã khi các bản rõ khác nhau 1
bit,
1
( , ) 1
Hi
d M M 
, với cùng một khóa
K

TT

Bản rõ
i
M

Bản mã
i
C

1
( , )
Hi
d C C

0
00112233445566778899AABBCCDDEEFF
C1CD0CE5889A8BB1639A7D9C8E342CD5
0
1
20112233445566778899AABBCCDDEEFF
94268991A180A02052383AC24DCFAE48
63
2
04112233445566778899AABBCCDDEEFF
65DC3F5436F70668AF463CE5975A5D2C
67
3
00912233445566778899AABBCCDDEEFF
5C98A3F3593EE31D255EF781F73BC3DF
63
4

00102233445566778899AABBCCDDEEFF
5EE44829E435D0D215A94ACCD072B789
67
5
00113233445566778899AABBCCDDEEFF
B0349EA1445C710455FD4EEF8BD1486C
67
15

6
00112633445566778899AABBCCDDEEFF
9DB3A8F4BB2B35DCEE43B140CF4D35BB
67
7
00112223445566778899AABBCCDDEEFF
AFBCF577CC564D4BD6AC1AAFFD31C9B1
67
8
00112237445566778899AABBCCDDEEFF
5A91724199A93A0F0E17A450527555CC
67
9
00112233C45566778899AABBCCDDEEFF
02368E78DD359D60C7F2D1DA4ABE31AC
63
10
00112233405566778899AABBCCDDEEFF
8756509B2C8BB800DDF7F04542E86DAC
67
11

00112233441566778899AABBCCDDEEFF
24A9B5206FD09A827871AB4413F8E1C1
67
12
00112233445466778899AABBCCDDEEFF
565CEAF217B3CF7D0F3526FFF8071B85
67
13
00112233445576778899AABBCCDDEEFF
80B4158BF96319F5AF5C8729B8531FA6
67
14
00112233445562778899AABBCCDDEEFF
91934A7ED4E42FA0502BC3F103EDE009
67
15
00112233445566578899AABBCCDDEEFF
691C9B15763AECE4881F09B5941FBDE4
63
16
001122334455667F8899AABBCCDDEEFF
EBB9E9D937B252E499FB60D608FE4899
63
17
0011223344556677C899AABBCCDDEEFF
F2BE0900EC234E56298B4E8765E2F448
67
18
00112233445566778C99AABBCCDDEEFF
F2FA5CBBCE01D7CFC78B4E2D3059A10C

67
19
00112233445566778889AABBCCDDEEFF
1801D0A4F183E5C09A08395048CE99E3
67
20
00112233445566778898AABBCCDDEEFF
5C01C1F11F0B6DA6FCB33950E29B77B6
67
21
00112233445566778899BABBCCDDEEFF
4C14C039C9E392DF1263EFD842F2D660
67
22
00112233445566778899ABBBCCDDEEFF
1950C0289C0D1A57740554D84258838E
67
23
00112233445566778899AA9BCCDDEEFF
470768A9204B1C419D3A1AC965B158FC
63
24
00112233445566778899AABFCCDDEEFF
9AAE7AD6BFCAD5F7F8C603389F079D6B
67
25
00112233445566778899AABBECDDEEFF
8B4BC681C4325A269364DDFBDBDFA9A1
63
26

00112233445566778899AABBC8DDEEFF
6E966F93BBADDBEF250121E22A251F64
67
27
00112233445566778899AABBCCFDEEFF
DC878A2FECD62360F46A833CE961C750
63
28
00112233445566778899AABBCCDFEEFF
10696449CE5E01AC1A959296F861928D
63
29
00112233445566778899AABBCCDDCEFF
A0D0466342FEC719B20D8D622E53793E
63
30
00112233445566778899AABBCCDDECFF
D71CA88D24DC4F3B7EE372738442796B
63
31
00112233445566778899AABBCCDDEE7F
2A4878CC92B11A80C1DD235F75B6B180
63
32
00112233445566778899AABBCCDDEEFE
D0FE170E5E42167DAE8EEA0D6823B3FC
67
(Chú ý: trong bảng 2.6, những ký tự hexa in đậm chứa bit thay đổi)
Khoảng cách Hamming trung bình giữa các bản mã là:
33

( ) 1
2
1
( , ) 65,65
32
H tb H i
i
d d C C




Tiến hành tính toán độ khuếch tán khi thay đổi khóa của hệ mật với các tham số sau:
Bản tin rõ đầu vào cố định trong mỗi lần tính:
16

M = 00112233445566778899AABBCCDDEEFF
Chọn phần tử đầu của cấp số nhân tạo khóa vẫn là
2
1
a
K x x  
.
Đa thức lấy modulo vẫn là:
60
0
()
i
i
h x x




;
Ví dụ 2.7:
   
0
5 56 57 58 59 60
12 F.1 1000.0100 1111.1
1
Hex Bin
K
x x x x x x

       

Bảng 2.7 là kết quả tính toán phân bố của bộ mã khi thay đổi khóa K, mỗi khóa khác
với khóa đầu tiên 2 bit, với cùng một bản rõ [2]:
Bảng 2.7 Khoảng cách Hamming
1
( , )
Hi
d C C
giữa các cặp bản mã khi các khóa khác khóa
1
K
2
bit
 
1

( , ) 2
Hi
d K K 
với cùng một bản rõ
M

TT
Khóa
i
K

Bản mã
i
C

1
( , )
Hi
d C C

()
i
WK

0
123456789ABCDEF1
B5FF8B3C0D4729EBDF1F7B1E23E22971
0
33
1

423456789ABCDEF1
B25EF4355618A32DF68218698388C07E
66
33
2
173456789ABCDEF1
956624ACFB8C1D2BB5F253B7BF2C768E
68
35
3
126456789ABCDEF1
C818DED35C9B8B4A5B5DBA1697C703E6
60
33
4
123156789ABCDEF1
D15BC0521DF97629CDA9CFD095FC8429
64
33
5
1234C6789ABCDEF1
DA311FCD09B6CE36A1A305A6878FD5BE
78
33
6
12345C789ABCDEF1
B642596F432140C01E9025F6844E9A16
68
33
7

123456D89ABCDEF1
03BCB6B5C13900D62AB10084932CDC9E
76
33
8
1234567D9ABCDEF1
F31E17D1E00C2B976DF3DAC80A7A2CD9
61
35
9
12345678CABCDEF1
9617EB92518C15D9FEA5B18EBF88BB12
58
33
10
123456789FBCDEF1
EBA5472FD411C5D83663EB8860CE0C8D
65
35
11
123456789A1CDEF1
93F98F046E233FE39FFF2D32D24145BA
49
31
12
123456789AB9DEF1
0E78D682F8673EF703DF8E95697D4990
67
33
13

123456789ABC7EF1
A688E42CC74777E5E40A195302CE18CF
57
33
14
123456789ABCDBF1
E9E58EC43FDACE98F3C3BA6A029525A9
62
33
15
123456789ABCDEA1
27E8EAE2859B880B277345112B8B7104
60
31
(Chú ý: trong bảng 2.7, các ký tự hexa in đậm chứa các bit của khóa đã thay đổi, trọng
số các đa thức sinh tạo khóa luôn đảm bảo là lẻ)
Khoảng cách Hamming trung bình giữa các bản mã:
15
( ) 1
1
1
( , ) 63,93
15
H tb H i
i
d d C C




17

2.4. KẾT LUẬN CHƯƠNG 2
CHƯƠNG 3: HÀM BĂM XÂY DỰNG TRÊN CẤP SỐ NHÂN
CYCLIC
3.1 Cấu trúc cơ bản của một hàm băm
Thành phần chính của một hàm băm là
một hàm nén và các hàm biến đổi khác. Hàm
nén được thực thi nhiều lần để băm thông điệp
ban đầu của hàm băm thành một chuỗi có
chiều dài cố định. Các hàm biến đổi khác (có
thể có hoặc không) nhận vào chuỗi bit sau lần
cuối cùng thực thi hàm nén và cho kết quả
chính là mã băm cuối cùng của hàm băm.


Hình 3.1. Cấu trúc tổng quát của hàm băm

Cụ thể, một hàm băm thường gồm các bước như sau:
 Trước tiên thông điệp đầu vào m có chiều dài hữu hạn tùy ý sẽ được phân thành
các khối thông điệp con liên tiếp có độ dài cố định r (giả sử là m
1
,m
2
,…,m
k
).
 Do m có chiều dài bất kỳ nên luôn có một bước thêm các bit phụ sao cho chiều
dài chuỗi mới m’ chia hết cho r (trong các bit thêm thường có kèm 64 bit để lưu
lại chiều dài ban đầu của chuỗi trước khi thêm).

 Mỗi khối thông điệp con m
1
,m
2
,…,m
k
sẽ lần lượt đi qua một hàm nén của hàm
băm h(m).
 Kết quả của khối thứ m
i-1
sau khi đi qua hàm nén sẽ là nguồn dữ liệu đầu vào
cho bước thứ i tiếp theo.

18

Giả sử nếu gọi IV (initial value) là giá trị khởi tạo
ban đầu thì quá trình lặp và xử lý các khối con
được mô tả như sau:
0
1
( , ); 1, , .
( ) ( )
i I i
k
H IV
H f H m i k
h m g H






Người ta gọi
i
H
(kết quả trung gian sau bước thứ
i) là các biến dây tryền. Hàm
()gx
lấy biến dây
chyền cuối cùng để tạo ra mã băm cần tìm. Trong
hầu hết các thuật toán,
()gx
là ánh xạ đồng nhất,
nghĩa là
()
kk
g H H
. Khâu then chốt trong xây
dựng hàm băm thường là thiết kế hàm nén
f
.


Hình 3.2. Cấu trúc của hàm băm
3.2. CÁC THUẬT TOÁN THÊM BÍT PHỤ
3.3. MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ HÀM BĂM
3.4. CÁC LOẠI TẤN CÔNG HÀM BĂM CƠ BẢN
3.4.1. Tấn công vào không gian khóa của MAC
3.4.2. Tấn công vào độ dài MDC
3.4.3. Tấn công vào độ dài MAC

3.4.3. Tấn công bằng các kết quả tính toán được
3.4.5. Tấn công đa mục tiêu
3.4.6. Tấn công bằng các thông báo dài
3.5. XÂY DỰNG HÀM BĂM MỚI TRÊN CÁC CẤP SỐ NHÂN CYCLIC
19

Trong mục này sẽ đề cập đến việc áp dụng hệ mật trình bày ở chương 2 để xây dựng
một hàm băm MDC-2 có độ dài mã băm là 256 bit. Sơ đồ hàm băm như trong hình 3.3, sau
bước băm cuối cùng thì mã băm đầu ra được ghép từ đầu ra 1 (out 1
i
H
) và đầu ra 2 (Out 2
i
H

) [4], [6], [7], [8].
Hàm
E
được xây dựng trên cơ sở hệ mật sử dụng các cấp số nhân cyclic trên vành đa
thức có hai lớp kề (đã được mô tả trong chương 2). Các khóa
i
K
vẫn là các phần tử trong
một cấp số nhân trên vành đa thức có hai lớp kề cyclic
61
1x 
được chọn như sau:
với
a
K

là một đa thức có trọng số lẻ tùy ý sao cho:
deg 61
a
K 
;
0
K
là một phần tử
nguyên thủy của nhóm nhân cyclic có cấp bằng
60
21
và cũng là một đa thức có trọng số lẻ
[4], [5].
Khối
g
trong sơ đồ Hình 3.3. thực hiện việc trích chọn các khóa cho các vòng tiếp
theo của quá trình băm. Trong 61 bit khóa ở bước thứ
i
do khối
g
tạo ra thì 60 bit đầu tiên
sẽ được trích chọn từ 128 bit của
1i
H

và
1i
H



còn bit thứ 61 là bit kiểm tra chẵn lẻ. Việc
trích chọn được lấy liên tục các bit cách nhau 2 vị trí trong
1i
H

và
1i
H


(trong khoảng bit 1
đến bit 120).

Hình 3.3. Sơ đồ thực hiện hàm băm

 
61
0
mod 1; 1,16
i
ia
K K K x i  

20

Dưới đây là một vài kết quả đánh giá của hàm băm xây dựng trên các cấp số nhân
cyclic.
Bảng 3.2 là kết quả tính toán khoảng cách Hamming của một số mã băm của các bản
tin rõ khi thay đổi duy nhất một bit dữ liệu so với bản tin ban đầu, để thuận tiện cho việc
quan sát chúng tôi chỉ thay đổi 1 bit trong khối bản tin đầu tiên của bản rõ [7].

Mỗi bản tin bao gồm 10 khối, mỗi khối có độ dài 256 bit, các hàm băm sử dụng cùng
một bộ khóa
K
khởi tạo:
Phần tử sinh của khóa khởi tạo chọn là:
7 14 21 28 35 42 49 56
0
1
IV IV
H H K x x x x x x x x

          
;
Phần tử đầu của các CGP tạo khóa được giữ nguyên cho các vòng băng và chọn là:
10 20
1;
a
K x x  

Chú ý: Khóa khởi tạo sẽ được đưa trực tiếp vào khối E trong sơ đồ băm, còn các khóa
cho các vòng băm tiếp theo sẽ được tạo từ khối
g
.
Đa thức lấy modulo vẫn là
60
0
()
i
i
h x x





Bản tin đầu tiên được xây dựng như sau: Khối đầu tiên gồm 64 ký tự dạng hexa
(tương ứng 256 bit) được chọn là:
M
1
=
0123456789ABCDEF0123456789ABCDEF
0123456789ABCDEF0123456789ABCDEF
Các khối tiếp theo (từ 2 đến 10) được tạo một cách ngẫu nhiên.
Bảng 3.2 Khoảng cách Hamming d
H
(MD
1
, MD
i
) khi các khối dữ liệu khác khối ban đầu 1 bit
TT
Bản rõ
Giá trị băm
d
H
(MD
1
,MD
i
)
0

0123456789ABCDEF0123456789ABCDEF
0123456789ABCDEF0123456789ABCDEF
82FA4EB7FB68423D6C92677447B0ECF5
2784D4457437C480AF52FA6B9C2E3BEE
0
1
8123456789ABCDEF0123456789ABCDEF
0123456789ABCDEF0123456789ABCDEF
6C88AE4AA7525591FEAB1491BA6D43CA
90C8AEB402AF8091F8D09A8E6B0C0A68
138
2
0323456789ABCDEF0123456789ABCDEF
0123456789ABCDEF0123456789ABCDEF
C332019E3BD277B8F65537FC4554AA09
41654703725036BF892020C012C4FEEF
118
21

3
0133456789ABCDEF0123456789ABCDEF
0123456789ABCDEF0123456789ABCDEF
1BC1A9A9DB5310527C248677E7688F00
C5A357081950BB0DE3E68631623E5AA9
129
…
…
…
…
31

0123456789ABCDEF0123456789ABCDCF
0123456789ABCDEF0123456789ABCDEF
ED088B0CFB75953D73EED891C5B52ACE
45A9C21F1607B5FC8C91FEA0E09F01ED
122
32
0123456789ABCDEF0123456789ABCDEE
0123456789ABCDEF0123456789ABCDEF
DEF1D35924863B9FB60C9F985D9ABA36
3D67062B7AA0B26E2CF845734BA82A4B
140
33
0123456789ABCDEF0123456789ABCDEF
2123456789ABCDEF0123456789ABCDEF
574316CDBAB234C20EA3568BE172BAA4
2A3F41374210AFCE70AEEDCB9994EE7E
136
34
0123456789ABCDEF0123456789ABCDEF
0023456789ABCDEF0123456789ABCDEF
8EB4D6AF5AB1E575D21DA802368FA89E
5DFD6A501F98CD256AFB1830C34FB79C
134
…
…
…
…
62
0123456789ABCDEF0123456789ABCDEF
0123456789ABCDEF0123456789ABCFEF

780ECB89EB44E4539BA74652FF428F68
6E9AF83F9E47B4349D4BA55185C29F92
128
63
0123456789ABCDEF0123456789ABCDEF
0123456789ABCDEF0123456789ABCDFF
4F02811DD6185047B8D450EFBDD3228F
72262178090695291AF5D72FE22F9E09
138
64
0123456789ABCDEF0123456789ABCDEF
0123456789ABCDEF0123456789ABCDED
72A0199A20F750CA769B6985CA0F7490
9B384BCC0E4676E465C9F2FD35A96847
134

(Chú ý: Trong bảng 3.2 và bảng 3.3, các ký tự hexa in đậm chứa bit thay đổi).
Khoảng cách Hamming trung bình giữa 64 giá trị băm với giá trị băm ban đầu là tính
được như sau:

 
 
64
1
1
1
, 129,17
64
Hi
H tb

i
d d MD MD




0 là kết quả tính toán phân bố của bộ mã khi thay đổi khóa khởi tạo
K
, mỗi khóa khác
với khóa đầu tiên 2 bit. Sở dĩ ta phải thay đổi 2 bit (tương ứng thay đổi 2 vị trí) là để đảm
bảo đa thức sinh của khóa có trọng số lẻ.
Bản tin đầu vào gồm 10 khối 256 bit được tạo ngẫu nhiên [7].
Chú ý, chiều dài của khóa là 61 bit, do đó khi mô tả khóa bằng 16 ký tự hexa nhưng
thực tế chỉ có 15 ký tự đầu là dạng hexa, còn ký tự cuối cùng chỉ có 1 bit nên nó nhận giá trị
“1” hoặc “0”.
Chọn phần tử đầu của cấp số nhân tạo khóa là:
2
1
a
K x x  

Phần tử sinh khóa đầu tiên
0
K
như sau:
0( )
123456789ABCDEF.1
Hex
K 
(

1
( ) 33WK 
).
Đa thức lấy modulo vẫn là
60
0
()
i
i
h x x



. Các khóa được tạo từ phương trình đồng dư
sau:
0
mod ( ), 0,1,2,
i
ia
K K K h x i

22

Các khóa
0i
K
chỉ thay đổi 2 bit trong một số hexa của khóa đầu tiên
0
K
.

Chú ý: vị trí các bit “1” trong các khóa
0i
K
tương ứng là số mũ của
x
trong đa thức
sinh tạo khóa. Ví dụ:
   
0
5 56 57 58 59 60
12 F.1 1000.0100 1111.1
1
Hex Bin
K
x x x x x x

       

Bảng 3.3 Khoảng cách Hamming d
H
(MD
1
, MD
i
) giữa các cặp giá trị băm khi các khóa khác khóa K
1
2 bit.
TT
Khóa K
i

Giá trị băm MD
i

1
( , )
Hi
d MD MD

Trọng số khóa
khởi tạo W(K
0i
)
0
123456789ABCDEF1
B33B14104C0E667B860336A0E4C8CA78
E0B43B46853047AB1E6334837F979EFA
0
33
1
823456789ABCDEF1
FEACEC4181C074A8084CD0397F0A8748
0C9B9B6FEFD39B371D746A037843B786
126
33
2
1B3456789ABCDEF1
1E547D3A520CB818469D2319E40C5DAB
FD7FE95BA779FF0045B5037A006121D8
135

35
3
129456789ABCDEF1
71FB25099EA653865989F97902643D9B
0E03EFF0E16B8CA156A4919A3A528E74
133
33
4
123156789ABCDEF1
7BD398826699C84A63089539C013B7E1
D077258721BBC05CE02709A9FE01A9BA
123
33
5
1234F6789ABCDEF1
52885E7E8BB73C1DFDBBAB44BCAF9BC1
449C73A8D24C376041E28BA78B794E41
138
35
6
123453789ABCDEF1
BE7525A3BE96823C52473D868D96441C
30CCE0D89908FA9FD21CFB594AEDAAD1
130
33
7
123456D89ABCDEF1
66D3CF874C1A5C6D02A6B4763E8F7596
C2E8E29DEA340CA31A907DC3093BD60A
119

33
8
1234567D9ABCDEF1
8C44F59F87B2571BD1445623EA7479ED
AE368A3B400C2A7451B510F4745159CC
138
35
9
12345678CABCDEF1
E3B40AF55A5169C225A9D2656E0B9241
292AAF692CA5EA23D95529FD020F0D36
136
33
10
123456789FBCDEF1
88C78EC3CF2E90867BBDFD934D92D291
24D186C096589E1B20AAE3CDA7523650
137
35
11
123456789A1CDEF1
98D3577D7382BEEA53ABECFCC0D28FD9
8233EB98FFD20000178EDE628CD3F705
131
31
12
123456789AB6DEF1
F3E858AD90B0F79AC06FB8243A16A054
9963E3873E77CF73FDBAEA4B4B6E2BAD
137

33
13
123456789ABC8EF1
76AEBF7739066421A97CB110E8F843AD
F5C247A186793CF1BD747D0DA1B4825A
123
31
14
123456789ABCDBF1
F61035831137662A2005B0E570C3FBDF
5006C8621B46C945692993250C4CE272
122
33
15
123456789ABCDEA1
E0599B76112AF746ACCD9517CD579C6B
A492E4CB44F71F65394F27B404AD0C19
132
31
23

Khoảng cách Hamming trung bình của các giá trị băm với giá trị băm ban đầu:

15
( ) 1
1
1
( , ) 130,67
15
H tb H i

i
d d MD MD




Để khảo sát thêm tính khuếch tán của hàm băm, ta thay đổi cả bản tin rõ và khóa như
sau: Giữa nguyên bản tin và lần lượt thay đổi từng bit của khóa
1
K
từ bit 1 đến bit 60, bit 61
dùng để kiểm tra chẵn lẻ. Sau đó tính khoảng cách Hamming trung bình giữa các giá trị
băm với giá trị băm ban đầu theo công thức:

60
( ) 1
2
1
( , )
60
H tb H i
i
d d MD MD




Qua các kết quả khảo sát khoảng cách Hamming ở trên ta thấy tính khuếch tán của các
hàm băm đề xuất là khá tốt.
3.6. KẾT LUẬN CHƯƠNG 3

KẾT LUẬN
Các kết quả đạt được của luận văn:
 Nghiên cứu cơ bản về các hệ mật khóa bí mật, hệ mật khóa công khai và các hàm
băm sử dụng cho việc xác thực và đảm bảo tính toàn vẹn dữ liệu.
 Nghiên cứu cấu trúc nhóm nhân cylic, cấp số nhân cyclic trên vành đa thức.
 Nghiên cứu cách xây dựng hệ mật mã khối khóa bí mật xây dựng từ cấp số nhân
cyclic trên vành đa thức
1
n
x 
với
2
k
n 
.
 Nghiên cứu cách tạo khóa cho hệ mật khóa bí mật bằng các cấp số nhân cyclic trên
vành có hai lớp kề cyclic.
 Đề xuất một hàm băm mới MDC-2 theo với hệ mật xây dựng theo cấp số nhân
cyclic.