Bài toán nguyên hàm có nhiều cách giải

Tr
ầ
n Tu
ấ
n Anh
-
Mail:




1

BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM CÓ 13 NHIỀU CÁCH GIẢI
Bài toán: Tính
1 sin
.
1 cos
x
x
I e dx
x





Bài giải:
Cách 1: (tách, dùng nguyên hàm từng phần)
Ta có
1 sin

. .
1 cos 1 cos
x x
x
I e dx e dx
x x
 
 
 
(1)
Xét
sin
.
1 cos
x
x
J e dx
x



.
Đặt
 
2 2
2
sin cos cos sin
1 cos 1 cos
1 cos
x x x x dx

u du dx
x x
x
 
   
 


x x
dv e dx v e  
.
sin
.
1 cos 1 cos
x
x
x e
J e dx
x x
  
 

(2).
Từ (1) và (2) ta có:
sin
.
1 cos
x
x
I e C

x
 

.
Cách 2: (phương pháp biến đổi, phương pháp nguyên hàm từng phần)
Ta có
  
  
1 sin 1 cos
1 sin
. .
1 cos
1 cos 1 cos
x x
x x
x
I e dx e dx
x
x x
 

 

 
 

www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com
Tr
ầ

n Tu
ấ
n Anh
-
Mail:




2

2
1 cos sin sin cos
.
1 cos
x
x x x x
e dx
x
  




2
1 cos
.
1 cos
x
x

e dx
x




2
sin sin cos
.
1 cos
x
x x x
e dx
x





2
1 cos
.
sin
x
x
e dx
x




1 cos
.
sin
x
x
e dx
x



(1)
Xét
2 2
2 2
1 cos sin cos cos
. .
sin sin
x x
x x x x
J e dx e dx
x x
  
 
 


     
' '
2
1 cos sin sin 1 cos

.
sin
x
x x x x
e dx
x
  




'
1 cos 1 cos
.
sin sin
x x
x x
e dx e d
x x
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   
 


1 cos 1 cos
sin sin
x x
x x
e e dx
x x
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   

(2)
Từ (1) và (2) ta có:
1 cos
.
sin
x
x

I e C
x

 
.
Cách 3: (phương pháp tách, phương pháp nguyên hàm từng phần)
Ta có
  
  
1 sin 1 cos
1 sin
. .
1 cos
1 cos 1 cos
x x
x x
x
I e dx e dx
x
x x
 

 

 
 

www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com
Tr

ầ
n Tu
ấ
n Anh
-
Mail:




3

2
1 sin sin cos
.
1 cos
x
cox x x x
e dx
x
  




2 2
1 1 cos
. . . .
sin sin
sin sin

x x x x
cox x
e dx e dx e dx e dx
x x
x x
   
   

Ñaët
1
2
1
.
sin
x
I e dx
x


;
2
2
.
sin
x
cox
I e dx
x



;
3
1
.
sin
x
I e dx
x


;
4
cos
.
sin
x
x
I e dx
x


.
Ta coù:
 
1
2
1
. cot cot cot .
sin
x x x x

I e dx e d x e x x e dx
x
     
  

4
cos
cot . cot
sin
x x x
x
e x e dx e x I
x
     

.
1 4
cot
x
I I e x    .
 
3
1 1 1
.
sin sin sin sin
x
x x x
e
I e dx d e e d
x x x x

 



   





 
  


2
2
.cos
sin sin
sin
x x x
e e x e
dx I
x x
x
   

.
3 2
sin
x

e
I I
x
   .
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com
Tr
ầ
n Tu
ấ
n Anh
-
Mail:




4

Vậy ta có:
   
1 2 3 4 1 4 3 2
I I I I I I I I I       


1 cos
cot .
sin sin
x
x x

e x
e x e
x x

   
Suy ra
1 cos
.
sin
x
x
I e C
x

 
.
* Chú ý: Kết quả ở cách 4 và cách trước đều đúng!

  
 
 
 
2
1 cos
1 cos 1 cos
1 cos
. . .
sin
sin 1 cos sin 1 cos
x x x

x
x x
x
e e e
x
x x x x

 

 
 


 
2
sin sin
. .
1 cos
sin 1 cos
x x
x x
e e
x
x x
 



Cách 4: (phương pháp biến đổi, phương pháp nguyên hàm từng phần)
Ta có

2
2
2
2 tan
2
1
1 tan
1 sin
2
. .
1 cos
1 tan
2
1
1 tan
2
x x
x
x
x
I e dx e dx
x x
x



 





 

2
tan 2 tan 1
2 2
.
2
x
x x
e dx
 


2
1
tan 1 tan .
2 2 2
x x
x x
e dx e dx
 



  






 
 

www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com
Tr
ầ
n Tu
ấ
n Anh
-
Mail:




5

 
tan tan
2 2
x x
x x
e d d e
 



 






 
 

   
. tan tan tan
2 2 2
x x x
x x x
e d e d e  
 
.
Suy ra
. tan
2
x
x
I e C 
.
Cách 5: (phương pháp biến đổi, phương pháp nguyên hàm từng phần)
Ta có :
1 sin 1 sin
. . .
1 cos 1 cos 1 cos
x x x
x x

I e dx e dx e dx
x x x

  
  
  
(1)
Xét nguyên hàm
 
2
1 1 cos
. .
1 cos
1 cos
x x
x
J e dx e dx
x
x

 


 

 
2 2
2
sin cos cos
.

1 cos
x
x x x
e dx
x
 




 
 
2
cos cos 1 sin .sin
.
1 cos
x
x x x x
e dx
x
 




     
 
' '
2
sin cos 1 cos 1 . sin

.
1 cos
x
x x x x
e dx
x
  




www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com
Tr
ầ
n Tu
ấ
n Anh
-
Mail:




6

'
sin sin
1 cos 1 cos
x x

x x
e dx e d
x x
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 

sin sin
. .
1 cos 1 cos
x x
x x
e e dx
x x
 
 

(2)
Từ (1) và (2) ta được :
sin

.
1 cos
x
x
I e C
x
 

.
Cách 6: (phương pháp biến đổi, phương pháp nguyên hàm từng phần)
Ta có
1 sin
. .
1 cos 1 cos
x x
x
I e dx e dx
x x
 
 
 
(1)
Xét
2
1
. tan
1 cos 2
2 cos
2
x

x x
e x
J e dx dx e d
x x
 



  






 
  

sin
2
. tan tan . . tan .
2 2 2
cos
2
x x x x
x
x x x
e e dx e e dx
x
   

 

2
2 sin . cos
2 2
. tan tan . .tan .
2 2 2
2 cos
2
x x x x
x x
x x x
e e dx e e dx
x
   
 

sin
. tan tan . . tan .
2 2 2 1 cos
x x x x
x x x x
e e dx e e dx
x
   

 
(2)
www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com

Tr
ầ
n Tu
ấ
n Anh
-
Mail:




7

Từ (1) và (2) ta có:
. tan
2
x
x
I e C 
.
* Chú ý: Kết quả ở cách 4 và cách trước đều đúng!

2
sin 2 sin .cos
sin
2 2 2
. tan . . .
2 1 cos
cos 2 cos
2 2

x x x x
x x x
x x
e e e e
x x x
  

.
Cách 7: (phương pháp biến đổi, phương pháp nguyên hàm từng phần)
Ta có
1 sin
. .
1 cos 1 cos
x x
x
I e dx e dx
x x
 
 
 


2 2
2 sin . cos
2 2
.
2 cos 2 cos
2 2
x
x

x x
e
dx e dx
x x
 
 


 
tan tan
2 2
x x
x x
e d d e
 



 





 
 

tan tan . . tan
2 2 2
x x x

x x x
e d e e d
   
 
 
 
  
 
 
 
 
 
   
 

Suy ra:
. tan
2
x
x
I e C 
.
Cách 8: (phương pháp biến đổi, phương pháp nguyên hàm từng phần)
www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com
Tr
ầ
n Tu
ấ
n Anh

-
Mail:




8

Ta có
2 2
2
sin 2 sin cos cos
1 sin
2 2 2 2
. .
1 cos
2 cos
2
x x
x x x x
x
I e dx e dx
x x
 

 

 

2
2
2
sin cos
2 2
1
. tan 1 .
2 2
2 cos
2
x x
x x
x
e dx e dx
x
 







 

 



  






 
 


2
1 1
tan 1 . 2 tan .
2 2 2 2
x x
x x
e dx e dx
 



  





 
 

2
1 1
. tan .
2 2
cos
2
x x
x
e dx e dx
x
 
 


 
tan tan
2 2
x x
x x
e d d e
 



 






 
 

tan tan . . tan
2 2 2
x x x
x x x
e d e e d
   
 
 
 
  
 
 
 
 
 
   
 

Suy ra:
. tan
2
x
x
I e C 
.
Cách 9: (dùng nguyên hàm từng phần hai lần)
Đặt

 
2 2
2
1 sin cos cos sin sin
1 cos
1 cos
x x x x x
u du dx
x
x
   
  



www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com
Tr
ầ
n Tu
ấ
n Anh
-
Mail:




9

 
2
1 cos sin
1 cos
x x
dx
x
 


.
x x
dv e dx v e  
.
Ta có
 
2
1 sin 1 cos sin
. .
1 cos
1 cos
x x
x x x
I e e dx
x
x
  
 





   
2 2
1 sin 1 cos sin
. . .
1 cos
1 cos 1 cos
x x x
x x x
e e dx e dx
x
x x
 
  

 
 

 
2
1 sin sin
. .
1 cos 1 cos
1 cos
x
x x
x e dx x
e e dx

x x
x

  
 

 
(1)
Xét
 
2
sin
.
1 cos
x
x
J e dx
x



.
Đặt
x x
u e du e dx  
;
 
 
 
2 2

1 cos
sin 1
1 cos
1 cos 1 cos
d x
x
dv dx v
x
x x
 
   

 
.
1 cos 1 cos
x x
e e
J dx
x x
  
 

(2).
Từ (1) và (2) ta có:
sin
.
1 cos
x
x
I e C

x
 

.
www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com
Tr

n Tu

n Anh
-
Mail:




10

Caựch 10: (phửụng phaựp heọ soỏ baỏt ủũnh)
Ta xaực ủũnh heọ soỏ a, b, c sao cho:
'
cos sin 1 sin
.
1 cos 1 cos
x x
a x b x c x
e e
x x

(1)
Ta coự:
'
cos sin
.
1 cos
x
a x b x c
e
x

2
sin cos 1 cos sin cos sin
1 cos
x
a x b x x x a x b x c
e
x





cos sin
.
1 cos
x
a x b x c
e
x

2
2
sin sin cos cos cos
1 cos
x
a x a x x b x b x
e
x






2
2
sin cos sin sin
1 cos
x
a x x b x c x
e
x





2

( ).cos ( ) sin . ( ) cos
1 cos
x
a b c x b c x b c a b x
e
x









2
2
cos
1 cos
x
a x
e
x


.
www.MATHVN.com - Toỏn hc Vit Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com
Tr
ầ

n Tu
ấ
n Anh
-
Mail:




11

Vậy ta chọn a, b, c sao cho :
1 0
1 1
0 0
a b c b c a
b c a b b
a c
 
 
     
 
 
 
     
 
 
 
 
 

 
 

Thay vào (1) ta được:
'
sin 1 sin
.
1 cos 1 cos
x x
x x
e e
x x
 










 
 
.
Vậy
'
1 sin sin
. .

1 cos 1 cos
x x
x x
I e dx e dx
x x
 




 





 
 
 
sin
.
1 cos
x
x
d e
x
 











 



sin
.
1 cos
x
x
e C
x
 

.
Cách 11: (dùng nguyên hàm phụ)
Ta có
2 2
2
sin cos 2 sin cos
1 sin
2 2 2 2
. .
1 cos

2 cos
2
x x
x x x x
x
I e dx e dx
x x
 

 

 

2 2
2 2
(sin cos ) cos ( )
2 2 2 4
. .
2 cos cos
2 2
x x
x x x
e dx e dx
x x

 
 
 
.
Xét nguyên hàm phụ

2
2
sin ( )
2 4
.
cos
2
x
x
J e dx
x




.
www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com
Tr
ầ
n Tu
ấ
n Anh
-
Mail:




12

Ta có:
2
1
. 2 tan
2
cos
2
x x
x
I J e dx e d
x
 



  





 
 
(1) ;
2 2
cos( )
sin
2
. .

cos cos
2 2
x x
x
x
I J e dx e dx
x x


  
 

2
2 sin . cos
2 2
. 2 tan .
2
cos
2
x x
x x
x
e dx e dx
x
 
 

 
2 tan 2 . tan tan
2 2 2

x x x
x x x
d e e e d
 
 


 

  


 



 
 
 
(2)
Từ (1) và (2) ta có:
2 tan
2
2 . tan 2 tan
2 2
x
x x
x
I J e d
x x

I J e e d

 





 






 


 





  








 





Suy ra
. tan
2
x
x
I e C 
.
Cách 12: (dùng nguyên hàm phụ)
Ta có
1 sin
.
1 cos
x
x
I e dx
x





www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam

www.DeThiThuDaiHoc.com
Tr
ầ
n Tu
ấ
n Anh
-
Mail:




13

Xét nguyên hàm phụ
1 sin
.
1 cos
x
x
J e dx
x




.
Ta có:
2
1 1

2 . . 2 tan
1 cos 2
cos
2
x x x
x
I J e dx e dx e d
x x
 



   






 
  


2 . tan 2 . tan
2 2
x x
x x
e e dx 

(1);

2
2 sin cos
sin
2 2
2 . 2 .
1 cos
2 cos
2
x x
x x
x
I J e dx e dx
x x
  

 

2 tan .
2
x
x
e dx

(2)
Từ (1) và (2) ta có:
2 . tan 2 . tan
2 2
2 tan .
2
x x

x
x x
I J e e dx
x
I J e dx



  





 






Suy ra
. tan
2
x
x
I e C 
.
Cách 13: (dùng tính chất của nguyên hàm)
Ta có

1 sin 1 sin
. . .
1 cos 1 cos 1 cos
x x x
x x
e e e
x x x

 
  

www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com
Tr
ầ
n Tu
ấ
n Anh
-
Mail:




14

Mà
 
'
2 2

2
sin cos cos sin 1
1 cos 1 cos
1 cos
x x x x
x x
x
 
 



 





 
 


Nên ta có:
 
' '
'
1 sin sin sin sin
. . . .
1 cos 1 cos 1 cos 1 cos
x x x x

x x x x
e e e e
x x x x
     

  
  
  
  
  
  
  
  
  
   
     
.
Vậy
'
1 sin sin
. .
1 cos 1 cos
x x
x x
I e dx e dx
x x
 





 





 
 
 


'
sin sin
. .
1 cos 1 cos
x x
x x
d e e C
x x
 



  






 
 

.
Tác giả bài viết: Trần Tuấn Anh
Mail:
www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com