BỔ ĐỀ D.S – BỔ ĐỀ ĐOẠN CHIA

Nguyễn Ngọc Duy 10TO, trường THPT chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai

Bổ đề D.S - Trang 1

BỔ ĐỀ D.S – BỔ ĐỀ ĐOẠN CHIA
Nguyễn Ngọc Duy – Học sinh lớp 11 Toán. Khóa 10TO,
Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh, TP. Biên Hòa, Tỉnh Đồng Nai.

Bổ đề D.S (Divided Segment), hay bổ đề đoạn chia, là một bổ đề hình học với một số
ứng dụng đẹp trong nhiều bài toán hình học sơ cấp. Nếu như biết ứng dụng một cách thông
minh, linh động, thì đây quả là một công cụ hữu ích trong việc giải quyết các bài toán hình.
Hôm nay tôi xin giới thiệu bổ đề này cùng một số ứng dụng thú vị của nó.

 Bổ đề D.S: Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trên cạnh BC. Khi đó ta có hệ thức:
sin sin
.
sin sin
BM BAM ACM
CM CAM ABM

.

Chứng minh:
Gọi R
1
, R
2
lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABM và ACM.
Trong tam giác ABM, ta có:
sin sin

BM AM
BAM ABM

(
1
2
R

)
sin
sin
BM BAM
AM ABM
 
(1)
Tương tự, ta có được hệ thức trong tam giác ACM:
sin
sin
AM ACM
CM ACM

(2)
Từ (1) và (2) suy ra
sin sin
.
sin sin
BM BAM ACM
CM CAM ABM

.

 Một số ứng dụng: Ta sẽ cùng tìm hiểu một số ứng dụng của bổ đề D.S:
 Bài toán 1: Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các đoạn BC,
CA, AB. Khi đó, các đường AM, CP, BN đồng quy khi và chỉ khi
sin sin sin
. . 1
sin sin sin
BAM ACP CBN
CAM BCP ABN

(Định lý Ceva dạng sin).
Bài làm:
Trong tam giác ABC, theo
định lý Ceva, ta có các đường
AM, CP, BN đồng quy khi và
chỉ khi
. . 1
MB NC PA
MC NA PB

.
Theo Bổ đề D.S, ta có:
sin sin
.
sin sin
MB BAM ACM
MC CAM ABM

.
sin sin
.

sin sin
NC CBN BAN
NA ABN BCN

.
sin sin
.
sin sin
PA ACP CBP
BCP P
PB
CA

.
Nhân các vế với nhau của ba đẳng thức trên, ta có được điều phải chứng minh:
sin sin sin
. . 1
sin sin sin
BAM ACP CBN
CAM BCP ABN

. 
A
B C
M
Nguyễn Ngọc Duy 10TO, trường THPT chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai

Bổ đề D.S - Trang 2
 Bài toán 2: Một đường tròn tâm Q tiếp xúc với đoạn thẳng AB tại điểm C nằm
giữa A và B. Tia Ax tiếp xúc với đường tròn (Q) tại D (D khác C). Trên tia Ax lấy

điểm M. Đường thẳng qua Q và vuông góc với BM cắt CD tại E. Tia AE cắt BM
tại F. Chứng minh điểm F luôn nằm trên một tia cố định khi M (M khác A) di
động trên tia Ax.
Bài làm:
Gọi
EQ BM N
 

Áp dụng bổ đề D.S cho tam giác
ACD và QCD, ta có:
sin sin
.
sin sin
sin sin
.
sin sin
DE DAE ACE
CE CAE ADE
DQE QCE
CQE QDE



Dễ có




,
ADE ACE QDE QDE

 

sin sin
sin sin
DAE DQE
CAE CQE
 

Lại có tứ giác MDQN và BCQN
nội tiếp nên suy ra




,
DQE DMN CQE CBN
 

Như vậy ta có:
sin sin
sin sin
DAE DMN
CAE CBN




Áp dụng bổ đề D.S cho tam giác ABM, ta có:
sin sin
. 1

sin sin
FM DAE CBN
FB CAE DMN
 
, hay F là trung điểm BM.
Như vậy, dễ có điểm F luôn nằm trên đường thẳng đi qua trung điểm của AB, và song
song với Ax cố định. 
 Bài toán 3: Cho tam giác ABC nội tiếp (O). I là trung điểm BC. Trên đoạn IC lấy
điểm M bất kỳ (
,
M C I

). AM cắt (O) tại điểm thứ hai D. Trên đoạn BD lấy
điểm E sao cho


BME MAI

. Đường thẳng EM và CD cắt nhau tại F. Chứng
minh:
CF BE
CD BD

. (Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ số 409)
Bài làm:
Xét tam giác BDC có 3 điểm E, M, F thẳng hàng nên theo định lý Menelaus, ta có:
. . 1 (1)
CF BD ME
CD BE MF


.
Ta có :



DEF DBC BME
 



DAC MAI CAI
  .








180
o
MCF MCA ACF BCA ABD BDA ABD BAD
       
.
Lại do






180
o
MCF CMF CFM
  
.
Nên suy ra



CMF CFM BAD
  .
Nguyễn Ngọc Duy 10TO, trường THPT chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai

Bổ đề D.S - Trang 3
Lại có



CMF BME MAI
  . Do đó:


CFM BAI
 .
Sử dụng Bổ đề D.S cho
ABC

,
điểm

I
BC

:
sin sin
.
sin sin
sin sin
. .
sin i
1
s n
IB BAI ACI
IC CAI ABI
CFM MDE
DEF MDF




Lại do theo Bổ đề D.S trong
EDF


với điểm
M
EF

:
sin sin

.
sin sin
CFM MDE ME
DEF MDF MF

.
Từ đó suy ra
1 (2)
ME
MF
 .
Từ (1) và (2) suy ra
CF BE
CD BD

. 



 Bài toán 4: Cho tam giác ABC có O là tâm đường tròn nội tiếp, đường tròn này
tiếp xúc các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại các điểm A
1
, B
1
, C
1
. Các đường
thẳng A
1
O, B

1
O, C
1
O tương ứng cắt các đoạn thẳng B
1
C
1
, C
1
A
1
, A
1
B
1
tại các điểm
A
2
, B
2
, C
2
. Chứng minh rằng ba đường thẳng AA
2
, BB
2
, CC
2
đồng quy.

Bài làm:
Kí hiệu
, ,
  
là các góc đỉnh A, B, C của tam giác ABC. Suy ra các góc
1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2
, , ,
A B C B A A C C B C C
C
có số đo tương ứng là
, , ,
2 2 2 2
     
 
.
Theo Bổ đề D.S trong

1 1 1
A B C

, ta có:
1 2
1 2
sin sin
2 2
.
sin sin
2 2
A C
B C
  
  



.
Nguyễn Ngọc Duy 10TO, trường THPT chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai

Bổ đề D.S - Trang 4
Gọi
,
B A
 
lần lượt là số đo

1 2
A CC

và

1 2
B CC
; C
3
là giao điểm của đường thẳng CC
2
với
cạnh AB. Ta có CA
1
=CB
1
, sử dụng Bổ đề D.S, ta được:
3
1 2
3 1 2
sin sin
sin
sin sin sin
2 2
. . . .
sin sin sin sin
sin sin
2 2
A
B
AC B C
C B A C
  


  
  
   

  

.
Tương tự:
3
3
sin sin
sin
2 2
. .
sin
sin sin
2 2
BA
A C
  

  




,
3
3

sin sin
sin
2 2
. .
sin
sin sin
2 2
CB
B A
  

  




.
Ở đây, A
3
, B
3
định nghĩa tương tự như C
3
. Từ ba đẳng thức trên ta có
3 3 3
3 3 3
. . 1
AC BA CB
C B A C B A


.
Từ đó, theo định lý Ceva, ta suy ra ba đường thẳng AA
2
, BB
2
, CC
2
đồng quy. 

 Kết luận: Sau các bài toán trên, ta thấy rằng việc ứng dụng bổ đề D.S trong hình học sẽ
giúp cho nhiều bài tập hình học phức tạp sẽ trở nên đơn giản, dễ hơn rất nhiều so với
những cách làm khác.

 Tham khảo:
 Những định lý chọn lọc trong Hình Học Phẳng qua các kỳ thi Olympic
(ThS Nguyễn Văn Nho).
 Bài tập nâng cao va một số chuyên đề Hình học 10 (Nguyễn Minh Hà).
 Tài liệu giáo khoa chuyên Toán Hình Học 10 (Đoàn Quỳnh).
 MathLinks Contest ().
 MathScope Forum ().
 MathClub Forum ().




