hàm r-lồi và ứng dụng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠ I HỌ C THÁ I NGUYÊN
TRƢỜ NG ĐẠ I HỌ C KHOA HỌ C




NGUYỄN MINH ĐỨC



HM r-LỒ I VÀ Ƣ́ NG DỤ NG

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60.46.36




LUẬ N VĂN THẠ C SĨ TOÁ N HỌ C


NGƢỜ I HƢỚ NG DẪ N KHOA HỌ C
PGS.TS TẠ DUY PHƢỢ NG

THI NGUYÊN - NĂM 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

MC LC
Trang
LỜI NÓI ĐẦU 1
CHƢƠNG 1: HM r-LỒ I 3
1.1 Mt s khi nim hm li v hm r-lồ i 3
1.2 Tnh chất ca hm r-li 12
1.3 Tnh khả vi ca hm r-li 17
1.4. Quan h với hm li suy rng khc 20
CHƢƠNG 2: TỐI ƢU VỚI HM MC TIÊU r-LỒI 25
2.1 Bi ton ti ưu 25
2.2 Điều kin ti ưu đi với bi ton có rng buc 31
2.3 Điều kin ti ưu v thuật ton giải bi ton ti ưu r-li 36
2.4 V d về ti ưu hm r-li phi tuyến 45
KẾ T LUẬ N 48
TI LIỆU THAM KHẢO 49
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

DANH MỤ C CHƢ̃ VIẾ T TẮ T
Stt
Tƣ̀ viế t tắ t
Nộ i dung
01
KKT
Karush-Kuhn-Tucker
02
CP
Bi ton ti ưu li khả vi

03
NLP
Bi ton ti ưu phi tuyến

1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

LỜI NÓI ĐẦU
Giải tch li với hai khi nim cơ bản l tập li v hm li đã pht triển
mạnh mẽ v cơ bản định hình trong những năm 70 ca thế kỉ trước . Hm li
l mở rng ca hm tuyến tnh v do đó nó cho phép nghiên cứu lớp cc bi
ton ti ưu li , rng hơn nhiều so với lớp bi ton ti ưu tuyến tí nh . Vì vậy
Giải tch li đóng vai trò quan trọng trong ứng dng ton học vo cc bi toán
ti ưu trong thực tế.
Tuy nhiên, cc bi ton trong thực tế thường không nhất thiết l li. Vì
vậy, cần mở rng khi nim hm li. Mangasarian, Hong Ty,
Rockaffelar l những người có đóng góp lớn trong nghiên cứu cc lớp hm
li suy rng (lớp cc hm tựa li, giả li, ).
Avriel (1973) đã đưa ra mt lớp hm
r 
li, l sự mở rng ca lớp hm li
v có mt s tnh chất tt khi p dng cho bi ton ti ưu.
Luận văn Hàm
r 
lồi và ứ ng dụ ng có mc đch trình by ni dung hai
bi bo ca Avriel về hm li v ứng dng ca nó trong ti ưu. Luận văn
gm hai chương.
Chương 1 “Hà m
r 
lồi” trình by cc tnh chất cơ bản ca hm

r 
li. Cc tnh chất ca hm
r 
li (khả vi hay không khả vi) cho thấy mi
quan h thú vị giữa cc lớp hm li v hm li suy rng với lớp hm
r 
li.
Chương 2 “Tố i ưu vớ i hà m mụ c tiêu
r 
lồi” trình by ứng dng ca
hàm
r 
li trong bi ton ti ưu với cc hm mc tiêu v hm tham gia trong
hạn chế l cc hm
r 
li. Trình by thuật ton v v d giải bi ton ti ưu
với hm
r 
li.
Do thờ i gian có hạ n nên luậ n văn nà y mớ i chỉ dừ ng lạ i ở việ c tì m hiể u tà i
liệ u, sắ p xế p và trì nh bà y cá c kế t quả nghiên cứ u đã có theo chủ đề đặ t ra .
Trong quá trình viế t luậ n văn cũ ng như trong xử lý văn bả n chắ c chắ n không
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

trnh khi có những sai sót nhất định . Tc giả rất mong nhận đưc sự góp 
ca cc thầy cô v cc bạn đng nghip để luận văn đưc hon thin hơn.
Tc giả xin đưc by t lòng biết ơn sâu sắ c đế n thầy hướng dẫn, PGS-TS
Tạ Duy Phưng đã tậ n tì nh giú p đỡ trong suố t quá trình là m luậ n văn.
Tc giả xin chân thà nh cả m ơn Ban gim hiu , Khoa Toá n và Phòng Đo

tạo sau Đại học Trường Đại học Khoa học - Đại học Thi Nguyên , cc thầy,
cô ở Việ n Toá n họ c đã tậ n tình giả ng dạ y và tạ o mọ i điề u kiệ n thuậ n lợ i cho
tc giả trong qu trình học tập tại trường.
Tc giả cng xin chân thnh cảm ơn Ban gim hiu , Tổ Toá n - Tin và cá c
thầ y cô giá o Trườ ng THPT Lương Ngọ c Quyế n , nơi tá c giả công tá c , đã tạ o
nhữ ng điề u kiệ n thuậ n lợ i để tá c giả hoà n thà nh nhiệ m vụ họ c tậ p.
Tc giả cng xin by t sự qu mến v lòng biết ơn sâu sc tới b m , gia
đì nh và ngườ i thân đã luôn khuyế n khí ch , độ ng viên tá c giả trong suố t quá
trình học cao học v viết luận văn ny.

Thái Nguyên, tháng 7 năm 2011
Tc giả





3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

CHƢƠNG 1
HM r-LỒ I
Chương nà y nhắ c lạ i vắ n tắ t mộ t số kiế n thứ c cơ bả n , cầ n thiế t ca giải
tch lồ i (tậ p lồ i, hm li), trình by khi nim hm r-lồ i, tnh chất ca hm
r-lồ i, tnh khả vi ca hm r-lồ i và quan hệ vớ i hà m lồ i suy rộ ng khá c nhằ m
phc v cho vic tìm hiểu v nghiên cứu cc bi ton ti ưu . Khi niệ m hà m
r-lồ i do M. Avriel đưa ra năm 1972-1973 (xem [3] và [4]).
1.1 MỘ T SỐ KHÁ I NIỆ M HÀ M LỒ I V HM r-LỒ I
1.1.1. Tập lồi
Tập

n
S  
đưc gọi l tập lồi nếu S chứ a mọ i đoạ n thẳ ng nố i hai điể m củ a
nó tức l với mọ i
12
, x S x S
ta có
12
(1 ) ,x x S

  

 
0,1 .



1.1.2. Hàm lồi
Định nghĩa 1.1 Hàm
f
xc định trên mt tập li
n
S 
đưc gọi l hàm lồi
trên
S
nếu
1 2 1 2 1 2
( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ) , ,f x x f x f x x x S
   

      

 
0,1 .



Định nghĩa 1.2 Hàm
f
đưc gọi l lồi chặt trên
S
nếu

1 2 1 2 1 2
( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ) ,f x x f x f x x x
   
      
 
0,1 .



Hàm
f
đưc gọi l hàm lõm (lõm chặt) trên
S
nếu
f
l li (li chặt)
trên

.S

Mt hm tuyến tnh vừa l hm li, vừa l hm lõm. Hm
()f x c
l
hm tuyến tnh nhưng không phải l hm li chặt , cng không phải l hm
lm chặt .
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

 
1
fx
)
 
2
fx
)
 
12
(1 )f x x



x
12
( ) (1 ) ( )f x f x



 
1
fx

 
2
fx

 
fx

x
 
fx

12
( ) (1 ) ( )f x f x



 
12
(1 )f x x



Định nghĩa 1.3 Cho
f
l hm xc định trên tập li
,
n
S  

f
đưc gọi l
hàm tựa lồi trên
S
nếu
12

, ,x x S

 
1 2 1 2 2
( ) ( ) ( (1 ) ) ( ) 0,1 .f x f x f x x f x
  
      

tức l
12
, ,x x S

 
 
1 2 1 2
( (1 ) ) max ( ), ( ) 0,1 .f x x f x f x
  
    

Hnh 1.1: Hm li
0
12
(1 )xx



1
x

2

x

Hnh 1.2: Hàm lõm
0
12
(1 )xx



1
x

2
x

5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Hàm
f
đưc gọi l hàm tựa lõm trên
S
nếu -
f
l tựa li trên
S
tứ c là nếu
12
, x x S
m

12
( ) ( )f x f x
thì
 
1 1 2
( ) ( (1 ) ) 0,1 .f x f x x
  
    

Định nghĩa 1.4 Hàm
f
xc định trên mt tập li
n
S 
đưc gọi l hàm
tựa lồi chặt (strictly quasiconvex) trên
S
nếu với mọ i
12
, ,x x S

12
,xx

ta có
 
1 2 1 2
( (1 ) ) max ( ), ( )f x x f x f x

  

với mọi
 
0,1 ,


hay tương đương với
 
1 2 1 2 2
( ) ( ) ( (1 ) ) ( ) 0,1 .f x f x f x x f x
  
      

Hàm f đưc gọi l hàm tựa lõm chặt trên
S
nếu (-
f
) l tựa li chặt, tứ c là
 
1 2 1 2 2
( ) ( ) ( (1 ) ) ( ) 0,1 .f x f x f x x f x
  
      

1.1.3. Hàm r-lồi
Khi nim tập li v hm li đóng vai trò rấ t quan trọ ng trong hầ u hế t
nhữ ng vấ n đề củ a qui hoạ ch toá n họ c . Mc đch ca luận văn ny l trình by
khi nim hm r-lồ i do M. Avriel đưa ra (xem [3]). Lớ p hm r-lồ i khá rộ ng ,
nó l mở rng tự nhiên ca lớ p hà m lồ i v chứa lớp hm li như mt trường
hợ p đặ c biệ t.

Ta đã biế t l hàm
f
xc định trên mt tập li
n
S 
đưc gọi l hm li
trên
S
nếu

1 2 1 2 1 2
( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ) , ,f x x f x f x x x S
   
      

 
0,1 .


(1.1)
Nói cch khc , gi trị ca hm s tại điể m
12
: (1 )x x x


  
l t hp
ca
1
x

v
2
x
vớ i cá c trọ ng số

v
(1 ),



12
( (1 ) )f x x


nh hơn t
hợ p củ a
 
1
fx
v
 
2
fx
vớ i cù ng trọ ng số

v
(1 ).



6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Khi nim r-lồ i mở rộ ng bấ t đẳ ng thứ c (1.1) bằ ng cá ch thay vế phả i củ a
(1.1) bằ ng mộ t trọ ng số tổ ng quá t hơn củ a giá trị hà m số tạ i
1
x
v
2
x
. Điề u
ny cho phép chúng ta xét mt lớ p cá c hà m rộ ng hơn là lớ p hà m lồ i mà nó
vẫ n cò n giữ đượ c nhiề u tính chấ t củ a hà m lồ i (trên quan điể m á p dụ ng và o bà i
qui hoạ ch ton học).
Có rất nhiều mở rng khc ca hm li , ch yếu l với mc đch ứng
dng trong qui hoạ ch toá n họ c (xem [3], [4]). Trong luậ n văn ny cng sẽ
trình by mt s quan h giữa r-lồ i và cá c dạ ng mở rộ ng khá c củ a hà m lồ i.
Hàm r-lồ i (r-convex function)
Giả s
m
w
l véc tơ m chiề u cc thnh phần dương v
,
m
q

i
q 

(

1,im
) l cc s không âm sao cho
1
, 1, 1,
m
i
i
q i m



r l s thực.
Đị nh nghĩa 1.5 Trọng số trung bnh r ca cc s
1
, ,
m
ww
đượ c định nghĩ a l
số (xem [3])
 
1
1
1
1
, 0;
( ; ) , , ;
, 0.
i
m
r

r
ii
i
r r m
m
q
i
i
q w r
M w q M w w q
wr


















Nhậ n xé t 1.1 Nế u

2; 1mr
thì
 
1 1 2 2 1 1 1 2
( ; ) 1
r
M w q q w q w q w q w    
l
tổ hợ p lồ i củ a
1
w
v
2
.w

Đị nh nghĩ a 1.6 Hàm thự c
f
xc định trên mt tập li
n
C  
đưc gọi l
hàm r-lồ i (r-convex function) nếu với mọ i
12
, x C x C
ta có

     


 

1 2 1 2
12
log exp ,exp ;
r
f q x q x M f x f x q
   
   


hay tương đương với
7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


 
   
 
   
1
12
12
12
12
12
12
log exp exp , 0;
, 0.
r
q rf x q rf x r
f q x q x

q f x q f x r

   

   







Đị nh nghĩ a 1.7 Hm thự c
f
xc định trên mt tập li
n
C  
đưc gọi l
hàm r-lõm (r-concave function) nếu với mọ i
12
, x C x C
ta có

     
 
 
1 2 1 2
12
log exp ,exp ;
r

f q x q x M f x f x q
   

   

hay tương đương với

 
   
 
   
1
12
12
12
12
12
12
log exp exp , 0;
, 0.
r
q rf x q rf x r
f q x q x
q f x q f x r

   

   








 Nế u
0,r 
hm r-lồ i đượ c gọ i là hàm lồi trên (superconvex).
 Nế u
0,r 
hm r-lm đượ c gọ i là hàm lõm trên (superconcave).
 Nế u
0,r 
hm r-lồ i đượ c gọ i là hàm lồi dưi (subconvex).
 Nế u
0,r 
hm r-lm đưc gọi l hàm lõm dướ i (subconcave).
Nhậ n xé t 1.2
i) Hm thự c f xc định trên mt tập li
n
C  
l hm lồ i khi và chỉ khi f l
hm 0-lồ i.
ii) Hm thực f xc định trên mt tập li
n
C  
l hm lm khi v chỉ khi f
l hm 0-lm.
Ví dụ 1.1 Xét hàm
,logx

0x 
l hm lm do đó,
logx
là hàm 0-lõm. Theo
Định nghĩa 1.6 thì
logx
cng l 1-li v 1-lõm.
Do đó, nó vừa l hm li trên vừa l hm li dưới.
Đị nh nghĩ a 1.8 Trọng số trung bnh r của m vé c tơ dương
12
, , ,
mn
w w w 

đưc định nghĩa là :
1 1 1
11
( , , ; ) ( ( , , ; ), , ( , , ; )).
m m m
r r r n n
M w w q M w w q M w w q

8
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Đị nh nghĩ a 1.9 Tập con
n
X  
đưc gọi l tập r-lồi nếu với mọi
12

, ,x X x X
1 2 1 2
0, 0, 1q q q q   

thì


12
12
11
log ( , ; ) , ,log ( , ; ) .
nn
xx
xx
rr
M e e q M e e q X





(1.2)
Tập r-li có minh họa hình học đơn giản l với hai điểm bất kỳ thuc tập r-li
thì đường cong xc định bởi (1.2) sẽ chứa trong tập đó.
Tậ p 0-lồ i là tậ p lồ i.
Mặt khc, tập
n
X  
là r-li với
0r 

khi v chỉ khi tập Y cho bở i
 
: , , 1, , ,
j
rx
n
j
Y y y y e j n x X    

l tập li.
Định nghĩa ca hm r-li có thể mở rng hơn trên tập r-li.
Định nghĩa 1.10 Hm thực

xc định trên tập p-li
n
X  
đưc gọi l
(p,r)-lồi nếu với mi
12
1 2 1 2
, , 0, 0, 1x X x X q q q q     
thì
   
 
1 2 1 2
( ) ( )
.log ( , ; ) log , ;
x x x x
pr
M e e q M e e q





Trong đó
log
và
e
trong vế tri ca bất đẳng thức đưc hiểu l
log
và
e
theo
từng thnh phần.
Mở rng khi nim tập
r 
li dẫn đến định nghĩa hm
 
,pr 
li dưới đây.
Định nghĩa 1.11 Cho
,
nm
XY
thì tập
 
( , ): ,T XxY x y x X y Y   
đưc gọi l tập (p, r)-lồi nếu
   



1 2 1 2
log , ; ,log , ;
x x y y
pr
M e e q M e e q T
   
   


với
1 1 2 2
( , ) , ( , )x y T x y T
và
1 2 1 2
0, 0, 1.q q q q   

Hm thực

xc định trên tập p-li
n
X  
đưc gọi l (p, r)-li nếu
epigraph ca

là (p, r)-li.
9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

 đây epigraph ca hm


đượ c đị nh nghĩ a l
 
 
. : , : , , ( )epi x x X f x
   
   

Dưới đây ta chỉ xét cc hm
 
0,r 
li, tức l cc hm
r 
li. Tuy nhiên
phần lớn cc kết quả có thể dễ dng mở rng cho hm
 
,pr 
li.
Ta nhậ n xé t rằ ng có thể mở rộ ng khá i niệ m lồ i bằ ng cch sử dụ ng trọ ng số
theo cá ch khá c nhau. Th d, ta có định nghĩa dưới đây.
Đị nh nghĩ a 1.12 Hm thự c dương
f
xc định trên mt tập li
n
C  
đưc
gọi l hm r
+
-lồ i (r
+

-convex) nếu với mỗ i
12
, x x C
v q ta có

     
1 2 1 2
12
,,;
r
f q x q x M f x f x q




hay tương đương với

     
 
1
1 2 1 2
1 2 1 2
.
rr
r
f q x q x q f x q f x  

Nhậ n xé t 1.3 Nế u hm f xc định trên mt tập li
n
C  

l hm 1
+
-lồ i thì
f l hm li.
Nhậ n xé t 1.4 Hm f xc định trên mt tập li
n
C  
l hm r-lồ i khi và chỉ
khi
exp( )f
l hm
r

-lồ i (
r convex


) vớ i cù ng r.
Chứng minh
Với
0 r 
: f l hm r-lồ i


 
1 2 1 2
1 2 1 2
( ) ( )f q x q x q f x q f x  

 

1 2 1 2
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2
1 2 1 2
exp exp ( ) ( ) .
q f x q f x q f x q f x
f q x q x q f x q f x e e e



     

   
12
12
exp .expq f x q f x

 
exp f
l hm
r

-lồ i.
Với
0 r 
: f là hm r-li
     
1
1 2 1 2

1 2 1 2
log exp ( ) exp ( )
r
f q x q x q rf x q rf x


   

10
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

     
1
1 2 1 2
1 2 1 2
exp exp log exp ( ) exp ( )
r
f q x q x q rf x q rf x

   

   


   

     
1
1 2 1 2
1 2 1 2

exp exp ( ) exp ( )
r
f q x q x q rf x q rf x
   
   
   

exp( )f
là
r

- li.
Luậ n văn nà y ch yếu nghiên cứu hm r-lồ i, từ cá c kế t quả đố i vớ i hà m
r-lồ i có thể biến đi để có cc kết quả tương tự đố i vớ i hà m
r

-li.
Có thể nhận đưc quan h sp thứ tự ca cc hm r-lồ i dự a trên quan hệ
đã biế t củ a trọ ng số trung bì nh củ a cá c số dương (xem [3]).
Bổ đề 1.1 Cho
, rs
và
1
, ,
m
ww
là các số dương.
Nế u
sr
th

   
11
, , ; , , ;
s m r m
M w w q M w w q

vi mọi giá trị của các trọng số
1
, , .
m
qq

Đị nh l 1.1 (Đị nh lý xế p thứ tự ) Nế u f là hàm r-lồ i (r-lõm) th f cng là
hàm s-lồ i (s-lõm) vớ i mọi
 
.s r s r

Chƣ́ ng minh
Hm f là r-li nên theo Đị nh nghĩa 1.6 ta có

     


 
1 2 1 2
12
log exp ,exp ;
r
f q x q x M f x f x q
   

   

với mọ i
12
, .x C x C

Theo Bổ đề 1.1, vớ i mọ i
sr
ta có
   
 
   
 
1 2 1 2
exp ,exp ; exp ,exp ;
sr
M f x f x q M f x f x q
       

       

Suy ra
   
 
 
   
 
 
1 2 1 2
.log exp ,exp ; log exp ,exp ;

rs
M f x f x q M f x f x q
       

       

Do đó
     
 
 
1 2 1 2
12
.log exp ,exp ;
s
f q x q x M f x f x q
   
   


11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Vậ y f là hm s-li.
Chứng minh với
f
l hà m r-lm lm tương tự.
Tương ứ ng vớ i cá c thuậ t ngữ , ta có nhậ n xé t dướ i đây.
Nhận xét 1.5 Hàm f l hm li trên thì f l hm li, điề u ngượ c lạ i không
đú ng.
Xét cc trường hp tới hạn ca hm r-lồ i (nghĩa l

r  
v
r 
).
Ta biế t rằ ng (xem [3]).
Định nghĩa 1.13
Hàm
f
là hm
()
-lồi nếu

1 1 1
lim ( , , ; ) ( , , ) max( , , ).
r m m m
r
M w w q M w w w w




Hàm
f
là hm
()
-lồi nếu

1 1 1
lim ( , , ; ) ( , , ) min( , , ).
r m m m

r
M w w q M w w w w




Khi ấ y ta suy ra
Nhận xét 1.6
1 1 1
( , , ) ( , , ; ) ( , , )
m r m m
M w w M w w q M w w
 

với mọ i
.r

Như vậy, nếu f là hàm
r 
li trên
C
thì f cng là (

)-li trên
C
nghĩa l
1 2 1 2 1 2
12
( ) max ( ), ( ) , .f q x q x f x f x x C x C    




Theo định nghĩa ở trên, f là (

)-li trên
C
tương đương vớ i f l tựa li.
Tương tự, ta cng có thể định nghĩa hm
 
lm như sau.
Định nghĩa 1.14 Hàm f là hàm
 

-lõm nếu
1 2 1 2 1 2
12
( ) min ( ), ( ) , .f q x q x f x f x x C x C    



Đị nh nghĩa ny tương ứng với f l tựa lm.
Nhận xét 1.7 Hàm
 

-li trên
( ) ,C f x c
c l hng s.
12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Như vậy, hm hng là
r 
li vớ i mọi
 
.,r  

Ta có đị nh lý sau
Định l 1.2 Mọi hàm r-lồi (r-lõm) xác định trên tập lồi C cng là hàm tự a lồi
(tựa lõm) trên C.
Như vậy, khi nim
r 
li v tnh chất sp thứ tự dẫn tới khi nim tựa li v
tựa lm mt cch tự nhiên.
Ta biế t rằ ng có những hm tựa li m không phải l li . Tương tự có nhữ ng
hm tựa li nhưng không l hm
r 
li với mọi
.r

Ví dụ 1.2 Xét hm tựa li f xc định trên

cho bở i
1 2
()
2 2.
x
fx
x








Xét
12
12
1
1, 5,
2
x x q q   

thì
 
 
12
12
32f q x q x f  

và
 
12
( ) ( ) 2
11
log , ; log , ; , 2,
22
f x f x
rr
M e e q M e e






.r

Như vậy,
f
l tựa li nhưng không phải l
r 
li với mọi
.r
Mặt khc,
có những hm tựa li không l hm li nhưng có thể l li dưới với mt và i
0r 
no đó, v d, hàm
log .x
Câu hi về sự tn tại ca mt
0r 
no đó sao
cho hàm tựa li l
r 
li sẽ đưc xem xét trong mc 1.4.
1.2 TNH CHẤT CA HM r-LỒ I
Mộ t đặ c trưng đơn giả n củ a hà m
r 
lồ i có thể nhậ n đượ c từ khá i niệ m lồ i
bình thường. Định l dưới đây cho phép chuyển cc hm
r 

lồ i v
r 
lm về
cc hm li v hm lm.
13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Định l 1.3 Cho

là hàm thực trên tập lồ i
n
C  
và hàm
ˆ

xác định bởi
.
ˆ
exp ( )rx





Khi đó ,

là r-lồi (r-lõm) vi
0r 
khi và chỉ khi
ˆ


là hàm lồi (lõm) khi
0r 
và
ˆ

là hàm lõ m (lồi) khi
0.r 

Chứng minh
Giả s

là hàm r-li v
0.r 
Khi đó, với mỗ i
12
, x C x C
và q ta có:
 
12
1
1 2 ( ) ( )
1 2 1 2
( ) log
r x r x
r
q x q x qe q e


  

 
12
1
1 2 ( ) ( )
1 2 1 2
( ) log
r x r x
r
r q x q x r qe q e


   

 
12
12
12
( ) ( )
12
r q x q x
r x r x
e qe q e



  

ˆ



l hm li.
Nếu
0r 
thì
12
2
1 2 1
( ) ( )
()
12
r q x q x r x
rx
e qe q e





ˆ


là hàm lm.
Chứng minh tương tự với

là hàm r-lõm.
Ngưc lại, giả s
ˆ
r
e




l hm li trên C tha mãn

 
12
12
12
( ) ( )
12
r q x q x
r x r x
e qe q e




với mọ i
12
, .x C x C

Nếu
0r 
ta đưc
12
12
12
()
( ) ( )

12
log log
r q x q x
r x r x
e qe q e








12
1 2 ( ) ( )
1 2 1 2
( ) log
r x r x
r q x q x qe q e







12
1
2 ( ) ( )
1 2 1 2

1
( ) log
r x r x
r
q x q x qe q e







12
1
1 2 ( ) ( )
1 2 1 2
( ) log
r x r x
r
q x q x qe q e









hàm r-li.

14
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Nếu
0r 
, chứng minh tương tự đưc

là hàm r-lõm.
Ví dụ 1.3 Xét hm
2
( ) lnxx
r


vớ i
0, 0.xr

Ta có
( ) 2
ˆ
()
rx
x e x



l hm li.
Do đó
2
( ) lnxx

r


l hm r-lồ i.
Nhiề u tnh chất đại s v hình học ca hm li vẫn đúng hoặc có thể tng
qut hóa cho hm r-lồ i. Dướ i đây là mộ t và i kế t quả .
Ta biế t rằ ng f l hm li khi v chỉ khi
 
f
l hm lm. Định lý dướ i
đây tổ ng quá t hó a kế t quả nà y.
Định l 1.4 Hàm

là hàm r-lồi khi và chỉ khi (


) là hàm (-r)-lõm.
Chứng minh
Với
0r 
và

là 0-li khi v chỉ khi (


) là hàm 0-lõm.
Giả s
0r 
và


là hàm r-li.
Do đó
12
1
1 2 ( ) ( )
1 2 1 2
( ) log
r x r x
r
q x q x qe q e






với mỗ i
12
, x C x C
và q
12
1
1 2 ( ) ( )
1 2 1 2
( ) log
r x r x
r
q x q x qe q e







  



là hm (-r)-lõm.
Chiều ngưc lại chứng minh tương tự.
Định l 1.5 Nếu hàm

là hàm r-lồi (r-lõm) và
*
,k



.


Khi đó
i)


là hàm r-lồi (r-lõm).
ii) Hàm
k

là hàm

r
k
-lồi (
r
k
-lõm).
15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Chƣ́ ng minh
i) Vớ i
0,r 
theo tí nh chấ t củ a hà m lồ i ta có ngay kế t quả trên.
Giả s
0, r


l hm r-lồ i. Theo Định l 1.3 thì
()rx
e

l hm li.
Do đó , hm
 
 
()
()
( ) ( )
.
rx

rx
r r x r r x
e e e e e


   





  
cng l hm li.
Nên


l hà m r-li.
Chứ ng minh vớ i

l hm r-lm lm tương tự.
ii) Vớ i
0,r 
theo tí nh chấ t củ a hà m lồ i ta có ngay kế t quả trên.
Giả s
0, r


l hm r-lồ i và
*
,k



ta có vớ i mọ i
12
, x C x C
v
,q

 
   
12
1
12
1 2 1 2
log
r x r x
r
q x q x q e q e



  



 
   
12
1
12

1 2 1 2
log
r x r x
r
k q x q x k q e q e



   



 
   
12

12
1 2 1 2
log
k
rr
r
k x k x
kk
k q x q x qe q e



   




Suy ra
k

l hm
r
k
-lồ i.
Chứ ng minh vớ i

l hm r-lm lm tương tự.
Định l 1.6 Cho
,

là hàm r-lồi (r-lõm) trên tậ p lồ i
n
C  
và gi s
12
,

là các số dương . Khi đó , hàm

xác định bởi
1
( ) ( )
12
12
log , 0,

( ) ( ), 0.
r x r x
r
e e r
x x r

   














cng là hà m r-lồi (r-lõm).
16
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Chƣ́ ng minh
Vớ i
0,r 
theo tí nh chấ t củ a hà m lồ i ta có ngay kế t quả trên.
Vớ i

0,r 
do
,

l hm r-lồ i nên theo Đị nh lý 1.3 ta có
()rx
e

v
()rx
e

l
hm li.
Vớ i mọ i
12
, ,x C x C

12
,

l cc s dương v
,q
ta có
   
1
1 2 1 2
1 2 1 1 1 2
log
rr

r
r q x q x r e e q x q x
ee

  

  




   
1 2 1 2
1 2 1 2
12
r q x q x r q x q x
ee






       
1 2 1 2
1 1 2 2 1 2
r x r x r x r x
qe q e qe q e
   


   
   
   
   


       
1 2 2 2
1 1 2 2 1 2
r x r x r x r x
q e e q e e
   
   
   
   
   
   

     
1 2 1 2
12
12
.
r q x q x r x r x
e q e q e
  

  

Suy ra

r
e

l hm li nên

l hm r-lồ i.
Chứ ng minh vớ i

l hm r-lm lm tương tự.
Định l 1.7 Cho

là hàm r-lồi (r-lõm) trên tập lồ i
n
C  
vớ i

0r 

 
0r 

và cho

là hàm s-lồi (s-lõm) không gim trên
.

Khi đó, hàm hợp
 

là hàm s-lồi (s-lõm).

Chứng minh
Cho
12
1 2 1 2
, , 0, 0, 1.x C x C q q q q     

Nếu

là hàm r-li, ta có
 
12
1 2 ( ) ( )
12
.( ) log ( , ; )
xx
r
q x q x M e e q




Theo định nghĩa,
1 2 1 2
1 2 1 2
.( ) ( )q x q x q x q x
  


  

Do

l không giảm nên
17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

 
12
1 2 ( ) ( )
12
.( ) log ( , ; )
xx
r
q x q x M e e q






Vì
0r 
nên
1 2 1 2
1 2 1 2
).( ) ( ( )q x q x q x q x
   


  

Do


là hm s-li nên
 
12
1 2 ( ( )) ( ( ))
12
( ) log ( , ; )
xx
s
q x q x M e e q
   



 
12
1 2 ( ) ( )
12
( ) log ( , ; )
xx
s
q x q x M e e q


  





là hm s-li.
Chứng minh tương tự cho trườ ng hợ p

là hm s-lõm.
Định l dưới đây cho phép nhiều khi đơn giản hóa chứng minh cc định l
liên quan đến cc hm li suy rng.
Định l 1.8

là hàm r-lồi (r-lõm) trên tập lồ i
n
C  

khi và chỉ khi vi mọ i
12
, x C x C
và hàm

cho bởi
 
 
12
( ) 1 xx
    
  

là hàm r-lồi (r-lõm) vi
0 1.




1.3 TNH KHẢ VI CA HÀM r-LỒI
Trong trườ ng hợ p hà m khả vi thì đị nh nghĩ a hà m r-lồ i có thể đơn giả n hơn
Định l 1.9 Cho

là hàm kh vi trên tập lồi
.
n
C  

Khi đó,

là hàm r-lồi khi và chỉ khi vi mọ i
12
, x C x C
ta có
 
 
21
( ) ( ) 2 1 1
,
11
1 ( )
T
r x r x
e e r x x x
rr



   
vi
0;r 

       
2 1 2 1 2
,
T
x x x x x
  
   

vi
0.r 

Định lý 1.10 Cho

là hàm kh vi trên tập lồi
.
n
C  

Khi đó,

là hà m r-lõm khi và chỉ khi vi mọ i
12
, x C x C
ta có
18
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

 
 
21
( ) ( ) 2 1 1
,
11
1 ( )
T
r x r x
e e r x x x
rr


   
vi
0;r 

       
2 1 2 1 2
,
T
x x x x x
  
   

vi
0.r 

Như đã thấ y ở phần t rên, tnh

r 
lồ i củ a mỗ i hà m

trên tậ p lồ i C
tương đương vớ i tính
r 
lồ i củ a hà m

hạn chế trên mọi đoạn thẳng
chứ a trong C. Định lý dư ới đây xét trường hp mt chiều với mc đch
mở rộ ng cho n chiề u .
Định l 1.11 Cho

là hàm thự c kh vi liên tụ c hai lần trên khong mở (a,b),
', "


lần lượt là đạo hàm cấp 1, cấp 2 của hàm
.


Khi đó,

là hàm r-lồi khi và chỉ khi
2
.( ) ( ) 0, ( , )r ' x '' x x a b



   

Chứng minh
Với
0,r 
theo tnh chất ca hm li ta có ngay kết quả trên.
Với
0:r 

2
.( ) ( ) 0, ( , )r ' x '' x x a b



   



2
( ) ( )
( ). ( ) ( ) ( ) 0,
r x r x
re r ' x '' x e ''




   

( , ).x a b

r
e


l hm li trên (a,b).
Theo Định l 1.3 khi v chỉ khi

là hm r-li.
Vớ i
0,r 
chứ ng minh tương tự .
Định l 1.12 Cho

là hàm thự c kh vi liên tụ c hai lần trên khong mở (a,b),
', "


lần lượt là đạo hàm cấp 1, cấp 2 của hàm
.


Khi đó,

là hà m r-lõm khi và chỉ khi
2
.( ) ( ) 0, ( , )r ' x '' x x a b



   

Định nghĩa 1.15 (Ma trận xc định dương) Ma trận
A
đưc gọi l ma trận
na xác định dương (trên
C
) nếu
, 0,x Ax 

;xC

19
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Ma trận
A
gọi l xác định dương nếu
, 0,x Ax 

0.x

Ta biết định l sau đây đi với hm li
Đị nh lý 1.13 Cho f là hà m khả vi hai lầ n trên tậ p lồ i mở
.
n
C  
Khi đó f
là hàm lồi trên C khi và chỉ khi ma trậ n Hessan
2
()fx

là na xác định
dương trên C, tứ c là vớ i mọ i
xC
th
2
( ) 0, .
Tn
y f x y y   

Hàm f là hàm lồi chặt trên C nế u
2
()fx
là xác định dương trên C, tứ c là
vớ i mọ i
xC
th
 
2
( ) 0, \ 0 .
Tn
y f x y y   

Từ đó, tnh khả vi ca hm li có thể mở rng cho hm r-lồ i bằ ng đị nh
l sau
Định l 1.14 Cho

là hàm thự c kh vi liên tụ c hai lần trên tập mở
.
n
C  

Khi đó,

là hàm r- lồi (r- lõm) trên C khi và chỉ khi ma trận Q cho bởi
2
( ) ( )( ( )) ( )
T
Q x r x x x

    

là ma trận xác định dương (âm) vi mọi
.xC

Chứng minh
Hàm

là r-li trên
C
khi và chỉ khi hà m
( ) ( ),wz
   

vớ i mỗ i
,x w z


là hm r-li trên khoảng mở
 
( , ) : ,L w z w z C

  
   

với mi
wC
và
n
z
hoặ c theo Định l 1.11 thì

2
( ) ( ) 0r ' ''
   



với mi
( , ).L w z



Do
( ) ( )
T
' z x
  

và
2
( ) ( ) ,

T
'' z x z
  


điề u nà y tương đương vớ i
2
2
( ) ( ) 0
TT
r z x z x z

   


vớ i mi
xC
và
.
n
z

Nhưng điề u nà y cũ ng chí nh l ma trận nử a xc định dương.
Chứng minh với

là hm r-lm lm tương tự.
20
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

1.4. QUAN HỆ VỚI HM LỒI SUY RỘNG KHC

Khi nim giả li l mt khi ni m thường xuyên đưc s dng trong l
thuyết quy hoạch ton học , cng l mt mở rng ca hm li . Ta đã chỉ ra
rằ ng, khi nim
r 
lồ i là mở rộ ng tự nhiên củ a tự a lồ i . Đị nh lý 1.1 (Đị nh lý
xế p thứ tự) v cc trường hp tới hạn ca hm
r 
lồ i (
r 
lm) khi r tiế n đế n
 
 
chỉ ra rng mọi hm
r 
lồ i (
r 
lm) cng l hm tự a lồ i (tự a lõ m).
Định nghĩa 1.16 Hm thực

khả vi đưc gọi hàm gi lồi (pseudo convex)
trên tập li C với mi
12
, x C x C


   
2 1 1
0
T
x x x


  

suy ra
   
21
.xx



Tương tự hàm thực

đưc gọi l hàm gi lõm (pseudo concave) trên tập li
C với mi
12
, x C x C


   
2 1 1
0
T
x x x

  

suy ra
   
21
.xx




Định lý 1.15 Cho
r
và


là hàm r-lồi (r-lõm) kh vi trên tập lồi
.
n
C  

Khi đó,

là hàm gi lồi (gi lõm) trên C.
Chứng minh
Cho

là hàm r-li (r-lm) khả vi, giả s
0.r 

Khi đó, với
12
, x C x C
và
   
2 1 1
0.
T

x x x

  

Ta có
 
1
2 1 2 1 1
.( ) ( ) log 1 ( ) ( )
T
r
x x r x x x
  
    

Bở i vì
 
1
2 1 1
0log 1 ( ) ( )
T
r
r x x x

  
nên ta suy ra rằ ng
   
21
.xx




Vậ y

là hm giả li.
21
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Với
0r 
và hàm r-li cng l hm s-li với mỗ i
0s 
và theo lí luậ n trên
nên nó l giả li.
Tương tự chứng minh hm

giả lm.
Ta đã chỉ ra rng mt hm
r 
lồ i là tự a lồ i và khi nó là khả vi thì nó là giả
lồ i. Bây giờ ta quan tâm đế n câu hỏ i ngượ c lạ i : Cho hà m tự a lồ i, hi với điều
kiệ n gì thì tồ n tạ i mt s r hữ u hạ n sao cho nó l hm
r 
lồ i. Đi với hm hai
lầ n khả vi
()x


, Fenchel đã đặt câu hỏ i :
()F


hai lầ n khả vi tăng chặ t thì
( ) ( ( ))f x F x


l li. Ta sẽ chỉ ra rằ ng thự c chấ t bà i toá n ở đây cũ ng mở
rộ ng nhưng đò i hỏ i điề u kiệ n

l hm r-lồ i. Bổ đề sau rấ t có í ch cho nhữ ng
tnh chất tiếp theo.
Bộ đề 1.2 Cho

là hàm tựa lồi (tựa lõm) kh vi liên tc hai lần trên tập mở
.
n
C  

Nếu
0
xC
và
0
( ) 0
T
zx



đối vi một vài
,

n
z


thì
 
2 0 2 0
.( ) 0 ( ) 0
TT
z x z z x z

   
   

Chứng minh
Giả s

l hm tựa li,
0
( ) 0
T
zx



và
20
( ) 0
T
z x z




với mt s
.
n
z



Không mất tnh tng qut ta giả thiết
1.z 


Do tnh liên tc,
0


sao cho
20
.xx



Suy ra
 
20
(1 ) 0,
T
z x x z

  
   



0 1.



Chọn
0
x x z




với
0



22
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

nên có:
    
0 2 0 0
(1 ) 0, 0 1.
T
x x x x x x

   
       
  

Do đó theo Định l Taylor (xem [3], [4])
0
( ) ( ).xx



(1.3)
Giả s
0
ˆ
( ),x x z

  

l luận tương tự
0
ˆ
( ) ( ).xx


(1.4)
Vì
 
0
1
ˆ

2
x x x

nên từ (1.3) và (1.4) đưc

không l hm tựa li, mâu thuẫ n
 
0
ˆ
( ) max ( ), ( )x x x
  


(vô lí ).
Do đó:
20
( ) 0.
T
z x z




Tương tự chứng minh với

l hm tựa lm.
Hệ quả 1.1 Cho

là hàm tựa lồi (tựa lõm) kh vi liên tụ c hai lầ n trên tập mở
.

n
C  

Nếu
0
xC
và
0
( ) 0x


thì
 
2 0 2 0
( ) 0 ( ) 0
TT
zzx z x z

   
vi mọi
.
n
z

Kế t quả chính củ a phầ n nà y là định lý sau
Định lý 1.16 Cho

là hàm tựa lồi khả vi liên tụ c hai lầ n trên tập mở
.
n

C  

Nếu
*
r
sao cho
2
*
2
1
()
sup
()
T
T
xC
z
z x z
r
zx









(1.5)

vi
( ) 0,
T
zx


thì

là
*
r
-lồi.
Chứng minh
Theo Định l 1.14, ta phả i chỉ ra rằ ng tn tại r tha mãn

2
2
( ) ( ) 0
TT
r z x z x z



   
với mi
xC
và
.
n
z

Nếu
( ) 0
T
zx


thì theo B đề 1.2