Hình học giải tích trong không gian với MAPLE (BD toán THPT)

SKKN: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN VỚI MAPLE – BD Toán THPT
LỜI NÓI ĐẦU
Ngày nay, với sự trợ giúp của các phần mềm toán học, người giáo viên đã giảm bớt công việc của mình
trong việc soạn hệ thống bài tập. Hình học giải tích, nói chung và Hình giải tích trong không gian, nói
riêng ngoài việc suy luận ta cần phải tính toán rất nhiều. Maple là phần mềm Toán hỗ trợ cho môn học
này rất tốt.
Đề tài này được viết cách nay tám năm, nhưng viết dưới dạng đơn giản. Cách đây ít tháng, tôi có tham gia
vào diễn đàn Mapleprimes và học hỏi được rất nhiều từ diễn đàn này. Một bài toán lớn, với nhiều bước
tính toán, sau khi được viết mã, thì kết quả của nó sẽ được hiển thị bằng một lần bấm Enter. Hơn thế nữa,
ta có thể thay thế giả thiết của bài toán một cách tuỳ ý và dễ dàng nhận được đáp số một cách nhanh
chóng.
Tác giả của đề tài này đã dùng nó để soạn hệ thống bài tập cho cả cuốn sách và thu được kết quả thật
tuyệt vời. Nhờ nó, mà đáp số của từng bài toán được soạn gọn hơn.
Maple đã được nhiều tác giả viết sách, nhưng viết cho phần Hình học giải tích thì không thấy có sách nào
giới thiệu.
Ở một số bài toán, đề toán được trích nguyên văn bằng tiếng Anh mà tôi đặt câu hỏi tại diễn đàn
Mapleprimes. Chắc chắn không thể có sai sót. Mong quý thầy cô và các em học sinh sửa chữa cho tôi.
Đồng Nai, 2012
Trần Văn Toàn
1
SKKN: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN VỚI MAPLE – BD Toán THPT
HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
Truớc khi làm việc với hình giải tích trong không gian ta phải bắt đầu bằng lệnh with(geom3d);
I. VÀI CÁCH NHẬP THÔNG DỤNG
1) Nhập một điểm.
Để nhập điểm M(x; y; z), ta nhập như sau: point(M, x, y, z);
2) Nhập mặt phẳng
Để nhập phương trình mặt phẳng P : Ax + By + Cz + D = 0, ta nhập :
Plane(P, A*x + B*y + C*z + D = 0, [x, y, z]);
3) Nhập một đường thẳng .
a) Nếu phương trình đường thẳng d có dạng tham số






+=
+=
+=
.
,
,
30
20
10
tazz
tayy
taxx
Khi nhập vào maple, ta làm như sau:
line(d, [x0 + t*a1, y0 + t*a2 , z0 + t*a3], t );
b) Nếu phương trình đường thẳng d có dạng chính tắc
3
0
2
0
1
0
a
zz
a
yy

a
xx −
=
−
=
−
Giả sử d đi qua điểm M(x
0
; y
0
; z
0
) và có véctơ chỉ phương là
);;(
321
aaaa =
→
, khi nhập vào maple, ta nhập
như sau:
line(d,[point(M, x0; y0; z0),[a1,a2,a3]],t);
c) Nếu phương trình đường thẳng d có dạng tổng quát :



=+++
=+++
.
,
0
0

2222
1111
dzcybxa
dzcybxa
d là giao tuyến của hai mặt phẳng:
P
1
: a
1
x + b
1
y + c
1
z + d
1
= 0 và P
2
: a
2
x + b
2
y + c
2
z + d
2
= 0
khi nhập vào maple, ta nhập như sau:
[> plane(P1, [a1*x + b1*y + c1*z + d1 = 0 [x, y, z]):
plane(P2, [a2*x + b2*y + c2*z + d2 = 0, [x, y, z]):
line(d,[P1, p2];

4) Khai báo một vectơ khi biết toạ độ hai điểm ta dùng cú pháp sau: dsegment(AB,[A,B])
Để nhập vectơ
→
u
= (x; y; z), ta nhập : u:=([x, y, z]);
5) Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ.
2
SKKN: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN VỚI MAPLE – BD Toán THPT
Để tính tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ
→
u
và
→
v
. Trước hết, ta phải mở gói [>
with(linalg); Sau đó, ta dùng lệnh : crossprod(u,v); để tính tích có hướng và lệnh dotprod(u,v); để tính
tích vô hướng.
Ví dụ : Cho các vectơ
→
u
= (1; 2; 3) và
→
v
= (3; 5; 7).
Tìm
→
u
.
→
v

và [
→
u
,
→
v
]
[> u:=([1,2,3]),v:=([3,5,7]);
:= u [ ], ,1 2 3
:= v [ ], ,3 5 7
[> with(linalg);
[> crossprod(u,v);
[ ], ,-1 2 -1
[> dotprod(u,v);
34
6) Một số lệnh kiểm tra
Tên lệnh Cú pháp Chức năng
AreCollinear AreCollinear(P, Q, R,
cond)
Kiểm tra tính thẳng hàng của ba điểm P, Q,
R.
AreConcurrent AreConcurrent(l1, l2, l3,
cond )
Kiểm tra tính đồng quy của ba đường thẳng
l
1
, l
2
, l
3

.
AreCoplanar
*AreCoplanar(A, B, C, D )
*AreCoplanar(l1, l2 )
* Kiểm tra tính đồng phẳng của bốn điểm
A, B, C, D.
* Kiểm tra tính đồng phẳng của hai đường
thẳng l
1
và l
2
.
AreParallel
* AreParallel(l1, l2, cond)
* AreParallel(l1, p1, cond)
* AreParallel(p1, p2, cond)
* Kiểm tra tính song song của hai đường
thẳng l
1
, l
2
.
* Kiểm tra tính song song của đường thẳng
l
1
và mặt phẳng P
1.
*
Kiểm tra tính song song của hai mặt
phẳng p

1
và p
2
.
* ArePerpendicular(l1, l2,
cond)
* Kiểm tra tính vuông góc của hai đường
thẳng l
1
, l
2
.
* Kiểm tra tính vuông góc của đường thẳng
3
SKKN: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN VỚI MAPLE – BD Toán THPT
ArePerpendicular *ArePerpendicular(l1, p1,
cond)

* ArePerpendicular(p1, p2,
cond)
l
1
và mặt phẳng p
1
* Kiểm tra tính vuông góc của hai mặt
phẳng p
1
và p
2
.

IsEquilateral IsEquilateral(ABC, cond ) Xét xem tam giác ABC có đều hay không ?
IsOnObject
IsOnObject(f, obj, cond)
Kiểm tra xem điểm hoặc tập hợp điểm f có
thuộc obj hay không ? Trong đó, obj có thể
là đường thẳng, mặt phẳng hay mặt cầu.
IsRightTriangle IsRightTriangle(ABC,
cond )
Kiểm tra tính vuông góc của tam giác ABC.
MẶT PHẲNG
plane(p, [A, dseg1])
plane(p, [dseg1, dseg2])
Một mặt phẳng trong Maple có thể được khai báo với cú pháp và chức năng như sau:
Cú pháp Chức năng
plane(P, [A, v] ) Khai báo P là mặt phẳng đi qua điểm A và có pháp vectơ là v.
plane(p, [A, dseg1]) Khai báo P là mặt phẳng đi qua điểm A và có đoạn thẳng định hướng
1.
plane(p, [dseg1, dseg2]) Khai báo P là mặt phẳng đi qua điểm A và có hai đoạn thẳng định
hướng dseg1 và dseg2
plane(P, [l1, l2] ) Khai báo P là mặt phẳng đi qua hai đường thẳng l1 và l2.
plane(P, [A, B, C] ) Khai báo P là mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C.
plane(P, [A, l1, l2] ) Khai báo P là mặt phẳng đi qua điểm A và song song với hai đường
thẳng l1 và l2.
Plane(P,a*x + b*y +c*z +
d = 0,[x, y, z]
Khai báo P là mặt phẳng có phương trình a*x + b*y +c*z + d = 0.
4
SKKN: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN VỚI MAPLE – BD Toán THPT
Parallel(P, M, alpha) Khai báo P là mặt phẳng đi qua điểm M và song song với mặt phẳng
alpha.

Parallel(P, M, l) Khai báo P là mặt phẳng đi qua điểm M và song song với đường
thẳng l.
Parallel(P, l1, l2) Khai báo P là mặt phẳng chứa đường thẳng l1 và song song với
đường thẳng l2.
parallel(w, u, v)
Parameters
w - name of the object to be created
u - point or a line
v - line or plane; v can be a plane only if u is a point
Description
• If u is a point and v is a line (or plane), the parallel(w, u, v) function defines w as the line (or plane)
that passes through u and is parallel to v.
• If u is a line, and v is a line, the parallel(w, u, v) function defines w as the plane that contains u and is
parallel to v.
Một vài cách xác định vector pháp tuyến của mặt phẳng:
1. Cho mặt phẳng (P) có phương trình ax + by + cz + d = 0.
vector pháp tuyến của (P) xác định bằng lệnh
> NormalVector(P);
2. Mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm A, B. Thì vector pháp tuyến của (P) là
vector chỉ phương của đường thẳng AB. Để xác định vector chỉ phương của đường thẳng có tên là
AB, ta dùng lệnh > ParallelVector(AB);
Ví du 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng AB và phương trình của mặt phẳng đi qua điểm A
và nhận vector AB làm vector pháp tuyến.
> point(A,1,2,3);
A
> point(B,4,5,6);
B
> v:=dsegment(AB,[A,B]);
:= v AB
> line(Delta,[A,v],t);

∆
> Equation(Delta);
[ ], , + 1 3 t + 2 3 t + 3 3 t
5
SKKN: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN VỚI MAPLE – BD Toán THPT
> plane(P,[A,v]);
P
> Equation(P,[x,y,z]);
= − + + +
18 3 x 3 y 3 z 0
Ví dụ 2. Viết phương trình của mặt phẳng đi qua điểm M
0
(1; – 2; 1) và vuông góc với đường thẳng



=+−+
=−+−
.
,
02
032
zyx
zyx
Chú ý rằng vector chỉ phương của đường thẳng là vector pháp tuyến của mặt phẳng.
Lệnh [>ParallelVector(D); để xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng D.
[> plane(P1, x-2*y + z - 3 = 0, [x, y, z]);
[> plane(P2, x + y – z + 2 = 0, [x, y, z]), point(M0,1,-2,1);
, ,P1 P2 M0
[> line(D, [P1, P2]);

D
[> v:=ParallelVector(D);
:= v [ ], ,1 2 3
[> Equation(plane(P, [M0, v], [x, y, z]));
= + +
x 2 y 3 z 0
Ví dụ 3: Viết phương trình của mặt phẳng đi qua ba điểm
A(3; – 1; 2), B(4; – 1; – 1) và C(2; 0; 2).
[> point(A, 3, -1, 2), point(B, 4, -1, -1), point(C, 2, 0, 2);
, ,A B C
[> plane(ABC,[A,B,C],[x,y,z]);
ABC
[> Equation(ABC);
= − + + + 8 3 x 3 y z 0
Ví dụ 4 :Viết phương trình của mặt phẳng đi qua đường thẳng





−−=
+=
+=
2
32
13
tz
ty
tx
,

,
và song song với đường thẳng



=−−+
=−+−
.
,
052
032
zyx
zyx
ĐS. 13x – 14y + 11z + 51 = 0.
6
SKKN: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN VỚI MAPLE – BD Toán THPT
[> line(L1,[3*t+1,2*t+3,-t-2],t):
plane(P1,2*x-y+z-3=0,[x,y,z]):
plane(P2,x+2*y-z-5=0,[x,y,z]):
line(L2,[P1,P2]):
parallel(P,L1,L2):
Equation(P);
Ví dụ 5. Viết phương trình của mặt phẳng đi qua điểm M
1
(1; 2; – 3) và song song với các đường thẳng
1
3
2
2
3

5
3
7
3
1
2
1
−
+
=
−
−
=
+−
=
−
+
=
− zyxzyx
,
ĐS. 9x + 11y + 5z – 16 = 0.
[> line(D1, [point(A, 1, -1, 7), [2,-3,3]]);
[> line(D2, [point(B, -5, 2, -3), [3,-2,-1]]);
[> point(M1, 1, 2, -3);

, ,D1 D2 M1
[> plane(P, [M1, D1, D2]);
P
[> Equation(P, x, y, z]);

= − + + +
16 9 x 11 y 5 z 0
Ví dụ 6: Chứng minh rằng bốn điểm A(1; 2; – 1), B(0; 1; 5), C(–1; 2 ; 1), D(2; 1; 3) nằm trên cùng mặt
phẳng.
Prove that the four points A(1; 2; – 1), B(0; 1; 5), C(–1; 2 ; 1), D(2; 1; 3) lies in the same plane.
* Cách 1:
[> point(A, 1, 2, -1), point(B, 0, 1, 5), point(C, -1, 2, 1), point(D, 2, 1, 3);
, , ,A B C D
[> AreCoplanar(A,B,C,D);
true
* Cách 2:
[> point(A,1,2,-1), point(B,0,1,5), point(C,-1,2,1), point(D,2,1,3);
, , ,A B C D
[> plane(P,[A,B,C],[x,y,z]);
P
[> Equation(P);
= − − −
20 2 x 10 y 2 z 0
7
SKKN: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN VỚI MAPLE – BD Toán THPT
[> IsOnObject(D,P);
true
Lệnh IsOnObject(D, P) ; để kiểm tra xem điểm P có nằm trên mặt phẳng P hay không ?
Ví dụ 7 : Xác định các giá trị của l và m dể hai mặt phẳng có phương trình sau là song song nhau:
mx + 3y – 2z – 1 = 0, 2x – 5y – lz = 0.
[> plane(P1,m*x+3*y-2*z-1=0,[x,y,z]),plane(P2,2*x-5*y-l*z=0,[x,y,z]);
,P1 P2
[> AreParallel(P1,P2,'cond');
FAIL
[> cond;

( )&and , ,
= − −
3 l 10 0
= − +
4 m l 0
= − −
5 m 6 0
[> solve({-3*l-10 = 0,-4+m*l = 0,-5*m-6 = 0},{m,l});
{ }, = m
-6
5
= l
-10
3
Ví dụ 8. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1,2,3) và vuông góc với hai mặt phẳng
(P1): x+ y + z – 1 = 0 và (P2): 2x + 3y + 4z - 1 = 0
[> point(A, 1, 2, 3 );
A
[> plane(P1, x+ y + z - 1 = 0, [x, y, z]);
P1
[> plane(P2, 2*x + 3*y + 4*z - 1 = 0,[x,y,z]);
P2
[> v1:= NormalVector(P1);
:= v1 [ ], ,1 1 1
[> v2:= NormalVector(P2);
:= v2 [ ], ,2 3 4
[> with(linalg);
[> v:=crossprod(v1,v2);
:= v [ ], ,1 -2 1
[> plane(P,[A,v],[x,y,z]);

P
8
SKKN: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN VỚI MAPLE – BD Toán THPT
[> Equation(P);
= − + x 2 y z 0
Ví dụ 9. Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A(1, 2, 3), B(-2,5,6) và vuông góc với mặt
phẳng alpha: x - y + z - 1 = 0.
> restart; with(geom3d);
> point(A, 1, 2, 3);
A
> point(B,-2,5,6);
B
> line(AB, [A,B],t);
AB
> a:=ParallelVector(AB);
:= a [ ], ,-3 3 3
> plane(alpha, x - y + z - 1 = 0,[x,y,z]);
α
> n:=NormalVector(alpha);
:= n [ ], ,1 -1 1
> with(linalg);
> v:=crossprod(a,n);
:= v [ ], ,6 6 0
> plane(P,[A,v],[x,y,z]);
P
> Equation(P);
= − + +
18 6 x 6 y 0
ĐƯỜNG THẲNG
Maple cho phép khai báo đường thẳng theo các cách sau:

Cú pháp Chức năng
line(l, [A, B] ) Khai báo đường thẳng l đi qua hai điểm A và B.
9
SKKN: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN VỚI MAPLE – BD Toán THPT
line(l, [A, u] )
Khai báo đường thẳng l đi qua điểm A và có VTCP là
→
u
.
line(l, [A, p1] ) Khai báo đường thẳng l đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng p1.
line(l, [p1, p2] ) Khai báo l là giao tuyến của hai mặt phẳng p1 và p2.
line(l, [a1+b1*t,
a2+b2*t,
a3+b3*t ], t)
Khai báo đường thẳng l là đường thẳng có phương trình tham số x = a1+b1*t, y =
a2+b2*t, z = a3+b3*t
parallel(l, A, d) Khai báo đường thẳng l đi qua điểm A song song với đường thẳng d.
Ví dụ 1 : Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(3; – 1; 2) và B(4; – 1; –1).
[> point(A,3,-1,2),point(B,4,-1,-1),line(l,[A,B]);
, ,A B l
[> Equation(l,t);
[ ], ,
+
3 t -1
−
2 3 t
Chú ý: Đáp số cho phương trình tham số của đường thẳng l là






−=
−=
+=
.
,
,
tz
y
tx
32
1
3
Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua M(5; – 2; 3) và vuông góc với mặt phẳng 2x – 3y + z – 1
= 0
[> point(M,5,-2,3),plane(P,2*x-3*y+z-1=0,[x,y,z]);
,M P
[> Equation(line(l, [M,P]));
enter name of the independent variable > t;
[ ], ,
+
5 2 t
− −
2 3 t
+
3 t
Ví dụ 3: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng :
2 3 4 5 0,
5 4 4 5 0

x y z
x y z
− + − =


+ − + =

[> plane(P1,2*x-3*y+4*z-5=0, [x,y,z]), plane(P2,5*x+4*y-4*z+5=0,[x,y,z]),
line(D,[P1,P2]);
, ,P1 P2 D
[> Equation(D);
enter name of the independent variable > t;
10
SKKN: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN VỚI MAPLE – BD Toán THPT








, ,
−
5
23
4 t
− +
35
23

28 t 23 t
[> FixedPoint(M,D);
M
[> coordinates(M);








, ,
5
23
-35
23
0
Chú ý: Lệnh FixedPoint(M,D); cho ta một điểm M cố định thuộc đường thẳng đã cho.
Ví dụ 4 : Viết phương trình đường cao AH của tam giác ABC với A(2; – 3; 4), B(3; 2; 7) và C( – 2; 5; 5).
[> with(geom3d);
[> triangle(ABC,[point(A,2,-3,4),point(B,3,2,7), point(C,-2,5,5)]), altitude(AH,A,ABC);
,ABC AH
[> Equation(AH,t);









, ,
+
2
29
19
t
− +
3
89
19
t
+
4
61
19
t
KHOẢNG CÁCH
Trong Maple cho phép tính các khoảng cách sau:
Cú pháp Chức năng
distance(A, B) Tính khoảng cách giữa hai điểm A và B.
distance(l1, l2) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng l1 và
l2.
distance(p1, p2) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng p1 và p2.
distance(A, p1) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng p1.
distance(A, l1) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng
l1.
distance(l1, p1) Tính khoảng cách giữa đường thẳng l1 và mặt
phẳng p1.

11
SKKN: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN VỚI MAPLE – BD Toán THPT
Ví dụ : Cho các điểm A(1; 2; 3), B( – 1; 4; -7);
các mặt phẳng P : 2x + 3y – 9z + 1 = 0 và Q : 2x + 3y – 9z + 9 = 0
và đường thẳng l :
3 1,
4 6,
.
x t
y t
z t
= −


= +


= −

Tính :
1) Khoảng cách giữa hai điểm A và B.
2) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng P.
3) Khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng l.
4) Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và l.
5) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng P và Q.
6) Khoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng Q.
[> point(A,1,2,3), point(B,-1,4,-7),plane(P,2*x+3*y-9*z+1=0,[x,y,z]),line(l,[3*t-
1,4*t+6,-t],t),plane(Q,2*x+3*y-9*z+9=0,[x,y,z]);
, , , ,A B P l Q
[> distance(A,B);

6 3
[> distance(A,P);
9
47
94
[> distance(B,l);
9
26
17 26
[> line(AB,[A,B]);
AB
[> Equation(AB,t);
[ ], , − 1 2 t + 2 2 t − 3 10 t
[> distance(AB,l);
27
74
74
[> distance(P,Q);
4
47
94
[> distance(AB, Q);
12
SKKN: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN VỚI MAPLE – BD Toán THPT
Error,(in geom3d/distancelp)the line and plane intersect
Lưu ý : Đường thẳng AB và mặt phẳng Q cắt nhau.
HÌNH CHIẾU VÀ ĐỐI XỨNG
Vấn đề Cú pháp Chức năng
HÌNH
CHIẾU

projection(Q, A, l ) Tìm hình chiếu Q của điểm A lên đường thẳng l.
projection(Q, A, P) Tìm hình chiếu Q của điểm A lên mặt phẳng P
projection(Q, l, P) Tìm hình chiếu Q của đường thẳng l lên mặt phẳng P.
ĐỐI
XỨNG

reflection(Q, P, c )
Q - the name of the object to be created
P - a geometric object
c - a point, a line, or a plane
Ví dụ 1 : Tìm hình chiếu Q của điểm P(2; –1; 3) lên đường thẳng
D:





=
+−=
=
.
,
,
tz
ty
tx
57
3
[> with(geom3d);
[> point(P,2,-1,3),line(D,[3*t,-7+5*t,2+2*t],t);

,P D
[> projection(Q,P,D);
Q
[> coordinates(Q);
[ ], ,3 -2 4
Ví dụ 2 .Tìm hình chiếu H của điểm P(5; 2; –1) lên mặt phẳng
Q: 2x – y + 3z + 23 = 0
[> with(geom3d);
[> point(P,5,2,-1), plane(Q,2*x- y+3*z+23=0,[x,y,z]);
,P Q
[> projection(H,P,Q);
H
13
SKKN: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN VỚI MAPLE – BD Toán THPT
[> coordinates(H);
[ ], ,1 4 -7
Ví dụ 3 . Tìm hình chiếu của điểm C(3; – 4; – 2) trên mặt phẳng đi qua hai đường thẳng song song
4
3
1
3
13
2
4
3
1
6
13
5
−

+
=
−
=
−
−
+
=
−
=
− zyxzyx
,
[> point(C,3,-4,-2),line(D1,[point(M,5,6,-3),[13,1,-4]]),line(D2,[point(N,2,3,-3),[13,1,-4]]),plane(P,
[D1,D2],[x,y,z]);
, , ,C D1 D2 P
[> Equation(P);
= + − + 120 12 x 12 y 36 z 0
[> projection(H,C,P);
H
[> coordinates(H);
[ ], ,2 -3 -5
Ví dụ 4 . Tìm hình chiếu của đường thẳng



=−+
=−−−
022
,05245
zx

zyx
lên mặt phẳng 2x – y + z – 1 = 0.
Giải :
[> plane(p1,5*x-4*y-2*z-5=0,[x,y,z]), plane(p2,x+2*z-2=0,[x,y,z]),line(l,[p1,p2]);
, ,p1 p2 l
[> plane(Q,2*x-y+z-1=0,[x,y,z]);
Q
[> projection(R,l,Q);
R
[> Equation(R,t);








, ,
−
17
12
8 t
−
37
24
12 t
− +
7
24

4 t
Ví dụ 5 .Tìm điểm M
1
đối xứng với điểm M
2
(8; – 9) qua đường thẳng đi qua hai điểm A(3; – 4) và B( – 1;
– 2).
Giải
[> point(M2,8,-9),point(A,3,-4),point(B,-1,-2);
, ,M2 A B
[> line(AB,[A,B],[x,y]);
AB
14
SKKN: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN VỚI MAPLE – BD Toán THPT
[> Equation(AB);
= − − − 10 2 x 4 y 0
[> reflection(M1,M2,AB);
M1
[> coordinates(M1);
[ ],10 -5
Ví dụ 6 .Tìm điểm Q đối xứng với điểm P( 4; 1; 6) qua đường thẳng



=+−+
=+−−
.
,
0322
0124

zyx
zyx
[> with(geom3d);
[>point(P,4,1,6),plane(P1,x-y-4*z+12=0,[x,y,z]),plane(P2,2*x+y-2*z+3=0,[x,y,z]);
, ,P P1 P2
[> line(l,[P1,P2]);
l
[> reflection(Q,P,l);
Q
[> coordinates(Q);
[ ], ,2 -3 2
Ví dụ 7. Tìm điểm Q đối xứng với điểm P( 2; –5; 7) qua đường thẳng đi qua hai điểm M
1
( 5; 4; 6) và
M
2
( – 2; – 17; – 8).
[>point(P,2,-5,7),point(M1,5,4,6),point(M2,-2,-17,-8),line(M1M2,[M1,M2]);
, , ,P M1 M2 M1M2
[> reflection(Q,P,l);
Q
[> coordinates(Q);
[ ], ,8 -1 3
Ví dụ 8. Tìm điểm Q đối xứng với điểm P(1; 3; –4) qua mặt phẳng
3x + y – 2z = 0.
[> point(P,1,3,-4),plane(anpha,3*x+y-2*z=0,[x,y,z]);
,P anpha
[> reflection(Q,P,anpha);
15
SKKN: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN VỚI MAPLE – BD Toán THPT

Q
[> coordinates(Q);
[ ], ,-5 1 0
Ví dụ 9. Tìm điểm Q đối xứng với điểm P(3; –4; –6) qua mặt phẳng đi qua các điểm M
1
( –6; 1; –5), M
2
(7;
–2; –1), M
3
(10; –7; 1).
[> point(P,3,-4,-6), point(M1,-6,1,-5), point(M2,7,-2,-1), point(M3,10,-7,1),
plane(anpha, [M1, M2, M3], [x,y,z]);
, , , ,P M1 M2 M3 anpha
[> reflection(Q,P,anpha);
Q
[> coordinates(Q);
[ ], ,1 -2 2
[> detail(anpha);
name of the object: anpha
form of the object: plane3d
equation of the plane: -182+14*x-14*y-56*z = 0
Ví dụ10 . Tìm điểm Q đối xứng với điểm P(–3; 2 ; 5) qua mặt phẳng đi qua các đường thẳng



=++−
=+++




=+−−
=−+−
.
,
;
,
05235
0733
0342
0532
zyx
zyx
zyx
zyx
[> point(P,-3,2,5), plane(P1,x-2*y+3*z-5=0, [x,y,z]), plane(P2,x-2*y-4*z+3=0, [x,y,z]),
plane(P3,3*x+y+3*z+7=0, [x,y,z]), plane(P4, 5*x-3*y+2*z+5=0, [x,y,z]), line(L1, [P1, P2]), line(L2,
[P3,P4]);
, , , , , ,P P1 P2 P3 P4 L1 L2
[> plane(anpha,[L1,L2],[x,y,z]);
anpha
[> Equation(anpha);
= − + +
98 98 x 196 y 49 z 0
[> reflection(Q,P,anpha);
Q
[> coordinates(Q);
[ ], ,1 -6 3
16
SKKN: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN VỚI MAPLE – BD Toán THPT

GÓC
Cú pháp Chức năng
FindAngle(l1, l2) Tìm góc của hai đường thẳng l1 và l2.
FindAngle(p1, p2) Tìm góc của hai mặt phẳng p1 và p2.
FindAngle(l1, p1) Tìm góc của đường thẳng l1 và mặt phẳng p1.
FindAngle(A, T) Tìm số đo góc trong ở đỉnh A của tam giác T.
> assume(a<>0, b<>0, c<>0);
> point(P, [a, b, c]):
> point(o, 0, 0, 0), point(X, 1, 0, 0), point(Y, 0, 1, 0), point(Z, 0, 0,
1):
> plane(oxz, [o, X, Z]), plane(oxy, [o, X, Y]):
> projection(M, P, oxz): projection(N,P,oxy):
> plane(p,[o,M,N]);
> Equation(p,[x,y,z]);
> line(OP, [o,P]):
> FindAngle(OP,p);
Ví dụ 1 : Tìm góc tạo bởi hai đường thẳng:
( Find the acute angle between the lines: )
.,
2
5
1
3
1
2
2
1
2
1
3 +

=
−
=
+
=
−
+
=
− zyxzyx
(ĐS. 60
0
)
[> with(geom3d);
[> line(D1, [point(M,3,-2,0), [1,-1,sqrt(2)]]);
D1
[> line(D2, [point(N,-2,3,-5),[1,1,sqrt(2)]]);
D2
[> FindAngle(D1,D2);
1
3
π
Ví dụ 2 : Xác định cosin của góc giữa các đường thẳng:
17
SKKN: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN VỚI MAPLE – BD Toán THPT



=−++
=+−−




=−−+
=−−−
.
,
;
,
01922
0266
0422
054
zyx
zyx
zyx
zyx
(ĐS. cos
21
4
=ϕ
)
[> plane(p1,x-y-4*z-5=0,[x,y,z]),plane(p2,2*x+y-2*z-4=0,[x,y,z]),line(L1,[p1,p2]);
, ,p1 p2 L1
[> plane(p3,x-6*y-6*z+2=0, [x,y,z]),plane(p4,2*x+2*y+9*z-1=0,[x,y,z]),line(L2,[p3,p4]);
, ,p3 p4 L2
[> FindAngle(L1, L2);









arccos
4
21
Ví dụ 3 : Tính góc tạo bởi đường thẳng D
2 1,
3 2,
5.
x t
y t
z t
= −


= +


= − +

và mặt phẳng P : 4x + y – 7z – 1 = 0.
[> line(D,[2*t - 1,3*t+2,-t+5],t),plane(P,4*x+y-7*z-1=0,[x,y,z]);
,D P
[> FindAngle(D,P);









arcsin
3
77
231
Ví dụ 4 . Cho tam giác ABC với A(1; 2; – 4), B( – 3; – 4; 0), C( – 7; 6; 3). Tính số đo góc trong của góc
A.
[>point(A,1,2,-4), point(B,-3,-4,0), point(C,-7,6,3), triangle(ABC,[A,B,C]);
, , ,A B C ABC
[> FindAngle(A, ABC);








arccos
6
731
17 129
DIỆN TÍCH CỦA TAM GIÁC – THỂ TÍCH TỨ DIỆN
Cú pháp Chức năng Chú ý
area(ABC) Tính diện tích của tam giác ABC. Trước hết phải khai báo tam giác ABC bằng
lệnh:
triangle (ABC, [A, B, C])

volume(ABCD) Tính thể tích tứ diện ABCD. Trước hết phải khai báo tứ diện ABCD bằng
18
SKKN: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN VỚI MAPLE – BD Toán THPT
lệnh :
gtetrahedron(ABCD, [A, B, C, D])
Ví dụ 1: Cho các điểm :
A( – 2; 4; 5), B(0; 1; – 1), C(1; 3; – 6), và D(0; – 1; 4).
a) Tính diện tích của tam giác ABC;
b) Tính thể tích tứ diện ABCD.
a) [> point(A,-2,4,5),point(B,0,1,-1),point(C,1,3,-6),point(D,0,-1,4),triangle(ABC,[A,B,C]);
, , , ,A B C D ABC
[> area(ABC);
1
2
794
b) [> gtetrahedron(ABCD,[A,B,C,D]);
ABCD
[> volume(ABCD);
9
2
VD 2. Một tứ diện có thể tích là v = 5, có ba đỉnh là các điểm A(2; 1; – 1), B(3; 0 ; 1), C(2; – 1; 3); đỉnh
thứ tư D nằm trên trục Oy. Tìm toạ độ đỉnh D.
[> point(A,2,1,-1), point(B,3,0,1), point(C,2,-1,3), point(D,0,m,0);
, , ,A B C D
[> AreCoplanar(A,B,C,D);
FAIL
[> plane(P,[A,B,C],[x,y,z]);
P
[> IsOnObject(D,P,'cond');
geom3d/onobjps: "hint: unable to determine if 2-4*m is zero"

FAIL
[> cond;
= −
2 4 m 0
[> solve(2-4*m = 0,{m});
{ }
=
m
1
2
[> assume(m<>1/2):gtetrahedron(ABCD, [A,B,C,D]);
19
SKKN: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN VỚI MAPLE – BD Toán THPT
ABCD
[> v:=volume(ABCD);
:= v − +
1
3
2
3
m~
[> solve(abs(-1/3+2/3*m)=5,{m});
,{ } = m~ 8 { } = m~ -7
* Lưu ý:
a) Nếu ta gọi D(0, m, 0) là toạ độ của điểm D, thì trước hết, ta phải tìm điều kiện để cho bốn điểm A, B,
C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
b) Lệnh AreCoplanar(A,B,C,D);không kiểm tra được tính đồng phẳng của bốn điểm A, B, C, D.
MẶT CẦU
I ) Cách khai báo mặt cầu trong Maple
1) Nếu phương trình mặt cầu S, tâm I(a; b; c) có dạng :

x
2
+ y
2
+ z
2
– 2ax – 2by – 2cz + d = 0
thì ta khai báo:
[>sphere(S, x^2 + y^2 + z^2 – 2*a*x – 2*b*y – 2*c*z + d = 0, [x, y, z], ‘centername’= I);
2) Nếu phương trình mặt cầu S, tâm I có dạng :
(x – a)
2

+ ( y – b)
2
+ ( z – c)
2
= R
2
thì ta khai báo:
[>sphere(S, (x – a)^2 + ( y – b)^ 2 + (z - c)^2 = R^2, [x, y, z], ‘centername’= I);
II) Lập phương trình mặt cầu thỏa điều kiện cho trước.
Maple cho phép lập phương trình mặt cầu thỏa một trong các điều kiện sau:
Cú pháp Chức năng
sphere(S, [A, B, C, D], [x, y, z],
'centername'= m )
Khai báo S là mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D có tâm m.
sphere(S, [A, B], [x, y, z], 'centername'
= m)
Khai báo S là mặt cầu nhận AB làm đường kính với tâm m.

sphere(S, [A, R], [x, y, z]); Khai báo S là mặt cầu tâm A, bán kính R.
20
SKKN: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN VỚI MAPLE – BD Toán THPT
sphere(S, [A, P], [x, y, z]); Khai báo S là mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng P.
Sphere(S, phuongtrinh S, [x ,y, z]); Khai báo S là mặt cầu tâm cầu có phuongtrinh cho trước.
Chú ý: Sau khi khai báo S,
 Để viết phương trình của S, ta dùng lệnh Equation(S);
 Để tìm toạ độ tâm m của S, ta dùng lệnh coordinates(m);
 Để tìm bán kính của S, ta dùng lệnh radius(S);
 Ta cũng có thể xem chi tiết về S bằng cách dùng lệnh detail(S);
 Nếu không cần để ý tới tâm m thì ta có thể bỏ 'centername'= m khi khai
báo.
 Ta cũng có thể lồng lệnh Equation trong khi khai báo, chẳng hạn :
Equation(sphere(S, [A, B, C, D], [x, y, z] , 'centername'= m );
Khi đó, Maple sẽ viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D có tâm m.
Ví dụ : Cho bốn điểm A(3; – 2; – 2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1), D( – 1; 1; 2). Viết phương trình mặt cầu :
a) Đi qua bốn điểm A, B, C, D;
b) Tâm A và tiếp xúcvới mặt phẳng (BCD);
c) Đường kính AB;
d) Tâm D và tiếp xúc với đường thẳng BC.
a)[>point(A,3,-2,-2), point(B,3,2,0), point(C,0,2,1), point(D,-1,1,2);
, , ,A B C D
[> Equation(sphere(S, [A,B,C,D], [x,y,z]));
= + + − − + − x
2
y
2
z
2
7

24
7
x
15
7
y
16
7
z 0
b) [> plane(BCD, [B,C,D],[x,y,z]);
BCD
[> Equation(sphere(S, [A, BCD], [x, y, z]));
= + + + − + + x
2
y
2
z
2
3 6 x 4 y 4 z 0
c) [> Equation(sphere(S, [A,B], [x, y, z]));
= + + + − + x
2
y
2
z
2
5 6 x 2 z 0
d) [> line(BC, [B,C]);
BC
21

SKKN: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN VỚI MAPLE – BD Toán THPT
[> R:=distance(D, BC);
:= R
1
10
14 10
[> Equation(sphere(S, [D, R],[x, y, z]));
= + + + + − − x
2
y
2
z
2
23
5
2 x 2 y 4 z 0
Chú ý: Trong câu d)
 Ở dòng lệnh thứ nhất, ta khai báo BC là đường thẳng qua hai điểm B và C.
 Ở dòng lệnh thứ hai, ta gán R là khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng BC.
Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D.
> assume(a,real,a<>0,b,real,b<>0,c,real,c<>0):
point(o,0,0,0), point(A,a,0,0), point(B,0,b,0), point(C,0,0,c):
sphere(s,[o,A,B,C]);
III. Phương tích của một điểm đối với mặt cầu.
Để tính phương tích của điểm P đối với mặt cầu S (The power of point P with respect to sphere S), ta
dùng lệnh :
Powerps(P, S);
Ví dụ: Cho mặt cầu S : x
2
+ y

2
+ z
2
– 2x – 4y + 6z – 25 = 0 và các điểm : A(1; 2; 0), B(n; n – 3; – 4), C(–
m; 2; 4)
a) Tìm phương tích của điểm A đối với mặt cầu S;
b) Tìm n để điểm B ở trong mặt cầu S;
c) Chứng minh rằng điểm C luôn ở ngoài mặt cầu
∀
m
∈
R.
a [> powerps(A,S);
-30
b) [> point(B,n, n-3,-4);
B
[> powerps(B,S);
− − + 12 12 n 2 n
2
[> solve(-12-12*n+2*n^2<0,{n});
{ },
< −
3 15 n
<
n
+
3 15
c) [> powerps(C,S);
22
SKKN: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN VỚI MAPLE – BD Toán THPT

+ + 11 2 m m
2
Do m
2

+ 2m + 11 = (m + 1)
2

+ 10 > 0,
∀
m nên có ĐPCM
IV. Tiếp diện của mặt cầu
* Lo ại 1: Tiếp diện tại một điểm thuộc mặt cầu
Để khai báo tiếp diện của mặt cầu S tại điểm P, ta nhập :
TangentPlane( tên tiếp diện, P, S);
Ví dụ1: Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu x
2
+ y
2
+ z
2

= 49 tại điểm M(6; –
3; – 2).
[>sphere(S, x^2 + y^2 + z^2 = 49,[x, y, z]), point(M, 6, -3, -2);
,S M
[> TangentPlane(P,M,S);
P
[> Equation(P,[x,y,z]);
= − + + 49 6 x 3 y 2 z 0

Ví dụ 2: Tìm phương trình của mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
(x – 3)
2
+ (y – 1)
2
+ ( z + 2)
2
= 24 tại điểm M
1
( – 1; 3; 0).
Find the equation of the tangent plane to the sphere
(x – 3)
2
+ (y – 1)
2
+ ( z + 2)
2
= 24 at the point M
1
( – 1; 3; 0).
( ĐS. 2x – y – z + 5 = 0 ).
[> sphere(S, (x-3)^2 + (y-1)^2 + (z+2)^2 = 24, [x, y, z]), point(M1, -1,
3, 0);
,S M1
[> TangentPlane(P, M1, S);
P
[> Equation(P,[x, y, z]);
= + − −
10 4 x 2 y 2 z 0
* Loại 2 : Tiếp diện song song hoặc vuông góc với một mặt phẳng cho trước

1116. Viết phương trình của các mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
(x – 3)
2
+ (y+ 2)
2
+ ( z – 1)
2
= 25
và song song với mặt phẳng 4x + 3z – 17 = 0.
[> plane(P, 4*x + 3*z – 17 = 0, [x, y, z]), sphere(S,(x-3)^2+(y+2)^2+(z-1)^2=25,[x,y,z]);
23
SKKN: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN VỚI MAPLE – BD Toán THPT
,P S
[> assume( m <>-17);
[> plane(P1, 4*x + 3*z + m = 0,[x,y,z]);
P1
[> IsTangent(P1,S,'cond');
IsTangent: "unable to determine if 5-1/5*abs(15+m) is zero"
FAIL
[> solve(5-1/5*abs(15+m)=0,{m});
,{ }
=
m~ 10 { }
=
m~ -40
1117. Viết phương trình của các mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
x
2
+ y
2

+ z
2
– 10x + 2y + 26z – 113 = 0
và song song với các đường thẳng
0
8
2
1
3
7
2
13
3
1
2
5 −
=
−
+
=
++
=
−
−
=
+ zyxzyx
,
.
ĐS. 4x + 6y + 5z – 103 = 0, 4x + 6y + 5z + 205 = 0.
[> line(L1, [point(M1,-5,1,-13),[2,-3,2]]), line(L2,[point(M2,-7,-1,8),[3,-2,0]]);

,L1 L2
[> sphere(S,x^2+y^2+z^2-10*x+2*y+26*z-113,[x,y,z]);
S
[> plane(P,[L1, L2]);
P
[> Equation(P);
= + + +
79 4 x 6 y 5 z 0
[> plane(Q,4*x+6*y+5*z+m=0,[x,y,z]);
Q
[> IsTangent(Q,S,'cond');
IsTangent: "unable to determine if 2*77^(1/2)-1/77*abs(-51+m)*77^(1/2) is zero"
FAIL
[> solve(2*77^(1/2)-1/77*abs(-51+m)*77^(1/2)=0,{m});
,{ } = m~ 205 { } = m~ -103
lệnh intersection
24
SKKN: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN VỚI MAPLE – BD Tốn THPT
Cú pháp
Chức năng
intersection(obj, l1, l2) Tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng l1 và
l2.
intersection(obj, l1, p1) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng l1 và mặt
phẳng P1.
intersection(obj, l1, S) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng l1 và mặt
cầu S.
intersection(obj, p1, p2) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng p1 và p2.
intersection(obj, p1, p2, p3 )
Tìm toạ độ giao điểm của ba mặt phẳng p1, p2, p3.
Ví dụ : Cho hai đường thẳng :

l
1
:
5,
4 1,
4.
x t
y t
z t
= +


= − −


= −

l
2
:
5,
4 1,
4.
x t
y t
z t
= +


= − −



= −

Cho mặt phẳng P : 2x + 4y – 2 = 0 và mặt cầu S : x
2
+ y
2
+ z
2
= 25.
Tìm toạ độ giao điểm của:
a) l
1
và l
2
;
b) l
1
và P;
c) l
1
và S.
[> line(l1,[2*t-3,3*t-2,-4*t+6],t),line(l2,[t+5,-4*t-1,t-4],t);
,l1 l2
[> intersection(gd1,l1,l2);
gd1
[> coordinates(gd1);
[ ], ,3 7 -6
[> plane(P,2*x + 4*y - 2 = 0,[x,y,z]);

P
[> coordinates(intersection(gd2,l1,P));
[ ], ,-1 1 2
[> sphere(S,x^2+y^2+z^2-3*z=25,[x,y,z]);
S
25