Tài liệu bài tập phương trình, hệ phương trình, bất phương trình

Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình

www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam

Phương trình-Hệ phương trình-Bất phương trình dành cho lớp 10
Tác giả: Nguyễn Văn Quốc Tuấn - Lớp B – K112 - Đại Học Y Hà Nội

Các bài toán trong tài liệu là do Tuấn tổng hợp ở 1 số diễn đàn, 1 số tài liệu,. . . về phần
lời giải thì đa số là do Tuấn giải lại nhưng 1 số câu là do nhác quá :3 nên chép i ngun
lời giải của nó. Vì thế nên tài liệu có gì sai sót mong các bạn ghóp ý để chỉnh sửa lại.
Tài liệu này Tuấn viết tặng 1 bạn ( Đừng hỏi là ai nhé :v ). Bên cạnh đó hi vọng các bạn
có 1 tài liệu để có thể tham khảo thêm. Chúc các bạn học tốt.

Bài 1.

Giải phương trình sau:
√

x+3+

√

√
√
3x + 1 = 2 x + 2x + 2

Lời giải:
Điều kiện: x ≥ 0
Ta có:

√

√
√
√
3x + 1 − 2x + 2 = 2 x − x + 3
√
√
⇐⇒ 3x + 1 + 2x + 2 − 2 6x2 + 8x + 2 = 4x + x + 3 − 4 x2 + 3x
√
√
⇐⇒ 6x2 + 8x + 2 = 2 x2 + 3x
⇐⇒ 6x2 + 8x + 2 = 4 (x2 + 3x)
⇐⇒ 2x2 − 4x + 2 = 0 ⇐⇒ x = 1

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = 1

Bài 2.

Giải phương trình sau:
√
√
3
3
x 35 − x3 x + 35 − x3 = 30

Lời giải:
√
Đặt 3 35 − x3 = y ⇐⇒ x3 + y 3 = 35
Kết hợp với phương trình ban đầu ta có hệ:
x3 + y 3 = 35

xy (x + y) = 30

⇐⇒

⇐⇒

(x + y)3 = 125
xy (x + y) = 30

www.DeThiThuDaiHoc.com

(x + y)3 − 3xy (x + y) = 35
xy (x + y) = 30

⇐⇒

1

x+y =5
xy = 6

⇐⇒

x=3
x=2
Nguyễn Văn Quốc Tuấn


Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình

www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam

Vậy nghiệm của phương trình là:

Bài 3.

x=3
x=2

Giải phương trình sau:
√
3
16x4 + 5 = 6 4x3 + x

Lời giải:
Ta có V T > 0 nên điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm là V P > 0 ⇐⇒ x > 0
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 3 số dương ta có:
√
3
6 4x3 + x = 2.3. 3 (4x3 + x) .1.1 ≤ 2 4x3 + x + 1 + 1

Mặt khác ta có:
16x4 + 5 ≥ 2 4x3 + x + 1 + 1

⇐⇒ 16x4 − 8x3 − 2x + 1 ≥ 0 ⇐⇒ (2x − 1)2 4x2 + 2x + 1 ≥ 0

Do đó: V T ≥ V P khi đó
√
3
16x4 + 5 = 6 4x3 + x ⇐⇒

4x3 + x = 1
2x − 1 = 0

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x =

Bài 4.

⇐⇒ x =

1
2

1
2

Giải phương trình sau:
√
3 x2 − 1 + 4x = 4x 4x − 3

Lời giải:
Điều kiện: x ≥
Ta có:

3
4
√
√
3 x2 − 1 + 4x = 4x 4x − 3 ⇐⇒ 3x2 + 4x − 3 = 4x 4x − 3

√
⇐⇒ 3x2 − 4x 4x − 3 + 4x − 3 = 0 ⇐⇒

⇐⇒

√
x = 4x − 3
√
3x = 4x − 3

www.DeThiThuDaiHoc.com

x−

√

4x − 3

x2 = 4x − 3
9x2 = 4x − 3

⇐⇒

2

3x −

⇐⇒

√

4x − 3 = 0

x=3
x=1

Nguyễn Văn Quốc Tuấn


Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình

www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:

Bài 5.

x=3
x=1

Giải hệ phương trình sau:
√

√
x + 1 + 3y .x + (3y 2 + 1) x + 1 − 51y − 27 = 7y 3 + 36y 2
x2 + y 2 + 3x + 5y + 10 = 0

Lời giải:
Điều kiện: x ≥ −1
Đặt:

√
x + 1 = a (a ≥ 0)

Thay a2 − 1 = x vào phương trình thứ nhất ta được
(a + 3y) (a2 − 1) + (3y 2 + 1) a − 51y − 27 = 7y 3 + 36y 2
⇐⇒ a3 + 3a2 y + 3ay 2 = 7y 3 + 36y 2 + 54y + 27
⇐⇒ a3 + 3a2 y + 3ay 2 + y 3 = 8y 3 + 36y 2 + 54y + 27
√
⇐⇒ (a + y)3 = (2y + 3)3 ⇐⇒ a = y + 3 ⇐⇒ y = a − 3 ⇒ y = x + 1 − 3

Thế xuống phương trình thứ 2 ta được: x2 + 4x + 5 =
Đặt

√

√

x+1

x + 1 = y + 2 (y ≥ −2)

Khi đó ta có hệ phương trình:
x2 + 4x + 3 = y
y 2 + 4y + 3 = x

⇐⇒

x2 − y 2 + 5 (x − y) = 0
x2 + 4x + 3 = y

⇐⇒

(x − y) (x + y + 5) = 0
x2 + 4x + 3 = y

⇐⇒

x=y
x2 + 3x + 3 = 0

(V N )

Vậy hệ phương trình đã cho vơ nghiệm.

Bài 6.

Giải phương trình sau:
2x − 1 +

√

3x − 2 =

√

8x2 − 2x − 2

Lời giải:
Điều kiện: x ≥

2
3

www.DeThiThuDaiHoc.com

3

Nguyễn Văn Quốc Tuấn


Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình

www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam
Biến đổi phương trình đầu trở thành:
√
2x − 1 + 3x − 2 =

2(2x − 1)2 + 2 (3x − 2)


1
 2x − 1 = a
a≥
3
Đặt:
 √
3x − 2 = b (b ≥ 0)
Khi đó phương trình đã cho trở thành:
√

a + b = 2a2 + 2b2 ⇐⇒ a2 + 2ab + b2 = 2a2 + 2b2 ⇐⇒ (a − b)2 = 0 ⇐⇒ a = b
Từ đó ta có:
2x − 1 =

√


3x − 2 ⇐⇒ 4x2 − 4x + 1 = 3x − 2 ⇐⇒ 4x2 − 7x + 3 = 0 ⇐⇒ 


Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: 

Bài 7.

x=1
3
x=
4

x=1
3
x=
4

Giải hệ phương trình sau:

√
6x

− 2 = 3x − y + 3y (1)

y
√

2 3x + 3x − y = 6x + 3y − 4 (2)

Lời giải:
Điều kiện:

3x ≥ y = 0
√
3x + 3x − y ≥ 0

Ta có:
√
√
(1) ⇐⇒ 2 (3x − y) = y 3x − y + 3y 2 ⇐⇒ 2 (3x − y) − y 3x − y − 3y 2 = 0
√
√
√
2 3x − y = 3y
⇐⇒ 2 3x − y − 3y
3x − y + y = 0 ⇐⇒
√
3x − y = −y
√
Trường hợp 1: 2 3x − y = 3y thì
 √
 2 3x − y = 3y
⇐⇒
 2 3x + 3y = 6x + 3y − 4

2

Trường hợp 2:







√
2 3x − y = 3y
6x + 3y ≥ 0
2 (6x + 3y) = 6x + 3y − 4

⇐⇒

√
2 3x − y = 3y
6x + 3y = 8

√
3x − y = −y thì

√

3x − y = −y
√
2 3x + 3x − y = 6x + 3y − 4

www.DeThiThuDaiHoc.com

⇐⇒
4

√
3x − y = −y
√
2 3x − y = 6x + 3y − 4
Nguyễn Văn Quốc Tuấn


Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình

www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam

√
3x − y = −y
−2y = 6x + 3y − 4

⇐⇒

⇐⇒

√
3x − y = −y
6x + 5y = 4

Từ đây các bạn tự tìm ra nghiệm.

Bài 8.

Giải phương trình sau:
√

2x2 + x + 9 +

√

2x2 − x + 1 = x + 4

Lời giải:
Xét x = −4 không phải là nghiệm của phương trình khi đó ta biến đổi phương trình như sau:
√
√
2x2 + x + 9 + 2x2 − x + 1 = x + 4
2x + 8
√
⇐⇒ √
=x+4
2x2 + x + 9 − √ 2x2 − x + 1
√
⇐⇒ 2x2 + x + 9 − 2x2 − x + 1 = 2

Kết hợp với phương trình ban đầu ta có hệ:
√
√
2x2 + x + 9 − 2x2 − x + 1 = 2
√
√

2x2 + x + 9 + 2x2 − x + 1 = x + 4
√
⇒ 2 2x2 + x + 9 = x + 6
⇐⇒ 4 (2x2 + x + 9) = x2 + 12x + 36
⇐⇒ 7x2 − 8x = 0 ⇐⇒

x=0
8
x= 7

Thử lại ta thấy thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là 

Bài 9.

x=0
8
x=
7

Giải phương trình sau:
x+

5+

√

x−1=6

Lời giải:
Điều kiện: x ≥ 1

www.DeThiThuDaiHoc.com

5

Nguyễn Văn Quốc Tuấn


Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình

www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam
Biến đổi phương trình đã cho như sau:
x+

Đặt:

5+

√
x−1=a
√
5+ x−1=b

√

x − 1 = 6 ⇐⇒ x − 1 +

5+

√

x−1=5

(a ≥ 0, b ≥ 5)

Khi đó ta có:
a2 + b = 5
b2 = a + 5

⇐⇒

⇐⇒







a2 + b = 5
a2 − b 2 + a + b = 0

a2 + b = 5
a+b=0
a−b+1=0

⇐⇒








2

  a +b=5

√


1 ± 21
a=
⇐⇒
2√
 
 

−1 ± 17


a=
2

a2 + b = 5
(a + b) (a − b + 1) = 0

⇐⇒

a2 + b = 5
a2 − a − 5 = 0
a2 + a + 1 = 5

√

−1 + 17

 a=
2
√
⇐⇒

 b = 1 + 17
2

√
11 − 17
.
Từ đó ta tính được x =
2
√
11 − 17
Vậy x =
là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
2
Bài 10.

Giải phương trình sau:
√

2 √
− x
3

1 − x2 =

2

Lời giải:
1 − x2 ≥ 0
⇐⇒ 0 ≤ x ≤ 1
x≥0

√
 a= x
2
a ≥ 0, b ≤
Đặt:
2 √
 b= − x
3
3

Điều kiện:

Khi đó ta có hệ mới.

www.DeThiThuDaiHoc.com

6

Nguyễn Văn Quốc Tuấn


Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình

www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam




2
 a+b= 2
a+b=
⇐⇒
3
3
 √ 1 − a4 = b 2
 a4 + b 4 = 1


2
2


a+b=
a+b=

3
⇐⇒
⇐⇒
3
 (a + b)2 − 2ab 2 − 2a2 b2 = 1
 (a2 + b2 )2 − 2a2 b2 = 1


2
2


a+b=


a+b=
3
3
2
⇐⇒
⇐⇒
 4 − 2ab − 2a2 b2 = 1
 2a2 b2 − 16 ab − 65 = 0


9
81
9

2



a+b=

√3

8 − 194
 
  ab =
18
⇐⇒  
 
2
 
a+b=

√3

8 + 194

 ab =
18
√
2
8 − 194
y − y+
=0

3
√ 18

a, b là nghiệm của phương trình 
2
8 + 194
y2 − y +
= 0 (V N )
3
18
1
−2 +
Từ đó ta tìm được nghiệm duy nhất của phương trình đã cho là: x =
9


Bài 11.

2

2

√

194 − 6 +

Giải hệ phương trình sau:

 x + 3 = 2 (3y − x) (y + 1) (1)
√
 3y − 2 − x + 5 = xy − 2y − 2 (2)
2

Lời giải:

 y≥2


3
Điều kiện:
x ≥ −5



(3y − x) (y + 1) ≥ 0


 y≥2


3
⇐⇒
x ≥ −5



3x − y ≥ 0

Ta có:
√
√
(1) ⇐⇒ 3 (y + 1) − (3y − x) = 2 3y − x. y + 1
√

√
√
√
√
2
2
2
⇐⇒ 2 y + 1 − 2 3y − x. y + 1 +
y+1 −
3y − x
=0
√
√
√
√
√
√
√
⇐⇒ 2 y + 1 y + 1 − 3y − x +
y + 1 − 3y − x
y + 1 + 3y − x = 0
√
√
√
√
⇐⇒
y + 1 − 3y − x 3 y + 1 + 3y − x = 0
√
√
√

√
y + 1 − 3y − x = 0
⇐⇒
⇐⇒ y + 1 = 3y − x ⇐⇒ x = 2y − 1 (3)
√
√
0 = 3 y + 1 + 3y − x > 0 (L)

www.DeThiThuDaiHoc.com

7

Nguyễn Văn Quốc Tuấn

97
2


Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình

www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam
Thay (3) vào (2) ta được
√

√

y + 2 = 2y 2 − 3y − 2
2 (y − 2)
√
= (y − 2) (2y + 1)

⇐⇒ √
3y − 2 + y + 2
2
√
⇐⇒ (y − 2) √
− (2y + 1) = 0
3y − 2 + y + 2

y=2⇒x=3

2
⇐⇒
√
√
− (2y + 1) = 0 (4)
3y − 2 + y + 2
3y − 2 −

Và (2) ⇐⇒ 2 − (2y + 1)

√

3y − 2 +

√

y + 2 = 0 (5)

Do
√

√
2
2
⇒ (2y + 1) 3y − 2 + y + 2 ≥ 2. + 1
3
3
√
√
7 8
⇐⇒ − (2y + 1) 3y − 2 + y − 2 ≤ −
3 3

y≥

Mà 2 − (2y + 1)

√

3y − 2 +

√

y−2 ≤2−

7
3

2
+2
3

8
< 0 nên (5) vô nghiệm.
3

So với điều kiện hệ phương trình có nghiệm duy nhất: (x; y) = (3; 2)

Bài 12

Giải hệ phương trình sau:
√
x + x2 + 1 = y +
x2 + y 2 − xy = 1

y2 − 1

Lời giải:
Điều kiện:

y≥1
y ≤ −1

Biến đổi phương trình đầu như sau:
√
√
x + x2 + 1 = y + y 2 − 1 ⇐⇒ x − y = y 2 − 1 − x2 + 1
√
⇒ x2 − 2xy + y 2 = x2 + y 2 − 2 x2 + 1. y 2 − 1
√
⇐⇒ xy = x2 + 1. y 2 − 1 ⇒ x2 y 2 = (x2 + 1) (y 2 − 1) ⇐⇒ y 2 − x2 = 1

Khi đó ta được hệ mới:

www.DeThiThuDaiHoc.com

8

Nguyễn Văn Quốc Tuấn


Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình

www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam
y 2 − x2 = 1
x2 + y 2 − xy = 1

2x2 − xy = 0
y 2 − x2 = 1

⇐⇒

x2 + y 2 − xy = y 2 − x2
y 2 − x2 = 1

x=0


y = ±1
 x=0



 
±1
 
⇐⇒
⇐⇒   x = √
2x = y

 2

3
y − x2 = 1

±2
 y=√

3

⇐⇒

Thử lại thì hệ phương trình có các nghiệm: (x; y) = (0; 1) ,

1 2
√ ;√
3 3

Lưu ý: Bài tốn được giải hồn chỉnh nhưng tại sao lại phải thử lại nghiệm. Ở đây vì khi biến
đổi phương trình thứ nhất chúng ta không đặt điều kiện nên sau khi giải ra nghiệm chúng ta phải
thử lại. Mặt khác nếu chúng ta không đặt điều kiện mà bình phương thì dùng dấu ⇒ nhé.

Bài 13.

Giải phương trình sau:
√
4 x2 + x + 1 = 1 + 5x + 4x2 − 2x3 − x4 (1)

Lời giải:
2

Ta có: (x2 + x + 1) = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1
Khi đó

√
(1) ⇐⇒ 4 x2 + x + 1 = − x2 + x + 1

Đặt: a =

√

2

+ 7 x2 + x + 1 − 5

x2 + x + 1 (a > 0)

Khi đó phương trình đã cho trở thành:
√
1+ 5
 a=
2√

a2 + a − 5 = 0 ⇐⇒ 
−1 + 21
a=
2


a4 − 7a2 + 4a + 5 = 0 ⇐⇒

a2 − a − 1

√
1+ 5
Với a =
thì
2
√

√
√
√
1+ 5
1+ 5
−1 ± 3 + 2 5
x2 + x + 1 =
⇐⇒ x2 + x −
= 0 ⇐⇒ x =
2
2
2

www.DeThiThuDaiHoc.com

9

Nguyễn Văn Quốc Tuấn


Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình

www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam
√

Với a =

−1 + 21
thì
2

√
√
√
−9 + 21
−1 ±
−1 + 21
2
2+x+1 =
⇐⇒ x + x +
= 0 ⇐⇒ x =
x
2

2



−1 ±

 x=
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: 

−1 ±
x=
Bài 14.

√
19 − 2 21
2

√
3+2 5
2
√
19 − 2 21
2

Giải phương trình sau:
16x2 − 23x + 10 = (x + 2)

√

4x2 + 4x − 7

Lời giải:
√
−1 + 2 2
 x≥
2 √
Điều kiện: 
−1 − 2 2
x≤
2


Ta có:
√
16x2 − 23x + 10 = (x + 2) 4x2 + 4x − 7
√
√
⇐⇒ 4x2 + 4x − 7 − (4x − 3) 4x2 + 4x − 7 + (5x + 1) 4x2 + 4x − 7 − (5x + 1) (4x − 3) = 0
√
√
⇐⇒
4x2 + 4x − 7 + 5x − 1
4x2 + 4x − 7 − (4x − 3) = 0
√
√
4x2 + 4x − 7 + 5x − 1 = 0
4x2 + 4x − 7 = 1 − 5x
√
√
⇐⇒

⇐⇒
4x2 + 4x − 7 − (4x − 3) = 0
4x2 + 4x − 7 = 4x − 3
 
 
1
1


x≤
x≤



5
5
  2
 
4
2
2


4x + 4x − 7 = 25x − 10x + 1
21x − 14x + 8 = 0
x=
⇐⇒  
⇐⇒  
⇐⇒ 
3

 
 
3
3


x=1
x≥
x≥


4
4
 4x2 + 4x − 7 = 16x2 − 24x + 9
 12x2 − 28x + 16 = 0


4
 x= 3
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
x=1
Bài 15.

Giải phương trình sau:
√
√
3
3
12x2 + 46x − 15 − x3 − 5x + 1 = 2x + 2

Lời giải:
Đặt: a =

√
√
3
12x2 + 46x − 15, b = 2x + 1, c = 3 x3 − 5x + 1

www.DeThiThuDaiHoc.com

10

Nguyễn Văn Quốc Tuấn


Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình

www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam
Ta có:

√
√
3
12x2 + 46x − 15 − 3 x3 − 5x + 1 = 2x + 2
√
√
⇐⇒ 3 12x2 + 16x − 15 − (2x + 1) = 3 x3 − 5x + 1 + 1
12x2 + 46x − 15 − (2x + 1)3
x3 − 5x + 2
⇐⇒

= 2
a2 + ab + b2
c −c+1
3
3
−8(x − 5x + 2)
x − 5x + 2
⇐⇒
= 2
a2 + ab + b2
c −c+1
8
1
3
⇐⇒ (x − 5x + 2)( 2
)=0
+ 2
a + ab + b2 c − c + 1

x=2
√

⇐⇒  x = −1 + 2
√
x = −1 − 2


x=2
√


Vậy nghiệm của phương trình là:  x = −1 + 2
√
x = −1 − 2
Bài 16.

Giải phương trình sau:
√

x2 + x + 1 +

√

√
√
5x2 + 1 − 2x2 + 1 = 3x2

4x2 + x + 1

Lời giải:
Biến đổi phương trình đầu trở thành:
√
√
√
√
x2 + x + 1 + 4x2 + x + 1
5x2 + 1 − 2x2 + 1 = 3x2
√
√
√
√

⇐⇒
x2 + x + 1 + 4x2 + x + 1 .3x2 = 3x2 5x2 + 1 + 2x2 + 1
⇐⇒

x=0
√
√
√
√
2+x+1+
2+x+1 =
x
4x
5x2 + 1 + 2x2 + 1

Mặt khác:
√
√
√
√
x2 + x + 1 + 4x2 + x + 1 = 5x2 + 1 + 2x2 + 1
√
√
√
√
⇐⇒ 5x2 + 1 − 4x2 + x + 1 = 2x2 + 1 − x2 + x + 1
x2 − x
x2 − x
√
√

√
√
⇐⇒
=
5x2 + 1 + 4x2 + x + 1
2x2 + 1 + x2 + x + 1
x2 − x = 0
√
√
√
√
⇐⇒
2x2 + 1 + x2 + x + 1 = 5x2 + 1 + 4x2 + x + 1

x=1
x=0

⇐⇒  x = 0
⇐⇒
√
√
x=1
2x2 + 1 = 5x2 + 1

Vậy nghiệm của phương trình là:

www.DeThiThuDaiHoc.com

x=0
x=1

11

Nguyễn Văn Quốc Tuấn


Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình

www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam
Bài 17.

Giải bất phương trình sau:
√
(x + 1) (x − 3) −x2 + 2x + 3 < 2 − (x − 1)2

Lời giải:
Điều kiện:

x≥3
x ≤ −1

Biến đổi bất phương trình như sau:
√
(x + 1) (x − 3) −x2 + 2x + 3 < 2 − (x − 1)2
√
⇐⇒ (x2 − 2x − 3) −x2 + 2x + 3 < −x2 + 2x + 1

Đặt:

√

−x2 + 2x + 3 = t (t ≥ 0)

Khi đó bất phương trình đã cho trở thành:
t3 < t2 − 2 ⇐⇒ t3 − t2 + 2 < 0
⇐⇒ (t + 1) (t2 − 2t + 2) < 0 ⇐⇒ t < −1 (KT M )

Vậy bất phương trình đã cho vơ nghiệm.

Bài 18.

Giải phương trình sau:
3

(3x + 1)2 +

3

(3x − 1)2 +

√
3

9x2 − 1 = 1

Lời giải:
Đặt:

√
3
3x + 1 = a

√
⇒ a3 − b 3 = 2
3
3x − 1 = b

Khi đó ta có hệ phương trình:
a2 + b2 + ab = 1
a3 − b 3 = 2
⇐⇒

a2 + b2 + ab = 1
a=b+2

⇐⇒

Lúc đó:

a2 + b2 + ab = 1
(a − b) (a2 + b2 + ab) = 2

⇐⇒

a=1
b = −1

√
3
3x + 1 = 1
√
3

3x − 1 = −1

⇐⇒

3b2 + 6b + 3 = 0
a=b+2

⇐⇒ x = 0

www.DeThiThuDaiHoc.com

12

Nguyễn Văn Quốc Tuấn


Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình

www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x = 0

Bài 19.

Giải bất phương trình sau:
√
√
√
(3 − x) x − 1 + 5 − 2x ≥ −x3 + 10x2 − 34x + 40 (1)

Lời giải:

Điều kiện: 1 ≤ x ≤

5
2

Ta có:
(1) ⇐⇒ 2 (3 − x) (x − 1) (5 − 2x) ≥ −2x3 + 17x2 − 47x + 44
√
√
⇐⇒ 2 −2x3 + 17x2 − 48x + 45. x − 1 ≥ (−2x3 + 17x2 − 48x + 45) + (x − 1)
√
√
2
⇐⇒
−2x3 + 17x2 − 48x + 45 − x − 1 ≤ 0
√
√
⇐⇒ −2x3 + 17x2 − 48x + 45 = x − 1
⇐⇒ −2x3 + 17x2 − 49x + 46 ⇐⇒ x = 2 (T M )

Vậy nghiệm của bất phương trình là: x = 2

Bài 20.

Giải hệ phương trình sau:
√
5

x−1+

√
3
x + 8 = −x3 + 1

Lời giải:
Ta có x = 0 là 1 nghiệm của phương trình.
Mặt khác:
Trường hợp 1. Với x > 0 thì ta có:

√
5

x−1+

√
3

x+8>

√
5

0−1+

√
3
0 + 8 = 1 trong khi đó

−x3 + 1 < 1 do đó phương trình đã cho vơ nghiệm.
Trường hợp 2. Với x < 0 thì ta có

vơ nghiệm.

√
5

x−1+

√
3

x + 8 < 1 < −x3 + 1 nên phương trình cũng

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 0.
Bình loạn: Thơng thường khi chúng ta gặp các bài toán mà số mũ của mỗi phần tử khơng có
1 tý nào liên quan đến nhau thì hay đốn nghiệm và sử dụng đánh giá xem sao nhé.

www.DeThiThuDaiHoc.com

13

Nguyễn Văn Quốc Tuấn


Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình

www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam
Bài 21.

Giải hệ phương trình sau:
√


 1 + x = 3x + 3 y (1)
2x y √4x2 + 2y
√

4x + y = 2x + 6 − 2 y (2)

Lời giải:
Điều kiện:
Đặt:

−3 ≤ x = 0
y>0

√
y = z (z > 0) khi đó phương trình (1) trở thành:
2x2 + z 2
3x + 3z
2
= 2
⇐⇒ (2x2 + z 2 ) = xz 2 (3x + 3z)
2
xz
2x + z 2
⇐⇒ 4x4 + 4x2 z 2 + z 4 = 3x2 z 2 + 3xz 3 ⇐⇒ 4x4 + x2 z 2 − 3xz 3 + z 4 = 0
2
2x
x 2
x
x 2 x

x 4
−1 .
+
− 3. + 1 = 0 ⇐⇒
+ +1 =0
⇐⇒ 4
z
z
z
z
z
z
√
⇐⇒ 2x = z ⇒ 2x = y

Thay vào phương trình cịn lại ta được:
4x2 + 8x =

√
2x + 6

⇐⇒

x>0
16x + 64x + 64x2 = 2x + 6

⇐⇒

x>0
8x + 32x + 32x2 − x − 3 = 0

4

4

3

3

x>0
(2x + 3x − 1) (4x2 + 10x + 3) = 0
√
√
−3 + 17
13 − 3 17
⇐⇒ x =
⇒y=
4
2

⇐⇒

2

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: (x; y) =

Bài 22.

√
√

−3 + 17 13 − 3 17
;
4
2

Giải phương trình sau:
√
√
x+3− x+1

x2 +

√
x2 + 4x + 3 = 2x

Lời giải:
Điều kiện: x ≥ −1

www.DeThiThuDaiHoc.com

14

Nguyễn Văn Quốc Tuấn


Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình

www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam
Ta có phương trình đã cho tương đương với:
2

√
x2 + (x + 3) (x + 1) = 2x
x+3+ x+1
√
√
⇐⇒ x2 + (x + 3) (x + 1) = x x + 3 + x + 1
√
√
⇐⇒ x − x + 3 x − x 1 = 0
+

√

⇐⇒

√
x= x+3
√
x= x+1

x≥0
x2 − x − 3 = 0



⇐⇒ 



√

13
 x=
2
√
⇐⇒ 
1+ 5
x=
2


x≥0
x2 − x − 1 = 0

1+

√
1+ 5
 x=
2√
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: 
1 + 13
x=
2


Ps: Bài tốn nay mình đã làm mất khá nhiều thời gian nhưng đăng lên diễn đàn và nhìn đáp án
lại thấy khá là cơ bản. Do đó mình rút ra 1 kinh nghiệm là khi làm chúng ta nên sử dụng
các biến đổi đơn giản, không nên sử dụng các biến đổi phức tạp, biến bài tốn trở nên
khó khăn.

Bài 23.

Giải phương trình sau:
√

1 + x2 + x4 + x =

√
x − x3

Lời giải:
Điều kiện:

0≤x≤1
−∞ < x ≤ −1

Xét với x = 0 khơng phải là nghiệm của phương trình.
Với x ∈ (0; 1] ta có:
x

Đặt

1
+ x2 + 1 + x = x
x2

1
− x ⇐⇒
x

1
+ x2 + 1 + 1 =
x2

1
−x
x

1
1
− x = t ⇒ t4 = 2 + x2 − 2 khi đó phương trình đã cho trở thành:
x
x
√
t4 + 3 + 1 = t ⇐⇒

t−1≥0
t4 + 3 = t2 − 2t + 1

⇐⇒ t = −1 (loai)

Xét với (−∞; −1] ta có
−

www.DeThiThuDaiHoc.com

1
+ x2 + 1 + 1 = −
x2
15

1
−x
x
Nguyễn Văn Quốc Tuấn


Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình

www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam

Tương tự ta có:

1
1
− x = t ⇒ t4 = 2 + x2 − 2
x
x

Khi đó
√
− t4 + 3 + 1 = −t ⇐⇒

t+1≥0
t + 3 = t2 + 2t + 1
4

⇐⇒ t = 1 (T M )

Với

√
−1 + 5
(loai)
1
 x=
2
√
t = 1 ⇒ − x = 1 ⇐⇒ x2 + x − 1 = 0 ⇐⇒ 
−1 − 5
x
x=
2


−1 −
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x =
2
Bài 24.

√

−1 −
⇐⇒ x =
2

√

5

5

Giải bất phương trình sau:
√
7 − 2x
4
x x+ √
>4 x+ −2
x
x

Lời giải:
Điều kiện x > 0.
Bất phương trình đã cho tương đương với.
√
√
x2 − 2x + 7 > 4 x2 − 2x + 4 ⇐⇒ x2 − 2x + 4 − 4 x2 − 2x + 4 + 3 > 0
√
√
√
x2 − 2x + 4 < 1
2 − 2x + 4 − 1
2 − 2x + 4 − 3 > 0 ⇐⇒
√
⇐⇒
x
x
x2 − 2x + 4 > 3
√
x>1+ 6
√

⇐⇒ x2 − 2x − 5 > 0 ⇐⇒
x<1− 6

Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là x > 1 +

Bài 25.

√

6

Giải phương trình sau:
x + 3 2 − 3x2

2

=2

Lời giải:

www.DeThiThuDaiHoc.com

16

Nguyễn Văn Quốc Tuấn


Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình

www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam

Đặt: 2 − 3x2 = y ta có hệ
x + 3y 2 = 2
y + 3x2 = 2
⇐⇒

x = 2 − 3y 2
y = 2 − 3x2
 

x=y

 
x − y = 3x2 − 3y 2
1 − 3x
⇐⇒
y=
2

3
y = 2 − 3x


y = 2 − 3x2
⇐⇒


Với y = x thay vào phương trình cịn lại ta được 3x2 + x − 2 = 0 ⇐⇒ 
Với y =

1 − 3x

thì ta có:
3

x = −1
2
x=
3

√
1 − 3x
5
1 ± 21
2
2
= 2 − 3x ⇐⇒ 3x − x − = 0 ⇐⇒ x =
3
3
6



x = −1

2

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:  x = 3 √

1 ± 21
x=
6

Bài 26.

Giải bất phương trình sau:
√

3x2 − 12x + 5 ≤

√

x3 − 1 +

√

x2 − 2x

Lời giải:
Điều kiện: x ≥ 2
Bất phương trình đã cho tương đương với:
3x2 − 12x + 5 ≤ x3 − 1 + x2 − 2x + 2 (x − 1) (x2 + x + 1) x (x − 2)
⇐⇒ x3 − 2x2 + 10x − 6 + 2 (x − 1) (x − 2). (x2 + x + 1) x ≥ 0
√
√
⇐⇒ (x3 + x2 + x) − 3 (x2 − 3x + 2) + 2 x2 − 3x + 2. x3 + x2 + x ≥ 0
x2 − 3x + 2
x2 − 3x + 2
⇐⇒ 1 − 3. 3
+2
≥0
x + x2 + x
x3 + x2 + x

Đặt: a =

x2 − 3x + 2
(a ≥ 0) thì lúc đó ta có:
x3 + x2 + x
−1
≤ a ≤ 1 ⇐⇒ a ≤ 1
3
⇐⇒ x2 − 3x + 2 ≤ x3 + x2 + x
⇐⇒ x3 + 4x − 2 ≥ 0

1 − 3a2 + 2a ≥ 0 ⇐⇒

www.DeThiThuDaiHoc.com

17

Nguyễn Văn Quốc Tuấn


Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình

www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam

Nhận thấy với x ≥ 2 luôn đúng.
Vậy nghiệm của bất phương trình là: x ≥ 2

Bài 27.

Giải phương trình sau:
4x2 − 7x − 19 =

Lời giải:


√
4x2 − 4x − 14

√
15
x≥

2
√
Điêu kiện: 
1 − 15
x≤
2
Biến đổi phương trình đã cho như sau:
√
4x2 − 7x − 19 = 4x2 − 4x − 14
1+

2

⇐⇒

(4x2 − 7x − 19) = 4x2 − 4x − 14
4x2 − 7x − 19 ≥ 0

⇐⇒

16x4 + 49x2 + 361 − 56x3 − 152x2 + 266x = 4x2 − 4x − 14
4x2 − 7x − 19 ≥ 0

⇐⇒

16x4 − 56x3 − 107x2 + 270x + 375 = 0
4x2 − 7x − 19 ≥ 0
2

⇐⇒

2

(x − 2x − 5) (16x − 24x − 75) = 0
4x2 − 7x − 19 ≥ 0

√
x=1± 6
√
3 ± 2 21
⇐⇒
x=

4

 2
4x − 7x − 19 ≥ 0

 


 

√
x=1+ 6
√
⇐⇒ 
3 − 2 21
x=
4


√
x=1+ 6
√
Vậy nghiệm của phương trình là 
3 − 2 21
x=
4


Bài 28.

Giải bất phương trình sau:
2x2
√
3 − 9 + 2x

2

< x + 21

Lời giải:
Điều kiện:

−9
≤x=0
2

www.DeThiThuDaiHoc.com

18

Nguyễn Văn Quốc Tuấn


Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình

www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam
Ta có:

2x2
√
3 − 9 + 2x
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒

⇐⇒

2

< x + 21

x2
√
< x + 21
9 + x − 3 9 + 2x
√
x2 < (x + 21) 9 + x − 3 9 + 2x
√
(x + 21) 9 + 2x < 10x + 63
(x + 21)2 (9 + 2x) < (10x + 63)2
7
x2 (2x − 7) < 0 ⇐⇒ 0 = x <
2

Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là P =

Bài 29.

−9 7
;
\ {0}
2 2

Giải hệ phương trình sau:
x2 − xy + 7x + y = 8

√
√
√ √
√
x x− y =
x+1− x−1

4

−4

Lời giải:
Điều kiện: x ≥ 1, y ≥ 0
Hệ phương trình đã cho tương đương

⇐⇒

(x − 1) (x − y + 8) = 0
√
√
x − xy = 8 x2 − 1 − x x2 − 1

⇐⇒







x=1
x+8=y

x−

√
√
xy = 8 x2 − 1 − x x2 − 1

Trường hợp 1: x = 1 ⇒ y = 1
Trường hợp 2: y = x + 8 thay vào ta được:
√
√
√
x x − x + 8 = −8 + 8x x − x2 − 1
√
√
√
√
⇐⇒ x + 8 x + 8 − x = 8x x − x2 − 1
√
8
1
√
⇐⇒ x + 8. √
√ = 8x.
2
x+8+ x
x
√

√
√+ x − 1
√
2−1 = x
⇐⇒ x + 8 x + x
x+8+ x
√
⇐⇒
(x + 8) (x2 − 1) = x x ⇐⇒ 8x2 − x − 8 = 0
√
√
1 + 257
129 + 257
⇒x=
⇒y=
16
16
√

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: (x; y) = (1; 1) ,

www.DeThiThuDaiHoc.com

19

1+

√

√

257 129 + 257
;
16
16

Nguyễn Văn Quốc Tuấn


Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình

www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam
Bài 30.

Giải phương trình sau:
x=

√

√
√
√
√
√
3 − x. 4 − x + 5 − x. 4 − x + 3 − x. 5 − x

Lời giải:
Điều kiện: x ≤ 2
Biến đổi phương trình trở thành:
√
√

√
√
√
3 − x 2 − x + 4 − x + 4 − x. 2 − x − x = 0
Đặt:


a2 + b 2
 √

 2−x=a

= (3 − x)
2
√
⇒
2
√
√
 4−x=b
 (a + b)


− 3 = −x + 4 − x. 2 − x
2

(a < b)

Khi đó phương trình đã cho trở thành hệ phương trình sau:


(a + b)2
a2 + b2

(a + b) +
=3
2
2

a2 − b2 = −2
−3 2
(a + b)2
a2 + b 2
(a − b2 ) =
(a + b) +
2
2
2
2
−3
a + b2 a + b
⇐⇒
(a + b) (a − b) = (a + b)
+
2
2
2

a+b=0
a2 + b 2
 −3

2
2
⇐⇒ −2a + b =
⇐⇒
a +b
a+b
2
(a − b) =
+
2
2
 2

b ≥ 2a
2
2
⇐⇒
 4a2 − 4ab + b2 = a + b
2

 √
√
4−x≥2 2−x
 b ≥ 2a



√
√
b ≥ 2a

⇐⇒
⇐⇒
a=b ⇒
4−x= 2−x
2
2


√
√
7a − 8ab + b = 0


7a = b
7 2−x= 4−x
√
√
4−x≥2 2−x
47
⇐⇒
⇐⇒ x =
24
49 (2 − x) = 4 − x

⇒

Vậy nghiệm của phương trình là: x =
Bài 31.

47

24

Giải phương trình sau:
√

5x2 + 14x + 9 −

√

√
x2 − x − 20 = 5 x + 1

Lời giải:
Điều kiện: x ≥ 5

www.DeThiThuDaiHoc.com

20

Nguyễn Văn Quốc Tuấn


Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình

www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam
Ta biến đổi như sau:
√
√
√
P T ⇐⇒ 5x2 + 14x + 9 = x2 − x − 20 + 5 x + 1

√
√
⇐⇒ 5x2 + 14x + 9 = x2 − x − 20 + 25 (x + 1) + 10 x2 − x − 20. x + 1
√
⇐⇒ 4x2 − 10x + 5 − 10 (x − 5) (x + 1). x + 4 = 0
√
⇐⇒ 4 (x2 − 4x − 5) − 5 4 (x2 − 4x − 5). x + 4 + 6 (x + 4) = 0
√
√
⇐⇒
4 (x2 − 4x − 5) − 3 x + 4
4 (x2 − 4x − 5) − 2 x + 4 = 0

√
x=8
2
4 (x2 − 4x − 5) = 3 x + 4
4x − 25x − 56 = 0
√
√
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒ 
5 + 61
2
2 − 4x − 5) = 2 x + 4
4 (x
4x − 20x − 36 = 0
x=
2


Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: 

Bài 32.

x=8
√
5 + 61
x=
2

Giải hệ phương trình sau:

√

 x− y+2= 3
2
 y + 2 (x − 2) √x + 2 = − 7

4

Lời giải:
Điều kiện: x ≥ −2; y ≥ −2

 2
 u − v = 7 (1)
√
√
2
Đặt: u = x + 2; v = y + 2 với u, v ≥ 0 hệ trở thành

 v 2 + 2 (u2 − 4) u = 1 (2)

4
Thế (1) vào (2) ta được:
2

7
1
+ 2u3 − 8u =
2
4
4
3
2
⇐⇒ u + 2u − 7u − 8u + 12 = 0
⇐⇒ (u − 1) (u − 2) (u2 + 5u + 6) = 0
⇐⇒ u = 1 ∨ u = 2
u2 −

Vì u2 + 5u + 6 > 0, ∀u ≥ 0.
−5
không thỏa mãn
2

 x=2
1
Với u = 2 ⇒ v = ta tìm được
7
 y=−
2

 4
 x=2
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
7
 y=−
4
Với u = 1 ⇒ v =

www.DeThiThuDaiHoc.com

21

Nguyễn Văn Quốc Tuấn


Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình

www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam
Bài 33.

Giải hệ phương trình sau:
x2 y 2 − 2x + y 2 = 0
2x2 − 4x + 3 + y 3 = 0

Lời giải:
Ta có:
2 2




2x
1 + x2
⇐⇒
 2(x − 1)2 + 1 + y 3 = 0

2

x y − 2x + y = 0
2x2 − 4x + 3 + y 3 = 0

Vì

y2 =

2x
≤ 1 (∀x ∈ R) nên −1 ≤ y ≤ 1
1 + x2

Khi đó

y ≥ −1 ⇐⇒ 1 + y 3 ≥ 0 ⇐⇒ 2(x − 1)2 + 1 + y 3 ≥ 0
⇐⇒

x−1=0
1 + y3 = 0

x=1
y = −1

⇐⇒

Thử lại vào hệ phương trình đã cho thỏa mãn
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: (x; y) = (1; −1)

Bài 34.

Giải phương trình sau:

 12xy + 12 (x2 + y 2 ) +

9
= 85
(x + y)2

6x (x + y) + 3 = 13 (x + y)

Lời giải:
Điều kiện x + y = 0.
Viết lại hệ phương trình thành:


 9 x+y+


2

1
x+y


 3 x+y+ 1

x+y


 a=x+y+ 1
(|a| ≥ 2)
x+y
Đặt

b=x−y

www.DeThiThuDaiHoc.com

+ 3(x − y)2 = 103
+ 3 (x − y) = 13

ta có:

22

Nguyễn Văn Quốc Tuấn


Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình

www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam

9a2 + 3b2 = 103
3a + 3b = 13

Khi đó

2b2 − 13b + 11 = 0
3a = 13 − 3b

⇐⇒


 x + y + 1 = 10
x+y
3

x−y =1

Bài 35.




 
⇐⇒  
  a = −7

6

 b = 11

2

⇐⇒ (x; y) =

2 −1
;
3 3

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: (x; y) =


 a = 10
3
 b=1

2 −1
;
3 3

(loai)

, (2; 1)

, (2; 1)

Giải phương trình sau:
√

x2 − 2

√
√

15 − x2 + x = 15 − 3 15x − x3 − 4 x

Lời giải:
Điều kiện: 0 ≤ x ≤
Đặt:

√

15

√
a = 15 − x2
√
b= x

(a, b ≥ 0) khi đó phương trình đã cho trở thành:

a2 − 3ab − 4b + 2 (a + b2 ) = 0
⇐⇒ a2 + 2b2 − 3ab + 2 (a − 2b) = 0
⇐⇒ (a − 2b) (a − b) + 2 (a − 2b) = 0
a = 2b
a=b−2

⇐⇒

Với: a = 2b thì
√
√
15 − x2 = 2 x ⇐⇒ 15 − x2 = 4x ⇐⇒

Với a = b − 2 khi đó

√

15 − x2 =

Mặt khác:
0≤x≤

√

www.DeThiThuDaiHoc.com

√
x = −2 + 19
√
x = −2 − 19 (loai)

√
x−2

15 ⇒

√

√
15 − 2 <

x−2≤

23

√
16 − 2 = 0

Nguyễn Văn Quốc Tuấn


Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình

www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam

nên phương trình đó vơ nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = −2 +

Bài 36.

√

19

Giải hệ phương trình:



√
√
7x + y − 2x + y = 4
√
7√

 2 2x + y −
5x + 10y = 2
10

Lời giải:
Đặt:

√
7x + y = a
√
2x + y = b

(a, b ≥ 0)

Ta có:
5x + 10y = −3 (7x + y) + 13 (2x + y)
√
√
= −3a2 + 13b2 ⇒ 5x + 10y = −3a2 + 13b2

Khi đó ta có hệ phương trình mới:



a−b=4
√
7
 2b −
−3a2 + 13b2 = 2
10


a=b+4
⇐⇒
7√ 2
 2b −
10b − 24b − 48 = 2
10
a=b+4
√
⇐⇒
20b − 20 = 7 10b2 − 24b − 48


a=b+4

⇐⇒
b≥1


2
90b − 376b − 2752 = 0
⇐⇒

a = 12
⇒
b=8

⇐⇒

x = 16

y = 32

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là:

Bài 37.

7x + y = 144
2x + y = 64

x = 16
y = 32

Giải phương trình sau:
x+2

www.DeThiThuDaiHoc.com

4
3x − 1
4 x + 4
=4
5
20

24

Nguyễn Văn Quốc Tuấn


Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình

www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam
Lời giải:
Điều kiện: x ≥

1
3

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:
x+2

3x − 1
3x − 1
8x + 4
≤x+
+1=
5
5
5

Mặt khác:
4
x4 + 4
8x + 4
2x + 1
4 x + 4
≥
⇐⇒
≥
20

5
20
5
125 (x4 + 4)
4
3
2
≥ 16x + 32x + 24x + 8x + 1
⇐⇒
4
⇐⇒ 61x4 − 128x3 − 96x2 − 32x + 496 ≥ 0
⇐⇒ (x − 2)2 (61x2 + 116x + 124) ≥ 0 (∀x ∈ R)

4

4

Do đó:
4

4

x4 + 4
≥x+2
20

3x − 1
5

Dấu bằng xảy ra khi: x = 2

Vậy nghiệm của phương trình là: x = 2.

Bài 38.

Giải bất phương trình sau:
x (x + 2)
√ ≥1
(x + 1)3 − x

Lời giải:
Điều kiện: x ≥ 0.
Với x ≥ 0 thì

(x + 1)3 −

√
x > 0.

www.DeThiThuDaiHoc.com

25

Nguyễn Văn Quốc Tuấn