Phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình mũ

PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ DẠNG 1 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Dạng 1: Phương trình:
2
1 2 3
0
xx
aa
  
  

Đặt
x
ta
, điều kiện t >0.


Dạng 2: Phương trình:
1 2 3
0
xx
ab
  
  
, với
.1ab

Đặt
x

ta
, điều kiện t >0, suy ra
1
x
b
t



Dạng 3: Phương trình:
 
22
1 2 3
0
x
xx
a ab b
  
  

Chia hai vế của phương trình cho
2
0
x
b 
(hoặc
 
2
,
x

x
a ab
)


Ví dụ 1: Giải phương trình:
 
2
2
21
1
7.2 20.2 12 0
x
x


  

Đặt
2
1
2
x
t


, vì
2
2 1 1
1 1 2 2 2

x
xt

     

Khi đó pt (1) có dạng:
 
2
2 1 2
2
7 20 12 0 2 2 1 2 0
6
7
x
t
t t x x
tl




          




Vậy, pt có nghiệm
Ví dụ 2: Giải phương trình:
 
2

2
1
cot
sin
4 2 3 0 1
x
x
  

Điều kiện:
 
sin 0 , .x x k k Z

    

Vì
2
2
1
1 cot
sin
x
x

, nên pt (1) được viết lại dưới dạng:
 
22
2cot cot
2 2.2 3 0 2
xx

  

Đặt
2
cot
2
x
t 
, vì
 
2
2 cot 0
cot 0 2 2 1
x
xt     

Khi đó pt (2) có dạng:
 
2
2 cot 2
1
2 3 0 2 1 cot 0 ,
3
2
x
t
t t x x k k Z
tl





           




Nghiệm đó thỏa mãn (*).
Vậy, pt có nghiệm
Ví dụ 3: Giải phương trình:




 
2 3 2 3 4 1
xx
   

Nhận xét rằng:
  
2 3. 2 3 2 3 2 3 1     

Đặt


23
x
t 
, điều kiện t > 0



1
23
x
t
  

Khi đó pt (1) có dạng:






 
   
2
2
1
2
2 3 2 3
23
1
4 4 1 0
23
2 3 2 3
1
2 3 2 3
2

2
2
1
2 3 2 3
2
x
x
x
x
t
t t t
t
t
x
x
xx


  



       


  


  






  




  








  





Vậy, pt có nghiệm

Ví dụ 4: Giải phương trình:
   
 
7 4 3 3 2 3 2 0 1

xx
    

Nhận xét rằng:
 
  
2
7 4 3 2 3
2 3 2 3 1
  
  

Đặt
 
23
x
t 
, điều kiện t > 0
 
1
23
x
t
  
và
 
2
2
7 4 3 2 3 t   

Khi đó pt (1) có dạng:
 
 
 
 
2 3 3
3
1
3
2 0 2 3 0 1 3 0
3
2 3 1 0
x
t
t t t t t t
t t t VN
t
x


            

  

    

Vậy, pt có nghiệm
Ví dụ 5: Giải phương trình:
   
 

3
3 5 16 3 5 2 1
xx
x
   

Chia 2 vế của phương trình cho
20
x

, ta được:
 
3 5 3 5
16 8 2
22
xx
   


   
   
   

Nhận xét rằng:
3 5 3 5
1
22
  



  
  
  

Đặt
35
2
x
t






, điều kiện t > 0
3 5 1
2
x
t







Khi đó pt (2) có dạng:
2
35

2
35
8 16 0 4 4 log 4
2
x
t t t x



        




Vậy, pt có nghiệm
Ví dụ 6: Giải phương trình:
 
2 2 2
1 1 1
2.4 6 9 1
x x x  


Biến đổi phương trình về dạng:
 
 
 
 
22
2

2 1 2 1
1
2.2 2.3 3 2
xx
x




Chia hai vế của phương trình cho
 
2
21
20
x 

, ta được:
 
 
22
1 2 1
33
23
22
xx
   

   
   

Đặt
2
1
3
2
x
t





, vì
2
11
2
3 3 3
11
2 2 2
x
xt

   
     
   
   

Khi đó pt (3) có dạng:

 
2
1
22
33
22
2
3
2 0 2 1 log 2 log 2 1
1
2
x
t
t t x x
tl




            






Vậy, pt có nghiệm
Ví dụ 7: Giải phương trình:
 
22

2 1 2 2
2 9.2 2 0 1
x x x x  
  

Chia hai vế của phương trình cho
22
20
x

, ta được:
 
22
22
22
2 2 1 2
22
22
2 9.2 1 0
19
.2 .2 1 0
24
2.2 9.2 4 0 2
x x x x
x x x x
x x x x
   


  

   
   

Đặt
2
2
xx
t


, điều kiện t > 0
Khi đó pt (2) có dạng:
2
2
22
2
2
1
4
2 2 2 1
2 9 4 0
1
2
1
22
2
xx
xx
t
x x x

tt
x
t
xx






    


      






  






Vậy, pt có nghiệm
Ví dụ 8: Giải phương trình:
 

3
31
1 12
2 6.2 1
2
2
xx
x
x
   

Viết lại phương trình dưới dạng:
 
3
3
3
22
2 6 2 1 1
22
xx
xx


   





Đặt

2
2
2
x
x
t 
, điều kiện t > 0,
3
3
33
3
2 2 2 2
2 2 3.2 . 2 6
2 2 2 2
x x x x
x x x x
tt
   
       
   
   

Khi đó pt (1) có dạng:
 
3
2
6 6 0 1 2 1 2
2
x
x

t t t t       

Lại đặt
2
x
u 
, điều kiện u > 0
Khi đó pt (2) có dạng:
 
2
1
2 0 2 2 1
2
x
ul
u u x
u


       




Vậy, pt có nghiệm
Ví dụ 9: Giải phương trình:


22
1 1 2 1 2 1 2 .2

x x x
    

Điều kiện:
22
1 2 0 0 2 1 0
xx
x      

Đặt
2 sin
x
t
, với
0,
2
t







Khi đó phương trình có dạng:


22
1 1 sin 1 2 1 sin .sint t t    

 
 
1 c t 1 2 .sin
2 sin sin2
2
3
2 2sin . s
2 2 2
3
2 1 2sin 0
22
0
1
2
1
2
6
2
0
32
21
s
2
22
x
x
os cost t
t

cos t t
t t t
cos co
tt
cos
t
cos l
t
x
x
t
t
in


   
  


  















   

















Vậy, pt có nghiệm
Ví dụ 10: Giải phương trình:
 
2
7
6. 0,7 7
100
x

x
x


Biến đổi phương trình về dạng:
 
2
77
6. 7 1
10 10
xx
   

   
   

Đặt
7
10
x
t




, điều kiện t >0
Khi đó pt (1) có dạng:
 
2
7

10
7
7
6 7 0 7 log 7
1
10
x
t
t t x
tl



       






Vậy, pt có nghiệm
Ví dụ 11: Giải phương trình:
21
1
11
3. 12
33
xx

   


   
   

Biến đổi phương trình về dạng:
21
11
12 0
33
xx
   
  
   
   

Đặt
1
3
x
t




, điều kiện t >0
Khi đó pt (1) có dạng:
 
2
3
1

12 0 3 1
4
3
x
t
t t x
tl



        






Vậy, pt có nghiệm
Ví dụ 12: Giải phương trình:
1 4 2
4 2 2 16
x x x  
  

Biến đổi phương trình về dạng:
 
21
42
2 2 2 16
x

xx


  

 
2
2.2 6.2 8 0 1
xx
   

Đặt
2
x
t 
, điều kiện t >0
Khi đó pt (1) có dạng:


 
2
4
2 6 8 0 2 4 2
1
x
t
t t x
tl



       




Vậy, pt có nghiệm
Ví dụ 13: Giải phương trình:
1
3 3 4 0
xx
  

Điều kiện:
0x 

Biến đổi phương trình về dạng:
3
3 4 0
3
x
x
  

Đặt
3
x
t 
, điều kiện
1t 

Khi đó pt (1) có dạng:
 
 
2
1
4 3 0
3
tl
tt
tl


   





Vậy, pt có vô nghiệm
Ví dụ 14: Giải phương trình:
31
125 50 2
x x x


Biến đổi phương trình về dạng:
 
125 50 2.8 1
x x x


Chia hai vế của phương trình (1) cho
80
x

, ta được:
 
32
125 50
2
88
55
2 0 2
22
xx
xx
   

   
   
   
   
   
   

Đặt
5
2
x
t





, điều kiện t > 0
Khi đó pt (2) có dạng:
 
 
 
3 2 2
2
1
5
2 0 1 2 2 0 1 0
2 2 0
2
x
t
t t t t t x
t t VN



           


  



Vậy, pt có nghiệm
Ví dụ 15: Giải phương trình:




 
sin sin
7 4 3 7 4 3 4 1
xx
   

Nhận xét rằng:
  
7 4 3. 7 4 3 7 4 3 7 4 3 1     

Đặt


sin
7 4 3
x
t 
, điều kiện t > 0


sin
1
7 4 3
x

t
  

Khi đó pt (1) có dạng:




   
 
sin
21
sin
2
sin sin
2
2 3 2 3
7 4 3 2 3
23
1
4 4 1 0
23
7 4 3 2 3
2 3 2 3
x
x
xx
t
t t t
t

t




  


  





        



  




  
  








   
 
sinx 1
sinx
2 3 2 3
sin 1
0,
sinx 1
2
2 3 2 3
x
cosx x k k Z




  



       




  



Vậy, pt có nghiệm


Ví dụ 16: Giải phương trình:
   
 
5 24 5 24 10 1
xx
   

Nhận xét rằng:
  
5 24 5 24 1  

Đặt
 
5 24
x
t 
, điều kiện t > 0
 
1
5 24
x
t
  

Khi đó pt (1) có dạng:
 

 
   
 
1
2
5 24 5 24 5 24 5 24
5 24
1
10 10 1 0
5 24
5 24 5 24 5 24 5 24
xx
xx
t
t t t
t
t


     



        





     




1
1
x
x







Vậy, pt có nghiệm
Ví dụ 17: Giải phương trình:
21
25 10 2
x x x


Viết lại phương trình dưới dạng:
 
22
5 2.5 2.2
x
xx


Chia hai vế của phương trình cho

2
20
x

, ta được:
 
2
55
22
22
xx
   

   
   

Đặt
5
2
x
t




, điều kiện t > 0
Khi đó pt (2) có dạng:
 
2
1

5
2 0 1 0
2
2
x
t
t t x
tl



       






Vậy, pt có nghiệm
Ví dụ 18: Giải phương trình:
31
4.3 3 1 9
x x x
  

Điều kiện:
 
1 9 0 0 9 1 0
xx
x       

Biến đổi phương trình về dạng:
32
4.3 3.3 1 3
x x x
  

Với điều kiện (*) thì
0 3 1
x


Đặt
3
x
cost 
, với
0,
2
t







Khi đó pt (2) có dạng:
 
32

0
2
4 3 1
3 sin
2
32
82
2
8
32
2
42
t
cos t cost cos t
cos t t cos t
k
t
t t k
t
k
t t k
tl











  

   





  


   




   
  





Ta có:


2
2

2. 2 1
4 8 8
22
84
22
82
cos cos cos
cos
cos
  



  







Do đó:
3
2 2 2 2
3 log
8 8 2 2
x
t cos x



     

Vậy, pt có nghiệm




PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ DẠNG 2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Ví dụ 1: Giải phương trình:
 
 
2
3 2 9 .3 9.2 0 1
x x x x
   

Đặt
3
x
t 
, điều kiện t > 0
Khi đó pt (1) tương đương với:
 
2
2 9 9.2 0
xx
tt   

2

9
3 9 2
3
0
2
1
32
2
x
x
x
xx
x
t
x
x
t








   


















Vây, pt có nghiệm
Ví dụ 2: Giải phương trình:
 
 
22
22
9 3 .3 2 2 0 1
xx
xx    

Đặt
2
3
x
t 
, điều kiện
1t 

(vì
2
20
0 3 3 1
x
x    

Khi đó pt (1) tương đương với:
 
2 2 2
3 2 2 0t x t x    

 
 
2
2
2
2
3 2 2
2
1
3 1 3
x
x
t
tx
x














Giải (2):
2
2
33
3 2 log 2 log 2
x
xx     

Giải (3)
2
2
31
x
x
, ta có nhận xét:
2
2
11
31
0

11
11
x
VT VT
x
VP VP
x





   
  






Vây, pt có nghiệm
Ví dụ 3: Giải phương trình:
 
 
2 3 2 2
.3 3 .3 2 .3 0, 0 1
x x x
m m m m m     

a. Giải phương trình với m = 2.

b. Xác định m để phương trình có ba nghiệm phân biệt.
Đặt
3
x
t 
, điều kiện t > 0
Khi đó pt (1) tương đương với:
 
2 3 2 2
. 3 . 2 . 0m t mt m t m    

   
3 2 2
3 1 2 0t t m t m t     

Coi m là ẩn, còn t là tham số, ta được phương trình bậc 2 theo m, ta được:
   
2
2
1
1
2
2 0 2
1
m
t
t
m
t
f t mt t m

m
t










   







a. Với m = 2, ta được:
   
33
2
1
11
2
3 log log 2
22
2 2 2 0

x
t
x
f t t t VN



     

   



Vây, với m = 2 pt có nghiệm


b. Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt

phương trình (2) có 2 nghiệm phân
biệt dương khác
1
m
và m > 0
2
'
10
0
2
0
0

01
0
10
1
0
1
0
m
S
m
m
P
f
m
m
m











    















Vậy với 0 < m < 1 phương trình có ba nghiệm phân biệt.
Ví dụ 4: Giải phương trình:
 
2 3 1 3
4 2 2 16 0 1
x x x
   

Đặt
2
x
t 
, điều kiện t > 0
Khi đó pt (1) tương đương với:
43
2 4 3
2 8 16 0
4 2 .4 2 0

t t t
t t t
   
    

Đặt u = 4, ta được:
2 4 3
2 . 2 0u t u t t   

 
 
 
2
2
2
2
1
4
2 4 0
1
42
15
2 5 1 log 5 1
15
x
u t t t
t
tt
u t t t
tt

t
x
t
  



     


  





  
      

  



Vây, pt có nghiệm
Ví dụ 5: Giải phương trình:
   
9 2 2 .3 2 5 0 1
xx
xx    

Đặt
3
x
t 
, điều kiện t > 0
Khi đó pt (1) tương đương với:
 
2
2 2 2 5 0t x t x    

 
 
1
3 5 2 2
52
x
tl
x
tx


   




Ta đoán được nghiệm x = 1
Vế trái (2) là một hàm số đồng biến
Vế phải (2) là một hàm nghịch biến
Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của pt (2)

Vây, pt có nghiệm
Ví dụ 6: Giải phương trình:
 
2
3 3 5 5 1
xx
  

Đặt
3
x
t 
, điều kiện t > 0
Khi đó pt (1) tương đương với:
 
 
 
2
2
2
2
2 2 4
2
55
55
50
05
5 2 1 .5 1 0 2
55
tt

tt
t
t
tt
tt
  
   







    
  




Đặt u = 5, pt (2) có dạng:


 
2 2 4
2 1 1 0u t u t    

 
 
 

 
2
2
2
22
2
2
2 1 2 1
50
51
2
2 1 2 1 5 1
40
2
1 17
1 17 1 17
2
3 log
22
1 17
2
x
tt
u
t t l
t
t t t t
tt
u
tl

x
t

  



  



  



     
  











   


    









Vây, pt có nghiệm



PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ DẠNG 3 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Ví dụ 1: Giải phương trình:
2 2 2
3 2 6 5 2 3 7
4 4 4 1
x x x x x x     
  

Viết lại phương trình dưới dạng:
  
2 2 2 2
22
2
2
3 2 6 5 3 2 6 5

3 2 6 5
3 2 2
2
65
4 4 4 .4 1
4 1 1 4 0
1
4 1 3 2 0 2
1
6 5 0
41
5
x x x x x x x x
x x x x
xx
xx
x
x x x
x
xx
x
       
   


  
   






    

  




  








Vây, pt có nghiệm
Ví dụ 2: Giải phương trình:
22
5 6 1 6 5
2 2 2.2 1
x x x x   
  

Viết lại phương trình dưới dạng:
22
5 6 1 7 5
2 2 2 1

x x x x   
  

   
22
22
2 2 2 2
5 3 1
5 6 1
5 6 1 5 3 1
2 2 2 1
2 2 2 .2 1
x x x
x x x
x x x x x x
   
  
     
   
   

Đặt
2
2
56
1
2
, , 0
2
xx

x
u
uv
v











Khi đó, pt tương đương với:
  
2
2
5 6 2
2
1
1
1 1 1 0
1
3
2 1 5 6 0
2
11
21

1
xx
x
u
u v uv u v
v
x
xx
x
x
x




       







   

   













Vây, pt có nghiệm
Ví dụ 3: Giải phương trình:
 
2
2
2
3
2
21
2
9 3 3 1
xx
x
x


  

Đặt
2
2
3

2
2
9
,0
3
xx
x
u
uv
v










Nhận xét rằng:
 
2
2
2
2
22
3
3
22

2
2
2
21
43
93
33
33
xx
xx
x
xx
xx
u
v







   

Khi đó, pt tương đương với:
  
2
2
2
2

2
2
3
3
22
2
2
2
2
2
0
1 1 0
1
1
4 3 0
93
33
3
0
31
33
0
xx
xx
x
x
x
x
uv
u

u v u v v
v
v
x
xx
x
x
x







       








  






    














Vây, pt có nghiệm


Ví dụ 4: Giải phương trình:
 
2
22
1
1
4 2 2 1
x
x x x


  

Đặt
2
2
1
4
,0
2
xx
x
u
uv
v











Nhận xét rằng:
 
 
2
2
2 2 2

2
1
11
. 4 .2 2 .2 2
xx
x
x x x x
uv


  
  

Khi đó, pt tương đương với:
  
2
2
2
2
1
1
1 1 1 0
1
0
4 1 0
1
10
21
1
xx

x
u
u v uv u v
v
x
xx
x
x
x




       







  

   













Vây, pt có nghiệm
Ví dụ 5: Giải phương trình:
8.3 3.2 24 6
x x x
  

Đặt
3
,0
2
x
x
u
uv
v









Khi đó, pt tương đương với:
  
3
8 3 24 3 8 0
8
3 3 1
3
28
x
x
u
u v uv u v
v
x
x


       















Vây, pt có nghiệm


PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ DẠNG 4 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Ví dụ 1: Giải phương trình:
1 1 1
8 2 18
2 1 2 2 2 2 2
x
x x x x  

   

Viết lại phương trình dưới dạng:
1 1 1 1
8 1 18
2 1 2 1 2 2 2
x x x x   

   

Đặt
1
1
21
,1
21

x
x
u
uv
v











Nhận xét rằng:
  
1 1 1 1
. 2 1 2 1 2 2 2
x x x x
uv u v
   
       

Khi đó, pt tương đương với hệ:
8 1 18 2
8 18
9
9

8
uv
uv
u v u v
u v uv
uv
u v uv












  





 Với u = v = 2, ta được:
1
1
2 1 2
1

2 1 2
x
x
x











 Với
9
9
8
uv  
, ta được :
1
1
2 1 9
4
9
21
8
x
x

x











Vây, pt có nghiệm
Ví dụ 2: Giải phương trình:
 
2
2 2 6 6 1
xx
  

Đặt
2
x
u 
, điều kiện u >0
Khi đó, pt (1) tương đương với:
 
2
6 6 2uu  

Đặt
6vu
, điều kiện
2
66v v u   

Khi đó, pt (2) tương đương với hệ:
    
2
22
2
6
10
6
10
uv
u v u v u v u v
vu
uv
uv



         









  


 Với u = v , ta được:
 
2
3
6 0 2 3 8
2
x
u
u u x
ul


       




 Với
10uv  
, ta được :
 
2
2
1 21
21 1 21 1

2
5 0 2 log
22
1 21
2
x
u
u u x
ul






       







Vây, pt có nghiệm
Ví dụ 3: Giải phương trình:
 
2
3 3 5 5 1
xx
  

Đặt
3
x
u 
, điều kiện u >0
Khi đó, pt (1) tương đương với:
 
2
5 5 2uu  

Đặt
5vu
, điều kiện
2
55v v u   

Khi đó, pt (2) tương đương với hệ:
    
2
22
2
5
10
5
10
uv
u v u v u v u v
vu
uv

uv



         








  


 Với u = -v , ta được:
 
2
3
1 21
1 21 1 21
2
5 0 3 log
22
1 21
2
x
u
u u x

ul






       






 Với
10uv  
, ta được :
 
2
3
1 17
17 1 17 1
2
4 0 3 log
22
1 17
2
x
u
u u x

ul






       






Vây, pt có nghiệm
Ví dụ 4: Giải phương trình:
 
3
1
27 2 3 3 2 1
xx
  

Đặt
3
x
u 
, điều kiện u >0
Khi đó, pt (1) tương đương với:
 

3
3
2 3 3 2 2uu  

Đặt
3
32vu
,
3
32vu  

Khi đó, pt (2) tương đương với hệ:
 
 
   
 
 
3
3
3 3 2 2
33
22
2 3 3
23
3 3 0
3 2 4 2 3
0
30
uv
uv

u v u v u v u uv v
v u v u
uv
uv
u uv v VN





           

   






  

   


 Thay u = v vào (3), ta được:
 
 
 
32
2

3 2 0 1 2 0
1
10
3 1 0
2
20
x
u u u u u
u
u
x
ul
uu
       




     



  




Vây, pt có nghiệm