Toán cao cấp GIẢI TÍCH

ÔN THI CAO HỌC KINH TẾ
PHẤN I . TOÁN CAO CẤP
Chương 1. GIẢI TÍCH
I. ĐẠO HÀM VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ
Câu 1.Cho hàm số
1, 0
( )
, 0
x
e x x
y f x
m x

− − ≠
= =

=

1. Xác định m để f(x) liên tục tại x=0
2. Tính
'
(0)f
ứng với m vừa tìm được câu 1.
Câu 2.Cho hàm số
2 1 osx
, 0
( )
, 0
x c
x
y f x

x
m x

+ −
≠

= =


=

1. Xác định m để f(x) liên tục tại x=0
2. Tính
'
(0)f
ứng với m vừa tìm được câu 1.
Câu 3.Cho hàm số
2 1 os(x-1)
, 1
( )
1
, 1
x c
x
y f x
x
m x

− −
≠


= =

−

=

1. Xác định m để f(x) liên tục tại x=1
2. Tính
'
(1)f
ứng với m vừa tìm được câu 1.
II. TÍNH GIỚI HẠN CÁC HÀM SỐ SAU
1. Tính giới hạn các dãy số sau.
1.
2 2
2 5 1
lim
3
x
n n n
n
→∞
+ + −
−
2.
2
4
2 15 11
lim

3 1
x
n n
n n
→∞
− +
− +
3.
3 3 2
lim 2 2 2
x
n n n n
→∞
− + − +
4.
3 20 15
2 5
(1 ) ( 2 2)
lim
(2 12)
x
n n
n
→∞
+ −
+
5.
2
2
4 1 2 1

lim
4 1
x
n n
n n n
→∞
+ − −
+ + −
6.
2 4 ( 1)
lim
2
n
x
n
n
→∞
+ + −
+
7.
2 4
lim1 3 1
x
n n n
→∞
+ − + +
8.
3
2 6
4 2

1
lim
1
x
n n
n n
→∞
+ −
+ −
9.
3 3
3 3
7 4 3 1
lim
12
x
n n n
n
→∞
− − − +
+
10.
3
6 3
7 5 8
lim
12
x
n n n
n

→∞
− − +
+
11.
1
5 3 2
lim
2.5 4
n n n
n n
x
+
→∞
+ −
−
12.
2
lim 3sin 2 5
2
x
n
n
→∞
− +

2. Tính giới hạn các hàm số sau.
1.
4 2
4 2
1

lim
2 3
x
x x
x x
→+∞
− +
+ +
2.
2
lim
2
x
x x
x x
→+∞
− +
3.
2
0
1 2
lim
2 3
x
x x
x
→
+ −
−
1

4.
2
1
1
lim
3 2
x
x
x x
→
−
+ −
5.
3
2
4 2
lim
2
x
x
x
→
−
−
6.
6 5
2
1
4 5
lim

1 2
x
x x x
x x
→
− +
− +
7.
2
lim 1 1
x
x x
→∞
+ + −
8.
3 3
0
1 1
lim
2 1 1
x
x x
x x
→
− + +
+ − +
9.
2
lim 2 1 4 4 3
x

x x x
→∞
− − − +
10.
2
0
1 cos
lim
tan
x
x
x
→
−
11.
2
0
2 1 cos
lim
tan
x
x
x
→
− +
12.
3
1
2 7 4
lim

4 3
x
x x
x x
→
+ + −
− +
13.
0
2 1 4
lim
x
x x
x
→
+ − −
14.
3 2 3
lim 3
x
x x x
→∞
+ −
15.
0
1 sin 2 os2
lim
1 sin 2 os2
x
x c x

x c x
→
− −
+ −

16.
3
2
2
8 11 7
lim
3 2
x
x x
x x
→
+ − +
− +
17 .
( )
2
1
0
lim cos
x
x
x
→
18.
4 3 2

2
1 3 3
lim
2 2
x
x x x x
x
→
− + − + +
−

19.
5
0
5 1 1
lim
x
x
x
→
+ −
20.
2
2
3
1
2 1 3 1
lim
2 1
x

x x x
x x x
→
− + − +
− + − +
21.
3
1
1
lim
1
n
x
x
x
→
−
−

22.
3
1
3 1 3
lim
1
x
x x
x
→
+ − +

−
23.
2
2
lim
4 1 3
x
x x
x
→
− +
+ −
24.
0
1 os3
lim
1 os5
x
c x
c x
→
−
−

25.
3
3
tan 3tan
lim
os(x+ )

6
x
x x
c
π
π
→
−
26.
4
sinx cos
lim
1 t anx
x
x
π
→
−
−
27.
0
1 sin2x 1 sin 2
lim
x
x
x
→
+ − −

28.

( )
( )
3
94
2
100
1 1 2
lim
2 3
x
x x
x
→−∞
− + −
+
29.
2
2
2 1
lim
4 2
x
x
x x
x x
→∞
 
− +
 ÷
− +

 
30.
3
3
1
1
lim
2 1
x
x
x
→
−
− +

31.
2
7
0
( 2004) 1 2 2004
lim
x
x x
x
→
+ − −
32.
0
sin 5 sin 3
lim

sinx
x
x x
→
−
33.
3
8
2 9 5
lim
2
x
x
x
→
+ −
−

34.
0
ln( ) ln
lim
x
a x a
x
→
+ −
35.
1
1

lim
ln
x
x
x
x x
→
−
36.
0
ln(1 3 sin )
lim
x
x x
x
→
+
37.
2
0
ln cos
lim
ln(1 )
x
x
x
→
+
38.
3

4
0
8 3 2
lim
16 4 2
x
x
x
→
+ −
+ −
39.
[ ]
3
1
1
1
lim
ln os( 1)
x
x
e
c x
−
→
−
−

40.
2 3

2 3
1
ln(1 3 2 )
lim
ln(1 3 4 )
x
x x x
x x x
→
+ − +
+ − +
41.
2
0
1
lim
ln(1 4 )
x
x
e
x
→
−
−
42.
1
2
2
lim
2

x
x
x
−
→
 
 ÷
 
43.
2
1
1
lim
ln
x
x
x x
→
−
44.
3
2
ln(2 )
lim
ln(3 )
x
x
x
e
e

→+∞
+
+
45.
[ ]
3
1
1
1
lim
ln os( 1)
x
x
e
c x
−
→
−
−

2
46.
2 3
2 3
1
ln(1 3 2 )
lim
ln(1 3 4 )
x
x x x

x x x
→
+ − +
+ − +
47.
0
1 5
lim
1
x
x
x
e
→
−
−
48.
5
2 5
0
(1 ) (1 5 )
lim
x
x x
x x
→
+ − +
+

49.

1
2
0
lim 1 sin( )
x
x
x x
→
 
+ −
 
50.
2
2
0
sin 3
lim
ln (1 2 )
x
x
x
→
+
51.
t anx
0
lim
t anx sinx
x
x

e e
→
−
−

52.
1
1
lim
1 ln
x
x
x x
→
 
−
 ÷
−
 
53.
( )
tanx
0
lim sinx
x→
54.
1
lim(1 ) tan
2
x

x
x
π
→
−
III. TÍNH CÁC TÍCH PHÂN SAU
1.
2
1
1
dx
x x −
∫
2.
2
0
sinx
1+cox
dx
π
∫
3.
ln2
0
1
x
e dx−
∫

4.

4
2
7
9
dx
x x +
∫
5.
7
3
3
2
0
1+x
x
dx
∫
6.
3
2
2
2 8
dx
x x− −
∫
7.
2
1
( 1)ln(1 2 )x x dx+ +
∫

8.
2
4
sinx-cosx
sinx+cosx
dx
π
π
∫
9.
9
4
1
x
dx
x −
∫

10.
ln2
2
0
( 2)
x
x e dx
−
+
∫
11.
1

0
1
x x
dx
e e
−
+
∫
12.
3
2
2
2 8
dx
x x− −
∫
13.
1
3 2
0
1x x dx+
∫
14.
1
2
0
1
2 3
x
dx

x x
−
− −
∫
15.
2
0
osx
1 osx
c
dx
c
π
+
∫
IV. VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN
Câu1. Tính đạo hàm của hàm số sau
1.
1x
y e x x
−
= −
2.
sin 1
ln( 1)
x
y
x
+
=

+
Câu2 . Tính vi phân cấp hai của hàm số sau

x
x
y
x e
=
−
V. VI PHÂN VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
Câu1. Tìm cực trị có điều kiện của hàm số sau
1.
3 3
( ; ) 6u x y x y xy= + −
với x+y=1
2.
2 2
( ; ) 12u x y x y xy= + +
thỏa
2 2
4 25 0x y+ − =
Câu2. Cho hàm số
3 3
( ; ) ln( 1)u x y x y= + +
1.Tính vi phân toàn phần của u(x;y)
3
2.Tính
2
(2;1)d u

Câu3. Cho hàm số
2 2
( ; ) 2 4 5 4 2 1u x y x xy y x y= − + − − +
1.Tính cực trị của hàm u(x;y)
2.Tính
( ; )du x y
và
2
( ; )d u x y
Câu4. Cho hàm số
( ; ) 2 3 1u x y x y= + +
1.Tính vi phân toàn phần của u(x;y)
2.Tính
2
(1;3)d u
Câu5. Cho hàm số
3 2
( ; ) .
y
u x y x e
−
=
1.Tính vi phân toàn phần của u(x;y)
2.Tính
2
( ; )d u x y
Câu6. Cho hàm số
2 2
( ; )u x y x y= +
1.Tính vi phân toàn phần của u(x;y)

2.Tính cực trị của hàm
( ; )u u x y=
thỏa
1
4 3
x y
+ =
3.Tính cực trị của hàm
( ; )u u x y=
thỏa
2 2
3 4 0x x y y− + − =
VI. TOÁN KINH TẾ
Câu1.Giả sử hàm lợi nhuận của một xí nghiệp đối với một sản
phẩm là
( )R C T PQ cQ tQ f
π
= − − = − + +
, trong đó P=12-3Q là đơn
giá bán, c=4 là chi phí trên một đơn vị sản phẩm, f=1 là định
phí độc lập đối với sản phẩm Q.
Hãy tìm sản lượng Q sao cho xí ngiệp đạt lợi nhuận tối đa và
định thuế t trên một đơn vị sản phẩm để nhà nước thu được của
xí ngiệp nhiều thuế nhất.
Câu2. Giả sử hàm lợi nhuận của một xí nghiệp đối với một sản
phẩm là
. (wL )R C T P Q rK
π
= − − = − +
, trong đó R là doanh thu, C

là chi phí, L là lao động, w =1 là tiền lương của một lao động,
K là tiền vốn, r=0.03 là lãi suất của tiền vốn, P=9 là đơn giá
bán và Q=
3
LQ
là hàm sản xuất Cobb-Douglas.
Hãy tìm K, L để công ty đạt lợi nhuận tối đa.
Câu3.Giả sử một xí nghiệp sản xuất một loại sản phẩm và tiêu
thụ trên hai thị trường tách biệt. Giả sử đơn giá bán tại thị
trường thứ nhất là
1
8p =
, đơn giá bán tại thị trường thứ hai là
2
7p =
. Hàm tổng chi phí của xí nghiệp là:
4

2 2
1 1 2 2 2
( ) 2 2C Q Q Q Q Q tQ= + + + +
,trong đó
1 2
Q Q Q= +
với
1 2
,Q Q
lần
lượt là lượng hàng bán được ở thị trường 1 và ở thị trường 2.
Và t=1 là chi phí tăng thêm trên một đơn vị sản phẩm ở thị

trường 2.Hãy tìm lượng hàng hóa phân phối trên thị trường sao
cho xí nghiệp đạt lợi nhuận tối đa.
HẾT
Tp.HCM. Ngày 14 Tháng 07 Năm 2010
THẦY: HOÀNG VĂN HÒA ( Giảng Viên Toán Cơ, ĐT:0988302017)


5