Bài giảng chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC

Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
§.PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC
1. PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM ĐẶC BIỆT
()
−−+=
−+−+
−+ − +−=
⎛⎞
−
−−−−+=
⎜⎟
⎝⎠
32
32
54 3 2
5433
1. 8 12 0
2. 9 27 27 0
3. 8 20 20 19 12 0 1,3,4
13
4.6 5 5 4 34 12 0 ,2,
32
xx x
xx x
xx x x x
xxxx x

2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH.
43
43 2
1. 5 20 16 0

2. 7 11 7 10 0
xx x
xx xx
−+ −=
++ ++=

3. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP.
()()
()()
()
()
2
22
42
222
2
22
1. 4 3 4 2 0
2. 1 6 1 5 0
3. 16 3 9 0
xx xxx x
xx xxx x
xx x
++ + ++ + =
−+ − −+ + =
−−+=
2
4

4. PHƯƠNG TRÌNH HỒI QUI BẬC BA.

3
32
0 víi
dc
ax bx cx d
ab
⎛⎞
+++= =
⎜⎟
⎝⎠

Phương trình có một nghiệm là:
0
c
x
b
=
−

5. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG:
⎡
+=∀
⎢
−
=∀ >
⎢
⎣
3
3
43 ,

43 ,:
xxmm
xxmmm
1

Phương trình có nghiệm duy nhất.
Ta nghiên cứu các khai triển sau:
3
3
33
33
3
3
3
3
3
3
3
3
11111113
*3
288
11 1 111
43
22 2
11 111 1
43
222
1
*

aa a a a a
aaa a a
aa a
aaa
aaa
aaa
aa
a
⎡⎤
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛ ⎞⎛⎞
+=+++⇒ + = +++
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝ ⎠⎝⎠
⎣⎦
⎡⎤
⎛⎞ ⎛ ⎞⎛⎞
⇒+=+++
⎜⎟ ⎜ ⎟⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠ ⎝ ⎠⎝⎠
⎣⎦
⎡⎤⎡⎤
⎛⎞ ⎛⎞⎛ ⎞
⇒+−+=+
⎜⎟ ⎜⎟⎜ ⎟
⎢⎥⎢⎥
⎝⎠ ⎝⎠⎝ ⎠
⎣⎦⎣⎦
⎛⎞

−=
⎜⎟
⎝⎠
1
a
3
3
3
3
11
3
11 111 1
43
222
a
aa
aaa
aaa
⎛⎞
−− −
⎜⎟
⎝⎠
⎡⎤⎡⎤
⎛⎞ ⎛⎞⎛ ⎞
⇒−+−=−
⎜⎟ ⎜⎟⎜ ⎟
⎢⎥⎢⎥
⎝⎠ ⎝⎠⎝ ⎠
⎣⎦⎣⎦

Do đó với việc chọn a thích hợp ta có được một nghiệm của phương trình.
6. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG:
−
=∀ ≤
3
43 ,:xxmmm1

Phương trình có không quá ba nghiệm
Tác giả: Huỳnh Thanh Ln Trang 1
Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
Đặt
( )
[
]
cos cos 2 ; 0;m
α
α π α π
= = ± ∈
. Khi đó:
( )
3
3
cos 4cos 3cos
3 3
2 2
cos 2 4cos 3cos
3 3
m
m
α

α
α
α
π α
α π
= = −
± ±
= ± = −
π
Vậy phương trình có ba nghiệm:
2
cos ; cos
3 3
x x
α
α π
±
= =

7. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG:
+
+ + =
3 2
0t at bt c
B1: Khử bậc hai bằng cách đặt:
3
3
a
t y y py q
=

− → − =

B2: Đưa về pt cơ bản:
± =
3
4 3
x
x m
bằng cách đặt
2
3
p
y =
8. PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG.
Cho phương trình . Đònh tham số để:
4
( )
2 2
1 2 1 0x a x a+ − + − =
1. Pt vô nghiệm.
2. Phương trình có một nghiệm.
3. Phương trình có hai nghiệm.
4. Phương trình có 3 nghiệm.
5. Phương trình có bốn nghiệm.
6. Phương trình có bốn nghiệm lập thành một cấp số cộng.
9. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG :
( ) ( )
4 4
x x
α

β χ
+
+ + =

( ) ( )
( ) ( )
4 4
4 4
1. 4 6 2
2. 4 2 82
x x
x x
+ + + =
+ + + =
3.
( ) ( )
4 4
2 3 2 5 706x x+ + − =
10. PHƯƠNG TRÌNH HỒI QUI BẬC BỐN.
2
4 3 2
0, ®k:
e d
ax bx cx dx e
a b
⎛ ⎞
+ + + + = =
⎜ ⎟
⎝ ⎠

4 3 2
4 3 2
1.4 12 47 12 4 0.
2.2 21 74 105 50 0.
x x x x
x x x x
+ + + + =
− + − + =
3.Tìm để phương trình vô nghiêïm:
4 3 2
1 0x mx mx mx
+
+ + + =
.
11. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG:
(
)
(
)
(
)
(
)
,
x
a x b x c x d e a b c d
+
+ + + = + = +

( )( )( )( )

( ) ( )( )
2
1. 1 2 3 4 10
2. 6 5 3 2 1 35
x x x x
x x x
+ + + + =
+ + + =
12. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG:
(
)
(
)
2
2 2
0A x ax B x ax C
+
+ + + =
4 3 2
4 3 2
1. 4 3 14 6 0
2.3 6 5 2 5 0
x x x x
x x x x
+ − − + =
− + − − =
13. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG:
(
)
( )

2
2
2
x a x
α
β
+ = +
Tác giả: Huỳnh Thanh Ln Trang 2
Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
Tác giả: Huỳnh Thanh Ln Trang 3
4
4 2
4 2
1. 4 1 0
2. 3 10 4 0
3. 2 8 4 0
x x
x x x
x
x x
+ − =
− − − =
+ + − =
LUYỆN TẬP:
Bài tập12:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )( )( )
( )

( )
( )
− + + =
− + − =
+ + + + =
− − = − −
− + − + − + − + =
− + + + − + = −
− − − =
− − + − = − ±
4 4
4 4
4 3 2
2
2 3 2
8 7 6 5 4 3 2
2 2 2
2
2
2
4 3 2
1. 1 1 16
2. 2 3 2 5 2
3. 6 16 21 12 0
4. 6 9 4 9
5.2 9 20 33 46 66 80 72 32 0
6. 3 1 3 2 9 20 30
7. 6 2 3 81
8. 2 6 16 8 0 2;2; 1 3
9.

x x
x x
x x x x
x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x
x x x
x x x x
x
( )
( ) ( ) ( )( )
( )( )
( )
α
− + − + = =
+ + + − + = + + − +
⇔ + =
− + + +
⇔ + =
+ − + +
− + =
→ − + = =
− + − − + − + =
4 3 2
2 2 2 2
2 2
6 2
3
7 6 5 4 3 2
4 3 8 4 0 1

10.2 2 3 13 2 5 3 6 2 3 2 5 3
2 13
6
2 5 3 2 3
2 13
6
3 3
2 5 2 1
11. 7 6 0
7 6 0 6
12. 2 3 3 2 1 0
x x x
x x x x x x x x x x
x x
x x x x
x x
x x
x x
t t t
x
x x x x x x
Phương trình hồi qui với các hệ số đối xứng và bậc lẻ nên phương trình sẽ có
nghiệm đặc biệt và thu được phương trình hồi qui bậc chẵn giải bằng cách
chia số hạng chính giữa.
1x = −
( )
( )
6 5 4 3 2
1 3 6 7 6 3 1x x x x x x x→ + − + − + − + = 0

Bài tập13:
Cho phương trình : . Đònh tham số để phương trình :
4 3 2
1 0x ax x ax+ + + + =
1. Có bốn nghiệm phân biệt.
2. Có không ít hơn hai nghiệm âm phân biệt.
Bài tập14:
Cho phương trình : . Đònh tham số để phương trình :
( )
4 3 2
2 1 1 0x ax a x ax− − + + + =
1. Có bốn nghiệm phân biệt.
2. Có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1.
Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
Bài tập15:
Tìm m để phương trình :
(
)
(
)
(
)
3 2
2 1 3 1 1x m x m x m− + + + − + = 0
có 3 nghiệm dương
phân biệt.
Bài tập16:
Giải và biện luận:
( )
(

)
3 2 2
2 1 2x a x a a x a− + + + − =
2
0
0
Bài tập17:
Cho phương trình : .
( )
4 3 2
4 4 2 2x x m x mx m+ + + + + =
1. Giải phương trình khi m = 1.
2. Giải và biện luận.
Bài tập18:
Cho phương trình :
4 3
2 2
x
x x a− + + =
.
1. Giải phương trình khi a = 132.
2. Giải và biện luận.
Bài tập19:
Cho phương trình :
4 3
4 8 2
x
x x− + + = a
.
0

.
1. Giải phương trình khi a = 5.
2. Giải và biện luận.
Bài tập20:
Cho phương trình Đinh m để:
3 2
2 8 0mx x x m− − + =
1. Phương trình có 3 nghiệm phân biệt
2. Phương trình có nghiệm bội.
3. Phương trình có 3 nghiệm phân biệt bé hơn -1.
ĐỊNH LÝ VIÉT CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC BẬC CAO.
Bài tập21:
Cho phương trình
3 2
3 3 3 2x mx x m+ − − + =
1. Xác đònh m để phương trình có 3 nghiệm và tổng bình phương 3 nghiệm
của chúng đạt giá trò nhỏ nhất.
2. Xác đònh m để phương trình có 3 nghiệm lập thành một cấp số cộng.
Bài tập22: Xác đònh tham số để phương trình có 3 nghiệm lập thành một cấp số
cộng.
( )
( )
3 2 2
3 2 3
3 2
3 2
1. 2 1 9 0
2. 3 4 0
3. 3 9 0
4. 3 9 1 0

x mx m m x m m
x ax x a
x x x m
x x a x b
− + + + − +
− − + =
− − − =
− + − + − =
Bài tập23:
Giả sử phương trình có ba nghiệm
3 2
0x ax bx c+ + + =
1 2 3
, ,
x
x x . Hãy tính
1 2
n n
n
S x x x
n
= + +
3
Bài tập24:
Tác giả: Huỳnh Thanh Ln Trang 4
Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
Giả sử phương trình có ba nghiệm
3 2
0, , ,x ax bx c a b c+ + + = ∈]
1 2 3

, ,
x
x x . Cho f(x) là
một đa thức nguyên.
1 2 3
: ( ) ( ) ( )CMR f x f x f x
+
+ ∈] .
Hd: Ta cm qui nạp dưa vào công thức :
1 2 3
0
n n n n
S aS bS cS
− − −
+
+ + = .
§.DÙNG ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH.
A. Hiểu về ẩn phụ:
1. Là ẩn mà do người giải tự đưa vào chứ trong đề bài không nói tới.
2. Ta đưa ẩn phụ vào là để chuyển dạng bài toán về dạng mới dễ nhận dạng
hơn hay là dạng đã quen thuộc.
B. Điều kiện cho ẩn phụ:
1. nghóa, lý do:
− Tìm điều kiện cho ẩn phụ tức là đi tìm mxđ cho bài toán mới.
− Tuỳ vào mục đích của ẩn phụ mà ta tìm đk ẩn phụ như thế nào là phù
hợp nhất ( dễ, không gây sai bài toán ).
2. Có hai kiểu tìm ẩn đk cho phụ:
− Tìm đk đúng cho ẩn phụ.
− Tìm thừa đk cho ẩn phụ.
C. Một số dạng đặt ẩn phụ:

Dạng 1: Giữ nguyên số ẩn.
( )
( )
( )
( )
( )
4
2 2
3 2
3 2
2
2
2 3
2 2
2 2
2 2
2
1, 1 1 2
2,10 8 3 6
3, 1 3 1
4,2 1 7 1 13 1
5, 5 14 9 20 5 1
6, 8
x x x x
x x x
x x x
x x x x
x
x x x x
a x

x a
x a
− − + + − =
+ = − +
− = + −
+ + − − = −
+ + − − − = +
+ =
+
Có một số bài toán đặc biệt rất gọn nếu dùng ẩn phụ lượng giác. Dùng ẩn
phụ lượng giác tức là ta lợi dụng các công thức lượng giác để tự phá căn thức mà
không dùng phép nâng luỹ thừa. Vì hàm lượng giác là hàm tuần hoàn nên ta cần
lưu ý chọn miền xác đònh sao cho có lợi nhất.
( ) ( )
( ) ( )
(
)
+ − = −
+ −
= −
⎡ ⎤
+ − − − + = + −
⎢ ⎥
⎣ ⎦
+ − = + −
3
3 2 2
2
2
3 3

2 2
2 2
7, 1 1
1 2 1
8, 1 2
2
9, 1 1 1 1 2 1
10, 1 1 1 2 1
x x x a x
x x
x
x
x x
x x x
x
Tác giả: Huỳnh Thanh Ln Trang 5
Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
Tác giả: Huỳnh Thanh Ln Trang 6
( )( )
( )
+ − − + =
+ + − = ≥
+ − − =
+ − − = − + +
x x x
a x a x a a
ax ax x
a x a x a x x a x
11, 1 1 1 1 2
12, , 0

13, 1 1
14,2
( )( )
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ −
+ + − − + − = + =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
x x
x x x x m HD
2 2
3 6
15, 3 6 3 6 ; : 1
3 3

16, Tìm nghiệm của phương trình sau trên
[
]
1; 1−
:
(
2
)( )
4 2
8 1 2 8 8 1 1x x x x
−
− + =

17, Tìm nghiệm của phương trình sau trên

[
]
0;1
:
( )( )
2
2 2
1
32 1 2 1 1x x x
x
−
− = −

Dạng 2: Thay đổi số ẩn, thường là tăng thêm số ẩn để giảm nhẹ sự rắc rối,
đơn giản trong tính toán.
( )( )
( )
( ) ( )
2 2
3 32 2
3
2 2
3
3
4 4
3
3
3 3
3 3
1, 3 10 5

2, 2 2 4
3, 3 3 3 6 3
4, 1 8 1 8 3
5, 9 3 6
6, 5 1 2
7, 24 12 6
8, 7 1
34 1 1 34
9, 30
34 1
x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
x x x x
x x
+ + − =
+ + + − − =
− + + − + =
+ + − + + − =
− = − +
− + − =
+ + − =
+ − =
− + − + −
=

− − +
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
− − −
= −
− + −
⎡ ⎤
− = − − −
⎣ ⎦
+ − − − − − = −
+ − + − = − + + −
+ + − = + + −
− + − − = + + + − +
+ + − =
2
+ =
2
3 3
3 3
4
2 3
4
3 2
4 4
4
2 2 2 2
3 3
sin cos
7 5

10. 6
7 5
1
:6 7 5
2
11. 1 2 1 2 1 1
12. 1 1 1 1
13. 8 1 3 5 7 4 2 2
14. 2 1 3 2 2 2 3 2
15. 7 2 3
16.81 81 30
x x
x x
x
x x
HD x x x
x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x
x x x x x x x
tgx tgx
Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
Tác giả: Huỳnh Thanh Ln Trang 7
+ =
+ − + − =
⎛ ⎞⎛ ⎞
− −
+ =
⎜ ⎟⎜ ⎟
+ +

⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− + −
− +
⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
+ −
−
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
3 3
3
2 2
2 2
2 2
2
2
17. sin cos 4
18.sin 2 sin sin 2 sin 3
5 5
19. 6
1 1
2 2 4
20.20 5 48 0
1 1
1
x x
x x x x
x x

x x
x x
x x x
x x
x
=
Dạng 3: Chuyển theo phương trình ẩn phụ và xem ẩn ban đầu là tham số.
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )( )( )( )
( )
2
3 3
2 2
2
2 2
2 2
2
2
2
2 2
1. 3 log 2 4 2 log 2 16
2. 4 1 1 2 2 1
3.4 1 1 3 2 1 1
4.2 1 2 1 2 1
5.1 2 3 1 2 1
6.4 5 6 10 12 3
7. 12 1 36
8. sin sin sin cos 1

9.4 3 4 sin 2cos
2
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x x x
x x x x
x y
x x x y
+ + + + + =
− + = + +
+ − = + + + −
− + − = − −
+ − = − − +
+ + + + =
+ + + =
+ + + =
+
⎛ ⎞
− + +
⎜ ⎟
⎝ ⎠
( )
2
13 4cos
1 1 1
10.2 1 3 0

x
y
x
x x
x x x
⎡ ⎤
=
+ +
⎢ ⎥
⎣ ⎦
−
+ −− − − =
Dạng 4: Chuyển về hệ phương trình gồm ẩn phụ và ẩn chính.
Dạng này hay dùng đối với phương trình chứa hai hàm số ngược nhau.
( )
n
n
ax b px q x
α
β γ
+ = + + +
Loại 1:
( )
− + =
+ + =
= − −
+ + = − + + − < <
3
3
2

2
2
2 2
1, 3 3 2 2
2, 1 1
3, 5 5
1 1 1
4, 2 ;0
16 16 4
x x
x x
x x
x ax a a x a

⎧
= − + + −
⎪
⎪
= + + →
⎨
⎪
= − ± + −
⎪
⎩
2
2
2
1
1
16

: 2
16
1
16
y a a x
HD y x ax
x a a y

Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
Tác giả: Huỳnh Thanh Ln Trang 8
( )
+ + =
+ + =
= − −
+ + =
2
2
2
2
5,3 3
6, 5 5
7,
8,
x
x
x x
x
a b a bx
x x a a
9,

2
29 12 61
3
636
x
x x
+
+ − =
2 2
29 12 61
3 18 6 29 12 61
6 36
x
x x x x x
+
+ − = ⇔ + − = +

Vì =>
2
( ) 18 6 29f x x x= + −
(
)
'( ) 6 6 1
=
+ →f x x Đặt 12 61 6 1x y
+
= +
10,
2
2004 1 16032 2004x x x− − + =

(Thi chọn HSG Bắc Giang năm học 2003 – 2004).
Xét hàm số f(x) = x
2
– x – 2004 => f’(x) = 2x – 1. Đặt
2
1
,12160321
≥−=+ ttx

Ta có hệ PT sau:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−
=−
txx
xtt
4008
4008
2
2
11,
3
2
3
63 3 9
3

8 3 2 4
x
x x− = − +
x
3
2 3
3
3
63 3 9 2 9
3 24 63
8 3 2 4 3 2
x
x x x x x x− = − + ⇔ − = − +
2
3 x
Xét hàm số f(x) =
( ) ( )
3 2 2
2 9 9
3 ' 2 6 ''
3 2 2
x x x f x x x f x x− + ⇒ = − + ⇒ = −4 6

Đặt
3
24 63 2 3x y− = −
12,( Toán học và Tuổi trẻ Tháng 6 năm 2001) Giải PT sau:

2
3

4
2881
23
3
−+−=− xxxx
Xét hàm số f(x) =
2
3
4
2
23
−+− xxx
=> f’(x) = 3x
2
– 4x + 4/3
=> f’’(x) = 6x – 4. Đặt
23881
3
−=− yx

13) 22
2
+−= xx
14) 534
2
+=−− xxx
15)
3
3
2332 −=+ xx

16) 513413
2
−+−=+ xxx
17) 541
2
++=+ xxx
18)
xx
x
77
28
94
2
+=
+

19)
2
9 5 3 2 3
x
x x− = + +

Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
Các phương trình kể trên là các phương trình đối xứng, tuy nhiên hai ví dụ sau
cũng cần nghiên cứu.
( )
2
2
20,4 3 1 5 13
2 3 3 1

x x x
x x
+ + + =
⇔ − = − + + + 4
x
Đặt
( )
( )
2
2
2 3 2
3 1 2 3
2 3 3 1
x y x
x y
y x
⎧
1
−
= + +
⎪
− + = − →
⎨
− = +
⎪
⎩
( )
3 2
3
3

3
21,8 53 36 3 5 5
2 3 3 5 2
x x x x
x x x
+ = + − +
⇔ − = − + −
Đặt
( )
( )
3
3
3
2 3 2
3 5 2 3
2 3 3 5
x y x
x y
y x
⎧
− = + −
⎪
− = − →
⎨
− = −
⎪
⎩
5
Loại 2:
(

)
log
x
a
a b px q cx
α β
+
= + + d+

PP: Đặt:
(
)
log
a
px q y
α
β
+ = +

( )
( )
( )
2
3
7
3
2sin
4
22,7 2log 6 1 1
23,3 1 log 1 2

1 1
24, cos2 log 3cos2 1
2 2
x
x
x
x
x x
x x
= + +
= + + +
⎛ ⎞
+ = + −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
§. PHƯƠNG PHÁP “MÒ” NGHIỆM
2 2
3
1
1, 3 1 2
1
x x x x
x
+ + + + + = +
+

VT đồng biến, VP nghòch biến⇒ có không quá một nghiệm.
“Mò” là một nghiệm.
0x =
( )

1
2, 3 2 2
x
x−
− =
Lập bảng biến thiên⇒có không quá hai nghiệm.
“Mò” là nghiệm.
2, 4x x= =
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
(
)
(
)
( )( )
1
3,
x a x b x b x c x c x a
c c a c b a a b a c b b c b a x
− − − − − −
+ +
− − − − − −
=

Trong đó a, b, c là ba số khác nhau và khác không.
Pt bậc 3 nên có không quá 3 nghiệm.
“Mò” có ba nghiệm a, b, c.
( ) ( ) ( )

(
)
2 3 3
2 2 2 2
4, 1 1a a x x a a x x− − + = − + −
2

Xét TH đặc biệt
TQ: Pt bậc 6 nên có không quá 6 nghiệm.
Tác giả: Huỳnh Thanh Ln Trang 9
Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
NX: Nếu
0
x
là nghiệm thì
0
0
1
&1
x
x
−
cũng là nghiệm, do đó
0 0
0
1 1 1
,1 ,
1
1
1

x x
x
−
−
−
cũng
là nghiệm. Dễ thấy a là một nghiệm.
2
3 2
4
5,2 7 2 7 35
6, 3 8 40 8 4 4 0
x x x x x
x x x x
+ + + + + <
− − + − + =
Mò được nghiệm nên ta sẽ phân tích ra thừa số chung
( )
.
3x = 3x −
3 2
4
3 2
4
3 8 40
4 4
8
3 8 40
2 4 4
8

x x x
x
x x x
x
− − +
⇔ = +
− − +
⇔ − =
2+ −
5 3
2 2
3 5
4
3 2
7, 1 3 4 0
8, 15 3 2 8
9, 1 5 7 7 5 13 7 8
1 1 1
10,5 4 3 2 2 5 7 17
2 3 6
x x x x
x x x
x x x
x x x
x x x x
x x x
+ − − + =
+ = − + +
+ + − + − + − <
+ + + = + + − + − +

§. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
Phương pháp này hay dùng trong phương trình có nhiều ẩn, có nhiều loại hàm
số, biểu thức phức tạp.
2 2
2 2
2 2
tan tan
1, sin sin
1 tan tan
+
= +
+ +
x y
x
y
x y
Đặt
2 2
= tan , tan , 0= ⇒a x b y a b ≥
Trở thành:
1 1 1
+
= +
+ + + +
a b a b
a b a b
Ta có:
1 1
1 1 1 1
1 1

⎧
≤
⎪⎪⎪
+ + +
⇒ + ≤ +
⎨
+ + + + + +
⎪
≤
⎪
+ + +
⎩
a a
a b a
a b a
b b
a b a b a b
a b b
b

(
)
(
)
(
)
( )
2 2 2
2, 5 2 6 2 5 2 4+ + + + + = + +
x

yz y zx z xy x y z

Xét 2 vector
(
)
(
)
2 2 2
= 5; 6; 5 , 2 ; 2 ; 2= + +
G G
a b x yz y zx z + xy
Khi đó,
= . ; .=
G
G G
VT a b VP a b
G

36 4
3, 28 4 2 1
2 1
+ = − − −
− −
−
x
y
x y
Dùng CauChy.
Tác giả: Huỳnh Thanh Ln Trang 10
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT

Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 11
2
4
4 4
2
4
4; 1 1 1 3
*) 1 1
− + − + + =
− ≤
x x x
x
4 4
1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
2 2
*) 1 1 2
2 2 2 2
+
− + +
+ +
+ − + +
− + + ≤ + ≤ + =
x x
x x
x x
2
4
4 4 4 4

0
1 1 1 3 1 1 1
1 1 1
0
=
⎧
⎪
⇒ − + − + + = ⇔ − = + = ⇔ =
⎨
⎪
− = + =
⎩
x
x x x x x x
x x
(
)
( )
( )
4 4 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
5;tan tan 2cot .cot 3 sin
2tan .tan 2cot .cot 4tan .tan .cot .cot 4
3 1 4
tan tan

tan tan
tan tan
1
tan .tan cot .cot tan .tan
tan .tan
sin 1
sin 1
+ + = + +
≥ + ≥ =
≤ + =
⎧
=
=
⎧
=
⎪
⎪
⎪
→ = ⇔ = ⇔
⎨ ⎨
⎪ ⎪
+ =
⎩
⎪
+ =
⎩
x y x y x y
VT x y x y x y x y
VP
x y

x y
x y
x y x y x y
x y
x y
x y
( )
( )
( )
2 2
2
2
2
2
tan .tan 1
sin 1
4 2
tan 1
4 2
tan 1 , )
4 2
2
cos 0
4 2
2
(b»ng c¸ch rót theo
π π
π π
π π
π π

π
π
⎧
⎪
=
⎨
⎪
+ =
⎩
⎧
= +
⎪
⎧
⎧
=
⎪
= +
⎪⎪⎪
⎪
⎪
⇔ = ⇔ = + ⇔
⎨ ⎨ ⎨
⎪ ⎪ ⎪
= + −
+ =
⎩
⎪
⎪
⎩
+ = +

⎪
⎩
x y
x y
x k
x
x k
y y l l
y m k
x y
x y m
m k
( )( )
[
]
( )( )
( )
2
2
2
6; 4 6 2 , 4;6
: 1 6
: 6,
4 6
*) 4 6 5
2
*) 2 1 1 5
T×m m ®Ó
§kc
§k®

+ − ≤ − + ∀ ∈ −
= → ≥
≥
+ + −
+ − ≤ =
− + = − + − ≥
x x x x m x
x m
gs m
x x
x x
x x m x m
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 12
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2
2 2
2
2
2
2
2 2
7; 2 4 6 11
*) 2 4 1 1 2 4 2
*) 6 11 3 2 2

8; 1 3 2 3 2 2
*) 1 31 1 1 3
1 3
9;sin 2sin2 sin3 2 2
*)sin 2sin2 sin3 2cos2 .sin 2sin2

− + − = − +
− + − ≤ + − + − =
− + = − + ≥
− + − ≥ − + −
⎡ ⎤
− + − ≤ + − + −
⎣ ⎦
⇒ − = −
− − =
− − = − −
x x x x
x x x x
x x x
x x x x
x x x x
x x
x x x
x x x x x x
( ) ( )
( )
2 2
2
0
2

2cos2 2sin2 sin 1 2 2
2cos2 2sin2
sin 1
sin 1

⎡ ⎤
≤ − + − + ≤
⎣ ⎦
− −
⎧
=
⎪
→ →
⎨
⎪
=
⎩
x x x
x x
vn
x
x
2 8
0
8 4
4 2
3
10, 2
8
2

*) :
2
1
*)2
8
1
*)
4
x x
Nn x
x x
x x
= +
=±
+ ≥
+ ≥
( ) ( )
2
2
2
11, 4 5 2 2 3
*) 4 5 2 2 3 3 3 1 1 0 1
x x x
x x x x x x
+ + = +
+ + = + ≤ + + ⇔ + ≤ ⇔ = −
2
0
2 2
1 5

12,8
2
1
*) :
4
1 11 1 1 1 1 1 1 5
*)8 8
4 4 4 4
x
x
Nn x
x x
x x x x x
+ =
=
+ = + + + + ≥
2
( )( )
2 2
2 2 4 2
4
4
4
13, 4 9 4 9 6
*) 2 4 9 4 9 2 2 81 2 81 6
x x x x
VT x x x x x x
− + + + + =
≥ − + + + = + + ≥
=

Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 13
( )
( )
( )
2
3
4 2 2
3
2 2 2
3
14, 25 2 9 4
25 2 9 4 3
5 5 9
*)
3
x x x
x
x x x
x x x
VT VP
+ = +
⇔ + = +
+ + +
≤ =
( )
2 2
15, 9
1
1 1

*) 2 2 1 8 1
1 1
1 1
x x
x
x x
VT x x VP
x x
x x
+ = +
+
⎛ ⎞
= + + ≤ + + +
⎜ ⎟
+ +
+ +
⎝ ⎠
=
( )
( )( )
( )( )
( ) ( )
( )( ) ( )( )
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
1
16, 3 1 1 7 4
2 2

*) 1 1 3 1 1 2 5
2 2 5
1 1
*) 2 2 5 2 5
2
2 2
x x x x x x x
VT x x x x x x x x
x x x
VP x x x x x x
− + − − + = − +
≤ + + − + − + + = + −
⎡ ⎤
+ + −
⎣ ⎦
= ≥ + − =
+ −
( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
2 2
2
2
2 2
2 2
17, 2 5 6 10 5
*) 1 2 3 1 1 3 2 1 5
*)
x x x x
VT x x x x
a b a b

− + − − + =
⎡ ⎤
= − + − − + ≤ − − − + − =
⎣ ⎦
− ≤ −
G G G G
(
)
( )
( ) ( )
2 3
2 2
2
2
18, 3 1 5 2 40 34 10
*) 3 1 1 5 2
*) . .
x x x x x x
VT x x x VP
ab a b
− − + − = − + −
⎡ ⎤
⎡ ⎤
≤ − + − + − =
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎣ ⎦
≤
GG G G
( )

2 2
1 3 5 1 3 5
19,
80
*) 1 6
x x x y y y
x y x y
pt x y
⎧
+ + + + + = − + − + −
⎪
⎨
+ + + =
⎪
⎩
⇔ = −
4 2
2 2
697
20,
81
3 4 4
x y
x y xy x y
⎧
+ =
⎪
⎨
⎪
+ + − − + =

⎩
0
Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
*) Xét phương trình hai. Nếu xem là phương trình ẩn x thì ta được
7
0
3
y
≤
≤
, còn
ngược lại nếu xem là phương trình ẩn y thì ta lại được
4
0
3
x
≤
≤

*)
4 2
4 2
4 7
3 3
x y V
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ ≤ + =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
P

§. LƯNG LIÊN HP.
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
( )
2 2
2
2
2
2
2
2 2 2
2
2 2
2 2
2
2
2
2
2
2 2
1, 3 2 1 3
3

2 1
3
3
2 1 1 1
3
2 1 1 2 1 1 2 1
3
2 2 1 1
3
2, 3 1 3 3 2 3
3 2 3
3
3 1
3 2 3
3 2 2
3 1
1
3
3 2 3
: 3
3 1
α β α
+ + = + +
+ +
⇔ + =
+
+ +
⇔ + − = −
+
⇔ + − + + = + +

+
⇔ = + +
+
+ + = + +
+ +
⇔ + =
+
⎧
+ +
+ − = −
⎪
⎪
+
⇔
⎨
⎪
>−
⎪
⎩
+ +
+ − + = − +
+
x x x x
x x
x
x
x x
x
x
x

x x x
x
x
x x
x
x x x x
x x
x
x
x x
x x x
x
x
x x
P x x x
x
( )
β
1
( )
( )
( )
2 2
2
2 2
3; 3 2 3 4
4; 1 8 4
5; 2 1 3 3 2
4 20
6; 3

3 3
+ + + = +
+ + = + +
+ + = + +
− = − −
x x x x x
x x x x
x x x x
x x
+
x
( )
2 2
7; 3 1 2 3 3 2+ + + = +x x x x x +

Tác giả: Huỳnh Thanh Ln Trang 14
Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
Tác giả: Huỳnh Thanh Ln Trang 15
2
2
1
8; 2 3 1
2 3
1 7
9; 3 5
2 2
−
− + =
−
+ = − +

x
x x
x
x x
x
§. HOÁN ĐỔI VAI TRÒ CỦA ẨN SỐ VÀ THAM SỐ.
( ) ( )
( ) ( )
( )
4 3 2 2
3 2 2
1; 10 2 1 2 5 6 2 0
2; 4 3 4 2 4 1 0
x x a x a x a a
x a x a a x a
− − − + + + + =
− + + + − − =

§. THAM SỐ HÓA CHO PHƯƠNG TRÌNH
PP tham số hóa cho một phương trình là đưa vào phương trình một tham số
nào đó. Có hai dạng chính sau:
Dạng 1: Chọn một hằng số phù hợp và tham số hóa nó, sau đó hoán đổi
vai trò của ẩn số và tham số để giải.
3
3
3
3
68 15
1,
2 17 17 2

x
x x
x
x x
+ =
−
⇔ + =
Chọn
17
làm tham số. Khi đó ta xét phương trình sau:
2
2
3 2 2 6 2
4
3
2
2 2
2 2 0
2
m x
m m
x x m m x x
x
x x
m
x
⎡
= −
−
⎢

+ = ⇔ − − − = ⇔
+
⎢
=
⎢
⎣
Do đó phương trình đã cho tương đương với
2
4
2
17
2
17
x
x
x
⎡
− =
⎢
+
⎢
=
⎢
⎣
( )
4 3 2
2
2, 2 15 25 0
3, 11 11 11 11
x x x x

x x x
+ − − + =
+ + = ⇔ − = +
x
Dạng 2: Mượn tham số trong đònh lý Lagrange.
3 3
3 3
3 3
log 7 log
5
3
log log
3
log log
3 3
4, 2 log
7 2 5log
7 7log 2 2log
x
x x
x x
x x
x
x x
= +
⇔ = +
⇔ − = −
Gs số dương
α
nào đó là nghiệm của phương trình đã cho. Khi đó ta có

3 3
log log
3 3
7 7log 2 2log
α α
α
α
− = −
Xét hàm số
(
)
3
log
3
lo
g
f t t t
α
α
= −
. Vì
(
)
f t
có đạo hàm trên
[
nên theo đònh lý
Lagrange ta có:
]
2;7

( ) ( )
(
)
(
)
7 2
2;7 : '
7 2
f f
m f m
−
∃ ∈ =
−
Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
(
)
3
3
log 1
3 3
3
log 1
' 0 log . log 0
log 0
1
3
1 0
f m m
m
α

α
α α
α
α
α
−
−
⇒ = ⇔ −
=
⎡
=
⎡
⇔ ⇔
⎢
⎢
=
− =
⎣
⎣
=
Thử lại ta có tập nghiệm của pt đã cho là
{
}
1;3S =

(
)
( )
cot cot cot cot cot cot
cot

5, 7 11 12cot 7 11 3 11 7 cot 7 3.7cot 11 3.11cot
3 cot
1 1 5 4
6,
2 3 14 21
x x x x x x
x x
x x
x x x
f t t t
α
α
− = ⇔ − = − ⇔ + = +
→ = +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− = −
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
x
( )
( ) ( )
3 2
5 5 5
5 5 5
5 5 5
5 5 5
5
5
7 7
log log log 7

log log log
log log log log
log log log log
log
log
log 11 log
1 5 1
2 14 7
:
1 4 1
3 21 7
1
7
7,2 2
8 4 7
8 4 5 7
8 5 7 4
3
8, 3 2
x x
x x x
5
5
x
x x x
x
x x
x
NX
f t t t

x x
x
f t t t
x x
α
α
α
α
⎧
= +
⎪⎪⎪
⎨
⎪
= +
⎪
⎩
⎛ ⎞
→ = + −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
+ = +
⇔ + = +
⇔ + = +
⇔ − = −
→ = + −
+ =
x
§. PHÂN TÍCH HP LÝ.
2
2

2
1 2 1 7
1,
2 4
1
1 2 1 7 1 1 1 3 1 1 1
1 2 2
2 4 2 4 2 4
1
+ + =
−
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞
⇔ − = − − + = − − + = − − +
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
−
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
x x
x
x x x x x x
x
3
Ta ph©n tÝch sao ®Ĩ tam thøc bËc hai cã n
g
hiƯm ®Ỉc biƯt.

( )
1 1 1 1 1 3
2
2 4
1

2 2
2
2 4
1 1 1
− −
⎛ ⎞⎛ ⎞
⇔ = − − +
⎜ ⎟⎜ ⎟
−
⎝ ⎠⎝ ⎠
− −
⎛ ⎞
⇔ = −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
− + −
x
x x
x
x x
x x
x x
1 3
+
Tác giả: Huỳnh Thanh Ln Trang 16
Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
Tác giả: Huỳnh Thanh Ln Trang 17
( )
(
)

2 2
2
2 2
2
2 2 2
2
2 2
1 1
2, 2
4 2
1
1 3 1 1
1
4 2 2 2
1
3 3 3
2
1
2 1 2
4 1
4
+ +
+ = +
+
+
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
+ +
⇔ − + − = −

⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
+
+
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
− − −
⇔ + =
⎛ ⎞
+ +
1
+
+ +
+ +
⎜ ⎟
⎜ ⎟
+
⎝ ⎠
x x x
x
x
x x x
x
x
x x x
x x
x x

x
x
( ) ( )
( ) ( ) ( )
3
3 2
3
3
0
3; 3 3 1 1 0
1 3 1 3
1 3

− + + − + =
− + + +⎡ ⎤
= ⇒ = −
⎢ ⎥
− −
⎣ ⎦
x x a x a
a a a
cn x
1
3
(
)
(
)
( )
( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )
( )
2
3 2
3
2 3
3 2
2 3
3 3 2
3
3
4; 3 3 1 1 0
1 3 1 3 1 1 0
3 1 3 1 1
1 0
gÇn gièng cđa khai triĨn
− + + − + =
−
→ + − + + + − + =
⎡ ⎤
→ + − + + + − + =
⎣ ⎦
→ + − + =
⎡ ⎤
⎣ ⎦
x x a x a
a b
a x x a a x a
ax x x a a x a
ax x a

0
8 5 2
5; 1 0− + − + =x x x x

Không nhẩm nghiệm vì bậc quá cao và nghiệm hữu tỷ của pt chỉ có thể là 1
±
. Ta
sẽ phân tích thành tổng các bình phương.
2
8 5 4
2
2 2
2
8 5 2 4
*)
2
*) 1 1
2
1 1
2 2
⎛ ⎞
− → −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
− + → −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
→ − + − + = − + − +

⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
x
x x x
x
x
2
x
x x
x x x x x
6;cos 3 3sin cos7
cos cos7 3 3sin 0
2sin4 .sin3 3 3sin 0
− =
⇔ − − =
⇔ −
x x x
x x x
x x x =
( )
2
⇔ 2sin4 .sin 3 4sin 3 3sin 0− −x x x x =

Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
Tác giả: Huỳnh Thanh Ln Trang 18
( )
sin 0
2sin4 4sin4 .cos2 3 3 *
=
⎡

⇔
⎢
+ =
⎢
⎣
x
x x x
( )
2 2 2 2
2
2
2 2
2 2
3 3
* sin2 .cos2 sin4 .cos2
4
cos 2 sin 4 cos 2 1 4sin 2
1 1 4cos 2 1 4sin 2 25 3
.4cos 2 1 4sin 2 .
4 4 2 16 4
Ta cã:
⇔ + =
⎡ ⎤
+ = +
⎣ ⎦
⎛ ⎞
⎛ ⎞
+ +
⎡ ⎤
= + ≤ = < →

⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎣ ⎦
⎝ ⎠
⎝ ⎠
o
x x x x
x x x x
x x
3
x
x ptvn
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
cos cos
2
7; 1 cos 2 4 3.4
cos , 1 1
3.4
1 2 4 3.4 1 0
2 4
3.4 6.ln4.4
1 ' 1

2 4
2 4
' 0 0
1
0; 1;
2
§Ỉt
§Ỉt
cã kh«ng qu¸ hai nghiƯm nªn cã kh«ng qu¸ ba nghiƯm.
t lμ ba nghiƯm.
+ + =
= − ≤ ≤
→ + + = ⇔ − + =
+
= − + → = −
+
+
= =
= = =
x x
t
t t
t
t t
t
t
x
t x t
t t
f t t f t

f t f t
t t
1 1
1 2 2
8;
1
2 1 2 2
2
2
− −
−
+ ≤
− +
+
1−
x
x x
x
a

a) Giải khi
4a =
b) Tìm a để bpt có ít nhất hai nghiệm trong đó có một nghiệm nhỏ hơn
1, một nghiệm lớn hơn 1.
( )
( )( )
( )
( )( )
( ) ( )
( )( )

1 1 1 1 1
1
2
1 1
1 1
1 1
1 1 1 1
2
1 1
1 1
1 2 2 2 2 2
1
2 1 2 2 2 1 2 2
2 1
2
2
2 2
2 2
2 2
2 1 2 1 2 1 2 1
2 1 2 1
2 1 2 1
− − − − −
−
−
− −
− −
− −
− − − −
− −

− −
+ ≤ ⇔ + ≤
− + + +
−
+
+
+
⇔ ≤ ⇔ ≤
+
+ − + −
⎡ ⎤
+ + −
⎣ ⎦
⇔ ≤
+ −
1−
x
x x x x
x
x
x x
x x
x x
x x x x
x x
x x
a a
a
a
a

x
(
)
(
)
( )( )
2
1 1
1 1
2 1 2 1
) 4
2 1 2 1

− −
− −
⎡ ⎤
+ + −
⎣ ⎦
= → ≤
+ −
x x
x x
a a 4
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 19
(
)
1
: 2 1 0 1 0 lu«n ®ón
g

.
x−
− < ⇔ < → < →TH x VT

( )
( )
2
1
: 2 1 0 1 4 4, 0
−
⎡
⎤
+
− > ⇔ > → ≥ = ≥ ∀ >
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
x
a b
TH x VT VP ab
ab
) 1§kc: ®Ó cã mét nghiÖm
§k®: Khi th× bpt tháa yc bt.
> → ≥b x 4a

log log 3
2 2

3
2 2 3 3
2
2
2 2
2 2
2
2 3
3 3
2
2
2
9;log log log log
1
2 3 log
log log
2
log log
log log
2
2 3
2
log 3
3 2
2
§k
§Æt
=
>
⎧

⎧
=
=
=
⎧
⎪ ⎪
= → → →
⎨ ⎨ ⎨
=
=
=
⎩
⎪
⎪
⎩
⎩
⎧
⎛ ⎞
=
⎪
⎜ ⎟
→ → =
⎝ ⎠
⎨
⎪
=
⎩
t
t
t t

t
t t
t
x x
x
x t
x
t x
x t
x
x
x
3
( )
( )
2 3 5 2 3 5
5 2 3 2 3 5
5
2
2 3 2 3 2 3
2 3
3
2
10;log log log log .log .log
0
log log 5 log 5 1 log .log .log
log 0
log 5 log 5 1 log .log log 3 log
1
log 5 log 5 1

log
log 3
§k:
+ + =
>
→ + + =
=
⎡
→
⎢
+ + = =
⎢
⎣
=
⎡
⎢
→
+ +
⎢
=±
⎢
⎣
x x x x x x
x
x x
x
x x
x
x x
x

x
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
2 3 4 4 3 2
2
4 3 4 4 3 2
2
3 4 3 2
2
3 4 3 4 3 3 4
2
3 4 3 4 3
3
3 4 3 4
11;log log log log log log
4
log log log log log log
log log log log
log log log 2log log 2 log log
log log log log log 2 0
1 1 4log 2
log log , 4 log log
2
§k:
l−u ý ®k
=

>
→ =
⇔ =
⇔ = = +
⇔ − − =
+ +
⇔ = > →
x x
x
x x
x x
x x x
x x
x x
( )
0>x
Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
Tác giả: Huỳnh Thanh Ln Trang 20
( )
( )
1
1
log
log 1
log log
12; 1 2
1.§k:
L−u ý:
+
+

−
+ − ≤
>
=
x
x
b b
x
x
c a
x x
x
a c
( )
( )
( )
2
log 4
2
2
2 2 2
13; 8
0
log 4 .log log 8
§k:
LÊy logrit c¬ sè 2 hai vÕ
≥
>
→ ≥
x

x x
x
x
x x
(
)
(
)
(
)
( )
( ) ( )
2 3 4 5
2 2 4
3 3 5
2 4
3 5
14;log log 1 log 2 log 3
0
2 2
1 log log log
2 4 2 4 4
*) 2
1 3 1 3
1 log log log
3 5 3 5 5
log log 2
log 1 log 3
*) 2
*) 2

§k:

lμ n
+ + = + + +
>
+ +
⎧ ⎧
> > > >
⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪
> → →
⎨ ⎨
+ + + + +
⎪ ⎪
> > > >
⎪ ⎪
⎩ ⎩
> +⎧
⎪
→
⎨
+ > +
⎪
⎩
<
=
o
x x x x
x
x x x x x
x

x x x x x
x x
x x
x tt
x
2
3
+
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2
2
2
2 2
2 2
2 2
2 1
15;2 6 2 log
1
1
1
2
2 6 2 log 2 1 log 1
2 1 2 1 1 log 2 1 log 1
§k:
+
− + =

−
− < ≠
→ − + = + − −
⇔ − − + + = + − −
x
x x
x
x
x x x x
x x x x
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
2 1 2 1 log 2 1 log 2 1
2 1 log 2 1 2 1 log 2 1
2 1 2 1 , log v× hμm sè t ®ång biÕn.
⇔ − − + = + − −
⎡ ⎤
⇔ − + − = + + +
⎡
⎤
⎣
⎦
⎣ ⎦

⇔ − = + = +
x x x x
x x x x
x x f t t
§. MỘT SỐ BÀI VỀ HỆ ĐỐI XỨNG, ĐẲNG CẤP.
2
1
1;
2 2 2 1
xem z lμ tham sè.
+ + =
⎧
⎨
+ − + =
⎩
x y z
x y xy z
Trng THPT chuyờn Hựng Vng Gia Lai Bi ging chuyờn PT-BPT-HPT-HBPT
Tỏc gi: Hunh Thanh Luõn Trang 21
( )
3
1
2 2
2 2 2 2
2 2
3
3 3 3 3
2 2
0
3

2;
4
1
8
3
4
3 1
2
4; 5;
3
3 1
4
2
5
6; 7;
2 5 2
2
, đây l hệ đối xứng ba ẩn cơ bản
3;


+ + =



+ + =



=

+ + =

+
= +


= +


+ + =

= +



+
= +
+ + =




+ =



=

x y z
xy yz zx
xyz
x z a
x x y
y y x
x y z a
x x y
y y x
x y z a
x xy y
x x y y
y x
x y xy
( )
2 2
2 3 1
+


+ =


x y
x y xy
Đ. PHệễNG PHAP THAM BIEN
( )
( )

( )
( )
( )
2
2 2 2 2
0
2 2
2 2
1 ,
1 1 , 0
1;
1 1
1 1
2
0 1
3
1 4 3 1 1 4 3 1
2
2 2
, ;0
3
1 4 3 1 1 4 3 1
2 2
Đkcn
Hệ có nghiệm:
+ =

+ + =

+ + = + + =
=



+

+

= =

+


+
= =


x y a a
x y x y a a
x y xy x y xy
xy a
a
a a a a
x x
a
a a a a
y y

1
( )
( )
2 2 2 2
2 2 2 2
2
2 2
2
1 1
2; , 0, 0
4 4
4 4
2 2
3
, 0, 0 , 0, 0
2 2
2 2 2
2
3
3
0, 0
1 0
2 2 0
2
2 0
2 2
0
3
Đkcn

+ + + = + +



+ + = +


+


+ =
+ = +




+ +
+
=

=

+



+ +




o
x y xy x y xy a
a b
x y xy x y xy b
a b
x y
x y a b
a b a b
a b
a b
x y
xy
a b
b
a
a b
b
a b

Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT

3; Tìm gtnn, gtln của
(
)
2 2
,
=
+ −P x y x y xy
, biết x, y thỏa:
2 2
2
3
+ ≤
⎧
⎨
+ + =
⎩
x y
x y xy
Ta viết lại điều kiện:
( )
2
2 2
2
2
, 0
3
2 3
+ = −
⎧
+ = −

⎧
⎪
≥ ⇔
⎨ ⎨
+ + =
=
− −
⎪
⎩
⎩
x y a
x y a
a
x y xy
xy a
(
)
( ) ( )
( )
( )
2
, 0 4
, 9 2 2
0 3
, 9, 2
3
3
2 1
min , 1, 0
1 1

§k
Khi ®ã:
∃ → ≤ ≤
= − −
⎧
+ = =
⎧
⎪
= = → →
⎨ ⎨
=−
=
−
⎩
⎪
⎩
+ = =
⎧ ⎧
= = → →
⎨ ⎨
= =
⎩ ⎩
x y a
P x y a
x y x
maxP x y khi a
xy
y
x y x
P x y khi a

xy y
§. HỆ BẬC HAI TỔNG QUÁT.
Sau đây ta sẽ trình bày một pp tổng quát để giải hệ bậc hai tổng quát.
Ta dựa vào nhận xét rằng: Nghiệm của hệ bất kỳ được chia làm hai nhóm:
(
)
0; y
và
(
)
; , ≠x tx x 0
1
.
( )
2 2
2 2
2 2
1;
2 1
x y x y
x y x y
⎧
+ + − =
⎪
⎨
+ + + =
⎪
⎩
*) Ta tìm nghiệm dạng:
( )

.
0; y
Ta có: Tức hệ không có nghiệm dạng
2
2
2 2
2 11
o
y y
vn
y y
⎧
− =
⎪
→
⎨
+ =
⎪
⎩
(
)
0; y
.
*) Ta tìm nghiệm dạng
( )
; , 0x tx x
≠
:
Ta có,
( )

( )
( )
( )
2 2
2 2
1 1 2
1 2 1
t x t x
t x t x
⎧
+ + − =
⎪
⎨
+ + + =
⎪
⎩
2
11
Ta xem là hệ tuyến tính theo hai ẩn
2
x
và
x
.
( )
( )
( )
2
2
2

1 4
9 1
26 7
x
x
D t t
D t
D t
= + +
= +
= −
1
1
t = −
hệ vô nghiệm, điều đó có nghóa là hệ đã cho không có nghiệm dạng
*)
4
1
;
4
x
x
⎛ ⎞
−
⎜ ⎟
⎝ ⎠

( )
( )
( )

( )
2
2
2 2
2
1 9 26 7 26 7 9
*) ;
44
4 4 1 4 1
1 4 1 1 4 1
23
t
t t
t x x
t t
t
t t t t
=
⎡
− −
⎛ ⎞
⎢
≠− → = = ⇒ = ⇔
⎜ ⎟
⎢
+ +
=−
+ + + +
⎝ ⎠
⎣

Tác giả: Huỳnh Thanh Ln Trang 22
Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
Đến đây ta hiểu rằng hệ đã cho chỉ có nghiệm dạng
( )
44
;2 ; 0
23
vμ víi ab mμ th«i.a a b b
⎛ ⎞
− ≠
⎜ ⎟
⎝ ⎠
23
9
1
44
17
2 ;
4.2 1
44
23
2 2
17
x
x
t t
y x
y
−
⎧

=
⎧
⎪
= =
⎪ ⎪
= → = − →
+
⎨ ⎨
⎪ ⎪
= =
=
⎩
⎪
⎩
2 2
2 2
4 2 3
2;
2 1
x y x y
x xy y x y
⎧
+ − + = −
⎪
⎨
− + + − =
⎪
⎩
2
3; Chứng minh rằng

(
)
2 1 3
1;
3
m
⎡ ⎤
+
⎢
∀ ∈ −
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎥
thì hệ sau luôn có nghiệm:
2 2
2
1x y xy
x
xy x y m
⎧
+ + ≤
⎪
⎨
+
+ + =
⎪
⎩
*) Ta tìm xem khi nào thì hệ có nghiệm dạng:
(
)

0; y
.
Ta có: . Tức với
2
2
y 1
1 1m
y m
⎧
≤
⇒ ≤ ⇔ − ≤ ≤
⎨
=
⎩
1m
11 m
−
≤ ≤
thì hệ có nghiệm (cụ thể là
).
( )
0;m
*) Ta tìm xem khi nào hệ có nghiệm dạng:
(
)
;
x
x
.
Ta có:

( )
2
2
2
1 1
3 1
3
2 2
2 2 *
x
x
x x m
x x m
⎧
− ≤ ≤
⎧
≤
⎪ ⎪
⇔
⎨ ⎨
+ =
⎪
⎩
⎪
+ =
⎩
3
Ta cần tìm m để pt (*) có nghiệm trong đoạn
1 1
;

3 3
⎡ ⎤
−
⎢ ⎥
⎣ ⎦
.
Dùng khảo sát hàm số ta sẽ có:
(
)
2 1 3
1
2 3
m
+
− ≤ ≤
. Tức với
(
)
2 1 3
1
2 3
m
+
− ≤ ≤
thì
hệ đã cho có nghiệm dạng
( )
;
x
x

.
Từ các kết quả trên ta có đpcm.
4; Đònh m để hệ có nghiệm.
2 2
2
2
2 2
2
x
xy y x m
x xy x m
⎧
−
+ − ≤
⎪
⎨
−
− ≤ −
⎪
⎩
Ta có:
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 3

2 2 1 3
⎧
⎧
− + − ≤ − + − ≤
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⇔ − − + ≤ ⇔ − − + ≤
⎨ ⎨
⎪ ⎪
− + − + − − + ≤
− + − ≤
⎪
⎪
⎩
⎩
x xy y x m x xy y x m
x xy x m x xy x m
x xy y x x xy x m
x
y x m
Nếu hệ vô nghiệm.
0m <
Nếu , ta thấy (3) luôn đúng với mọi tại
0m ≥ 0m ≥
1
1;
2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠

.
Thử lại cụ thể ta thấy
1
1;
2
⎛
⎜
⎝ ⎠
⎞
⎟
là một nghiệm của hệ đã cho khi .
0m ≥
Tác giả: Huỳnh Thanh Ln Trang 23
Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
Vậy hệ đã cho có nghiệm khi .
0m ≥
§. HỆ CHỨA CĂN THỨC.
( )
(
)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
5 5
5
1;
5 5 8
5 5
5 5 13
5 5

3
5 5
x x y y
x y
x y
x x y y
x x y y
x x y y
⎧
+ + + + + =
⎧
+ =
⎪ ⎪
⇔
⎨ ⎨
+ + + =
+ − + + − =
⎪ ⎪
⎩
⎩
⎧
+ + + + + =
⎪
⎪
⇔
⎨
+ =
⎪
+ + + +
⎪

⎩
13
3
( ) ( )
( )
1 2
2;
2 1
1 , 2
1 2
1 1 2 2 0
§K:
Nh©n l−ỵng liªn hỵp ®Ĩ rót ®¹i l−ỵng chung lμ
x y a
x y a
x y
x y a
x
y
x y y x
⎧
+ + − =
⎪
⎨
− + + =
⎪
⎩
− ≤ ≤
⎧
+ + − =

⎪
−
⎨
+ − + + − − − =
⎪
⎩
2 2
3;
2 1 3 1 7
⎧
+ + + + =
⎪
⎨
+ + + =
⎪
⎩
x y x y
x y
7

1
2
1
3
0
2 2
§K:
⎧
≥−
⎪

⎪
⎪
≥−
⎨
⎪
+ ≥
⎪
⎪
+ + ≥
⎩
x
y
x y
x y
0
( ) ( ) ( )
(
)
: 2 2 2 1 3+ + + + = + + +NX x y x y x y 1

2 1 3 1 7
2 1 3 1 2 2
2 1. 3 1 . 2 2
2 1 3 1 7
2 1
3 1 2 2
2 1 3 1 7
2 1 2 2
3 1
B×nh ph−¬ng hai vÕ:

x y
x y x y x y
x y x y x y
x y
x x y
y x y
x y
x x y
y x y
⎧
+ + + =
⎪
⎪
⇔ + + + = + + + +
⎨
⎪
+ + = + + +
⎪
⎩
⎡
⎧
+ + + =
⎢
⎪
⎪
⎢
+ = +
⎨
⎢
⎪

+ = + +
⎢
⎪
⎩
⎢
⇔
⎢
⎧
+ + + =
⎢
⎪
⎪
⎢
+ = + +
⎨
⎢
⎪
+ = +
⎢
⎪
⎩
⎣
Tác giả: Huỳnh Thanh Ln Trang 24
Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
Tác giả: Huỳnh Thanh Ln Trang 25
( ) ( )
2
4;
1
1

0, 0.
*) 1,
*) 1,
*) 1, 0; ,0 1
X¸c ®Þnh ®Ĩ hƯ cã nghiƯm duy nhÊt.
§K:
hƯ v« nghiƯm.
hƯ cã nghiƯm duy nhÊt.
hƯ cã v« sè nghiƯm d¹ng
a
x y a
y x a
x y
a
a
a t
⎧
+ + ≤
⎪
⎨
+ + ≤
⎪
⎩
≥ ≥
<
=
> ≤
t a
≤ −
( )

4
4
4 4
0 1 0 1
1
2 1
1 1
2
5;
2 2
1
2 1
2
1 1
1 1
2 2
2
2 1
x x
x
y
x y
x x
y y
x
x y
y
x x
x x
x

⎧
⎧
⎪
⎪
⎪
≤ ≤ ≤ ≤
⎪
⎪
⎧
−
=
⎪
⎪
⎪
⎧
+ =
− −
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⇔ ⇔ = ⇔ =
⎨ ⎨ ⎨ ⎨
−
+ =
⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎩
=
⎪ ⎪ ⎪
⎩
⎛ ⎞ ⎛
− −

− −
⎪ ⎪
=
⎜ ⎟ ⎜
=
⎜ ⎟
⎪ ⎪
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎩
+
⎪
⎝ ⎠
⎩
⎞
⎟
0 1 0 1
1 1
1
6;
1 1
2 1
2 1 2 1
0 1 0 1
1 1
1 1 1
1 1; 0
2 1 2 1
y y
x x

xy y y
x
y y y xy y
xy y y
xy y y xy y y
y y
x x
y y x y
x x
y y
xy y y xy y y
≤ ≤ < ≤
⎧ ⎧
⎪ ⎪
≥ ≥
⎧
+ − ≤
⎪ ⎪ ⎪
⇔ ⇔
⎨ ⎨ ⎨
+ − ≤ + − ≤
− − = −
⎪ ⎪ ⎪
⎩
⎪ ⎪
− − = − − − = −
⎩ ⎩
< ≤ < ≤
⎧ ⎧
⎪ ⎪

≥ ≥
⎪ ⎪
⎪ ⎪
− −⇔ ⇔ ⇔ = =
⎨ ⎨
+ ≤ ==
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
− − = − − − = −
⎩ ⎩
y
( )
( )
2
4 3 2 2 4 3 2 2
4 3 2
2
2 2
1
7; 2 1 1 2 1 1
2 1
1 1, gi¶i pt bËc 3 tỉng qu¸t.
x y y
y y y y y y y y y y
x y y y
y y y y
⎧
≤ + +
⎪

⇒ + + + ≤ + + ⇔ + + + ≤ + +
⎨
− − − =
⎪
⎩
⇔ + + ≤ + +
§. HỆ LẶP BA ẨN
(Hoán vò vòng quanh)
1. Đònh nghóa: Hệ lặp ba ẩn là hệ có dạng
( )
( )
( )
x
f y
y f z
z
f x
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪
=
⎩
( )
∗
.Trong đó f là hàm số.
2. Phương pháp giải: Xét hệ lặp ba ẩn
( )

∗
, với f là hàm số có tập xác đònh là D,
tập giá trò là T, T
D
⊆
, hàm số f đồng biến trên T.