nghiên cứu nâng cao chất lượng bề mặt chi tiết gia công bằng tối ưu hóa một số yếu tố kỹ thuật của quá trình phay tĩnh trên máy công cụ cnc

L

uận văn tốt nghiệp thạc sĩ kỹ thuật
1
Chuyên ngành: Công nghệ CT

M
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên h tt

p : //

ww w .

l

r c

- t

nu .

e du . v

n
ĐAI HOC THAI
NGUYÊN














 
  !

"





# $  %
&'(

)''*()''+
!
)''+
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên h tt

p : //

ww w .

l

r c

- t

nu .

e du . v

n
L

uận văn tốt nghiệp thạc sĩ kỹ thuật
2
Chuyên ngành: Công nghệ CT

M
Lời cảm ơn
Với sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc, Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân
thành tới TS. Hoàng Vị- người Thầy đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình
nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Tiếp theo Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Kỹ
thuật Công nghiệp, Khoa đào tạo sau đại học, Khoa Cơ khí và bộ môn Chế tạo
Máy đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và
thực hiện bản luận văn này.
Sau hết Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã động viên giúp
đỡ tôi trong suốt thời gian qua.
Xin trân trọng cảm ơn!
Tác
giả

Vũ Như
Nguyệt
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên h tt

p : //

ww w .

l

r c

- t

nu .

e du . v

n
L

uận văn tốt nghiệp thạc sĩ kỹ thuật
3
Chuyên ngành: Công nghệ CT

M
,
Tôi xin cam đoan toàn bộ luận văn này do chính bản thân tôi thực hiện
d
ƣ

ới
sự
hƣớng
dẫn khoa học của $ /01.
Nếu sai tôi xin chịu mọi hình thức kỷ luật theo quy định.
Ngƣời
thực
hiện
2
34
05678
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên h tt

p : //

ww w .

l

r c

- t

nu .

e du . v

n
L

uận văn tốt nghiệp thạc sĩ kỹ thuật
4
Chuyên ngành: Công nghệ CT

M
9
9
Nội dung Trang
Lời cam đoan
2
Mục lục
3
Danh mục các bảng số liệu
6
Danh mục kí hiệu và chữ viết tắt
6
Danh mục các hình vẽ, đồ thị, ảnh chụp
7
Phần mở đầu
10
1. Tính cấp thiết của đề tài
10
2. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
10
3.
Phƣơng
pháp nghiên cứu
11
4. Nội dung nghiên cứu
11

CHƢƠNG
1: NGHIÊN CỨU TỔNG QUAN VỀ PHAY TINH CÁC BỀ
12
MẶT HÌNH HỌC PHỨC TẠP
1.1.
Giới thiệu quá trình gia công tinh các bề mặt phức tạp
12
1.1.1. Các thông số kỹ thuật cần thiết
12
1.1.1.1. Các thông số hình học của bề mặt chi tiết gia công 14
1.1.1.2. Các thông số hình học của dao phay đầu cầu 23
1.1.2. Đặc điểm quá trình phay tinh các bề mặt phức tạp 26
1.1.2.1. Vận tốc cắt khi phay 26
1.1.2.2. Lực cắt khi phay 28
1.2. Một số đặc điểm bề mặt chi tiết sau khi gia công 29
1.3. Kết luận 33
CHƢƠNG
2: CƠ CHẾ TẠO HÌNH BỀ MẶT CHI TIẾT GIA CÔNG 36
2.1. Mô hình hình học bề mặt chi tiết gia công
36
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên h tt

p : //

ww w .

l

r c

- t

nu .

e du . v

n
L

uận văn tốt nghiệp thạc sĩ kỹ thuật
5
Chuyên ngành: Công nghệ CT

M
2.2. Mối quan hệ hình học giữa profin của dao và phôi 37
2.3. Mô hình lực cắt khi phay
45
2.4. Kết luận 53
CHƢƠNG
3: CÁC YẾU TỐ ẢNH
HƢỞNG
ĐẾN CHẤT
LƢỢNG
BỀ
55
MẶT CHI TIẾT KHI PHAY TINH
3.1. Các yếu tố ảnh
hƣởng
đến chất
lƣợng

bề mặt chi tiết gia công khi
phay tinh bằng dao phay đầu cầu
55
3.1.1. Ảnh
hƣởng
của điều kiện cắt 55
3.1.2. Ảnh
hƣởng
của kiểu thoát dao 56
3.1.3. Ảnh
hƣởng
của tì dao lên bề mặt gia công 57
3.1.4. Ảnh
hƣởng
của góc nghiêng giữa dao và phôi 58
3.2. Giải pháp tối
ƣu
để nâng cao chất
lƣợng
bề mặt khi phay tinh bằng
59
dao phay đầu cầu
3.2.1. Chọn thông số gá đặt tối
ƣu
để tránh cắt ở đỉnh dao
59
3.2.2. Chọn kích
thƣớc
dụng cụ tối
ƣu

để tạo hình bề mặt của chi tiết
gia công 64
3.3. Kết luận 66
CHƢƠNG
4: THỰC NGHIỆM PHAY TINH BỀ MẶT THEO CÁC KẾT
67
QUẢ NGHIÊN CỨU
4.1. Điều kiện thực nghiệm 67
4.1.1. Máy công cụ CNC 67
4.1.2. Dụng cụ cắt 68
4.2. Tiến hành thí nghiệm 73
4.3. Phân tích các yếu tố kĩ thuật 77
4.3.1. Phân tích bề mặt chi tiết gia công
77
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên h tt

p : //

ww w .

l

r c

- t

nu .

e du . v

n
L

uận văn tốt nghiệp thạc sĩ kỹ thuật
6
Chuyên ngành: Công nghệ CT

M
4.3.2. Chế độ cắt
79
4.3.3. Dụng cụ đo kiểm
79
4.4. Kết quả thí nghiệm 79
4.5. Một số hình ảnh thí nghiệm 82
4.6. Đánh giá kết quả 84
CHƢƠNG
5: KẾT LUẬN 85
5.1. Kết quả nghiên cứu 85
5.2.
Hƣớng
phát triển của đề tài 85
TÀI LIỆU THAM KHẢO 86
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên h tt

p : //

ww w .

l

r c

- t

nu .

e du . v

n
L

uận văn tốt nghiệp thạc sĩ kỹ thuật
7
Chuyên ngành: Công nghệ CT

M
#9:;<
=
TT Bảng Nội dung
Trang
1. Bảng 1.1
Phƣơng
trình pháp tuyến của các mặt cong
15
2. Bảng 4.1 Các thông số kĩ thuật khi phay tinh
74
3. Bảng 4.2 Thông số kỹ thuật cơ bản của máy phay VMC- 85S
74
4. Bảng 4.3 Thành phần các nguyên tố hoá học thép CR12MOV
76

5. Bảng 4.4 Chế độ cắt khi phay tinh chi tiết
79
6. Bảng 4.5 Bảng tổng hợp kết quả thí nghiệm
80
7. Bảng 4.6 Bảng tổng hợp kết quả thí nghiệm khi phay phôi có 81
bề mặt phẳng
#9>=?@AB
CNC Computer Nummerical Control
CAD Computer Aided Design
CAM Computer Aided Manufacturing
NURBS Non-uniform ration B-splines
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên h tt

p : //

ww w .

l

r c

- t

nu .

e du . v

n
L

uận văn tốt nghiệp thạc sĩ kỹ thuật
8
Chuyên ngành: Công nghệ CT

M
#9:CD(E%(;
9
TT Hình Nội dung
Trang
1. Hình 1.1 Hệ tọa độ của máy phay CNC 13
2. Hình 1.2 Phay mặt cong bằng dao phay cầu 13
3. Hình 1.3 Tọa độ cong trên mặt cong 14
4. Hình 1.4 Góc giữa hai
đƣờng
cong 17
5. Hình 1.5 Độ cong của mặt cong 18
6. Hình 1.6 Hình minh hoạ tính bán kính cong 18
7. Hình 1.7 Độ cong trung bình của mặt cong 20
8. Hình 1.8 Các điểm đặc biệt trên bề mặt chi tiết 21
9. Hình 1.9 Hình học của dao phay đầu cầu 24
10. Hình 1.10 Thông số hình học của
lƣỡi
cắt 26
11. Hình 1.11 Thông số tính toán vận tốc cắt của dao phay cầu 27
12. Hình 1.12 Các thành phần của lực cắt 28
13. Hình 1.13
Lƣỡi
cắt thành phần 29
14. Hình 1.14 Khi bán kính dao lớn hơn bán kính cong chi tiết 30
15. Hình 1.15 Tiếp xúc ngoài 31

16. Hình 1.16 Tiếp xúc trong 31
17. Hình 1.17 Điểm lùi của
đƣờng
cong lồi 31
18. Hình 1.18 Điểm lùi của
đƣờng
cong lõm 31
19. Hình 1.19 Thay đổi kích
thƣớc
và thông số kết cấu của dụng cụ 31
20. Hình 1.20 Độ nhấp nhô bề mặt chi tiết 31
21. Hình 1.21 Sự hình thành bề mặt khi gia công bằng dao phay cầu 32
22. Hình 2.1 Các thông số hình học của quá trình phay tinh 38
23. Hình 2.2 Mô hình hình học phần cầu của dao 39
24. Hình 2.3 Mối quan hệ giữa các thông số hình học của dao 41
25. Hình 2.4 Đồ thị của hàm
F
1
42
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên h tt

p : //

ww w .

l

r c

- t

nu .

e du . v

n
L

uận văn tốt nghiệp thạc sĩ kỹ thuật
9
Chuyên ngành: Công nghệ CT

M
26. Hình 2.5 Mô hình bề mặt chi tiết gia công tại một vị trí cắt 43
27. Hình 2.6 Các thành phần của vận tốc cắt tại một điểm cắt 44
28. Hình 2.7 Kiểu chạy dao theo biên dạng chi tiết 45
29. Hình 2.8 Kiểu chạy dao theo
phƣơng
ngang 45
30. Hình 2.9 46
31. Hình 2.10 46
32. Hình 2.11 Vị trí
tƣơng
quan của điểm P tại Z = Z
P
47
33. Hình 2.12 Quá trình tạo phoi 50
34. Hình 3.1
Phƣơng
thức chuyển dao khi phay mặt phẳng bằng dao 60

phay đầu
cầu
35. Hình 3.2 Tọa độ một điểm M
0
trên bề mặt chi tiết khi gá nghiêng 63
36. Hình 4.1 Các điểm gốc và điểm chuẩn của máy phay CNC 67
37. Hình 4.2 Hình dạng - kích
thƣớc
chế tạo của dao phay cầu kiểu 1
69
ký kiệu BZD25G hãng Missubishi - Nhật Bản [7]
38. Hình 4.3 Hình dạng - kích
thƣớc
chế tạo của dao chỉ có
lƣỡi
cắt
70
trên phần cầu ký hiệu BNBP 2 R của hãng
SUMITOMO - Nhật Bản [7]
39. Hình 4.4 Hình dạng - kích
thƣớc
chế tạo của thân dao ký hiệu
71
SRFHSMW, SRFHSLW và mảnh ghép ký hiệu SRFT
vật liệu VP10MF, VP15TF của dao một mảnh cắt hãng
Mitssubishi - Nhật Bản [7]
40. Hình 4.5 Hình dạng - kích
thƣớc
chế tạo của thân dao ký hiệu
72

TRM4 và mảnh ghép ký hiệu UPE45,UPE50, UPM40,
UPM50, UPM50P0, UPM40P1, UPM50P1vật liệu
VP15TF, GP20M, AP20M của dao ghép nhiều mảnh
cắt hãng Mitssubishi - Nhật Bản
41. Hình 4.6 Điểm chuẩn của dao phay đầu cầu 73
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên h tt

p : //

ww w .

l

r c

- t

nu .

e du . v

n
L

uận văn tốt nghiệp thạc sĩ kỹ thuật
10
Chuyên ngành: Công nghệ CT

M
42. Hình 4.7 Thông số hình học của chi tiết

76
43. Hình 4.8
Hình ảnh gia công khi phôi gá nghiêng 20
0
82
44. Hình 4.9
Phay tinh chi tiết khi gá nghiêng phôi 45,5
0
83
45. Hình 4.10
Bề mặt chi tiết khi gá nghiêng phôi 45,5
0
83
46. Hình 4.11 Đo độ nhám bề mặt chi tiết
84
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên h tt

p : //

ww w .

l

r c

- t

nu .

e du . v

n
L

uận văn tốt nghiệp thạc sĩ kỹ thuật
11
Chuyên ngành: Công nghệ CT

M
&$F/3GHI83JK8GLMNO8.J
PQP
Các sản phẩm trong ngành cơ khí có rất nhiều kiểu biên dạng và hình dáng
hình học khác nhau nhƣ: mặt phẳng, mặt tròn xoay, mặt nón, bề mặt có hình dáng
hình học phức tạp. Để chất
lƣợng
bề mặt chi tiết đạt yêu cầu phụ thuộc vào nhiều
yếu tố kỹ thuật của quá trình gia công chi tiết đó. Khi gia công mặt phẳng, mặt tròn
xoay có thể đạt độ bóng, độ chính xác yêu cầu bằng gia công tinh (tiện, phay, mài,
đánh bóng…), còn các bề mặt có hình dáng hình học phức tạp ứng dụng nhiều trong
thực tế nhƣ khuôn mẫu, hay các chi tiết phức tạp khó mài tinh thƣờng sử dụng
nguyên công phay bằng dao phay đầu cầu trên máy công cụ CNC. Với nguyên công
phay tinh chi tiết gia công đạt
đƣợc
độ bóng, độ chính xác hay không phụ thuộc vào
nhiều yếu tố kĩ thuật
nhƣ:
loại dụng cụ cắt, cách gá dao, chế độ cắt, vật liệu dao và
phôi… Khi phay tinh các bề mặt hình dáng hình học phức tạp đó
th
ƣ

ờng
sử dụng
dao phay đầu cầu, gá dao sao cho
ph
ƣ
ơng

đƣờng
tâm dao không đổi so với phƣơng
biên dạng cần cắt, vận tốc cắt có
ph
ƣ
ơng
thay đổi ngẫu nhiên trên bề mặt, lực cắt có
phƣơng và các thành phần của lực cắt thay đổi, đồng thời chiều dày lớp cắt cũng
thay đổi. Do vậy làm cho quá trình cắt gọt với lực cắt không đều, bị rung động, gây
trƣợt
trên bề mặt, lực ma sát thay đổi làm cho độ bóng không đồng đều trên bề mặt
chi tiết.
Vì vậy nghiên cứu đánh giá các yếu tố ảnh
hƣởng
đến độ bóng, độ chính xác bề
mặt để tối
ƣu
hóa một số yếu tố kỹ thuật của quá trình phay tinh nhằm nâng cao
chất
lƣợng
bề mặt chi tiết, tăng hiệu quả kinh tế của các chi tiết đó.
)$R/03SMT3-M3UGV.83WG8JX/GLMNO8.J
2.1. Ý nghĩa khoa học

Các chi tiết với hình dáng hình học phức tạp có nhiều ứng dụng trong thực tế đƣợc
nghiên cứu ở đề tài về thông số kĩ thuật của quá trình gia công để
đƣa
ra phƣơng
pháp tối
ƣu
mới trong quá trình phay tinh nhằm nâng cao chất
lƣợng
bề mặt chi tiết.
2.2. Ý nghĩa thực tiễn
Nghiên cứu ảnh
hƣởng
của một số yếu tố kỹ thuật đến chất
lƣợng
bề mặt chi tiết để
lựa chọn thông số kĩ thuật tối
ƣu
đó là lựa chọn kiểu dụng cụ, đƣờng chạy dao,
thông số gá đặt, vận tốc cắt tối
ƣu.
Vì thế nghiên cứu có ứng dụng để nâng cao chất
lƣợng
bề mặt chi tiết khi phay tinh trên máy công cụ CNC.
Y$
34Z/0
I3[I/03J\/G]5
Phƣơng pháp nghiên cứu lý thuyết kết hợp với phƣơng pháp nghiên cứu thực
nghiệm.
Khảo sát bề mặt chi tiết để biết
đƣợc

thông số hình học: mô hình mặt, các điểm đặc
biệt của bề mặt, dạng bề mặt làm cơ sở xác định biến thiên véc tơ pháp tuyến trên
bề mặt chi tiết.
Khảo sát hình học của dụng cụ cắt: dạng lƣỡi cắt, bán kính cong tại các điểm trên
lƣỡi
cắt làm cơ sở để chọn dao phay phù hợp nhằm nâng cao chất
lƣợng
bề mặt. Từ
đó nghiên cứu mối quan hệ hình học của cặp biên dạng dao- phôi để xác định góc
gá đặt tối
ƣ
u.
Nghiên cứu thử nghiệm: Thử nghiệm gia công chi tiết trên máy phay CNC, với
phôi thép hợp kim CR12MOV đã qua tạo hình dáng và tôi đạt độ cứng: 44 – 45
HRC, dụng cụ cắt là dao phay cầu phủ TiAlN hai
lƣỡi
cắt ký hiệu VP15TF của hãng
Mitsubishi -Nhật Bản và sử dụng các kết quả của phần nghiên cứu lí thuyết.
^$_J`5/0/03J\/G]5
Các nội dung cụ thể cần nghiên cứu:
a. Khảo sát và mô hình hóa bề mặt chi tiết gia công
b. Khảo sát và mô hình hóa pháp tuyến của bề mặt chi tiết gia công
c. Tính toán, thiết kế kích
thƣớc
dụng cụ cắt và góc gá đặt tối
ƣ
u
d. Thử nghiệm
Thực nghiệm phay tinh chi tiết có bề mặt parabol lồi và sử dụng kết quả của phần
nghiên cứu lí thuyết.


&C
abc
&$&$JdJ83 J75e5[8fg/30J MGh/0 8J/3G[GiOjk8I3]G8lI
Trong ngành chế tạo máy, việc chế tạo các chi tiết có hình dáng hình học
phức tạp (chi tiết khuôn, mẫu, các chi tiết trong ngành hàng không, giao thông vận
tải ),
đƣợc
làm bằng vật liệu khó gia công
nhƣ
thép hợp kim có độ bền cao, thép
chịu nhiệt, thép không gỉ, thép đã tôi đã và đang phát triển mạnh mẽ. Để gia công
các chi tiết đó đạt độ chính xác về hình dáng hình học, cơ lý tính bề mặt và độ bóng
bề mặt có nhiều
ph
ƣ
ơng
pháp gia công để lựa chọn vì hiện nay ngành cơ khí chế tạo
máy có rất nhiều loại máy công cụ, nhiều kiểu dụng cụ cắt, nhiều loại vật liệu phù
hợp và kết hợp với công nghệ hiện đại
nhƣ
công nghệ CAD/CAM. Việc gia công
những bề mặt chi tiết phức tạp này có một số
phƣơng
pháp
nhƣ:
Gia công bằng điện
hoá, gia công bằng siêu âm, gia công bằng tia lửa điện Những
ph
ƣ

ơng
pháp gia
công này cần nguồn đầu tƣ lớn, năng suất gia công thấp dẫn đến giá thành của chi
tiết gia công cao. Bên cạnh đó, sự xuất hiện và khả năng ứng dụng của các máy
công cụ CNC ngày càng
đƣợc
khẳng định, đó là khả năng gia công với độ chính xác
yêu cầu, năng suất cao và giá thành hạ, cụ thể gia công các chi tiết đó trên máy phay
CNC bằng nguyên công gia công tinh.
&$&$&$ [G8 3h/0mnTo835p8Gq/83JK8
Khi gia công chi tiết trên máy phay CNC cần cung cấp các chuyển động cần
thiết để tạo hình bề mặt đó là: Chuyển động quay của dao tạo tốc độ cắt chính, và
chuyển động tịnh tiến của phôi. Do đó, các điểm tham gia cắt gọt của dao là các
điểm tiếp xúc giữa
lƣỡi
cắt và bề mặt phôi, và các điểm tiếp xúc này thay đổi vị trí
phức tạp phụ thuộc vào mối quan hệ hình học của
lƣỡi
cắt và bề mặt chi tiết. Điều
này quyết định lớn đến chất
lƣợng
bề mặt chi tiết gia công.
Hệ trục tọa độ và vị trí của dao, chi tiết gia công khi cắt gọt trên các máy
phay CNC
nhƣ
hình vẽ:
Hình 1.1. Hệ tọa độ của máy phay
CNC
Hình 1.2. Phay mặt cong bằng dao phay
cầu

Do đó để phay tinh chi tiết đạt chất
lƣợng
bề mặt cần xác định chính xác về
biên dạng và thông số hình học của phôi và dao, vật liệu và
ph
ƣ
ơng
pháp nhiệt
luyện của chi tiết để lựa chọn
phƣơng
pháp gia công, kiểu dao tối
ƣu,
chế độ cắt tối
ƣu. Nhƣ
vậy, việc nghiên cứu về hình dáng hình học của chi tiết cần gia công tinh
và hình học của dụng cụ cắt phải chính xác, các
bƣớc
gia công thô và bán tinh trƣớc
đó cần chọn lựa chế độ cắt phù hợp để không ảnh
hƣởng
đến
bƣớc
gia công tinh là
cần thiết.
&$&$&$&$[G83h/0mn3g/33UGGLMiOjk8G3J8JK80JMGh/0
Bề mặt hình học phức tạp của chi tiết gia công trong thực tế
đƣợc
mô tả bằng
toán học với các dạng chủ yếu sau [4]:
Phương trình mặt cong có thể cho bởi một trong các dạng sau:

-Dạng ẩn: F(x,y,z) = 0 (1.1)
- Dạng
tƣờng
minh : z = f(x,y) (1.2)
- Dạng tham số: x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v) (1.3)
- Dạng véc tơ: r = r(u,v) hay r = x(u,v).i + y(u,v).j + z(u,v).k (1.4)
Tọa độ cong trên mặt cong: Nếu mặt cong cho
dƣới
dạng tham số hay véc tơ, thì khi
cố định giá trị của một tham số v = v
0
và cho tham số kia (u) biến thiên thì điểm
r(x,y,z) vạch lên một
đƣờng
cong nằm trên mặt cong: r = r(u,v
0
). Nếu cho v những
giá trị không đổi khác nhau: v = v
1
; v = v
2
; thì chúng ta nhận
đƣợc
một họ đƣờng
cong trên mặt cong; bởi vì v = const nên đi dọc theo
đƣờng
cong ấy mỗi u thay đổi,
do đó những
đƣờng
cong ấy

đƣợc
gọi những
đƣờng
u.
u
0
M
u
1
u
2
v
1
v
0
v
2
Hình
1.3
Tƣơng tự điểm r(u
0
,v) vạch nên một đƣờng cong khác; khi cho u những giá trị
không đổi khác nhau: u = u
1
, u = u
2
, ta nhận
đƣợc
một họ
đƣờng

v (u = const).
∂y ∂z
∂u
∂y
.
∂
u
.

∂
z
∂v
∂
v
∂z ∂x
∂u
∂z
.
∂
u
.

∂
x
∂v
∂
v
∂x ∂y
∂u
∂x

.
∂
u
.

∂
y
∂v
∂
v
Do đó có một
lƣới đƣờng
cong
đƣợc
lập trên mặt cong, đó là các
đƣờng
tọa độ, còn
hai số u = u
i
và v = v
k
là các tọa độ cong hay tọa độ Gauxơ của điểm M trên mặt
cong.
Mặt phẳng tiếp xúc và pháp tuyến:
Nếu qua một điểm cho
trƣớc
M(r,x, y, z) của mặt cong, vạch tất cả các
đƣờng
cong
có thể

đƣợc
trên mặt cong, thì các tiếp tuyến của chúng tại điểm M sẽ nằm trên
cùng mặt phẳng, đó là mặt phẳng tiếp xúc với mặt cong tại điểm M ( trừ những
điểm cônic của mặt cong).
Đƣờng
thẳng đi qua M và thẳng góc với mặt phẳng tiếp
xúc gọi là pháp tuyến với mặt cong tại điểm M. Mặt phẳng tiếp xúc đi qua các véctơ
r
=

∂
r
;

r
=

∂
r
là các véctơ tiếp xúc với
đƣờng
u và đƣờng v tại điểm M; tích của
1
∂u
2
∂v
chúng r
1
.r
2

là một véc tơ song song với pháp tuyến và véctơ đơn vị của nó
N
0
=

r
1
.r
2
r
1
.r
2
gọi là véctơ đơn vị pháp tuyến. N
0
hƣớng
về phía này hay phía kia của
mặt cong tùy thuộc vào độ cong, u hay v
đƣợc
xem là tọa độ thứ nhất hay tọa độ thứ
hai.
Phương trình của mặt phẳng tiếp xúc và pháp tuyến với mặt cong:
Bảng 1.1:
Phƣơng
trình pháp tuyến của các mặt
cong
34Z/0
8fg/3
jk8
G-/0

k8I3r/08JKIstG 3[I856K/
F(x,y,z) = 0
∂
F
(
X
−
x)
+

∂
F
(Y
−
y)
+

∂
F
(Z
−
z)
=

0
∂x ∂y
∂z
X
−
x

=

Y
−
y
=

Z
−

z
∂
F
∂
F
∂
F
∂x ∂x
∂z
z = f(x,y) Z – z = p(X –x) + q(Y – y)
X − x
=

Y − y
=

Z −
z
p q −
l

x = x(u,v), y
=
y(u,v), z =
z(u,v)
X
∂x
− x __ Y − y __ Z −
z
___

_
∂
y
___

_

∂
z

∂u ∂u
____
∂
y
____
∂
z
=0
X
−

x
=

Y
−
y
=

Z
−

z
∂
u
∂x
∂v
2 2 2
2 2 2
r = r(u,v) hay r
=
x(u,v).i + y(u,v).j
+
z(u,v).k
(R-r). r
1
.r
2
= 0 hay (R-r). N = 0 R = r +
λ
.(r

1
.r
2
)
hay
R = r +
λ
.N
Trong bảng này x, y, z, r là các tọa độ và bán kính véctơ của điểm M của đƣờng
cong; X, Y, Z, R là các tọa độ và bán kính véctơ của các điểm trên mặt phẳng tiếp
xúc và pháp tuyến; các đạo hàm
đƣợc
tính tại điểm M;
p
=

∂
z
;
q
=

∂
z
.
∂
x
∂
y
Yếu tố bậc nhất của mặt cong:

Nếu mặt cong đƣợc cho dƣới dạng (1.3) hay (1.4), M(u,v) là một điểm cho trƣớc
của mặt cong và N(u + du, v + dv) là một điểm trên mặt cong gần M, thì độ dài
cung MN trên mặt cong
đƣợc
biểu thị một cách gần đúng bởi vi phân cung hay yếu
tố bậc nhất của mặt cong theo công thức:
Trong đó:
ds
2
= E.du
2
+ 2Edu.dv
+

G.dv
2
(1.5)
2


∂
x



∂
y
 

∂

z

E
=
r
1
=

 

+

 

+

 

∂
u
 
∂
u
 
∂
u

F
=
r

.r
=

∂
x
.

∂
x
+

∂
y
.

∂
y
+

∂
z
.

∂
z
(1.6)
1
2
∂
u

∂
v
∂
u
∂
v
∂
u
∂
v
2


∂
x



∂
y
 

∂
z

G
=
r
2
=

 

+

 

+

 

∂
v
 
∂
v
 
∂
v

Các hệ số E, F, G phụ thuộc vào các điểm của mặt.
Đối với mặt cong cho
dƣới
dạng 1.1: E = 1 + p
2
; F = p.q; G = 1 + q
2
, trong đó
p
=

∂
z
;
q
=

∂
z
.
∂x
∂y
Các phép đo trên mặt cong:
Độ dài cung của
đƣờng
cong u = u(t), v = v(t) trên mặt cong với
theo công thức:
t
0
≤ t ≤
t
1
đƣợc
tính
t

1
t

1

L
=

∫

ds
=

∫
E.(

du

)

2
+

2F.

du

.

dv
+
G.(

dv

)

2
dt
(1.7)
t
0
t
0
dt
dt dt dt
Góc giữa hai
đƣờng
cong: ( tức là giữa các tiếp tuyến của nó) cắt nhau tại điểm M
và có
phƣơng
trùng với
phƣơng
của các véctơ dr (du, dv) và
đƣợc
tính theo công thức:
δ
r(
δ
u,
δ
v)
tại điểm đó
cos
α

=
dr.
δ
r
=
E.du.δu +
F
(du.δv + dv.δu) +
G.dv.
δ
v
(1.8)
(dr)
2
.(
δ
r)
2
E.du

2
+ 2Fdu.dv + G.dv
2
.
E.
δ
u

2

+ 2F
δ
u.
δ
v +
G.
δ
v

2
Đặc biệt, hai
đƣờng
sẽ vuông góc với nhau nếu tử số của (1.8) bằng không; F = 0 là
điều kiện vuông góc của các
đƣờng
tọa độ v = const (dv = 0) và u = const
(

δu =
0

).
Diện tích mặt cong S giới hạn bởi
đƣờng
cong nào đó trên mặt,
đƣợc
tính bởi tích
phân hai lớp:
v
dr

α
dr
M
u
Hình
1.4
S
=

∫

ds
(

S

)
(1.9)
Trong đó:
dS
=
EG − F
2
du.dv
Độ cong của mặt cong:
Độ cong của một đƣờng trên mặt cong: nếu trên mặt cong vẽ những đƣờng cong
khác nhau đi qua điểm M, thì tại điểm M, các bán kính cong ρ của các
đƣờng
cong
Γ ấy liên hệ với nhau bởi các hệ thức sau:

- Bán kính cong của
đƣờng
cong Γ bằng bán kính cong của
đƣờng
cong C là giao
tuyến của mặt cong và mặt phẳng mật tiếp với
đƣờng
cong Γ tại điểm M.
Q Q
Q
M M
C
2
M
P
C
P
C
r
C
ph.d.g
P
C
ph.d.g
C
1
n
N
n
N

a) b) c)
Hình
1.5
- Đối với mỗi giao tuyến phẳng C, bán kính cong của nó bằng:
ρ

= R.cos(n,
N)
(M)
Trong đó R là bán kính cong của giao tuyến pháp dạng (C
phdg
), nó cũng đi qua tiếp
tuyến PQ nhƣ C, và qua véc tơ N, còn (n,N) là góc giữa véc tơ pháp tuyến chính
đơn vị n của
đƣờng
cong C và véc tơ pháp tuyến đơn vị N của mặt cong.
Ta có thể xác định bán kính cong r ở tiết diện bất kỳ (I-I) hợp với tiết diện pháp
tuyến N-N tại điểm khảo sát một góc σ qua bán kính cong r
N
ở tiết diện pháp tuyến
N-N (hình 1.6).
r = r
N
.cosσ (1.10)
σ
: góc giữa mặt nghiêng và mặt pháp tuyến.
1
N
σ
σ

M
N
1
r
N
Hình 1.6. Hình minh hoạ
2 2
Trong công thức (M), R
đƣợc
lấy dấu cộng nếu N
hƣớng
về bề lõm của
đƣờng
cong
C
phdg
, và dấu trừ nếu
hƣớng
về bề lồi.
- Đối với mỗi giao tuyến pháp C
phdg
, độ cong của nó là:
1 cos
2
α
=
R
R
1
sin

2
α
+
R
2
(E)
(Công thức Ơle), R
1
và R
2
là các bán kính cong chính, tức là các giá trị lớn nhất và
nhỏ nhất của R; ta có những giá trị ấy tại các giao tuyến pháp chính C
1
và C
2
của
mặt cong và α là góc giữa các mặt của các giao tuyến C
1
và C
2
.
Bán kính cong chính: Nếu mặt cong
đƣợc
cho bởi
phƣơng
trình z = f(x,y) thì R
1
và
R
2

đƣợc
tính
nhƣ
nghiệm của
phƣơng
trình bậc hai:
(rt – s
2
). R
2
+ h[2p.q.s – ( 1 + p
2
) – (1 + q
2
).r]. R + h
4
= 0 (A)
Trong đó:
p
=

∂
z
;
q
=

∂
z
;

r
=

∂
z
;
s
=
∂

2
z
,
t
=

∂
z
,
h
=
1

+

p

2
+

q

2
∂x ∂y
∂
x

2
∂x.∂y
∂
y

2
Các mặt phẳng của các giao tuyến pháp chính C
1
và C
2
thẳng góc với nhau; chiều
của nó
đƣợc
xác định bởi giá trị
∂
y
∂x
thu
đƣợc
từ
phƣơng
trình bậc hai:
[tpq

−
s(1
+

q

2
)].(
dy

)
2
+

[t.(1

+

p

2
)
−

r(1

+

q

2
)]

dy
+
[s(1
+

p

2
)
−

rpq]
=

0
(B)
dx
dx
Nếu mặt cong đƣợc cho dƣới dạng tham số r = r(u,v) thì các
ph
ƣ
ơng
trình tƣơng
ứng với (A) và (B) sẽ có dạng:
(D.D‖ – D’
2
).R

2
– (E.D‖ – 2F.D’ + G.D).R + (E.G – F
2
) = 0 (A’)
(G.D’ – F.D‖).(
dv
)
2
+ (G.D – ED‖).
dv
+ (F.D – E.D’) = 0 (B’)
du
du
Trong đó: D, D’, D‖ là các hệ số của dạng thức toàn
phƣơng
thứ hai của mặt cong,
xác định bởi các công thức:
D = r
11
.N =
d
EG − F
2
, D' =
r
12
.N =
d '
EG − F
2

, D"= r
22
.N =
d"
EG − F
2
Ở đây các véc tơ r
11,
r
12
, r
22
là các đạo hàm riêng cấp hai của bán kính véc tơ r theo
các tham số u và v; các tử số d, d’, d‖ là:
∂

2
x
∂u

2
∂

2
y
∂
u

2
∂

2
z
∂
u

2
∂

2
x
∂
u.
∂
v
∂

2
y
∂
u.
∂
v
∂

2
z
∂
u
∂

v
∂

2
x
∂
v

2
∂

2
y
∂
v

2
∂

2
z
∂
v

2
d
=

∂
x

∂
y
∂
z
∂
x
∂
y
∂
z
,

d

'

=
,
d"
=

∂
x
∂
y
∂
z
(1.11)
∂u ∂u ∂u
∂

x
∂y ∂z
∂u ∂u ∂u
∂
x
∂
y
∂
z
∂u ∂u ∂u
∂
x
∂y ∂z
∂v ∂v ∂v
∂v ∂v ∂v
∂v ∂v ∂v
Những đƣờng cong trên mặt cong, mà tại mỗi điểm có chiều của các giao tuyến
pháp chính,
đƣợc
gọi là những
đƣờng
chính khúc;
phƣơng
trình của chúng thu đƣợc
bằng cách tích phân
phƣơng
trình vi phân (B) và (B’).
Phân loại các điểm của mặt cong: Nếu tại điểm M của mặt cong cả hai đại
lƣợng
R

1
và R
2
có cùng một dấu thì các giao tuyến pháp chính hƣớng bề lõm về cùng một
phía. Trong
trƣờng
hợp ấy trong miền của điểm M, mặt cong
đƣợc
phân bố về cùng
một phía của mặt phẳng tiếp xúc; điểm nhƣ thế của mặt cong đƣợc gọi là điểm
êliptic, điều kiện giải tích của nó là: D.D‖ – D’
2
>0. Trƣờng hợp riêng R
1
= R
2
,
điểm M đƣợc gọi là điểm tròn hay điểm rốn; mọi giao tuyến pháp tại điểm đó đều
có R = const.
Nếu R
1
và R
2
khác dấu, thì các giao tuyến pháp chính hƣớng bề lõm theo những
phía
ngƣợc
nhau. Trong
trƣờng
hợp ấy mặt cong cắt mặt phẳng tiếp xúc và có đặc
trƣng hình yên ngựa, gọi là điểm hypebôlic, điều kiện giải tích: D.D‖ – D’

2
< 0.
Nếu R
1
và R
2
bằng
∞
, thì một giao tuyến pháp chính có điểm uốn hay là một đƣờng
thẳng; điểm nhƣ thế của mặt cong
đƣợc
gọi là điểm parabolic, điều kiện giải tích:
D.D‖ – D’
2
= 0.
C
2
M
C
1
M
M
C
1
C
2
C
1
C
2

a)
b)
c)
Hình
1.7.
điểm đổi hƣớng trên prôfin chi tiết. Tại
toán học
nhƣ
đã biết
phƣơng
pháp để xác

- Độ cong trung bình của mặt cong tại điểm M là biểu thức:
H
=

1

.(
1
+

1
)
(1.12)
Độ cong Gauxơ là biểu thức:
2 R
1
R
2

K
=
1
R
1
.R
2
(1.13)
Nếu mặt cong nào có độ cong trung bình bằng không tại mọi điểm R
1
= -R
2
thì
đƣợc gọi là mặt cong tối thiểu. Mặt cong nào có độ cong Gauxơ K tại mọi điểm
không đổi thì
đƣợc
gọi là mặt cong với độ cong không đổi; những thí dụ về những
mặt mà K > 0 là mặt cầu, K < 0 là mặt cầu giả ( mặt tròn xoay do quay
đƣờng
tơrăctơric quanh trục của nó).
Các điểm đặc biệt trên bề mặt chi tiết gia công:
Trong nhiều
trƣờng
hợp cần tìm các điểm đặc biệt (điểm nhọn, điểm giới hạn,
) đó prôfin chi tiết
đƣợc
đổi
hƣớng
và theo
định các điểm đó (hình 1.8)

nhƣ
sau:
N
N
N N
Hình 1.8. Các điểm đặc biệt.
• Nếu mặt cong cho theo
phƣơng
trình F(x,y,z) = 0, thì toạ độ các điểm đặc
biệt phải thoả mãn hệ
phƣơng
trình sau:

F

(
x, y, z)
=
0


∂
F

(
x, y, z)

∂x
∂F

(
x, y,
z)
∂y
=

0


=

0


(1.14)
• Nếu mặt cong cho theo
ph
ƣ
ơng
trình tham số thì các điểm đặc biệt phải thoả
mãn hệ
phƣơng
trình sau:
1


x
=

f

1

(t

)


y
=
f
(t

)

z =
f
1

(t

)



∂
x
=

0


∂
t


∂
y
=

0

∂t

∂
z
=

0

∂
t

(1.15)
* Điểm kì dị của mặt cong (cônic): Nếu những điểm của một mặt cong cho dƣới
dạng 1.1, đồng thời có ( khi x = x
1
, y = y
1
; z = z
1
)

∂
F
=

∂
F
=

∂
F
=

F
(x, y, z)
=

0
(1.16)
∂x ∂y
∂z
thì điểm M(x
1
, y
1
, z
1
) là điểm kì dị (cônic); các tiếp tuyến đi qua điểm M không
cùng nằm trong một mặt phẳng, mà lập nên một mặt nón bậc hai có phƣơng
trình:
∂

2
F
∂
x

2
(
X − x)
+
∂

2
F
∂y

2
(Y − y) +
2
∂

2
F
∂x.∂y
(
X − x).(Y − y) +
2
∂

2

F
∂y.∂z
(Y − y).(Z − z) +
2
∂

2
F
∂z.∂x
(Z −
z).
.(
X − x) =
0
(1.17)
(Ở đây các đạo hàm tính đối với điểm M); nếu sáu đạo hàm riêng cấp hai đồng thời
bằng không thì điểm kì dị sẽ là điểm thuộc loại phức tạp hơn ( hình nón bậc ba hay
bậc cao hơn).
Mặt kẻ và mặt khả triển:
Mặt cong
đƣợc
gọi là mặt kẻ, nếu nó nhận
đƣợc
từ những vết của một
đƣờng
thẳng
chuyển động; nếu thêm vào đó, mặt cong có thể triển khai thành mặt phẳng thì
nó
đƣợc
gọi là mặt khả triển. Không phải mọi mặt kẻ là mặt khả triển (chẳng hạn,

mặt
hypeboloide một tầng và paraboloide hypeboloic) là những mặt kẻ mà không phải
là
mặt khả triển. Tại mọi điểm của mặt khả triển, độ cong Gauxơ đều bằng không.
Nếu
mặt cong
đƣợc
cho bởi
phƣơng
trình z = f(x,y) thì điều kiện để cho nó khả triển
là:
r.t – s
2
= 0 (1.18)
0
0
0
j
Dụng cụ cắt
thƣờng
sử dụng trong phay tinh là các loại dao phay đầu cầu để gia
công các chi tiết bề mặt phức tạp
nhƣ
trên.
&$&$&$)$[G83h/0mn3g/33UGGLM`M-I3M6Nq5Gq5
Trong thực tế có nhiều loại dao phay đầu cầu (với kết cấu, hình dáng và quy
cách khác nhau)
nhƣng
về mặt hình học của dao cơ bản là giống nhau đƣợc mô tả
trong hình 1.7.(a). Hệ toạ độ của dao là O

T
X
T
Y
T
Z
T
, với E là điểm đỉnh dao.
Trên dao có thể có nhiều
lƣỡi
cắt tùy thuộc và
đƣờng
kính của dao,
nhƣng
mỗi một
lƣỡi
cắt đều có các thông số cơ bản sau: Hình bao của
lƣỡi
cắt nằm trên mặt cầu với
bán kính R
0
và mặt trụ có bán kính R
0
với tổng chiều cao tham gia cắt là L
e
. Góc
xoắn của
lƣỡi
cắt trên phần trụ của dao có giá trị không đổi i
0

( góc i
0
đo từ trục oy
tới
đƣờng
xoắn ốc). Tại vị trí P thuộc
lƣỡi
cắt của dao với độ cao z ( đo theo chiều
dƣơng
của trục z từ điểm E), bán kính cắt trên mặt phẳng (x,y) là R(z) xác định theo
công thức sau:
Nếu z < R
0
: R(z) =
Nếu z > R
0
: R(z) =
R
0
R
2
−
(R
−
z)
2
(1.19)
Góc ψ
j
(z) là góc đo từ trục oy đến OP (P thuộc

lƣỡi
cắt thứ j), xác định theo công
thức:

ψ

(
z)
=

θ

−

∆
ψ

+
( j
−
1).
2
π
N
t
(1.20)
Τrong đó: N
t
là số
lƣỡi

cắt.
θ là góc quay của dao từ trục O
T
Y
T
quay quanh trục
Z
T
.
∆ψ là góc trễ từ đỉnh dao Z
T
= 0 đến điểm P với độ cao z (
nhƣ
hình 1.7).
Với chiều dài
bƣớc
xoắn không đổi , xác định
∆
ψ
z
z
theo công thức sau:
∆
ψ

=
R
0
.

tan
i
0
=
.

tan

i(
z)
R(

z)
(1.21)
i(z) là góc xoắn trên phần bán cầu, xác định
nhƣ
sau:
i(
z)
=

tan

−
1

(

R(
z)

.

tan
i
)
(1.22)
R
0