Nghiên cứu nâng cao chất lượng bê măt chi tiết gia công bằng tối ưu hóa một số yếu tố kỹ thuật của qua trình phay tinh trên máy công cụ cnc

Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ kỹ thuật

1

Chuyên ngành: Công nghệ CTM

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP

LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT
CHUYÊN NGÀNH: CÔNG NGHỆ CHẾ TẠO MÁY

NGHIÊN CƢ́U NÂNG CAO CHẤT LƢỢNG BỀ MẶT CHI
TIẾT GIA CÔNG BẰNG TỐI ƢU HÓA MỘT SỐ YẾU TỐ KỸ
THUẬT CỦA QUÁ TRÌNH PHAY TINH TRÊN MÁY
CÔNG CỤ CNC

HỌC VIÊN: VŨ NHƢ NGUYỆT
HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. HOÀNG VỊ
LỚP: CHK10- CNCTM
NĂM HỌC: 2007-2009

THÁI NGUYÊN 2009

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ kỹ thuật

2

Chuyên ngành: Công nghệ CTM

Lời cảm ơn
Với sự kính trọng và lịng biết ơn sâu sắc, Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân
thành tới TS. Hồng Vị- người Thầy đã tận tình hướng dẫn tơi trong suốt q trình
nghiên cứu và hồn thành luận văn.
Tiếp theo Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Kỹ
thuật Công nghiệp, Khoa đào tạo sau đại học, Khoa Cơ khí và bộ môn Chế tạo
Máy đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tơi trong q trình học tập, nghiên cứu và
thực hiện bản luận văn này.
Sau hết Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã động viên giúp
đỡ tôi trong suốt thời gian qua.
Xin trân trọng cảm ơn!

Tác giả

Vũ Như Nguyệt

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ kỹ thuật

3

Chuyên ngành: Công nghệ CTM

LỜI CAM ĐOAN

Tơi xin cam đoan tồn bộ luận văn này do chính bản thân tơi thực hiện dƣới
sự hƣớng dẫn khoa học của TS. Hồng Vị.
Nếu sai tơi xin chịu mọi hình thức kỷ luật theo quy định.
Ngƣời thực hiện

Vũ Nhƣ Nguyệt

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ kỹ thuật

4

Chuyên ngành: Công nghệ CTM

MỤC LỤC
Nội dung

Trang

Lời cam đoan

2

Mục lục

3

Danh mục các bảng số liệu

6

Danh mục kí hiệu và chữ viết tắt

6

Danh mục các hình vẽ, đồ thị, ảnh chụp

7

Phần mở đầu

10

1.

Tính cấp thiết của đề tài

10

2.

Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

10

3.

Phƣơng pháp nghiên cứu

11

4.

Nội dung nghiên cứu

11

CHƢƠNG 1: NGHIÊN CỨU TỔNG QUAN VỀ PHAY TINH CÁC BỀ
MẶT HÌNH HỌC PHỨC TẠP
1.1.

12

Giới thiệu q trình gia cơng tinh các bề mặt phức tạp

12

1.1.1. Các thông số kỹ thuật cần thiết

12

1.1.1.1. Các thơng số hình học của bề mặt chi tiết gia cơng

14

1.1.1.2. Các thơng số hình học của dao phay đầu cầu

23

1.1.2. Đặc điểm quá trình phay tinh các bề mặt phức tạp

26

1.1.2.1. Vận tốc cắt khi phay

26

1.1.2.2. Lực cắt khi phay

28

1.2.

Một số đặc điểm bề mặt chi tiết sau khi gia cơng

29

1.3.

Kết luận

33

CHƢƠNG 2: CƠ CHẾ TẠO HÌNH BỀ MẶT CHI TIẾT GIA CƠNG
2.1.

Mơ hình hình học bề mặt chi tiết gia cơng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

36
36




Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ kỹ thuật

5

Chuyên ngành: Công nghệ CTM

2.2.

Mối quan hệ hình học giữa profin của dao và phơi

37

2.3.

Mơ hình lực cắt khi phay

45

2.4.

Kết luận

53

CHƢƠNG 3: CÁC YẾU TỐ ẢNH HƢỞNG ĐẾN CHẤT LƢỢNG BỀ
MẶT CHI TIẾT KHI PHAY TINH
3.1. Các yếu tố ảnh hƣởng đến chất lƣợng bề mặt chi tiết gia công khi
phay tinh bằng dao phay đầu cầu

3.2.

55
55

3.1.1. Ảnh hƣởng của điều kiện cắt

55

3.1.2. Ảnh hƣởng của kiểu thốt dao

56

3.1.3. Ảnh hƣởng của tì dao lên bề mặt gia cơng

57

3.1.4. Ảnh hƣởng của góc nghiêng giữa dao và phôi

58

Giải pháp tối ƣu để nâng cao chất lƣợng bề mặt khi phay tinh bằng

dao phay đầu cầu
3.2.1. Chọn thông số gá đặt tối ƣu để tránh cắt ở đỉnh dao
3.2.2. Chọn kích thƣớc dụng cụ tối ƣu để tạo hình bề mặt của chi tiết
gia công
3.3. Kết luận

4.1. Điều kiện thực nghiệm

59
64
66

CHƢƠNG 4: THỰC NGHIỆM PHAY TINH BỀ MẶT THEO CÁC KẾT
QUẢ NGHIÊN CỨU

59

67
67

4.1.1. Máy cơng cụ CNC

67

4.1.2. Dụng cụ cắt

68

4.2. Tiến hành thí nghiệm

73

4.3. Phân tích các yếu tố kĩ thuật

77

4.3.1. Phân tích bề mặt chi tiết gia cơng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

77




Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ kỹ thuật

6

Chuyên ngành: Công nghệ CTM

4.3.2. Chế độ cắt

79

4.3.3. Dụng cụ đo kiểm

79

4.4. Kết quả thí nghiệm

79

4.5. Một số hình ảnh thí nghiệm

82

4.6. Đánh giá kết quả

84

CHƢƠNG 5: KẾT LUẬN

85

5.1. Kết quả nghiên cứu

85

5.2. Hƣớng phát triển của đề tài

85

TÀI LIỆU THAM KHẢO

86

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ kỹ thuật

7

Chuyên ngành: Công nghệ CTM

DANH MỤC CÁC BẢNG SỐ LIỆU
TT

Bảng

Nội dung

1.

Bảng 1.1

Phƣơng trình pháp tuyến của các mặt cong

15

2.

Bảng 4.1

Các thông số kĩ thuật khi phay tinh

74

3.

Bảng 4.2

Thông số kỹ thuật cơ bản của máy phay VMC- 85S

74

4.

Bảng 4.3

Thành phần các nguyên tố hoá học thép CR12MOV

76

5.

Bảng 4.4

Chế độ cắt khi phay tinh chi tiết

79

6.

Bảng 4.5

Bảng tổng hợp kết quả thí nghiệm

80

7.

Bảng 4.6

Bảng tổng hợp kết quả thí nghiệm khi phay phơi có

81

Trang

bề mặt phẳng

DANH MỤC KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
CNC

Computer Nummerical Control

CAD

Computer Aided Design

CAM

Computer Aided Manufacturing

NURBS

Non-uniform ration B-splines

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ kỹ thuật

Chuyên ngành: Công nghệ CTM

8

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ - ĐỒ THỊ - ẢNH CHỤP
Nội dung

TT

Hình

1.

Hình 1.1

Hệ tọa độ của máy phay CNC

13

2.

Hình 1.2

Phay mặt cong bằng dao phay cầu

13

3.

Hình 1.3

Tọa độ cong trên mặt cong

14

4.

Hình 1.4

Góc giữa hai đƣờng cong

17

5.

Hình 1.5

Độ cong của mặt cong

18

6.

Hình 1.6

Hình minh hoạ tính bán kính cong

18

7.

Hình 1.7

Độ cong trung bình của mặt cong

20

8.

Hình 1.8

Các điểm đặc biệt trên bề mặt chi tiết

21

9.

Hình 1.9

Hình học của dao phay đầu cầu

24

10.

Hình 1.10 Thơng số hình học của lƣỡi cắt

26

11.

Hình 1.11 Thơng số tính tốn vận tốc cắt của dao phay cầu

27

12.

Hình 1.12 Các thành phần của lực cắt

28

13.

Hình 1.13 Lƣỡi cắt thành phần

29

14.

Hình 1.14 Khi bán kính dao lớn hơn bán kính cong chi tiết

30

15.

Hình 1.15 Tiếp xúc ngồi

31

16.

Hình 1.16 Tiếp xúc trong

31

17.

Hình 1.17 Điểm lùi của đƣờng cong lồi

31

18.

Hình 1.18 Điểm lùi của đƣờng cong lõm

31

19.

Hình 1.19 Thay đổi kích thƣớc và thơng số kết cấu của dụng cụ

31

20.

Hình 1.20 Độ nhấp nhơ bề mặt chi tiết

31

21.

Hình 1.21 Sự hình thành bề mặt khi gia cơng bằng dao phay cầu

32

22.

Hình 2.1

Các thơng số hình học của q trình phay tinh

38

23.

Hình 2.2

Mơ hình hình học phần cầu của dao

39

24.

Hình 2.3

Mối quan hệ giữa các thơng số hình học của dao

41

25.

Hình 2.4

Đồ thị của hàm F1

42

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Trang




Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ kỹ thuật

9

Chuyên ngành: Công nghệ CTM

26.

Hình 2.5

Mơ hình bề mặt chi tiết gia cơng tại một vị trí cắt

43

27.

Hình 2.6

Các thành phần của vận tốc cắt tại một điểm cắt

44

28.

Hình 2.7

Kiểu chạy dao theo biên dạng chi tiết

45

29.

Hình 2.8

Kiểu chạy dao theo phƣơng ngang

45

30.

Hình 2.9

46

31.

Hình 2.10

46

32.

Hình 2.11 Vị trí tƣơng quan của điểm P tại Z = ZP

47

33.

Hình 2.12 Quá trình tạo phoi

50

34.

Hình 3.1

Phƣơng thức chuyển dao khi phay mặt phẳng bằng dao
phay đầu cầu

60

35.

Hình 3.2

Tọa độ một điểm M0 trên bề mặt chi tiết khi gá nghiêng

63

36.

Hình 4.1

Các điểm gốc và điểm chuẩn của máy phay CNC

67

37.

Hình 4.2

Hình dạng - kích thƣớc chế tạo của dao phay cầu kiểu 1

69

ký kiệu BZD25G hãng Missubishi - Nhật Bản [7]
38.

Hình 4.3

Hình dạng - kích thƣớc chế tạo của dao chỉ có lƣỡi cắt

70

trên phần cầu ký hiệu BNBP 2 R của hãng
SUMITOMO - Nhật Bản [7]
39.

Hình 4.4

Hình dạng - kích thƣớc chế tạo của thân dao ký hiệu

71

SRFHSMW, SRFHSLW và mảnh ghép ký hiệu SRFT
vật liệu VP10MF, VP15TF của dao một mảnh cắt hãng
Mitssubishi - Nhật Bản [7]
40.

Hình 4.5

Hình dạng - kích thƣớc chế tạo của thân dao ký hiệu

72

TRM4 và mảnh ghép ký hiệu UPE45,UPE50, UPM40,
UPM50, UPM50P0, UPM40P1, UPM50P1vật liệu
VP15TF, GP20M, AP20M của dao ghép nhiều mảnh
cắt hãng Mitssubishi - Nhật Bản
41.

Hình 4.6

Điểm chuẩn của dao phay đầu cầu

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

73




Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ kỹ thuật

10

Chuyên ngành: Công nghệ CTM

42.

Hình 4.7

Thơng số hình học của chi tiết

76

43.

Hình 4.8

Hình ảnh gia cơng khi phơi gá nghiêng 200

82

44.

Hình 4.9

Phay tinh chi tiết khi gá nghiêng phơi 45,50

83

45.

Hình 4.10 Bề mặt chi tiết khi gá nghiêng phơi 45,50

83

46.

Hình 4.11 Đo độ nhám bề mặt chi tiết

84

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ kỹ thuật

11

Chuyên ngành: Công nghệ CTM

PHẦN MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Các sản phẩm trong ngành cơ khí có rất nhiều kiểu biên dạng và hình dáng
hình học khác nhau nhƣ: mặt phẳng, mặt trịn xoay, mặt nón, bề mặt có hình dáng
hình học phức tạp. Để chất lƣợng bề mặt chi tiết đạt yêu cầu phụ thuộc vào nhiều
yếu tố kỹ thuật của q trình gia cơng chi tiết đó. Khi gia cơng mặt phẳng, mặt trịn
xoay có thể đạt độ bóng, độ chính xác u cầu bằng gia cơng tinh (tiện, phay, mài,
đánh bóng…), cịn các bề mặt có hình dáng hình học phức tạp ứng dụng nhiều trong
thực tế nhƣ khn mẫu, hay các chi tiết phức tạp khó mài tinh thƣờng sử dụng
nguyên công phay bằng dao phay đầu cầu trên máy công cụ CNC. Với nguyên công
phay tinh chi tiết gia cơng đạt đƣợc độ bóng, độ chính xác hay khơng phụ thuộc vào
nhiều yếu tố kĩ thuật nhƣ: loại dụng cụ cắt, cách gá dao, chế độ cắt, vật liệu dao và
phôi… Khi phay tinh các bề mặt hình dáng hình học phức tạp đó thƣờng sử dụng
dao phay đầu cầu, gá dao sao cho phƣơng đƣờng tâm dao không đổi so với phƣơng
biên dạng cần cắt, vận tốc cắt có phƣơng thay đổi ngẫu nhiên trên bề mặt, lực cắt có
phƣơng và các thành phần của lực cắt thay đổi, đồng thời chiều dày lớp cắt cũng
thay đổi. Do vậy làm cho quá trình cắt gọt với lực cắt không đều, bị rung động, gây

trƣợt trên bề mặt, lực ma sát thay đổi làm cho độ bóng khơng đồng đều trên bề mặt
chi tiết.
Vì vậy nghiên cứu đánh giá các yếu tố ảnh hƣởng đến độ bóng, độ chính xác bề
mặt để tối ƣu hóa một số yếu tố kỹ thuật của quá trình phay tinh nhằm nâng cao
chất lƣợng bề mặt chi tiết, tăng hiệu quả kinh tế của các chi tiết đó.
2. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
2.1. Ý nghĩa khoa học
Các chi tiết với hình dáng hình học phức tạp có nhiều ứng dụng trong thực tế đƣợc
nghiên cứu ở đề tài về thông số kĩ thuật của q trình gia cơng để đƣa ra phƣơng
pháp tối ƣu mới trong quá trình phay tinh nhằm nâng cao chất lƣợng bề mặt chi tiết.
2.2. Ý nghĩa thực tiễn

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ kỹ thuật

12

Chuyên ngành: Công nghệ CTM

Nghiên cứu ảnh hƣởng của một số yếu tố kỹ thuật đến chất lƣợng bề mặt chi tiết để
lựa chọn thơng số kĩ thuật tối ƣu đó là lựa chọn kiểu dụng cụ, đƣờng chạy dao,
thông số gá đặt, vận tốc cắt tối ƣu. Vì thế nghiên cứu có ứng dụng để nâng cao chất
lƣợng bề mặt chi tiết khi phay tinh trên máy công cụ CNC.
3. Phƣơng pháp nghiên cứu
Phƣơng pháp nghiên cứu lý thuyết kết hợp với phƣơng pháp nghiên cứu thực
nghiệm.

Khảo sát bề mặt chi tiết để biết đƣợc thơng số hình học: mơ hình mặt, các điểm đặc
biệt của bề mặt, dạng bề mặt làm cơ sở xác định biến thiên véc tơ pháp tuyến trên
bề mặt chi tiết.
Khảo sát hình học của dụng cụ cắt: dạng lƣỡi cắt, bán kính cong tại các điểm trên
lƣỡi cắt làm cơ sở để chọn dao phay phù hợp nhằm nâng cao chất lƣợng bề mặt. Từ
đó nghiên cứu mối quan hệ hình học của cặp biên dạng dao- phơi để xác định góc
gá đặt tối ƣu.
Nghiên cứu thử nghiệm: Thử nghiệm gia công chi tiết trên máy phay CNC, với
phôi thép hợp kim CR12MOV đã qua tạo hình dáng và tơi đạt độ cứng: 44 – 45
HRC, dụng cụ cắt là dao phay cầu phủ TiAlN hai lƣỡi cắt ký hiệu VP15TF của hãng
Mitsubishi -Nhật Bản và sử dụng các kết quả của phần nghiên cứu lí thuyết.
4. Nội dung nghiên cứu
Các nội dung cụ thể cần nghiên cứu:
a. Khảo sát và mơ hình hóa bề mặt chi tiết gia cơng
b. Khảo sát và mơ hình hóa pháp tuyến của bề mặt chi tiết gia cơng
c. Tính tốn, thiết kế kích thƣớc dụng cụ cắt và góc gá đặt tối ƣu
d. Thử nghiệm
Thực nghiệm phay tinh chi tiết có bề mặt parabol lồi và sử dụng kết quả của phần
nghiên cứu lí thuyết.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ kỹ thuật

13

Chuyên ngành: Công nghệ CTM

CHƢƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ GIA CÔNG TINH BỀ MẶT HÌNH HỌC
PHỨC TẠP TRONG KỸ THUẬT
1.1. Giới thiệu quá trình gia cơng tinh các bề mặt phức tạp
Trong ngành chế tạo máy, việc chế tạo các chi tiết có hình dáng hình học
phức tạp (chi tiết khn, mẫu, các chi tiết trong ngành hàng không, giao thông vận
tải ...), đƣợc làm bằng vật liệu khó gia cơng nhƣ thép hợp kim có độ bền cao, thép
chịu nhiệt, thép khơng gỉ, thép đã tôi... đã và đang phát triển mạnh mẽ. Để gia cơng
các chi tiết đó đạt độ chính xác về hình dáng hình học, cơ lý tính bề mặt và độ bóng
bề mặt có nhiều phƣơng pháp gia cơng để lựa chọn vì hiện nay ngành cơ khí chế tạo
máy có rất nhiều loại máy cơng cụ, nhiều kiểu dụng cụ cắt, nhiều loại vật liệu phù
hợp và kết hợp với công nghệ hiện đại nhƣ công nghệ CAD/CAM. Việc gia công
những bề mặt chi tiết phức tạp này có một số phƣơng pháp nhƣ: Gia cơng bằng điện
hố, gia cơng bằng siêu âm, gia cơng bằng tia lửa điện.... Những phƣơng pháp gia
công này cần nguồn đầu tƣ lớn, năng suất gia công thấp dẫn đến giá thành của chi
tiết gia cơng cao. Bên cạnh đó, sự xuất hiện và khả năng ứng dụng của các máy
công cụ CNC ngày càng đƣợc khẳng định, đó là khả năng gia cơng với độ chính xác
u cầu, năng suất cao và giá thành hạ, cụ thể gia công các chi tiết đó trên máy phay
CNC bằng ngun cơng gia công tinh.
1.1.1. Các thông số kỹ thuật cần thiết
Khi gia công chi tiết trên máy phay CNC cần cung cấp các chuyển động cần
thiết để tạo hình bề mặt đó là: Chuyển động quay của dao tạo tốc độ cắt chính, và
chuyển động tịnh tiến của phơi. Do đó, các điểm tham gia cắt gọt của dao là các
điểm tiếp xúc giữa lƣỡi cắt và bề mặt phôi, và các điểm tiếp xúc này thay đổi vị trí
phức tạp phụ thuộc vào mối quan hệ hình học của lƣỡi cắt và bề mặt chi tiết. Điều
này quyết định lớn đến chất lƣợng bề mặt chi tiết gia công.
Hệ trục tọa độ và vị trí của dao, chi tiết gia cơng khi cắt gọt trên các máy
phay CNC nhƣ hình vẽ:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ kỹ thuật

14

Chuyên ngành: Công nghệ CTM

Hình 1.1. Hệ tọa độ của máy phay CNC

Hình 1.2. Phay mặt cong bằng dao phay cầu
Do đó để phay tinh chi tiết đạt chất lƣợng bề mặt cần xác định chính xác về
biên dạng và thơng số hình học của phôi và dao, vật liệu và phƣơng pháp nhiệt
luyện của chi tiết để lựa chọn phƣơng pháp gia công, kiểu dao tối ƣu, chế độ cắt tối
ƣu. Nhƣ vậy, việc nghiên cứu về hình dáng hình học của chi tiết cần gia cơng tinh
và hình học của dụng cụ cắt phải chính xác, các bƣớc gia cơng thơ và bán tinh trƣớc

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ kỹ thuật

Chuyên ngành: Công nghệ CTM

15

đó cần chọn lựa chế độ cắt phù hợp để không ảnh hƣởng đến bƣớc gia công tinh là
cần thiết.
1.1.1.1. Các thơng số hình học của bề mặt chi tiết gia cơng
Bề mặt hình học phức tạp của chi tiết gia cơng trong thực tế đƣợc mơ tả bằng
tốn học với các dạng chủ yếu sau [4]:
Phương trình mặt cong có thể cho bởi một trong các dạng sau:
-Dạng ẩn: F(x,y,z) = 0

(1.1)

- Dạng tƣờng minh : z = f(x,y)

(1.2)

- Dạng tham số: x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v)

(1.3)

- Dạng véc tơ: r = r(u,v) hay r = x(u,v).i + y(u,v).j + z(u,v).k

(1.4)

Tọa độ cong trên mặt cong: Nếu mặt cong cho dƣới dạng tham số hay véc tơ, thì khi
cố định giá trị của một tham số v = v0 và cho tham số kia (u) biến thiên thì điểm
r(x,y,z) vạch lên một đƣờng cong nằm trên mặt cong: r = r(u,v0). Nếu cho v những
giá trị không đổi khác nhau: v = v1; v = v2; ... thì chúng ta nhận đƣợc một họ đƣờng
cong trên mặt cong; bởi vì v = const nên đi dọc theo đƣờng cong ấy mỗi u thay đổi,
do đó những đƣờng cong ấy đƣợc gọi những đƣờng u.

u0

u1

M
)=0
v
,
u

u2

F(

v2

v1

v0

Hình 1.3
Tƣơng tự điểm r(u0,v) vạch nên một đƣờng cong khác; khi cho u những giá trị
không đổi khác nhau: u = u1, u = u2, ... ta nhận đƣợc một họ đƣờng v (u = const).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ kỹ thuật

Chuyên ngành: Công nghệ CTM

16

Do đó có một lƣới đƣờng cong đƣợc lập trên mặt cong, đó là các đƣờng tọa độ, cịn
hai số u = ui và v = vk là các tọa độ cong hay tọa độ Gauxơ của điểm M trên mặt
cong.
Mặt phẳng tiếp xúc và pháp tuyến:
Nếu qua một điểm cho trƣớc M(r,x, y, z) của mặt cong, vạch tất cả các đƣờng cong
có thể đƣợc trên mặt cong, thì các tiếp tuyến của chúng tại điểm M sẽ nằm trên
cùng mặt phẳng, đó là mặt phẳng tiếp xúc với mặt cong tại điểm M ( trừ những
điểm cônic của mặt cong). Đƣờng thẳng đi qua M và thẳng góc với mặt phẳng tiếp
xúc gọi là pháp tuyến với mặt cong tại điểm M. Mặt phẳng tiếp xúc đi qua các véctơ
r1 

r
r
là các véctơ tiếp xúc với đƣờng u và đƣờng v tại điểm M; tích của
; r2 
u
v

chúng r1.r2 là một véc tơ song song với pháp tuyến và véctơ đơn vị của nó
N0 

r1.r2
r1.r2

gọi là véctơ đơn vị pháp tuyến. N0 hƣớng về phía này hay phía kia của

mặt cong tùy thuộc vào độ cong, u hay v đƣợc xem là tọa độ thứ nhất hay tọa độ thứ

hai.
Phương trình của mặt phẳng tiếp xúc và pháp tuyến với mặt cong:
Bảng 1.1: Phƣơng trình pháp tuyến của các mặt cong
Phƣơng trình mặt

Mặt phẳng tiếp xúc

Pháp tuyến

cong
F(x,y,z) = 0

F
F
F
( X  x) 
(Y  y) 
(Z  z)  0
x
y
z

z = f(x,y)

Z – z = p(X –x) + q(Y – y)

x = x(u,v), y =
y(u,v), z = z(u,v)

X  x __ Y  y __ Z  z

x
y
z
_____ _____
u
u
u
x
y
z
_____ _____
v
v
v

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

=0

X x Y y Zz


F
F
F
x
x
z

X x Y y Zz



p
q
l
X x
Yy
Zz


y z
z x
x y
.
.
.
u u
u u
u u
y z
z x
x y
.
.
.
v v
v v
v v

Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ kỹ thuật

r = r(u,v) hay r =

Chuyên ngành: Công nghệ CTM

17

R = r +  .(r1.r2) hay

(R-r). r1.r2 = 0 hay (R-r). N = 0

R = r +  .N

x(u,v).i + y(u,v).j +
z(u,v).k

Trong bảng này x, y, z, r là các tọa độ và bán kính véctơ của điểm M của đƣờng
cong; X, Y, Z, R là các tọa độ và bán kính véctơ của các điểm trên mặt phẳng tiếp
xúc và pháp tuyến; các đạo hàm đƣợc tính tại điểm M; p  z ; q  z .
x

y

Yếu tố bậc nhất của mặt cong:
Nếu mặt cong đƣợc cho dƣới dạng (1.3) hay (1.4), M(u,v) là một điểm cho trƣớc
của mặt cong và N(u + du, v + dv) là một điểm trên mặt cong gần M, thì độ dài
cung MN trên mặt cong đƣợc biểu thị một cách gần đúng bởi vi phân cung hay yếu

tố bậc nhất của mặt cong theo cơng thức:
ds2  E.du2  2Edu.dv  G.dv2

(1.5)

Trong đó:
 x   y   z 
E  r12         
 u   u   u 
2

F  r1.r2 

2

2

x x y y z z
.  .  .
u v u v u v

 x   y   z 
G  r      
 v   v   v 
2

2

(1.6)

2

2
2

Các hệ số E, F, G phụ thuộc vào các điểm của mặt.
Đối với mặt cong cho dƣới dạng 1.1: E = 1 + p2 ; F = p.q; G = 1 + q2 , trong đó
p

z
z
;q  .
x
y

Các phép đo trên mặt cong:
Độ dài cung của đƣờng cong u = u(t), v = v(t) trên mặt cong với t 0  t  t1 đƣợc tính
theo cơng thức:
t1

t1

t0

t0

L   ds   E.(

du 2
du dv

dv
)  2 F . .  G.( ) 2 dt
dt
dt dt
dt

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

(1.7)




Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ kỹ thuật

Chuyên ngành: Công nghệ CTM

18

Góc giữa hai đƣờng cong: ( tức là giữa các tiếp tuyến của nó) cắt nhau tại điểm M
và có phƣơng trùng với phƣơng của các véctơ dr (du, dv) và r (u,v) tại điểm đó
đƣợc tính theo cơng thức:
cos 

dr.r
(dr ) .(r )
2

2



E.du.u  F (du.v  dv.u )  G.dv.v
E.du  2 Fdu.dv  G.dv 2 . E.u 2  2 Fu.v  G.v 2
2

(1.8)

Đặc biệt, hai đƣờng sẽ vng góc với nhau nếu tử số của (1.8) bằng khơng; F = 0 là
điều kiện vng góc của các đƣờng tọa độ v = const (dv = 0) và u = const ( u  0 ).
Diện tích mặt cong S giới hạn bởi đƣờng cong nào đó trên mặt, đƣợc tính bởi tích
phân hai lớp:

v

dr
M



dr
u

Hình 1.4
S   ds

(1.9)

(S )

Trong đó: dS  EG  F 2 du.dv
Độ cong của mặt cong:
Độ cong của một đƣờng trên mặt cong: nếu trên mặt cong vẽ những đƣờng cong
khác nhau đi qua điểm M, thì tại điểm M, các bán kính cong  của các đƣờng cong
 ấy liên hệ với nhau bởi các hệ thức sau:
- Bán kính cong của đƣờng cong  bằng bán kính cong của đƣờng cong C là giao
tuyến của mặt cong và mặt phẳng mật tiếp với đƣờng cong  tại điểm M.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ kỹ thuật

Q

M

Q

M
C

P

Chuyên ngành: Công nghệ CTM

19

C2
C

P

M

Q

P

r
Cph.d.g

Cph.d.g

N

n

a)

C1

N

n

b)

c)

Hình 1.5
- Đối với mỗi giao tuyến phẳng C, bán kính cong của nó bằng:

  R.cos(n, N )

(M)

Trong đó R là bán kính cong của giao tuyến pháp dạng (Cphdg), nó cũng đi qua tiếp
tuyến PQ nhƣ C, và qua véc tơ N, cịn (n,N) là góc giữa véc tơ pháp tuyến chính
đơn vị n của đƣờng cong C và véc tơ pháp tuyến đơn vị N của mặt cong.
Ta có thể xác định bán kính cong r ở tiết diện bất kỳ (I-I) hợp với tiết diện pháp
tuyến N-N tại điểm khảo sát một góc  qua bán kính cong r N ở tiết diện pháp tuyến
N-N (hình 1.6).
r = rN.cos

(1.10)

: góc giữa mặt nghiêng và mặt pháp tuyến.
1
N



M
N

r

1

N

Hình 1.6. Hình minh hoạ

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ kỹ thuật

20

Chuyên ngành: Công nghệ CTM

Trong công thức (M), R đƣợc lấy dấu cộng nếu N hƣớng về bề lõm của đƣờng cong
Cphdg, và dấu trừ nếu hƣớng về bề lồi.
- Đối với mỗi giao tuyến pháp Cphdg, độ cong của nó là:
1 cos2  sin 2 


R
R2
R1

(E)

(Công thức Ơle), R1 và R2 là các bán kính cong chính, tức là các giá trị lớn nhất và

nhỏ nhất của R; ta có những giá trị ấy tại các giao tuyến pháp chính C1 và C2 của
mặt cong và  là góc giữa các mặt của các giao tuyến C1 và C2.
Bán kính cong chính: Nếu mặt cong đƣợc cho bởi phƣơng trình z = f(x,y) thì R 1 và
R2 đƣợc tính nhƣ nghiệm của phƣơng trình bậc hai:
(rt – s2). R2 + h[2p.q.s – ( 1 + p2) – (1 + q2).r]. R + h4 = 0

(A)

Trong đó:
p

z
z
2z
2 z
2z
;q  ;r  2 ;s 
,t  2 , h  1 p2  q2
x
y
x.y
x
y

Các mặt phẳng của các giao tuyến pháp chính C1 và C2 thẳng góc với nhau; chiều
của nó đƣợc xác định bởi giá trị
[tpq  s(1  q 2 )].(

y
thu đƣợc từ phƣơng trình bậc hai:

x

dy 2
dy
)  [t.(1  p 2 )  r (1  q 2 )]  [ s(1  p 2 )  rpq]  0
dx
dx

(B)

Nếu mặt cong đƣợc cho dƣới dạng tham số r = r(u,v) thì các phƣơng trình tƣơng
ứng với (A) và (B) sẽ có dạng:
(D.D‖ – D’2 ).R2 – (E.D‖ – 2F.D’ + G.D).R + (E.G – F2) = 0
(G.D’ – F.D‖).(

(A’)

dv 2
dv
) + (G.D – ED‖).
+ (F.D – E.D’) = 0
du
du

(B’)

Trong đó: D, D’, D‖ là các hệ số của dạng thức toàn phƣơng thứ hai của mặt cong,
xác định bởi các công thức:
D  r11 .N 

d
EG  F

2

, D'  r12 .N 

d'
EG  F

2

, D"  r22 .N 

d"
EG  F 2

Ở đây các véc tơ r11, r12, r22 là các đạo hàm riêng cấp hai của bán kính véc tơ r theo
các tham số u và v; các tử số d, d’, d‖ là:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên