- Trang chủ >>
- Đại cương >>
- Toán rời rạc
Bài tập xác suất thống kê có lời giải chi tiết
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.59 MB, 31 trang )
Nhóm: 02
1
Trưởng nhóm: Lê Hà Thu
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
VÀ TRUYỀN THÔNG
BÀI THẢO LUẬN
CHỦ ĐỀ: BÀI TẬP CHƯƠNG VÀ NHỮNG KHÁI
NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT VÀ ĐẠI LƯỢNG NGẪU
NHIÊN
Giảng viên hướng dẫn: Trương Hà Hải
Nhóm:
02
Thành viên:
Lê Hà Thu (Nhóm trưởng)
Ma Nguyễn Lệnh
Hà Thị Ngọc Linh
Nguyễn Đăng Tùng
Đỗ Thị Hồng
Cao Văn Tú
Thái Nguyên, tháng 09 năm 2014
Nhóm: 02
2
Trưởng nhóm: Lê Hà Thu
MỤC LỤC
A. Lý thuyết căn bản chương 1. Những khái niệm cơ bản về xác suất. 3
1. Định lý cộng xác suất. 3
2. Định lý nhân xác suất. 3
3. Công thức Becnuni. 4
4. Công thức xác suất đầy đủ. 4
5. Công thức Bayes. 4
B. Bài tập. 4
1. Phần 1.1 Các công thức xác suất 4
2. 1.2.Công thức xác suất đầy đủ. công thức Bayes 12
3. 1.3 Công thức Becnulli. 20
A. Lý thuyết căn bản. Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên. 22
1. Bảng phân phối xác suất. 22
2. Hàm phân phối xác suất. 23
3. Hàm mật độ phân phối xác suất. (chỉ áp dụng được với biến ngẫu nhiên liên tục) 23
4. Các tham số đặc trưng của ĐLNN. 24
5. Một số các tham số khác. 25
6. Một số quy luật phân phối thường gặp. 25
B. Bài tập chương 2. Đại lượng ngẫu nhiên. 25
Nội dung và nhiệm vụ các thành viên:
Thành viên
Nội dung phụ trách
Ghi chú
Phân nội dung, làm các ý 1; 1.1; 2; 2.2
khung:
Làm các ý 1; 1.2; 1/2
Làm các ý 2; 1.2; 1/2
Làm các ý1;1.3; 2; 2.1;1/2
Làm các ý 2; 2.1; 1/2
Tổng hợp lý thuyết, Làm câu số: 2; 2.2
Nhóm: 02
3
Trưởng nhóm: Lê Hà Thu
A. Lý thuyết căn bản chương 1. Những khái niệm cơ bản về xác suất.
CHƯƠNG 1: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT
1. Định lý cộng xác suất.
Định lý:
.
Hệ quả 1: Cho A
1,
A
2
n
:
n
i
n
i
i
APAP
11
)()(
Hệ quả 2:
1,
A
2
n
.
1.
2. Định lý nhân xác suất.
Định nghĩa 1:
.
*Chú ý:
B
;
A
B
A
.
Định nghĩa 2
1,
A
2
n
.
Định nghĩa 3
1,
A
2
n
.
Hệ quả 1: :
)(
).(
)(
BP
BAP
AP
)(
).(
)(
AP
BAP
BP
khi P(B) >
0.
Hệ quả 2
:
n
i
i
n
i
i
APAP
11
)()(
Đinh nghĩa
Định lý 2:
:
P(A.B) = P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B)
Hệ quả 1
)(
).(
)/(
BP
BAP
BAP
.
Hệ quả 2:
:
P( A
1
A
2
n
) = P(A
1
).P(A
2
/A
1
).p(A
3
/A
1
A
2
n
/A
1
A
2
n-1
)
Nhóm: 02
4
Trưởng nhóm: Lê Hà Thu
: P(A/B) = P(A) P(B/A) = P(B)
3. Công thức Becnuni.
Định nghĩa
:
A
.
.
KP
n
(x) =
xnxx
n
qpC
.
.
4. Công thức xác suất đầy đủ.
1
,H
2
n
H
1
,H
2
n
: P(A) =
n
i
ii
HAPHP
1
)/()(
1
,H
2
n
.
5. Công thức Bayes.
1
,H
2
n
.
Suy ra: P(H
i
/A) =
n
i
ii
iiii
HAPHP
HAPHP
AP
HAPHP
1
)/()(
)/()(
)(
)/()(
.
.
B. Bài tập.
1. Phần 1.1 Các công thức xác suất
Bài 1:
a)
P(A1) = =
P(A2) == =
Nhóm: 02
5
Trưởng nhóm: Lê Hà Thu
P(A3) = = =
P(A4) = =
P(A) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + P(A4) = 35/99 + 14/33 + 14/99 + 1/99 =0,93
b)
=
=
=
.
P(A) = 1- 6/11 = 5/11
Bài 2:
m = = 90
n =
P(A) = = = 0,18
P(B) = = =0,44
Bài 3:
: n= 5.5 = 25
a.
Nhóm: 02
6
Trưởng nhóm: Lê Hà Thu
A
= 4.
P(A) = = 0,16
b.
m
B
= 25-1 = 24
P(B) = = 0,96
Bài 4:
a)
P(A) = .
b)
. . = 2770,
P(B) =
Bài 5:
= = n;
* + * ch);
* + * + *
Nhóm: 02
7
Trưởng nhóm: Lê Hà Thu
* + *
= 0,85.
Bài 6 :
a,
i=1,2)
= 0,224
b,
2.B1)=P(A1.B2)+P(A2.B1)-P(A1.B2.A2.B1)
= P(A1).P(B2)+P(A2).P(B1)
+ = 0,448
Bài 7:
=>m=7*6*5.
=
b,
P(B)= =
Bài 8 :
a,
Nhóm: 02
8
Trưởng nhóm: Lê Hà Thu
; P( )=1-P(A2) =
).
P(A1. )=P(A1).P( )= = 0,133
=38.37.36
x38
= 0.922
Bài 9:
Bài 10:
Bài 11:
1
2
3
P(A
1
) = 0,99 P(A
2
) = 0,95 P(A
3
) = 0,90
P = [(1-0,99) .(1-0,95) .(0,90) + (1-0,99). (0,95).(1-0,90) + (0,99) . (1-0,95).(1-0,99) ]
= 0,00635
Nhóm: 02
9
Trưởng nhóm: Lê Hà Thu
Do
=(1 0,99) . (1 0,95) . (1 0,90) = 0,00005
Bài 12:
P(A1) = [(C(60,9).C(20,1)]/ C(80,10) = 0,175
P(A2) = [C(60,8).C(20,2)]/ C(80,10) = 0,295
P(A0) = [C(60,10).C(20,0)]/ (80C10) = 0,046
P(A) = P(A0) + P(A1) + P(A2) = 0,175 + 0,295 + 0,046 = 0,5209
Bài 13:
i
1
) P(A
2
) P(A
3
) + P(A
1
)
2
) P(A
3
) + P(A
1
) P(A
2
)
3
)
= 0,3 0,9 0,8 + 0,7 0,1 0,8 + 0,7 0,9 0,2 = 0,398
⇨ P(
1
)
2
)
3
) = 0,3 0,1 0,1 = 0,006
0,006 = 0,994
1
) P(A
2
) P(A
3
) + P(A
1
) P(A
2
)
3
)
= 0,3 0,9 0,8 + 0,7 0,9 0,2 = 0,342
Bài 14.
i
a.
Nhóm: 02
10
Trưởng nhóm: Lê Hà Thu
=
1 2 3
= P(
1 2 3
) = P(
1
)P(
2
)P(
3
)
= (1 0,01)(1 - 0,1)(1 - 0,5) = 0,4455
- = 1 0,4455 = 0,5545
b.
Ta
1
A
2
A
3
+A
1 2
A
3
+A
1
A
2 3
P(B) = P(
1
A
2
A
3
+A
1 2
A
3
+A
1
A
2 3
)
= (1-0,01).0,1.0,5+0,01.(1-0,1).0,5+0,01.0,1.(1-0,5)
=0,0545
c.
P(
1
/B) = =
= =
Bài 15:
i
P(A
2
) =
P(A
3
) =
P(A
4
) =
P(A
5
) =
P(E) = P(A
2
) + P(A
3
) + P(A
4
) + P(A
5
)
= 0,355 + 0,26 + 0,09 + 0,011 = 0,716.
Bài 16:
a)
Nhóm: 02
11
Trưởng nhóm: Lê Hà Thu
A= + + ,
) + P( ) + P( )
=P( ).P( ).P( ) + P( ).P( ).P( ) + P( ).P( ).P( )
= 0,09.0,05.0,1 + 0,01.0,95.0,1 + 0,01.0,05.0,9 =0,0063.
b)
P(B)= P(B
1
+ B
2
+ B
3
)
= P(B
1
) + P(B
2
) + P(B
3
) P(B
1
.B
2
) P(B
2
B
3
) P(B
3
B
1
) + P(B
1.
B
2
.B
3
)
= 0,09 + 0,95 + 0,9 0,95.0,09 0,95.0,9 0,9.0,99 + 0,95.0,99.0,9 = 0,999
c)
).P( ).P( )
=0,99.0,95.0,9 = 0,00495.
Bài 17
P(A1.A2)= * = 0,28
P(A1.B2+A2.B1+C1.C2)=P(A1.B2)+P(A2.B1)+P(C1.C2)
=P(A1).P(B2)+P(A2)*P(B1) + P(C1).P(C2)
= * + * + P(C1).P(C2)
P(C1)=
P(C2)=
Suy ra P(A1.B2+A2.B1+C1.C2) = * + * + *
=0,02+0,07+0,15=0,24;
Nhóm: 02
12
Trưởng nhóm: Lê Hà Thu
2. 1.2.Công thức xác suất đầy đủ. công thức Bayes
Bài 1
a,
⇨ A=A.A1+A.A2
= = 0,52
Bài 2 :
a,
2
P(A)=P(A1).P(A/A1)+P(A2).P(A/A2)
P(A)=0,8x0,3+0,2x0,5=0,34
= = 0,705
Bài 3:
a)
A
1
A
2
Ta
1
) =30/40=0,75; P(A
2
) = 0,25;
Nhóm: 02
13
Trưởng nhóm: Lê Hà Thu
P(A/A
1
) = ;
P(A/A
2
) = ;
P(A) = P(A
1
)*P(A/A
1
) + P(A
2
)*P(A/A)
= 0,75* + 0,25* = 0,3887.
b)
B
1
B
2
1
) = = 0,75; P(B
2
) = = 0,25;
P(B/B
1
) = = = ;
P(B/B
2
) = = = ;
P(B) = P(B
1
)*P(B/B
1
) + P(B
2
)*P(B/B
2
)
= 0,75* + 0,25* = 0,4786;
Bài 4:
P(A1)=0,4;P(A2)=0,6; P(A/A1)=0,8; P(A/A2)=0,9
Suy ra P(A)=P(A1).P(A/A1)+P(A2).P(A/A2)=0,4*0,8+0,6*0,9=0,86
B,Ta t
P( ) . P( ) = P( /A1).P(A1) => P( ).(1-0,86)=0,2 *0,4=> P( )=0,57
Nhóm: 02
14
Trưởng nhóm: Lê Hà Thu
P( ) . P( ) = P( /A2).P(A2) => P( ).(1-0,86)=0,1 *0,6> P( )=0,428
Bài 5:
1
E
2
E
3
E
4
P(E
1
) = ; P(E
2
) = ; P(E
3
) = ; P(E
4
) = ;
P(A/E
1
) = 0,2 P(A/E
2
) = 0,3 P(A/E
3
) = 0,4 P(A/E
4
) = 0,5
P(E
1
/A) = =
P(E
2
/A) = =
P(E
3
/A) = =
P(E
4
/A) = =
Bài 6:
= 0,8.0,85.(1-0,9) + 0,8.(1-0,85).0,9 + (1-0.8).0,85,0.9
Nhóm: 02
15
Trưởng nhóm: Lê Hà Thu
= 0,329
= 0,8.0,15.0,1 + 0,2.0,85.0,1 + 0,2.0,15.0,9 = 0,056
= 0,8.0,85.(1-0,9) + 0,8.(1-0,85).0,9 + (1-0.8).0,85,0.9 = 0,329
:
P3 = 0,8.0,85.0,9 = 0,612
P(A) = 0,7.P1 + 0,9.P2 + 1.P3 = 0,7.0,056 + 0,9.0,329 + 1.0,612 = 0,9473
Bài 7:
i
P() = P(A
1
) P(A/A
1
) + P(A
2
) P(A/A
2
)
= 0,33 0,1 + 0,67 0,2 = 0,167
P(B) = = = 0,198
Bài 8:
1
,A
2
,A
3
⇨ P(A) = P(A/A1).P(A1)+P(A/A2).P(A2)+P(A/A3).P(A3)
= 3/15.5/14+3/15.6/14+1/15.7/14 = 4/21
Bài 9:
.
a)
.
Nhóm: 02
16
Trưởng nhóm: Lê Hà Thu
P(A) = = 0,625.
b)
+ P(A) = 0,98.
c)
C
i
1
, C
2
, C
3
1
) = 0,625; P(C
2
) = P(B) P(A) = 0,355; P(C
3
) = = 0,023;
P(C/C
1
) = 1; P(C/C
2
) = 0,5; P(C/C
3
) = 0
;
P(C) = P(C
1
).P(C/C
1
) + P(C
2
).P(C/C
2
) + P(C
3
).P(C/C
3
)
= 0,625.1 + 0,355.0,5 + 0,023.0 = 0,8025.
Bài 10:
a)
P(A) = 0,8; P(B) = 0,2;
P(C/A) = ; P(D/B) = ;
P(C) = P(A).P(C/A) + P(B).P(D/B)
= 0,8.(1- ) + 0,2. = 0,665.
b)
Nhóm: 02
17
Trưởng nhóm: Lê Hà Thu
P(A/C) = = = 0,96.
Bài 11 :
)=0,65; P(A/B)=0,65; P(A/ )=0,3;.
a, P(A)=(P(B).P(A/B)+P( ).P(A/ ) = 0,35*0,65+0,65*0,3= 0,4225
P(B/A)= = = 0,54
) =1-P(A)=1-0,4225=0,5775
P(B/ )= = = 0,2
Bài 12 :
P(A1)=0,8; P(A2)=0,2; P(A/A1)=0,9; P(A/A2)=0,85
=>P(A)=0,8*0,9 + 0,2*0,85 =0,89
Suy ra 0,89*P(A1/A)=0,8*0,9
P(A1/A)= = 0,809
Bài 13 :
a,
P(A)=P(A1).P(A/A1)+P(A2).P(A/A2)+P(A3).P(A/A3)
P(A)=0,2*0,05 + 0,5*0,15 + 0,3*0,3=0,175
b,
Nhóm: 02
18
Trưởng nhóm: Lê Hà Thu
= = 0,057
Bài 14:
i
P(A
1
) = 0,4; P(A
2
) = 0,6;
P(A/A
1
) = 0,01; P(A/A
2
) = 0,02;
P(A) = P(A
1
)*P(A/A
1
) + P(A
2
)*P(A/A
2
)
= 0,4*0,01 + 0,6*0,02 = 0,016.
P(A
1
/A) = = = 0,25.
P(A
2
/A) = = = 0,75.
Bài 15:
a,
P(A1)=0,8; P(A/A1)=0,9; P(A2)=0,2; P(A/A2)=0,5
P(A) = P(A
1
)*P(A/A
1
) + P(A
2
)*P(A/A
2
) = 0,8*0,9+0,2*0,5 = 0,82
b,
P(A.A1 + .A2 ) =P(A.A1)+P( .A2)=P(A1).P(A/A1)+P( ).P(A2/ )
= 0,8*0,9+0,18*0,5=0,81
Bài 16:
Nhóm: 02
19
Trưởng nhóm: Lê Hà Thu
P(A)=P(A1).P(A/A1)+P(A2).P(A/A2)=0,55*.0,94+0,45.0,98=0,517+0,441=0,958
958.P(A2/A)=0,45.0,98
P(A2/A)=0,46
Bài 17:
P(A) = P(A0).P(A/A0) + P(A1).P(A/A1) = 6/10.6/9 + 5/10.5/9 = 61/9
A
1
A
2
1
)= 5/9; P(A
2
)= 3/9;
P(A/A
1
)= = =
P(A/A
2
)= = =0,5
1
).P(A/A
1
) + P(A
2
).P(A/A
2
) = 5/9.5/9 + 3/9.0,5= 0,475
Bài 18:
A
i
P(A) = P(A
1
) P(A/A
1
) + P(A
2
) P(A/A
2
)
= + = 0,52
P(A
1
/A) = = =0,32
Bài 19
1
__ A
2
_____________________________________ II
Nhóm: 02
20
Trưởng nhóm: Lê Hà Thu
ADCT Bayes
P(A
1
/A) =
= = 7/13
Bài 20:
i
P(A
1
) = 0,75; P(A
2
) = 0,25;
P(A/A
1
) = 0,9; P(A/A
2
) = 0,99;
a)
100% - (0,9225.100%) = 7.75%
b)
P(A
1
/A) = = = 0,732.
3. 1.3 Công thức Becnulli.
Bài 1
= . .0,01 = 0,048;
= . .0,05 = 0,16
Nhóm: 02
21
Trưởng nhóm: Lê Hà Thu
Bài 2 :
P(A)= (5)= * * = 0,058
(7,10)= * * + * * + * * +
* * = 0,00351
Bài 3 :
a,
(5)= * * =0,1032
b,
(0,2)= * * + * * + * * = 0,6733
Bài 4 :
a,
* * =45*0,04*0,17=0,306
b,
P(B)=1-P( );
P( )= * * =
Suy ra P(B)=1- = 1-0.107=0,893
Bài 5:
a)
A
i
P(A
4
) = * * 0,2966;
P(A
5
) = * *0,25 0,3559;
Nhóm: 02
22
Trưởng nhóm: Lê Hà Thu
P(A
6
) = * * 0,1779.
P(A) = P(A
4
) + P(A
5
) + P(A
6
) 0,8305.
b)
P( ) = 1 P(A) = 1 0,8305 = 0,1695.
Bài 6:
.
(4)=C(8,4)* =0,27
(1)=C(8,1)* =0,03125
(7)=C(8,7)* =0,03125
A. Lý thuyết căn bản. Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên.
CHƯƠNG 2 : ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
1. Bảng phân phối xác suất.
x
1
, x
2
n
1
, p
2
n
X
x
1
x
2
x
i
x
n
P(x
i
)
p
1
p
2
p
i
p
n
n
i
i
i
p
ip
1
1
,10
Nhóm: 02
23
Trưởng nhóm: Lê Hà Thu
2. Hàm phân phối xác suất.
Định nghĩa: H
: F
x
(x) = P(X < x)
-
1
1
1
0
1
i
i
x j i i
j
n
khi x x
F x p khi x x x
khi x x
.
-
x
x
F x f u du
- Các tính chất:
+ Tính chất 1: :
0 F(x) 1
+ Tính chất 2:
2
> x
1
F(x
2
1
).
* Các hệ quả:
Hệ quả 1:
:
P(a X < b) = F(b) F(a)
Hệ quả 2:
P(X = x) = 0.
Hệ quả 3: :
P(a X b) = P (a X < b) = P(a < X b) = P(a < X < b)
+ Tính chất 3: :
1)(;0)( FF
3. Hàm mật độ phân phối xác suất. (chỉ áp dụng được với biến ngẫu nhiên liên tục)
Định nghĩa: t ca bin ng
c nht c t ca bin ng: F
x
x) = f(x)
Các tính chất:
+ Tính chất 1: i mi x.
+ Tính chất 2: bin ngc X nh trong khong (a;b)
bnh c t trong kho:
P(a < X < b) =
b
a
dxxf )(
+ Tính chất 3: t ca bin ngc X b
rng c t trong khong ( - F(x) =
x
dxxf )(
+ Tính chất 4: ng trong khong ( - t
bng 1:
1)( dxxf
Nhóm: 02
24
Trưởng nhóm: Lê Hà Thu
Chú ý: Để f(x) là hàm mật độ xác suất của địa lượng ngẫu nhiên liên tục nào đó thì nó
phải thỏa mãn hai điều kiện:
0
x1
f x x
f x d
4. Các tham số đặc trưng của ĐLNN.
a. Kỳ vọng.
Định nghĩa:
x
1
, x
2
n
1
, p
2
n
: E(X) =
n
i
ii
px
1
-
: E(X) =
dxxxf )(
Chú ý: Nếu f(x) chỉ trong khoảng (a; b) thì E(X) =
()
b
a
xf x dx
Các tính chất:
- Tính chất 1: .
- Tính chất 2: E(C.X) = C.E(X) .
- Tính chất 3: E(X + Y) = E(X) + E(Y)
(mở rộng cho n biến ngẫu nhiên độc lập)
- Tính chất 4: E(X.Y) = E(X).E(Y) (
mở rộng cho n biến ngẫu nhiên độc lập )
b. Phương sai.
Định nghĩa: Phương sai
D D(X) = E(X - E(X))
2
.
:
D(X) =
n
i
ii
XEpx
1
2
2
))((
i D(X) =
22
))(()( XEdxxfx
.
Các tính chất:
- Tính chất 1: D.
- Tính chất 2: D(CX) = C
2
D
- Tính chất 3: .
Hệ quả: V(X .
Chú ý: Trong thực tế:
2
2
X EX EXD
Nếu X_rời rạc:
2
2
11
X
nn
i i i i
ii
D x p x p
Nếu X_liên tục:
2
2
X x x xD x f d xf x d
c. Độ lệch chuẩn.
Nhóm: 02
25
Trưởng nhóm: Lê Hà Thu
()DX
.
5. Một số các tham số khác.
a. Mod.
Mod(X)
,
.
b. Med. Công thức:
d
1
d
2
me
Me X F X
6. Một số quy luật phân phối thường gặp.
6.1 Phân phối không – một: Ta có: E(X) = p; D(X) = pq nên:
X
pq
.
6.2 Phân phối nhị thức:
,X B n p
X
npq
;
d1mo X n p
.
Chú ý:
Áp dụng cho n rất lớn và p khá nhỏ.
i)
x
1
x n x
xn
P C p q f u
npq
trong đó:
2
1
;.
2
u
x np
u f u e
npq
ii)
21
P x X x h u u
trong đó:
1
2
11
0
1
; ; .
2
u
x np x h np
u u u e dt
npq npq
6.3 Công thức Poisson:
!
k
k
P P X k e
k
.
6.4 Phân phối chuẩn:
2
2
2
1
.
2
x
f x e
.
2
EX= , DX .
2
,XN
.
6.5 Phân phối student: Ký hiệu:
2
.
B. Bài tập chương 2. Đại lượng ngẫu nhiên.
2.1 Đại lượng ngẫu nhiên.
Bài 1: GT
Bài 2:
a.
0,1,2,3X
i
