Giải bài toán động lực học bằng phương pháp năng lượng luận văn tốt nghiệp đại học

TrÇn V¨n T×nh – Líp K48 §H S− Ph¹m VËt Lý - §H T©y B¾c

1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC
KHOA: TOÁN – LÝ – TIN
+++







++++







Sinh Viên: TrÇn V¨n T×nh
TrÇn V¨n T×nhTrÇn V¨n T×nh
TrÇn V¨n T×nh





Lớp: K48 ĐHSP Vật Lý

GIẢI BÀI TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC BẰNG PHƯƠNG
PHÁP NĂNG LƯỢNG











Chuyên ngành: Vật lý Đại Cương

Sơn la, tháng 05 năm 2010
TrÇn V¨n T×nh – Líp K48 §H S− Ph¹m VËt Lý - §H T©y B¾c

2

PHẦN MỘT: LỜI NÓI ĐẦU

Trong quá trình học tập giải bài tập là một khâu quan trọng không thể
thiếu. Tuy nhiên đứng trước mỗi bài tập, điều khó khăn nhất đối với người học
là lựa chọn cách giải nào cho phù hợp để đi tới kết quả đúng và dựa trên cơ sở
nào để lựa chọn phương pháp này.
Trong phần cơ học, đã có nhiều tài liệu tham khảo viết về việc giải
bài toán động lực học, nhưng hầu hết các tài liệu đó đều vận dụng các
định luật Newtơn (tức là dùng phương pháp động lực học) để giải, cách
giải này hay, tuy nhiên trong nhiều bài toán cụ thể thì phương pháp năng
lượng lại tỏ ra hiệu quả hơn.
Bài toán động lực học là bài toán về quan hệ giữa lực, khối lượng và gia
tốc của vật chuyển động. Trong bài toán động lực học ngoài sự có mặt của các
đại lượng động học như
s
,
o

v
,
t
v
,
a
và
t
còn có sự tham gia của các đại lượng
động lực học như
F
và
m
. Về nguyên tắc nếu ta biết cách liên hệ vận tốc, gia
tốc và độ dịch chuyển của vật theo thời gian trong một chuyển động bất kì, thì
để giải bài toán động lực học ta chỉ cần biết các định luật Newtơn, phương pháp
này chỉ đơn giản đối với chuyển động biến đổi đều. Còn trong tất cả các trường
hợp khác, tức là khi lực tác dụng lên vật là biến thiên thì việc dùng định luật II
để giải bài toán này sẽ trở nên khó khăn hơn đặc biệt là trong các chuyển động
cong. Trong những trường hợp đó thì lý thuyết năng lượng sẽ giúp chúng ta giải
bài toán động lực học một cách thuận lợi hơn.
Ngoài ra với những bài toán động lực học trong đó có sự va chạm giữa
các vật mà nếu dùng định luật bảo toàn động lượng vẫn chưa đủ để giải thì khi
đó phương pháp năng lượng sẽ có vai trò quan trọng trong việc giải bài toán.





TrÇn V¨n T×nh – Líp K48 §H S− Ph¹m VËt Lý - §H T©y B¾c

3

PHẦN HAI: NỘI DUNG
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

I.1. Hệ kín (hệ cô lập)
Hệ kín (hệ cô lập) là hệ mà các vật trong hệ chỉ tương tác với nhau mà
không tương tác tác với vật ngoài hệ, tức là các vật trong hệ không chịu tác
dụng của ngoại lực, hoặc nếu có thì những lực này triệt tiêu lẫn nhau.
I.2. Nội lực, ngoại lực.
+ Nội lực là lực do các chất điểm của hệ tương tác lẫn nhau.
+ Ngoại lực là do các chất điểm hay các vật thể ở ngoài hệ tác dụng lên
các chất điểm trong hệ.
I.3. Công, công nguyên tố, công hữu hạn của lực, biểu thức tính công của
một số lực.
I.3.1. Công, công nguyên tố.
Công nguyên tố của lực
F

, điểm đặt của nó di chuyển theo đường cong
C, sau thời gian
dt
thực hiện di chuyển nguyên tố
s
d
được xác định theo công
thức:
s
A F ds F ds

δ
= =



Trong đó:
s
F
là hình chiếu của lực
F

lên tiếp tuyến của quỹ đạo tại điểm
đặt của lực
F

.
I.3.2. Công hữu hạn của lực.
Công của lực
F

trong chuyển dời CD bất kì:
 
s
CD CD
A F ds F ds
= =
∫ ∫



Trong đó:
ds

là vector chuyển dời nguyên tố,
s
F
là hình chiếu của
F

trên
phương của
ds

.
Trường hợp
F

không đổi, chuyển dời thẳng:
cos
s
A F s F s Fs
α
= = =



Trong đó:
α
là góc hợp bởi lực
F


và phương chuyển dời
s

.
TrÇn V¨n T×nh – Líp K48 §H S− Ph¹m VËt Lý - §H T©y B¾c

4

I.3.3. Biểu thức công của một số lực.
I.3.3.1. Công của trọng lực:
(
)
2 1
P
A P z z Ph
= − − = ±

. Trong đó:
1
z
và
2
z
là độ cao
của hai vị trí đầu và cuối.
I.3.3.2. Công của lực đàn hồi:
( )
2 2
2 1

2
dh
F
C
A r r
= − −

. Trong đó:
r

là vector định vị
của chất điểm so với tâm.
C
là hệ số tỉ lệ không đổi hay hệ số cứng.
Trường hợp lò xo, công của lực đàn hồi lò xo khi đầu mút của nó bị biến
dạng một đoạn
δ
so với trạng thái tự nhiên của nó:
2
2
C
A
δ
= −
I.3.3.3. Công của lực tác dụng lên vật rắn chuyển động tịnh tiến.
c c
dA Fdr F vdt F v dt Fdr
= = = =
   
   

I.3.3.4. Công của lực tác dụng lên vật quay quanh một trục cố định.
(
)
t t t
dA F v dt RF dt M F d
ω ϕ
= = =


I.3.3.5. Công của hệ nội lực trong vật rắn:
0
i i
k
dA dA
= =
∑

I.4. Lý thuyết về năng lượng.
I.4.1. Năng lượng.
Tất cả các dạng vận động của vật chất đều mang năng lượng. Năng lượng
là đại lượng đặc trưng cho mức vận động của vật chất.
Mọi vật ở trạng thái xác định thì sẽ có năng lượng xác định. Khi vật
không cô lập, nghĩa là có tương tác với các vật khác thì xảy ra quá trình biến
đổi trạng thái. Tức là các vật trao đổi năng lượng với nhau. Quá trình trao đổi
năng lượng chuyển động cơ học giữa các vật diễn ra như sau: Vật ta đang khảo
sát tác dụng lực lên vật bên ngoài, các lực này sinh công. Như vậy công chính
là một đại lượng đặc trưng cho quá trình trao đổi năng lượng giữa vật này với
vật khác. Một hệ khi thực hiện công thì năng lượng của nó biến đổi.
Giả sử xét quá trình biến đổi năng lượng của một hệ từ trạng thái 1 (có

năng lượng
1
W
) sang trạng thái 2 (có năng lượng
2
W
).
Thực nghiệm chứng tỏ:
2 1
W W A
− =

Độ biến thiên năng lượng của hệ trong một quá trình nào đó có giá trị
bằng công mà hệ nhận được từ bên ngoài.
TrÇn V¨n T×nh – Líp K48 §H S− Ph¹m VËt Lý - §H T©y B¾c

5

Nếu
0
A
>
năng lượng của hệ tăng, hệ nhận công từ bên ngoài.
Nếu
0
A
<
năng lượng của hệ giảm, hệ thực hiện công lên ngoại vật.
Trong trường hợp hệ cô lập thì:
2 1

0
W W
− =
. Tức là: Năng lượng của hệ cô
lập bảo toàn.
Phân biệt giữa công và năng lượng: Năng lượng của hệ phụ thuộc vào
trạng thái của hệ. Do đó ta nói năng lượng là hàm trạng thái. Công chỉ xuất hiện
khi hệ biến đổi trạng thái tức là thực hiện một quá trình. Như vậy công là hàm
của quá trình.
Năng lượng của một hệ là hữu hạn cho nên hệ không thể sinh công mãi
mãi. Muốn hệ sinh công mãi thì hệ phải nhận năng lượng từ bên ngoài.
Trong phần cơ học ta chỉ xét dạng năng lượng ứng với chuyển động cơ
học của các vật gọi là cơ năng. Cơ năng gồm hai phần: Động năng ứng với sự
chuyển động của các vật và thế năng ứng với sự tương tác giữa các vật.
I.4.2. Động năng. Định lý biến thiên động năng.
I.4.2.1. Động năng.
+) Động năng của vật là năng lượng do chuyển động của vật mà có.
+) Biểu thức động năng:
Với chất điểm có khối lượng
k
m
chuyển động với vận tốc
k
v
:
2
1
2
k k k
T m v

=

Với cơ hệ N chất điểm:
2
1 1
1
2
N N
k k k
k k
T T m v
= =
= =
∑ ∑

+) Động năng là đại lượng vô hướng, đơn vị động năng là
2
2
.
( )
kg m
s

I.4.2.2. Định lý động năng.
+) Dạng vi phân: Vi phân động năng của cơ hệ bằng tổng công nguyên tố
của tất cả các ngoại lực và nội lực tác dụng lên cơ hệ:
i e
dT A A A
δ δ δ
= = +

+) Dạng tích phân: Biến thiên động năng của cơ hệ trong khoảng thời
gian nào đó bằng tổng công các nội lực và ngoại lực sinh ra trong chuyển dời
ứng với thời gian đó:
2 1
i e
T T A A
− = +

+) Với vật rắn ta có:
0 0
i i
A A
δ
=
⇒
=

TrÇn V¨n T×nh – Líp K48 §H S− Ph¹m VËt Lý - §H T©y B¾c

6

I.4.3. Lực thế và thế năng.
I.4.3.1. Lực thế.
+) Trường lực là khoảng không gian vật lý mà khi chất điểm chuyển
động trong trường lực chịu tác dụng lực chỉ phụ thuộc vào vị trí của nó.
+) Trường lực thế là trường lực mà công của lực tác dụng lên chất điểm
không phụ thuộc vào dạng quỹ đạo điểm đặt của lực mà chỉ phụ thuộc vào vị trí
đầu và cuối của nó. Lực do trường lực thế tác dụng lên chất điểm đặt trong nó
được gọi là lực thế.

( )
( )
r
U U U U
F gradU r i j k
r x y z
 
∂ ∂ ∂ ∂
= − = − = − + +
 
∂ ∂ ∂ ∂
 



 



Trong đó:
(
)
U r

là đại lượng vô hướng gọi là lực thế của chất điểm ở vị trí
r

.
I.4.3.2. Thế năng.
+) Thế năng tương tác của chất điểm trong trường lực thế là một hàm

(
)
U r

phụ thuộc vào vị trí của chất điểm sao cho:
( )
( )
(
)
( )
0
0
r
r
A Fdr U r U r
= = −
∫



  

Trong đó:
(
)
0
U r

và
(

)
U r

là thế năng của chất điểm ở vị trí
0
r

và
r

.
+) Thế năng của chất điểm:
0
( )
( )
r
r
U Fdr C
= − +
∫




C là hằng số.
+) Thế năng là một dạng năng lượng đặc trưng cho tương tác.
I.4.4. Cơ năng. Định luật bảo toàn và biến thiên cơ năng.
I.4.4.1. Cơ năng.
Đại lượng E bằng tổng động năng và thế năng của chất điểm (hệ chất
điểm) được gọi là cơ năng của chất điểm (hệ chất điểm).

Với chất điểm:
( )
2
2
r
mv
E U
= +


Với hệ chất điểm:
( )
1 2
2
, ,
2
k k
r r
k
m v
E U= +
∑
 

TrÇn V¨n T×nh – Líp K48 §H S− Ph¹m VËt Lý - §H T©y B¾c

7

I.4.4.2. Định luật bảo toàn và biến thiên cơ năng.
- Đối với hệ kín cơ năng của hệ được bảo toàn:

( )
1 2
2
, ,
1
2
N
N
i
k k
r r r
k
m v
E T U U const
=
= + = + =
∑
  

- Nếu hệ chuyển động trong trường lực thế thì cơ năng của hệ được bảo toàn:
i e
E T U U const
= + + =

- Định lý biến thiên cơ năng: Vi phân cơ năng của hệ bằng tổng công
nguyên tố của các ngoại lực không phải là lực thế tác dụng lên hệ.
( )
1 2
2
, ,

1
2
N
N
e
k k
r r r
k
m v
d U A
δ
=
 
+ =
 
 
∑
  

I.5. Xung lượng, định lý biến thiên và định luật bảo toàn xung lượng,
mômen xung lượng.
I.5.1. Xung lượng.
- Xung lượng của chất điểm là đại lượng đo bằng tích của khối lượng và
vận tốc của nó:
P mv
=

- Xung lượng là một đại lượng vector có cùng hướng với vector vận tốc
(vì khối lượng luôn dương):
P mv

=



- Đơn vị của xung lượng trong hệ SI là:
.
( )
kg m
s

I.5.2. Định lý biến thiên xung lượng.
Định lý: Đạo hàm vector xung lượng của hệ theo thời gian bằng tổng
ngoại lực tác dụng lên chất điểm của hệ.
Biểu thức:
e
dP
F
dt
=



I.5.3. Định luật bảo toàn xung lượng.
Với hệ cô lập thì
0
e
F
=

và ta có:

0
e
dP
F
dt
= =


hay
P const
=



Vậy đối với hệ cô lập thì vector xung lượng của hệ bảo toàn.
TrÇn V¨n T×nh – Líp K48 §H S− Ph¹m VËt Lý - §H T©y B¾c

8

I.6. Hệ quy chiếu không quán tính.
I.6.1. Hệ quy chiếu không quán tính.
Các định luật Newtơn chỉ đúng trong hệ quy chiếu quán tính. Nhưng trên
thực tế ta lại thường gặp cả những hệ quy chiếu không quán tính. Những hệ quy
chiếu chuyển động không thẳng, không đều so với hệ quy chiếu quán tính là
những hệ quy chiếu không quán tính.
I.6.2. Định lý biến thiên động năng.
( )
(
)
(

)
0
r r r k r qt
T T A F A F
− = +
∑ ∑
 

Trong đó:
2
1
2
r k rk
k
T m v
=
∑
: Động năng của cơ hệ trong chuyển động tương
đối và
(
)
r
A F
∑

,
(
)
r qt
A F

∑

là công hữu hạn của ngoại lực và lực quán tính.

CHƯƠNG II: PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP
THƯỜNG GẶP VÀ BÀI TẬP MẪU
II.1. DẠNG MỘT: CHUYỂN ĐỘNG TRÊN MẶT PHẲNG NGHIÊNG.
II.1.1. Phương pháp chung.
Bước 1: Xác định các dữ kiện và phân tích hiện tượng bài toán .
Bước 2: Xác định các ngoại lực (nội lực nếu có) tác dụng lên vật (hệ vật)
và viết biểu thức tính công của các ngoại lực. Chú ý trong việc tính công của
lực ma sát.
Bước 3: Thiết lập phương trình của lý thuyết năng lượng cho việc giải
bài toán.
- Vật chuyển động trên mặt phẳng nghiêng thường có sự biến đổi vận tốc
do đó với những bài toán có liên quan đến gia tốc chuyển động của vật (hệ vật)
thì vận dụng định lý biến thiên động năng dạng đạo hàm.

W
e
dA
dt
=
,
W
e
dT dA
dt dt
≡ =

Trong đó:
e
A
là công của ngoại lực và
w
e
dA
dt
=
được gọi là công suất của lực.
- Nếu ngoại lực tác dụng lên vật (hệ vật) chỉ là lực thế thì cơ năng của vật
(hệ vật) bảo toàn.
Trần Văn Tình Lớp K48 ĐH S Phạm Vật Lý - ĐH Tây Bắc

9

2
1
ons
2
E mv mgh c t
= + =

- Nu ngoi lc tỏc dng lờn vt ngoi lc th cũn cú mt ca nhng
ngoi lc khụng phi l lc th (nh lc ma sỏt chng hn) thỡ c nng ca vt
(h vt) bin thiờn.
e
o
E E A
=

Trong ú:
e
A
l cụng ca ngoi lc khụng phi l lc th.
Bc 4: T d kin ban u xỏc nh cỏc i lng cha bit.
II.1.2. Bi tp mu.
Bi 1: Trờn mt phng nghiờng gúc
30
o

=
, t mt hỡnh tr c khi
lng
2
8
m kg
=
v ng kớnh
10
cm
. Hỡnh tr cú th quay quanh trc quay ca
nú. Dựng dõy ni mt vt cú khi lng
2
4
m kg
=
vo trc quay. Gia tc ca h
vt l bao nhiờu? Bit rng h s ma sỏt
gia vt v mt phng nghiờng l

0,2
à
=
.
Gi thit tr ln khụng trt. B qua ma sỏt
gia trc quay v tr c. Dõy khụng gión,
khụng khi lng.
- Gii -
1/ Phõn tớch hin tng.
Tr ln v tnh tin kộo vt
2
m
cựng chuyn ng. Vỡ dõy khụng gión
khụng khi lng nờn vt v tr tnh tin cựng gia tc
a

ng thi lc cng ca
dõy ti mi im l nh nhau do ú ni lc (lc cng) t trit tiờu v ch cũn
ngoi lc tỏc dng lờn h vt.
Do gia h vt v mt phng nghiờng cú s xut hin ca ngoi lc l lc
ma sỏt khụng phi l lc th do ú c nng ca h vt bin thiờn.
2/ Gii bi toỏn.
Gi thit h vt chuyn ng khụng vn tc u t v trớ A, sau khong
thi gian t h vt i ht mt phng nghiờng v t vn tc
v

ti chõn mt phng
nghiờng v gi di mt phng nghiờng l
l
.

Ngoi lc tỏc dng lờn tr (vt
1
m
) v vt
2
m
.
+Tỏc dng lờn vt
1
m
cú: Trng lc
1
P

, phn lc
1
N

, lc ma sỏt
s1
m
f

.

A
C
B
1
m

2
m
TrÇn V¨n T×nh – Líp K48 §H S− Ph¹m VËt Lý - §H T©y B¾c

10

2
P

2
N

2
m
α
A
C
B
1
m
2
ms
f

1
P

1
N


1
ms
f

+Tác dụng lên vật
2
m
có: Trọng lực
2
P

,phản lực
2
N

, lực ma sát
s2
m
f

.
trong đó chỉ có các trọng lực
1
P

và
2
P

là các

lực thế.
Vì độ biến thiên cơ năng bằng tổng
công của các ngoại lực không phải là lực thế,
đồng thời các phản lực
1
N

và
2
N

có phương
vuông góc với phương chuyển dời
s

nên các lực này không sinh công do đó khi
tính công của ngoại lực không phải lực thế tác dụng lên hệ vật ta chỉ cần tính
công của các ngoại lực
s1
m
f

và
s2
m
f

.
+Vì trụ lăn không trượt nên tại điểm tiếp xúc giữa trụ và mặt phẳng
nghiêng có vận tốc

0
M
v
=

do đó ta có:
s1
s1
0
m
m M
f
dA f v dt
= =



.
+Ta có:
s2 2
m
f N
µ
=


với
2 2 2
os os
N P c m gc

α α
= =
do đó
s2 2
os
m
f m gc
µ α
=
, vì
2
2
at
l =
. Suy ra công của lực
s2
m
f

trên chuyển dời
s

là:
s2
2
s2 2
os
2
m
m

f
at
A f l m gc
µ α
= = −

 

Gọi
h
là độ cao của mặt phẳng nghiêng, ta có:
sin
h l
α
=
và có
2
2
at
l =
.
Chọn mốc tính thế năng tại chân mặt phẳng nghiêng. Suy ra cơ năng của hệ vật
tại A là:
( )
2
1 2
1 2
sin
2
A

m m
E m m gh gat
α
+
= + =
(1.1)
Cơ năng của hệ vật tại B là:
B t q
E T T
= +
. Trong đó
t
T
là động năng chuyển
động tịnh tiến của hệ vật, còn
q
T
là động năng chuyển động quay của trụ. Ta có:

2 2 2
1 2 1 2
2 2
t
m m m m
T v a t
+ +
= =
và
2
2 2 2

2
2 2 2
q
v
I
I Ia t
r
T
r
ω
 
 
 
= = =
với
0
o
v
=
và
v at
=
.
Suy ra:
2 2
2 2
1 2
2
2 2
B

m m
Ia t
E a t
r
+
= +
(1.2)
Định luật biến thiên cơ năng:
s1 s 2
m m
B A
f f
E E A A
− = +
 
. Suy ra:
TrÇn V¨n T×nh – Líp K48 §H S− Ph¹m VËt Lý - §H T©y B¾c

11

2 2 2
2 2 2
1 2 1 2
2
2
sin os
2 2r 2 2
m m m m
Ia t at
a t gat m gc

α µ α
+ +
+ − = −

Giải phương trình ta được
0
a
=
và
(
)
1 2 2
1
1 2
sin cos
2
g m m m
a
m
m m
α µ α
+ −
 
 
=
+ +
. Chỉ có
nghiệm
0
a

≠
thoả mãn vì hệ vật bắt đầu chuyển động, nó có gia tốc. Thay số ta
được:
2
3,3
m
a
s
 
=
 
 
.
Bài 2: Hình trụ đồng chất bán kính
(
)
20
r cm
=
, lăn không trượt trên mặt
phẳng nghiêng hợp với mặt phẳng ngang góc
30
o
α
=
. Tìm phương trình chuyển
động của trụ? Biết
2
9,8
m

g
s
 
=
 
 
và có ma sát giữa trụ và mặt phẳng nghiêng.
- Giải -
1/ Phân tích hiện tượng.
Vì trụ lăn không trượt nên chuyển động của trụ gồm hai chuyển động
thành phần đó là chuyển động tịnh tiến của khối tâm và chuyển động quay
quanh trục tưởng tượng đi qua khối tâm.
Chuyển động của trụ trên mặt phẳng nghiêng có sự biến đổi vận tốc và
bài toán có liên quan đến việc tìm gia tốc của trụ nên để giải bài toán ta vận
dụng định lý động năng.
2/ Giải bài toán.
Giả thiết hình trụ chuyển động không vận
tốc đầu từ vị trí A, sau khoảng thời gian
t
hình
trụ đi được quãng đường
c
x
và đạt vận tốc
v

.
Ngoại lực tác dụng lên trụ gồm có:
Trọng lực
P


, phản lực
N

và lực ma sát
s
m
f

.
Công của ngoại lực tác dụng lên hình trụ trên chuyển dời
x
là.
+ Vì trụ lăn không trượt nên tại điểm tiếp xúc giữa trụ và mặt phẳng
nghiêng có vận tốc
0
M
v
=

do đó ta có:
s
s
0
m
m M
f
dA f v dt
= =




(M là điểm tiếp xúc
giữa trụ và mặt phẳng nghiêng)

α

N

P

1
F

N

1
F

P

c
x
A
s
m
f

s
m

f

TrÇn V¨n T×nh – Líp K48 §H S− Ph¹m VËt Lý - §H T©y B¾c

12

+ Vì trọng lực là lực thế nên ta có:
sin
c c
P
A mgh mgx
α
= =

. Trong đó
c
h
là
độ giảm độ cao của vật sau khoảng thời gian
t
.
+ Vì phản lực
N

vuông góc với phương chuyển động nên
0
N
A
=


.
Động năng của hình trụ sau khoảng thời gian
t
là:
t q
T T T
= +
. Trong đó
2 2
1 1
2 2
t c
T mv mx
= =

gọi là động năng của chuyển động tịnh tiến,
2
1
2
q
T I
ω
=
với
mômen quán tính
2
r
2
m
I =

gọi là động năng của chuyển động quay của hình trụ.
Suy ra:
2
2
2 2 2 2
2
1 1 1 1 r 3
2 2 2 2 2 4
c
c c c
xm
T mx I mx mx
r
ω
= + = + =

  

Định lý động năng dạng đạo hàm:
e
dT dA
dt dt
=
. Do đó ta có:
3
sin
2
c c c
mx x mg x
α

=
  
hay
2
sin
3
c
x g
α
=

.
Suy ra:
2
sin
3r
c
x
g
r
ϕ α
= =


.
Ta thấy rằng khối tâm của trụ luôn chuyển động trên đường thẳng song
song với mặt phẳng nghiêng, đồng thời chuyển động của trụ gồm chuyển động
quay và chuyển động tịnh tiến nên ta có phương trình chuyển động của trụ là:
2
2

1
2
1
2
c o o c
c
o o
x x v t x t
y r
t t
ϕ ϕ ω ϕ

= + +


=



= + +




Với điều kiện ban đầu
0
t
=
thì
0

o
x
=
;
0
o
v
=
;
0
o
ω
=
;
0
o
ϕ
=
. Do đó ta có:
2
2
1
sin
3
1
sin
3r
c
c
x g t

y r
g t
α
ϕ α

=


=



=



II.1.3. Bài tập tự giải.
Bài 1: Từ điểm A trên dốc nghiêng
30
o
α
=
, thả cho vật trượt dốc. A cách
30
o
α
=
B
C
A

TrÇn V¨n T×nh – Líp K48 §H S− Ph¹m VËt Lý - §H T©y B¾c

13

chân dốc B là
1
m
. Hết dốc vật còn tiếp tục trượt đoạn BC dài
1,63
m
mới dừng
lại. Hệ số ma sát trên cả hai đoạn đường bằng
k
. Bằng lý thuyết năng lượng hãy
xác định
k
, biết vật có khối lượng
1
m kg
=
.
Bài 2: Xác định quy luật chuyển động của khối tâm một bánh xe phát
động của ô tô khi leo dốc. Biết mặt dốc tạo thành với mặt phẳng ngang một góc
α
. Lực kéo
F

đặt vào trục bánh xe là không đổi. Coi bánh xe là một hình trụ
tròn đồng chất có trọng lực tác dụng
P


. Bánh xe lăn không trượt từ trạng thái
nghỉ, bỏ qua ma sát lăn.
Bài 3: Do có vận tốc đầu, vật trượt lên rồi lại trượt xuống trên một mặt
nghiêng, góc
15
o
α
=
. Tìm hệ số ma sát
k
biết thời gian đi xuống gấp
2
n
=
lần
thời gian đi lên.
Bài 4: Người lái một xe ô tô, khối lượng tổng cộng
1,6
m
=
tấn, tắt máy
trên đỉnh một đường thẳng dài
40
l m
=
, nghiêng góc
α
so với đường nằm ngang
(

sin 0,1
α
=
) và để cho xe lăn bánh không gài số (động cơ không nối với bánh xe)
tới hết dốc.
a) Tìm vận tốc của xe ở chân dốc.
b) Hết dốc đến đoạn đường nằm ngang thì người lái xe gài số (động cơ
nối với bánh xe) để làm động cơ nổ. Xe đi được một đoạn
8
s m
=
thì vận tốc của
xe bằng
3( )
m
v
s
=
và động cơ nổ. Tính công đã tốn để khởi động động cơ. Biết
lực ma sát trên dốc và trên đường ngang bằng
s
800
m
f N
=
. Lấy
2
9,8( )
m
g

s
=
.
HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ.
Bài 1: Đáp số:
0,2
k
=

Có lực ma sát
s
m
f

không phải lực thế tác dụng lên vật do đó cơ năng của
vật biến thiên và độ biến thiên cơ năng bằng công của lực ma sát.
Bài 2: Đáp số:
( )
2
sin
4
c
g
x F P t
P
α
= −

Áp dụng định lý động năng ta tính được gia tốc khối tâm.
TrÇn V¨n T×nh – Líp K48 §H S− Ph¹m VËt Lý - §H T©y B¾c

14

( )
sin
2
c c
g
a x F P
P
α
= = −


Quy luật chuyển động của bánh xe được xác định bằng hàm
(
)
c c
x x t
=
.
Bài 3: Đáp số:
0,16
k
≈

Áp dụng định lý động năng tính gia tốc của vật trong mỗi va chạm.
+) Giai đoạn vật trượt lên:
(
)

1
sin os
a P kpc
α α
= − +
.
Ta có:
1 1
o
a t v
= −
(1) và :
2
1
2a
o
s v
= −
(2)
+) Giai đoạn vật trượt xuống:
2
sin os
a P kPc
α α
= −
.
Ta có:
2 2
t
a t v

=
(3) và :
2
2
2a
t
s v
=
(4)
Từ (1) và (3) suy ra:
1 1
2
t
v a
v na
−
=
(vì
2 1
t nt
=
)
Từ (2) và (4) suy ra:
2
1
2
2
o
t
v

a
v a
−
=

Do đó:
(
)
2
1
2 2
2
1 tan
1
1
n
a
k
n a n
α
−
= − ⇒ =
+

Bài 4: Đáp số: a)
2
0,5
m
a
s

=
b)
18400
A J
=

a) Áp dụng định lý động năng:
W
e
dT dA
dt dt
≡ = tìm
được:
(
)
1 s
m
P F
a
m
−
=

b) Độ giảm động năng đã chuyển thành công để thắng lực ma sát và công
A
làm khởi động động cơ.

II.2. DẠNG HAI: CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT TRONG KHÔNG KHÍ CÓ
VẬN TỐC ĐẦU HOẶC KHÔNG CÓ VẬN TỐC ĐẦU.
II.2.1. Phương pháp chung.

Bước 1: Xác định các dữ kiện và phân tích hiện tượng bài toán.
Bước 2: Tính công của ngoại lực (công của trọng lực và lực cản của
không khí).
Bước 3: Thiết lập các phương trình của lý thuyết năng lượng cần thiết
cho việc giải bài toán.
TrÇn V¨n T×nh – Líp K48 §H S− Ph¹m VËt Lý - §H T©y B¾c

15

- Nếu bỏ qua sức cản của không khí thì chuyển động của vật chỉ dưới tác
dụng của trọng lực nên cơ năng của vật được bảo toàn.
- Nếu kể đến sức cản của không khí thì cơ năng của vật biến thiên.
- Nếu chuyển động của vật có sự biến đổi vận tốc và bài toán có liên quan
đến gia tốc của vật thì vận dụng định lý biến thiên động năng.
Bước 4: Từ dữ kiện ban đầu xác định các đại lượng chưa biết.
II.2.2. Bài tập mẫu.
Bài 1: Một vật khối lượng
m
được ném lên cao theo phương xiên với
vận tốc
o
v

và rơi xuống đất cách chỗ ném một khoảng bằng
s
. Biết độ cao cực
đại mà vật đạt tới là
H
. Tìm công ném. Bỏ qua sức cản của không khí.
- Giải -

1/ Phân tích hiện tượng.
Trong thời gian ném vật lực
F

đã
tác dụng lên vật làm thay đổi năng lượng
của nó từ 0 đến
1
E
, nhờ được cung cấp
năng lượng
1
E
nên vật chuyển động.
Trong thời gian bay chỉ có trọng lực (lực
thế) tác dụng lên vật vì bỏ qua sức cản của
không khí nên cơ năng của vật bảo toàn
trong toàn bộ thời gian bay.
2/ Giải bài toán.
Gọi
1
E
là năng lượng cung cấp cho vật. Do đó công ném
1
A E
=
. Và gọi
2
E
là cơ năng của vật tại vị trí cao nhất.

Theo ĐLBT cơ năng ta có:
2
2
1 2
2
mv
E E mgH= = +
. Do đó:
A
=
2
2
2
mv
mgH
+

Gọi
t
là thời gian bay lên hay rơi xuống của vật. Ta có:
F

H
2
v

P

TrÇn V¨n T×nh – Líp K48 §H S− Ph¹m VËt Lý - §H T©y B¾c

16

2
2
2
2
2 2
s
v
t
s g
v
H
H
t
g

=


⇒ =


=



Vậy:
2 2
s

16 16
mg s
A mgH mg H
H H
 
= + = +
 
 

Bài 2: Viết phương trình chuyển động của một vật rơi nếu kể đến lực cản
của không khí biết lực cản tỉ lệ với vận tốc của vật rơi:
c
F kv
= −


, trong đó
k
là
hệ số tỉ lệ.
- Giải -
1/ Phân tích hiên tượng.
Trong chuyển động của vật vì kể đến lực cản của không khí nên cơ năng
của vật biến thiên. Lực cản sinh công âm cản trở chuyển động rơi của vật.
2/ Giải bài toán.
Giả thiết sau thời gian
t
vật đi được quãng đường
x
và đạt vận tốc

v
.
Lực cản của không khí tác dụng lên vật biến đổi theo thời gian.
Công nguyên tố của ngoại lực:
e
c P
dA dA dA
= +

+) Công lực cản:
c c
dA F dx
= −
.
+) Công trọng lực:
p
dA Pdx
=
.
Suy ra:
e
c
dA F dx Pdx
= − +
, với
d
dx v t
=
. Do đó:
(

)
e
dA mg kv vdt
= −

Ta có động năng của vật:
2
1
2
T mv
=

Định lý động năng dạng đạo hàm:
e
dT dA
dt dt
=
. Do đó:
( )
dv
mv mg kv v
dt
= −

Suy ra:
dv mg kv
dt m
−
=
hay

1
dv
dt
mg kv m
=
−
(*)
Với chú ý rằng: Vì vật rơi xuống nên
c
P mg F kv
= > =
nên
(
)
0
mg kv
− ≥
.
Do đó nghiệm của phương trình vi phân (*) có dạng:
1
t
mg
v C e
k
α
−
= −
, với
k
m

α
=

TrÇn V¨n T×nh – Líp K48 §H S− Ph¹m VËt Lý - §H T©y B¾c

17

Trong đó:
1
C
là hằng tích phân xác định từ điều kiện ban đầu
(
)
0 0
v
=
.
(
)
0
v
=
1 1
0
mg mg
C C
k k
= −
⇒
=

Do đó:
( )
1
t
mg
v e
k
α
−
= −

Xét biểu thức:
( )
1
t
dx mg
v e
dt k
α
−
= = −
.
Ta có:
2
t
mg mg
x t e C
k k
α

α
−
= + +
.
Trong đó:
2
C
là hằng số tích phân được xác định từ điều kiện ban đầu:
( )
2 2
0 0
mg mg
x C C
k k
α α
= = +
⇒
= −

Phương trình chuyển động rơi của vật là:
( )
1
t
mg mg
x t e
k k
α
α
−
= − −

Khử thời gian t giữa
x
và
v
ta được:
ln 1
mg k v
x v
k mg
α α
 
= − − −
 
 

II.2.3. Bài tập tự giải.
Bài 1: Từ một đỉnh tháp cao
20
H m
=
người ta ném một hòn đá khối lượng
50
m g
=
theo phương nghiêng với mặt phẳng ngang, với vận tốc đầu
18( )
o
m
v

s
=
. Khi
rơi tới mặt đất hòn đá có vận tốc
24( )
m
v
s
= . Tính công của lực cản của không khí.
Bài 2: Viết phương trình chuyển động của viên đạn đang bay ngang
trong không khí nếu tính đến lực cản của không khí. Cho biết lực cản tỉ lệ với
vận tốc của viên đạn, hệ số tỉ lệ
k
, khối lượng viên đạn là
m
.
Bài 3: Người ta ném hòn đá với vận tốc
1
v
dưới một góc nào đó với
phương nằm ngang. Bỏ qua sức cản của không khí. Xác định độ cao
H
đối với
phương nằm ngang mà tại đó độ lớn vận tốc giảm 2 lần.
HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ
Bài 1: Đáp số:
3,5
c
A J
= −

.
Áp dụng định luật biến thiên cơ năng ta có:
( )
2 2
0
2
c
m
A v v mgh
= − − .
TrÇn V¨n T×nh – Líp K48 §H S− Ph¹m VËt Lý - §H T©y B¾c

18

Bài 2: Đáp số:
1
k
t
o
m
mv
x e
k
−
 
= −
 
 
. Giải tương tự bài tập mẫu 2.
Bài 3: Đáp số:

2
1
3
8
v
H
g
=
.

II.3. DẠNG BA: CHUYỂN ĐỘNG CONG.
II.3.1. Phương pháp chung.
Bước 1: Xác định dữ kiện và phân tích hiện tượng bài toán.
Bước 2: Xác định ngoại lực tác dụng lên vật và chỉ rõ lực biến thiên nếu
có và tính công của ngoại lực đó (cần chú ý tính công của lực ma sát).
Bước 3: Thiết lập các phương trình của lý thuyết năng lượng ngoài ra nếu
cần thiết có thể kết hợp với phương trình định luật II Newtơn viết cho vật theo
phương bán kính cong
r

:
r r
F ma
=

- Nếu vật chuyển động trên một dốc cong, các lực tác dụng lên vật là biến
thiên, đồng thời bài toán cho biết vị trí và vận tốc của vật nhưng lại không nói
gì tới gia tốc thì phương trình xuất phát chính là định luật biến thiên năng lượng
(biến thiên cơ năng):
W

c
A A
+ = ∆

- Trong trường hợp vật chuyển động tròn mà có
0
v
a
≠
(chuyển động diễn
ra với sự biến thiên độ lớn vận tốc) ta kết hợp phương trình
r r
F ma
=
với định
luật biến thiên năng lượng:
W
c
A A
+ = ∆

- Trong chuyển động cong của vật chỉ dưới tác dụng của trọng lực thì cơ
năng của vật bảo toàn.
Bước 4: Từ dữ kiện ban đầu xác định các đại lượng chưa biết.
II.3.2. Bài tập mẫu.
Bài 1: Một quả cầu được gắn cố định trên mặt bàn nằm ngang. Từ đỉnh
A của quả cầu vật trượt không ma sát với vận tốc ban đầu bằng không. Hỏi
TrÇn V¨n T×nh – Líp K48 §H S− Ph¹m VËt Lý - §H T©y B¾c

19

vật sẽ chạm vào mặt bàn dưới một góc
β
bằng bao nhiêu? (Bỏ qua sức cản
của không khí).
- Giải -
1/ Phân tích hiện tượng.
Gia tốc chuyển động của vật gồm hai
thành phần: Gia tốc chuyển động theo phương
tiếp tuyến với mặt cầu và gia tốc chuyển động
theo phương pháp tuyến. Vì vật trượt không ma
sát nên chuyển động của vật chỉ dưới tác dụng
của trọng lực nên cơ năng của vật bảo toàn.
2/ Giải bài toán.
Giả sử bán kính của quả cầu bằng
R
. Chuyển động của vật trên mặt cầu
cho đến khi vật rời khỏi mặt cầu là chuyển động tròn không đều với bán kính
quỹ đạo bằng
R
. Trước hết chúng ta tìm góc
α
và vận tốc
v
của vật tại vị trí B
khi vật rời khỏi mặt cầu.
Phương trình định luật II Newtơn cho chuyển động của vật theo phương
hướng tâm:
P N ma
+ =

 


Chiếu lên phương hướng tâm ta có:
os
n
mgc N ma
α
− =
với
2
n
v
a
R
=

Vật rời khỏi mặt cầu khi:
0
N
=
. Khi đó:

2
os
v gRc
α
=
(1)
Áp dụng Định luật bảo toàn cơ năng cho vật tại A và B. Chọn mốc thế

năng bằng không tại B. Ta có:
( ) ( )
2
2
os 2 1 os
2
mv
mg R Rc v gR c
α α
= −
⇒
= − (2)
Từ (1) và (2) ta có:
2
os
3
c
α
=
và
2
3
gR
v
=

A
m
R
B

P

t
v

α
β
m
C
v

N

TrÇn V¨n T×nh – Líp K48 §H S− Ph¹m VËt Lý - §H T©y B¾c

20

A
B
B
v

A
v

O
Tìm vận tốc
t
v
của vật khi chạm vào mặt bàn. Áp dụng định luật bảo toàn

cơ năng cho vật tại A và C (mặt bàn). Chọn mốc tính thế năng bằng không tại
mặt bàn (tại vị trí C).
2
1
2 2
2
t
mv
mgR v gR
=
⇒
=
Trong thời gian từ lúc rời mặt cầu đến khi chạm mặt bàn, thành phần vận
tốc theo phương ngang của vật không thay đổi. Vậy nếu gọi góc rơi của vật khi
chạm bàn là
β
thì ta có:
os os
t
vc v c
α β
=

Thay
v
,
t
v
,
os

c
α
ta được:
6
arc os 74
9
o
c
β
= ≈ .
Bài 2: Ở đầu một sợi dây OA, dài
30
l cm
=
có treo một vật nặng. Hỏi tại
điểm thấp nhất A phải truyền cho vật vận tốc bé nhất bằng bao nhiêu để vật có
thể quay tròn trong mặt phẳng thẳng đứng.
- Giải -
1/ Phân tích hiện tượng.
Tại A vật được truyền một động năng
2
1
2
T mv
=
. Sau đó bắt đầu chuyển động tròn lên phía
trên, thế năng của vật tăng dần, động năng do đó vận
tốc của vật giảm dần. Muốn vật chuyển động tròn
theo phương thẳng đứng thì vận tốc tại B là
B

v
phải
khác không.
2/ Giải bài toán.
Tại B vật chịu tác dụng của trọng lực
P mg
=


và lực căng
T

đều hướng
theo phương thẳng đứng nên:
2
B
mv
mg T
l
= +
, với
0
T
≥

Vậy vận tốc tại B để vật có thể quay tròn là:
min
B
v gl
=

Theo định luật bảo toàn cơ năng và chọn mốc thế năng bằng không tại A:
2 2
1 1
2
2 2
A B A B
E E mv mv mgl
= ⇒ = +

TrÇn V¨n T×nh – Líp K48 §H S− Ph¹m VËt Lý - §H T©y B¾c

21

A
h
B
α
x
C
Vậy:
2 2
4
A B
v v gl
= +
. Khi đó vận tốc nhỏ nhất cần truyền cho vật tại A để nó
quay tròn trong mặt phẳng thẳng đứng là:
2 2
min min min

4 5 3,8( )
A B A
m
v v gl v gl
s
= +
⇒
= =
Bài 3: Một vật có khối lượng
m
trượt với vận tốc đầu
o
v
từ đỉnh theo một
máng cong có độ cao
o
h
, chiều dài nằm ngang
l
. Biết vận tốc cuối là
v
, tính lực
ma sát trung bình tác dụng lên vật trong quá trình chuyển động của nó.

- Giải -
1/ Phân tích hiện tượng.
Ta thấy rằng vật chịu tác dụng
của lực không đổi
mg


và các lực biến
đổi
Q

và
s
m
F

. Mặt khác, trong bài toán
có nhắc tới vị trí và vận tốc của vật bởi
vậy ta có thể áp dụng định luật biến
thiên năng lượng:
W
c
A A
+ = ∆

2/ Giải bài toán.
Vì
Q v
⊥


tại mọi điểm, nên
0
Q
A
=


. Lực ma sát trong suốt thời gian
chuyển động của vật đều ngược hướng với vận tốc, vì vậy góc giữa
s
m
F

và
v


luôn bằng
180
o
. Nhưng độ lớn của
s
m
F

thay đổi do độ lớn của
Q

thay đổi, nên
ta chỉ có thể tìm giá trị trung bình (
tb
F
) của lực ma sát
s
m
F


. Ta có:
2
2
2 2
o
tb o
mv
mv
F l mgh mgh
 
 
− = + − +
 
 
 
 

Vì
0
h
=
(ở chân dốc), ta tìm dược:
2 2
0
2
o
tb
v v
m
F gh

l
 
−
= +
 
 

II.1.3. Bài tập tự giải.
Bài 1: Một vật khối lượng
m

trượt từ đỉnh A xuống điểm B rồi đi
lên dốc phẳng nghiêng góc
30
o
α
= so
o
h
Q

P mg
=


ms
F

TrÇn V¨n T×nh – Líp K48 §H S− Ph¹m VËt Lý - §H T©y B¾c

22

với phương nằm ngang và dừng lại ở C. Vận tốc ban đầu bằng không. Độ cao
của A so với B là
h
. Đoạn đường cong AB có hình chiếu xuống phương nằm
ngang là
A B d
′
=
. Hệ số ma sát trên đường đi là
µ
. Tính
BC x
=
. (hình vẽ )
Bài 2: Một khối trụ đặc khối lượng
m
và bán kính
R
, từ vị trí xác định
bởi góc
o
α
. Hãy xác định áp lực của khối trụ tại một vị trí tùy ý được xác định
bởi góc
α
.

Bài 3: Hình trụ đồng chất khối lượng
m
, bán kính
r
lăn không trượt trên
mặt bán trụ cố định bán kính
R
từ đỉnh với vận tốc
0
o
v
=
. Xác định vận tốc
khối tâm hình trụ theo góc
ϕ
là góc hợp bởi đường thẳng đứng và đường thẳng
nối tâm hai trụ và vị trí trụ
r
rời khỏi trụ
R
. Bỏ qua ma sát.
Bài 4: Một máng trơn có đoạn thẳng nằm
ngang AB và cung tròn BD có bán kính
5
R cm
=
.
Một vật trượt theo phần nằm ngang với vận tốc

10( )
o
m
v
s
=
. Xác định độ lớn gia tốc của vật tại
điểm C và góc
β
tạo bởi vectơ gia tốc
a

và bán
kính OC. Biết OC lập với phương thẳng đứng một góc
60
o
α
= và gia tốc rơi tự
do là
2
10( )
m
g
s
=
.
HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ.
Bài 1: Đáp số:
(
)

2 d
1 3
h k
x
k
−
=
+

Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng ta có:
3
2 2
x
mgh kmg d x mg
 
= + +
 
 
 

Bài 2: Đáp số:
( )
7 os 4 os
3
o
P
N c c
α α
= −
.

P

α
N

o
α
n

F

R

A
O
g

α
0
v

B
C
D
TrÇn V¨n T×nh – Líp K48 §H S− Ph¹m VËt Lý - §H T©y B¾c

23

Hướng dẫn:
Áp lực của khối trụ tại một vị trí tùy ý được xác định bởi góc

α
. Phương
trình chuyển động của tâm khối trụ là.
P N F ma
+ + =
  

. (1)
Hợp lực tác dụng vào vật hướng vào tâm quỹ đạo là lực hướng tâm.
Chiếu (1) lên phương hướng tâm ta được:
2
os
mv
N Pc
R r
α
= −
−
. (2)
Vận dụng định luật bảo toàn cơ năng để tìm vận tốc
v
.
+) Chọn mốc thế năng bằng không tại vị trí cân bằng của tâm khối trụ.
Xét vật tại vị trí ban đầu (góc
o
α
) ta có cơ năng của vật:
(
)
(

)
1 1
1 os
o
E U mg R r c
α
= = − −

+) Xét vật tại vị trí góc
α
bất kì ta có cơ năng của vật:
( )( )
2 2
2 2
1 1
1 os
2 2
E T U mg R r c mv I
α ω
= + = − − + +

Trong đó:
2
1
R
2
I m
=
là mô men quán tính của khối trụ,
v

r
ω
=
là vận tốc
góc của khối trụ quay quanh khối tâm. Do đó:
( )( )
2
2
3
1 os
4
E mg R r c mv
α
= − − +

+) Định luật bảo toàn cơ năng:
1 2
E E
=
, ta có:
( )( )
2
3
os os
4
o
mg R r c c mv
α α
− − =
(3)

Từ (2) và (3) ta suy ra:
( )
7 os 4 os
3
o
P
N c c
α α
= −

Bài 3: Đáp số:
( )( )
2
4
1 os
3
c
g
v R r c
ϕ
= + −

Hướng dẫn:
Giả thiết trụ nhỏ chuyển động với vận tốc ban đầu bằng không va sau
khoảng thời gian
t
đạt vận tốc
c
v
.

Gọi vận tốc khối tâm hình trụ nhỏ bán kính
r
là
c
v
. Ta có:

TrÇn V¨n T×nh – Líp K48 §H S− Ph¹m VËt Lý - §H T©y B¾c

24

c
ma P N
= +
 


Chiếu phương trình vector lên
phương hướng tâm ta có:
2
os
c
v
m mgc N
R r
ϕ
= −
+

Do đó:

2
os
c
v
N mgc m
R r
ϕ
= −
+
(1)
Tìm
c
v
bằng cách vận dụng định lý
biến thiên động năng.
+) Không có ma sát, ta có ngoại lực tác dụng lên trụ nhỏ chỉ có trọng lực.
Ta có công của trọng lực:
(
)
(
)
os
e
A mg R r R r c
ϕ
= + − +
 
 

+) Động năng của trụ nhỏ:

2 2
1 1
2 2
c
T mv I
ω
′
= +

Trong đó:
ω
′
là vận tốc góc của trụ nhỏ quanh khối tâm C và gọi
ω
là vận tốc
góc của khối tâm C của trụ nhỏ đối với tâm O của trụ lớn. Ta có:
(
)
c
v R r
ω
= +
và
2
1
r
2
I m
=
và

(
)
r R r
ω ω
′
= +

Vậy:
( )
2
2
3
4
T m R r
ω
= +

+) Định lý động năng:
e
o
T T A
− =
. Ta có:
( ) ( ) ( )
2
2
3
os
4
m R r mg R r R r c

ω ϕ
+ = + − +
 
 

( )( )
2
4
1 os
3
c
g
v R r c
ϕ
⇒ = + −

Thay vào (1) và ta có trụ rời khỏi trụ lớn khi
0
N
=
. Do đó:
4 4
os ar os
7 7
c cc
ϕ ϕ
= ⇒ =

Bài 4: Đáp số:
2

13,2( )
m
a
s
=
và
41
o
β
=

Hướng dẫn:
Để tìm gia tốc của vật tại C, ta sẽ tìm gia tốc tiếp tuyến
t
a
và gia tốc pháp
tuyến
n
a
(độ lớn hai thành phần của gia tốc
a
)
Theo định luật bảo toàn năng lượng ta có:
y
x
0
ϕ
P

N


C
TrÇn V¨n T×nh – Líp K48 §H S− Ph¹m VËt Lý - §H T©y B¾c

25

( ) ( )
2
2
2
1 os 2 1 os
2 2
o
o
mv mv
mgR c v v mgR c
α α
= + − ⇒ = − −


+) Ta có:
2 sin sin
2
t
dv mgR mgR
a
dt v v
αα αα
= = − = −
 

. Với
v
R
α ω
= =


Suy ra:
sin
t
a mg
α
= −

2
8,7( )
t
m
a
s
⇒ = −

+) Ta có:
( )
2
2
2 1 os
o
n
v

v
a g c
R R
α
= = − −

2
10( )
n
m
a
s
⇒ =

Vậy:
2 2
2
13,20( )
t n
m
a a a
s
= + =

Tại C ta cũng có:
tan 0,87 41
o
t
n
a

a
β β
= ≈ ⇒ =


II.4. DẠNG BỐN: CHUYỂN ĐỘNG TRONG HỆ QUY CHIẾU KHÔNG
QUÁN TÍNH.
II.4.1. Phương pháp chung.
Bước 1: Xác định dữ kiện và phân tích hiện tượng bài toán.
Bước 2: Xác định các ngoại lực (nội lực) tác dụng lên vật (hệ vật) trong
hệ quy chiếu không quán tính. Tính công của các ngoại lực (nội lực) đó.
- Nếu (H) là một hệ quy chiếu phi quán tính chuyển động thẳng với gia
tốc
a

đối với hệ quy chiếu quán tính thì các vật trong hệ (H) chịu thêm lực quán
tính:
qt
F ma
= −


.
- Nếu (H) là một hệ quy chiếu phi quán tính quay với vận tốc góc
ω
đối
với hệ quy chiếu quán tính thì các vật trong hệ (H) chịu thêm lực quán tính li
tâm:
2
qt

F m r
ω
=
.
Bước 3: Thiết lập phương trình của lý thuyết năng lượng cần thiết cho
việc giải bài toán: Trong hệ quy chiếu không quán tính các lực quán tính tác
dụng lên vật không phải là lực thế nên ta chỉ có thể vận dụng định lý biến thiên
động năng và định luật biến thiên cơ năng để giải.
Bước 4: Từ điều kiện ban đầu xác định các đại lượng chưa biết.
II.4. 2. Bài tập mẫu