Bài toán đối ngẫu (mô hình toánA2)

Chương 5 – Bài toán Đối ngẫu & Phân tích độ nhạy 1 GV. Nguyen Vu Quang
CHƯƠNG 5: BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU
PHÂN TÍCH ĐỘ NHẠY

I. Bài toán đối ngẫu (Dual problem)

1.1 Ví dụ dẫn nhập

Cty sản xuất 2 loại sản phẩm A, B qua 2 công đoạn cắt,
ráp. Một sản phẩm A có lợi nhuận $50 cần 2 giờ cắt, 1 giờ
ráp. Một sản phẩm B có lợi nhuận $80, cần 3 giờ cắt và 4
giờ ráp. Thời gian hoạt động sẵn có của công đoạn cắt, ráp
là 100 giờ và 60 giờ
. Gọi x
1
, x
2
là số sản phẩm A, B được
sản xuất

Max Z = 50x
1
+ 80x
2

S.t 2x
1
+ 3x
2
≤ 100
x

1
+ 4x
2
≤ 60
x
1
, x
2
≥ 0

Hiểu cách khác - Gọi u
1
, u
2
, là chi phí thuê công ty Y gia
công cho 1 giờ cắt và ráp. Bài toán trên tương đương:

Min Z' = 100u
1
+ 60u
2
(chi phí thuê gia công càng nhỏ càng tốt)
S.t 2u
1
+ u
2
≥ 50 (nếu không thì cty Y không nhận gia công)
3u
1
+ 4u

2
≥ 80 (nếu không thì cty Y không nhận gia công)

1.2 Các nguyên tắc hình thành bài toán đối ngẫu
1. Bài toán gốc là Max → bài toán đối ngẫu là Min, và
ngược lại
2. Vế phải RHS b
i
của các ràng buộc của bài gốc → các hệ
số trong hàm mục tiêu của bài toán đối ngẫu
3. Các hệ số c
j
trong hàm mục tiêu của bài gốc → các giá
trị vế phải của ràng buộc bài toán đối ngẫu
Chương 5 – Bài toán Đối ngẫu & Phân tích độ nhạy 2 GV. Nguyen Vu Quang
4. Các hệ số trong các ràng buộc của bài gốc → chuyển vị
(ma trận) → các hệ số ràng buộc của bài toán đối ngẫu
5. Dấu bất đẳng thức thay đổi theo nguyên tắc sau:

Gốc (Min) Đối ngẫu (Max)
≥ b
i

≤ b
i

= b
i

Tương ứng sẽ có

''
''
u
i
≥ 0
u
i
≤ 0
u
i
không bị giới hạn
x
i
≥ 0
x
i
≤ 0
x
i
không bị giới hạn
''
''
''
≤ c
j

≥ c
j

= c

j


Gốc (Max) Đối ngẫu (Min)
≤ b
i

≥ b
i

= b
i

Tương ứng sẽ có
''
''
u
i
≥ 0
u
i
≤ 0
u
i
không bị giới hạn
x
i
≥ 0
x
i

≤ 0
x
i
không bị giới hạn
''
''
''
≥ c
j

≤ c
j

= c
j


Ví dụ 1:

Min Z = 3x
1
+ 4x
2
+ 5x
3

S.t x
1
+ 2x
2

+ 3x
3
≥ 5
2x
1
+ 2x
2
+ x
3
≥ 6
x
1
, x
2
, x
3
≥ 0



⇒
Max Z' = 5u
1
+ 6u
2

S.t u
1
+ 2u
2

≤ 3
2u
1
+ 2u
2
≤ 4
3u
1
+ u
2
≤ 5
u
1
, u
2
≥ 0

Max Z = 2x
1
+ 3x
2
– 2x
3

S.t x
1
– 2x
2
+ 5x
3

≤ –2
x
1
– x
2
+ 3x
3
≤ 1
–3x
1
+ 5x
2
+ x
3
≥ –3
–x
1
– 4x
2
– 2x
3
= 2
x
1
không giới hạn,
x
2
≥ 0, x
3
≤ 0

⇒
Min Z'= –2u
1
+ u
2
–3u
3
+2u
4

S.t u
1
+ u
2
–3u
3
–u
4
= 2
–2u
1
–u
2
+5u
3
–4u
4
≥ 3

5u
1
+3u
2
+u
3
–2u
4
≤ –2
u
1
, u
2
≥ 0, u
3
≤ 0,
u
4
không bị giới hạn


Chương 5 – Bài toán Đối ngẫu & Phân tích độ nhạy 3 GV. Nguyen Vu Quang
Ví dụ 2:
Cho bài toán sau, tìm bài toán đối ngẫu và giải
Max Z = 14x
1
+ 12x
2
+ 18x
3

S.t 2x
1
+ x
2
+ x
3
≤ 2
x
1
+ x
2
+ 3x
3
≤ 4
x
1
, x
2
, x
3
≥ 0

Bài toán đối ngẫu là:

Min Z’ = 2u
1
+ 4u
2

S.t 2u
1
+ u
2
≥ 14
u
1
+ u
2
≥ 12
u
1
+ 3u
2
≥ 18
u
1
, u
2
≥ 0
Giải bài toán đối ngẫu:

+ Phương pháp đơn hình
(tham khảo ví dụ trong phần 3.4 của chương
4 bài giảng trang 13)
+ Phương pháp đồ thị

Nghiệm bài toán đối ngẫu : u
1
= 9, u
2
= 3, Z’
min
= 30
Làm thế nào tìm x
1
, x
2
, x
3
???
u
1

u
2
2u
1
+ 4u

2
= 40
2u
1
+u
2
=14 u
1
+u
2
=12
u
1
+3u
2
=18
Chương 5 – Bài toán Đối ngẫu & Phân tích độ nhạy 4 GV. Nguyen Vu Quang
1.3 Lưu ý:
 Đối ngẫu của bài toán đối ngẫu sẽ cho ra bài toán gốc
 Bài toán gốc không bị chặn (unbounded) thì bài toán đối
ngẫu sẽ không có nghiệm khả dĩ, và ngược lại bài toán
đối ngẫu không bị chặn thì bài toán gốc không có nghiệm
khả dĩ.
 Giá trị tối ưu của hàm mục tiêu của bài toán đối ngẫu và
bài toán gốc là giống nhau.
 Nghiệm của bài toán gốc
là những giá trị ở hàng dưới
cùng ứng với các biến bù
trong bảng đơn hình sau cùng
của bài toán đối ngẫu

 Nghiệm của bài toán đối ngẫu
là những giá trị ở hàng
dưới cùng ứng với các biến bù
trong bảng đơn hình sau
cùng của bài toán gốc

 Một biến quyết định
trong bài toán gốc có giá trị ≠ 0, thì
biến bù
tương ứng trong bài toán đối ngẫu sẽ có giá trị =
0.
 Một biến bù
trong bài toán gốc có giá trị ≠ 0, thì biến
quyết định
tương ứng trong bài toán đối ngẫu sẽ có giá
trị = 0.
 Dùng bài toán đối ngẫu để làm cho số lượng biến quyết
định ít hơn. Hoặc khi chuyển bài toán MIN chuẩn (các
ràng buộc đều ≥0, b
i
đều ≥ 0, c
j
≥ 0) thành bài toán MAX
để tránh dùng biến nhân tạo
.
Chương 5 – Bài toán Đối ngẫu & Phân tích độ nhạy 5 GV. Nguyen Vu Quang
Tiếp theo ví dụ:
Sau khi giải bài toán đối ngẫu bằng đồ thị, có nghiệm
u

1
= 9, u
2
= 3, Z’
min
= 30

Viết lại 2 bài toán (ký hiệu s
i
là biến bù trong bài toán gốc, t
i

là các biến bù trong bài toán đối ngẫu):
Max Z = 14x
1
+ 12x
2
+ 18x
3

S.t 2x
1
+ x
2
+ x
3
+ s
1
= 2
x

1
+ x
2
+ 3x
3
+ s
2
= 4

Bài toán đối ngẫu là:

Min Z’ = 2u
1
+ 4u
2

S.t 2u
1
+ u
2
– t
1
= 14
u
1
+ u
2
– t
2
= 12

u
1
+ 3u
2
– t
3
= 18

Z’
min
= 30 ⇒ Z
max
= 30
u
1
≠ 0, u
2
≠ 0 ⇒ s
1
, s
2
= 0
u
1
=9, u
2
=3 ⇒ (t
1
=7, t
2

=0, t
3
=0) ⇒ (x
1
=0, x
2
≠0, x
3
≠0).
Thay s
1
= 0, s
2
= 0, x
1
= 0 vào các ràng buộc của bài toán
gốc tính được x
2
= 1, x
3
= 1.

Chương 5 – Bài toán Đối ngẫu & Phân tích độ nhạy 6 GV. Nguyen Vu Quang
Ví dụ 3: (đọc thêm tham khảo)
Giải bài toán gốc và đối ngẫu, xác định mối liên hệ giữa các
kết quả
Bài toán gốc Bài toán đối ngẫu
Min Z = 7x
1
+ 12x

2

2x
1
+ 3x
2
≥ 15
x
1
+ 2x
2
≥ 8
x
1
, x
2
≥ 0
⇒
Max Z’= 15u
1
+ 8u
2

2u
1
+ u
2
≤ 7
3u
2

+ 2u
2
≤ 12
u
1
, u
2
≥ 0

Giải bài toán gốc bằng phương pháp đơn hình


Min Z = 7x
1
+ 12x
2

2x
1
+ 3x
2
≥ 15
x
1
+ 2x
2
≥ 8
x
1
, x

2
≥ 0
Max Z
o
= –7x
1
– 12x
2
–Ma
1
–Ma
2
2x
1
+ 3x
2
-s
1
+ a
1
= 15
x
1
+ 2x
2
-s
2
+ a
2
= 8

x
1
, x
2
, s
1
, s
2
, a
1
, a
2
≥ 0

x1 x2 s1 s2 a1 a2 Z RHS
2 3 -1 0 1 0 0 15
1 2 0 -1 0 1 0 8
7 12 0 0 M M 1 0

x1 x2 s1 s2 a1 a2 Z RHS
2 3 -1 0 1 0 0 15
1 2* 0 -1 0 1 0 8
7-3M 12-5M M M 0 0 1 -23M

x1 x2 s1 s2 a1 a2 Z RHS
1/2 0 -1 3/2* 1 -3/2 0 3
1/2 1 0 -1/2 0 1/2 0 4
1-1/2M 0 M 6-3/2M 0 6-5/2M 1 -3M-48

x1 x2 s1 s2 a1 a2 Z RHS

1/3* 0 -2/3 1 2/3 -1 0 2
2/3 1 -1/3 0 1/3 0 0 5
-1 0 4 0 M-4 M 1 -60

x1 x2 s1 s2 a1 a2 Z RHS
1 0 -2 3 2 -3 0 6
0 1 1 -2 -1 2 0 1
0 0 2 3 M-2 M-3 1 -54
Nghiệm: x
1
= 6; x
2
= 1; s
1
= 0; s
2
= 0; a
1
= 0; a
2
= 0;
Z
o
max = – 54 ⇒ Z
min
= 54
Chương 5 – Bài toán Đối ngẫu & Phân tích độ nhạy 7 GV. Nguyen Vu Quang

Giải bài toán đối ngẫu bằng phương pháp đơn hình

Max Z’= 15u
1
+ 8u
2

2u
1
+ u
2
≤ 7
3u
2
+ 2u
2
≤ 12
u
1
, u
2
≥ 0
Max Z’= 15u
1
+ 8u
2

2u
1
+ u
2
+ t

1
= 7
3u
2
+ 2u
2
+ t
2
= 12
u
1
, u
2
, t
1
, t
2
≥ 0

u1 u2 t1 t2 Z RHS
2* 1 1 0 0 7
3 2 0 1 0 12
–15 –8 0 0 1 0

u1 u2 t1 t2 Z RHS
1 1/2 1/2 0 0 7/2
0 1/2* -3/2 1 0 3/2
0 -1/2 15/2 0 1 105/2

u1 u2 t1 t2 Z RHS

1 0 2 -1 0 2
0 1 -3 2 0 3
0 0 6 1 1 54
Nghiệm: u
1
= 2; u
2
= 3; t
1
= 0; t
2
= 0, Z’
max
= 54

Xem bảng đơn hình cuối cùng của bài toán đối ngẫu:
t
1
= 0, t
2
= 0 cho biết x
1
≠ 0 và x
2
≠ 0. Giá trị 6 và 1 (hàng
dưới cùng ứng với 2 biến bù t
1
và t
2
) chính là nghiệm của

bài toán gốc ⇒ x
1
= 6, x
2
= 1.

Xem bảng đơn hình cuối cùng của bài toán GỐC
:
s
1
= 0, s
2
= 0 cho biết u
1
≠ 0 và u
2
≠ 0. Giá trị 2 và 3 (hàng
dưới cùng ứng với 2 biến bù s
1
và s
2
) chính là nghiệm của
bài toán đối ngẫu u
1
= 2, u
2
= 3.

Nhận xét này minh họa rõ ý trong mục 1.3
Chương 5 – Bài toán Đối ngẫu & Phân tích độ nhạy 8 GV. Nguyen Vu Quang

II. Phân tích độ nhạy (sensitive analysis)
Phân tích độ nhạy là phân tích sự thay đổi của nghiệm tối
ưu khi một thông tin nào đó của bài toán QHTT ban đầu
thay đổi:
1. Thay đổi thông số của vế phải ràng buộc, b
i
9
2. Thay đổi hệ số trong hàm mục tiêu 9
3. Thay đổi hệ số trong ma trận ràng buộc
4. Thêm vào một biến quyết định mới
5. Thêm vào một ràng buộc mới
Phân tích độ nhạy có thể thực hiện bằng tay thông qua các
biến đổi và phép toán ma trận dựa trên bảng đơn hình cuối
cùng của bài toán QHTT (tham khảo sách). Phân tích độ
nhạy có thể thực hiện nhanh hơn bằng các phần mềm hỗ
trợ.

Ví dụ 4:

Số liệu Lúa gạo Lúa mì Tài nguyên tối đa
Diện tích (ha/tấn) 2 3 50
Lượng nước (10
3
m
3
/tấn) 6 4 90
Nhân công (công/tấn) 20 5 250
Lợi nhuận (USD/tấn) 18 21

Biến quyết định: Gọi x

1
, x
2
là số tấn lúa gạo và lúa mì cần
sản xuất
Hàm mục tiêu: Tổng lợi nhuận MAX Z = 18x
1
+ 21x
2

Các ràng buộc
Diện tích 2x
1
+ 3x
2
≤ 50
Lượng nước 6x
1
+ 4x
2
≤ 90
Nhân lực 20x
1
+ 5x
2
≤ 250
Giá trị của biến x
1
, x
2

≥ 0
Dùng Excel (hoặc ABQM) giải, kết quả và báo cáo phân
tích độ nhạy như sau (xem thêm phần thực hành):
Chương 5 – Bài toán Đối ngẫu & Phân tích độ nhạy 9 GV. Nguyen Vu Quang