BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU

BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU
Bài toán : Chứng minh rằng trong mọi ∆ ABC ta có :
a/
2
CcosBcosAcos
CsinBsinAsin
<
++
++
b/
2
)2/Csin()2/Bsin()2/Asin(
)2/Ccos()2/Bcos()2/Acos(
<
++
++
(♥ )
Đây là bài toán trong sách " Toán nâng cao Lượng giác - Lớp 11 " -ở đó tác giả giải các câu a/ ,
b/ độc lập với nhau . Thực ra nếu quan sát kỹ hơn thì bđt câu b/ là bđt câu a/ mà ở đó "sin" được thay bởi
"cos " và "cos" được thay bởi "sin" ; mặt khác góc "x" nào đó thì được thay bởi góc "x/2" tương ứng .
Người ta gọi các bđt ( bài toán ) a/ b/ là đối ngẫu .
Sách Từ điển toán học thông dụng (Nhà xuất bản Giáo dục -2000 ) định nghĩa :
" Hai khái niệm toán học được gọi là đối ngẫu nếu băng cách hoán vị các khái niệm ấy trong phát biểu
của một định lý ta nhận được một định lý mới ."
Trở lại bài toán ban đầu câu b/ được hình thành từ câu a/ một cách đặc biệt như vậy .Cminh xong
câu a/ - bằng một cách " thay thế " thích hợp ta cminh đượccâu b/ ?
VT (♥ ) =
2
BA
cos
2

AC
cos
2
CB
cos
2
BA
sin
2
AC
sin
2
CB
sin
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+

Để ý α = ( B+C)/2 , β = ( C+A)/2, γ = (A+B)/2 mà α +β + γ = A+B +C = π và α , β , γ > 0 nên α , β
, γ là 3 góc của một tgiác nào đó - theo câu a/ ta có :
2
BA
cos

2
AC
cos
2
CB
cos
2
BA
sin
2
AC
sin
2
CB
sin
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
2
γcosβcosαcos
γsinβsinαsin
<

++
++
⇒ VT (♥ ) < 2 ⇒ câu b/ được cminh .
Một lời giải đẹp cho câu b/ .
Trong các đẳng thức , các bđt lượng giác cơ bản trong tam giác bạn có thể tìm thấy từng hai đẳng
thức , bđt là đối ngẫu ví dụ :
 sinA + sinB + sinC = 4 cosA/2 . cosB/2 cosC/2
 sin2A + sin2B + sin2C = 4 sinA .sinB .sinC
*) tgA/2+tgB/2+tgC/2 ≥
3
*) cotgA+cotgB+ cotgC ≥
3
hay : Chứng minh ∆ ABC là đều nếu
i/



=+
=+
tgA2tgCtgB
Asin2CsinBsin
i/



=+
=+
2/gAcot22/gCcot2/gBcot
2/Acos22/Ccos2/Bcos
@ Trên cơ sở những tìm hiểu trên ta có được một hướng xác lập các bài toán mới đó là xác lập

bài toán đối ngẫu :ví dụ
# Bài toán : Cho ∆ ABC - Chứng minh
)2/C(sin
1
)2/B(sin
1
)2/A(sin
1
222
++
≥ 12
## Bài toán đối ngẫu : Cho ∆ ABC không là tam giác vuông . Chứng minh :
12
Ccos
1
Bcos
1
Acos
1
222
≥++
...
Bạn có thể xác lập một loạt bài toán thú vị theo hướng này . °