Slide dạng toàn phương (mô hình toán)

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
CHƯƠNG 4

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
§7: Dạng Toàn phương
2 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0
2 2
( , ) "( , ) 2 "( , ) "( , )
2
d f x y f x y dx f x y dxdy f x y dy
Adx Bdxdy Cdy
= + +
= + +

Khi tìm cực trị của hàm 2 biến bài toán sẽ
dẫn đến việc xác định dấu của vi phân cấp 2
của hàm f, nghĩa là ta cần xác định dấu của:


Khi xét hàm 3 biến thì ta cần xác định
dấu của vi phân cấp 2:

2 2 2 2
11 12 13 22 23 33
2 2 2d f a dx a dxdy a dxdz a dy a dydz a dz= + + + + +

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
§7: Dạng Toàn phương

Tổng quát cho hàm nhiều biến thì việc tìm
dấu của vi phân cấp 2 không đơn giản, do
vậy “Dạng toàn phương” là một lý thuyết
hổ trợ cho việc tìm dấu của vi phân cấp 2

của hàm nhiều biến.

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
§7: Dạng Toàn phương

Định nghĩa: Cho V là không gian vector n
chiều trên R, hàm

xác định như sau: với mỗi
:V R
ω

→
1 2
( , , , )
n
x x x x V= ∈

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
§7: Dạng Toàn phương
2
11 1 12 1 2 13 1 3 1 1
2

22 2 23 2 3 2 2
2
33 3 3 3
2
( ) 2 2 2
2 2
2

n n
n n
n n
n n n
x a x a x x a x x a x x
a x a x x a x x
a x a x x
a x
ω
= + + + +
+ + + +
+ + +
+
được gọi là dạng toàn phương trên V.

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đ
ạ
i

S

ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
§7: Dạng Toàn phương

Ví dụ: Cho dạng toàn phương:
3
1 2 3
2
1 1 2 1 3
2
2 2 3
2
3
2 2 2
1 1 2 1 3 2 2 3 3
: , ( , , )
( ) 2 4 6
2
8

2 4 6 2 8
R R x x x x
x x x x x x
x x x
x
x x x x x x x x x
ω
ω
→ =
= + −
− +
+
= + − − + +
11
a
12
2a
13
2a
22
a
23
2a
33
a

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đ
ạ

i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
§7: Dạng Toàn phương

Định nghĩa: Cho dạng toàn phương
2
11 1 12 1 2 13 1 3 1 1
2
22 2 23 2 3 2 2
2
33 3 3 3
2
( ) 2 2 2
2 2
2

n n
n n
n n
nn n
x a x a x x a x x a x x
a x a x x a x x
a x a x x
a x
ω
= + + + +
+ + + +
+ + +
+
khi đó, ma trận sau:

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
§7: Dạng Toàn phương

Gọi là ma trận của dạng toàn phương
11 12 1
12 22 2
1 2




n
n
n n n n
a a a
a a a
A
a a a
ω
 
 
 
=
 
 
 

 

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
§7: Dạng Toàn phương

Ví dụ: Cho dạng toàn phương
3
1 2 3
2 2 2
1 1 2 1 3 2 2 3 3
: , ( , , )

( ) 2 4 6 2 8
R R x x x x
x x x x x x x x x x
ω
ω
→ =
= + − − + +

Khi đó, ma trận của dạng toàn phương là:
2 2 3
2 1 1
3 1 8
A
ω
−
 
 
= −
 
 
−
 

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đ
ạ
i

S

ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
§7: Dạng Toàn phương

Bài tập: Tìm ma trận của dạng toàn phương sau:
2 2 2
1 2 3 1 1 2 2 2 3 3
( , , ) 6 3 4 5x x x x x x x x x x
ω
= − + + −
1 3 0
3 3 2
0 2 5
A
ω
−
 
 
= −

 
 
−
 

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
§7: Dạng Toàn phương

Bài tập: Tìm ma trận của dạng toàn phương sau:
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3

( ) 3 7 3 8 10 8x x x x x x x x x x
ω
= − + + − −
3 4 5
4 7 4
5 4 3
A
ω
−
 
 
= − −
 
 
− −
 

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế

n

T
í
n
h
∑
§7: Dạng Toàn phương

Ví dụ: Cho dạng toàn phương có ma trận:
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3
( ) 4 5 4 6 2x x x x x x x x x x
ω
= + − − + +
1 2 3
2 4 1
3 1 5
A
ω
−
 
 
= −
 
 
−
 

Khi đó, dạng toàn phương tương ứng là:

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
§7: Dạng Toàn phương
Nhận xét:

Xác định dấu của các dạng toàn phương sau:
.35)(
.432)(
.523)(
.8262)(
2

3
2
2
2
14
2
3
2
2
2
13
2
3
2
2
2
12
323121
2
3
2
2
2
11
xxxx
xxxx
xxxx
xxxxxxxxxx
−+=
−−−=

++=
−++−+=
ω
ω
ω
ω

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
§7: Dạng Toàn phương

Dạng chính tắc của dạng toàn phương


Khi ma trận của dạng toàn phương là ma trận
chéo














nn
a
a
a
000

0 0
0 0
22
11

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn

Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
§7: Dạng Toàn phương
)(
22
222
2
111 nnn
xaxaxax +++=
ω

Hay

Thì ta gọi đó là dạng chính tắc của dạng

toàn phương.

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
§7: Dạng Toàn phương

Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc

Phương pháp Lagrange (xem tài liệu)

Ví dụ: Đưa dạng toàn phương sau về dạng
chính tắc.

2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3
( ) 2 10 2 4 8x x x x x x x x x x
ω
= + + + − −

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
§7: Dạng Toàn phương
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3
2 2 2

1 2 3 2 3 2 3
2 2 2
1 2 3 2 3 3
( ) 2 10 2 4 8
( 2 ) 6 4
( 2 ) ( 2 ) 2
x x x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
ω
= + + + − −
= + − + + −
= + − + − +
1 1 2 3
2 2 3
3 3
2
2
y x x x
y x x
y x
= + −
= −
=
2 2 2
1 2 3
( ) 2y y y y
ω
⇒ = + +


Đặt

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
§7: Dạng Toàn phương

Ví dụ: Đưa DT phương sau về dạng chính tắc:
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3
( ) 6 13 4 6 2x x x x x x x x x x
ω
= + + + − −

2
1
( )x=
2
2x+
3
3x−
2
2
2x+
2
3
4x+
2 3
10x x+
2 2 2
1 2 3 2 3 2 3
( 2 3 ) 2[ 2 5 ]x x x x x x x= + − + + +
2 2
1 2 3 2
( 2 3 ) 2[( ) ]x x x x= + − +
3
5
2
x+
2
3
17
4
x−

2 2 2
1 2 3 2 3 3
5 17
( 2 3 ) 2( )
2 2
x x x x x x
= + − + + −
2 2 2
1 2 3
17
2
2
y y y
= + −

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
§7: Dạng Toàn phương

Bài tập: Đưa dạng toàn phương sau về dạng
chính tắc bằng phương pháp Lagrange:
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3
( ) 5 10 4 8 2x x x x x x x x x x
ω
= + − − + +
2
1
)(x=

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y

ế
n

T
í
n
h
∑
§7: Dạng Toàn phương

Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc

Phương pháp Jacobi (xem tài liệu)

Ví dụ: Đưa dạng toàn phương sau về dạng
chính tắc.
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3
( ) 2 3 2 4 6x x x x x x x x x x
ω
= + − + − −











−−−
−
−
=
132
331
212
A

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑

§7: Dạng Toàn phương










−−−
−
−
=
132
331
212
A
,2
111
==
aD
0
1,D =
11 12
2
21 22
2 1
5,

1 3
a a
D
a a
= = =

Đặt
11 12 13
3 21 22 23
31 32 33
2 1 2
1 3 3 35,
2 3 1
a a a
D a a a
a a a
−
= = − = −
− − −

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đ
ạ
i

S
ố

T

u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
§7: Dạng Toàn phương

Nếu thì dạng toàn phương
có dạng chính tắc là:
2
3
2
3
2
2
1
2
2
1
0
1
)( y
D
D
y

D
D
y
D
D
y ++=
ω
2 2 2
1 2 3
2 5 35
( )
1 2 5
y y y y
ω
−
= + +
, 2,1,0 =∀≠ iD
i

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đ
ạ
i

S
ố

T
u

y
ế
n

T
í
n
h
∑
§7: Dạng Toàn phương

Bài tập: Đưa dạng toàn phương sau về dạng
chính tắc bằng phương pháp Jacobi:
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3
( ) 2 3 4 2 8x x x x x x x x x x
ω
= − + − − + −










−−
−−

−−
=
341
422
121
A