Bài tập xác suất thống kê có lời giải chi tiết năm 2015

BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ ĐẦY ĐỦ NHẤT
Phần 1.1 Các công thức xác suất
Bài 1:
Gọi Ai là biến cố chọn được học sinh thứ i ( i= 1 4 )
a)
Xác suất sao cho 4 em được chọn có ít nhất 1 em lớp 10A
Gọi A là biến cố chọn đồng thời 4 học sinh sao cho ít nhất 1 h/s lớp 10A
TH1: Chọn được 1 học sinh lớp 10A
P(A1) = =
TH2 : Chọn được 2 học sinh lớp 10A
P(A2) == =
TH3 : Chọn được 3 học sinh lớp 10A
P(A3) = = =
TH 4: Chọn được 4 học sinh lớp 10A
P(A4) = =
⇨ P(A) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + P(A4) = 35/99 + 14/33 + 14/99 + 1/99 =0,93
b)
Gọi Ā là biến cố chọn được học sinh của cả 3 lớp
TH1 : Chọn được 2 h/s lớp 10A, 1 h/s lớp 10B, 1 h/s lớp 10C
P(Ā1) = =
TH2: Chọn được 1 h/s lớp 10A, 2 học sinh lớp 10B, 1 học sinh lớp 10C
P(Ā2)= =
TH3: Chọn được 1 h/s lớp 10A, 1 h/s lớp 10B, 2 h/s lớp 10C
P(Ā3)= =
⇨ P(Ā) = P(Ā1) + p(Ā2) + P(Ā3) = .Vì A và Ā là đối lập nên xác suất chọn được 4 học
sinh không quá 2 trong 3 lớp trên nên
P(A) = 1- P(Ā) = 1 – 6/11 = 5/11
Bài 2:
a, Gọi A là biến cố 4 quả lấy được có 2 quả đỏ, 1 quả xanh và 1 quả vàng.
m = = 90
n =

P(A) = = = 0,18
b, Gọi B là biến cố 4 quả lấy được thuộc đúng 2 trong 3 màu.
⇨ P(B) = = =0,44
Bài 3:
Số trường hợp có thể xảy ra khi rút ngẫu nhiên từ mỗi hòm ra 1 tấm thẻ là: n= 5.5 = 25
a. Gọi A là biến cố tổng các biến cố “ tổng các số ghi trên 2 tấm thẻ là 7 ”.
Số thuận lợi cho A là: m
A
= 4.
Ω = { 2 5, 5 2, 3 4, 4 3}
⇨ P(A) = = 0,16
b. Gọi B là biến cố “tổng các số ghi trên 2 tấm thẻ rút ra không nhỏ hơn 3”
Ta có: tổng số ghi trên 2 tấm thẻ nhỏ hơn 3 chỉ khi rút cả 2 hòm đều vào 1
⇨ Chỉ có 1 trường hợp
⇨ m
B
= 25-1 = 24
⇨ P(B) = = 0,96
Bài 4:
Vì có 12 hành khách lên 3 toa tàu nên ta có cách lên tàu;
a)
Gọi A là biến cố 12 hành khách đều lên toa I,
Ta có số trường hợp thuận lợi cho A là: 1
Vậy xác suất để 12 hành khách đều lên toa I là:
P(A) = .
b)
Gọi B là biến cố có 4 hành khách lên toa I, 5 hành khách lên toa II và còn lại lên toa III,
Ta có số trường hợp thuận lợi cho B là: . . = 2770,
Vậy xác suất để có 4 hành khách lên toa I, 5 hành khách lên toa II và còn lại lên toa III:
P(B) = ≈ 0,052.

Bài 5:
Gọi A là biến cố gồm 6 sinh viên trong đó có ít nhất 2 nữ;
Ta có = = n;
+)TH1: Ban cán sự lớp có Cường mà không có Hoa,
* + * = 141 (cách);
+)TH2: Ban cán sự lớp có Hoa mà không có Cường,
* + * + * = 185 (cách);
+)TH3: Ban cán sự lớp không có cả Cường và Hoa,
* + * = 65 (cách);
Vậy P(A) = = 0,85.
Bài 6 :
a,
Gọi Ai là biến cố lần quay thứ i quay trúng số màu đỏ ( i=1,2)
Ta có xác suất cả hai lần quay đều dừng ở con số màu đỏ là: P(A1.A2)
Do A1, A2 độc lập với nhau nên: P(A1.A2)=P(A1).P(A2) = = 0,224
b,
Gọi Bi là biến cố lần quay thứ i quay trúng số màu đen (i=1,2)
Ta có xác suất cần tính là P(A1.B2+A2.B1)=P(A1.B2)+P(A2.B1)-P(A1.B2.A2.B1)
= P(A1).P(B2)+P(A2).P(B1)
Do đó: P(A1.B2+A2.B1)= + = 0,448
Bài 7
Số trường hợp có thể xảy ra là
a, Gọi A là biến cố 3 lần quay lần lượt dừng ở 3 vị trí khác nhau.
Để 3 lần quay vào 3 vị trí khác nhau:
Lần 1 vào 1 trong 7 vị trí=> có 7 khả năng
Lần 2 vào 1 trong 6 vị trí => có 6 khả năng
Lần 3 vào 1 trong 5 vị trí => có 5 khả năng
=>m=7*6*5.
Vậy P(A)= =
b,

Gọi B là biến cố 3 lần quay liên tiếp chỉ dừng ở đúng 1 vị trí
Ta có lần 1 có 7 khả năng.
Lần 2 có 1 khả năng
Lần 3 có 1 khả năng
Vậy: m=7*1*1=7
P(B)= =
Bài 8
a,
Gọi A1 là biến cố quay lần đầu bánh xe dừng lại tại một số thuộc [1,6]
Gọi A2 là biến cố quay lần hai bánh xe dừng là tại một số thuộc [1,6]
Ta có : P(A1)=P(A2) = ; P( )=1-P(A2) =
Ta có xác suất cần tính là P(A1. ).
Do A1 và là hai biến cố độc lập lên ta có:
P(A1. )=P(A1).P( )= = 0,133
b,Gọi A là biến cố sau 3 lần quay nhận được bộ ba số khác nhau từng đôi một.
Ta có số trường hợp thuận lợi cho việc xuất hiện biến cố A là =38.37.36
Số trường hợp đồng khả năng (bộ ba số bất kỳ) có thể xảy ra là: 38x38x38
Vậy ta suy ra xác suất cần tính là P(A)= = 0.922
Bài 9: Không có đề bài trong tờ bài tập.
Bài 10 :
a, Do chỉ có 3 lớp nên xs trong 4 em có luôn có 2 em cùng lớp.Vậy xác suất 4 em được chọn
không cùng lớp là bằng 0.
b, Có 2 t/h:
T/H1: số học sinh lớp 10A=số học sinh lớp 10C = 1, số cách là:5*3*C(4,2)=90
T/H1: số học sinh lớp 10A=số học sinh lớp 10C = 2, số cách là:C(5,2)*C(3,2)=30
Vậy tổng số cách là : 120.
Xác suất là : 120/C(12,4) = 120/495=0,2424
Bài 11:
Gọi A
1

là biến cố máy 1 hoạt động tốt và là biến cố máy 1 không hoạt động tốt
Gọi A
2
là biến cố máy 2 hoạt động tốt và là biến cố máy 2 không hoạt động tốt
Gọi A
3
là biến cố máy 3 hoạt động tốt và là biến cố máy 3 không hoạt đông tốt
P(A
1
) = 0,99 P(A
2
) = 0,95 P(A
3
) = 0,90
a, Tìm sắc xuất trong thời gian T có đúng 1 máy hoạt động tốt.
P = [(1-0,99) .(1-0,95) .(0,90) + (1-0,99). (0,95).(1-0,90) + (0,99) . (1-0,95).(1-0,99) ]
= 0,00635
b, Ít nhất 1 máy hoạt động tốt.
Cả 3 máy không hoạt động tốt:
Do là 3 biến cố độc lập
=(1 – 0,99) . (1 – 0,95) . (1 – 0,90) = 0,00005
Ít nhất 1 máy hoạt động tốt tức là không xảy ra trường hợp 3 máy không hoạt động tốt
Bài 12:
Gọi A là biến cố lấy được i quả hỏng ( i= 0,1,2)
Gọi A1 là biến cố lấy ra 1 quả hỏng :
P(A1) = [(C(60,9).C(20,1)]/ C(80,10) = 0,175
Gọi A2 là biến cố lấy được 2 quả hỏng:
P(A2) = [C(60,8).C(20,2)]/ C(80,10) = 0,295
Gọi A0 là biến cố không lấy phải quả hỏng nào
P(A0) = [C(60,10).C(20,0)]/ (80C10) = 0,046

Vậy xác suất lấy được nhiều nhất 2 quả hỏng là
P(A) = P(A0) + P(A1) + P(A2) = 0,175 + 0,295 + 0,046 = 0,5209
Bài 13:
a, Gọi A là biến cố có đúng 2 người ném trúng rổ
Gọi A
i
là biến cố người thứ i ném trúng rổ (i= 1 3)
P(A) = P(Ā
1
) P(A
2
) P(A
3
) + P(A
1
) P(Ā
2
) P(A
3
) + P(A
1
) P(A
2
) P(Ā
3
)
= 0,3 0,9 0,8 + 0,7 0,1 0,8 + 0,7 0,9 0,2 = 0,398
b, Gọi B là biến cố có ít nhất một người ném trúng rổ.
Gọi là biến cố không ai ném trúng rổ
⇨ P( ) = P(Ā

1
) P(Ā
2
) P(Ā
3
) = 0,3 0,1 0,1 = 0,006
Vậy P(B) = 1 – 0,006 = 0,994
c, Gọi C là biến cố người thứ 2 ném trúng rổ và có 2 người ném trúng rổ.
P(C) = P(Ā
1
) P(A
2
) P(A
3
) + P(A
1
) P(A
2
) P(Ā
3
)
= 0,3 0,9 0,8 + 0,7 0,9 0,2 = 0,342
Bài 14.
Gọi A
i
là biến cố “máy thứ i bị hỏng trong 1 ca làm việc” , i= 1,2, 3.
a. Gọi A là biến cố có ít nhất 1 máy bị hỏng
Ta có là biến cố đối lập của A, trong đó là biến cố không có máy nào bị hỏng.
=
1 2 3

⇨ = P(
1 2 3
) = P(
1
)P(
2
)P(
3
)
= (1 – 0,01)(1 - 0,1)(1 - 0,5) = 0,4455
Vậy P(A) = 1 - = 1 – 0,4455 = 0,5545
b. Gọi B là biến cố có đúng 1 máy không bị hỏng
Ta có B =
1
A
2
A
3
+A
1 2
A
3
+A
1
A
2 3
⇨ P(B) = P(
1
A
2

A
3
+A
1 2
A
3
+A
1
A
2 3
)
= (1-0,01).0,1.0,5+0,01.(1-0,1).0,5+0,01.0,1.(1-0,5)
=0,0545
c. Ta có:
P(
1
/B) = =
= =
Bài 15:
Gọi E là biến cố lấy được ít nhất 2 em sinh viên khá hoặc giỏi toán,
Gọi A
i
là biến cố lấy được i sinh viên khá hoặc giỏi toán là: i = 2,3,4,5.
Ta có:
P(A
2
) = ≈ 0,355.
P(A
3
) = ≈ 0,26.

P(A
4
) = ≈ 0,09.
P(A
5
) = ≈ 0,011.
Vậy xác suất để lấy được ít nhất 2 em sinh viên khá hoặc giỏi toán là:
P(E) = P(A
2
) + P(A
3
) + P(A
4
) + P(A
5
)
= 0,355 + 0,26 + 0,09 + 0,011 = 0,716.
Bài 16:
a)
Gọi A là biến cố có đúng một máy hỏng.
A= + + ,
→ P(A)= P( ) + P( ) + P( )
=P( ).P( ).P( ) + P( ).P( ).P( ) + P( ).P( ).P( )
= 0,09.0,05.0,1 + 0,01.0,95.0,1 + 0,01.0,05.0,9 =0,0063.
b)
Gọi B là biến cố có ít nhất một máy hoạt động tốt,
P(B)= P(B
1
+ B
2

+ B
3
)
= P(B
1
) + P(B
2
) + P(B
3
) – P(B
1
.B
2
) – P(B
2
B
3
) – P(B
3
B
1
) + P(B
1.
B
2
.B
3
)
= 0,09 + 0,95 + 0,9 – 0,95.0,09 – 0,95.0,9 – 0,9.0,99 + 0,95.0,99.0,9 = 0,999
c)

Gọi C là biến cố máy I hoạt động tốt và có đúng 1 máy hoạt động tốt,
Ta có: P(C) = P( ).P( ).P( )
=0,99.0,95.0,9 = 0,00495.
Bài 17
A, Gọi Ai là biến cố lấy được 2 chính phẩm ở lô 1 (i=1,2)
Xác suất để lấy được cả 4 chính phẩm là P(A1.A2)=P(A1).P(A2) ( vì A1,A2 độc lập)
P(A1.A2)= * = 0,28
b, Gọi Bi là biến cố lấy được 2 phế phẩm ở lô i (i=1,2)
Ci là biến cố lấy được duy nhất 1 chính phẩm ở lô i (i=1,2)
Ta có xác suất cần tính là:
P(A1.B2+A2.B1+C1.C2)=P(A1.B2)+P(A2.B1)+P(C1.C2)
=P(A1).P(B2)+P(A2)*P(B1) + P(C1).P(C2)
= * + * + P(C1).P(C2)
P(C1)=
P(C2)=
Suy ra P(A1.B2+A2.B1+C1.C2) = * + * + *
=0,02+0,07+0,15=0,24;
1.2.Công thức xác suất đầy đủ. công thức Bayes
Bài 1
a,
Gọi A1 là biến cố bắt gặp 1 người dân là nam
A2 là biến cố bắt gặp 1 người dân là nữ.
A là biến cố bắt gặp 1 người dân tốt nghiệp đại học.
⇨ A=A.A1+A.A2
Ta có: P(A1)=0,45; P(A2)= 0,55; P(A/A1)=0,2; P(A/A2)=0,15
Vậy P(A)=P(A1).P(A/A1)+P(A2).P(A/A2) = 0,45*0,2 + 0,55*0,15 =0,1725
b, Ta cần tính xác suất P(A1/A)
Có P(A1/A)= = = 0,52
Bài 2
a,

Gọi biến cố A là biến cố rút được bệnh án của bệnh nhân bị biến chứng.
A1 là biến cố rút được bệnh án của bệnh nhân bị bỏng do nóng. => P(A1)=0,8
A2 là biến cố rút được bệnh án của bệnh nhân bị bỏng do hóa chất. =>P(A2)=0,2
Ta có: P(A/A1)=0,3 , P(A/A2)=0,5
Mặt khác A1,A2 lập thành nhóm biến cố đầy đủ và A chỉ xảy ra đồng thời với 1 trong 2 biến cố
A1,A2.Do đó áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có:
P(A)=P(A1).P(A/A1)+P(A2).P(A/A2)
⇨ P(A)=0,8x0,3+0,2x0,5=0,34
b, Ta có xác suất cần tính sẽ là P(A1/A).
Áp dụng công thức Bayes ta có: P(A1/A)= = = 0,705
Bài 3:
a)
Gọi A là biến cố lấy được 2 chính phẩm từ lô II,
A
1
là biến cố lấy được 1 chính phẩm từ lô I,
A
2
là biến cố lấy được 1 phế phẩm từ lô I.
Ta có: P(A
1
) =30/40=0,75; P(A
2
) = 0,25;
Theo định nghĩa xác suất ta có:
P(A/A
1
) = ;
P(A/A
2

) = ;
Vậy xác suất để 2 sản phẩm lấy ra từ lô II đều là chính phẩm là:
P(A) = P(A
1
)*P(A/A
1
) + P(A
2
)*P(A/A)
= 0,75* + 0,25* = 0,3887.
b)
Gọi B là biến cố sản phẩm lấy ra từ lô II có 1 chính phẩm và 1 phế phẩm,
B
1
là biến cố sản phẩm lấy từ lô I là chính phẩm,
B
2
là biến cố sản phẩm lấy từ lô I là phế phẩm.
Ta có: P(B
1
) = = 0,75; P(B
2
) = = 0,25;
Theo định nghĩa xác suất ta có:
P(B/B
1
) = = = ;
P(B/B
2
) = = = ;

Vậy xác suất để 2 sản phẩm lấy ra từ lô II có 1 chính phẩm và 1 phế phẩm là:
P(B) = P(B
1
)*P(B/B
1
) + P(B
2
)*P(B/B
2
)
= 0,75* + 0,25* = 0,4786;
Bài 4:
a, Gọi biến cố mua được máy chính hãng là A
A1 là biến cố mua máy của IBM
A2 là biến cố mua máy ACER
Có A=A.A1+A.A2
P(A1)=0,4;P(A2)=0,6; P(A/A1)=0,8; P(A/A2)=0,9
Suy ra P(A)=P(A1).P(A/A1)+P(A2).P(A/A2)=0,4*0,8+0,6*0,9=0,86
B,Ta tính P( ) và P( ) rồi so sánh .
P( ) . P( ) = P( /A1).P(A1) => P( ).(1-0,86)=0,2 *0,4=> P( )=0,57
P( ) . P( ) = P( /A2).P(A2) => P( ).(1-0,86)=0,1 *0,6> P( )=0,428
Vậy xác suất là máy của Ibm nhiều hơn.
Bài 5:
Gọi E
1
: nhóm 5 thí sinh có khả năng đạt giải suất sắc
E
2
: nhóm 7 thí sinh có khả năng đạt giải suất sắc
E

3
; nhóm 4 thí sinh có khả năng đạt giải suất sắc
E
4
; nhóm 2 thí sinh có khả năng đạt giải suất sắc
Theo bài ra ta có;
P(E
1
) = ; P(E
2
) = ; P(E
3
) = ; P(E
4
) = ;
P(A/E
1
) = 0,2 P(A/E
2
) = 0,3 P(A/E
3
) = 0,4 P(A/E
4
) = 0,5
Áp dụng công thức Bayet, nên ta có;
P(E
1
/A) = =
P(E
2

/A) = =
P(E
3
/A) = =
P(E
4
/A) = =
Vậy thí sinh có khả năng ở nhóm 2
Bài 6
Gọi Ai là xạ thủ thứ i bắn trúng mục tiêu (i= 1,2,3)
Gọi A1 là biến cố xạ thủ thứ nhất bắn trúng mục tiêu: P(A1) = 0,8
A2 là biến cố xạ thủ thứ hai bắn trúng mục tiêu: P(A2) = 0,85
A3 là biến cố xạ thủ thứ ba bắn trúng mục tiêu: P(A3) = 0,9
a,Xác suất để 2 viên đạn trúng đích
A = A1A2 Ā3 + A1 Ā2A3 + Ā1A2A3
P(A) = P(A1A2 Ā3 + A1 Ā2A3 + Ā1A2A3)
= P( A1).P(A2).P( Ā3) + P (A1)P( Ā2)P(A3) + P (Ā1)(A2)(A3)
= 0,8.0,85.(1-0,9) + 0,8.(1-0,85).0,9 + (1-0.8).0,85,0.9
= 0,329
b, Gọi Ai là biến cố có i viên đạn trúng đích (i= 0,1,2,3)
Ai là hệ đầy đủ
Gọi A là biến cố mục tiêu bị tiêu diệt
Xác suất để đúng 1 mục tiêu bị trúng đích là:
P1= P(A1).P(Ā2).P(Ā3) + P (Ā 1)P( A2)P(Ā 3) + P (Ā1)( Ā 2)(A3)
= 0,8.0,15.0,1 + 0,2.0,85.0,1 + 0,2.0,15.0,9 = 0,056
Xác suất để đúng 2 mục tiêu bị trúng đích là:
P2 = P( A1).P(A2).P( Ā3) + P (A1)P( Ā2)P(A3) + P (Ā1)(A2)(A3)
= 0,8.0,85.(1-0,9) + 0,8.(1-0,85).0,9 + (1-0.8).0,85,0.9 = 0,329
Xác suất để đúng 3 mục tiêu bị trúng đích là:
P3 = 0,8.0,85.0,9 = 0,612

⇨ P(A) = 0,7.P1 + 0,9.P2 + 1.P3 = 0,7.0,056 + 0,9.0,329 + 1.0,612 = 0,9473
Bài 7:
a, Gọi A
i
là biến cố công suất của máy i (i = 1,2)
Gọi A là biến cố tỷ lệ phế phẩm.
Giả sử công suất của máy là 100%
Mà công suất của máy 2 gấp đôi công suất máy 1
⇨ Công suất máy 1 = 33%
Công suất máy 2 = 67%
⇨ P() = P(A
1
) P(A/A
1
) + P(A
2
) P(A/A
2
)
= 0,33 0,1 + 0,67 0,2 = 0,167
b, Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm của xưởng thì chỉ có một sản phẩm tốt.
Gọi B là biến cố sản phẩm tốt đó là của máy 1.
P(B) = = = 0,198
Bài 8
Gọi A
1
,A
2
,A
3

lần lượt là biến cố chuyển 1,2,3 file.xls từ thư mục 1 sang thư mục 2

A là biến cố chọn được file.xls ở thư mục 2
⇨ P(A) = P(A/A1).P(A1)+P(A/A2).P(A2)+P(A/A3).P(A3)
= 3/15.5/14+3/15.6/14+1/15.7/14 = 4/21
Bài 9:
Số trường hợp có thể xảy ra là: .
a)
Gọi A là biến cố Nam mua được 2 bóng tốt,
Ta có số trường hợp thuận lợi cho A là: .
Vậy xác suất để Nam mua được 2 bóng tốt là:
P(A) = = 0,625.
b)
Gọi B là biến cố Nam mua ít nhất được 1 bóng tốt,
Ta có: P(B) = + P(A) = 0,98.
c)
Gọi C là biến cố Nam đưa cho Lan là bóng tốt,
C
i
là biến cố Nam mua được I bóng tốt: i = 0,1,2.
→ C
1
, C
2
, C
3
là 1 hệ biến cố đầy đủ, xung khắc từng đôi.
Ta có: P(C
1
) = 0,625; P(C

2
) = P(B) – P(A) = 0,355; P(C
3
) = = 0,023;
P(C/C
1
) = 1; P(C/C
2
) = 0,5; P(C/C
3
) = 0
;
Vậy xác suất đề Nam đưa cho Lan bóng tốt là:
P(C) = P(C
1
).P(C/C
1
) + P(C
2
).P(C/C
2
) + P(C
3
).P(C/C
3
)
= 0,625.1 + 0,355.0,5 + 0,023.0 = 0,8025.
Bài 10:
a)
Gọi A = “Tín hiệu phát ra là A”

B = “Tín hiệu phát ra là B”
C = “ Thu được tín hiệu A”
D = “Thu được tín hiệu B”
Ta có: {A,B} là hệ biến cố đầy đủ.
P(A) = 0,8; P(B) = 0,2;
P(C/A) = ; P(D/B) = ;
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có xác suất thu được tín hiệu A:
P(C) = P(A).P(C/A) + P(B).P(D/B)
= 0,8.(1- ) + 0,2. = 0,665.
b)
Xác suất thu được đúng tín hiệu lúc phát là:
P(A/C) = = = 0,96.
Bài 11
Gọi A là biến cố anh ta bị viêm họng.
B là biến cố anh ta là người hút thuốc lá.
là biến cố anh ta không hút thuốc lá.
Ta có P(B)=0,35; P( )=0,65; P(A/B)=0,65; P(A/ )=0,3;.
a, P(A)=(P(B).P(A/B)+P( ).P(A/ ) = 0,35*0,65+0,65*0,3= 0,4225
Xác suất để anh ta là người hút thuốc lá khi anh ta viêm họng:
P(B/A)= = = 0,54
b, xác suất để anh ta không viêm họng:P( ) =1-P(A)=1-0,4225=0,5775
Xác suất để anh ta là người hút thuốc khi anh ta không bị viên họng:
P(B/ )= = = 0,2
Bài 12
a, Gọi A1 là biến cố chuẩn đoán cho bệnh nhân có bệnh
Gọi A2 là biến cố chuẩn đoán cho bệnh nhân không có bệnh
A là biến cố chuẩn đoán đúng.
Ta có A=A.A1+A.A2
P(A1)=0,8; P(A2)=0,2; P(A/A1)=0,9; P(A/A2)=0,85
=>P(A)=0,8*0,9 + 0,2*0,85 =0,89

b, Ta cần tính P(A1/A).
Có P(A)*P(A1/A)=P(A/A1)*P(A1)
Suy ra 0,89*P(A1/A)=0,8*0,9
⇨ P(A1/A)= = 0,809
Bài 13
a,
Gọi A1 là biến cố khách hàng thuộc nhóm ít rủi ro =>P(A1)=0,2
Gọi A2 là biến cố khách hàng thuộc nhóm rủi ro trung bình =>P(A2)=0,5
Gọi A3 là biến cố khách hàng thuộc nhóm rủi ro cao. =>P(A3)=0,3
Gọi A là biến cố khách hàng bị rủi ro trong 1 năm.
Ta có P(A/A1)=0,05 , P(A/A2)=0,15; P(A/A3)= 0,3
Do A1,A2,A3 là nhóm biến cố đầy đủ và A đồng thời xảy ra với duy nhất 1 trong các biến cố
đó nên áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta được:
P(A)=P(A1).P(A/A1)+P(A2).P(A/A2)+P(A3).P(A/A3)
P(A)=0,2*0,05 + 0,5*0,15 + 0,3*0,3=0,175
b,
Xác suất cần tính là P(A1/A).
Áp dụng công thức Bayes ta có: P(A1/A)= = = 0,057
Bài 14:
Gọi A
i
là biến cố sản phẩm lấy ra từ phân xưởng i: i={1;2};
A là biến cố sản phẩm lấy ra là phế phẩm.
Ta có:
P(A
1
) = 0,4; P(A
2
) = 0,6;
P(A/A

1
) = 0,01; P(A/A
2
) = 0,02;
Vậy xác suất sản phẩm lấy ra là phế phẩm là:
P(A) = P(A
1
)*P(A/A
1
) + P(A
2
)*P(A/A
2
)
= 0,4*0,01 + 0,6*0,02 = 0,016.
Xác suất để phế phẩm này do phân xưởng 1 sản xuất là:
P(A
1
/A) = = = 0,25.
Xác suất để phế phẩm này do phân xưởng 2 sản xuất là:
P(A
2
/A) = = = 0,75.
Bài 15:
Xác suất chuẩn đoán đúng khi chuẩn đoán có bệnh là 0,9
Xác suất chuẩn đoán đúng khi chuẩn đoán không có bệnh là 0,5
a,
Gọi A1 là biến cố người đến khám có bệnh
A2 là biến cố người đến khám không có bệnh
A là biến cố chuẩn đoán có bệnh

Ta có A=A.A1+A.A2
P(A1)=0,8; P(A/A1)=0,9; P(A2)=0,2; P(A/A2)=0,5
P(A) = P(A
1
)*P(A/A
1
) + P(A
2
)*P(A/A
2
) = 0,8*0,9+0,2*0,5 = 0,82
b,
P(A.A1 + .A2 ) =P(A.A1)+P( .A2)=P(A1).P(A/A1)+P( ).P(A2/ )
= 0,8*0,9+0,18*0,5=0,81
Bài 16:
Gọi A1 là biến cố sinh viên do giáo viên 1 kiểm tra
A2 là biến cố sinh viên do giáo viên 2 kiểm tra
A là biến cố sinh viên được công nhận sau khi kiểm tra
Ta có A=A.A1+A.A2
Và P(A1)=0,55 ;P(A2)=0,45; P(A/A1)=0,94; P(A/A2)=0,98
P(A)=P(A1).P(A/A1)+P(A2).P(A/A2)=0,55*.0,94+0,45.0,98=0,517+0,441=0,958
Xác suất đề bài yêu cầu tính là P(A2/A).
Ta có P(A).P(A2/A)=P(A/A2).P(A2) => 0,958.P(A2/A)=0,45.0,98
P(A2/A)=0,46
Bài 17
Gọi Ai là mất i bi đỏ (i = 0 ,1 )
a,Gọi A là rút hú họa được bi đỏ trong hộp còn lại
A0 là không mất bi đỏ nào: P(A0) = 6/10 P(A/A0) = 6/9
A1 là mất 1 bi đỏ P(A1) = 5/10 P(A/A1)= 5/9
P(A) = P(A0).P(A/A0) + P(A1).P(A/A1) = 6/10.6/9 + 5/10.5/9 = 61/9

b,Gọi A là biến cố lấy được 1 bi màu đỏ và 1 bi màu xanh,
A
1
là biến cố viên bị bị mất có màu đỏ
A
2
là biến cố viên bi bị mất có màu xanh.
Ta có P(A
1
)= 5/9; P(A
2
)= 3/9;
Theo định nghĩa xác suất ta có:
P(A/A
1
)= = =
P(A/A
2
)= = =0,5
Vậy P(A)=P(A
1
).P(A/A
1
) + P(A
2
).P(A/A
2
) = 5/9.5/9 + 3/9.0,5= 0,475
Bài 18:
Gọi A là biến cố chọn được thỏ trắng

A
i
là biến cố chọn được thỏ ở chuồng i (i = 1,2)
P(A) = P(A
1
) P(A/A
1
) + P(A
2
) P(A/A
2
)
= + = 0,52
Vậy xác suất để con thỏ trắng đó được bắt từ chuồng thứ nhất là:
P(A
1
/A) = = =0,32
Bài 19
Gọi A
1
là biến cố đoàn thanh tra lấy lô hàng thứ nhất I
__ A
2
_____________________________________ II
A là biến cố sản phẩm được kiểm tra là phế phẩm
ADCT Bayes
P(A
1
/A) =
= = 7/13

Bài 20 :
Gọi A
i
là biến cố kiểm tra loại sản phẩm i: i = 1,2;
A là biến cố kiểm tra sản phẩm đưa ra thị trường,
Ta có:
P(A
1
) = 0,75; P(A
2
) = 0,25;
P(A/A
1
) = 0,9; P(A/A
2
) = 0,99;
a)
Ta có: P(A) = 0,75.0,9 + 0,25.0,99 = 0,9225,
Phần trăm của sản phẩm của lô hàng không được đưa ra thị trường là:
100% - (0,9225.100%) = 7.75%
b)
Xác suất sản phẩm được đưa ra thị trường là:
P(A
1
/A) = = = 0,732.
Vậy phần trăm sản phẩm được đưa ra thị trường là: 73,2%
1.3 Công thức Becnulli.
Bài 1
Gọi A là biến cố để trong 5 tín hiệu đã phát có 4 tín hiệu phát thành công,
B là biến cố để trong 4 tín hiệu phát thành công có 3 tín hiệu chính xác,

Theo công thức Becnoulli ta có:
Xác suất để trong 5 tín hiệu đã phát có 4 tín hiệu phát thành công là:
= . .0,01 = 0,048;
Xác suất để trong 4 tín hiệu phát thành công có 3 tín hiệu chính xác là:
= . .0,05 = 0,16
Bài 2
a, Gọi p là xác suất chọn được đáp án đúng: p=0,25
q là xác suất chọn đáp án sai, q=0,75
Gọi A là biến cố thí sinh được 15 điểm, để có 15 điểm thí sinh phải trả lời đúng 5 câu nên
P(A)= (5)= * * = 0,058
b, Gọi B là biến cố thí sinh đỗ, để đỗ thí sinh phải trả lời đúng 7 câu trở lên.
Vậy P(B)= (7,10)= * * + * * + * * + *
* = 0,00351
Bài 3
Coi việc trả lời mỗi câu hỏi là một phép thử thì ta có 12 phép thử độc lập, trong mỗi phép thử
có hai khả năng đối lập là : đúng , sai.
Mỗi câu có 4 phương án trả lời nên xác suất trả lời đúng là 1/4=0,25;
Bài toán thỏa mãn lược đồ Becnulli.
a,
Để thi được 13 điểm thí sinh phải làm đúng 5 câu.Ta có : (5)= * * =0,1032
b,
Thí sinh bị âm điểm khi thí sinh làm được số câu đúng nhỏ hơn hoặc bằng 2.
Vậy (0,2)= * * + * * + * * = 0,6733
Bài 4
a,
Gọi A là biến cố bán được hàng ở đúng 2 nơi trong 10 nơi.
Áp dụng công thức Becnulli ta có: P(A)= * * =45*0,04*0,17=0,306
b,
Gọi B là biến cố bán được hàng ở ít nhất một nơi.Ta có:
P(B)=1-P( );

Mặt khác là biến cố không bán được hàng ở đúng 10 nơi.=>
P( )= * * =
Suy ra P(B)=1- = 1-0.107=0,893
Bài 5:
a)
Gọi A là biến cố lớp học đủ ánh sáng,
A
i
là biến cố lớp có i bóng đèn sáng: i={4,5,6}.
Theo đề bài, mỗi bóng có xác suất cháy là 0,25;
→ xác suất sáng của mỗi bóng là 0,75.
Xác suất để lớp học lần lượt có 4, 5, 6 bóng đèn sáng là
P(A
4
) = * * 0,2966;
P(A
5
) = * *0,25 0,3559;
P(A
6
) = * * 0,1779.
Vậy xác suất để lớp học có đủ ánh sáng là:
P(A) = P(A
4
) + P(A
5
) + P(A
6
) 0,8305.
b)

Gọi là biến cố để lớp học không có đủ ánh sáng;
Ta có là biến cố đối của biến cố A nên:
Xác suất để lớp học không đủ ánh sáng là:
P( ) = 1 – P(A) = 1 – 0,8305 = 0,1695.
Bài 6:
a, Người say rượu trở về điểm xuất phát sau 8 bước khi anh ta có đúng 4 bước bước về phía
trước .
Vậy (4)=C(8,4)* =0,27
b,Để cách đích >4m chỉ có 2 t/h:
T/h1: số bước tiến là 1 và lùi là 7: (1)=C(8,1)* =0,03125
Th/2: bước tiến là 7 và số bước lùi là 1 (7)=C(8,7)* =0,03125
Suy ra xác suất cần tính là: 0,0625.