dưới vi phân của hàm lồi trong không gian banach và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
ĐẠI HỌC KHOA HỌC








ĐÀO VĂN PHƯƠNG





DƯỚI VI PHÂN CỦA HÀM LỒI
TRONG KHÔNG GIAN BANACH VÀ ỨNG DỤNG







LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên, năm 2012
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Lời cảm ơn 3
Mở đầu 4
Một số kí hiệu 5
1 Một số kiến thức chuẩn bị 6
1.1 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2 Các phép toán về hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.3 Tính liên tục của hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.4 Hàm liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Dưới vi phân của hàm lồi 23
2.1 Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
2.2 Quan hệ với đạo hàm theo hướng . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.1 Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3 Ứng dụng của dưới vi phân vào nghiên cứu bài toán tối ưu
lồi 48
3.1 Bài toán tối ưu lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2 Bài toán lồi không có ràng buộc . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3 Bài toán lồi có ràng buộc bao hàm thức . . . . . . . . . . . 49
3.4 Bài toán với ràng buộc đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . 50
3.5 Bài toán lồi với ràng buộc bất đẳng thức . . . . . . . . . . 53
Kết luận 57
Tài liệu tham khảo 59
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm -
trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã hướng dẫn và chỉ bảo tận tình để
tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn các Giáo sư của trường Đại học Khoa học,
Viện Toán học, Đại học Thái Nguyên đã truyền thụ kiến thức cho tôi
trong suốt quá trình học tập vừa qua.
Tôi xin cảm ơn cơ quan, bạn bè đồng nghiệp, gia đình đã chia sẻ, giúp
đỡ, động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thiện luận văn này.
Hải phòng, ngày 19 tháng 7 năm 2012
Đào Văn Phương
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
Mở đầu
Giải tích lồi là một bộ phận quan trọng của giải tích toán học, nghiên
cứu về tập lồi và hàm lồi. Trong giải tích lồi, khái niệm dưới vi phân là
một trong những khái niệm cơ bản. Có thể xem dưới vi phân như là một
mở rộng của khái niệm đạo hàm. Nhiều tác giả trong và ngoài nước đã
nghiên cứu và thu được những kết quả quan trọng về dưới vi phân của
hàm lồi và ứng dụng của nó trong giải tích phi tuyến cũng như trong các
môn toán ứng dụng.
Luận văn này trình bày một cách có hệ thống những nội dung cơ bản
nhất về dưới vi phân của hàm lồi trên không gian Banach và một số ứng

dụng của nó vào lý thuyết tối ưu.
Luận văn gồm 3 chương. Chương 1 trình bày những kiến thức cơ bản
về tập lồi và hàm lồi. Chương 2 trình bày dưới vi phân của hàm lồi trên
không gian Banach. Chương 3 trình bày ứng dụng của dưới vi phân vào
việc nghiên cứu bài toán tối ưu lồi.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Bảng kí hiệu
R đường thẳng thực
R
n
không gian Euclid n - chiều
R = R ∪ {−∞, +∞} tập số thực suy rộng
f : D → R ánh xạ đi từ D vào R
δ (x|D) hàm chỉ của tập D
E
∗
không gian liên hợp của E
int A phần trong của A
A bao đóng của A
domf miền hữu hiệu của f
epif trên đồ thị của f
f

(x) đạo hàm Fréchet của f tại x
f

G
(x) đạo hàm Gâteaux của f tại x
f


(x; v) đạo hàm theo hướng v của f tại x
∂f(x) dưới vi phân của f tại x
||.|| chuẩn trong không gian Banach
|x| trị tuyệt đối của số x
x
∗
, x giá trị của x
∗
tại x
K
A
nón lồi sinh bởi A
N
A
(¯x) nón pháp của A tại ¯x
affA bao lồi affine của A
coA bao lồi của A
f ≤ g f(x) ≤ g(x) với mọi x
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng ta sẽ trình bày những khái niệm cơ bản nhất
của tập lồi trong không gian Banach và hàm lồi trên không gian Banach
cùng với những tính chất đặc trưng của nó. Những kiến thức trình bày
trong chương này được chọn chủ yếu từ các tài liệu [1], [2], [4], [5], [6], [7],
[8].
1.1 Không gian Banach
Cho E là một không gian vectơ trên trường số R .
Định nghĩa 1.1. Một chuẩn, kí hiệu || · ||, trong E là một ánh xạ đi

từ E vào R thỏa mãn các điều kiện:
1) ||x|| ≥ 0 với mọi x ∈ E ;
2) ||x|| = 0 khi và chỉ khi x = θ (θ là kí hiệu phần tử không);
3) ||λx|| = |λ|||x|| với mọi số λ ∈ R và mọi x ∈ E;
4) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| với mọi x, y ∈ E.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
Số ||x|| được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ x ∈ E. Một không
gian vectơ E cùng với một chuẩn xác định trong không gian ấy, được gọi
là một không gian định chuẩn.
Mệnh đề 1.1. Giả sử E là một không gian định chuẩn. Với mọi
x, y ∈ E, đặt
ρ(x, y) = ||x − y||
Khi đó, ρ là một metric trên E.
Định nghĩa 1.2. Cho E là một không gian định chuẩn với chuẩn ..
Nếu E với khoảng cách sinh bởi chuẩn của E: ρ(x, y) = ||x − y||, là
một không gian metric đầy đủ thì E gọi là không gian Banach.
Nếu không có giả thiết gì thêm, trong suốt luận văn này, không gian
Banach được kí hiệu là E. Chuẩn trong các không gian Banach luôn được
kí hiệu bởi ..
Định nghĩa 1.3. Cho E là một không gian định chuẩn với chuẩn
..Ta gọi mỗi ánh xạ tuyến tính x
∗
: E → R là một phiếm hàm tuyến
tính xác định trên E.
Nếu x
∗
∈ E
∗
và x ∈ E thì giá trị của x

∗
tại x sẽ được kí hiệu là
x
∗
, x, nghĩa là x
∗
, x = x
∗
(x).
Dễ dàng kiểm tra được rằng, tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến
tính liên tục trên E với phép cộng ánh xạ tuyến tính và phép nhân ánh
xạ tuyến tính với số thực lập thành một không gian tuyến tính thực. Ta
gọi không gian này là không gian liên hợp của E và được kí hiệu là E
∗
.
Không gian liên hợp của E
∗
gọi là không gian liên hợp thư hai của E và
kí hiệu là E
∗∗
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
Định lí 1.1. Không gian liên hợp E
∗
của E với chuẩn xác định bởi
x
∗
 = sup{x
∗

, y : y ∈ E, y = 0}
là một không gian Banach.
Tôpô τ
M
sinh bởi metric của không gian định chuẩn E
∗
nêu trong
định lý vừa nêu gọi là tôpô mạnh trong E
∗
.
Định nghĩa 1.4. Tôpô τ
Y
trong E
∗
gọi là tôpô yếu nếu hệ thống các
lân cận của 0 của E
∗
là các tập có dạng
{x
∗
∈ E
∗
: x
∗∗
i
, x
∗
 < ε, i = 1, , k},
trong đó x
∗∗

i
∈ E
∗∗
với i =, , k và ε > 0.
Định nghĩa 1.5. Tôpô τ
∗
trong E
∗
gọi là tôpô yếu* nếu hệ thống
các lân cận của 0 của E
∗
là các tập có dạng
{x
∗
∈ E
∗
: x
∗
, x
i
 < ε, i = 1, , k},
trong đó x
i
∈ E với i = 1, , k.
Định nghĩa 1.6. Tập A ⊂ E mà là đóng (compact, bị chặn) theo tô
pô yếu trong E gọi là tập đóng (compact, bị chặn) yếu. Tập A đóng
(compact, bị chặn) theo tô pô yếu* trong không gian liên hợp E
∗
của
E thì gọi là tập đóng yếu* (compact yếu*, bị chặn yếu*) .

1.2 Tập lồi
Giả sử E là một không gian Banach, R là tập số thực.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
Định nghĩa 1.7. Tập A ⊂ E được gọi là lồi, nếu
∀x
1
, x
2
∈ A, ∀λ ∈ R : 0 ≤ λ ≤ 1 ⇒ λx
1
+ (1 − λ) x
2
∈ A.
Ví dụ 1.1. Cả không gian E là tập lồi. Tập A = ∅ là tập lồi.
Mệnh đề 1.2. Giả A
α
⊂ E (α ∈ I) là các tập lồi, với I là tập chỉ số
bất kì. Khi đó A =

α∈I
A
α
cũng lồi.
Mệnh đề 1.3. Giả sử tập A
i
⊂ E lồi, λ
i
∈ R (i = 1, 2, , m). Khi
đó λ

1
A
1
+ + λ
m
A
m
cũng là tập lồi.
Mệnh đề 1.4. Giả sử E
i
là không gian Banach, tập A
i
⊂ E
i
lồi
(i = 1, 2, . . . , m). Khi đó tích Đềcác A
1
× × A
m
là tập lồi trong
E
1
× × E
m
.
Mệnh đề 1.5. Giả sử E
1
, E
2
là các không gian Banach, T : E

1
→ E
2
là toán tử tuyến tính. Khi đó,
a) A ⊂ E
1
lồi thì T (A) lồi;
b) B ⊂ E
2
lồi thì nghịch ảnh T
−1
(B) của B là tập lồi.
Định nghĩa 1.8. Véc tơ x ∈ E được gọi là tổ hợp lồi của các véctơ
x
1
, , x
m
thuộc E, nếu ∃λ
i
≥ 0 (i = 1, 2, , m) ,
m

i=1
λ
i
= 1 sao cho
x =
m

i=1

λ
i
x
i
.
Định lí 1.2. Giả sử tập A ⊂ E lồi; x
1
, , x
m
∈ A. Khi đó A chứa tất
cả các tổ hợp lồi của x
1
, , x
m
.
Định nghĩa 1.9. Giả sử A ⊂ E. Giao của tất cả các tập lồi chứa A
được gọi là bao lồi (convex hull) của tập A, kí hiệu là coA.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
Định lí 1.3. coA trùng với tập tất cả các tổ hợp lồi của A.
Hệ quả 1.1. Tập A lồi khi và chỉ khi A chứa tất cả các tổ hợp lồi
của A.
Định nghĩa 1.10. Giả sử A ⊂ E. Giao của tất cả các tập lồi đóng
chứa A được gọi là bao lồi đóng của tập A và kí hiệu là coA.
Mệnh đề 1.6. Giả A ⊂ E lồi. Khi đó,
i) Phần trong intA và bao đóng A của A là các tập lồi;
ii) Nếu x
1
∈ intA, x
2

∈ A, thì {λx
1
+ (1 − λ)x
2
: 0 < x
1
≤ 1} ⊂
intA.
Định nghĩa 1.11. Tập K ⊂ E được gọi là nón có đỉnh 0, nếu
∀x ∈ K, ∀λ > 0 ⇒ λx ∈ K.
K được gọi là nón đỉnh x
0
nếu K − x
0
là nón có đỉnh 0.
Định nghĩa 1.12. Nón K có đỉnh 0 được gọi là nón lồi, nếu K là
một tập lồi, vậy
∀x, y ∈ K, ∀λ, µ > 0 ⇒ λx + µy ∈ K.
Mệnh đề 1.7. Giả sử K
α
(α ∈ I) là các nón lồi có đỉnh x
0
với I là
tập chỉ số bất kì. Khi đó

α∈I
K
α
là nón lồi có đỉnh x
0

.
Định lí 1.4. Tập K ⊂ E là một nón lồi có đỉnh 0 khi và chỉ khi
∀x, y ∈ K, ∀λ > 0 ⇒ x + y ∈ K, λx ∈ K.
Hệ quả 1.2. Tập K ⊂ E là nón lồi khi và chỉ khi K chứa tất cả các
tổ hợp tuyến tính dương của các phần tử của K, tức là nếu x
1
, , x
m
∈
K, λ
1
, , λ
m
> 0 thì
m

i=1
λ
i
x
i
∈ K.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
Hệ quả 1.3. Giả sử A là tập bất kì trong E, K là tập tất cả các tổ
hợp tuyến tính dương của A. Khi đó K là nón lồi nhỏ nhất chứa A.
Định nghĩa 1.13. Giao của tất cả các nón lồi (có đỉnh tại 0) chứa
tập A và điểm 0 là một nón lồi, kí hiệu là K
A
và được gọi là nón lồi

sinh bởi tập A.
Định lí 1.5. Giả sử A ⊂ E khác rỗng, K
A
là nón lồi sinh bởi tập A.
Khi đó, mỗi điểm x khác 0 thuộc K
A
có thể biểu diễn dưới dạng
x = λ
1
x
1
+ + λ
r
x
r
; λ
i
> 0, x
i
∈ A, (i = 1, . . . , r).
Định nghĩa 1.14. Cho A là một tập lồi khác rỗng trong E, x
0
∈ A.
Nón pháp của A tại x
0
, kí hiệu là N
A
(x
0
), là tập

N
A
(x
0
) = {x
∗
∈ E
∗
: x
∗
, x − x
0
 ≤ 0 ∀x ∈ A}.
Định lí 1.6. (Định lí Carathéodory)
Giả sử dim E < ∞ và A ⊂ E. Khi đó, mỗi điểm của tập coA là tổ
hợp lồi không quá n + 1 điểm khác nhau của A.
Định nghĩa 1.15. Tập A ⊂ E được gọi là tập affine, nếu
(1 − λ) x + λy ∈ A (∀x, y ∈ A, ∀λ ∈ R) .
Dễ thấy, tập affine là một trường hợp riêng của tập lồi.
Ví dụ 1.4. Tập A = E là tập affine, không gian véc tơ con A của E là
tập affine.
Định nghĩa 1.16. Tập H trong không gian E được gọi là siêu phẳng
nếu tồn tại phiếm hàm tuyến tính khác không x
∗
từ E vào R và số
α ∈ R sao cho H = {x ∈ E : x
∗
, x = α}. Khi đó ta nói H xác định
bởi x
∗

và α, và viết là H(x
∗
, α).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
Định nghĩa 1.17. Cho các tập hợp A, B ⊂ E. Ta nói phiếm hàm
tuyến tính liên tục x
∗
= 0 tách A và B, nếu tồn tại số α sao cho
x
∗
, y ≤ α ≤ x
∗
, x (∀x ∈ A, ∀y ∈ B) ,
Nếu như có x
∗
, y < α < x
∗
, x (∀x ∈ A, ∀y ∈ B) , thì ta nói x
∗
tách
ngặt A và B.
Khi đó siêu phẳng H (x
∗
, α) = {x ∈ E : x
∗
, x = α} được gọi là siêu
phẳng tách A và B, các tập A và B được gọi là tách được.
Định lí 1.7. (Định lý Hahn-Banach, Định lý tách (xem [1], [2]))
Cho A và B là hai tập lồi trong không gian Banach E, có tính chất

A ∩ B = ∅ và intA = ∅. Khi đó A và B có thể tách được bằng một
phiếm hàm tuyến tính khác 0, tức
∃x
∗
∈ E
∗
\ {0}, ∀x ∈ A, ∀y ∈ B : x
∗
, x  x
∗
, y.
Ví dụ 1.5. Cho hai tập hợp
C =

(x, y) ∈ R
2


x
2
+ y
2
≤ 1

D =

(x, y) ∈ R
2
|−1 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 3


.
Ta có:
+ C và D khác rỗng.
+ C và D tách được vì tồn tại siêu phẳng (0, 1), (x, y) = 1 thỏa mãn
(0, 1) , (x, y) ≤ 1 ≤

(0, 1) ,

x

, y


, ∀ (x, y) ∈ C, ∀

x

, y


∈ D.
Hay
y ≤ 1 ≤ y

, ∀ (x, y) ∈ C, ∀

x

, y



∈ D.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
+ Lưu ý rằng tồn tại
(α
1
, α
2
) , (x, y) = α
thỏa mãn
(α
1
, α
2
) , (x, y) < α <

(α
1
, α
2
) ,

x

, y


, ∀ (x, y) ∈ C, ∀


x

, y


∈ D.
Ví dụ 1.6. Cho hai tập hợp
C =

(x, y) ∈ R
2
|x ≥ 0, y = 0

D =

(x, y) ∈ R
2




y ≥
1
x
, y > 0, x > 0

.
Ta có:
+ C, D khác rỗng.
+ C, D tách được vì tồn tại siêu phẳng (0, 1) , (x, y) = 0 thỏa mãn:

(0, 1) , (x, y) = 0 ≤

(0, 1) ,

x

, y


, ∀ (x, y) ∈ C, ∀

x

, y


∈ D.
Hay
y = 0 ≤ y

, ∀ (x, y) ∈ C, ∀

x

, y


∈ D.
+ Lưu ý rằng
sup

(x,y)∈C
(0, 1) , (x, y) = 0,
inf
(x

,y

)∈D

(0, 1) ,

x

, y


= 0.
Định nghĩa 1.18. Giao của tất cả các tập affine của tập A ⊂ E được
gọi là bao affinc (affine hull) của A ký hiệu là affA.
Định nghĩa 1.19. Điểm x ∈ E được gọi là tổ hợp affine của các điểm
x
1
, , x
m
∈ E, nếu ∃λ
1
, , λ
m
∈ R,
m


i=1
λ
1
= 1 sao cho
x =
m

i=1
λ
i
x
i
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
Định lí 1.8. A tập affine khi và chỉ khi
A = affA = {x : x là tổ hợp affine của các véc tơ thuộc A}
Định nghĩa 1.20. Ánh xạ T : E
1
→ E
2
được gọi là affine nếu
∀x, y ∈ E
1
, λ ∈ R; T ((1 − λ) x + λy) = (1 − λ) T x + λT y.
Định nghĩa 1.21. Phần trong tương đối của A ⊂ E là phần trong
của A trong affA; kí hiệu là riA.
Các điểm thuộc riA được gọi là điểm trong tương đối của tập A.
Định nghĩa 1.22. Tập A \ riA được gọi là biên tương đối của A.

Tập A được gọi là mở tương đối, nếu riA = A.
1.3 Hàm lồi
1.3.1 Định nghĩa
Cho E là không gian Banach, D ⊂ E, f : D → R.
Định nghĩa 1.23. Cho hàm f : D → R, trong đó D ⊂ E, R =
R ∪ {−∞, +∞}, các tập
dom f = {x ∈ D| f(x) < +∞} ,
epi f = {(x, α) ∈ D × R| f(x) ≤ α} , α ∈ R ,
được gọi lần lượt là miền hữu hiệu và trên đồ thị của hàm f.
Định nghĩa 1.24. Hàm f : D → R được gọi là lồi nếu trên đồ thị
của nó là một tập lồi trong D × R. Nếu dom f = ∅ và −∞ < f(x) với
mọi x ∈ D ta nói hàm f là chính thường.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
Định nghĩa 1.25. Hàm f được gọi là lồi trên D (convex on D), nếu
epif là tập lồi trong E × R. Hàm f được gọi là lõm trên D (concave
on D), nếu −f là hàm lồi trên D.
Định lí 1.9. Giả sử D là tập lồi trong không gian E,
hàm f : D → (−∞, +∞]. Khi đó, f lồi trên D khi và chỉ khi
f (λx + (1 − λ) y) ≤ λf (x) + (1 − λ) f (y) (∀λ ∈ [0, 1] , ∀x, y ∈ D) .
Ví dụ 1.7. Xét hàm affine f (x) = a
∗
, x + α, a ∈ R
n
, α ∈ R.
1) ∀x, y ∈ E, ∀λ ∈ (0, 1) , ta có
f [λx + (1 − λ) y] = a
∗
, [λx + (1 − λ) y] + α
= λa

∗
, x + (1 − λ) a
∗
, y + α
= λa
∗
, x + λα + (1 − λ) a
∗
, y + (1 − λ) α
= λ (a
∗
, x + α) + (1 − λ) (a
∗
, y + α)
= λf (x) + (1 − λ) f (y) .
Vậy f là hàm lồi trên E.
2) ∀x, y ∈ E, ∀λ ∈ (0, 1) , ta lại có
−f [λx + (1 − λ) y] = −a
∗
, [λx + (1 − λ) y] + α
= −λa
∗
, x − (1 − λ) a
∗
, y + α
= −λa
∗
, x − λα − (1 − λ) a
∗
, y − (1 − λ) α

= −λ (a
∗
, x + α) − (1 − λ) (a
∗
, y + α)
= −λf (x) − (1 − λ) f (y) .
Vậy −f là hàm lồi trên E, suy ra f là hàm lõm trên E.
Ví dụ 1.8. (Hàm chỉ). Cho C = ∅ là một tập lồi trong E.
Đặt
δ
C
(x) :=

0 khi x ∈ C,
+∞ khi x /∈ C.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
Ta nói δ
C
là hàm chỉ của C.
+ ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1), ta có: δ
C
(x) = 0, δ
C
(y) = 0.
Do C lồi nên λx + (1 − λ)y ∈ C.
Suy ra δ
C
[λx + (1 − λ)y] = 0 = λδ
C

(x) + (1 − λ)δ
C
(y) .
+ ∀x ∈ C, ∀y /∈ C, ∀λ ∈ (0, 1), ta có:
δ
C
(x) = 0, δ
C
(y) = +∞, δ
C
[λx + (1 − λ)y] ≤ +∞.
Suy ra δ
C
[λx + (1 − λ)y] ≤ λδ
C
(x) + (1 − λ)δ
C
(y) .
+ ∀x, y /∈ C, ∀λ ∈ (0, 1), ta có:
δ
C
(x) = +∞, δ
C
(y) = +∞, δ
C
[λx + (1 − λ)y] ≤ +∞.
Suy ra δ
C
[λx + (1 − λ)y] ≤ λδ
C

(x) + (1 − λ)δ
C
(y) .
Ví dụ 1.9. (Hàm tựa). Cho C = ∅ là một tập lồi trong E. Đặt S
C
(y) :=
sup
x∈C
y, x với y ∈ E
∗
. Ta nói S
C
là hàm tựa của C.
∀x, y ∈ C, ∀x, y ∈ (0, 1), ta có
S
C
[λx + (1 − λ) y] = sup
z∈C
λx + (1 − λ) y, z
= sup
z∈C
{λx, z + (1 − λ) y, z}
≤ sup
z∈C
λx, z + sup
z∈C
(1 − λ) y, z
= λsup
z∈C
x, z + (1 − λ) sup

z∈C
y, z
= λS
C
(x) + (1 − λ) S
C
(y) .
Vậy S
C
là hàm lồi trên C.
Định lí 1.10. (Bất đẳng thức Jensen)
Giả sử f : E → (−∞, +∞]. Khi đó, f là hàm lồi khi và chỉ khi
∀λ
i
≥ 0, (i = 1, , m) ,
m

i=1
λ
i
= 1; ∀x
1
, , x
m
∈ E,
f (λ
1
x
1
+ + λ

m
x
m
) ≤ λ
1
f (x
1
) + + λ
m
f (x
m
) .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
Mệnh đề 1.8. Giả sử f : E → (−∞, +∞]. Khi đó, f là hàm lồi khi
và chỉ khi
f (λx + (1 − λ) y) < λr + (1 − λ) s
(∀λ ∈ (0, 1) , ∀x, y : f (x) < r, f (y) < s)
Định lí 1.11. Giả sử f là hàm lồi trên E, µ ∈ [−∞, +∞]. Khi đó,
các tập mức {x : f (x) ≤ µ} và {x : f (x) ≤ µ} lồi.
Hệ quả 1.4. Giả sử f
α
là hàm lồi trên E, λ
α
∈ R (∀α ∈ I), I là tập
chỉ số bất kì. Khi đó, tập A = {x ∈ E : f
α
(x) ≤ λ
α
, ∀α ∈ I} lồi.

Định nghĩa 1.26. Hàm f xác định trên E được gọi là hàm thuần
nhất dương, nếu ∀x ∈ E, ∀λ ∈ (0, +∞) , f (λx) = λf (x) .
Định lí 1.12. Hàm thuần nhất dương f : E → (−∞, +∞] là lồi khi
và chỉ khi
f (x + y) ≤ f (x) + f (y) (∀x, y ∈ E) .
Hệ quả 1.5. Giả sử f là hàm lồi chính thường, thuần nhất dương.
Khi đó, ∀x
i
∈ E, ∀λ
i
> 0 (i = 1, , m),
f (λ
1
x
1
+ + λ
m
x
m
) ≤ λ
1
f (x
1
) + + λ
m
f (x
m
) .
Hệ quả 1.6. Giả sử f là hàm lồi chính thường, thuần nhất dương.
Khi đó,

f (x) + f (−x) ≥ 0 (∀x ∈ E) .
Định nghĩa 1.27. Hàm f được gọi là đóng, nếu epif đóng trong
E × R.
Định lí 1.13. Hàm f đóng khi và chỉ khi tất cả các tập có dạng
{x : f (x) ≤ α} của f là đóng.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
1.3.2 Các phép toán về hàm lồi
Định lí 1.14. Giả sử f
1
, , f
m
là các hàm lồi chính thường trên E.
Khi đó, tổng f
1
+ + f
m
là một hàm lồi.
Định lí 1.15. Hàm f là tập lồi trong E×R và f (x) = inf {µ : (x, µ) ∈ F} .
Khi đó f là hàm lồi trên E.
Định nghĩa 1.28. Giả sử f
1
, , f
m
là các hàm chính thường trên E.
Tổng chập infimal của f
1
, , f
m
được xác định như sau:

f (x) = inf

f
1
(x
1
) + + f
m
(x
m
) : x
i
∈ E,
m

i=1
x
i
= x

,
và được kí hiệu là
m
⊕
i=1
f
i
hay f ⊕ ⊕ f
m
.

Định lí 1.16. Giả sử f
1
, , f
m
là các hàm lồi chính thường trên E.
Khi đó,
m
⊕
i=1
f
i
là hàm lồi trên E.
Định nghĩa 1.29. a) Bao đóng của hàm f, kí hiệu là f, được xác
định như sau: epif = epif
b) Bao lồi và bao đóng của hàm f, kí hiệu là cof và cof, được xác
định như sau:
epi(cof) = co(epif), epi(cof) = co(epif).
1.3.3 Tính liên tục của hàm lồi
Định lí 1.17. Giả sử f là hàm lồi chính thường trên E. Khi đó các
khẳng định sau là tương đương:
i) f bị chặn trong một lân cận của x ;
ii) f liên tục tại x ;
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
iii) int(epif) = ∅ ;
iv) int(domf) = ∅ và f liên tục trên int(domf).
Đồng thời, int(epif) = {(x, µ) ∈ E × R : x ∈ int(domf), f (x) < µ} .
Định nghĩa 1.30. Giả sử E là không gian Banach. Hàm f : X → R
được gọi là Lipschitz địa phương tại x ∈ X, nếu tồn tại lân cận U của
x ∈ X, số K > 0 sao cho ∀x, x


∈ U,


f (x) − f

x




≤ K


x − x



.
Hàm f được gọi là Lipschitz địa phương trên tập D ⊂ E nếu f
Lipschitz địa phương tại mọi x ∈ D.
Định lí 1.18. Giả sử E là không gian Banach; f là hàm lồi trên tập
mở D ⊂ E; f bị chặn trên một lân cận của một điểm nào đó thuộc D.
Khi đó, f Lipschitz địa phương trên D.
Hệ quả 1.7. Giả sử f : D → R là hàm lồi, liên tục tại x thuộc tập
lồi mở D. Khi đó, f Lipschitz địa phương trên D.
Định nghĩa 1.31. i) Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới tại x ∈ E
(với f (x) < ∞), nếu với mọi ε > 0, tồn tại lân cận U của x sao cho
f (x) − ε ≤ f (y) (∀y ∈ U) .
ii) Nếu f (x) = +∞, thì f được gọi là nửa liên tục dưới tại x, nếu

với mọi N > 0, tồn tại lân cận U của x sao cho: f (y) ≥ N (∀y ∈ U) .
iii) Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới, nếu f nửa liên tục dưới
tại mọi x ∈ E.
Mệnh đề 1.9. f đóng khi và chỉ khi f nửa liên tục dưới.
Định lí 1.19. Giả sử f là hàm lồi chính thường trên R
n
. Khi đó f
liên tục trên ri(domf).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
1.3.4 Hàm liên hợp
Giả sử E là không gian Banach, E
∗
là không gian liên hợp của E, tức
là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E. Nhắc lại rằng,
với 0 = x
∗
∈ E
∗
, β ∈ R, tập H (x
∗
, β) được gọi là một siêu phẳng trong
E.
Mệnh đề 1.10. Giả sử H là một siêu phẳng đi qua điểm 0 trong E.
Khi đó, hoặc là H đóng, hoặc là H trù mật trong E.
Mệnh đề 1.11. Giả sử A là một tập lồi mở trong không gian Banach
E, H là một không gian con tuyến tính của E, H ∩ A = ∅ . Khi đó,
i) Hoặc H là một siêu phẳng qua 0;
ii) Hoặc là tồn tại x
0

/∈ H sao cho không gian con tuyến tính gây
lên bởi H và x
0
không cắt A.
Định lí 1.20. Giả sử A là một tập con lồi mở trong không gian
Banach E, V là một không gian con tuyến tính của E, V ∩ A = ∅.
Khi đó, tồn tại siêu phẳng đóng chứa V và không cắt A.
Hệ quả 1.8. Giả sử A là một tập con lồi mở trong không gian Banach
E, f là một phiếm hàm tuyến tính trên không gian con tuyến tính
V ⊂ E; V ∩ A = ∅ và Khi đó, tồn tại phiếm hàm tuyến tính f trên
E suy rộng f, và f (x) > 0 (∀x ∈ V ∩ A) .
Định lí 1.21. Giả sử A là tập lồi đóng trong không gian Banach E
và x
0
/∈ A. Khi đó, tồn tại 0 = x
∗
∈ E
∗
tách ngặt A và x
0
.
Hệ quả 1.9. Giả sử E là một không gian Banach, A ⊂ E. Khi đó
coA trùng với giao của tất cả các không gian chứa A.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
21
Hệ quả 1.10. Giả sử E là một không gian Banach, A ⊂ E lồi. Khi
đó, bao đóng A của A theo tôpô mạnh là đóng theo tôpô yếu của E.
Hệ quả 1.11. Giả sử E là một không gian Banach, A ⊂ E, x
0
thuộc

bao đóng yếu của A. Khi đó, tồn tại dãy các tổ hợp lồi các phần tử
của A, hội tụ đến x
0
theo chuẩn.
Giả sử E là một không gian Banach, E
∗
là một không gian liên hợp
tôpô của E, f là hàm xác định trên E.
Định nghĩa 1.32. Hàm liên hợp với f được xác định trên E
∗
như
sau:
f
∗
(x
∗
) = sup
x∈E
{x
∗
, x − f (x)} .
Từ công thức trên, ta có nhận xét sau đây.
Nhận xét 1.1. (Bất đẳng thức Young - Fenchel)
f (x) + f
∗
(x
∗
) ≥ x
∗
, x

Chú ý: Cận trên trong định nghĩa trên chỉ lấy theo x ∈ domf.
Ví dụ 1.10. Cho f (x) = x
∗
0
, x + α (x ∈ E, x
∗
0
∈ E
∗
).
Ta có
f
∗
(x
∗
) = sup
x∈E
{x
∗
0
, x − f (x)}
= sup
x∈E
{x
∗
− x
∗
0
, x − α}
=


−α khi x
∗
= x
∗
0
,
∞ khi x
∗
= x
∗
0
.
Mệnh đề 1.12. Với hàm f bất kì, ta có f
∗∗
≤ f.
Định lí 1.22. Giả f là hàm lồi chính thường đóng trên E. Khi đó f
∗
là hàm lồi chính thường.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
22
Định lí 1.23. Giả sử E, F là các không gian Banach, A : E → F là
phép đồng phôi tuyến tính, g là hàm số xác định trên F . Đặt
f (x) = λg (Ax+y
0
) + x
∗
0
, x + γ
0

trong đó y
0
∈ F, x
∗
0
∈ E
∗
, γ
0
∈ R, λ > 0. Khi đó
f
∗
(x
∗
) = λg
∗

λ
−1
A
−1∗
(x
∗
− x
∗
0
)

−


x
∗
− x
∗
0
, A
−1
y
0

− γ
0
.
Định lí 1.24. (Định lí Fenchel - Moreau)
Giả sử E là không gian Banach, f : X → (−∞, +∞] . Khi đó f = f
∗∗
khi và chỉ khi f lồi đóng.
Hệ quả 1.12. Giả sử cof là hàm chính thường. Khi đó, f
∗
= (cof)
∗
.
Hệ quả 1.13. Giả sử cof là hàm chính thường. Khi đó f
∗
= (cof)
∗
.
Định lí 1.25. Giả sử f là hàm chính thường trên R
n
. Khi đó

(cof) (x) = inf

n+1

i=1
α
i
f (x
i
) : x
i
∈ R
n
, α
i
≥ 0,
n+1

i=1
α
i
= 1,
n+1

i=1
α
i
x
i
= x


Hơn thế nữa, nếu f là hàm đóng và domf
∗∗
là tập bị chặn,
thì f
∗∗
= cof
Kết luận
Trong chương này chúng ta đã trình bày định nghĩa, một số tính chất
cơ bản của tập lồi và hàm lồi cùng với một số ví dụ minh họa.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
23
Chương 2
Dưới vi phân của hàm lồi
Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu dưới vi phân của hàm lồi
trên không gian Banach E. Những nội dung trong chương này chủ yếu
lấy từ [2], [5], [6], [7], [8].
2.1 Định nghĩa và ví dụ
Trong mục này ta luôn giả thiết f : E → R.
Định nghĩa 2.1. Phiếm hàm x
∗
∈ E
∗
được gọi là dưới đạo hàm của
hàm ftại ¯x ∈ E, nếu
f (x) − f (x) ≥ x
∗
, x − x (∀x ∈ E) .
Về mặt hình học, điều đó có nghĩa là hàm afin
ϕ(x) = f(¯x) + x

∗
, x − ¯x; x ∈ E
có đồ thị là siêu phẳng nằm dưới epif và tựa vào epif tại điểm (¯x, f(¯x)).
Định nghĩa 2.2. Tập tất cả các dưới đạo hàm của f tại x được gọi
là dưới vi phân của f tại x và được kí hiệu là ∂f (x). Vậy
∂f (x) = {x
∗
∈ E : f (x) − f (x) ≥ x
∗
, x − x , ∀x ∈ E} .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
24
Định nghĩa 2.3. Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x, nếu
∂f (x) = ∅.
Nhận xét. x
∗
là dưới đạo hàm của f tại x khi và chỉ khi (x
∗
, −1) ∈
N
epif
(x, f(x))
Ví dụ 2.1. Cho E là không gian Banach, f : E → R là hàm afin liên
tục: f(x) = x
∗
, x + α. Khi đó ∂f (
x) = {x
∗
} với mọi ¯x ∈ E.
Ví dụ 2.2. Cho E là không gian Banach, f (x) = x.

a) Với x = 0, ta có
∂f (x) = {x
∗
∈ E
∗
: x
∗
 = 1, x
∗
, x = x} .
Thật vậy, nếu x
∗
thỏa mãn x
∗
 = 1, x
∗
, x = x thì
x
∗
, z ≤ z . x
∗
 = z , (∀z ∈ E)
Suy ra
x
∗
, z − x ≤ z − x
Do đó
x
∗
∈ ∂f (x) .

Ngược lại, nếu x
∗
∈ ∂f (x) , thì:
− x = 0 − x ≥ x
∗
, 0 − x = − x
∗
, x
x = 2x − x ≥ x
∗
, 2x − x = x
∗
, x ,
Từ các điều trên suy ra
x = x
∗
, x . (2.1)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên