Một số ứng dụng của vecto trong giải toán hình học

LỜI NÓI ĐẦU
Trong chương trình toán ở bậc THPT, vectơ là một khái niệm quan trọng, nó có tính khái
quát cao. Nó có thể sử dụng cho cả hình học phẳng lẫn hình học không gian và thậm chí
cả đại số. Nhờ vectơ ta có thể đưa tọa độ vào bài toán hình học do đó tránh khỏi những
sai lầm về mặt trực quan.Cũng nhờ vectơ nhiều bài toán hình học phẳng,hình học không
gian rất khó nếu chỉ giải quyết bằng hình học thuần túy,nhưng lại trở nên đơn giản nếu
ứng dụng vectơ. Chính vì vậy, nghiên cứu ứng dụng các vectơ vào việc giải toán hình
học, thậm chí cả đại số là một vấn đề thú vị và ý nghĩa
Trong khuôn khổ một chuyên đề nhỏ, chúng tôi chỉ đề cập đến một số ứng dụng phổ biến
của vectơ trong việc giải toán. Để thực hiện chuyên đề này chúng tôi đã tham khảo một
số quyển sách cũng như các trang web và diễn đàn toán học. Tuy đã rất cố gắng nhưng
chắc chắn vẫn còn rất nhiều sai sót mong các bạn thông cảm. Xin chân thành cảm ơn
Tác giả
1
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. CÁC ĐỊNH NGHĨA
1.1 Định nghĩa vectơ
- Vectơ là một đoạn thẳng định hướng.
- Mỗi vectơ có một điểm đầu và một điểm cuối.
Vectơ có điểm là A và điểm cuối là B được kí hiệu là
AB
uuur
Quy ước: Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau là vectơ không. Kí hiệu:
0
r
.
1.1.1 Độ dài vectơ
Độ dài của vectơ là độ dài của đoạn thẳng có hai đâù mút là điểm đầu và điểm cuối của
vectơ đó.
Độ dài của
AB

uuur
kí hiệu:
AB
uuur
.
1.1.2 Hai vectơ cùng phương, bằng nhau, đối nhau
Hai vectơ cùng phương nếu chúng cùng nằm trên một đường thẳng hoặc nằm trên hai
đường thẳng song song.
Hai vectơ cùng phuuwong có thể cùng hướng hoặc ngược hướng:
• Hai vectơ
AB
uuur
,
DC
uuur
cùng hướng , kí hiệu:
DAB C↑↑
uuur uuur
.
• Hai vectơ ngược hướng, kí hiệu:
DAB C↑↓
uuur uuur
.
Hai vectơ
AB
uuur
,
DC
uuur
bằng nhau, kí hiệu:

DAB C=
uuur uuur
.
D
D
D
AB C
AB C
AB C
=


= ⇔

↑↑


uuur uuur
uuur uuur
Hai vectơ
AB
uuur
,
DC
uuur
đối nhau, kí hiệu:
DAB C= −
uuur uuur
.
D

D
D
AB C
AB C
AB C
=


= − ⇔

↑↓


uuur uuur
uuur uuur
1.2 CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ
1.2.1 Phép cộng vectơ
- Các quy tắc
+ Quy tắc ba điểm:
Với ba điểm A, B, C bất kì, ta luôn có:
AB BC AC+ =
uuur uuur uuur
(hệ thức Chasles)
2
+ Quy tắc hình bình hành:
Nếu ABCD là hình bình hành thì
DAB A AC+ =
uuur uuur uuur

- Tính chất của phép cộng vectơ

+ Tính chất giao hoán:
a b b a+ = +
r r r r
+ Tính chất kết hợp:
( ) ( ( )a b c a b c+ + = + +
r r r r r r
+ Tính chất của
0
r
:
0 0a a a+ = + =
r r r r r
1.2.2 Phép trừ vectơ
- Ta có:
( )a b a b− = + −
r r r r
- Quy tắc ba điểm đối với phép trừ vectơ
Cho vectơ
AB
uuur
và một điêwmr O bất kì, t luôn có:
AB OB OA= −
uuur uuur uuur
1.2.3 Phép nhân vectơ với một số thực
- Định nghĩa: Tích của số thực k với một vectơ
a
r
là một vectơ, kí hiệu: k
a
r

ka k a=
r r
- Tính chất:
+ Phân phối đối với phép cộng vectơ:
( )k a b ka kb+ = +
r r r r
+ Phân phối đối với phép cộng:
( )k h a ka ha+ = +
r r r
+ Kết hợp:
( ) ( . )k ha k h a=
r r
1.3 TỌA ĐỘ VECTƠ
1.3.1 Trục tọa độ
- Định nghĩa: Trục tọa độ là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm gốc O và
một vectơ đơn vị
i
r
có độ dài bằng 1.
- Tọa độ của vectơ và của điểm trên trục: Cho vectơ
u ai=
r r
; a được gọi là tọa độ của
vectơ
u
r
trên trục (O;
i
r
).

Một điểm M nằm trên trục và
.OM m i=
uuuur r
; m là tọa độ của M trên trục (O;
i
r
).
1.3.2 Hệ trục tọa độ
3
- Định nghĩa: Hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxy gồm hai trrục Ox, Oy vuông góc
với nhau với hai vectơ đơn vị
i
r
,
j
r
có độ dài bằng 1.
- Tọa độ của vectơ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy thì với mọi vectơ
u
r
, ta có:
1 2
u u i u j= +
r r r
Cặp số (u
1
;u
2
) được gọi là tọa độ của vectơ
u

r
Kí hiệu
u
r
= (u
1
;u
2
)
Cho hai điểm A(x
A;
y
A
) và B(x
B
; y
B
) thì:
( ; )
B A B A
AB x x y y= − −
uuur
- Tọa độ của một điểm: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy thì:
OM xi y j= +
uuuur r r
⇔
x, y là tọa độ của M, kí hiệu M(x;y).
1.4 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
1.4.1 Định nghĩa: Tích vô hướng của hai vectơ
a

r
,
b
r
là một số, kí hiệu là
.a b
r r
được xác
định bởi:
( )
. . . os ,a b a b c a b=
r r r r r r
1.4.2 Hệ quả:
- Bình phương vô hướng của vectơ
a
r
:
2
2
a a=
uur
r
- Điều kiện vuông góc của hai vectơ:
. 0a b a b⊥ ⇔ =
r r r r
1.4.3 Tính chất
Với mọi
a
r
,

b
r
,
c
r
và số thực k:
-
. . ;a b b a=
r r r r
-
( . ). ( . );m a b m a b=
r r r r
-
.( ) . . ;a b c a b a c+ = +
r r r r r r r
1.4.4 Biểu thức tọa độ tích vô hướng của hai vectơ
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ
1 1
( ; )a x y
r
,
2 2
( ; )b x y
r
.
Khi đó
1 2 1 2
. . .a b x x y y= +
r r
Hệ quả:

4
-
a
r
=
2 2
1 1
x y+
-
1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
.
os( , )
.
.
x x y ya b
c a b
a b
x y x y
+
= =
+ +
r r
r r
r r
5
B. ỨNG DỤNG CỦA VECTƠ
1. ỨNG DỤNG CỦA VECTƠ TRONG CÁC BÀI TOÁN ĐỒNG QUY, THẲNG
HÀNG

1.1 PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Muốn chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng, ta đi chứng minh:
,AB k AC=
uuur uuur
k
∈
R.
Để nhận được (1), ta lựa chọn một trong hai hướng:
- Hướng 1: Sử dụng các quy tắc biến đổi vectơ đã biết.
- Hướng 2: Xác định vectơ
AB
uuur
và
AC
uuur
thông qua các tổ hợp trung gian.
* Chú ý: Cho ba điểm A, B, C. Điều kiện cần và đủ để A, B, C thẳng hàng là:
(1 )MC MA MB
α α
= + −
uuuur uuur uuur
Với điểm tùy ý M và số thực
α
bất kì.
Đặc biệt khi
0 1
α
≤ ≤
thì C thuộc đoạn AB
1.2 BÀI TẬP VÍ DỤ

Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD, I là trung điểm của cạnh BC và E là điểm thuộc
đường chéo AC thỏa mãn tỉ số
E 2
3
A
AC
=
. Chứng minh ba điểm D, E, I thẳng hàng.
Giải
Ta có:
DI DC CI= +
uuur uuur uur
⇒
1
2
DI DC CB= +
uuur uuur uuur
(1)
DE DC CE= +
uuur uuur uuur
Theo giả thiết, ta suy ra:
1
( D )
3
CE C DA= +
uuur uuur uuur
⇒
1 1
( D ) ( D )
3 3

CE C DA C CB= + = +
uuur uuur uuur uuur uuur
Từ đây ta có:
1 1
D
3 3
DE DC C CB= + +
uuur uuur uuur uuur
6
⇒
2 1
3 3
DE DC CB= +
uuur uuur uuur
⇒
2 1
( )
3 2
DE DC CB= +
uuur uuur uuur
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
2
3
DE DI=
uuur uuur
Vậy ba điểm D, E, I thẳng hàng.
Ví dụ 2: Cho
∆
ABC. Gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm,

trực tâm của
∆
ABC. CMR O, G, H thẳng hàng.
Giải
Ta có:
1
( )
2
OG OA OB OC= + +
uuur uuur uuur uuur
(1)
Gọi E là trung điểm BC và
1
A
là điểm đối xứng với A qua O, ta được:

1
1
( ùng )
( ùng )
BH CA c AC
CH BA c AB
⊥


⊥

P
P

1
A BHC⇒
là hình bình hành

1
A⇒
, E, H thẳng hàng
⇒
2AH OE=
uuur uuur
Ta có:

2OH OA AH OA OE OA OB OC= + = + = + +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
. (2)
Từ (1) và (2) suy ra:

1
, ,
3
OG OH O G H= ⇔
uuur uuur
thẳng hàng.
Ví dụ 3: Cho ba dây cung song song
1 1 1
, ,AA BB CC
của đường tròn (O). Chứng minh
rằng trực tâm của ba tam giác
1 1 1
, ,ABC BCA CAB

nằm trên một đường thẳng.
Giải
Gọi
1 2 3
, ,H H H
lần lượt là trực tâm của các tam giác
1 1 1
, ,ABC BCA CAB
Ta có:
7

1 1
2 1
3 1
OH OA OB OC
OH OB OC OA
OH OC OA OB
= + +
= + +
= + +
uuuur uuur uuur uuuur
uuuur uuur uuur uuur
uuuur uuur uuur uuur
Suy ra:

1 2 2 1
H H OH OH= −
uuuuur uuuur uuuur

1 1

1 1
OC OC OA OA
C C AA
= − + −
= +
uuur uuuur uuur uuur
uuuur uuur

1 3 3 1
H H OH OH= −
uuuuur uuuur uuuur

1 1
1 1
OC OC OB OB
C C BB
= − + −
= +
uuur uuuur uuur uuur
uuuur uuur

Vì các dây cung
1 1 1
, ,AA BB CC
song song với nhau
Nên ba vectơ
1 1 1
, ,AA BB CC
uuur uuur uuuur
có cùng phương

Do đó hai vectơ
1 2 1 3
àH H v H H
uuuuur uuuuur
cùng phương hay ba điểm
1 2 3
, ,H H H
thẳng hàng.
1.3 BÀI TẬP TỰ GIẢI
1. Cho
∆
ABC. Đường tròn nội tiếp
∆
ABC tiếp xúc với AB, AC theo thứ tự tại M, N.
Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AC và BC. Tìm điểm P thuộc EF sao cho M, N, P
thẳng hàng.
2. Cho
∆
ABC với O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Các đường thẳng
1 2 3
, ,∆ ∆ ∆
đôi một song song nhau lần lượt qua các điểm A, B, C và có giao điểm thứ hai
với đường tròn (O) theo thứ tự là
1 1 1
, ,A B C
. Chứng minh trực tâm của ba tam giác
1 1 1
, ,ABC BCA CAB
thẳng hàng.
3. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là điểm đối xứng của D qua điểm A, F là điểm đối

xứng của tâm O của hình bình hành qua điểm C và K là trung điểm của đoạn OB. Chứng
minh ba điểm E, K, F thảng hàng và K là trung điểm của EF.
4. Cho tam giác ABC và M, N lần lượt là trung điểm AB, AC.Gọi P, Q là trung điểm MN
và BC. CMR : A, P , Q thẳng hàng.
5. Cho tam giác ABC, E là trung điểm AB và F thuộc thoả mãn AF = 2FC.
Gọi M là trung điểm BC và I là điểm thoả mãn 4EI = 3FI. CMR : A, M, I thẳng hàng.
8
a. Lấy N thuộc BC sao cho BN = 2 NC và J thuộc EF sao cho 2EJ = 3JF. CMR A, J, N
thẳng hàng.
b. Lấy điểm K là trung điểm EF. Tìm P thuộc BC sao cho A, K, P thẳng hàng.
6. Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến. Gọi I là trung điểm AM và K là một điểm
trên cạnh AC sao cho AK =
3
1
AC. Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng
2 ỨNG DỤNG CỦA VETƠ TRONG CÁC BÀI TOÁN VUÔNG GÓC, TÍNH GÓC
2.1 PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, ta cần chứng minh tích vô hướng của chúng
bằng 0
. 0AB AC AB AC⊥ ⇔ =
uuur uuur
2.2 BÀI TẬP VÍ DỤ
Ví dụ 1: Trong đường tròn C(O; R) cho hai dây cung AA’, BB’ vuông góc với nhau ở
điểm S và gọi M là trung điểm của AB.CMR: SM vuông góc A’B’.
Giải
Xét tích vô hướng

1
. ' ' ( ).( ' ')
2

SM A B SA SB SB SA= + −
uuur uuuuur uur uur uuur uuur

1
( . ' . ' . ' . ')
2
SA SB SA SA SB SB SB SA= − + −
uur uuur uur uuur uur uuur uur uuur

Ta có:

. ' 0
. ' 0
. ' . '
SA SB
SB SA
SA SA SB SB
=
=
=
uur uuur
uur uuur
uur uuur uur uuur
Từ đó suy ra
. ' ' 0SM A B =
uuur uuuuur
nên SM vuông góc với A’B.
2.3 BÀI TẬP TỰ GIẢI
1. Gọi
O

là tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC
∆
,
D
là trung điểm cạnh
AB
,
E
là trọng tâm
của
ACD
∆
. Chứng minh rằng nếu
AB AC
=
thì
OE CD
⊥
.
9
2. Cho
ABC∆
cân tại
.A
Gọi
D
là trung điểm cạnh
AB
,

E
là trọng tâm
ADC∆
. Chứng
minh
IE CD⊥
. (
I
là tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC∆
).
3. Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BM và CN. Chứng minh rằng:
2 2 2
5BM CN b c a⊥ ⇔ + =
4. Cho hình chữ nhật ABCD,kẻ
BH AC
⊥
.Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AH và
DC.Chứng minh rằng:
BM MN
⊥
5. Cho hình vuông ABCD,trên DC lấy điểm E, kẻ
,( )EF AC F BC⊥ ∈
. M, N lần lượt là
trung điểm của AE và DC. Chứng minh rằng:
MN DF⊥

6. Cho hình vuông ABCD, trên AB lấy điểm P,trên AD lấy điểm Q sao cho AP=AQ. Kẻ
AH DP⊥
.Chứng minh rằng:

CH QH⊥
7. Cho tam giác cân ABC, AB=AC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi D là trung điểm
cạnh AB và G là trọng tâm tam giác ADC. Chứng minh:
OG CD⊥
3. CHỨNG MINH HAI ĐIỂM TRÙNG NHAU
3.1PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Muốn chứng minh hai điểm
1
A
và
2
A
trùng nhau, ta lựa chọn một trong hai hướng:
- Hướng 1: Chứng minh
1 2
0A A =
uuuur r
.
- Hướng 2: Chứng minh
1 2
OA OA=
uuur uuuur
với O là điểm tùy ý.
3.2 BÀI TẬP VÍ DỤ
Ví dụ: Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD,
DA. Chứng minh rằng hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm.
Giải
Gọi
1 2
,G G

lần lượt là trọng tâm của tam giác ANP và CMQ và O là một điểm tùy ý.
Ta có:
1
2
3
3
OA ON OP OG
OC OM OQ OG

+ + =


+ + =


uuur uuur uuur uuuur
uuur uuuur uuur uuuur
(1)
Mặt khác:
1 1
( ) ( D)
2 2
OA ON OP OA OB OC OC O+ + = + + + +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

1
( D)
2
OA OC OB O= + + +
uuur uuur uuur uuur

(2)
10
1 1
( ) ( D)
2 2
OC OM OQ OC OA OB OA O+ + = + + + +
uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

1
( D)
2
OC OA OB O= + + +
uuur uuur uuur uuur
(3)
Từ (1), (2), (3) suy ra:
1 2
OG OG=
uuuur uuuur
Vậy
1
G
và
2
G
trùng nhau.
3.3 BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
1. Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD,
DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.
2. Cho lục giác ABCDEF có
EFAB ⊥

và hai tam giác ACE và BDF có cùng trọng tâm.
CMR: AB²+EF²=CD².
4. ỨNG DỤNG CỦA VECTƠ TRONG CÁC BÀI TOÁN QUỸ TÍCH ĐIỂM
4.1 PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Với các bài toán quỹ tích ta cần nhớ :
Nếu
MA
uuur
=
MB
uuur
, với A, B cho trước thì M thuộc đường trung trực của đoạn AB.
MC
uuuur
=k
AB
uuur
, với A, B, C cho trước thì M thuộc đường tròn tâm C, bán kính bằng k.AB.
Nếu
MA
uuur
=k
BC
uuur
, với A, B, C cho trước thì:
- Với k
∈
R điểm M thuộc đường thẳng qua A song song với BC.
- Với k
∈

R
+
điểm M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC theo hướng
BC
uuur
.
- Với k
∈
R điểm M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC ngược hướng
BC
uuur
.
4.2 BÀI TẬP VÍ DỤ
Ví dụ 1: Cho
∆
ABC, tìn tập hợp những điểm M thỏa mãn
a.
0MA kMB kMC+ − =
uuur uuur uuuur r
. (1)
b.
(1 ) 0k MA MB kMC− + − =
uuur uuur uuuur r
. (2)
Giải
a. Ta biến đổi (1) về dạng:
( ) .MA k MC MB MA kBC= − ⇔ =
uuur uuuur uuur uuur uuur
⇔
M thuộc đường thẳng qua A song song với BC.

11
b. Ta biến đổi (2) về dạng:
( ) 0MA MB k MA MC+ − + =
uuur uuur uuur uuuur r
. (3)
Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB và AC, ta được:
(3)
2 2 0ME kMF ME kMF⇔ − = ⇔ =
uuur uuur r uuur uuur

⇔
M thuộc đường trung bình EF của
∆
ABC.
Ví dụ 2: Trên tia Ox và Oy của
·
xOy
lấy hai điểm M, N sao cho OM + ON = a (a là độ
dài cho trước). Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn MN.
Giải
Lấy hai điểm
0
M
,
0
N
thuôạ Ox, Oy sao cho:
0 0
2
a

OM ON= =
.
Giả sử OM=k thì ON=a-k, với 0
k a
≤ ≤
, khi đó:
0
2k
OM OM
a
=
uuuur uuuuur
và
0
2( )a k
ON ON
a
−
=
uuur uuuur
.
Vì I là trung điểm của đoạn MN, ta được:
0 0
1 1 2 2( )
( ) [
2 2
k a k
OI OM ON OM ON
a a
−

= + = +
uur uuuur uuur uuuuur uuuur
]
0 0 0 0
2( )k a k
OM M I OM ON
a a
−
⇔ + = +
uuuuur uuuur uuuuur uuuur
0 0 0
( 1)
k a k
M I OM ON
a a
−
⇔ = − +
uuuur uuuuur uuuur
0 0 0
0 0 0
( )( )aM I a k ON OM
a k
M I M N
A
⇔ = − −
−
⇔ =
uuuur uuuur uuuuur
uuuur uuuuuur
Vậy quỹ tích I thuộc đoạn

0 0
M N
.
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC và trung tuyến AM. Một đường thẳng song song với AB cắt
các đoạn thẳng AM, AC và BC lần lượt tại D, E và F. Một điểm G nằm trên cạnh AB sao
cho FG song song AC. Chứng minh rằng hai tam giác ADE và BFG có diện tích bằng
nhau.
Giải
12
Ta đặt:
;CA a CB b= =
uuur r uuur r
.Khi đó
2
b
CM CE kCA ka= = =
r
uuuur uuur uuur r
. Vì E nằm ngoài đoạn thẳng AC
nên có số k sao cho
CE kCA ka= =
uuur uuur r
, với 0< k< 1. Khi đó
CF kCB kb= =
uuur uuur r
Điểm D nằm trên AM và EF nên có hai số x và y sao cho:

(1 ) (1 )CD xCA x CM yCE y CF= + − = + −
uuur uuur uuuur uuur uuur
Hay

1
(1 )
2
x
xa b kya k y b
−
+ = + −
r r r r
Vì hai vectơ
,a b
r r
không cùng phương nên x = ky và
1
(1 )
2
x
k y
−
= −
.
Suy ra x = 2k -1,do đó
(2 1) (1 )CD k a k b= − + −
uuur r r
Ta có:
ED CD CE= −
uuur uuur uuur

(2 1) (1 )k a k b ka= − + − −
r r r
(1 )( )k b a= − −

r r
=
(1 )k AB−
uuur

Chú ý rằng vì
CF kCB=
uuur uuur
hay
AB BG k AB+ =
uuur uuur uuur
Suy ra
(1 )k AB GB− =
uuur uuur
Do đó ED = GB. Như vậy, hai tam giác ADE và BFG có các cạnh đáy ED và GB bằng
nhau (bằng khoảng cách giữa hai đường thẳng song song) nên có diện tích bằng nhau.
Ví dụ 4: Cho hình vuông ABCD, điểm M nằm trên đoạn thẳng AC sao cho
4
AC
AM =
.
Gọi N là trung điểm CD.Chứng minh rằng BMN là tam giác vuông cân.
Giải
Đặt
,AD a AB b= =
uuur r uuur r

Khi đó:

1 1

( )
4 4
2
AM AC a b
b
AN AD DN a
= = +
= + = +
uuuur uuur r r
r
uuur uuur uuur r
Ta có:
1
. ( 3 )(3 )
16
MB MN a b a b= − + +
uuur uuuur r r r r

2 2
1
( 3 3 8 . ) 0
16
a b a b= − + + =
r r r r

2 2 2 2
2
1 1 5
( 3 ) ( 9 6 . )
16 16 8

MB a b a b a b a= − + = + − =
uuur r r r r r r r
13

2 2 2 2
2
1 1 5
(3 ) (9 6 . )
16 16 8
MN a b a b a b a= + = + + =
uuuur r r r r r r r

Vậy MB vuông góc với MN và MB =MN, tam giác BMN vuông cân tại đỉnh M

Ví dụ 5: Chứng minh rằng trong hình bình hành ta có: tổng các bình phương của hai
đường chéo bằng tổng các bình phương của các cạnh
Giải
Cho hình bình hành ABCD,ta phải chứng minh:

2 2 2 2
2( )AC BD AB AD+ = +
Ta có:

2 2
2 2
2 2
2 2
( ) ( )
2( ) 2( . . )
AC BD AC BD

AB AD BC BA
AB AD AB AD BA BC
+ = +
= + + +
= + + +
uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
Do
. . 0AB AD BA BC+ =
uuur uuur uuur uuur
;BA AB BC AD= − =
uuur uuur uuur uuur
nên:
. . 0AB AD BA BC+ =
uuur uuur uuur uuur
Vậy ta có:
2 2 2 2
2( )AC BD AB AD+ = +
4.3 BÀI TẬP TỰ GIẢI
1. Cho
ABC∆
vuông cân tại
C
. Trên các cạnh
,BC

,CA

AB

lần lượt lấy các điểm
,M

,N
P
sao cho:
MB NC PA
MC NA PB
= =
Chứng minh rằng:
a.
CP MN⊥
b.
CP MN=
.
2. Cho
ABC
∆
có đường cao
CH
. Gọi
,I

K
lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB
và
CH
. Một đường thẳng
d

di động luôn luôn song song với cạnh
AB
cắt cạnh
AC
ở
M
và
cắt cạnh
BC
ở
N
. Dựng hình chữ nhật
MNPQ
với hai điểm
,P

Q
nằm trên cạnh
AB
.
Gọi
J
là tâm hình chữ nhật
MNPQ
. Chứng tỏ rằng ba điểm
,I

,K

J

thẳng hàng.
14
3. Cho hai hình vuông
ABCD
và
BKMN
có chung đỉnh
B
và đỉnh
M
nằm trên
DB
kéo
dài. Chứng minh rằng trung tuyến
BE
của
ABK∆
nằm trên đường thẳng chứa đường cao
BH
của
BNC∆
.
4. Cho
ABC∆
vuông tại
A
. Gọi
Au
là tia phân giác của góc
A

. Qua trung điểm
M
của
cạnh huyền
BC
ta dựng đường thẳng vuông góc với tia
Au
cắt các đường thẳng
AB
và
AC
lần lượt tại
E
và
F
. Chứng minh rằng
BE CF=
.
5. Cho hai điểm
,A
B
cố định và một đường thẳng
∆
vuông góc với đường thẳng
AB
nhưng không đi qua
,A
B
. Một điểm
M

chạy trên
∆
. Tìm tập hợp các giao điểm
N
của
các đường thẳng vuông góc với
,MA

MB
tại
A
và
B
.
6. Cho
ABC∆
đều, gọi
,
α

,
β

γ
theo thứ tự là góc giữa đường thẳng
∆
với các đường
thẳng
,BC

,CA
AB
. Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2
. . . .cos cos cos sin sin sin
α β γ α β γ
+
7. Qua trọng tâm
G
của
ABC
∆
vẽ đường thẳng
∆
cắt các cạnh
AB
và
AC
tại
M
và
N
.
Chứng minh:
1
MB NC
MA NA
+ =
.

8. Cho
ABC
∆
. Từ một
P
điểm
P
thay đổi nằm trong mặt phẳng của tam giác ta kẻ các
đường thẳng song song với
,CA

CB
lần lượt cắt
,CA

CB
tại
Q
và
R
. Đường thẳng
d
nối
Q
với trung điểm
I
của
CA
cắt đường thẳng
'

d
nối
R
với trung điểm
J
của
CB
tại
S
.
Chứng minh rằng đường thẳng
PS
luôn đi qua một điểm cố định.
9. Cho
∆
ABC, các điểm M, N, P di động trên các tia BC, CA và AB sao cho:
MB NC PA
MC NA PB
= =
. Dựng hình bình hành MNPQ. Tìm tập hợp những điểm Q.
10. Cho
∆
ABC vuông ở A, M là điểm thay đổi trong tam giác; D, E, F lần lượt là hình
chiếu của M trên BC, CA, AB. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
DM ME MF MA+ + =
uuuur uuur uuur uuur
.
11. Cho tam giac ABC có trọn tâm G và nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Chứng
minh rằng:
2 2 2 2 2

1
( )
9
OG R a b C= − + +
12. Cho hai điểm A, B phân biệt. Tìm quỹ tích những điểm M thỏa mãn điều kiện:
2 2 2
3MA MB AB− =
15
13. Cho tứ giác ABCD. Gọi I, J là trung điểm của AC,BD.
CMR :
2 2 2 2 2 2 2
4AB BC CD DA AC BD IJ+ + + = + +
14. Cho hai hình vuông ABCD và BMNP sắp xếp cho P thuộc cạnh BC, B thuộc đoạn
AM. Tính góc giữa hai đường thẳng AP và DN.
15. Cho tứ giác ABCD.M,N lần lượt là trung điểm của AC và BD.Tính MN theo các
cạnh và hai đường chéo của tứ giác.
16. Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Hãy xác định vị trí của điểm M trên đường
thẳng d sao cho biểu thức: T =
2 2 2
2MA MB MC+ −
là nhỏ nhất.
17. Cho tam giác ABC có BC=a, CA=b, AB=c. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
ABC. Chứng minh rằng biểu thức:
2 2 2
. . .a MA b MB c MC+ +
là không đổi khi M di động
trên đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
18. Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Giả sử M là một diểm
di động trên (O;R). Chứng minh rằng:
2 2 2

MA MB MC+ +
là luôn luôn không đổi. Hãy tính
lượng không đổi đó theo R.
19. Cho tam giác ABC có trọng tâm H và O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi B’ là B
điểm đối xứng với B qua O . Chứng minh :
CBAH '=
5. ỨNG DỤNG CỦA VECTƠ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
5.1 PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta có:
. . . os ,a b a b c
α
=
r r r r
với
( , ),a b
α
=
r r
và bởi
os 1c
α
≤
, do đó:
, .a b a b≤
r r r r
.
5.2 BÀI TẬP VÍ DỤ
Ví dụ 1: Cho
∆
ABC, CMR: cosA + cosB + cosC

3
2
≤
.
Giải
Thiết lập các vectơ đơn vị
1
e
ur
,
2
e
uur
,
3
e
ur
trên các cạnh AB, BC, AC của
∆
ABC, ta được:
0
1 2 1 2
. . . os(180 ) cos ,e e e e c B B= − = −
ur uur ur uur
0
2 3 2 3
. . . os(180 ) cos ,e e e e c C C= − = −
uur ur uur ur
16
0

1 3 1 3
. . . os(180 ) cos ,e e e e c A A= − = −
ur ur ur ur
Mặt khác ta luôn có:
2 2 2
2
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 1 2
( ) 2( . . . )e e e e e e e e e e e e+ + = + + + + +
ur uur ur ur uur ur ur uur uur ur ur uur
3 2( cos cos cos ) 0B C A= + − − − ≥
3
cos cos cos
2
A B C⇔ + + ≤
, đpcm.
Ví dụ 2: Cho
∆
ABC, CMR:
3
cos 2 cos2 cos 2
2
A B C+ + ≥ −
.
Giải
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiép
∆
ABC, ta nhận được:
2 ( , ),
2 ( , ),
2 ( , ),

A OB OC
B OC OA
C OA OB
=
=
=
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
Mặt khác:
2 2 2
2
( ) 2( . . . )OA OB OC OA OB OC OAOB OB OC OC OA+ + = + + + + +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

2 2 2 2
3R 2(R . os2 R os2 R os2 ) 0c C c A c B= + + + ≥
⇔
3
os2 os2 os2
2
c A c B c C+ + ≥ −
, đpcm
Ví dụ 3: Chứng minh
∈∀ yx,
R, ta có:
2
1
1)(1(
)1)((

)22
≤
++
−+
yx
xyyx
(*)
Giải
Ta có (*)
2
1
)1)(1(
)1()1(
22
22
≤
++
−+−
⇔
yx
xyyx

1
1
1
.
1
2
1
1

.
1
2
2
2
22
2
2
≤








+
−








+
+









+
−






+
⇔
x
x
y
y
y
y
x
x
Đặt:










++
−
=








+
−
+
=
22
2
2
2
2
1
2
,
1
1

1
1
,
1
2
y
y
y
y
b
x
x
x
x
a


17
Suy ra :
1== ba


Mà
baba




≤
. Vậy

1, ≤ba


(đpcm).
Ví dụ 4:
Cho ba số
,x

,y

z
thỏa hệ thức
.
222
xzyzxyzyx ++=++
Chứng minh rằng
.0)(
222
≥++−++ zxyzxyzyx
Giải
Trong không gian với hệ tọa độ Đề-các vuông góc Oxy cho các vectơ :
),,,( zyxu =


),,( xzyv =

Vì
),cos( vuvuvu

=

⇔

).,cos()(
222
vuzyxxzyzxy

++=++
Mặt khác ta có
222
zyxzxyzxy ++=++
nếu
1),cos( =vu

nghĩa là
u

và
v

cùng hướng.
Vì
vu

=
do đó
vu

=
nghĩa là
zyx ==

.
Do đó ta có:

).(0
222
zxyzxyzyx ++−++≤
Ví dụ 5: Cho bốn số thực tùy ý
1 2 1 2
, , ,a a b b
. Chứng minh:

2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2
( ) ( )a a b b a b a b+ + + ≥ + + +
Giải
Xét các vectơ:
1 2 1 2 1 1 2 2
( , ); ( , ) ( , )u a a v b b u v a b a b= = ⇒ + = + +
r r r r
Áp dụng :
u v u v+ ≥ +
r r r r

⇒
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2
( ) ( )a a b b a b a b+ + + ≥ + + +
Đẳng thức xảy ra khi
,u v
r r

cùng hướng
1 2 2 1
. .a b a b⇔ =
Ví dụ 6: Cho 6 số thực a, b, c, d, x, y, z thỏa mãn: a + b + c = 2; ax + by + cz = 6
Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
16 16 16 10a a x b b y c c z+ + + + + ≥
HD: Đặt
(4 ,ax); (4 , );w (4 ; )u a v b by c cz= = =
r r uur
5.3 BÀI TẬP TỰ GIẢI
18
1. Cho
∆
ABC, CMR:
3
sin sin sin
2 2 2 2
A B C
+ + ≤
.
2. CMR:
a)
1
2( 1)
os 0
n
i
i
c

n
π
=
−
=
∑
.
b)
1
2( 1)
sin 0
n
i
i
n
π
=
−
=
∑
3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2 2
2 . 2f x x x x= + − + −
4. Cho x, y, z là ba số dương và x + y + z
≤
1
Chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2
1 1 1

82x y z
x y z
+ + + + + ≥
5. (Đại học khối B 2006).Cho x,y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức

2 2 2 2
2 1 2 1 2A x y x x y x y= + − + + + + + + −
6. Cho ba số thực x, y, z tùy ý.Chứng minh:

2 2 2 2 2 2
x xy y x xz z y yz z+ + + + + ≥ + +
7. (Dự bị đại học 2005) Cho x, y, z là ba số thực thỏa x + y + z = 0
Chứng minh rằng:
3 4 3 4 3 4 6
x y z
+ + + + + ≥
8. Chứng minh rằng với mọi tam giác nhọn ABC ta luôn có:

4 4 4
9 tan 9 tan 9 tan 9 2A B C+ + + + + ≥
9. Chứng minh rằng với mọi x, y ta đều có:

2 2 2 2 2 2
4cos . os sin ( ) 4sin .sin os ( ) 2x c y x y x y c x y+ − + + − ≥
Với x, y là hai số thực bất kì tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2 2
4 2 1 6 10S x x xy y y y= + + + + + + − +
10. Cho

x
là số thực. Chứng minh rằng :
19

3sin2sinsin2sin
22
≤−+−+ xxxx
11. Cho bốn số thực
,a
,b

,c
d
tùy ý. Chứng minh rằng :

222222
)()( dcbadbca +++≤+++
12. Tìm GTNN c ủa hàm số :

2222
2222 pqxxppxxy +−++−=
Trong đó
,p

q
là hai số thực cho trước và
.qp ≠
13. Chứng minh rằng với mọi số thực a ta có:

( )

5203648208
2
2
≥+−++− aaa
Khi nào xảy ra dấu “=” ?
14. Với a, b, c, x, y, z là những số thực bất kỳ, chứng minh rằng:

222222
. zyxcbaczbyax ++++≤++
15. Cho bốn số thực khác nhau a, b, c, d. chứng minh rằng:

( ) ( )
2
22
2
22
adcdbcba −+≥+−++
16. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

( ) ( )
2
2
2
2
31 −++++ yxyx
Trong đó x, y là các số thực thỏa mãn:
22 =− yx
(Trích đề thi HSG quốc gia lớp 12 năm 1998)
17. Cho hàm số
( ) ( )

2
222
xcaxaxf −+++=
. Với giá trị nào của x hàm số
( )
xf
có giá
trị nhỏ nhất ?
18. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

2 2
2 3 4 8y cos x cosx cos x cosx= − + + + +
19. Cho
,x

,y

z
là các số thực đôi một khác nhau. Chứng minh:

2 2 2 2
1 . 1 1 . 1
x y y z
x y y z
− −
+
+ + + +
>
2 2
1 . 1

x z
x z
−
+ +
20. Chứng minh rằng
, ,a b c R∀ ∈
ta luôn có :
1.
2 2 2 2
2 12 37 6 6 18 5a b a b a b a b+ − − + + + + − + ≥
20
2.
2 2 2 2
4 2 1 6 10 5a a a b b b+ + − + + + − + ≥
21. Cho các số thực
,a

,b

,c
,m
n
thỏa hệ thức
ma nb c+ =
với
2 2
a b+
>
0
Chứng minh rằng :

2
2 2
2 2
(2 )
( 2) ( 1)
a b c
m n
a b
− −
− + + ≥
+

7. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ
7.1 PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Cho
Một số kiến thức thường dùng:
(1), (2) xảy ra khi và cùng hướng
(3) xảy ra khi hoặc và ngược hướng
7.2 BÀI TẬP VÍ DỤ
Ví dụ 1: Giải phương trình:
Giải
Xét
Ta có:
Ta có:
ĐTXR <=> cùng hướng
21
Ví dụ 2: Giải phương trình:
Giải
Đặt

Ta có:
Ta có:
Với cùng hướng
Vậy S = {3}
Ví dụ 3: Tìm m để pt có nghiệm
Giải
Xét các vectơ:
Ta có:
Dễ dàng thấy được
ĐTXR khi hoặc hoặc ngược hướng
Mà (Vì và )
Nếu ngược hướng (VL)
Vậy phương trình có nghiệm khi
7.3 BÀI TẬP TỰ GIẢI
1. Giải các pt và bpt sau:
a.
b.
c.
22
d.
2. Giải phương trình:
2
1 3 2( 3) 2 2x x x x− + − = − + −
3. Giải phương trình:

2
1 3 2 1 0x x x x+ + − − + =
4. Giải phương trình:

2

2 4 6 11x x x x− + − = − +
5. Giải phương trình:

2 2
2 5 2 10 29x x x x− + + + + =
6. Giải phương trình:

2 2
sin 2 sin sin 2 sin 3x x x x
+ − + − =
7. Giải hệ phương trình:

1996 1996 1996
1997 1997 1997
1998 1998 1998
3
3
3
x y z
x y z
x y z

+ + =

+ + =


+ + =

8. SỬ DỤNG TÍCH VÔ HƯỚNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ

8.1 PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Sử dụng tích vô hướng biến đổi biểu thức cần tìm cực trị về biểu thức độ dài, ví dụ:
2
S MI c= +
, với c là hằng số và I cố định.
Khi đó
Min
S
=c, đạt được khi
MI=0
⇔
M=I.
8.2 BÀI TẬP VÍ DỤ
Ví dụ 1: Cho
∆
ABC, G là trọng tâm và M là điểm tùy ý.
a. CMR:
. . . 0MA BC MB CA MC AB+ + =
uuur uuur uuur uuur uuuur uuur
.
b. CMR:
2 2 2 2 2 2 2
3MA MB MC GA GB GC MG+ + = + + +
, từ đó suy ravị trí của M để
2 2 2
MA MB MC+ +
đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải
a. Ta có:

. . . .( ) .( ) .( ) 0MA BC MB CA MC AB MA MC MB MB MA MC MC MB MA
+ + = − + − + − =
uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur
23
b. Ta có:
2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
( ) 2 .
( ) 2 .
( ) 2 .
MA MA MG GA MG GA MG GA
MB MB MG GB MG GB MG GB
MC MC MG GC MG GC MG GC
= = + = + +
= = + = + +
= = + = + +
uuur uuuur uuur uuuur uuur
uuur uuuur uuur uuuur uuur
uuuur uuuur uuur uuuur uuur

Cộng vế theo vế ta dược:
2 2 2 2 2 2
3 .( )MA MB MC MG GA GC MG GA GB GC+ + = + + + + +
uuuur uuur uuur uuur

2 2 2 2

3MG GA GB GC= + + +
(vì
0GA GB GC+ + =
uuur uuur uuur r
)
Từ đó suy ra
2 2 2
MA MB MC+ +
đạt giá trị nhỏ nhất khi
2
0MG M I= ⇔ ≡
Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD, tâm O, M là điểm tùy ý.
a. CMR:
2 2 2 2 2 2
D 2( )MA MB MC M OB OA− + = − −
b. Giả sử M di động trên đường tròn (d), xác định vị trí của M để
2 2 2
MA MB MC− +
đạt
giá trị nhỏ nhất.
Giải
a. Ta có:
2 2
2
( ) ( )
2
MA MC MO
MA MC MB MD
MB MD MO


+ =

⇒ + = +

+ =


uuur uuuur uuuur
uuur uuuur uuur uuuur
uuur uuuur uuuur
2 2 2 2
D 2( . . ) 0MA MB MC M MA MC MB MD⇔ − + − + − =
uuur uuuur uuur uuuur
(1)
Ta xét:
. . ( ).( ) ( ).( )MA MC MB MD OA OM OC OM OB OM OD OM− = − − − − −
uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur
( ).( ) ( ).( )OA OM OA OM OB OM OB OM= − − + + − +
uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur
2 2 2 2 2 2
OA OM OB OM OB OA= − + + − = −
(2)
Thay (2) vào (1), ta được:
2 2 2 2 2 2
2( ) 0MA MB MC MD OB OA− + − + − =
2 2 2 2 2 2
2( ),MA MB MC MD OB OA⇔ − + = − −
đpcm.
b. Từ kết quả câu a) suy ra
2 2 2

MA MB MC− +
đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi
2
DM
nhỏ
nhất
⇔
M là hình chiếu vuông góc của D lên (d).
24
8.3 BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
1. Cho
∆
ABC đều cạnh bằng 6, M là điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp
∆
ABC. Đặt
2 2 2
S MA MB MC= − −
.
a. Tìm giá trị nhỏ nhất của S.
b. Tìm giá trị lớn nhất của S.
2. Cho
∆
ABC, G là trọng tâm và M là điểm tùy ý.
a. CMR vevtơ
2v MA MB MC= + −
r uuur uuur uuuur
, không phụ thuộc vào vị trí của M.
b. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp
∆
ABC, chứng minh rằng:

2 2 2
2 2 .MA MB MC MO v+ − =
uuuur r
c. Tìm tập hợp những điểm M thỏa mãn
2 2 2
2MA MB MC+ −
=0.
Giả sử M di động trên đường tròn ngoại tiếp
∆
ABC, tìm vị trí của M để
2 2 2
2MA MB MC+ −
đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
BÀI ĐỌC THÊM
Khai thác hệ thức Jacobi

Cho tam giác ABC cạnh BC=a,AC=b,AB=c ,điểm M nằm trong tam giác.Đặt

; ;
MBC MAC
MBA
ABC ABC ABC
S S
S
x y z
S S S
∆ ∆
∆
∆ ∆ ∆
= = =

Ta có x + y + z =1 và:
0xMA yMB zMC+ + =
uuur uuur uuuur r
Đây là một hệ thức quen thuộc và dĩ nhiên việc chứng minh không có gì khó
khăn.Tuy nhiên từ đây ta thu được rất nhiều bất đẳng thức trong tam giác khi cho M là
những điểm đặc biệt cũng như khi xét những mối quan hệ giữa điểm đặt biệt đó.Trước
hết cho O là một điểm bất kì trong mặt phẳng ta có:
25