bộ siêu tập các đề thi thử toán đại học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN 2 NĂM 2013
TRƯỜNG THPT CHUYÊN MÔN TOÁN – KHỐI A, A1 (180 phút)

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số
21
1
x
y
x



.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
()C
của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của
()C
biết rằng tiếp điểm của tiếp tuyến đó với
()C
cách điểm
(0;1)A

một khoảng bằng 2.
Câu II (1,0 điểm) Giải phương trình
(1 cos )cot cos2 sin sin2x x x x x   

Câu III (1,0 điểm) Giải hệ phương trình



2
22
30
( 1) 3( 1) 2 2 0
x xy x
x y xy x y y

   


      



Câu IV (1,0 điểm) Tính tích phân
2
2
6
cos ln(1 sin )
sin
xx
I dx
x






Câu V (1,0 điểm) Cho tứ diện

ABCD
có mặt phẳng
()ABC
vuông góc với mặt phẳng
()BCD
, tam giác
BCD
vuông ở
D
. Biết rằng
15AB a
,
33BC a
,
6AC a
; góc giữa hai mặt phẳng
()ACD
và
()BCD
bằng
0
60
. Tính thể tích khối tứ diện
ABCD
và khoảng cách từ
B
đến mặt phẳng
()ACD
theo
a

.
Câu VI (1,0 điểm) Cho các số thực dương
,xy
thỏa mãn
44
1
2x y xy
xy
   
. Tìm giá trị lớn nhất của
22
2 2 3
1 1 1 2
P
x y xy
  
  

PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VII.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho đường tròn
22
( ):( 1) (y 2) 5Cx   
và
đường thẳng
: 2 0d x y  
. Từ điểm
A

thuộc
d
kẻ hai đường thẳng lần lượt tiếp xúc với
()C
tại
B
và
C
. Tìm tọa độ điểm
A
biết rằng diện tích tam giác
ABC
bằng 8.
Câu VIII.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho các điểm
( 1;0;1)A 
,
( 1;3;2)B 
,
(1;3;1)C
. Tìm điểm
D
thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng
( ): 0P x y z  
và
( ): 1 0Q y z  
sao
cho thể tích khối tứ diện
ABCD

bằng 3.
Câu IX.a (1,0 điểm) Cho số phức
z
thỏa mãn
2
2
1 ( 1)z z i iz    
. Tính môđun của
4
1
z
z



B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VII.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho hai đường thẳng
1
: 1 0xy   
và
2
: 7 1 0xy   
. Viết phương trình đường tròn
()C
tiếp xúc với
1

tại

(1;2)M
và tiếp xúc với
2

.
Câu VIII.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
( ): 2 5 0P x y z   
và
các điểm
(3; 1; 3)A 
,
(5;1;1)B
. Tìm điểm
C
thuộc
()P
sao cho mặt phẳng
()ABC
vuông góc với
()P

và diện tích tam giác
ABC
bằng
3
.
Câu IX.b (1,0 điểm) Tìm số phức
z

biết rằng
23z z i  
và
(1 )
1 3 (1 3)
iz
i

  
có một acgumen
bằng
6



ĐÁP ÁN
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số
21
1
x
y
x



.
1. Học sinh tự giải (1,00 điểm)
2. Gọi
0

0
0
21
;
1
x
Mx
x





,
0
1x 
là tiếp điểm. Theo đề bài ta có
2MA 

Hay
22
0
2 2 2
00
0 0 0 0 0 0
0
00
0
2 1 2
1 4 4 ( 2)( 4 6) 0

2
11
x
xx
x x x x x x
x
xx

   


           
   




   
(0,50 điểm)
Với
0
0x 
, phương trình tiếp tuyến là
(0)( 0) (0)y y x y

  
hay
31yx

Với

0
2x 
, phương trình tiếp tuyến là
(2)( 2) (2)y y x y

  
hay
11
33
yx

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn bài toán là
31yx
và
11
33
yx
(0,50 điểm)
Câu II (1,0 điểm) Điều kiện:
sin 0 ,x x k k

   

Khi đó phương trình đã cho tương đương với
cos
(1 cos ) cos2 sin 2sin cos
sin
x
x x x x x
x

   

2 2 2
cos cos cos2 sin sin 2sin cosx x x x x x x    

 
2 2 2
cos (1 2sin ) cos2 sin cos sin 0x x x x x x     

cos cos2 cos2 sin cos2 0 cos2 (cos sin 1) 0x x x x x x x x       
(0,50 điểm)
Nếu
cos2 0
42
x x k

   
, thỏa mãn điều kiện
Nếu
2
1
cos sin 1 0 cos 2
4 4 4
2
2
2
(khoâng thoûa maõn)
(thoûa maõn)
xk
x x x x k

xk

  







           






Vậy phương trình có nghiệm
42
xk


,
2
2
xk



,

k 
(0,50 điểm)
Câu III (1,0 điểm)


2
22
30
( 1) 3( 1) 2 2 0
(1)
(2)
x xy x
x y xy x y y

   


      



Điều kiện:
2
2 0 0x y y y   

Từ (1) ta có
2
3xy x x   
, thế vào (2) ta được
2 2 2

( 1) 3( 1) 2 2 6 2 2 2 0x y x x x y y        

22
22
2 3 2 ( 2) 0 3 2 1 0
22
yy
x y x y
xx
          

(0,50 điểm)
Từ đây ta có
2
1
2
y
x


hay
2
2yx

Thay vào (1) ta có
2 2 2
( 2) 3 0 ( 1)( 3) 0 1 3x x x x x x x y             

Vậy nghiệm của hệ là
1, 3xy  

(0,50 điểm)
Câu IV (1,0 điểm) Đặt
sin cosx t xdx dt  
, khi
1
62
xt

  
, khi
1
2
xt

  

Khi đó
1
2
1
2
ln(1 )t
I dt
t



(0,50 điểm)
Đặt
2

ln(1 )
1
1
dt
ut
du
t
dt
dv
v
t
t
















Khi đó
1

11
1
11
2
22
1 3 1 1
ln(1 ) ln2 2ln
( 1) 2 1
dt
I t dt
t t t t t

        





11
11
22
27
2ln3 3ln2 ln ln 1 3ln3 4ln2 ln
16
tt       
(0,50 điểm)
Câu V (1,0 điểm)

Vì
2 2 2

AB AC BC
nên
0
90BAC 
(1)
Kẻ
AH BC
tại
H
, vì (1) nên
H
thuộc đoạn
BC
. Vì
( ) ( )ABC BCD
nên
()AH BCD

Kẻ
HK CD
tại
K 
đường xiên
AK CD
, từ giả thiết suy ra
0
60AKH 

Sử dụng định lý cosin trong tam giác
ABC

0
1
cos 45
2
ACB ACB   

AHC
vuông cân ở
3 2 3H AH HC a BH BC HC a      

Vì
,HK BD
cùng vuông góc
CD
nên
HK
//
1
3
HK CH
BD
BD CB
  

Mà
0
cot60 3HK AH a BD a   
,
22

32CD BC BD a  

23
1 9 2 1 3 6

2 2 3 2
BCD ABCD BCD
aa
S BD DC V AH S     
(0,50 điểm)
Kẻ
HH AK


tại
H

. Vì
()CD AHK
nên
()CD HH HH ACD

  

Từ công thức đường cao của tam giác uông
3
2
a
AHK HH



(2)
Do
3
BC
HC

nên
 
 
 
 
; 3 ;d B ACD d H ACD
(3)
Từ (2) và (3) suy ra
 
 
33
;
2
a
d B ACD 

Chú ý: Ta có thể tính
 
 
3
;
ABCD
ACD

V
d B ACD
S

(0,50 điểm)
Câu VI (1,0 điểm) Từ giả thiết ta có
22
1
22xy x y
xy
  

Đặt
0xy t
ta được
2 3 2
1
2 2 2 (2 1) 0t t t t t
t
       

1
( 1)( 1)(2 1) 0 ( 1)(2 1) 0 1
2
t t t t t t           

Với
,0xy
và
1xy 

ta có
22
1 1 2
1 1 1x y xy

  
(1)
Thật vậy,
2
22
( ) ( 1)
(1) 0
(1 )(1 )(1 )
x y xy
x y xy


  
, đúng do
,0xy
và
1xy 

Khi đó ta có
4 3 4 3
1 1 2 1 1 2
P
xy xy t t
   
   

(2) (0,50 điểm)
Xét hàm số
43
()
1 1 2
ft
tt


trên
1
;1
2




Ta có
2
2 2 2 2
4 6 5 2 1 1
( ) 2. 0, ;1
(1 ) (1 2 ) (1 ) (1 2 ) 2

tt
f t t
t t t t
  



      

   


Suy ra
1 7 1
( ) , ;1
2 6 2
f t f t
   
   


   
(3)
Từ (2) và (3) ta có
7
6
P 

Dấu đẳng thức xảy ra khi
1
2
xy 
và
1
2
x y x y   

Vậy giá trị lớn nhất của
P
là
7
6
, đạt được khi
1
2
xy
(0,50 điểm)
PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VII.a (1,0 điểm)
()C
có tâm
(1;2)I
,
5R 
.
( ; 2)A d A a a   

Từ tính chất tiếp tuyến
IA BC
tại
H
là trung điểm
BC

Giả sử
,IA m IH n

(
0mn
)
2 2 2
,5HA m n BH IB IH n      

2
1
. . ( ) 5 8
2
ABC
S BC AH BH AH m n n      
(1) (0,50 điểm)
Trong tam giác vuông
UIBA
có
2
5
.5BI IH IA mn m
n
    
(2)
Thay (2) vào (1) ta có
2 6 4 2
5
5 8 15 139 125 0n n n n n
n

       





2 4 2
( 1)( 14 125) 0 1, 5n n n n m       

Suy ra
22
1 (1; 3)
5 ( 1) ( 4) 25
4 ( 4;2)
aA
IA a a
aA


        

  

(0,50 điểm)
Câu VIII.a (1,0 điểm)
Từ giả thiết suy ra tọa độ
D
thỏa mãn hệ
0
10
x y z
yz
  



  


Đặt
yt
ta có
21
( 2 1; ; 1)
1
xt
D t t t
zt
  

   



(0,50 điểm)
6
3
11
, . 2 6 3
12
6 6 3
ABCD
t
t

V AB AC AD t
t




     





Suy ra
( 11;6;5)D 
hoặc
(25; 12; 13)D 
(0,50 điểm)
Câu IX.a (1,0 điểm)
Đặt
z a bi
(
,ab
)
Từ giả thiết ta có
2
2
1 ( 1) ( 1 )a bi a b i b ai        

2
2

1 2( 1)
1 2( 1) 2 ( 1)
2 ( 1)
ab
a bi b a b i
b a b

  
       




Suy ra
2
1 2( 1)
2( 1)
b
b
b
  

(
1b 
)
2
21
( 2)(2 1) 0
11
22

ba
bb
ba
   


    

    


Suy ra
12zi
hoặc
11
22
zi  
(0,50 điểm)
Với
12zi
ta có
44
1 2 1 2 1 2 5
1 2 2
z i i i i
zi
          


Với

11
22
zi  
ta có
4 1 1 8 1 1 8 7 7 2
1
1 2 2 1 2 2 1 2 2
z i i i
z i i
           
  
(0,50 điểm)
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VII.b (1,0 điểm)

()C
tiếp xúc với
1

tại
1
()MC
M
IM







I
thuộc đường thẳng
1
d 
tại
M

Phương trình
: 3 0 ( ;3 )d x y I a a    
,
12R IM a  
(0,50 điểm)
()C
tiếp xúc với
2

nên
 
2
3 ( 3;6), 4 2
6 22
, 1 2
2
52
(2;1), 2
a I R
a
d I R a
a

IR

   


      








Suy ra
22
( ):( 3) ( 6) 32C x y   
hoặc
22
( ):( 2) ( 1) 2C x y   
(0,50 điểm)
Câu VIII.b (1,0 điểm)
Mặt phẳng
()Q
chứa
AB
và vuông góc với
()P
nên có vectơ pháp tuyến
, (1;1; 1)

QP
n AB n

  


Suy ra
( ): 5 0Q x y z   

Từ giả thuyết suy ra
C
thuộc giao tuyến của
()Q
và
()P

Suy ra tọa độ
C
thỏa mãn
50
2 5 0
x y z
x y z
   


   

(0,50 điểm)
Đặt

0
( ;0; 5)
5
y
x t C t t
zt


   




2
5 (5;0;0)
11
, 3(2 8) 4 3 3 4 1
3 (3;0; 2)
22
ABC
tC
S AB AC t t t
tC



          





(0,50 điểm)
Câu IX.b (1,0 điểm)
Ta có
 
22
1 1 1 3 1
1 3 (1 3) cos sin
4 2 3 3
1 3 (1 3) (1 3) (1 3)
i i i
ii
i

    
   
        
   

     
   


Đặt
(cos sin )z r i


,
0r 

Khi đó
(1 )
cos sin
2 3 3
1 3 (1 3)
i z r
i
i


  
   
   
   

  
   


Theo bài ra ta có
3 6 6
  

    

Suy ra
3
22
rr
zi

(0,50 điểm)
Từ giả thiết của bài toán ta có
3
33
22
rr
i r ri i   

2
2
2 2 2 2
2
3
3( 1) ( 1) 4( 1)
2
22
2
3
r
rr
r r r r





         










Từ đó ta có
3zi
,
31
33
zi
(0,50 điểm)