Ôn Tập Kinh Tế Lượng

Chương 0
Ôn Tập

Kinh tế lượng (Econometric) : Lượng hóa các vấn đề về kinh tế
1. Đạo hàm (tỷ lệ sự thay đổi)
Xét hàm số


Y f X
 (Y : Lãi suất; X : Lạm phát)
Y : là biến phụ thuộc (biến được giải thích)
X : Biến độc lập (biến giải thích)
Ví dụ : Thu nhập (X) - Chi tiêu (Y)
Lạm phát (X) - Lãi suất (Y)
Sự thay đổi của biến Y được giải thích về sự thay đổi của X
2. Đạo hàm tại điểm
x a










f a h f a f x f a
y
h x a x
  


 
 
cho
x a


y

: Sự thay đổi của y
x

: Sự thay đổi của x
Tỷ lệ sự thay đổi của y theo x :
 
/ /
y
y f a
x

 

: tỷ lệ sự thay đổi của y theo x
xung quanh điểm a
Ví dụ :


Y f X
 (X: lạm phát, Y: lãi suất)
Giả sử



/
x 5%; y 7%; f 5 1.2
  
3. Đạo hàm riêng
Xét


z f x, y

z : là biến phụ thuộc (biến được giải thích)
x, y : Biến độc lập (biến giải thích)
3.1. Đạo hàm riêng theo biến x
 




h 0
f x h, y f x, y
f
x, y lim
x h

 
 

 


 

 



x, y 0
  

3.2. Đạo hàm riêng theo biến y
 




k 0
f x, y k f x, y
f
x, y lim
y k

 
 

 

 

 



x 0, y
  


Ví dụ :
     
f f
f 3, 2 7; 3, 2 0.4; 3, 2 0.1
x y
 
  
 

Ví dụ :
3 2 3
f(x, y) x 3xy 3y 2x 3y 1
     

2 2
2
f
f (x, y) 3x 3y 2
x
f
f(x,y) 6xy 9y 3
y

  



  


Xét một mẫu sau






1 1 2 2 n n
x , y , x , y , , x , y

4. Điều kiện cần của cực trị
Xét :


z f x, y

Hàm


z f x, y
 đạt cực trị tại





0 0 0 0
x , y f x , y 0
  

   
 
 
0 0
0 0 0 0
0 0
f
x , y 0
f f
x
x , y , x , y 0
f
x y
x , y 0
y




  

  

 

 

 








0 0
x , y
: gọi là điểm dừng
5. Điều kiện đủ của cực trị
Xét


0 0
x , y

Đặt
     
2 2 2
2
0 0 0 0 0 0
2 2
f f f
A x , y ; C x , y ; B x , y ; AC B
x y
x y
  

     
 
 

i) Trường hợp 1:
0
 
và
A 0

hay
C 0

thì


0 0
x , y
là cực tiểu
ii) Trường hợp 2:
0
 
và
A 0

hay
C 0

thì



0 0
x , y
là cực đại
iii) Trường hợp 3:
0
 
:


0 0
x , y
là điểm yên ngựa
iv) Trường hợp 4:
0
 
: chưa có cơ sở kết luận.
Ví dụ : xét mẫu






1 1 2 2 n n
X , Y ; X , Y ; ; X , Y

Phương pháp bình phương cực tiểu (OLS : ordinary least squares)
Tổng bình phương các sai lệch (RSS : Residual sum of squares)
 



n n
2
2 2 2 2
1 2
1 2 n i i i
i 1 i 1
RSS e e e e Y X
 
         
 

Bài toán : Tìm




1 2
,
 
sao cho
min
RSS


 


 



n
1 2 1 2
i i
i 1
1
RSS
, 2 Y X ( 1) 0


        




 


 


n
1 2 1 2
i i i
i 1
2
RSS
, 2 Y X ( X ) 0



        



Suy ra
 
 
n n
1 2
i i
i 1 i 1
n n n
2
1 2
i i i i
i 1 i 1 i 1
n X Y
X X X Y
 
  

   




   



 
  

Hệ Cramer
n
i n n
2i 1
i i
n n
i 1 i 1
2
i i
i 1 i 1
n X
n X X 0
X X

 
 
 
  
 
 

 
 

 
 
n n

1 2
i i
i 1 i 1
1 1
1 X Y
n n
 
 
    
 
 
 





1 2 1 2
X Y Y X
         


n
i
i 1
n n n
n n
i i i i
i i i
i 1 i 1 i 1

i 1 i 1
2
2
n
n n
2
i
i i
i 1
i 1 i 1
n n
2
i i
i 1 i 1
n Y
n X Y X Y
X X Y
n X
n X X
X X

  
 

 
 
   

   
   

  
 

 
 

  
 

 
 

(1)
(2)
Ví dụ:
X 1 2 3 4 5
Y 2 5 7 8 9

6. Phân phối xác suất
6.1. Phân phối nhị thức (Độc lập, có hoàn lại)


X B n; p , X 0,1, 2, , n

   
n k
k k
n
P X k C p 1 p


  
6.2. Phân phối siêu bội (Không độc lập, không hoàn lại)


X H N, K, n

 
k n k
n N K
n
N
C C
P X k
C


 
Siêu bội
n N

Nhị thức,
 
K
H N, K, n B n;
N
 

 
 

6.3. Phân phối chuẩn


2
X N ,
 

 
 
2
2
2
x
tb
b
2 2
a
a
1 1
P a X b e dx e dt
2 2




 


   
  

 

Đặt
x
t
 



Nếu


2
X N ,
 
 , đặt
X
Y
 


thì


Y N 0,1

 
a X b a b
P a X b P P Y
   

         
       
   
    
   

Bài toán cho


Y N 0,1
 ,
  

Tìm
 
2
t
2
1
P Y e dt
2


    




   
2 2

t t
0
2 2
0
1 1
e dt e dt
2 2
 

       
 
 

Trong đó

 
2
t
x
2
0
1
x e dt
2

 


Laplace
Lấy

x 0.00, 0.01, , 3.99

suy ra bảng phân phối Gauss
Ví dụ :


1.26 0.3962
 
Với
 
2
t
0
2
x
1
x 0, x e dt
2


    



Nếu




x 0, x x

    
Ví dụ:
6.4. Phân phối Student St(n)
a) Một số kết quả
i) Nếu


X N 0,1

thì
 
2 2
X 1


ii) Nếu X, Y độc lập,
   
2 2
X n ; Y m
  
thì
 
2
X Y n m
  

iii) Cho


2

1 2 n
X , X , , X N ,
 

và độc lập
n
X i
i 1
1
X X
n

  


 
n
2
2
X i X
i 1
1
S X
n 1

  


(Phương sai có hiệu chỉnh)
 

n
2
2
X i X
i 1
1
S X
n

  

(Phương sai không hiệu chỉnh)
b) Định nghĩa phân phối Student
Nếu
   
2
X N 0,1 ; Y n
 
và X, Y độc lập thì

X
T St(n)
Y
n
 

c) Định lý Lindeberg – levy
Cho



2
1 2 n
X , X , , X N ,
 


i)
2
X N ,
n
 


 
 
 


ii)
 
2
2
X
2
(n 1)S
n 1

 



Trong đó
2
X
X, S
lần lượt trung bình và phương sai mẫu có hiệu chỉnh
Chú ý :



 
2
X n
X N , Y N 0,1
n
 
 

  
 
 

 
 


 
2
2
X

2
(n 1)S
Z n 1

  






X
X n
Y
T St(n 1)
S
Z
n 1
 
  



6.5. Phân phối Fisher
Nếu


2 2
X n , Y (m)
  

và X, Y độc lập thì

 
X
n
F F n, m
Y
m
 

7. Tìm khoảng tin cậy
Gọi
a, b
 
 
là khoảng tin cậy (KTC) với độ tin cậy


Định nghĩa:


P a X b 0.9, 0.95, 0.99
    
Nguy cơ sai lầm
1
   

7.1.
X N(0,1)


Chọn KTC cho X là
C, C
 

 
sao cho
   
P C X C C
2

       

Ký hiệu:
2
C Z


7.2.
2
X N( , )
 

. Đặt
X
Y
 


thì

Y N(0,1)


Chọn KTC cho Y là
C, C
 

 
sao cho


P C Y C
    

Khoảng tin cậy cho X:
X C ; C
 
      
 

7.3.
T St(n)


Chọn KTC là cho T là
C, C
 

 
sao cho



P C T C
    

Với
n
C t



Chú ý :
khi n 30

thì
St(n) N(0,1)


7.4.
F F(n, m)


Chọn KTC cho F là
0, C
 
 
sao cho


P 0 F C

   

Với
C f (n,m)



7.5.
2
X (n)



Chọn KTC cho X
- Dạng
a, b
 
 
sao cho


P a X b
   

Với
2 2
1
2 2
a (n); b (n)
 


   

- Dạng
0, C
 
 
sao cho


P 0 X C
   

Với
2
C (n)

 