hình học họa hình
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.23 MB, 31 trang )
BÀI GIẢNG
HÌNH HỌC HỌA HÌNH
Mở đầu
Trong kỹ thuật, bản vẽ kỹ thuật (trên
giấy) được sử dụng trong sản xuất và trao đổi
thông tin giữa các nhà thiết kế.
Bản vẽ kỹ thuật là một mặt phẳng 2
chiều còn hầu hết vật thể đều là các vật thể 3
chiều.
Vậy làm sao để biểu diễn các đối tượng
3 chiều lên mặt phẳng 2 chiều?
Hình họa
Gaspard Monge
I. Đối tượng môn học
- Nghiên cứu các phương pháp biểu diễn các hình không gian trên
một mặt phẳng.
- Nghiên cứu các phương pháp giải các bài toán không gian trên một
mặt phẳng.
II. Các phép chiếu
1. Phép chiếu xuyên tâm
a. Xây dựng phép chiếu
- Cho mặt phẳng Π, một điểm S không thuộc
Π và một điểm A bất kỳ.
- Gọi A’ là giao của đường thẳng SA với mặt
phẳng Π.
* Ta có các định nghĩa sau:
+ Mặt phẳng Π gọi là mặt phẳng hình chiếu
+ Điểm S gọi là tâm chiếu.
+ Điểm A’ gọi là hình chiếu xuyên tâm của
điểm A lên mặt phẳng hình chiếu Π.
+ Đường thẳng SA gọi là tia chiếu của điểm
A.
A
A’
Hình 0.1 Xây dựng phép chiếu
xuyên tâm.
S
П
- Nếu AB là đoạn thẳng không đi qua tâm chiếu S thì hình chiếu xuyên tâm của nó
là một đoạn thẳng A’B’.
- Nếu CD là đường thẳng đi qua tâm chiếu S thì C’=D’.(Hình chiếu suy biến) (Hình
0.2.a).
- Hình chiếu xuyên tâm của các đường thẳng song song nói chung là các đường
đồng quy. (Hình 0.2.b).
A
A’
Hình 0.2a,b Tính chất phép chiếu xuyên tâm
S
B’
B
C
D
C’=D’
b. Tính chất phép chiếu
S
C’
A’
B’
D’
F’
E’
T’
a)
b)
A
B
E
F
D
C
П
П
2. Phép chiếu song song
a. Xây dựng phép chiếu
- Cho mặt phẳng Π, một đường thẳng s
không song song mặt phẳng Π và một
điểm A bất kỳ trong không gian.
- Qua A kẻ đường thẳng a//s . A’ là giao
của đường thẳng a với mặt phẳng Π.
* Ta có các định nghĩa sau:
+ Mặt phẳng Π gọi là mặt phẳng hình
chiếu.
+ Đường thẳng s gọi là phương chiếu.
+ Điểm A’ gọi là hình chiếu song song
của điểm A lên mặt phẳng hình chiếu Π
theo phương chiếu s.
+ Đường thẳng a gọi là tia chiếu của
điểm A.
A
A’
Hình 0.3 Xây dựng phép
chiếu xuyên tâm
s
П
a
A
A’
Hình 0.4a,b Tính chất phép chiếu
song song.
s
B’
B
C
D
C’=D’
b. Tính chất phép chiếu
- Nếu đường thẳng AB không song song
với phương chiếu s thì hình chiếu song
song của nó là đường thẳng A’B’.
- Nếu CD song song với phương chiếu s
thì hình chiếu song song của nó là một
điểm C’ = D’.
- Nếu M thuộc đoạn AB thì M’ thuộc A’B’
+ Tỷ số đơn của 3 điểm không đổi:
- Nếu MN//QP thì:
- Nếu IK// Π thì
:
a)
b)
П
M
M’
M
s
N’
N
Q
P’
Q’
П
M’
P
K’
I’
I
K
=
PQ
MN
Q'P'
N'M'
Q'//P'N'M'
= IKK'I'
//IKK'I'
MB
AM
B'M'
M'A'
=
3. Phép chiếu vuông góc
- Phép chiếu vuông góc trường hợp đặc
biệt của phép chiếu song song khi phương
chiếu vuông góc với mặt phẳng hình chiếu.
- Phép chiếu vuông góc có đầy đủ tính
chất của phép chiếu song song, ngoài ra
có thêm các tính chất sau:
+ Chỉ có một phương chiếu s duy
nhất.
+ Giả sử AB tạo với П một góc φ thì:
A’B’ = AB.cosφ
A’B’ ≤ AB
- Sau đây là những ứng dụng của phép
chiếu vuông góc mà ta gọi là phương pháp
hình chiếu thẳng góc.
A
A’
Hình 0.5a,b. Phép chiếu vuông góc
s
П
a
A
A’
s
П
B
B’
φ
a)
b)
Chương 1
Điểm
I. Đồ thức của một điểm
1. Hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu
a. Xây dựng đồ thức
- Trong không gian lấy hai mặt phẳng
vuông góc nhau П
1
và П
2
.
- Mặt phẳng П
1
có vị trí thẳng đứng.
- Mặt phẳng П
2
có vị trí nằm ngang.
- Gọi x là giao tuyến của П
1
và П
2
(x = П
1
∩П
2
)
- Chiếu vuông góc điểm A lên mặt phẳng П
1
và
П
2
ta nhận được các hình chiếu A
1
và A
2
.
- Cố định mặt phẳng П
1
, quay mặt phẳng П
2
quanh đường thẳng x theo chiều quay
được chỉ ra
trên
Hình 1.1.a cho đến khi П
2
trùng với П
1
. Ta nhận
được
đồ thức của điểm A trong hệ hai mặt phẳng
hình chiếu (
Hình 1.1.b)
Hình 1.1a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm
trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu
a)
b)
A
A
1
A
2
A
x
x
AA
1
Π
1
x
A
x
Π
1
Π
2
A
2
Π
2
b. Các định nghĩa và tính chất
- Mặt phẳng П
1
: mặt phẳng hình chiếu đứng.
- Mặt phẳng П
2
: mặt phẳng hình chiếu bằng.
- Đường thẳng x : trục hình chiếu
- A
1
: hình chiếu đứng của điểm A.
- A
2
: hình chiếu bằng của điểm A.
- Gọi A
x
là giao của trục x và mặt phẳng
(AA
1
A
2
).
- Trên đồ thức, A
1
,A
x
, A
2
cùng nằm trên một
đường thẳng vuông góc với trục x gọi là
đường dóng thẳng đứng.
Hình 1.1a,b. Xây dựng đồ thức của
một điểm trên hệ thống hai mặt
phẳng hình chiếu.
a)
b)
A
A
1
A
2
A
x
x
AA
1
Π
1
x
A
x
Π
1
Π
2
A
2
Π
2
* Độ cao của một điểm:
- Ta có: gọi là độ cao của
điểm A.
- Quy ước:
+ Độ cao dương: khi điểm A nằm
phía trên П
2
+ Độ cao âm: khi điểm A nằm phía
dưới П
2
.
- Dấu hiệu nhận biết trên đồ thức:
+ Độ cao dương: khi A
1
nằm phía trên
trục x.
+ Độ cao âm: khi A
1
nằm phía dưới
trục x.
Hình 1.1a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm
trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu.
a)
b)
A
A
1
A
2
A
x
x
AA
1
Π
1
x
A
x
Π
1
Π
2
A
2
Π
2
A
A
A
A
21x
=
* Độ xa của một điểm:
- Ta có: gọi là độ xa
của điểm A
.
- Quy ước:
+ Độ xa dương : khi điểm A nằm
phía trước П
1
+ Độ xa âm: khi điểm A nằm phía
sau П
1
.
- Dấu hiệu nhận biết trên đồ thức:
+ Độ xa dương: khi A
2
nằm phía
dưới trục x.
+ Độ xa âm: khi A
2
nằm phía trên
trục x.
*
Chú ý: Với một điểm A trong
không gian có đồ thức là một cặp
hình chiếu A
1
, A
2
. Ngược lại cho đồ
thức A
1
A
2
, ta có thể xây dựng lại
điểm A duy nhất trong không gian.
Như vậy đồ thức của một điểm A có
tính phản chuyển.
Hình 1.1a,b. Xây dựng đồ thức của
một điểm trên hệ thống hai mặt
phẳng hình chiếu.
x
A
x
A
2
Π
2
A
A
A
A
12x
=
a)
A
A
1
A
2
A
x
x
Π
1
Π
2
b)
A
1
2. Hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu
a. Xây dựng đồ thức
- Trong không gian, lấy ba mặt phẳng П
1’
П
2
,П
3
vuông góc với nhau từng đôi một.
+ Gọi x là giao tuyến của П
1
và П
2
(x =
П
1
∩П
2
).
+ Gọi y là giao tuyến của П
2
và П
3
(y =
П
2
∩П
3
).
+ Gọi z là giao tuyến của П
1
và П
3
(z =
П
1
∩П
3
).
- Chiếu vuông góc điểm A lên mặt phẳng
П
1
, П
2
và П
3
ta nhận được các hình chiếu
A
1
, A
2
và A
3.
- Cố định mặt phẳng П
1
, quay mặt phẳng
П
2
quanh đường thẳng x, quay mặt
phẳng П
3
quanh trục z theo chiều quay
được chỉ ra trên Hình 1.2.a cho đến khi
П
2
trùng với П
1
,П
3
trùng với П
1
. Ta nhận
được đồ thức của điểm A trong hệ hai
mặt phẳng hình chiếu (Hình 1.2.b)
Hình 1.2a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm
trên hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu.
b)
A
A
1
x
A
x
A
2
a)
A
2
Π
2
x
A
A
1
A
x
A
3
A
2
A
y
A
z
Π
1
Π
3
z
y
Π
1
Π
3
Π
2
A
3
z
y
y
O
A
z
A
y
A
y
O
b. Các định nghĩa và tính chất
Bổ sung thêm các định nghĩa và tính chất
sau:
- Mặt phẳng П
3
:
mặt phẳng hình chiếu
cạnh.
- Đường thẳng x, y, z : trục hình chiếu.
- A
3
: hình chiếu cạnh của điểm A.
- Gọi
- Trên đồ thức:
+ A
1
, A
x
, A
2
cùng nằm trên một
đường thẳng vuông góc với trục x gọi là
đường dóng thẳng đứng.
+ A
1
, A
z
, A
3
cùng nằm trên một
đường thẳng song song với trục x gọi là
đường dóng nằm ngang.
Hình 1.2a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm
trên hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu.
b)
A
A
1
x
A
x
A
2
a)
A
2
Π
2
x
A
A
1
A
x
A
3
A
2
A
y
A
z
Π
1
Π
3
z
y
Π
1
Π
3
Π
2
A
3
z
y
y
O
A
z
A
y
A
y
O
)AA(AzAz
)AA(AyAy
)AA(AxAx
31
32
21
∩=
∩=
∩
=
b. Các định nghĩa và tính chất (tiếp theo)
* Độ xa cạnh của một điểm
- Ta có:
gọi là độ xa cạnh của điểm A.
- Quy ước:
+ Độ xa cạnh dương : khi điểm A nằm
phía bên trái П
3
+ Độ xa cạnh âm: khi điểm A nằm
phía bên phải П
3
.
- Dấu hiệu nhận biết trên đồ thức:
+ Độ xa cạnh dương: khi A
3
nằm phía
bên phải trục z.
+ Độ xa cạnh âm: khi A
3
nằm phía bên
trái trục z.
Hình 1.2a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm
trên hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu.
b)
A
A
1
x
A
x
A
2
a)
A
2
Π
2
x
A
A
1
A
x
A
3
A
y
A
z
Π
1
Π
3
z
y
Π
1
Π
3
Π
2
A
3
z
y
y
O
A
z
A
y
A
y
O
AAOAAAAA 3x2y1z ===
A
2
III. Một số định nghĩa khác
1. Góc phần tư
- Hai mặt phẳng hình chiếu П
1
, П
2
vuông góc với nhau chia không gian thành bốn
phần, mỗi phần được gọi là một góc phần tư.
+ Phần không gian phía trước П
1
, trên П
2
được gọi là góc phần tư thứ nhất. (I)
+ Phần không gian phía sau П
1
, trên П
2
được gọi là góc phần tư thứ hai. (II)
+ Phần không gian phía sau П
1
, dưới П
2
được gọi là góc phần tư thứ ba. (III)
+ Phần không gian phía trước П
1
, dưới П
2
được gọi là góc phần tư thứ tư. (
IV)
Ví dụ: Tự cho đồ thức của các điểm A, B, C, D lần lượt thuộc các góc phần tư I, II,
III, IV.
Hình 1.4. Góc phần tư I, II, III, IV.
A
2
Π
1
Π
2
( I )
( IV )
( III )
( II )
x
A
2
A
1
Π
2
Π
1
Hình 1.5. Các điểm A,B,C,D thuộc
các góc phần tư I, II, III, IV.
B
2
B
1
C
1
C
2
D
2
D
1
2. Mặt phẳng phân giác
- Có hai mặt phẳng phân giác:
+ Mặt phẳng đi qua trục x chia góc nhị diện phần tư (I) và góc phần tư (III)
thành các phần bằng nhau gọi là mặt phẳng phân giác I. (
Pg1)
+ Mặt phẳng đi qua trục x chia góc nhị diện phần tư (II) và góc phần tư (IV)
thành các phần bằng nhau gọi là mặt phẳng phân giác II. (
Pg2)
Ví dụ: Vẽ đồ thức của các điểm A, B thuộc mặt phẳng phân giác I; C, D thuộc mặt
phẳng phân giác II, A thuộc góc phần tư (I), B thuộc (III), C thuộc (II), D thuộc (IV)
Hình 1.6. Mặt phẳng phân giác I và II.
A
2
Π
1
Π
2
( I )
( IV )
( III )
( II )
x
A
2
A
1
Π
2
Π
1
Hình 1.7. Đồ thức các điểm A,B,C,D thuộc
mặt phẳng phân giác (P1) và (P2).
(Pg1)
(Pg2)
B
1
B
2
C
1
=D
2
D
1
=C
2
x
A
x
B
x
C
x
D
x
IV. Vẽ hình chiếu thứ ba của một điểm trên đồ thức
Bài toán: Cho hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của một điểm, tìm hình
chiếu cạnh của điểm đó trên đồ thức.
Ví dụ
: Vẽ hình chiếu cạnh của các điểm A, B, C, D, E được cho trên đồ thức.
x(+)
A
x
A
2
A
3
z(+)
y(+)
O
A
z
A
y
A
y
A
1
∆
∆’
y(+)
x(+)
B
x
B
2
B
3
z(+)
y(+)
O
B
z
B
y
B
y
B
1
∆
∆’
x(+) C
x
C
1
C
3
z(+)
y(+)
O
C
z
C
y
C
y
C
2
∆
∆’
x(+)
D
x
D
2
D
3
z(+)
y(+)
O
D
z
D
y
D
y
D
1
∆
∆’
y(+)
x(+)
E
x
=E
2
E
3
z(+)
y(+)
O
E
z
=E
y
E
1
∆
∆’
a)
d)
c)
e)
b)
y(+)
y(+)
y(+)
B
y
E
y
Chương 2
Đường thẳng
I. Đồ thức của một đường thẳng
Vì một đường thẳng được xác định bởi hai
điểm phân biệt do đó để cho đồ thức của một
đường thẳng ta cho đồ thức của hai điểm phân biệt
thuộc đường thẳng đó.
Ví dụ: Cho đồ thức của đường thẳng l;
- l
1
đi qua A
1
B
1
gọi là hình chiếu đứng của
đường thẳng l.
- l
2
đi qua A
2
B
2
gọi là hình chiếu bằng của
đường thẳng l.
Hình 2.1. Đồ thức của một đường thẳng.
A
1
B
1
l
1
l
2
B
2
A
2
)B,B(B
)A,A(A
B AAB
21
21
≠
∈
,l
B
A
1
B
2
Π
1
Π
2
A
x
A
2
B
1
l
1
l
2
l
Chú ý: Nếu từ hình chiếu l
1
và l
2
của đường
thẳng l ta xây dựng lại đường thẳng l duy nhất
trong không gian thì đồ thức đường thẳng có
tính chất phản chuyển, khi đó ta không cần
cho các điểm A, B thuộc đuờng thẳng l.
II. Các đường thẳng có vị trí đặc biệt (đối với mặt phẳng hình chiếu)
1. Các đường thẳng đồng mức (là các đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu)
a. Đường bằng
* Định nghĩa: Đường bằng là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng П
2
.
B
A
1
Π
1
A
x
B
1
B
2
x
A
1
B
1
h
1
h
A
2
h
1
h
2
α
α
* Tính chất:
- Hình chiếu đứng h
1
//x
- Nếu có một đoạn thẳng AB thuộc đường bằng h thì hình chiếu bằng A
2
B
2
= AB.
- Góc h
2
,x = h, П
1
= α
Hình 2.2. Đường bằng
Π
2
A
2
h
2
α
B
2
b. Đường mặt
* Định nghĩa: Đường mặt là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng П
1
.
Ví dụ: CD// П
1
* Tính chất :
- Hình chiếu bằng f
2
//x.
- Nếu có một đoạn thẳng CD thuộc đường mặt f thì hình chiếu đứng C
1
D
1
= CD.
- Góc f
1
,x = f, П
2
= β.
Hình 2.3. Đường mặt.
D
C
1
Π
1
x
D
1
D
2
x
C
1
D
1
f
1
f
C
2
f
1
f
2
β
Π
2
C
2
f
2
β
D
2
β
C
c. Đường cạnh
* Định nghĩa: Đường cạnh là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh П
3
.
* Tính chất :
- p
1
và p
2
cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với trục x.
- Nếu có một đoạn thẳng EF thuộc đường cạnh p thì hình chiếu cạnh E
3
F
3
= EF
- Góc p
3
,z = p, П
1
= α
- Góc p
3
,y = p, П
2
= β
Hình 2.4. Đường cạnh.
A
2
Π
2
x
E
F
2
F
1
F
3
E
3
Π
1
Π
3
z
y
O
F
α
β
x
F
2
E
3
z
y
F
3
E
1
y
p
1
p
p
2
E
2
E
1
A
x
O
F
1
p
1
p
2
E
2
α
β
p
3
p
3
α
β
Hình 2.4. Đường cạnh
A
2
x
F
3
E
3
Π
1
Π
3
z
y
O
F
α
β
x
F
2
E
3
z
y
F
3
E
1
y
A
x
O
F
1
p
1
p
2
E2
1
α
β
p
3
p
3
Π
2
E
F
2
F
1
p
1
p
p
2
E
2
E
1
Chú ý: Với đường cạnh p, nếu biết các hình chiếu p
1
, p
2
ta không xác định được đườ
ng
thẳng p duy nhất trong không gian. Do đó ta phải cho đồ thức của hai điểm phân biệt.
Ví dụ: Cho E, F thuộc đường thẳng p. Hai điểm E, F xác định một đường thẳng p duy nhất.
(Hình 2.4)
x
B
A
22
⊥
2. Các đường thẳng chiếu (là các đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu)
a. Đường thẳng chiếu đứng
* Định nghĩa: là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng П
1
.
Ví dụ:
B
A
1
Π
1
A
x
≡ B
1
B
2
x
A
1
=B
1
A
2
* Tính chất :
- Hình chiếu đứng của AB là một điểm A
1
≡ B
1
- Hình chiếu bằng
- A
2
B
2
=AB
Hình 2.5. Đường thẳng chiếu đứng
Π
2
A
2
B
2
xBA
22
⊥
1
AB
∏
⊥
x
D
C
11
⊥
2
CD ∏⊥
b. Đường thẳng chiếu bằng
* Định nghĩa: là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng П
2
.
Ví dụ:
D
C
1
Π
1
C
x
≡D
2
D
1
x
C
2
D
1
C
1
* Tính chất :
- Hình chiếu bằng của CD là một điểm C
2
≡ D
2
- Hình chiếu đứng
- C
1
D
1
=CD
Hình 2.6. Đường thẳng chiếu bằng
Π
2
C
2
≡D
2
xDC
11
⊥
c. Đường thẳng chiếu cạnh
* Định nghĩa: là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu cạnh П
3
.
* Tính chất :
- Hình chiếu cạnh của EF là một điểm E
3
≡ F
3
- E
2
F
2
//E
1
F
1
//x
- E
1
F
1
=E
2
F
2
=EF
Hình 2.7. Đường thẳng chiếu cạnh
Π
2
x
E
F
2
F
1
≡F
3
E
3
Π
1
Π
3
z
y
O
F
x
F
2
E
3
z
y
≡F
3
E
1
E
2
E
1
O
F
1
E
2
III. Điểm thuộc đường thẳng
1. Đường thẳng đã cho không phải là đường cạnh
Điều kiện cần và đủ để một điểm thuộc đường thẳng không phải là đường cạnh là hình
chiếu đứng của điểm thuộc hình chiếu đứng của đường thẳng và hình chiếu bằng của điểm
thuộc hình chiếu bằng của đường thẳng.
Hình 2.8. Điểm thuộc đường thẳng
A
1
l
1
l
2
A
2
A
1
Π
1
Π
2
A
x
A
2
l
1
l
2
l
x
∈
∈
⇔
∏
∈
22
11
3
A
A
)//(
A
l
l
l
l
PQIQPI
PQIQPI
333
333
∉⇔∉
∈
⇔
∈
2. Đường thẳng đã cho là đường cạnh
Vấn đề đặt ra: Cho đường cạnh PQ và điểm I thỏa mãn điều kiện
Xét xem I có thuộc PQ hay không? (Hình 2.11)
Cách 1: Dùng hình chiếu cạnh. Nếu:
Hình 2.10. Cách 1. Xét điểm thuộc đường cạnh
y
x
Q
2
P
3
z
y
Q
3
P
1
O
P
2
∈
∈
222
111
QPI
QPI
I
1
I
3
I
2
Q
1
PQI
QI
PI
QI
PI
PQI
QI
PI
QI
PI
22
22
11
11
22
22
11
11
∉⇔≠
∈⇔=
Cách 2: Dựa vào tỉ số đơn của 3 điểm thẳng hàng.
Nếu:
Hình 2.11. Cách 2. Xét điểm thuộc đường cạnh
- Qua P
1
kẻ đường thẳng t bất kỳ hợp với
P
1
Q
1
một góc α tùy ý (nên lấy α<90
o
).
- Trên t lấy:
- Vẽ
22
221
QIQI
IPIP
=
=
I
Q
x
Q
2
P
1
P
2
I
1
I
2
I’
1
Q
1
t
α
11
Q Q//I' I
PQI
∉
⇔
- Nếu thì tỉ số đơn khác nhau
11
I
'
I
≠
PQI
∈
⇔
- Nếu thì tỉ số đơn bằng nhau
11
I
'
I
≡
IV. Vết của đường thẳng
Vết của đường thẳng l là giao điểm của đường thẳng đó với mặt phẳng hình chiếu
(Hình 2.12)
- Vết đứng: ký hiệu M, M≡ l ∩ П
1
⇒ M
1
∈l
1
, M
2
∈x
- Vết bằng: ký hiệu N, N≡ l ∩ П
2
⇒ N
1
∈x , N
2
∈l
2
Hình 2.12. Vết của đường thẳng
N
1
M
2
Π
1
Π
2
x
N
2
M
1
l
1
l
2
l
N
1
l
1
l
2
x
M
1
N
2
M
2
Ví dụ: Hãy xác định vết của đường thẳng l(l
1
,l
2
) được cho như trên đồ thức và xét
xem đường thẳng l đi qua góc phần tư nào trong không gian. (Hình 2.13)
Hình 2.13. Ví dụ vết của đường thẳng
Giải:
* Tìm vết M, N của đường thẳng l:
M
2
∈x ⇒ M
2
≡ l
2
∩x ⇒ M
1
∈l
1
N
1
∈x ⇒ N
1
≡ l
1
∩x ⇒ N
2
∈l
2
* Xét l đi qua góc phần tư nào?
- Xét A
∈MN: A có độ cao dương, độ xa âm
⇒ A thuộc góc phần tư thứ II
⇒ l đi qua góc phần tư thứ II.
- Xét B
∈MN: B có độ cao âm, độ xa âm;
⇒ B thuộc góc phần tư thứ III
⇒ l đi qua góc phần tư thứ III
- Xét C
∈MN : C có độ cao dương, độ xa dương;
⇒ C thuộc góc phần tư thứ I
⇒ l đi qua góc phần tư thứ I.
Vậy, đường thẳng l đi qua các góc I, II, III
N
1
l
1
l
2
x
M
1
N
2
M
2
B
1
B
2
Góc(I)
Góc (II)
Góc (III)
A
2
A
1
C
2
C
1
V. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
1. Hai đường thẳng cắt nhau
a. Cả hai đường thẳng không phải đường cạnh
Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng không
phải đường cạnh cắt nhau là:
Trên đồ thức các hình
chiếu đứng của chúng cắt nhau, các hình chiếu
bằng cắt nhau sao cho các điểm cắt này cùng nằm
trên một đường dóng thẳng đứng
. (Hình 2.14)
Hình 2.14. Hai đường thẳng không
phải là đường cạnh cắt nhau.
I
1
a
1
a
2
I
2
x
b
1
b
2
⊥
≡
≡
⇔
∏
≡
xII
Iba
Iba
)//b,a(
Iba
21
222
111
3
∩
∩
∩
b. Một trong hai đường thẳng là đường cạnh
Vấn đề đặt ra: Cho đường cạnh PQ và
đường thẳng l thỏa mãn:
l
1
∩P
1
Q
1
≡ I
1
l
2
∩P
2
Q
2
≡ I
2
Xét xem l và PQ có cắt nhau không?
(Hình 2.15)
Giải:
Ta có: I
∈l ⇒ PQ∩l ⇔ I∈PQ
Do đó để xét xem l và PQ có cắt nhau
hay không ta đưa về bài toán điểm thuộc đường
cạnh đã xét ở trên.
Hình 2.15. Hai đường thẳng cắt nhau
(một trong hai đường thẳng là đường cạnh).
I
x
Q
2
P
1
P
2
I
1
I
2
I’
1
Q
1
t
Q
α
l
1
l
2
⇔
∏
22
11
3
b//a
b//a
)//b,a(
b//a
2. Hai đường thẳng song song
a. Định nghĩa
Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng
cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm
chung nào.
b. Điều kiện song song của hai đường thẳng trên
đồ thức
* Cả hai đường thẳng không phải là đường cạnh
Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng không
phải đường cạnh song song với nhau là trên đồ
thức các hình chiếu đứng của chúng song song và
các hình chiếu bằng của chúng cũng song song.
(Hình 2.16)
Hình 2.16. Hai đường thẳng song
song không phải là đường cạnh.
a
1
a
2
x
b
1
b
2
* Cả hai đường thẳng là đường cạnh
Vấn đề đặt ra: Cho đường cạnh PQ và đường
cạnh RS. Ta có: P
1
Q
1
//R
1
S
1
P
2
Q
2
//R
2
S
2
Xét xem PQ có song song với RS không?
(Hình 2.17)
Giải:
- Cách 1: Dùng hình chiếu cạnh.
Nếu:
- Cách 2: Dùng định nghĩa.
Xét xem PQRS có cùng mặt phẳng hay không?
Hình 2.17. Xét xem hai đường cạnh có
song song hay không?
RS
//PQ
xII
IRQSP
IRQSP
21
22222
11111
⇔
⊥
≡
≡
∩
∩
RS
//PQSR//QP
3333
⇒
x
Q
2
P
1
P
2
I
1
I
2
Q
1
S
2
R
2
S
1
R
1
3. Hai đường thẳng chéo nhau
a. Định nghĩa
Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường
thẳng không thuộc một mặt phẳng và không có
điểm chung nào.
b. Điều kiện hai đường thẳng chéo nhau trên
đồ thức (Hình 2.18)
Hình 2.18. Hai đường thẳng chéo nhau
K
1
a
1
a
2
I
2
x
b
1
b
2
⊥/
≡
≡
⇔
xIK
Iba
Kba
nhau chéo b vàa
21
222
1
11
∩
∩
c. Khái niệm cặp điểm đồng tia chiếu (Hình 2.19)
* Cặp điểm đồng tia chiếu bằng
- Cặp điểm I
a
(I
1
a
,I
2
a
) ; I
b
(I
1
b
,I
2
b
) gọi là cặp điểm
đồng tia chiếu bằng.
- I
1
a
cao hơn I
1
b
nên: I
2
a
thấy, I
2
b
khuất.
* Cặp điểm đồng tia chiếu đứng
-Cặp điểm K
a
(K
1
a
,K
2
a
); K
b
(K
1
b
,K
2
b
) gọi là cặp
điểm đồng tia chiếu đứng.
- K
2
a
xa hơn K
2
b
nên: K
1
a
thấy, K
1
b
khuất.
Hình 2.19.
Các cặp điểm đồng tia chiếu
b
2
a
2
II ≡
b
1
a
2
x
a
1
b
2
b
1
I
b
1
a
1
KK ≡
a
2
K
b
2
K
∈
∈
⇒≡
1
b
1
1
a
1
b
2
a
2
bI
aI
II
∈
∈
⇒≡
2
b
2
2
a
2
b
1
a
1
bK
aK
KK
a
1
I
VI. Hai đường thẳng vuông góc
1. Định lý về điều kiện một góc vuông được chiếu
thành một góc vuông (Hình 2.20)
- Cho mặt phẳng П và góc xOy, x’O’y’ là hình
chiếu vuông góc của xOy lên mặt phẳng П.
- Nếu hai trong ba điều kiện sau đây được thỏa
mãn thì điều kiện còn lại được thỏa mãn:
Hình 2.20. Định lý về điều kiện một góc
vuông được chiếu thành một góc vuông.
∏∏⊥/
°=
°
=
Oy// ,Ox 3)
90y'O' x'2)
90 xOy)1
O’
y’
O
x’
x
y
a)
П
2. Chuyển sang đồ thức
- Trên đồ thức, để một góc vuông trong không gian được giữ nguyên là vuông thì
một trong hai cạnh của góc phải là đường thẳng đồng mức (đường bằng, đường mặt,
đường cạnh).
Hình 2.21. Ví dụ 1
I
1
a
1
a
2
I
2
x
h
1
h
2
I
1
b
1
b
2
I
2
x
f
1
f
2
Hình 2.22. Ví dụ 2
Ví dụ 1: (Hình 2.21)
Ví dụ 2: (Hình 2.22)
°=⇔
∏
°=
90hIa
//h
90aIh
222
2
°=⇔
∏
°=
90fKb
//f
90bKf
111
1
Hình 2.23. Ví dụ 3
a
1
a
2
x
h
1
h
2
b
1
b
2
x
f
1
f
2
Hình 2.24. Ví dụ 4
Ví dụ 3: (Hình 2.23)
(a và h chéo nhau)
Ví dụ 4: (Hình 2.24)
(b và f chéo nhau)
22
2
ha
//h
ha
⊥⇔
∏
⊥
11
1
fb
//f
fb
⊥⇔
∏
⊥
Chương 3
Mặt phẳng
I. Đồ thức của một mặt phẳng
Trên đồ thức có 4 cách để xác định một mặt phẳng
A
1
l
1
l
2
A
2
A
1
A
2
B
1
B
2
C
1
C
2
Hình 3.1.Đồ thức của mặt phẳng
I
1
b
1
b
2
I
2
a
1
a
2
d
1
d
2
c
1
c
2
a)
d)
c)
b)
Chú ý:
Từ cách xác định mặt phẳng này có thể chuyển đổi
thành cách xác định khác. Do đó phương pháp giải bài
toán không phụ thuộc vào cách cho mặt phẳng.
II. Vết của mặt phẳng
Vết của mặt phẳng là giao tuyến của của mặt phẳng đó với các mặt phẳng hình chiếu.
Cho mặt phẳng (α):
* Vết đứng m: m ≡ (α) ∩ П
1
* Vết bằng n: n ≡ (α) ∩ П
2
* Vết cạnh p: p ≡ (α) ∩ П
3
Để phân biệt các mặt phẳng ta viết tên vết của mặt phẳng kèm theo tên của mặt phẳng đó.
Ví dụ: Mặt phẳng (α) → -Vết đứng : m
α
-Vết bằng : n
α
-Vết cạnh : p
α
x
Π
1
Π
3
y
Π
2
p
m
n
z
x
z
y
O
m
=
m
1
p
=
p
3
n
=
n
2
m
2
=n
1
=p
2
p
1
Hình 3.2. Vết của mặt phẳng
O
y
m
α
n
α
p
α
α
- Ta có thể cho mặt phẳng bởi các vết của nó. Mặt phẳng có hai vết cắt nhau tại
α
x
∈ x (Hình 3.3a,b) hoặc mặt phẳng có vết song song với trục x (Hình 3.3c)
- Thông thường người ta chỉ thể hiện vết đứng và vết bằng của mặt phẳng
- Để chỉ vết đứng và vết bằng của mặt phẳng người ta có thể dùng ký hiệu m
1
, m
2
và n
1
,n
2
(Hình 3.3a)
- Để chỉ vết đứng và vết bằng của mặt phẳng α ta kèm theo tên của mặt phẳng đó
ký hiệu m
α
, n
α
(Hình 3.3b,c)
x
m
1
n
2
x
m
α
n
α
α
x
x
m
α
n
α
a)
c)
b)
Hình 3.3. Một số cách cho mặt phẳng bằng vết trên đồ thức
α
x
m
2
=n
1
=x
⇒
Ví dụ: Xác định vết của mặt phẳng α (a,b) được cho trên
đồ thức, a cắt b tại I. (Hình 3.4)
Hình 3.4. Ví dụ
tìm vết của một
mặt phẳng
α
x
m
α
a
2
b
1
a
1
b
2
M’
1
M
1
M’
2
M
2
I
1
I
2
N
1
N
2
N’
1
N’
2
x
Giải:
- Nhận xét mặt phẳng (α) đi qua a và b do đó vết
của mặt phẳng (α) đi qua vết của các đường thẳng
a và b.
+ Tìm vết đứng M(M
1
,M
2
) của đường thẳng a
+ Tìm vết đứng M’(M’
1
,M’
2
) của đường thẳng b
m
α
đi qua M
1
, M’
1
+ m
α
∩ x ≡ α
x
+ Tìm vết bằng N(N
1
,N
2
) của a
+ Vết bằng n
α
đi qua α
x
và N
2
}
n
α
Chú ý:
Không cần tìm vết bằng
N’(N’
1
,N’
2
) của đường thẳng b
vì α
x
, N
2
, N’
2
thẳng hàng
*Tính chất :
-Vết bằng
-
- m
α
, x = (α) , П
2
= φ (Hình 3.5)
α
∈⇔α∈ mCBA)(ABC 111
xn
⊥
α
III. Các mặt phẳng có vị trí đặc biệt (đối với mặt phẳng hình chiếu)
1. Các mặt phẳng chiếu (là các mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu)
a. Mặt phẳng chiếu đứng
* Định nghĩa: Mặt phẳng chiếu đứng là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng П
1
.
Ví dụ: Mặt phẳng
Hình 3.5. Mặt phẳng chiếu đứng
xn
⊥
α
Π
1
x
C
1
C
2
x
A
1
A
2
φ
C
A
1
C
1
m
α
Π
2
φ
A
B
n
α
B
1
B
2
B
1
m
α
n
α
1
)(
∏
⊥
α
α
x
α
1
Chú ý:
m
α
là hình chiếu đứng của mặt
phẳng chiếu đứng (α) nên
thường thay m
α
bởi α
1
xm
⊥
β
b. Mặt phẳng chiếu bằng
* Định nghĩa: Mặt phẳng chiếu bằng là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng П
2
.
Ví dụ: Mặt phẳng
Hình 3.6. Mặt phẳng chiếu bằng.
* Tính chất :
-Vết đứng
-
- n
β
, x = (β) , П
1
= φ (Hình 3.6)
β
∈
⇔
β
∈
nCBA)(ABC
222
Π
1
x
C
1
C
2
x
A
1
A
2
C
A
B
h
1
Π
2
A
2
n
β
φ
C
2
B
2
m
β
B
1
B
2
n
β
φ
m
β
2
)( ∏⊥β
β
x
β
2
Chú ý: n
β
là hình chiếu bằng
của mặt phẳng chiếu bằng (β)
nên thường thay n
β
bởi β
2.
3
)( ∏⊥γ
γ
∈⇔γ∈− pCBA)(ABC
333
c. Mặt phẳng chiếu cạnh
* Định nghĩa: Mặt phẳng chiếu cạnh là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hì
nh
chiếu cạnh П
3
.
Ví dụ: Mặt phẳng
*Tính chất :
x
C
3
Π
1
Π
3
z
y
x
A
3
z
C
3
A
1
C
1
O
B
1
α
β
p
γ
A
3
O
B
3
α
β
p
γ
Π
2
A
C
B
m
γ
n
γ
m
γ
n
γ
B
3
y
y
Hình 3.7. Mặt phẳng chiếu cạnh.
α
=
∏
γ
=
−
γ 1
,z,p
x//n ,x//m
γγ
−
β
=
∏
γ
=
−
γ 2
,y,p
γ
x//m
α
−
2. Các mặt phẳng đồng mức (là các mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu)
a. Mặt phẳng bằng
* Định nghĩa: Mặt phẳng bằng là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng П
2
.
Ví dụ: Mặt phẳng (α)//П
2
*Tính chất :
Π
1
x
B
1
B
2
x
A
1
A
2
C
2
Hình 3.8. Mặt phẳng bằng.
B
A
1
A
B
1
α
αα
α
Π
2
A
2
C
B
2
C
1
m
α
m
α
C
1
C
2
Chú ý: (α)//П
2
do đó (α) П
1 ,
cho nên (α) cũng là mặt phẳng chiếu đứng.
ABC
CBA)(ABC
222
=⇔α∈−
⊥
⊥⊥
⊥
α
1
ABC
CBA)(ABC
111
=
==
=⇔
⇔⇔
⇔∈
∈∈
∈−
−−
− β
b. Mặt phẳng mặt
* Định nghĩa: Mặt phẳng mặt là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng П
1
.
Ví dụ: Mặt phẳng (β)//П
1
*Tính chất :
Hình 3.9. Mặt phẳng mặt
Π
1
x
C
1
C
2
x
A
1
A
2
C
A
1
C
1
Π
2
A
2
β
B
2
A
B
B
1
C
2
B
1
B
2
n
β
n
β
Chú ý: (β)//П
1
do đó (β) П
2 ,
cho nên (β) cũng là mặt phẳng chiếu bằng.
⊥
⊥⊥
⊥
x//n
β
−
−−
−
β
2
ABC
CBA)(ABC
333
=
==
=⇔
⇔⇔
⇔∈
∈∈
∈−
−−
− γ
.xnxm , ⊥
⊥⊥
⊥⊥
⊥⊥
⊥−
−−
−
γγ
c. Mặt phẳng cạnh
* Định nghĩa: Mặt phẳng cạnh là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh П
3
.
Ví dụ: Mặt phẳng (γ)// П
3
*Tính chất :
Hình 3.10. Mặt phẳng cạnh
x
Π
1
Π
3
y
A
3
B
3
z
O
p
3
Π
2
B
C
2
A
1
p
B
2
B
1
A
A
2
C
C
1
C
3
γ
m
γ
n
γ
m
γ
n
γ
x
A
2
B
3
y
A
3
B
1
O
A
1
C
2
B
2
C
3
C
1
y
z
(γ) vừa là mặt phẳng chiếu đứng vừa là mặt phẳng chiếu bằng.
⇒
⇒⇒
⇒
∏
∏∏
∏⊥
⊥⊥
⊥
∏
∏∏
∏⊥
⊥⊥
⊥
⇒
⇒⇒
⇒∏
∏∏
∏
2
1
3
)(
)(
//)(
γ
γ
γ
Chú ý:
IV. Đường thẳng và điểm thuộc mặt phẳng (bài toán liên thuộc)
1. Bài toán cơ bản 1
Cho mặt phẳng α(a,b), a cắt b tại I, một đường thẳng l thuộc mặt phẳng (α) đó.
Biết hình chiếu đứng l
1
, tìm hình chiếu bằng l
2
(Hình 3.11)
Hình 3.11. Bài toán cơ bản 1.
I
1
b
1
b
2
I
2
a
1
1
2
l
1
l
2
1
1
2
1
a
2
2
2
b
1
b
2
I
2
a
1
1
2
l’
1
l’
2
2
1
a
2
2
2
a) l
1
cắt cả hai đường a
1
b
1
- Dựa vào các điểm 1(1
1
,1
2
); 2(2
1
,2
2
)
b
1
b
2
I
2
a
1
1
2
l
1
l
2
1
1
a
2
I
1
I
1
1
1
K
2
K
1
b) l
1
đi qua I
1
- Dùng đường thẳng l’(l’
1
,l’
2
)
K∈ l’→l qua IK
c) l
1
song song với một trong
hai đường a
1
hoặc b
1
- VD: l
1
//b
1
- Dựa vào điểm 1(1
1
,1
2
)
l
2
đi qua 1
2
, l
2
//b
2
l
1
l
2
Ví dụ 1: Mặt phẳng α( m
α
, n
α
) . Biết l
1
, tìm l
2
(Hình 3.12)
Giải:
- Lấy M
1
≡ l
1
∩
m
α
→
M
2
∈ x
- L
ấy N
1
≡ l
1
∩
x → N
2
∈ n
α
- l
2
qua M
2
và N
2
là đường thẳng cần tìm
Hình 3.12. Ví dụ về bài toán cơ bản 1
M
2
l
1
l
2
M
1
N
1
N
2
m
α
n
α
x
Chú ý:
- Sử dụng vết của đường thẳng và mặt phẳng
- Ví dụ này dành cho các bài toán mặt phẳng (α) cho bởi vết
2. Bài toán cơ bản 2
Ví dụ 1: Cho mặt phẳng α(a,b), a cắt b tại I,
điểm K thuộc mặt phẳng α đó.
Biết hình chiếu đứng K
1
, tìm hình
chiếu bằng K
2
. (Hình 3.13)
Giải:
- Gắn điểm K vào một đường thẳng l∈(α)
- Khi đó l
1
qua K
1
. Tìm l
2
?
(
Bài toán cơ bản 1)
- K
2
∈ l
2
(Điểm thuộc đường thẳng)
Hình 3.13. Bài toán cơ bản 2
b
1
b
2
I
2
a
1
1
2
l
1
l
2
2
1
a
2
2
2
I
1
1
1
K
2
K
1
Ví dụ 2: Cho mặt phẳng α(m
α
, n
α
).
Điểm K thuộc (α). Biết K
1
, tìm K
2
(Hình 3.14)
Giải:
- Gắn K vào đường thẳng a∈(α)
→ a
1
qua K
1
. Tìm K
2
?
- K
2
∈ a
2
Hình 3.14. Ví dụ về bài toán cơ bản 2
α
x
a
1
a
2
M
1
M
2
N
1
N
2
x
K
1
K
2
Chú ý:
Trong hai bài toán cơ bản trên,
nếu cho hình chiếu bằng của
đường thẳng và của điểm, tìm
hình chiếu đứng của chúng, ta
cũng làm tương tự.
m
α
n
α
V. Các đường thẳng đặc biệt của mặt phẳng
1. Đường bằng của mặt phẳng
* Định nghĩa: Đường bằng của mặt phẳng là đường thẳng thuộc mặt phẳng đó và song
song v
ới mặt phẳng hình chiếu bằng П
2
.
Ví dụ: Cho mặt phẳng (α) và h là đường bằng của (α). Khi đó h∈(α) và h//П
2.
(Hình 3.15)
Π
1
x
x
h
1
h
2
//
n
α
Hình 3.15. Đường bằng của mặt phẳng
h
Π
2
m
α
n
α
m
α
n
α
α
h
1
h
2
Chú ý:
Nếu mặt phẳng (α) cho bởi vết m
α
, n
α
thì đường bằng song song
với vết bằng, do đó trên đồ thức h
2
//n
α
.
Ví dụ: Cho mặt phẳng α (a,b), trong đó
a//b. Vẽ đường bằng h thuộc (α) sao cho
h có độ cao bằng 3cm. (Hình 3.16)
Giải:
- V
ẽ h
1
//x, h
1
cách x một khoảng bằng
3 cm sao cho h
1
ở
phía trên trục x
(vì
độ cao dương).
- Tìm h
2
: Bài toán cơ bản thứ nhất.
Hình 3.16. Ví dụ đường bằng của mặt phẳng.
b
1
b
2
a
1
a
2
1
2
2
1
2
2
1
1
h
1
h
2
3cm
x
2. Đường mặt của mặt phẳng
*Định nghĩa: Đường mặt của mặt phẳng là đường thẳng thuộc mặt phẳng đó và
song song v
ới mặt phẳng hình chiếu đứng.
Ví dụ: Cho mặt phẳng (α) và f là đường mặt của (α). Khi đó f∈
∈∈
∈(α) và f//П
1
. (Hình 3.17)
Hình 3.17. Đường mặt của mặt phẳng
Π
1
x
x
f
1
/
/
m
α
f
2
f
Π
2
m
α
n
α
m
α
n
α
α
f
1
f
2
Chú ý:
Nếu mặt phẳng (α) cho bởi vết m
α
, n
α
thì đường mặt song song
với vết đứng, do đó trên đồ thức f
1
//m
α
.
VI. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
1. Hai mặt phẳng song song
a. Định nghĩa
Hai mặt phẳng song song là hai mặt phẳng
không có điểm chung nào.
b. Định lý
Nếu trong mặt phẳng này có chứa hai
đường thẳng cắt nhau tương ứng song song
v
ới hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng
khác thì hai m
ặt phẳng đó song song với nhau.
Giả thiết:
a,b∈(α) ; a∩b ≡ O
a’,b’∈(
β) ; a’∩b’ ≡ O’
a//a’ ; b//b’
Kết luận: (α)//(β)
{
Chú ý: Định lý này dùng để chứng
minh hai mặt phẳng song song, đồng
thời dể dựng hai mặt phẳng song song.
α
β
a
a’
b
b’
Hình 3.21. Hai mặt phẳng song song
O
O’
Ví dụ 2: Cho α(m
α
, n
α
) , I(I
1
,I
2
).
Qua I dựng mặt phẳng (β) // (α). (Hình 3.23)
Giải:
- Qua I dựng đường bằng h∈(β):
Vì (
β)//(α) nên: h
2
//n
α
; I
2
∈h
2
h
1
//x; I
1
∈h
1
- Tìm M(M
1
,M
2
) là vết đứng của đường bằng h:
M
2
≡
h
2
∩
x ⇒ Μ
1
∈h
1
-Vì (β) // (α) nên: m
β
//m
α
; M
1
∈ m
β
n
β
//n
α
x
h
1
h
2
m
α
n
α
I
1
I
2
M
1
M
2
m
β
n
β
Hình 3.23. Ví dụ 2:
Qua I dựng mặt phẳng (β)//(α)
Chú ý: Nếu hai mặt phẳng (không phải là mặt phẳng chiếu cạnh) song song với nhau
được cho bởi vết, thì các vết tương ứng của chúng song song nhau (m
α
//m
β
; n
α
//n
β
).
Khi hai mặt phẳng đã song song thì các đường thẳng đặc biệt tương ứng của hai
mặt phẳng đó cũng song song nhau.
2. Hai mặt phẳng cắt nhau
Vấn đề đặt ra: Vẽ giao tuyến của hai mặt phẳng
Bái toán: Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước.
Ví dụ 1: Cho α(α
1
) , β(β
2
) (Hình 3.24)
Giải:
- (α) là mặt phẳng chiếu đứng nên g
1
≡ α
1
- (β) là mặt phẳng chiếu bằng nên g
2
≡ β
2
β
2
α
1
g
1
g
2
x
Hình 3.24. Vẽ giao tuyến g của hai mặt
phẳng (α) và (β) cho trước.
Cho α(α
1
) , β(β
2
)
Bái toán: Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước.
Ví dụ 2: Cho α(α
1
) , β(β
1
) (Hình 3.25)
Giải:
- (α) là mặt phẳng chiếu đứng nên g
1
≡ α
1
- (β) là mặt phẳng chiếu đứng nên g
1
≡ β
1
-
Ta có: g là đường thẳng chiếu đứng:
+ g
1
≡ α
1
∩ β
1
+ g
2
⊥
x
β
1
α
1
g
1
g
2
x
1
1
1
g
)(
)(
∏⊥⇒
∏⊥β
∏⊥α
Hình 3.25. Vẽ giao tuyến g của hai mặt
phẳng (α) và (β) cho trước.
Cho α(α
1
) , β(β
1
)
Bái toán: Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước.
Ví dụ 3: Cho α(α
1
) , β(ABC) (Hình 3.26)
Giải:
- (α) là mặt phẳng chiếu đứng nên g
1
≡ α
1
- Để tìm g
2
quy về bài toán đường thẳng
thu
ộc mặt phẳng
A
1
B
1
A
2
C
2
B
2
C
1
1
2
1
1
2
1
2
2
g
1
≡
g
2
Hình 3.26. Vẽ giao tuyến g của hai mặt
phẳng (α) và (β) cho trước.
Cho α(α
1
) ,β(ABC)
α
1
Bái toán: Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước.
Ví dụ 4: Cho α(α
2
) , β(m
β
,n
β
) .(Hình 3.27)
Giải:
- (α) là mặt phẳng chiếu bằng nên g
2
≡ α
2
- Để tìm g
1
quy về bài toán đường thẳng
thu
ộc mặt phẳng
x
Hình 3.27. Vẽ giao tuyến g của hai mặt
phẳng (α) và (β) cho trước.
Cho α(α
1
) , β(m
β
,n
β
)
m
β
α
2
N
1
N
2
M
1
M
2
g
1
g
2
≡
n
β
Bái toán: Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước.
Ví dụ 5: Cho α(m
α
,n
α
) , β(m
β
,n
β
) . (Hình 3.28)
Đây l
à trường hợp tổng quát, chưa biết hình chiếu nào
c
ủa giao tuyến. Ta phải tìm hai điểm chung phân biệt
c
ủa hai mặt phẳng đó
Giải:
- Tìm hai điểm chung M, N của
m
ặt phẳng (α) và mặt phẳng (β):
+ M
1
≡
m
α
∩
m
β
⇒
Μ
2
∈x
+ N
2
≡
n
α
∩
n
β
⇒
Ν
1
∈x
- g
1
đi qua c
ác điểm M
1
và N
1
- g
2
đi qua c
ác điểm M
2
và N
2
Ta có g(g
1
,g
2
) ≡ α(m
α
,n
α
) ∩ β(m
β
,n
β
)
x
m
α
N
1
N
2
M
1
M
2
g
1
g
2
n
α
m
β
n
β
Hình 3.28. Vẽ giao tuyến g của hai mặt
phẳng (α) và (β) cho trước.
Cho α(m
α
,n
α
) , β(m
β
,n
β
)
Ví dụ 6: Cho α(a,b) , β(c,d), a∩b=I, c//d.
Giải:
Dùng phương pháp mặt phẳng phụ (trợ). (Hình 3.29)
Giả sử cho hai mặt phẳng (α), (β).
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng đó
bằng phương pháp mặt phẳng phụ (trợ) như sau:
- Lấy mặt phẳng (φ) cắt cả (α) và (β).
- Gọi: k ≡ (φ)∩(α)
l ≡ (φ)∩(β)
J ≡ k∩l
Ta có J là điểm chung thứ nhất của mặt
phẳng (α) và (β).
- Lấy mặt phẳng (φ’) cắt cả (α) và (β).
- Gọi: k’ ≡ (φ’)∩(α’)
l’ ≡ (φ’)∩(β’)
J’ ≡ k’∩l’
Ta có J’ là điểm chung thứ hai của mặt
phẳng (α) và (β).
Dựng đường thẳng g đi qua J và J’ thì g≡ (α) ∩ (β).
Hình 3.29. Phương pháp mặt phẳng phụ
Chú ý:
(φ) và (φ’) là các mặt phẳng chiếu.
Lấy (φ’) // (φ) thì k’//k, l’//l
α
g
l
β
k
J
φ
k’
l’
φ’
J’
Ví dụ 6: Cho α(a,b) , β(c,d), a∩b=I, c//d.
C
2
D
2
x
C
1
d
1
d
2
c
2
c
1
D
1
A
1
B
1
E
1
F
1
a
1
b
1
a
2
b
2
A
2
B
2
E
2
F
2
J’
1
(φ
1
)
(φ’
1
)
J
1
J
2
J’
2
Hình 3.30. Vẽ giao tuyến g của mặt phẳng α(a,b) và β(c,d) bằng phương pháp mặt phẳng phụ
g
1
g
2
k
1
k
2
k’
1
k’
2
l
1
l
2
l’
1
l’
2
VI. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
1. Đường thẳng và mặt phẳng song song
a. Định nghĩa
Một đường thẳng được gọi là song song với một mặt phẳng khi đường thẳng và mặt
ph
ẳng đó không có điểm chung nào (Hình 3.31).
b. Định lý
Điề
u kiện cần và đủ để một đường thẳng song song với một mặt phẳng là
đườ
ng thẳng đó song song với một đường thẳng thuộc mặt phẳng.
α
a
b
a//(α) a//b ; b∈
∈∈
∈(α)
Hình 3.31. Đường thẳng và mặt phẳng song song.
2. Đường thẳng và mặt phẳng cắt nhau
Vấn đề đặt ra:
Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.
Bài toán: Hãy tìm giao điểm của đường thẳng l và
mặt phẳng (α)
.
Ví dụ 1: Cho l(l
1
,l
2
), α(α
2
) . (Hình 3.33)
Giải:
(α) ⊥ П
2
⇒ K
2
∈ α
2
Mà K
2
∈ l
2
⇒ K
1
∈ l
1
⇒ K(K
1
,K
2
) ≡ l ∩(α)
l
2
α
2
l
1
x
K
1
K
2
222
lK
α
∩≡⇒
Hình 3.33. Ví dụ tìm giao điểm củ
a
đường thẳng và mặt phẳng. Cho l(l
1
,l
2
), α(α
2
)
Bài toán: Hãy tìm giao điểm của đường thẳng l và mặt phẳng (α)
Ví dụ 2: Cho l vuông góc với П
1
, mặt phẳng α(a,b) (Hình 3.34).
Giải:
- l ⊥ П
1
⇒ K
1
≡ l
1
- Tìm K
2
đưa về
bài toán cơ bản 1
(đ
iểm thuộc mặt phẳng)
⇒ K
2
≡ l’
2
∩l
2
l
2
a
2
l
1
x
K
1
≡
K
2
b
2
a
1
b
1
Hình 3.34. Ví dụ tìm giao điểm của
đường thẳng và mặt phẳng.
Cho l
⊥
П
1
, α(a,b)
l’
1
l’
2
1
2
2
2
1
1
2
1
Bài toán: Hãy tìm giao điểm của đường thẳng l và mặt phẳng (α).
Ví dụ 3: Cho l(l
1
,l
2
), mặt phẳng α(ABC). Tìm giao điểm của l và (α).
Giải:
- Dùng phương pháp mặt phẳng phụ (trợ): (Hình 3.35)
+ Lấy mặt phẳng (φ) chứa đường thẳng l
+ Tìm giao tuyến g của (φ) và (α)
+ L
ấy K ≡ l ∩ g thì K ≡ l ∩ (α)
Hình 3.35. Phương pháp mặt phẳng phụ (trợ).
g
l
K
α
φ
Chú ý:
Áp dụng trên đồ thức, ta chọn mặt
phẳng phụ (φ) là
mặt phẳng chiếu để
dễ dàng tìm được giao tuyến phụ g.
Bài toán: Hãy tìm giao điểm của đường thẳng l
và mặt phẳng (α)
Ví dụ 4: Cho l(l
1
,l
2
), mặt phẳng α(ABC).
(Hình 3.36)
Giải:
- Dùng phương pháp mặt phẳng phụ
Tìm được K ≡ l ∩ (α)
* Xét th
ấy khuất đường thẳng l với mặt
ph
ẳng (ABC)
-Xét c
ặp điểm đồng tia chiếu (P
1
l
,P
2
l
) và
(
P
1
BC
, P
2
BC
):
P
1
l
∈
l
1
; P
1
BC
∈
B
1
C
1
; P
2
l
≡ P
2
BC
Trên hình chi
ếu đứng P
1
l
cao h
ơn P
1
BC
⇒
trên hình chiếu bằng P
2
l
th
ấy, P
2
BC
khu
ất
⇒ P
2
l
K
2
th
ấy.
- Xét c
ặp điểm đồng tia chiếu (1
1
,1
2
) (1
1
l
,1
2
l
)
Trên hình chi
ếu bằng: 1
2
xa hơn 1
2
l
⇒
trên hình chiếu đứng : 1
1
thấy, 1
1
l
khu
ất ⇒
1
1
l
K
1
khu
ất.
A
1
B
1
A
2
C
2
B
2
C
1
1
2
1
1
2
1
2
2
φ
1
≡
l
1
K
1
K
2
l
2
P
P
BC
2
l
2
≡
P
l
1
P
BC
1
g
2
≡
g
1
Hình 3.36. Ví dụ tìm giao điểm của đường
thẳng l(l
1
,l
2
) và mặt phẳng α(ABC).
≡ 1
1
l
1
2
l
Bài toán: Hãy tìm giao điểm của đường thẳng l và mặt phẳng (α).
Ví dụ 5: Cho l(l
1
,l
2
), mặt phẳng α(m
α
,n
α
).
(Hình 3.37)
Giải:
Dùng phương pháp mặt phẳng phụ:
- L
ấy (φ) chứa l (φ
1
≡ l
1
)
- (
φ) ∩ (α) ≡ g : g
1
≡ φ
1
≡ l
1
- Tìm g
2
(Bài toán cơ bản 1)
- L
ấy K
2
≡ l
2
∩ g
2
→
K
1
∈ l
1
⇒ K(K
1
,K
2
) ≡ l ∩(α)
x
l
1
N
1
N
2
M
2
M
1
g
2
K
1
K
2
l
2
m
α
n
α
Hình 3.37. Ví dụ tìm giao điểm củ
a
đường thẳng và mặt phẳng.
Cho l(l
1
,l
2
), α(m
α
,n
α
).
Chú ý:
Nếu lấy (φ) là mặt phẳng chiếu bằng
(φ
2
≡ l
2
) thì ta cũng làm tương tự.
φ
1
≡
≡
g
1
VII. Đường thẳng và mặt phẳng vuông góc
1. Định nghĩa
Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt
phẳng khi đường thẳng đó vuông góc với tất cả các đường
thẳng nằm trong mặt phẳng (Hình 3.38.a).
2. Định lý
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường
th
ẳng cắt nhau của một mặt phẳng thì đường thẳng đó
vuông góc v
ới mặt phẳng (Hình 3.38.b).
3. Chuyển sang đồ thức
- Dựa vào định lý, ta chọn hai đường thẳng cắt nhau
c
ủa mặt phẳng là đường đồng mức (đường bằng, đường
m
ặt, đường cạnh).
- N
ếu mặt phẳng không phải mặt phẳng chiếu cạnh mà
cho b
ởi vết đứng, vết bằng, thì ta dùng hai đường thẳng
c
ắt nhau của mặt phẳng chính là vết đứng và vết bằng đó.
)
(
a
)
(
α
∈
∀
⊥
⇔
α
⊥
l
l
Hình 3.38. Đường thẳng và
mặt phẳng vuông góc.
α
β
a
a
l
b
O
l
a)
b)
4. Ví dụ
Ví dụ 1: Cho mặt phẳng α(ABC), I(I
1
, I
2
).
Tìm hình chiếu vuông góc H(H
1
, H
2
) của điểm I
lên mặt phẳng (α).(Hình 3.39)
Giải:
- Vẽ đường bằng Ah (A
1
h
1
, A
2
h
2
)
- V
ẽ đường mặt Cf (C
1
f
1
, C
2
f
2
)
- Qua I v
ẽ l ⊥ α(ABC):
+V
ẽ I
1
l
1
⊥
C
1
f
1
+ Vẽ I
2
l
2
⊥
A
2
h
2
- Tìm H(H
1
, H
2
) ≡ l ∩ α(ABC)
(Bài toán giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng)
Ta có : H là hình chiếu vuông góc của điểm I lên
m
ặt phẳng α(ABC)
h
1
A
1
B
1
A
2
C
2
B
2
C
1
1
1
≡ φ
1
l
1
I
1
I
2
l
2
g
2
≡ g
1
h
2
D
1
D
2
E
2
E
1
H
1
H
2
2
1
2
2
1
2
f
1
f
2
Hình 3.39. Tìm hình chiếu vuông góc H(H
1
, H
2
) của
điểm I lên mặt phẳng (α).
Ví dụ 2: Cho mặt phẳng α(m
α
,n
α
).
Đường thẳng a(a
1
,a
2
).
Hãy dựng mặt phẳng (β) sao cho (β) đi
qua a và vuông góc với (α). (Hình 3.41)
Định lý: Điề
u kiện cần và đủ để hai mặt phẳng
vuông góc v
ới nhau là trong mặt phẳng này
có ch
ứa một đường thẳng vuông góc với
m
ặt phẳng kia.
Áp dụng:
- Trên đường thẳng a lấy điểm I
- V
ẽ đường thẳng Ib ⊥ α(m
α
, n
α
)
-
β(a,b) là mặt phẳng qua a và β(a,b) ⊥ α(m
α
, n
α
)
x
b
2
m
α
n
α
I
1
I
2
b
1
a
2
a
1
Hình 3.41. Dựng mặt phẳng (β) sao cho (β) đi qua
a và vuông góc với (α)
Chương 4
Các phép biến đổi
Đặt vấn đề:
Mục đích của các phép biến đổi là đưa các yếu tố hình học ở vị
trí tổng quát về vị trí đặc biệt để thuận lợi cho việc giải các bài toán.
Dưới đây là một số phương pháp biến đổi.
I. Thay mặt phẳng hình chiếu
1. Thay một mặt phẳng hình chiếu
a. Thay mặt phẳng П
1
thành mặt phẳng П’
1
Điều kiện:
* Xây dựng phép thay mặt phẳng hình chiếu:
- Gọi x’ ≡ П’
1
∩П
2
là trục hình chiếu mới.
- Giả sử điểm A trong hệ thống (П
1
, П
2
) có hình chiếu
là (A
1
, A
2
).
- Chiếu vuông góc điểm A lên П’
1
ta có hình chiếu A’
1
.
Cố định П
2
xoay П’
1
quanh trục x’cho đến khi П’
1
≡П
2
.
( Chiều quay xác định như trên hình 4.1).
- Ta nhận được đồ thức của điểm A trong hệ thống
(П’
1
, П
2
), A’
1
là hình chiếu đứng mới của điểm A.
*Tính chất:
- Trên hệ thống mặt phẳng hình chiếu mới (П’
1,
П
2
):
Gọi A’
x
≡ A’
1
A
2
∩ x’
+ A’
1
, A’
x
, A
2
cùng nằm trên một đường dóng
vuông góc với x’
+ A’
x
A’
1
=A
x
A
1
(Độ cao điểm A không thay đổi)
21
' ∏⊥∏
A
1
x
A
x
A
2
x’
A’
1
A’
x
Π
1
Π
2
Π
2
Π
’
1
Hình 4.1.a,b Thay mặt phẳng П
1
thành mặt phẳng П’
1
a)
b)
x
Π
1
Π
2
A
1
A’
1
A
2
Π’
1
A
A’
1
A’
x
x’
A
x
Ví dụ 1: Cho đoạn thẳng AB (A
1
B
1
,A
2
B
2
).
Tìm độ lớn thật và góc nghiêng của đoạn thẳng
AB đối với П
2
.
Giải:
Dựa vào tính chất của đường mặt:
-
AB đã cho ở vị trí bất kỳ.
- Thay
П
1
thành П’
1
sao cho trong hệ thống mới
(
П’
1
, П
2
) đoạn thẳng AB là đường mặt.
Khi đó hình chiếu đứng mới A’
1
B’
1
là độ lớn
th
ật của AB và A’
1
B’
1
,x’ = φ là góc giữa AB với
П
2
.
-
Để thực hiện:
+ Ch
ọn x’//A
2
B
2
+ Tìm A’
1
B’
1
(dựa vào tính chất).
-
Chú ý : Độ cao các điểm A’
1
, B’
1
.
A
1
x
A
x
A
2
x’
A’
1
A’
x
Π
1
Π
2
Π
2
Π
’
1
B
1
B
2
B’
1
B’
x
B
x
φ
Đ
L
T
:
A
B
Hình 4.2. Ví dụ: Tìm độ lớn thật và góc
nghiêng của đoạn thẳng AB đối với П
2
b. Thay mặt phẳng П
2
thành mặt phẳng П’
2
Điều kiện:
Cách xây d
ựng như thay П
1
thành П’
1
* Bài toán:
Cho điểm A (A
1
,A
2
).
Hãy tìm hình chi
ếu mới của điểm A trong
phép thay m
ặt phẳng hình chiếu П
2
thành П’
2
biết trước trục x’ là giao của П’
2
với П
1
. (Hình 4.3)
*Tính chất:
- Trên hệ thống mặt phẳng hình chiếu mới (П
1,
П’
2
)
+ A
1
A’
x
A’
2
cùng nằm trên một đường dóng
vuông góc v
ới x’
+ A’
x
A’
2
=A
x
A
2
12
' ∏⊥∏
A
1
x
A
x
A
2
Π
1
Π
2
x
’
A’
2
A’
x
Π
1
Π
’
2
Hình 4.3. Thay mặt phẳng П
2
thành П’
2
Ví dụ 2: Tìm hình dạng độ lớn thật của tam
giác ABC được cho trên đồ thức. (Hình 4.4)
Giải:
Dựa vào tính chất của mặt phẳng đồng
m
ức:
- (ABC) đã cho là mặt phẳng chiếu đứng.
- Thay m
ặt phẳng П
2
thành П’
2
sao cho П’
2
//(ABC)
Mu
ốn vậy, chọn trục hình chiếu x’//
A
1
B
1
C
1
.
Tìm A’
2
B’
2
C’
2
?
- K
ết quả ∆A’
2
B’
2
C’
2
là hình dạng độ lớn
th
ật của ∆ABC.
Π
1
Π
2
C
1
C
2
x
A
2
B
2
B
1
A
1
x
’
A’
2
A’
x
Π
1
Π
’
2
B’
2
B’
x
C’
2
C’
x
Hình 4.4.Tìm hình dạng thật của tam giác ABC.
A
x
B
x
C
x
2. Thay hai mặt phẳng hình chiếu
a. Thay mặt phẳng П
1
thành mặt phẳng П’
1
rồi thay П
2
thành П’
2
Điều kiện:
Bài toán: Cho điểm A (A
1
,A
2
).
Hãy tìm các hình chi
ếu mới của điểm
A trong phép thay m
ặt phẳng hình chiếu
П
1
thành П’
1
rồi П
2
thành П’
2
, biết trước
tr
ục x’ là giao của П
2
với П’
1
, trục x” là
giao c
ủa П’
1
với П’
2
. (Hình 4.5)
Giải:
- Tìm A’
1
:
A’
1
A
2
⊥ x’ ; A’
x
A’
1
=A
x
A
1
- Tìm A’
2
:
A’
2
A’
1
⊥ x” ; A”
x
A’
2
=A’
x
A
2
12
21
''
'
∏⊥∏
∏⊥∏
Hình 4.5. Thay mặt phẳng П
1
thành
П’
1
rồi thay П
2
thành П’
2
.
Chú ý: Không được nhầm độ xa A
x
A
2
với A’
x
A
2
.
A
1
x
A
x
A
2
x’
A’
1
A’
x
Π
1
Π
2
Π
2
Π
’
1
x’’
A’
2
A”
x
Π’
2
Π
’
1
Ví dụ 3: Cho đoạn thẳng AB (A
1
B
1
,
A
2
B
2
). Bằng phương pháp thay mặt
phẳng hình chiếu hãy đưa đoạn thẳng AB
về vị trí là đường thẳng chiếu bằng trong
hệ thống mới.(Hình 4.6)
Giải:
- Thay П
1
thành П’
1
để
trong hệ thống
(
П’
1
,П
2
), AB là đường mặt.
+ Mu
ốn vậy, chọn trục x’//A
2
B
2
.
+ Tìm A’
1
B’
1
?
(
Độ cao điểm A âm)
- Thay
П
2
thành П’
2
để
trong hệ thống
(
П’
1
,П’
2
), AB là đường thẳng chiếu bằng.
+ Mu
ốn vậy, chọn trục x”⊥ A’
1
B’
1
.
+ Tìm A’
2
B’
2
?
(
A’
2
≡ B’
2
vì có độ xa bằng nhau, AB chiếu
bằng
).
A
1
x
A
x
A
2
x’
A’
x
Π
1
Π
2
Π
2
Π
’
1
B
1
B
2
B’
1
B’
x
B
x
Π
’
1
Π
’
2
x’’
A”
x
≡ B”
x
A’
2
≡ B’
2
Hình 4.6. Ví dụ 3
Độ cao âm
A’
1
b. Thay mặt phẳng П
2
thành mặt phẳng П’
2
rồi thay П
1
thành П’
1
Điều kiện:
Th
ực hiện phép thay tương tự như mục a.
Bài toán:
Cho điểm A (A
1
,A
2
).
Hãy tìm các hình chi
ếu mới của điểm A
trong phép thay m
ặt phẳng hình chiếu П
2
thành П’
2
rồi П
1
thành П’
1
, biết trước trục x’
là giao c
ủa П’
2
với П
1
, trục x’’ là giao của
П’
1
với П’
2
. (Hình 4.7).
Giải:
Tìm A’
2
:
A
1
A’
2
⊥ x’ ; A’
x
A’
2
=A
x
A
2
Tìm A’
1
:
A’
1
A’
2
⊥ x” ; A’’
x
A’
1
=A’
x
A
1
21
12
''
'
∏⊥∏
∏
⊥
∏
A
1
x
A
x
A
2
Π
1
Π
2
x’
A’
2
A’
x
Π
1
Π
’
2
x’’
A’
1
A’’
x
Π’
1
Π
’
2
Chú ý: Không nhầm độ cao A
1
A’
x
với A
1
A
x
.
Hình 4.7. Thay mặt phẳng П
2
thành П’
2
rồi thay П
1
thành П’
1
Ví dụ 4: Tìm hình dạng, độ lớn thật
của tam giác ABC được cho trên đồ
thức. (Hình 4.8).
Giải:
- Thay П
2
thành П’
2
sao cho trong hệ
thống (П
1
, П’
2
) thì (ABC) là mặt phẳng
chi
ếu bằng.
Mu
ốn vậy, vẽ đường mặt Af.
Ch
ọn trục x’⊥A
1
f
1
.
Tìm A’
2
B’
2
C’
2
?
- Thay
П
1
thành П’
1
sao cho trong hệ
thống (П’
1
, П’
2
) thì (ABC) là mặt phẳng
m
ặt.
Mu
ốn vậy, chọn trục x’//A’
2
B’
2
C’
2
.
Tìm A’
1
B’
1
C’
1
?
- Ta có A’
1
B’
1
C’
1
là hình dạng, độ lớn
th
ật của tam giác ABC.
Π
1
Π
2
C
1
C
2
x
A
2
B
1
A
1
A’
2
A’
x
Π
’
2
Π
’
1
B’
2
B’
x
C’
2
C’
x
B
2
C’
1
A’
1
B’
1
x’’
x’
B
x
C
x
A
x
B”
x
A”
x
C”
x
Π
’
2
Π
1
Hình 4.8. Ví dụ 4: Tìm hình dạng thật của
tam giác ABC.
f
2
f
1
1
1
1
2
Chương 5
Đa diện
I. Biểu diễn đa diện
Để biểu diễn một đa diện, trên đồ thức ta cho các yếu tố đủ để xác định đa diện đó.
Ví dụ: - Hình chóp ta cho đồ thức của đỉnh và đáy. (Hình 5.1.a)
- Lăng trụ ta cho đồ thức của đáy và phương của cạnh bên.(Hình 5.1.b)
Để dễ dàng hình dung đa diện và giải các bái toán, ta nối các đỉnh để tạo nên các cạnh
và m
ặt đa diện, đồng thời xét tương quan thấy khuất giữa các cạnh và các mặt của đa diện.
B
1
A
1
C
1
S
1
A
2
B
2
C
2
S
2
B
1
A
1
C
1
l
1
A
2
B
2
C
2
l
2
Hình 5.1. Biểu diễn đa diện
a)
b)
Ví dụ 1: Cho các điểm M, N, P, Q thuộc các
mặt của hình chóp S.ABC. Biết M
1
, N
1
, P
1
, Q
2
,
tìm hình chiếu còn lại của các điểm đó. (Hình 5.2)
Giải:
* Tìm M
2
:
Ta gắn điểm M vào đường thẳng đi
qua đỉnh S, đó là SE và SE’. Ta có: M
2
và M’
2
* Tìm N
1
:
Gắn điểm N vào đường thẳng SA
* Tìm P
2
: Gắn P vào đường thẳng song song với
c
ạnh đáy của hình chóp. Ví dụ PJ: có P
2
và P’
2
* Tìm Q
1
, ngượ
c lại: Có thể gắn Q vào đường
th
ẳng qua đỉnh S. Ví dụ SI hoặc gắn vào đường
th
ẳng song song cạnh đáy hình chóp.
Lưu ý có một điểm Q’
1
thuộc đáy chóp.
B
1
A
1
C
1
A
2
C
2
S
1
B
2
E ≡E’
1
N
1
N
2
J
2
J
1
Q
2
P
2
P
1
M’
2
M
2
E’
2
E
2
Q
1
Q’
1
I
2
I
1
M
1
P’
2
S
2
Hình 5.2. Ví dụ 1: Tìm M
2
, N
2
. P
2
, Q
1
Ví dụ 2: Cho các điểm M, N, P, Q thuộc
các mặt của lăng trụ. Biết M
1
, N
1
, P
1
, Q
2
,
Tìm hình chiếu còn lại của các điểm đó.
(Hình 5.3)
Giải:
* Tìm M
2
:
Ta gắn điểm M vào đường thẳng
t song song v
ới cạch bên của lăng trụ.
* Tìm N
2
: Gắn điểm N vào đường thẳng a
1
* Tìm P
2
:
Gắn P vào đường thẳng s (s//a,b).
P∈b
⇒ P
1
∈b
1
* Tìm Q
1
, ngượ
c lại: gắn Q vào đường
th
ẳng k (k//a,b)
B
1
A
1
C
1
A
2
B
2
C
2
N
1
N
2
P
2
P
1
P’
2
M
2
M’
2
M
1
G
2
G
1
H
1
H
2
Q
2
Q
1
Q’
1
E
1
≡E’
1
E’
2
E
2
B’
2
Chú ý: Ta cũng có thể tìm hình chiếu các
điểm bằng cách gắn các điểm vào đường
thẳng song song với cạnh đáy lăng trụ.
Hình 5.3. Ví dụ 2: Tìm M
2
, N
2
. P
2
, Q
1
a
1
b
1
k
1
k’
1
c
1
t
1
k
2
t’
2
t
2
s’
2
≡
s
1
b
2
c
2
a
2
≡
s
2
II. Giao tuyến của mặt phẳng và đa diện
Chú ý:
- Trong phạm vi chương trình chỉ nghiên cứu đa diện lồi;
- Giao của một mặt phẳng với một đa diện lồi là một đa giác lồi hay còn gọi là
thiết diện.
Thiết diện này có:
+ Các đỉnh của thiết diện là giao điểm của mặt phẳng cắt với các cạnh của
đa diện.
+ Các cạnh của thiết diện là giao tuyến của mặt phẳng cắt với các mặt của
đa diện.
Ví dụ 1: Tìm giao tuyến của mặt phẳng α(α
1
) với
hình chóp được cho trên hình vẽ. (Hình 5.4)
Giải:
- Nhận xét: (α) là mặt phẳng chiếu đứng, do đó ta
đ
ã biết hình chiếu đứng của giao tuyến là đoạn 1
1
-2
1
-3
1
.
- Tìm hình chi
ếu bằng của giao tuyến ta đưa về bài
toán
điểm thuộc hình chóp.
*
Chú ý:
+ Đoạn 1
2
4
2
khuất.
+ Điểm 3
2
, 2’
2
, 4
2
thẳng hàng, do đó không cần tìm
điểm 2’
2
.
B
1
A
1
S
1
3
1
J
1
2
1
B
2
C
1
A
2
C
2
1
1
2’
2
2
2
J
2
4
2
1
2
3
2
S
2
α
1
Hình 5.4: Tìm giao tuyến của mặt phẳng α(α
1
) với hình chóp.
≡4
1
Ví dụ 2: Tìm giao tuyến của mặt phẳng α(m
α
, n
α
) với lăng
tr
ụ chiếu bằng được cho như trên hình 5.5. (Lăng trụ chiếu
b
ằng là lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng chiếu
b
ằng П
2
).
A
1
B
1
C
1
B
2
C
2
A
2
M
1
M
2
≡
P
1
N
1
c
1
a
1
b
1
x
≡N
2
≡P
2
m
α
n
α
Π
2
B
2
C
2
A
2
M
M
2
≡
P
N
c
a
b
≡N
2
≡P
2
m
α
n
α
Π
1
x
Hình 5.5. Ví dụ 2 : Tìm giao tuyến
của mặt phẳng α(m
α
, n
α
) với lăng trụ
Giải:
- Nhận xét : Vì lăng trụ đã cho là lăng trụ chiếu bằng,
do đó ta biết trước hình chiếu bằng của giao tuyến là
M
2
N
2
P
2
trùng với A
2
B
2
C
2
.
- Tìm M
1
, N
1
, P
1
giải bài toán điểm thuộc mặt phẳng
α(mα, nα)
- Chú ý: Vì m
ặt (ac) khuất do đó M
1
P
1
khuất
A
1
B
1
C
1
B
2
C
2
A
2
K
1
K
2
I
1
I
2
D
2
D
1
Hình 5.7. Ví dụ 1 : Tìm giao điểm của đường
thẳng l(l
1
,l
2
) với lăng trụ chiếu đứng.
IV. Giao điểm của đường thẳng với đa diện
Ví dụ 1: Tìm giao điểm của đường thẳng l(l
1
,l
2
) v
ới
lăng trụ chiếu đứng được cho như trên hình 5.7.
(L
ăng trụ chiếu đứng là lăng trụ có cạnh bên
vuông góc với mặt phẳng chiếu đứng П
1
)
Giải:
Giả thiết lăng trụ đã cho là lăng trụ chiếu đứng,
do đó ta đã biết trước hình chiếu đứng I
1
, K
1
của
giao
điểm.
Tìm I
2
K
2
: Bài toán điểm thuộc đường thẳng:
I
2
, K
2
thuộc l
2
.
Chú ý: Nhất thiết các đoạn I
1
K
1
, I
2
K
2
phải khuất.
l
1
l
2
Ví dụ 2: Tìm giao điểm của đường
thẳng chiếu l(l
1
,l
2
) v
ới hình chóp được
cho trên đồ thức. (Hình 5.8)
Giải:
- Giả thiết đường thẳng l là đường
th
ẳng chiếu bằng, do đó ta đã biết
tr
ước hình chiếu bằng của giao điểm:
I
2
≡
K
2
≡ l
2
- Tìm K
1
, I
1
: bài toán điểm I, K
thu
ộc các mặt của hình chóp S.ABC
B
1
A
1
C
1
A
2
C
2
S
2
B
2
S
1
l
1
l
2
K
1
≡K
2
≡I
2
I
1
H
1
G
1
H
2
G
2
Hình 5.8. Ví dụ 2: Tìm giao điểm của
đường thẳng chiếu l(l
1
,l
2
) với hình chóp.
Ví dụ 3: Tìm giao điểm của đường thẳng l(l
1
,l
2
) v
ới
hình chóp
được cho trên đồ thức.(Hình 5.9)
Giải:
Giả thiết đường thẳng l(l
1
,l
2
) bất kỳ, đa diện là hình
chóp, ta chưa biết hình chiếu nào của giao tuyến, do đo
phải dùng phương pháp mặt phẳng phụ trợ: (Hình 5.10)
- Lấy một mặt phẳng (α) chứa đường thẳng l
- Tìm giao tuyến của (α) với chóp : ∆123
- Gọi I, K là giao điểm của l với cạnh của ∆123 thì I, K
là giao điểm của đường thẳng l với hình chóp đã cho.
B
1
A
1
S
1
3
1
J
1
2
1
B
2
C
1
A
2
C
2
1
1
2
2
J
2
1
2
3
2
S
2
≡
α
1
l
1
l
2
K
1
K
2
I
1
I
2
Hình 5.9. Ví dụ 3 : Tìm giao điểm của
đường thẳng l(l
1
,l
2
) với hình chóp.
Hình 5.10. Phương pháp mặt phẳng phụ trợ.
Chú ý:
Mặt phẳng (α) được chọn
là mặt phẳng chiếu.
α
l
B
A
S
3
2
C
1
K
I
Ví dụ 1: Tìm giao của hình chóp với lăng trụ chiếu
đứng. (Hình 5.11)
Giải:
- Nhận xét: Lăng trụ xuyên qua hình chóp, do đó
giao tuy
ến có hai đường gấp khúc khép kín.
- Hình chi
ếu đứng của giao tuyến trùng với đáy của
hình l
ăng trụ: 1
1
, 2
1
, 3
1
, 4
1
, 5
1
.
- Tìm hình chi
ếu bằng: Giải bài toán điểm thuộc mặt
c
ủa hình chóp.
- Để nối và xét thấy khất, ta dùng phương pháp khai
tri
ển như hình 5.12.
Hình 5.12. Bảng nối và
xét thấy khuất giao tuyến
trên hình chiếu bằng.
Hình 5.11. Tìm giao của hình chó
p
với lăng trụ chiếu đứng.
B
A
S
S
D
E
F
D
C
A
S
S
1
1
5
4
3
2
1’
5’
3’
1’
B
1
A
1
S
1
4
1
2
1
B
2
C
1
A
2
C
2
1
1
=1’
1
2
2
1
2
3
2
S
2
1’
2
3
1
≡3’
1
3’
2
4
2
5
1
≡5’
1
5
2
5’
2
D
1
E
1
F
1
D
2
F
2
E
2
(-)
