TIỂU LUẬN VÀNH CÁC THƯƠNG

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TOÁN
——————– * ———————
TIỂU LUẬN
VÀNH CÁC THƯƠNG
Giảng viên hướng dẫn : GS.TS. Lê Văn Thuyết
Học viên thực hiện : Phan Đắc Tuấn
HUẾ, 04 - 2013
MỤC LỤC
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ. . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1. Khái niệm về tập Ore phải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 2. VÀNH CÁC THƯƠNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1. Vành các thương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Chương 3. Phần ví dụ và bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Tài liệu tham khảo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
i
MỞ ĐẦU
Như ta đã biết trong đại số giáo hoán, việc xây dựng trường các thương của
một miền nguyên R thực chất chính là việc ta đi xây dựng vành các thương R
s
trong đó S = R \ {0}. Mở rộng hơn nữa đối với một vành giao hoán bất kỳ, lấy
một tập con đóng nhân S của R ta cũng xây dựng được vành các thương R
s
của
R. Đến những năm đầu của thập niên 1930, Ore đã đưa ra lý thuyết địa phương
hóa theo tâm cùng với điều kiện cần và đủ để xây dựng vành các thương của các
vành không giao hoán. Tiểu luận này xây dựng vành các thương theo phương pháp
của Ore và Goldie.

Nội dung chính của tiểu luận
Chương I: Một số kiến thức chuẩn bị.
Chương II: Vành các thương
Chương III: Một số ví dụ và bài tập.
Để hoàn thành được tiểu luận này, chúng tôi xin chân thành cám ơn thầy giáo
GS.TS Lê Văn Thuyết đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện. Mặc dù đã có nhiều cố
gắng, song trong quá trình nghiên cứu và trình bày khó tránh khỏi các sai sót,
mong quý thầy cô giáo góp ý để bài tiểu luận được hoàn thiện hơn.
Huế, ngày 15 tháng 04 năm 2013
Học viên thực hiện
PHAN ĐẮC TUẤN
ii
CHƯƠNG 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Khái niệm về tập Ore phải
Định nghĩa 1.1. Lấy X là tập có tính nhân trong vành R, X thỏa mãn điều kiện
Ore phải nếu với mỗi x ∈ X và r ∈ R, tồn tại y ∈ X, s ∈ S sao cho ry = xs, nghĩa
là rR ∩ xR = ∅. Một tập Ore là tập có tính nhân thỏa cả Ore phải và Ore trái.
Bổ đề 1.1.1. Cho X là tập Ore phải trong R.
a) Mỗi x
1
, , x
n
∈ X, suy ra tồn tại s
1
, , s
n
∈ R sao cho x
1
s

1
= = x
n
s
n
và
x
i
s
i
∈ X, x
1
R ∩ ∩ x
n
R ∩ X = ∅.
b) A là R - môđun phải. Khi đó, t
X
(A) = {a ∈ X|ax = 0, ∀x ∈ X} là môđun con
của A.
Định nghĩa 1.2. Một phần tử chính quy trong vành R là phần tử không là ước
của không, tức là mỗi x ∈ R thỏa r.ann
R
(x) = 0 và l.ann
R
(x) = 0.
Chú ý:
(1) R ⊆ Q là các vành và x ∈ R là phần tử khả nghịch trong Q, khi đó x là phần
tử chính quy.
Chứng minh: Giả sử x không chính quy, khi đó ax = 0 nên x không khả
nghịch trong Q. Vậy x là chính quy.

(2) Cho R là một vành và X là tập các phần tử chính quy, ta xây dựng một vành
mà sao cho tử thức là các phần tử của R và mẫu thức là các phần tử của X.
Trong trường hợp giao hoán, ta ký hiệu phần tử của nó là
r
x
, và trong trường
hơp không giao hoán ta dùng ký hiệu rx
−1
và x
−1
r. Vì vậy ta có hai vành
thương: Mẫu thức phải và mẫu thức trái.
Định nghĩa 1.3. Cho R là một vành và X ⊆ R là một tập có tính nhân của các
phần tử chính quy của R. Một vành thương phải của R đối với X là vành S ⊇ R
thỏa:
1
(1) Mỗi phần tử của X khả nghịch trong S
(2) Mỗi phần tử của S được biểu diễn dưới dạng ax
−1
với a ∈ R, x ∈ R.
Lưu ý : Vành thương trái được định nghĩa hoàn toàn tương tự, trong trường
hợp R là giao hoán thì sự phân biệt vành thương trái, vành thương phải không
quan trọng.
Bổ đề 1.1.2. Lấy R là một vành, X là tập có tính nhân của các phần tử chính
quy trong vành R và giả sử tồn tại vành thương phải S của R đối với X. Khi đó
(a) X là tập Ore phải trong R
(b) Mỗi s
1
, s
2

, , s
n
∈ S, tồn tại a
1
, a
2
, a
n
∈ R, x ∈ X sao cho s
i
= a
i
x
−1
(c) Lấy a, b ∈ R và x, y ∈ X thì ax
−1
= by
−1
trong S nếu và chỉ nếu tồn tại
c, d ∈ R sao cho ac = bd và xc = yd ∈ X
2
CHƯƠNG 2
VÀNH CÁC THƯƠNG
2.1. Vành các thương
Định lý 2.1.1. Cho R là một vành và X là tập có tính nhân của các phân tử
chính quy trong vành R. Khi đó, tồn tại một vành thương phải của R đối với X
nếu và chỉ nếu X là tập Ore phải.
Chứng minh: Theo bổ đề trước [Bổ đề 6.1, [2]] ta được chiều suy ra. Ngược
lại, giả sử X là tập Ore phải.
Đặt E = E(R

R
), A = { a ∈ E| ax ∈ R, với mỗi x ∈ X}. Lúc đó, A là nghịch
ảnh của X-môđun con xoắn t
X
(E/R) dưới ánh xạ thương f : E −→ E/R (A =
f
−1
(t
X
(E/R))). Do đó: (A = f
−1
(t
X
(E/R))) ≤ E thỏa mãn A/R là X-xoắn trong
khi E/A là X-xoắn tự do.
Vì Xchứa các phần tử chính quy cho nên t
X
(E/R) ∩ R = t
X
(R) = 0. Do đó,
t
X
(E) = 0. Vậy E là X- xoắn tự do.
Đặt S = End
R
(A).
Yêu cầu 1: ( Cho a ∈ A và x ∈ X, tồn tại b ∈ A sao cho bx = a).
Chứng minh: Vì x là chính quy nên xR
∼
=

R
R
và có một đồng cầu f : xR −→ A
sao cho f(x) = a. Vì tính chất nội xạ nên đồng cấu f có thể mở rộng thành
đồng cấu g : R −→ E. Đặt g(1) = b, ta thấy một phần tử b ∈ E, ta được
bx = g(1).x = g(x) = f(x) = a. Vì bx ∈ A và E/A là X- xoắn tự do. Suy ra b ∈ A.
Như vậy mỗi a ∈ A, x ∈ X, thì tồn tại b ∈ A sao cho bx = a.
Yêu cầu 2. (Với mỗi r ∈ R, tồn tại duy nhất một tự đồng cấu ϕ
R
∈ S sao cho
ϕ
R
(r) = rb, với mỗi b ∈ R.)
Chứng minh: Thật vây, ϕ
R
có tính duy nhất vì thỏa mãn ϕ
R
(1) = r. Xét phép
nhân trái bởi r được định nghĩa như là một tự đồng cấu của R
R
.
f : R −→ R
b −→ rb
3
có thể mở rộng thành tự đồng cấu f : E −→ E sao cho f(R) = rR. Với mỗi a ∈ A,
ta có ax ∈ R, x ∈ X. Từ đó, ta được f(ax) = f(a).x ∈ f(R) ≤ R. Do đó f(a) ∈ A.
Khi đó f thu hẹp lên A chính là tự đồng cấu g của A.
g : A −→ A
b −→ g(b) = f(b) = rb, b ∈ R
Khi đó, g ∈ S = End

R
(A). Bây giờ, chứng minh g là duy nhất.
Giả sử g

∈ S sao cho g

(1) = r. Do đó R ≤ ker(g

−g), từ đó ta được (g

−g)(A) là
ảnh đồng cấu của A/R. Vì A/R là X-xoắn, E là X- xoắn tự do. Do đó, (g

−g)(A) =
0 nên g

= g. Vậy g là duy nhất.
Yêu cầu 3 Xét quy tắc r −→ ϕ
r
định nghĩa như là đẳng cấu của R lên vành con
ˆ
R của S, S = End
R
(A).
ϕ : R −→ R
r −→ ϕ(r) = ϕ
r
Với r, s ∈ R, ta có: (ϕ
r
+ ϕ

s
)(1) = r + s và (ϕ
r
.ϕ
s
)(1) = ϕ
r
(s) = rs. Từ đó ta
được: ϕ
r
+ ϕ
s
= ϕ
r+s
; ϕ
r
.ϕ
s
= ϕ
rs
là duy nhất. Vì id
A
(1) = 1 nên id
A
= ∅. Do đó
ϕ
1
= 1. Ta được quy tắc r −→ ϕ
r
là một đồng cấu vành R −→ S. Vì ϕ

r
(1) = r
nên ϕ
r
= 0 khi và chỉ khi r = 0.
Đặt
ˆ
X = {ϕ
x
|x ∈ X}, ϕ
x
∈ End
R
(A). Theo yêu cầu 3,
ˆ
X là tập Ore phải của
những phần tử chính quy trong
ˆ
R. Do đó,
ˆ
R là một vành các thương phải đối với
X. Bây giờ, chứng minh rằng S là vành các thương phải.
Cho x ∈ X, ta có ker(ϕ
x
) ∩ R = r.ann
R
(x) = {r ∈ R|xr = 0, x ∈ X} = 0 (Vì
x là phần tử chính quy). Do đó ker (ϕ
x
) = 0. Mà A/R và R/xR là X- xoắn cho

nên A/xR là X - xoắn. Vì vậy, với mỗi a ∈ A, tồn tại y ∈ X, b ∈ R sao cho:
ay = xb = ϕ
x
(b). Mặt khác theo (1), tồn tại c ∈ A sao cho cy = b. Từ đó, ta được
ϕ
x
(c)y = ϕ
x
(b) = ay. Suy ra ϕ
x
(c) = a. Nhưng A là X-xoắn tự do, ϕ
x
(x) = a nên
ϕ
x
(A) = A, c ∈ A, a ∈ A. Do vậy, ϕ
x
là một tự đẳng cấu của A. Vậy mỗi phần tử
của
ˆ
X khả nghịch trong S.
* Chứng minh mỗi phần tử
ˆ
X được biểu diễn dưới dạng ax
−1
, a ∈ R, x ∈ X.
Lấy tự đồng cấu tùy ý s ∈ S. Vì s(1) ∈ A nên tồn tại x ∈ X, r ∈ R sao cho
4
s(1).x = r (theo yêu cầu 1). Suy ra s(1).ϕ
x

(1) = s.ϕ
x
(1) = s(x) = r. Do đó,
s.ϕ
x
= ϕ
r
. Nhưng do ϕ
x
khả nghịch trong S nên s = ϕ
r
.ϕ
−1
x
. Do đó, S là vành các
thương của
ˆ
R đối với
ˆ
X.
Định lý 2.1.2. Cho R là một vành, X ⊆ R là vành Ore phải của những phần tử
chính quy và S là một vành các thương phải của R đối với X. Giả sử ϕ : R −→ T
là một đồng cấu vành sao cho ϕ(x) khả nghịch trong T , với mọi x ∈ X ⊆ R. Khi
đó, ϕ mở rộng duy nhất thành một đồng cấu vành ¯ϕ : S −→ T
R
ι

ϕ
//
T

¯ϕ

S
Chứng minh: Cho a ∈ R và x ∈ X. Chúng ta chứng minh được rằng: ¯ϕ(x
−1
) =
ϕ(a).[ϕ(x)]
−1
. Giả sử a, b ∈ R, x, y ∈ X với ax
−1
= by
−1
. Theo [bổ đề 6.1], tồn
tại c, d sao cho ac = bd và xc = yd ∈ X. Theo giả thiết ϕ(x), ϕ(y), ϕ(xc), ϕ(yd) khả
nghịch trong T. Suy ra ϕ(c), ϕ(d) khả nghịch. Do đó ϕ(a).ϕ
−1
x
= ϕ(a).[ϕ(x)]
−1
.ϕ(c).[ϕ(c)]
−1
=
ϕ(ac).[ϕ(xc)]
−1
= ϕ(bd).[ϕ(yd)]
−1
= ϕ(b).[ϕ(y)]
−1
.
Xét ánh xạ ¯ϕ : S −→ T thỏa ¯ϕ(ax

−1
) = ϕ(a).ϕ(x)
−1
là một ánh xạ. Ta có
¯ϕ(a) = ¯ϕ(ax
−1
) = ϕ(a).[ϕ(1)]
−1
= ϕ(a), ∀a ∈ R. Do ¯ϕ là một mở rộng của ϕ;
¯
ϕ(1) = ¯ϕ(1.1
−1
) = ϕ(1) = 1.
Với a, b ∈ R; x, y ∈ X, tồn tại c, d ∈ R sao cho xc = yd ∈ X.
Ta có ¯ϕ((ax
−1
)+(by
−1
)) = ¯ϕ((acc
−1
x
−1
)+(bdd
−1
y
−1
)) = ¯ϕ((ac).(xc)
−1
+(bd).(yd)
−1

) =
¯ϕ((ac)(xc)
−1
+(bd)(xc)
−1
) = ¯ϕ[(ac+bd)(xc)
−1
] = ϕ(ac+bd).ϕ(xc)
−1
= ϕ(ac).[ϕ(xc)]
−1
+
ϕ(bd).[ϕ(yd)]
−1
= ¯ϕ(ax
−1
) + ¯ϕ(by
−1
).
Ta có với b ∈ R, x ∈ X, tồn tại e ∈ R, z ∈ X sao cho bz = xe. Khi đó
¯ϕ((ax
−1
)(by
−1
)) = ¯ϕ((ax
−1
)(by
−1
)) = ¯ϕ((ae).(yz)
−1

) = ϕ(ac).[ϕ(yz)]
−1
= ϕ(a).ϕ(e).[ϕ(z)]
−1
.[ϕ(y)]
−1
.
Vì ϕ(b).ϕ(c) = ϕ(x).ϕ(e) nên ϕ(e).[ϕ(z)]
−1
= [ϕ(x)]
−1
.ϕ(b). Vậy ϕ mở rộng duy
nhất thành đồng cấu vành ¯ϕ.
Hệ quả 2.1.3. Cho R là một vành, x ⊆ R là tập Ore phải của các phần tử chính
quy và S, S

là vành các thương phải trong R đối với X. Khi đó, ánh xạ đồng nhất
id : R −→ R mở rộng duy nhất thành đẳng cấu đi từ S −→ S

.
5
Định nghĩa 2.1. Cho R là vành, X ⊆ R là tập Ore phải các phần tử chính quy.
Chúng ta ký hiệu RX
−1
được định nghĩa là vành các thương phải của R đối với X.
Hoàn toàn tương tự, viết Y
−1
R là vành trái các thương của R đối với X.
Định lý 2.1.4. Cho R là vành và X ⊆ R là tập Ore phải và trái của các phần tử
chính quy. Khi đó, RX

−1
= X
−1
R, nghĩa là vành các thương phải của R đối với
X cũng là vành các thương trái đối với X.
Chứng minh: Giả sử S = RX
−1
. Khi đó S là vành chứa R và mọi phần tử
của X khả nghịch trong S. Cho s ∈ S, ta có s = ax
−1
, a ∈ R, x ∈ R. Vì X là tập
Ore trái, tồn tại b ∈ R, y ∈ X sao cho ya = bx. Từ đó ta được s = y
−1
b. Do đó
S = X
−1
R
6
CHƯƠNG 3
PHẦN BÀI TẬP
Ví dụ 1: Cho p là một iđêan nguyên tố của R. Đặt S = R/p thì S là một tập con
đóng nhân (do p là một iđêan nguyên tố của R khi và chỉ khi S = R/p là tập con
đóng nhân). Khi đó, vành các thương RS
−1
của vành R theo tập con đóng nhân
S trong trường hợp này chính là vành R
p
.
Ví dụ 2: Cho R tồn tại vành các thương phải S, khi đó với mọi a ∈ R và s ∈ S
ta đều có aS ∩ sR = ∅

Chứng minh: Đặt ϕ : R −→ S là một đồng cấu. Khi đó, vì S là một vành các
thương phải nên với mọi a ∈ R và s ∈ S, ta có ϕ(s)
−1
.ϕ(a) ∈ S. Do đó tồn tại
r ∈ R và s

∈ S sao cho:
ϕ(s)
−1
.ϕ(a) = ϕ(r).ϕ(s

)
−1
nên ϕ(as

) = ϕ(sr)
Do đó ta được: (as

− sr).s

= 0 với s

∈ S (Vì S là vành các thương nên kerϕ =
{r ∈ R : rs = 0, s ∈ S). Vậy as

s

= srs

∈ aS ∩ sR.

Ví dụ 3. Tập con đóng nhân S ⊆ R vừa là tập khả hoán bên phải vừa khả nghịch
phải thì gọi S là tập mẫu số phải (right denominator) (vành S thỏa mãn như ví
dụ 2 được gọi là khả hoán - right permutable). Chứng minh rằng, vành R có vành
thương phải tương ứng với S khi và chỉ khi S là một tập mẫu số phải.
Chứng minh:
Chiều thuận: Giả sử vành R có vành thương phải tương ứng với S, khi đó theo
định nghĩa của vành thương phải ta suy ra S là một tập mẫu số phải.
Chiều đảo: Giả sử S là một tập mẫu số phải và ta ký hiệu vành các thương phải
tương ứng với S (nếu có ) là RS
−1
. Bây giờ, ta đi xây dựng cấu trúc của tập RS
−1
.
Vì mọi phần tử của RS
−1
phải có dạng as
−1
(với a ∈ R và s ∈ S), nên ta bắt đầu
với tập R × S và định nghĩa một quan hệ ” ∼ ” trên R × S như sau:
(a, s) ∼ (a

, s

) nếu và chỉ nếu tồn tại b, b

∈ R sao cho sb = s

b

∈ S và ab = a


b

∈
R. ” ∼ ” là một quan hệ tương đương:
Tính phản xạ: (a, s) ∼ (a, s) với b = b

= 1.
7
Tính đối xứng: (a, s) ∼ (a

, s

) ⇐⇒ (a

, s

) ∼ (a, s).
Tính bắc cầu: (a, s) ∼ (a

, s

) và (a

, s

) ∼ (a

, s


), khi đó ta có: tồn tại b, b

∈ R
sao cho sb = s

b

∈ S và ab = a

b

∈ R, tồn tại c, c

∈ R sao cho sc = s

c

∈ S và
ac = a

c

∈ R.
Do (s

c)S ∩ (s

b

) = ∅ nên tồn tại r ∈ R và t ∈ S sao cho sb


r = s

ct ∈ S, áp dụng
tính khả nghịch phải, ta có b

rt

= ctt

với t

∈ S, khi đó:
sbr = s

b

r = s

c

t ∈ S =⇒ s(brt

) = s

(c

tt

) ∈ S

a(brt

) = a

b

rt

= a

ctt

= a

(c

tt

)
Vậy (a, s) ∼ (a

, s

). Ta ký hiệu lớp tương đương của (a, s) là
a
s
hoặc là as
−1
và
tập tất cả các lớp tương đương này ký hiệu là RS

−1
.
Ta thấy rằng hai thương
a
1
s
1
,
a
2
s
2
có thể có một mẫu số chung, do s
1
S ∩ s
2
S = ∅ nên
có r ∈ R, s ∈ S sao cho s
2
r = s
1
r ∈ S, và ta có
a
1
s
1
=
a
1
s

s
1
s
và
a
2
s
2
=
a
2
s
s
2
s
. Do đó ta có
thể định nghĩa phép toán cộng như sau:
a
1
s
1
+
a
2
s
2
=
a
1
s+a

2
s
t
, tron đó t = s
1
s = s
2
r
Ta có đồng cấu nhóm ϕ : R −→ RS
−1
thỏa mãn:
kerϕ = {a ∈ R : (a, 1) ∼ (0, 1)} = {a ∈ R : as = 0, s ∈ S
Tiếp theo, ta đi xây dựng phép toán nhân trên RS
−1
: Cho
a
1
s
1
,
a
2
s
2
, do s
1
R ∩ a
2
R = ∅
nên tồn tại r ∈ R và s ∈ S sao cho s

1
r = a
2
s, do đó ta định nghĩa phép toán nhân
như sau:
(
a
1
s
1
)(
a
2
s
2
) =
a
1
r
s
1
s
,
Khi đó, (RS
−1
, +, ×) là một vành và ϕ là một đồng cấu vành.
1
s
là nghịch đảo của
ϕ(s) =

s
1
, do đó ϕ là một S nghịch đảo và
a
s
= ϕ(a).ϕ(s)
−1
. Vậy RS
−1
là một vành
các thương phải của R tương ứng với S.
8
KẾT LUẬN
Tiểu luận gồm ba phần: mở đầu, nội dung và kết luận. Phần nội dung được
chia làm ba chương. Trong đó, chương I nêu lên một số định lí, mệnh đề liên quan
làm nền tảng và cơ sở cho các chứng minh trong chương còn lại; chương II của tiểu
luận trình bày hai nội dung chính là vành các thương và chương III là một số ví dụ
về vành các thương. Mặc dù đã cố gắng kiểm tra lỗi chính tả và cách hành văn rất
nhiều lần nhưng chắc chắn không thể tránh khỏi thiếu sót, rất mong nhận được sự
góp ý của quý thầy để tiểu luận được hoàn thiện hơn. Một lần nữa xin chân thành
cảm ơn thầy giáo GS.TS Lê Văn Thuyết hướng dẫn tận tình trong thời gian qua.
9
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
[1] L.V. Thuyết,Trương Công Quỳnh (20011), Lí thuyết vành và môđun,
Tiếng Anh
[2] K.R.Goodearl, R.B.Warfield, An Introduction to Noncommutative Noetherian
Rings, London MathSoc., 1984.
[3] Kato Y., Rings of Fractions of B(H), Publ, RIMS, Kyoto Univ. 30 (1994), 689
- 693.

[4] P.M. COHN, Bedford College, London, Ring of fractions, The American Math-
ematical Monthly, Vol. 78, No. 6 (Jun - Jul., 1971), 596 - 615.
10