TIỂU LUẬN CƠ SỞ ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI MÔĐUN XẠ ẢNH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM







TIỂU LUẬN CƠ SỞ ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI
MÔĐUN XẠ ẢNH


TRẦN CAO HOÀNG
Chuyên ngành: PP và LL dạy học Toán





Giáo viên hướng dẫn khoa học
TS. PHAN VĂN THIỆN

Huế, tháng 2, năm 2012
Tiểu luận cơ sở Đại Số hiện đại 1
Học viên: Trần Cao Hoàng Lớp: LL & PP dạy học môn Toán

MỤC LỤC

Trang bìa

Mục lục 1
Lời mở đầu 2
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 3
Chương 2. Môđun xạ ảnh 5
Chương 3. Bài tập áp dụng 14
Kết luận 17
Tài liệu tham khảo 18
Tiểu luận cơ sở Đại Số hiện đại 2
Học viên: Trần Cao Hoàng Lớp: LL & PP dạy học môn Toán
LỜI NÓI ĐẦU

Trong sự phát triển của toán học hiện đại, cơ sở đại số hiện đại là môn học
quan trọng, là cơ sở tiền đề cho sự phát triển của đại số hiện đại. Trong đó vành và
môđun đóng vai trò nền tảng của môn học. Môđun một trong số các cấu trúc đại số
có một tập nên là một vành cùng với phép toán cộng và nhân vô hướng. Có thể nói
khái niệm môđun là khái niệm quan trọng nhất trong đại số hiện đại, nó được chia
làm nhiều lớp như: Môđun tự do, môđun chia được, môđun nội xạ, môđun xạ ảnh,
… Trong tiểu luận này tôi tập trung trình bày về môđun xạ ảnh. Khái niệm môđun
xạ ảnh lần đầu tiên được đưa ra trong cuốn sách nổi tiếng "Homological Algebra"
của H.Cartan và S.Eilenberg vào năm 1956 .
Trong tiểu luận này có ba chương, đó là:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
Trong chương này nhắc lại các kiến thức về môđun, đồng cấu môđun,
môđun tự do, cơ sở.
Chương 2. Môđun xạ ảnh.
Trong chương này trình bày các định nghĩa, tính chất, mệnh đề, hệ quả về
môđun xạ ảnh.
Chương 3. Bài tập
Trong chương này tôi trình bày hai bài tập áp dụng nội dung lý thuyết ở
chương 1 và 2.

Vì khả năng và thời gian còn hạn chế nên tiểu luận này khó tránh khỏi sai
sót, mong nhận được sự đóng góp của quý thầy cô và bạn đọc. Để hoàn thành tiểu
luận, tôi xin chân thành cảm ơn TS. Phan Văn Thiện đã tận tình giảng dạy học
phần Cơ sở đại số hiện đại. Tôi cũng xin chân thành cám ơn các học viên cao học
Toán khóa XX nhiệt tình giúp đỡ động viên tôi trong quá trình làm tiểu luận.
Huế, tháng 02 năm 2012
Trần Cao Hoàng

Tiểu luận cơ sở Đại Số hiện đại 3
Học viên: Trần Cao Hoàng Lớp: LL & PP dạy học môn Toán
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ


1 .1.Định nghĩa 1. Cho R là một vành, một tập hợp M được gọi là R-môđun
trái nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
1) Trên M có một phép toán + và


,
M

là một nhóm aben.
2) Tồn tại một ánh xạ
x
R M M




,

r x rx


được gọi là phép nhân vô hướng thỏa mãn
,
r s
 

,
,
x y M
 

i)




,
r x y rx ry r s x rx sx
     
(Tính phân phối)
ii)




s
r x r sx


(Tính kết hợp)
iii)
1.
x x

(Tính Unita)
Một R-môđun trái gọi là một môđun bên trái trên R.
Quy ước: Khi nói M là R-môđun thì là R-môđun trái.
1.2. Định nghĩa 2. Cho M, N là các R-môđun. Ánh xạ
:
f M N

được gọi
là một đồng cấu R-môđun nếu :






, ,
f x y f x f y x y M
    





, ,
f rx rf x x M r R

    

Đồng cấu f được gọi là đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu khi và chỉ khi f là
đơn ánh, toàn ánh, song ánh tương ứng.
1.3 Định nghĩa 3. Cho R là vành, S là một tập hợp. Một R-môđun tự do trên
S là một R-môđun F cùng với một ánh xạ :
:
f S F

sao cho với mọi ánh
xạ
:
g S X

từ tập S vào R-môđun X, tồn tại duy nhất một đồng cấu R-
môđun
:
h F X

thỏa mãn
hf g




S F
X
f
h g
Tiểu luận cơ sở Đại Số hiện đại 4

Học viên: Trần Cao Hoàng Lớp: LL & PP dạy học môn Toán

1.4. Định nghĩa 4. M là R-môđun, S là tập con của M
 S được gọi là hệ sinh của M, nếu
x R
 
thì
1
, , , 1, ,
n
i i i i
i
x rs r R s S i n

    


 S được gọi là độc lập tuyến tính, nếu
1
0, , 0, 1, ,
n
i i i i i
i
x rs r R s S r i n

       


 S được gọi là cơ sở của M khi và chỉ khi S độc lập tuyến tính và S là
hệ sinh của M.

1.5. Định lý. Cho M là R-môđun. Tập con
S M

là một cơ sở nếu và chỉ
nếu ánh xạ bao hàm
:
i S M

có thể mở rộng thành đẳng cấu R-môđun
:
h F M

với F là R-môđun tự do sinh bởi S.




1.6. Hệ quả. R-môđun M là tự do khi và chỉ khi M có một cơ sở.
S F
M
f
h i
Tiểu luận cơ sở Đại Số hiện đại 5
Học viên: Trần Cao Hoàng Lớp: LL & PP dạy học môn Toán
X
B
h
0 A
g
f

Chương 2. MÔĐUN XẠ ẢNH


2.1. Định nghĩa. Một R-môđun P được gọi là xạ ảnh nếu mọi đồng cấu R-
môđun
:
f X B

và mọi toàn cấu R-môđun
:
g A B

, thì có một đồng cấu
R-môđun
:
h X A

thỏa mãn
g h f


, tức làm cho biểu đồ sau (với dòng
cuối khớp) là giao hoán




2.2. Định lý. Mọi R-môđun tự do đều là xạ ảnh.
Chứng minh. Giả sử X là R-môđun tự do,
:

f X B

là đồng cấu R-môđun,
:
g A B

là toàn cấu R-môđun.
Gọi S là một cơ sở của X,
:
i S X

là ánh xạ bao hàm
s S
 
, ta có


f s B

. Do
:
g A B

là toàn cấu nên có phần tử của A, gọi là


j s
sao
cho







g j s f s

. Vì vậy, có thể xây dựng một ánh xạ
:
j S A

với


s j s








Do X là môđun tự do sinh bởi S nên ánh xạ
j
có thể mở rộng thành đồng
cấu R-môđun
: ,
h X A h i j
 


. Ta sẽ chứng minh
g h f


.
X
B
h
0 A
g
f
S
j
i
Tiểu luận cơ sở Đại Số hiện đại 6
Học viên: Trần Cao Hoàng Lớp: LL & PP dạy học môn Toán
x X
 
, do S là cơ sở của X nên
1
, ,
n
l l l l
l
x a s a R s S

  


Khi đó
 
   
1 1 1
n n n
l l l l l l
l l l
gh x gh a s a gh s a ghi s
  
 
  
 
 
  


     
 
1 1 1
n n n
l l l l l l
l l l
a gj s a f s f a s f x
  
 
   
 
 
  
.

2.3. Mệnh đề 1. Mọi hạng tử trực tiếp của R-môđun xạ ảnh là R-môđun xạ
ảnh.
Chứng minh. Giả sử X là R-môđun xạ ảnh, U là một hạng tử trực tiếp của
X.
Giả sử
:
f U B

là đồng cấu R-môđun,
:
g A B

là toàn cấu R-môđun.
U là hạng tử trực tiếp của X nên có môđun con V của X sao cho
X U V
 
.
Gọi:
:
X U V U
x u v u

  
 


là phép chiếu lên U theo phương V.
:
i U X
u u




là đồng cấu bao hàm.
:
f X B


là đồng cấu,
:
g A B

là toàn cấu. X là xạ ảnh nên có đồng
cấu
:
k X A

sao cho
gk f


.





U
B

0 A
g
f
X
k


Tiểu luận cơ sở Đại Số hiện đại 7
Học viên: Trần Cao Hoàng Lớp: LL & PP dạy học môn Toán

Đặt
:
h ki U A
 
là đồng cấu
Ta có :
gh gki f i f

  
.
2.4. Mệnh đề 2. Tổng trực tiếp của các R-môđun xạ ảnh là R-môđun xạ ảnh.
Chứng minh. Giả sử
,
j
X j I

, là các R-môđun xạ ảnh,
j
j I
X X




.
Với mỗi
j I

, gọi
:
j j
d X X

là phép nhúng,
:
j j
X X


là phép chiếu.
Giả sử
:
f X B

là đồng cấu và
:
g A B

là toàn cấu.
, :
j j

j I fd X B
  
là đồng cấu






Do
j
X
là xạ ảnh,
:
g A B

là toàn cấu nên có đồng cấu
:
j j
h X A

thỏa
mãn
j j
gh fd

.


j

j I
x x X

  
, có
x
J I

,
x
J
hữu hạn sao cho


x
j
j J
x d x




Xét ánh xạ
:
h X A









x x
j j j
j J j J
x d x h x

 

 


, ,
r R x y X
   
ta có :
       
x y x y
j j j
j J j J j J J
h x y h d x d y h d x y
   
   
    
   
   
  














x y x y
j j j j j j
j J J j J j J
h x y h x h y h x h y
  
   
     
  
.
X
B

0 A
g
f
X
j
d
j

h
j
Tiểu luận cơ sở Đại Số hiện đại 8
Học viên: Trần Cao Hoàng Lớp: LL & PP dạy học môn Toán
     
x rx
j j
j J j J
h rx h r d x h d rx
 
   
 
   
   
 







rx x
j j j j
j J j J
h rx r h x
 
 
 
 

.
Vậy h là đồng cấu R-môđun.
Ta còn phải kiểm chứng :


:
x
j
j J
gh f x d x X

   

.
   
 
 
 
x
j j
j J
gh x g h x g h x


 
 
 
 












x x
j j j j
j J j J
g h x fd x
 
 
 
 

 
 
 
x
j j
j J
f d x f x


 
 

 
 

.
2.5. Mệnh đề 3. Mọi R-môđun M đều có thể nhúng vào một dãy khớp ngắn
các R-môđun
0 0
L F M
   

Trong đó F là R-môđun xạ ảnh.
Chứng minh. Do mọi R-môđun đều là ảnh toàn cấu của một R-môđun tự do
nên có một R-môđun tự do F và một toàn cấu
:
F M


. Vì vậy, ta cũng có
dãy khớp sau:
0 0
i
Ker F M


   

lấy
ker
L



.
2.6. Mệnh đề 4. Cho X là R-môđun. Các khẳng định sau tương đương.
i) X là R-môđun xạ ảnh.
ii) Mọi dãy khớp ngắn các đồng cấu R-môđun
0 0
U V X
 
   

Tiểu luận cơ sở Đại Số hiện đại 9
Học viên: Trần Cao Hoàng Lớp: LL & PP dạy học môn Toán
X
X
h
0 V


id
X
đều chẻ ra.
iii) X đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của một R-môđun tự do.
iv) Nếu
:
g A B

là một toàn cấu R-môđun, thì





*
: , ,
R R
g Hom X A Hom X B
g
 



cũng là toàn cấu R-môđun.
v) Nếu
0 0
f g
A B C
   
là dãy khớp ngắn các đồng cấu R-
môđun thì dãy sau cũng khớp :






* *
0 , , , 0
f g
R R R
Hom X A Hom X B Hom X C
   

Chứng minh.
i)

ii) Giả sử X là xạ ảnh và
0 0
U V X
 
   

khớp




X xạ ảnh nên có đồng cấu
:
h X V

sao cho
X
h id


. Vậy

có nghịch
đảo phải nên dãy khớp ngắn trên chẻ ra.
ii)


iii). ii) đúng. Do mọi R-môđun đều là ảnh toàn cấu của một R-môđun
tự do nên có một R-môđun tự do F và một toàn cấu
:
F X


. Vì vậy ta có
dãy khớp sau :
0 0
i
Ker F M


   

Theo ii) dãy khớp trên chẻ ra. Suy ra

có nghịch đảo phải
:
X F


thỏa
mãn
X
id


và khi đó
Im ker

F
 
 
.
Tiểu luận cơ sở Đại Số hiện đại 10
Học viên: Trần Cao Hoàng Lớp: LL & PP dạy học môn Toán
X
B


0 A
g
f

X
B 0 A
g
f

X
id
đơn cấu nên

đơn cấu. Từ đó,
Im
X


là hạng tử trực tiếp của
môđun tự do F.

iii)

i) : Do mọi môđun tự do đều là xạ ảnh và hạng tử trực tiếp của một
môđun xạ ảnh là xạ ảnh.
i)

iv) Giả sử X xạ ảnh và
:
g A B

là toàn cấu với mọi đồng cấu R-
môđun


,
R
f Hom X B

.




Do X là xạ ảnh nên có đẳng cấu
:
X A


thỏa mãn
g f



.
Suy ra :






*
, : , ,
R R R
g Hom id g Hom X A Hom X B
 

g f
 



cũng là toàn cấu R-môđun.
iv)

i) : Giả sử
:
f X B

là đồng cấu R-môđun và
:

g A B

là toàn cấu
R-môđun.



Theo iv) ta có toàn cấu :




*
: , ,
R R
g Hom X A Hom X B



g f
 



Do đó, có đồng cấu R-môđun
:
X A


thỏa mãn

g f


. Vậy X là xạ
ảnh.
ii)

v) : Ta chứng minh rằng nếu dãy các đồng cấu R-môđun
Tiểu luận cơ sở Đại Số hiện đại 11
Học viên: Trần Cao Hoàng Lớp: LL & PP dạy học môn Toán
0 0
f g
A B C
   
(*)
là khớp thì với mọi R-môđun M ta có dãy.






* *
0 , , , 0
f g
R R R
Hom X A Hom X B Hom X C
   
(**)
cũng khớp.

Khớp tại


,
R
Hom M A
:


*
ker
f

 
, ta có


*
0
f f
 
 
.
Do f đơn cấu nên
0


, suy ra
*
f

đơn cấu.
Khớp tại


,
R
Hom M B
:


*
Im
f

 
. Do (*) khớp nên ta có
0
gf

suy ra




* *
0
g f gf
 
 
.

Do đó :
* *
Im
f Kerg


*
Kerg

 
ta có,


*
0
g g
 
 
nên
Im
Kerg


. Do (*) khớp nên
Im Im
Kerg f

 

Do

:
f A B

là đơn cấu nên có đẳng cấu,
: Im
j f A

sao cho
Im
f
fj id


và
A
jf id

.
Do
:
M B


là đồng cấu nên




: Im ,
h M h x x

 
 
là đồng cấu. Do
Im Im
f


nên
:
jh M A

 
là đồng cấu.
Ta có,


*
:
f f fjh M B
 
  
và với mọi
x M













*
f x fjh x h x x
 
  
.
Vậy


* *
Im
f f
 
 
khớp tại


,
R
Hom M C
, từ ii) ta có
*
g
là toàn cấu.
v)


i) : v)

iv)

i)
2.7. Định lý cơ sở đối ngẫu. Một R-môđun P là xạ ảnh khi và chỉ khi tồn tại
những họ


i
i I
a

các phần tử của P và


i
i I
f

trong


,
P
Hom P R
sao cho hai
điều kiện sau được thỏa mãn:
(i) Nếu
a P


thì


0
i
f a

với hầu hết (tức chỉ trừ một tập hữu hạn)
(ii)


,
i i
i I
a a f a a P

  


Tiểu luận cơ sở Đại Số hiện đại 12
Học viên: Trần Cao Hoàng Lớp: LL & PP dạy học môn Toán
Chứng minh. Giả sử P là R-môđunxạ ảnh và
:
F P


là một R – toàn cấu,
trong đó F là R-môđuntự do có một cơ sở là



i
i I
e

. Theo hệ quả 3 dãy khớp
ngắn
0 0
Ker F P


   
,
là chẻ ra, do đó tồn tại R – đồng cấu
:
f P F

sao cho
1
P
f



. Với mỗi
phần tử tùy ý
a P

thì



f a F

luôn có một khai triển hữu hạn duy nhất


 
i
i a
i I
f a f e



,
tức chỉ có hữu hạn phần tử
i I

sao cho
 
0
i a
f

. Khi đó rõ ràng tương ứng
:
i
f P R

xác định bởi



 
,
i
i a
f a f a P
  
là R – đồng cấu thỏa mãn điều
kiện (i) với mọi
i I

. Bây giờ, nếu ta đặt


,
i i
a e i I

  
thì
  
   
 
 
i i i i
i a i a
i I i I i I
a f a f e f e f a a
  

  
 
   
 
 
  

.
Khi đó họ


i
i I
a P


thỏa mãn điều kiện (ii).
Ngược lại, giả sử tồn tại các họ


i
i I
a

,
i
x P

và





, ,
i i R
i I
f f Hom P R


thỏa mãn các điều kiện (i) và (ii) của định lý. Xét tập
hợp


i
i I
S e


và một ánh xạ
:
g S P

xác định bởi


,
i i
g e a i I
  
. Cho F

là một R-môđun tự do trên tập hợp S. Khi đó theo tính phổ dụng của môđun
tự do, tồn tại R–đồng cấu
:
F P


mở rộng của g, tức sao cho


,
i i
e a i I

  
. Bây giờ ta định nghĩa một ánh xạ
:
f P F

bởi




i i
i I
f a f a e



; chú ý rằng tổng này là hữu hạn nên

f
được hoàn toàn xác
định và là R–đồng cấu. Khi đó ta suy ra
      
 
 
,
i i i i i i
i I i I i I
f a f a e f a e f a a a a P
  
  
 
     
 
 
  

,
tức
1
P
f



. Vậy ta có dãy khớp ngắn
Tiểu luận cơ sở Đại Số hiện đại 13
Học viên: Trần Cao Hoàng Lớp: LL & PP dạy học môn Toán
0 0

Ker F P


   
,
là chẻ ra. Điều này nói lên rằng P đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của
môđun tự do
F
và khi đó theo mệnh đề 2.1 thì
P
là R-môđunxạ ảnh. Định
lý được chứng minh.
Tiểu luận cơ sở Đại Số hiện đại 14
Học viên: Trần Cao Hoàng Lớp: LL & PP dạy học môn Toán
Chương 3. BÀI TẬP ÁP DỤNG

3.1.Bài tập 1. Cho R là vành tất cả các hàm số thực liên tục trên đoạn


0,1
với phép cộng và phép nhân:
,
f g R











;
f g a f a g a
  









fg a f a g a

.
Đặt








| 0 0, ,0 1
P f R f a a f f
 

       
 
.
Chứng minh rằng:
i) P là R-môđun xạ ảnh.
ii) P là hợp của một dây chuyền tăng chặt vô hạn các Iđêan chính trong R.
Giải :
i) Ta xây dựng họ


, : 1,2,
n n
a f n 
như trong định lý cơ sở đối ngẫu. Với
mỗi
a R

, ta viết








supp 0,1 : 0
a x a x
  
.

Chúng ta xác định
( 1)
n
b P n
 
bằng các đồ thị sau:

Nơi
 
1 1
supp( ) , 0,1
1 1
n
b
n n
 
 
 
 
 
. Với bất kỳ x > 0, chúng ta có


0
n
b x


với nhiều nhất là hai giá trị n, và thật dễ dàng để thấy rằng



1
1
n
n
b x




.
Bây giờ xác định
:
n
f R R

sao cho
:
n n
a b P
 
, với


   
n n
b x b x


Tiểu luận cơ sở Đại Số hiện đại 15

Học viên: Trần Cao Hoàng Lớp: LL & PP dạy học môn Toán
với mọi


0,1
x
. Bằng cách hạn chế Iđêan P, chúng ta có thể xem
n
f
như là
một phần tử của
*
P
. Với bất kỳ
a P

, chúng ta có


0
n n
f a aa
 
với bất
kỳ n đủ lớn để a biến mất trên


0,1/ 1
n 
 

 
. Cuối cùng, chúng ta có


1
n n
n
a a f a




kể cả hai phía từ gốc 0, và từ x > 0:
         
1/2 1/2
1 1
n n n n
n n
a f a x b x b x a x
 
 
 

 
 
 


   
1

n
n
b x a x








.
a x


Áp dụng định lý cơ sở đối ngẫu ta có P là R-môđun xạ ảnh.
ii) Với
2
n

, đặt
n
a P

là hàm liên tục từng phần tuyến tính


0,1 

mà

bằng không trên


0,1/
n
và có đồ thị trên


1/ ,1
n
là các đoạn thẳng nối hai
điểm


1/ ,0
n
và


1,1
. Lưu ý rằng
1
n n
a a R


từ bất kỳ hàm trong
n
a R
phải

triệt tiêu trên


1/ ( 1),1/
n n

ngoại trừ
1
n
a

. Mặt khác,
1
n n
a a R


. Để thấy
điều này, ta định nghĩa một hàm
n
g
trên


0,1
sao cho


0
n

g x

nếu


0,1/
x n

, và






1
/
n n n
g x a x a x


nếu


1/ ,1
x n

. Hàm
n
g

là liên tục
trên


1/ ( 1),1
n 
và bằng không trên đoạn


0,1/
n
vì
n
g R

. Sau đó
1 1
.
n n n n
a a g a R
 
 
và chúng ta có một chuỗi tăng dần các vành Iđêan chính
2 3 n
a R a R a R
 
   

trong
P

. Với bất kỳ
f P

, lấy
n


sao cho
f
biến mất trên


0,1/
n
. Sử
dụng chứng minh trên cho
f
(thay thế của
n
a
), chúng ta thấy rằng
1
n
f a R


.
Do đó,
2
n

n
P a R



, như mong muốn.
Tiểu luận cơ sở Đại Số hiện đại 16
Học viên: Trần Cao Hoàng Lớp: LL & PP dạy học môn Toán
3.2.Bài tập 2. Chứng minh rằng mọi R-môđunxạ ảnh hữu hạn sinh P đều có
thể được biểu diễn như


n
e R
, với
:
n n
e R R

là phép nhân bởi một ma trận
lũy đẳng


ij
n
a
có hệ tử thuộc vành
R
.
Giải:

Chọn một môđun Q phù hợp sao cho
n
P Q R
 
, và cho






n
ij R n
e a End R R
   

là phép chiếu ánh xạ lên P lấy vi phân theo các phân tích này. Rõ ràng
2
e e

, và
n
eR P

. Đặt
j
a
bằng cột thứ
j
của

e
(vì
j
a P

), và đặt
j
f
là ánh
xạ tuyến tính theo hàm trên
P
với bất kỳ vectơ trong
P
theo tọa độ vị trí thứ
j
. Chúng ta có


, :1
j j
a f j n
 
là một cặp đôi cơ sở của P (như trong định
lý cơ sở đối ngẫu). Trong thực tế, với bất kỳ vectơ


1
, ,
t
n

x x x P
 
, chúng
ta có:
 
1
11 1 12 2
1 1 2 2

.

j
j j j
j j
n n nj
b
b x b x
x ex x a f x
b x b x b
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 

 
 
 
 

Tiểu luận cơ sở Đại Số hiện đại 17
Học viên: Trần Cao Hoàng Lớp: LL & PP dạy học môn Toán

KẾT LUẬN

Tóm lại, tiểu luận này đã trình bày những kiến thức cở bản về môđun
xạ ảnh, và đặc biệt là đã giải một số bài tập liên quan đến cấu trúc môđun
này.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng vì khả năng và thời gian còn hạn
chế nên tiểu luận này khó tránh khỏi sai sót, mong nhận được sự đóng góp
của quý thầy cô và bạn đọc.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn TS. Phan Văn Thiện đã tận tình
giảng dạy học phần Cơ sở đại số hiện đại. Tôi cũng xin chân thành cám ơn
các học viên cao học Toán khóa XX nhiệt tình giúp đỡ động viên tôi trong
quá trình làm tiểu luận.

Tiểu luận cơ sở Đại Số hiện đại 18
Học viên: Trần Cao Hoàng Lớp: LL & PP dạy học môn Toán

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. N.T. Lanh, Đại số (Giáo trình sau đại học), Nhà xuất bản giáo dục, 1985.
2. S. Lang, Đại số (T.V. Hạo, H. Kỳ dịch), Nhà xuất bản ĐHTHCN, 1978.
3. F.W. Anderson, K.R. Fuller, Rings and Categories of Modules, Springer-
Verlag, 1974.

4. C. Faith, Algebra I: Rings, Modules and Categories, Springer-Verlag,
1981.
5. T.Y. Lam, Lectures on Modules and Rings, Springer-Verlag, 1999.
6. T.Y. Lam, Exercices in Modules and Rings, Springer, 2007.