TIỂU LUẬN CƠ SỞ ĐẠI SỐ MÔĐUN NỘI XẠ VÀ VÀNH NOETHERIAN. ĐỊNH LÝ FAITH WALKER CHÍNH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
TRẦN LÊ HƯƠNG LY
MÔĐUN NỘI XẠ VÀ VÀNH
NOETHERIAN. ĐỊNH LÝ FAITH
- WALKER CHÍNH
Chuyên ngành: Hình học và Tôpô
TIỂU LUẬN CƠ SỞ ĐẠI SỐ
Cán bộ hướng dẫn khoa học
TS. PHAN VĂN THIỆN
Huế, tháng 2, năm 2009
i
Mục lục
Trang phụ bìa i
Mục lục 1
Lời nói đầu 2
Chương 1 Môđun nội xạ 3
1.1 Môđun nội xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Môđun cốt yếu và bao nội xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Bao nội xạ và vật đối sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Chương 2 Vành Noetherian 7
2.1 Định nghĩa và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Đặc trưng của vành Noetherian qua môđun nội xạ . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Phân tích môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Chương 3 Môđun nội xạ và vành Noetherian. Định lý Faith - Walker
chính 11
3.1 Vành Noetherian và vật đối sinh cực tiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Phân tích Môđun nội xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3 Định lý Faith - Walker chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Kết luận 20

Tài liệu tham khảo 21
1
LỜI NÓI ĐẦU
Khái niệm môđun nội xạ được R. Baer phát hiện vào năm 1940. Từ đó đến nay,
lớp môđun này được nghiên cứu mạnh mẽ và trở thành một công cụ quan trọng trong
mọi ngành của Đại số học. Một trong những hướng nghiên cứu là tìm cách phân tích
một môđun nội xạ thành các môđun con một cách tốt nhất. Bên cạnh đó, việc nghiên
cứu môđun nội xạ trên vành Noetherian là một lớp vành quan trọng nhất của ngành
Đại số giao hoán và Hình học đại số lại cho ta nhiều kết quả rất đẹp.
Tiểu luận này muốn tìm hiểu đặc trưng của vành Noetherian theo quan điểm cấu
trúc môđun nội xạ, chia làm 3 chương:
Chương I và chương II muốn nhắc lại một số kiến thức cơ bản về Môđun nội xạ và
vành Noetherian nhằm chuẩn bị cho chương III nên nhiều kết quả chỉ nêu ra mà không
chứng minh. Tuy nhiên do tầm quan trọng của các kết quả này mà tác giả phải tách
chúng thành hai chương, đồng thời chứng minh một đặc trưng quan trọng của vành
Noetherian qua môđun nội xạ.
Chương III là phần chính của tiểu luận, theo đuổi xa hơn và tìm ra những đặc
trưng khác của vành Noetherian qua môđun nội xạ, đặc biệt nêu và chứng minh định
lý Faith - Walker chính.
Trong tiểu luận này, ta cần lưu ý :
1. Tất cả các định nghĩa và các kết quả đều được phát biểu cho các R - môđun trái
và R là vành có đơn vị.
2. Ta kí hiệu tích trực tiếp (tương ứng : tổng trực tiếp) một họ các R - môđun
(M
α
)
α∈A
là

A

M
α
(tương ứng:

A
M
α
). Nếu M
α
= M với mọi α ∈ A, ta viết
M
A
=

A
M (tương ứng : M
(A)
=

A
M).
Để hoàn thành tiểu luận, tôi xin chân thành cảm ơn TS. Phan Văn Thiện đã tận
tình giảng dạy học phần Cơ sở đại số hiện đại. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các
viên cao học Toán khóa XVII nhiệt tình giúp đỡ động viên tôi trong quá trình làm tiểu
luận.
Trong một thời gian ngắn phải hoàn thành nên tiểu luận không tránh khỏi những
thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn.
Huế, tháng 02 năm 2009
Trần Lê Hương Ly
2

Chương 1
MÔĐUN NỘI XẠ
1.1 Môđun nội xạ
Định nghĩa 1.1.1. R - môđun E được gọi là nội xạ nếu với mọi đồng cấu f : A −→ E,
với mọi đơn cấu g : A −→ B, tồn tại đồng cấu h : B −→ E sao cho hg = f
0
//
A
g
//
f

B
h
~~
E
Từ định nghĩa, ta dễ dàng chứng minh các mệnh đề sau đây:
Mệnh đề 1.1.2. Hạng tử trực tiếp của môđun nội xạ là nội xạ.
Mệnh đề 1.1.3. Nếu (E
i
)
i∈I
là họ các R - môđun thì tích trực tiếp

I
E
i
là nội xạ khi
và chỉ khi với mọi i ∈ I , E
i

nội xạ.
Chú ý 1.1.4. Ta để ý rằng
1. Khi tập chỉ số I là hữu hạn thì tích trực tiếp và tổng trực tiếp trùng nhau nên
mệnh đề 1.1.3 vẫn đúng cho tổng trực tiếp

I
E
i
trong trường hợp này. Tuy nhiên,
nếu tập chỉ số I là vô hạn thì điều kiện với mọi i ∈ I, E
i
nội xạ nói chung không
suy ra tổng trực tiếp

I
E
i
nội xạ.
2. Nếu E
∼
=
Q mà E nội xạ thì Q cũng nội xạ.
Ta có một tiêu chuẩn đơn giản những hữu hiệu để kiểm tra tính nội xạ của một
môđun
Định lý 1.1.5. (Tiêu chuẩn Baer) Một R - môđun E là nội xạ khi và chỉ khi với mọi
Ideal trái I của R (xem như một R - môđun), với mọi đồng cấu R - môđun f : I −→ E,
tồn tại một đồng cấu R - môđun h : R −→ E sao cho hi = f trong đó i : I −→ R là
đồng cấu bao hàm.
3
Hệ quả 1.1.6. Một R - môđun E là nội xạ khi và chỉ khi với mỗi Ideal trái I ≤ R và

mỗi đồng cấu h : I −→ E, tồn tại một x ∈ E sao cho h(a) = ax với mọi a ∈ I
Chứng minh. Giả sử E nội xạ, I ≤ R. Xét đồng cấu R - môđun h : I −→ E. Lúc đó
theo tiêu chuẩn Baer, tồn tại h : R −→ E sao cho h = hi tức là h
|
I
= h. Đặt x = h(1).
Lúc đó với mọi ∈ I, ta có h(a) = h(a) = ah(1) = ax.
Chiều ngược lại chứng minh một cách dễ dàng.
Định nghĩa 1.1.7. Đơn cấu α : A −→ B được gọi là chẻ ra nếu Imα là hạng tử trực
tiếp trong B
Mệnh đề 1.1.8. Đồng cấu môđun α : A −→ B là đơn cấu chẻ ra khi và chỉ khi tồn tại
đồng cấu β : B −→ A sao cho βα = id
A
. Khi đó B = Imα ⊕ kerβ
Định lý 1.1.9. Mỗi R - môđun E là nội xạ khi và chỉ khi mỗi đơn cấu ϕ : E −→ B là
đơn cấu chẻ ra.
Định lý 1.1.10. Mọi R - môđun M đều tồn tại một R - môđun nội xạ E và đơn cấu
i : M −→ E
1.2 Môđun cốt yếu và bao nội xạ
Định nghĩa 1.2.1. Cho M là một R - môđun khác không và K là môđun con của M
(K ≤ M).
• K được gọi là cốt yếu (lớn) trong M nếu với mỗi môđun con L ≤ M, K ∩ L = 0
thì L = 0. Kí hiệu K ✂ M.
• Đơn cấu f : K −→ M được gọi là đơn cấu cốt yếu nếu Imf ✂ M.
Nhận xét 1.2.2. Từ định nghĩa ta có các nhận xét sau:
1. K ≤ M là cốt yếu trong M nếu với mỗi môđun con khác không của M (0 = L ≤
M), ta luôn có K ∩ L = 0
2. Mỗi môđun là cốt yếu trong chính nó. Ngoài ra khái niệm môđun cốt yếu còn có
tính bắt cầu : Nếu M cốt yếu trong E, N cốt yếu trong M thì N cốt yếu trong
E.

Như ta đã biết ở định lý 1.1.10, mỗi R - môđun M có thể nhúng vào một môđun
nội xạ. Ta tìm xem môđun nội xạ nhỏ nhất mà M có thể nhúng vào là gì.
4
Định nghĩa 1.2.3. Một cặp (E, i) được gọi là bao nội xạ của R - môđun M nếu E nội
xạ và 0 −→ M
i
−→ E là đơn cấu cốt yếu.
Kí hiệu bao nội xạ của M là E(M).
Ta thường nghĩ về M như là môđun con của E(M).
Một trong những tính chất quan trọng của bao nội xạ chúng ta có được phát biểu trong
mệnh đề sau đây:
Mệnh đề 1.2.4. Cho R là một vành. M, N, Q là các R - môđun.
1. M là nội xạ khi và chỉ khi M = E(M).
2. Nếu M ✂ N thì E(M) = E(N).
3. Nếu M ≤ Q và Q nội xạ thì Q = E(M) ⊕ E

trong đó E

≤ Q
4. Nếu

A
E(M
α
) nội xạ (chẳng hạn nếu A hữu hạn) thì E(

A
M
α
) =


A
E(M
α
).
Chứng minh. 1. Nếu M = E(M) thì từ định nghĩa bao nội xạ suy ra M là nội xạ.
Ngược lại, giả sử M nội xạ, vì M cốt yếu trong chính nó nên M = E(M).
2. Ta có N ✂ E(N) và theo giả thiết M ✂ N nên suy ra M ✂ E(N). Vì E(N) nội xạ
nên ánh xạ bao hàm i : M −→ E(N) là bao nội xạ của M. Vậy E(M) = E(N).
3. Ta có M ≤ Q và Q nội xạ nên E(M) ≤ Q.Vì E(M) nội xạ nên đơn cấu bao hàm
i : E(M) −→ Q là chẻ ra. Do đó E(M) là hạng tử trực tiếp của Q
4. Dễ dàng có được điều này.
1.3 Bao nội xạ và vật đối sinh
Định nghĩa 1.3.1. A là một tập chỉ số khác rỗng bất kì và E là một tập bất kì. Ta
xác định một hàm số A −→ {E} bởi α −→ E
α
. Lúc đó E
α
được gọi là một bản sao của
E.
Định nghĩa 1.3.2. Cho C là một R - môđun. C được gọi là vật đối sinh của R nếu
với mỗi R - môđun M, M có thể được nhúng vào tích các bản sao của C.
0 −→ M −→ C
A
(điều này có nghĩa là

kerh = 0, h ∈ Hom(M, C))
5
Bây giờ, cho R là một vành. Ta sẽ thấy rằng tồn tại vật đối sinh của R. Thực ra,
R luôn có một vật đối sinh C

0
mà chúng ta gọi là vật đối sinh cực tiểu. Vật đối sinh
cực tiểu này có thể nhúng vào mỗi vật đối sinh của R.
Định lý 1.3.3. Kí hiệu S là tập không rút gọn được các đại diện các R - môđun đơn.
Lúc đó
C
0
=

T ∈S
E(T )
là vật đối sinh của R. Hơn nữa, với một R - môđun C, các mệnh đề sau là tương đương
1. C là vật đối sinh.
2. Với mọi R - môđun đơn T , E(T) đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của C.
3. C
0
đẳng cấu với một môđun con của C.
6
Chương 2
VÀNH NOETHERIAN
Trong chương này, ta nghiên cứu lớp vành được định nghĩa dựa vào lớp môđun
mang tên một nhà nữ toán học người Đức Emmy Noetherian. Đây là lớp môđun quan
trọng nhất trong ngành Hình học đại số và Đại số giao hoán.
2.1 Định nghĩa và các tính chất
Định nghĩa 2.1.1. Một R - môđun M được gọi là môđun Noetherian nếu với mỗi tập
khác rỗng các môđun con của M luôn chứa ít nhất một phần tử tối đại (theo quan hệ
bao hàm). Vành R được gọi là vành Noetherian nếu R là một R - môđun Noetherian.
Định nghĩa 2.1.2. Một tập L các môđun con của R - môđun M được gọi là thỏa mãn
điều kiện dây chuyền tăng (hay dừng)nếu với mọi dây chuyền
L

1
≤ L
2
≤ ≤ L
n
≤
trong L, tồn tại số n sao cho L
n+i
= L
n
(i = 1, 2, )
Ta biết rằng một R - môđun hữu hạn sinh thì môđun con của nó chưa chắc là
môđun hữu hạn sinh. Tuy nhiên, khi R là vành Noetherian thì ta có kết quả sau:
Định lý 2.1.3. Cho M là một R - môđun. Khi đó các điều kiện sau là tương đương.
1. M là môđun Noetherian.
2. Mọi môđun con của M là hữu hạn sinh.
3. Mọi dây chuyền tăng các môđun con của M đều dừng.
Mệnh đề 2.1.4. Một môđun M trên một vành Noetherian là môđun Noetherian khi và
chỉ khi M hữu hạn sinh.
7
2.2 Đặc trưng của vành Noetherian qua môđun nội
xạ
Ta biết rằng tổng trực tiếp các R - môđun nội xạ chưa chắc là môđun nội xạ. Tuy
nhiên, điều này đúng nếu R là vành Noetherian và trên vành này, bao nội xạ giao hoán
với tổng trực tiếp.
Định lý 2.2.1. Cho R là một vành. Các mệnh đề sau đây là tương đương.
(a) Tổng trực tiếp các môđun nội xạ là nội xạ
(b) Nếu (M
α
)

α
là tập được chỉ số hóa các R - môđun thì
E(

A
M
α
) =

A
E(M
α
)
(c) R - là vành Noetherian.
Chứng minh. (a) ⇔ (b) Điều này có được từ mệnh đề 1.2.4.
(a) ⇒ (c). Giả sử
I
1
⊆ I
2
⊆
là dây chuyền tăng các Ideal trong R. Ta chứng minh dây chuyền tăng này dừng.
Đặt I =
∞

i=1
I
i
và kí hiệu f
i

: I/I
i
−→ E(I/I
i
) là các phép nhúng chính tắc. Chú ý
rằng với mỗi a ∈ I tùy ý, tồn tại số tự nhiên n
a
sao cho a ∈ I
n
a
+k
, (k = 1, 2, ). Do đó
ta xác định được một ánh xạ f : I −→
∞

i=1
E(I/I
i
) như sau
f(a) = (f
i
(a + I
i
))
i
∈
n
a

i=1

E(I/I
i
) ⊆
∞

i=1
E(I/I
i
), ∀a ∈ I
Lúc đó, vì
∞

i=1
E(I/I
i
) là R - môđun nội xạ nên theo hệ quả 1.1.6, tồn tại x =
(b
i
)
i
∈
∞

i=1
E(I/I
i
) sao cho f(a) = ax với mọi a ∈ I, Suy ra f
i
(a + I
i

) = ab
i
. Nhưng vì
x = (b
i
)
i
∈
∞

i=1
E(I/I
i
) nên tồn tại số tự nhiên k sao cho b
i
= 0 với mọi i ≥ k. Do đó
f
i
(a + I
i
) = 0 với mọi i ≥ k. Vậy f
i
= 0 với mọi i ≥ k tức là I
i
= I
k
với mọi i ≥ k hay
dây chuyền đã cho dừng.
(c) ⇒ (a) Giả sử E =


A
E
i
là tổng trực tiếp các R - môđun nội xạ E
i
. Ta chứng minh
E nội xạ bằng tiêu chuẩn Baer.
Gọi I là một Ideal tùy ý của R, f : I −→ E là đồng cấu và j : I −→ R là đồng cấu
bao hàm. Vì R là vành Noetherian nên I hữu hạn sinh. Giả sử I có hệ sinh là {a
1
, , a
n
}.
8
Khi đó tồn tại một tập hữu hạn J ⊆ A sao cho với mọi k = 1, , n thì thành phần của
f(a
k
) trong E
j
khác không khi và chỉ khi j ∈ J. Từ đây suy ra f(I) ⊆

j∈J
(E
j
). Đặt
f

: I −→

j∈J

(E
j
) là hạn chế của f trong ảnh f (I) và j

:

j∈J
(E
j
) −→

j∈A
(E
j
) = E là
phép nhúng chính tắc thì f = j

f

. Vì tập chỉ số J là hữu hạn nên

j∈J
(E
j
) là nội xạ.
Suy ra tồn tại R - đồng cấu g

: R −→

j∈J

(E
j
) để f

= g

j. Đặt g = j

g

. Ta suy ra
gj = j

g

j = j

f

= f.
Vậy E nội xạ.
2.3 Phân tích môđun
Phần này được đưa vào để chuẩn bị cho chương 3.
Định nghĩa 2.3.1. Một môđun được gọi là không phân tích được nếu nó khác không
và chỉ có các hạng tử trực tiếp tầm thường là 0 và chính nó.
Định nghĩa 2.3.2. Một phân tích trực tiếp môđun M =

A
M
α

được gọi là sự phân
tích không phân tích được nếu mỗi M
α
không phân tích được.
Định nghĩa 2.3.3. Nếu M là một R - môđun thì hạng tử trực tiếp K của M được gọi
là hạng tử trực tiếp cực đại của M nếu K có một bù trực tiếp không phân tích được N
trong M.
Định nghĩa 2.3.4. Một sự phân tích M =

A
M
α
thành tổng trực tiếp các môđun
con khác không được gọi là bù các hạng tử trực tiếp (bù các hạng tử trực tiếp cực đại)
nếu với mọi hạng tử trực tiếp K (hạng tử trực tiếp cực đại K) của M, có một tập con
B ⊆ A với
M = (

B
M
β
)

K
Nhận xét 2.3.5. Một sự phân tích bù các hạng tử trực tiếp thì bù các hạng tử trực
tiếp cực đại. Điều ngược lại không đúng.
Bổ đề 2.3.6. Cho M =

A
M

α
là sự phân tích bù các hạng tử trực tiếp cực đại. Nếu
M = N
1
⊕ ⊕ N
n
⊕ K
trong đó mỗi N
1
, , N
n
là không phân tích được thì tồn tại α
1
, , α
n
∈ A sao cho
M
α
i
∼
=
N
i
(i = 1, , n)
và với mỗi 1 ≤ l ≤ n,
M = M
α
1
⊕ M
α

l
⊕ N
l+1
⊕ ⊕ N
n
⊕ K
9
Nhắc lại rằng vành R là vành địa phương khi và chỉ khi với mọi t ∈ R, hoặc t hoặc
1 − t là khả nghịch.
Định lý 2.3.7. (Định lý Azumaya) Nếu một môđun có sự phân tích trực tiếp M =

A
M
α
trong đó mỗi vành tự đồng cấu End(M
α
) là địa phương thì có một sự phân tích
không phân tích được và mỗi hạng tử trực tiếp khác không của M có một hạng tử hạng
tử trực tiếp không phân tích được.
10
Chương 3
MÔĐUN NỘI XẠ VÀ VÀNH
NOETHERIAN. ĐỊNH LÝ FAITH -
WALKER CHÍNH
Để kiểm tra một vành là vành Noetherian, ta thường dùng định lý "R là vành
Noetherian khi và chỉ khi tổng trực tiếp các R - môđun nội xạ là nội xạ". Tuy nhiên,
ta cố gắng tìm ra một tiêu chuẩn khác tốt hơn nhiều.
3.1 Vành Noetherian và vật đối sinh cực tiểu
Định nghĩa 3.1.1. Cho M là một R - Môđun, X ⊆ M, A ⊆ R.
l

R
(X) = {r ∈ R|rx = 0∀x ∈ X}
r
M
(A) = {x ∈ M|ax = 0∀a ∈ A}
lần lượt được gọi là linh hóa tử trái của X trong R và linh hóa tử phải của A trong M
Kí hiệu: L
R
(M) = {l
R
(X)|X ⊆ M}; R
M
(R) = {r
M
(A)|A ⊆ R}
Chú ý 3.1.2. Từ định nghĩa trên, dễ dàng nhận thấy:
1. l
R
(X) là Ideal trái của R và được gọi là Ideal M - linh hóa tử trái; r
M
(A) là nhóm
con của nhóm cộng M. Nếu A là Ideal trái thì r
M
(A) là môđun con của M.
2. X, Y ⊆ M; A, B ⊆ R.
• Nếu X ⊆ Y thì l
R
(Y ) ⊆ l
R
(X).

• Nếu A ⊆ B thì r
M
(B) ⊆ r
M
(A)
3. A ∈ L
R
(M) ⇔ A = l
R
r
M
(A); X ∈ R
M
(R) ⇔ X = r
M
l
R
(X)
Định lý 3.1.3 (Faith). Cho E là một R - môđun nội xạ. Lúc đó các mệnh đề sau đây
là tương đương:
11
a/ E
(A)
nội xạ với mọi tập A.
b/ Các Ideal E - linh hóa tử trái trong R thỏa điều kiện dây chuyền tăng.
c/ E
(N)
nội xạ.
Chứng minh. a ⇒ c: Rõ ràng.
c ⇒ b: Giả sử E

(N)
nội xạ và các Ideal E - linh hóa tử trái trong R không thỏa điều
kiện dây chuyền tăng tức là có một dãy tăng ngặt
I
1
⊂ I
2
⊂
trong L
R
(E). Lúc đó theo chú ý 3.1.2, ta có dãy giảm ngặt
r
E
(I
1
) ⊃ r
E
(I
2
) ⊃
Đặt I =
∞

n=1
I
n
. Với mỗi n, chọn x
n
∈ r
E

(I
n
)\r
E
(I
n+1
). Lúc đó, với mỗi a ∈ I, ∃n > 0
sao cho a ∈ I
n
. Suy ra a ∈ I
n+k
∀k = 1; 2 Do đó ax
n+k
= 0∀k = 1; 2 Vì thế ánh xạ
f : I −→ E
(N)
a −→ (ax
1
, ax
2
, )
là một R - đồng cấu. Vì E
(N)
nội xạ nên theo hệ quả 1.1.6, tồn tại y = (y
1
, y
2
, , y
n
, 0, )

sao cho với mọi a ∈ I, (ax
1
, ax
2
, ) = ay = (ay
1
, ay
2
, , ay
n
, 0, ). Nhưng điều này lại
mâu thuẫn với với cách chọn x
n+1
không thuộc r
E
(I
n+2
).
Vậy các Ideal E - linh hóa tử trái trong R thỏa điều kiện dây chuyền tăng.
b ⇒ a: Giả sử b/ thỏa.
Trước tiên ta chứng minh rằng mỗi tập khác rỗng các Ideal E - linh hóa tử trái đều
chứa một phần tử cực đại. Thật vậy, giả sử ngược lại, có một tập con khác rỗng Γ các
Ideal E - linh hóa tử trái mà Γ không có phần tử cực đại. Khi đó, với mỗi I
1
∈ Γ, ta
tìm được I
2
∈ Γ sao cho I
1
⊂ I

2
(I
1
= I
2
). Từ đó ta chọn được một chuỗi tăng ngặt vô
hạn I
1
⊂ I
2
⊂ Điều này trái với giả thiết b/. Do đó, mỗi tập khác rỗng các Ideal E
- linh hóa tử trái đều chứa một phần tử cực đại.
Gọi I là một Ideal của R. Xét đồng cấu R - Môđun f : I −→ E
(A)
.
Vì E nội xạ nên E
A
nội xạ. Theo hệ quả 1.1.6, tồn tại x ∈ E
A
sao cho f(a) = ax
∀a ∈ I (Vì E
(A)
≤ E
A
).
Với mọi α ∈ A , đặt
π
α
: E
A

−→ E
(x
α
)
α∈A
−→ x
α
12
Với mỗi F ⊆ A, đặt x
F
= (x
β
)
β∈F
, trong đó π
α
(x
F
) = π
α
(x) nếu α ∈ F , π
α
(x
F
) = 0
trong trường hợp ngược lại. Đặt l
R
(x
U
) = {π

α
(x)|α ∈ U}.
Theo giả thiết và chứng minh trên, tập Γ = {l
R
(x
A\F
)|F là tập con hữu hạn của A}
có phần tử cực đại là l
R
(x
A\F
0
).
Nếu F là một tập con hữu hạn của A thì F
0
⊆ F . Suy ra A\F ⊆ A\F
0
. Do đó
l
R
(x
A\F
) ⊇ l
R
(x
A\F
0
). Theo định nghĩa phần tử cực đại ta suy ra l
R
(x

A\F
) = l
R
(x
A\F
0
).
Bây giờ, với mỗi a ∈ I, vì f (a) ∈ E
(A)
nên có một tập con hữu hạn F
a
⊇ F
0
sao cho
aπ
α
(x) = π
α
(ax) = π
α
(f(a)) = 0(α ∈ A\F
a
).
Vì vậy, a ∈ l
R
(x
A\F
a
) = l
R

(x
A\F
0
). Suy ra
f(a) = ax = ax − ax
A\F
0
= a(x − x
A\F
0
) = ax
F
0
Nhưng vì x
F
0
∈ E
(A)
nên E
(A)
nội xạ theo hệ quả 1.1.6.
Định lý Faith vừa chứng minh cùng bổ đề sau đây cho ta một tiêu chuẩn tiện lợi
hơn nhiều để kiểm tra một vành là Noetherian.
Bổ đề 3.1.4. Cho I là Ideal trái của R và M là một R - Môđun. Lúc đó, M đối sinh
R/I khi và chỉ khi I là linh hóa tử của một tập con của M.
Chứng minh. Dễ dàng kiểm tra
l
R
(r
M

(I)) =

{kerf|f : R −→ M, I ≤ kerf}
Từ đó l
R
(r
M
(I))/I =

h:R/I→M
kerh.
Vì M đối sinh R/I nên I =

h:R/I→M
kerh. Từ đây suy ra điều phải chứng minh.
Định lý 3.1.5. Cho R là một vành với vật R - đối sinh cực tiểu C
0
. Lúc đó các mệnh
đề sau tương đương:
a/ R là vành Noetherian.
b/ Một tổng trực tiếp vô hạn các bản sao của một vật R- đối sinh nào đó là nội xạ.
c/ C
(N)
0
là nội xạ.
Chứng minh. a ⇒ c : Vì R là vành Noetherian và C
0
là tổng trực tiếp các bao nội xạ
của các môđun đơn) nên C
0

nội xạ. Lúc đó C
(N)
0
là tổng trực tiếp của các môđun nội
xạ nên C
(N)
0
là nội xạ.
c ⇒ b : Điều này là rõ ràng.
b ⇒ a : Được suy ra từ định lí Faith và bổ đề 3.1.4
13
3.2 Phân tích Môđun nội xạ
Bổ đề 3.2.1. Vành các tự đồng cấu của mỗi môđun nội xạ khác 0 không phân tích được
là vành địa phương.
Chứng minh. Giả sử E là một môđun nội xạ khác 0 không phân tích được. Gọi U là
môđun con khác 0 bất kì của E. Vì E nội xạ nên theo mệnh đề 1.2.4, ta có E = E(U)⊕E

với E

≤ E. Vì E không phân tích được nên hoặc E(U) = 0 hoặc E

= 0, nhưng vì
U = 0 nên E(U) = 0. Do đó E

= 0. Suy ra E = E(U). Vì thế U ✂ E. Như thế ta vừa
chứng minh được nếu 0 = U ≤ E thì U ✂ E.
Lấy t ∈ End(E).
Với mọi x ∈ kert ∩ ker(1 − t), ta có

t(x) = 0

(1 − t)(x) = 0.
⇒

t(x) = 0
x = t(x).
Do đó x = 0. Suy ra kert ∩ ker(1 − t) = 0.
Nếu t đơn cấu, vì E nội xạ nên t chẻ ra, tức là tồn tại một đồng cấu s ∈ End(E)
sao cho st = 1
E
và lúc đó E = Im(t) ⊕ ker(s). Suy ra Im(t) ∩ ker(s) = 0. Vì t đơn cấu
và E = 0 nên suy ra Im(t) = 0.
Vì 0 = Im(t) ≤ E nên theo chứng minh trên ta có Im(t) ✂ E. Do đó ker(s) = 0. Suy
ra E = Im(t). Vì thế t là toàn cấu. Như vậy t là đẳng cấu. Suy ra t khả nghịch.
Nếu t không khả nghịch, theo chứng minh trên thì t không đơn cấu, suy ra ker(t) = 0.
Do đó ker(t) ✂ E. Vì kert ∩ ker(1 − t) = 0 nên suy ra ker(1 − t) = 0, tức là 1 − t đơn
cấu. Chứng minh tương tự ta có 1 − t khả nghịch.
Vậy End(E) là vành địa phương.
Mệnh đề 3.2.2. Nếu một môđun nội xạ E có sự phân tích không phân tích được
E =

A
E
α
thì đó là sự phân tích bù các hạng tử trực tiếp.
Chứng minh. Gọi K là hạng tử trực tiếp của E, suy ra K nội xạ. Chọn B ⊆ A cực đại
đối với tính chất (

B
E
β

) ∩ K = 0.
Lúc đó (

B
E
β
) + K = (

B
E
β
) ⊕ K nội xạ (tổng trực tiếp hữu hạn các môđun nội
xạ là nội xạ).
Giả sử E = E

⊕ (

B
E
β
) ⊕ K với E

≤ E. Ta cần chứng minh E

= 0.
Nếu E

= 0. Vì E nội xạ nên E
α
nội xạ với mọi α. Do đó, từ giả thiết ta có E

α
nội
xạ không phân tích được với mọi α. Theo bổ đề 3.2.1, End(E
α
) là vành địa phương với
mọi α. Như thế sự phân tích E =

A
E
α
thỏa mãn định lý Azumaya. Vì E

= 0 nên E

có chứa một hạng tử trực tiếp không phân tích được và có một γ ∈ A và một hạng tử
14
trực tiếp E

của E

sao cho
E = E
γ
⊕ (E

⊕ (

B
E
β

) ⊕ K)
Điều này mâu thuẫn với tính cực đại của B. Suy ra E

= 0. Do đó E = (

B
E
β
) ⊕ K.
Vậy E =

A
E
α
là sự phân tích bù các hạng tử trực tiếp.
Một môđun nội xạ trên vành R không cần phải có sự phân tích không phân tích
được. Nhưng mộtR - môđun nội xạ có sự phân tích không phân tích được khi và chỉ
khi R là vành Noetherian.
Định lý 3.2.3. Cho R là một vành. Các mệnh đề sau đây là tương đương.
(a) R là vành Noetherian.
(b) Mỗi R - môđun nội xạ là tổng trực tiếp của các R - môđun không phân tích được.
(c) Mỗi R - môđun nội xạ có sự phân tích bù các hạng tử trực tiếp.
(d) Mỗi R - môđun nội xạ có sự phân tích bù các hạng tử trực tiếp cực đại.
Chứng minh. (a) ⇒ (b) : Giả sử R là vành Noetherian và E là môđun nội xạ trên R.
Đặt
Γ = {A ≤ E|A nội xạ, A không phân tích được}
G = {Ω ⊂ Γ|

Ω
A =


Ω
A}
G = ∅ vì ∅ ∈ G . G được sắp thứ tự theo quan hệ thứ tự bao hàm.
Giả sử H là một dây chuyền trong G và đặt Ω
0
=

Ω∈H
Ω ⊂ Γ.
Giả sử Ω
0
 G tức là tổng các môđun con thuộc Ω
0
không là tổng trực tiếp. Khi đó
tồn tại một tổng con hữu hạn không là tổng trực tiếp. Nhưng tập con hữu hạn của Ω
0
lại nằm trong một Ω nào đó (Ω ∈ H) nên tổng các môđun thuộc tập này phải là tổng
trực tiếp. Mâu thuẫn này chứng tỏ Ω
0
∈ G.
Vì Ω
0
là cận trên của các phần tử trong G nên theo bổ đề Zorn, trong Γ có phần tử tối
đại.
Như thế ta suy ra trong E có một tập tối đại các môđun con nội xạ không phân tích
được có tổng là tổng trực tiếp. Giả sử đó là tổng
E
0
=


I
E
i
15
Vì E
i
nội xạ với mọi i và R là vành Noetherian nên E
0
nội xạ. Do đó, E
0
là hạng tử
trực tiếp của E. Giả sử E = E
0
⊕ B
0
với B
0
≤ E.
Nếu B
0
= 0. Gọi A là môđun con hữu hạn sinh của B
0
. Vì R là R - môđun Noetherian
nên A là môđun Noetherian (theo mệnh đề 2.1.4). Đặt Γ

= {B ≤ A|B = A và với A

≤
A nào đó,B là môđun con tối đại có tính chấtB ∩ A


= 0}.
Γ

= ∅ vì 0 ∈ Γ

. Vì A Noetherian nên trong Γ

có phần tử tối đại B
1
.
Gọi U là môđun con của A (vì thế cũng là môđun con của A) sao cho B
1
là môđun
con tối đại có tính chất B
1
∩ U = 0. Lúc đó, hiển nhiên U = 0.
Với mọi môđun con C = 0 của U, ta chứng minh C  U.
Thật vậy, giả sử ngược lại C không cốt yếu trong U, tức là tồn tại môđun con L = 0
sao cho C ∩ L = 0. Khi đó, C ∩ (B
1
+ L) = 0. Do tính tối đại của B
1
và do C = 0 ta
suy ra B
1
+ L = B
1
. Suy ra L ⊂ B
1

. Do đó L ⊂ U ∩ B
1
= 0. Điều này chứng tỏ C  U
với mọi 0 = C ≤ U.
Như thế ta vừa chứng minh trong B
0
có chứa một môđun con U = 0 mà với mọi
0 = C ≤ U, C  U.
Giả sử E(U) = X ⊕ Y, X = 0, Y = 0.
Vì U  E(U) nên U ∩X = 0, U ∩Y = 0. Theo chứng minh trên, ta có (U ∩X)∩(U ∩Y ) =
0. Suy ra X ∩ Y = 0 (mâu thuẫn với X ∩ Y = 0). Do đó E(U) không phân tích được.
Ta có B
0
nội xạ, U ≤ B
0
và E(U) chứa U. Suy ra E(U) là hạng tử trực tiếp của
B
0
. Giả sử B
0
= E(U) ⊕ B
2
. Lúc đó E
0
+ E(U) = E
0
⊕ E(U) là tổng trực tiếp của các
môđun nội xạ không phân tích được. Điều này mâu thuẫn với với tính tối đại của tập
I.
Vậy B

0
= 0. Suy ra E = E
0
.
(b) ⇒ (c) : Điều này được suy ra từ mệnh đề 3.2.2
(c) ⇒ (d) : Rõ ràng
(d) ⇒ (a) : Cho S là tập không rút gọn được các đại diện của các R - môđun đơn, lúc
đó C
0
=

T ∈S
E(T ) là vật đối sinh cực tiểu. Đặt E = E(C
N
0
). Lúc đó theo giả thiết, có
một sự phân tích
E =

A
E
α
mà sự phân tích đó bù các hạng tử trực tiếp cực đại. Với mỗi môđun đơn T ∈ S, đặt
A(T ) = {α ∈ A|E
α
∼
=
E(T )}
Bây giờ, với mỗi n > 0, môđun nội xạ con E(T )
(n)

đẳng cấu với một hạng tử trực
tiếp của E. Vì thế theo bổ đề 2.3.6, ta có card(A(T )) ≥ n và do đó, A(T ) là vô hạn.
Đặt
B =

T ∈S
A(T )
16
Lúc đó, rõ ràng C
(N)
0
đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của hạng tử trực tiếp

B
E
β
của E. Vì thế C
(N)
0
nội xạ và theo định lý 3.1.5, R là vành Noetherian.
3.3 Định lý Faith - Walker chính
Định nghĩa 3.3.1. Một môđun M được gọi là c - sinh nếu có một tập được chỉ số hóa
(x
γ
)
γ∈C
sinh ra M, trong đó c = cardC
Nhận xét 3.3.2. Từ định nghĩa trên ta có các nhận xét sau:
1. Nếu C là một tập thì M là cardC - sinh khi và chỉ khi M là ảnh toàn cấu của
môđun tự do R

(C)
.
2. Ảnh toàn cấu của một môđun c - sinh là c - sinh.
Chứng minh. 1. Với mọi γ ∈ C, đặt
ρ
γ
: R −→ M
r −→ rx
γ
ρ =

C
ρ
γ
: R
(C)
−→ M
r −→ rx
γ
Ta có imρ =

C
imρ
γ
=

C
Rx
γ
= M.

Vậy M là ảnh toàn cấu của môđun tự do R
(C)
.
Chiều ngược lại dễ dàng thấy được.
2. Giả sử M là môđun c - sinh và h : M −→ N là toàn cấu. Gọi (x
γ
)
γ∈C
là tập sinh
ra M với c = cardC.
Vì M là c -sinh nên theo nhận xét trên ta có M = imρ trong đó ρ : R
(C)
−→ M.
Lúc đó hρ : R
(C)
−→ N là toàn cấu nên N là c - sinh.
Bổ đề 3.3.3. Cho c là một số lực lượng vô hạn, M =

A
M
α
và N ≤ M. Nếu N là c -
sinh thì có một tập con B ⊆ A mà cardB ≤ c và N ≤

B
M
β
.
17
Chứng minh. Gọi (x

γ
)
γ∈C
là tập sinh của N và cardC = c. Lúc đó, mỗi x
γ
thuộc vào
tổng hữu hạn của các M
α
. Vì thế, có hàm số
F : γ −→ F(γ)
từ C đến các tập con hữu hạn của A mà x
γ
∈

F (γ)
M
α
với mỗi γ ∈ C.
Đặt B =

C
F (γ) thì B là một tập con của A. Do C là vô hạn nên cardB ≤ c. Hơn nữa,
vì x
γ
∈

B
M
β
với mọi γ nên N ≤


B
M
β
.
Chú ý 3.3.4. Nếu R là vành Noetherian thì tồn tại c sao cho mỗi R - môđun nội xạ là
tổng trực tiếp các các môđun c - sinh.
Chứng minh. Trước tiên để ý rằng nếu A là tập các môđun thì mỗi môđun thuộc tập
này là c - sinh, trong đó c = card(∪A).
Bây giờ, giả sử R là vành Noetherian và E là R - môđun nội xạ. Lúc đó, theo định
lí 3.2.3, E là tổng trực tiếp của các môđun nội xạ không phân tích được.
Theo chứng minh ở bổ đề 3.2.1 , một môđun nội xạ không phân tích được là bao nội
xạ của mỗi môđun con khác không của nó. Suy ra tập
{E(R/I)|I ≤ R}
chứa một bản sao đẳng cấu của mỗi nội xạ không phân tích được. Vì đây là một tập
nên ta có số lực lượng c sao cho mỗi R - môđun nội xạ không phân tích được là c - sinh.
Như thế, E là tổng trực tiếp của các môđun c - sinh.
Thực ra, điều ngược lại cũng đúng.
Định lý 3.3.5. (Định lý Faith - Walker chính) Một vành R là Noetherian khi và chỉ
khi tồn tại số lực lượng c sao cho mỗi R - môđun nội xạ là tổng trực tiếp của các c -
sinh môđun.
Chứng minh. Theo chú ý 3.3.4, ta có ngay điều điện cần. Ta chứng minh điều ngược
lại.
Giả sử tồn tại số lực lượng thỏa mãn điều kiện được phát biểu. Rõ ràng rằng bất kì
một số lực lượng nào lớn hơn cũng thỏa mãn điều kiện này. Bây giờ, để chứng minh R
là vành Noetherian, ta chỉ ra rằng nếu E là nội xạ thì E
(N)
cũng nội xạ (Định lý 3.1.6).
Vì thế, giả sử E là môđun nội xạ.
Ta có, bất kì môđun nào được sinh bởi tập C đều có nhiều nhất (cardR).(cardC)

phần tử. Vì thế. Vì vậy, điều giả sử của chúng ta kéo theo rằng có một số lực lượng vô
hạn c lớn hơn cả cardE và cardR và sao cho mỗi môđun nội xạ là tổng trực tiếp của
18
các môđun có lực lượng không quá c.
Đặt B là tập với
cardB > 2
c
Ta có tích trực tiếp E
B
là nội xạ nên theo giả thiết
E
B
=

A
E
α
trong đó mỗi E
α
có lực lượng không quá c.
Giả sử A
1
, , A
n
là các tập con rời nhau của A sao cho cardA
i
≤ c (i = 1, , n) và

A
i

E
α
= Q
i

Q

i
(i = 1, , n)
trong đó Q
i
∼
=
E. Tập
D = A
1
∪ ∪ A
n
và để ý rằng card(

D
E
α
) ≤ n.c
2
= c. Với mỗi β ∈ B, đặt t
β
: E −→ E
B
là đơn cấu tự

nhiên.
Vì {(

D
E
α
) ∩ t
β
(E)|β ∈ B} là tập các môđun con độc lập của

D
E
α
và vì

D
E
α
có
nhiều nhất 2
c
(< cardB) tập con nên tồn tại chỉ số β ∈ B với

D
E
α
) ∩ t
β
(E) = 0. Vì
thế, phép chiếu của E

B
lên

A\D
E
α
là đơn cấu trên t
β
(E). Đặc biệt,

A\D
E
α
= Q ⊕ V
với Q
∼
=
E nào đó. Vì thế, theo bổ đề 3.3.3, có một tập con A
n+1
⊆ A \ D với
cardA
n+1
≤ c và Q ≤

A
n+1
E
α
.
Bằng phép qui nạp, ta xây dựng được các tập A

1
, A
2
, sao cho
cardA
n
≤ c (n = 1, 2, )
và

A
n
E
α
= Q
n
⊕ Q

n
(n = 1, 2, ) trong đó Q
n
∼
=
E. Cuối cùng, đặt A
0
= A \
∞

n=1
A
n

Như thế chúng ta có một phân hoạch {A
0
, A
1
, A
2
, } của A sao cho
cardA
n
≤ c (n = 1, 2, )
và

A
n
E
α
= Q
n
⊕ Q

n
(n = 1, 2, ) trong đó Q
n
∼
=
E. Vì E
B
=

A

E
α
nên ta suy ra
E
B
= (
∞

n=1
Q
n
)

(
∞

n=1
Q

n
)

(

A
0
E
α
)
Vì thế, E

(N)
∼
=
∞

n=1
Q
n
. Do
∞

n=1
Q
n
là hạng tử trực tiếp của E
B
nội xạ nên là nội xạ.
Do đó E
(N)
nội xạ.
Vậy R là vành Noetherian.
19
KẾT LUẬN
Tiểu luận đã khảo sát một vài đặc trưng của vành Noetherian thông qua môđun
nội xạ cũng như sự phân tích môđun nội xạ trên vành Noetherian.
Do hạn chế về thời gian và kiến thức cũng như trong khuôn khổ yêu cầu của một
tiểu luận nên còn nhiều vấn đề chưa làm rõ được. Ví dụ như việc trình bày chứng minh
định lý Faith - Walker chính chưa được rõ ràng, các vấn đề về chiều Goldie của một
môđun chưa được trình bày.
Trong thời gian tới, tác giả hy vọng có điều kiện khảo sát các vấn đề trên và hoàn

thiện hơn các kết quả trong tiểu luận này.
Rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô và các bạn.
20
Tài liệu tham khảo
1. Frank W. Anderson, Kent R. Fuller, Rings and Categories of Modules, Springer -
Verlag, 1992.
2. Nguyễn Xuân Tuyến, Lê Văn Thuyết, Đại số trừu tượng (tập I), NXB. Giáo dục,
2005.
3. Ngô Thúc Lanh, Đại số ( Giáo trình sau đại học), NXB. Giáo dục, 1985.
4. Nguyễn Tiến Quang, Cơ sở lý thuyết Môđun và vành, NXB. Giáo dục, 2001.
21