Tiểu luận cơ sở đại số hiện đại môđun tự do hữu hạn sinh

đại học huế
trường đại học sư phạm
tiểu luận cơ sở đại số hiện đại
đề tài:
môđun tự do hữu hạn sinh.
Giáo viên hướng dẫn:
TS.Phan Văn Thiện
Học viên thực hiện: Bùi Văn Hiểu
Lớp: Toán K17 (2008-2010)
Chuyên ngành: LL và PP dạy học Toán.
Huế - 1/2009
Tiểu luận cơ sở Đại Số hiện đại 2
LỜI NÓI ĐẦU
Trong sự phát triển của toán học hiện đại, cơ sở đại số hiện đại là môn
học quan trọng, là cơ sở tiền đề cho sự phát triển của đại số hiện đại.
Trong đó vành và môđun đóng vai trò nền tảng của môn học. Môđun
một trong số các cấu trúc đại số có một tập nên là một vành cùng với
phép toán cộng và nhân vô hướng. Có thể nói khái niệm môđun là khái
niệm quan trọng nhất trong đại số hiện đại nó được chia làm nhiều lớp
như: Môđun tự do, môđun chia được, môđun nội xạ, môđun xạ ảnh,
môđun nội xạ . Vì vậy trong tiểu luận này tôi tập trung trình bày về
môđun tự do hữu hạn sinh .
Trong tiểu luận này có hai chương, đó là Kiến thức chuẩn bị và Môđun
tự do.
Chương I:Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, nhắc lại các kiến thức về môđun, môđun con,
môđun con sinh bởi một tập, đồng cấu môđun, tổng trực tiếp và tích
trực tiếp.
Chương II: Môđun tự do
Trong chương này, trình bày các định nghĩa, tính chất và các ví dụ
về môđun tự do. Từ tính chất M là một R-môđun hữu hạn sinh. Khi

đó nếu M là một R-môđun tự do với cơ sở S thì S hữu hạn và tính chất
M là một R-môđun tự do và có một cơ sở hữu hạn. Khi đó mọi cơ sở
của M củng hữu hạn và có số phần tử bằng nhau. Tôi đưa ra định nghĩa
môđun tự do hữu hạn sinh.
Vì khả năng và thời gian còn hạn chế nên tiểu luận này khó tránh
khỏi sai sót mong nhận được ý kiến đóng góp của quý thầy cô và bạn
đọc. Để hoàn thành tiểu luận này em xin chân thành cảm ơn những
đóng góp của thầy giáo Trần Văn Thiện và các bạn trong lớp Toán K17.
Học viên: Bùi Văn Hiểu Lớp: LL&PP dạy học môn Toán K17
Tiểu luận cơ sở Đại Số hiện đại 3
1 Kiến thức cơ sở
1.1 Các khái niệm chung về Môđun
1.1.1.Định nghĩa. Cho R là một vành có đơn vị 1. M được gọi là
một môđun trái trên R hay R-môđun trái nếu M là một nhóm abel
viết theo lối cộng cùng với một ánh xạ:
ϕ : R × M −→ M
(a, x) −→ ax,
thường được gọi là phép nhân với vô hướng trong R, thảo mãn các điều
kiện sau đây:
i)a(x + y) = ax + ay,
ii)(a + b)x = ax + bx,
iii)(ab)x = a(bx),
iv)1x = x,
với mọi a, b ∈ R và với mọi x, y ∈ R. Tương tự, M được gọi là một
môđun phải trên R hay R-môđun phải nếu M là một nhóm abel viết
theo lối cộng cùng với một ánh xạ M × R −→ M, (x, a) −→ xa, thỏa
mãn các điều kiện giống như i), ii), iv) nêu trên, trong đó các vô hướng
được viết ở bên phải và điều kiện sau:
iii


)x(ab) = (xa)b, ∀x ∈ M, ∀a, b ∈ R.
Nếu khi R là một vành giao hoán thì các khái niệm R-môđun phải và
R-là trùng nhau. Trong tài liệu này nếu ta không cần phân biệt thì ta
gọi R-môđun trái là R-môđun hay môđun.
1.1.2. Ví dụ.
1) Mỗi nhóm abel là một môđun trên vành Z.
2) Nhóm cộng chỉ gồm một phần tử 0 là một môđun trên một vành bất
kì, được gọi là môđun 0
3) Mỗi không gian véctơ trên một trường K là một môđun trên K và
ngược lại.
4) Mỗi vành có đơn vị R là một môđun trên chính nó. Mỗi iđêan trái
của R cũng là một R-môđun trái.
5) Xét R là một vành giao hoán có đơn vị.Lúc đó vành R[x] các đa thức
lấy các hệ tử trong R, xét vành R[x] với phép cộng thông thường và
phép nhân vô hướng xác định như sau:
r(a
0
+ a
1
x + . . . + a
n
x
n
) = ra
0
+ ra
1
x + . . . + ra
n
x

n
Học viên: Bùi Văn Hiểu Lớp: LL&PP dạy học môn Toán K17
Tiểu luận cơ sở Đại Số hiện đại 4
Với mọi r ∈ R với mọi a
0
, a
1
, . . . , a
n
∈ R. Lúc đó dể dàng kiểm chứng
được R[x] là một R-môđun
1.2 Môđun con
1.2.1. Định nghĩa. Cho M là một R-môđun. Một tập con N của
M được gọi là R-môđun con của M nếu:
i) N là một nhóm con của nhóm cộng M
ii) N khép kín đối với phép nhân với vô hướng, tức là rx ∈ R với mọi
r ∈ R, x ∈ N,
kí hiệu: N ⊆ M hay N ≤ M.
1.2.2. Định lý. Một tập con H = ∅ của R-môđun trái M là một môđun
con của M khi và chỉ khi với mọi a ∈ R và với mọi x,y ∈ H ta có:
1)x + y ∈ H; 2)ax ∈ H.
Chứng minh.Điều kiện cần là hiển nhiên, ta kiểm chứng điều kiện
đủ: Hai điều kiện (1) và (2) chứng tỏ rằng phép cộng trong H và phép
nhân vô hướng giửa H và R với miền toán tử R được xác định. Đây là
hai phép toán được cảm sinh từ hai phép toán của R-môđun trái M.
Nhưng tính giao hoán và kết hợp của phép cộng và bốn tiên đề trong
định nghĩa môđun trái thoả mản trên toàn bộ M thì củng thoả mản đối
với tập con H của M.
Ngoài ra, vì H = ∅ nên ∃x ∈ H. Khi đó 0
M

= 0
R
x ∈ H (do điều kiện
(2)); và với mổi x ∈ H, phần tử đối −x = (−1)x ∈ H (do điều kiện
(2)).
Vậy H là một R-môđun trái.
1.2.3.Ví dụ.
1) Tập con{0} của R- môđun M và chính bản thân M là hai môđun
con của R-môđun M, các môđun này gọi là các môđun tầm thường.
2) Giả sử M là một R- môđun tuỳ ý vàm
0
∈ M khi đó ta dể dàng kiểm
chứng được tập con
m
0
R = {m
0
| r ∈ R}
là một môđun con củ M. Nó được gọi là môđun con xyclic sinh bởi
phần tử m
0
.
3) Giả sử A, B là hai môđun con của R-môđun M. Khi đó ta kiểm
chứng được:
A

B là một môđun con củaM
A + B = {a + b | a ∈ A, b ∈ B là một môđun con của M.
Học viên: Bùi Văn Hiểu Lớp: LL&PP dạy học môn Toán K17
Tiểu luận cơ sở Đại Số hiện đại 5

1.3 Môđun con sinh ra bởi một tập con
1.3.1. Mệnh đề. Giả sử Ω là một tập các môđun con nào đó của
R-môđun M. Khi đó

H∈Ω
H = {x ∈ M | (∀H ∈ Ω) ⇒ (x ∈ H)}
là một môđun con của M
Chứng minh: Đặt N =

H∈Ω
H. Khi Ω = ∅ thì N = M. Bây giờ giả
sử Ω = ∅. Khi đó
0 ∈ N ⇒ N = ∅
.
Với mọi x, y ∈ N ta có x, y ∈ H, ∀H ∈ Ω. Với mọi (a ∈ R ta có:
(x + y, ax ∈ H, ∀H ∈ Ω )⇔( x + y, ax ∈ N).
theo định lý 1.2.2 thì N là một môđun con của M.
1.3.2. Hệ quả. Giả sử S là tập con của R-môđun trái M. Khi đó, giao
của tất cả các môđun con của M chứa S là môđun con nhỏ nhất chứa S.
Chứng minh Gọi Ω là tập tất cả các môđun con củaM chứaS. Theo
mệnh đề 1.3.1 thì N =

H∈Ω
H là môđun con của M và chứa S. Khi
S = ∅ thì N = {0}. Khi S = ∅, giả sử K là một môđun con bất kỳ của
M chứa S, thì K ∈ Ω. Từ đó suy ra
x ∈ N ⇒ x ∈ K, nghĩa là N ⊆ K.
1.3.3. Định nghĩa. Giả sử S là một tập con của R-môđun M. Môđun
con bé nhất N chứa S được gọi là môđun con sinh bởi S và ký hiệu
N =< S > . Khi M =< S > ta nói M là R-môdun sinh ra bởi tập S

và S là hệ sinh của R-môđun M. Nếu M có hệ sinh hữu hạn thì ta nói
rằng M là R-môđun hữu hạn sinh.
một phần tử x của R-môđun trái M được gọi là một tổ hợp tuyến tính
của các phần tử trong tập con S ⊂ M khi và chỉ khi tồn tại một số hữu
hạn các phần tử x
1
, x
2
, . . . , x
n
∈ S sao cho x =

n
i=1
a
i
x
i
với các hệ tử
a
1
, a
2
, . . . , a
n
∈ R.
1.3.4. Ví dụ.
1) Z-môđun Q các số hữu tỉ không có hệ sinh hữu hạn
Thật vậy giả sử S = {a
1

, a
2
, . . . , a
n
} là một hệ sinh hữu hạn của
Q.Khi đó
1
2
a
1
có thể biểu diển dưới dạng tổng hữu hạn:
1
2
a
1
= x
1
a
1
+

i=1
x
i
a
i
, x
i
∈ Z
Học viên: Bùi Văn Hiểu Lớp: LL&PP dạy học môn Toán K17

Tiểu luận cơ sở Đại Số hiện đại 6
Suy ra a
1
= 2x
1
a
1
+

i=1
2x
i
a
i
.
từ đó ma
1
=

i=1
2x
i
a
i
, với m = 1 − 2x
1
.
Giả sử
1
m

a
1
= y
1
a
1
+

i=1
y
i
a
i
, y
i
∈ Z.
Khi đó a
1
= my
1
a
1
+

i=1
my
i
a
i
=


i=1
2x
i
a
i
y
i
+

i=1
m
i
a
i
=

i=1
r
i
a
i
Điều này chứng tỏ S \ {a
1
} củng là hệ sinh của Q. Tiếp tục quá
trình này sau n bước ta được tập rổng là hệ sinh của Q và do đó Q = {0}.
2) Không gian véctơ R
n
là một R-môđun hữu hạn sinh có một hệ sinh
là cơ sở chính tắc của R.

1.3.5. Định nghĩa. Môđun con A của môđun M được gọi là tối đại
nếu A = M và nó không chứa môđun con thực sự nào của M
1.3.6. Định lý. Trong môđun hữu hạn sinh mổi môđun con thực sự
được chứa trong một môđun tối đại
Để chứng minh định lí này ta sử dụng bổ đề Zorn
1.3.7. Bổ đề Zorn. Cho A là một tập sắp thứ tự. Nếu mổi tập con sắp
thứ tự hoàn toàn trong A có cận trên trong A thì A có hần tử tối đại.
Chứng minh định lí 1.3.6. Giả sử S = {m
1
, m
2
, . . . , m
s
} là hệ
sinh của M. Nếu A là môđun con của M và A = M thì tập các môđun
con của M
Γ = {B/A ⊂ B ⊂ M, B = M}
là khác rổng. hơn nửa, Γ là sắp thứ tự theo quan hệ bao hàm. Để áp
dụng bổ đề Zorn ta cần chỉ ra mổi tập con sắp thứ tự hoàn toàn L của
Γ có cận trên trong Γ. Đặt
C =

B, B ∈ Γ
Khi đó. Giả thiết rằng C = M. Thế thì {m
1
, m
2
, . . . , m
s
} ⊂ C,

do đó tồn tại môđun con B ∈ Γ sao cho {m
1
, m
2
, . . . , m
s
} ⊂ B, nghĩa
là B = M, trái với giả thiết về Γ. Vậy ta phải có C ∈ Γ.
Theo bổ đề Zorn trong Γ tồn tại phần tử tối đại D. ta chứng tỏ D
là môđun tối đại trong M. Thật vậy, nếu N là môđun con của M sao
cho
D ⊂ N ⊂ M, N = M
thì N ∈ Γ, và do tính tối đại của D trong Γ ta có N = D
1.3.8. Hệ quả. Mổi môđun hữu han sinh M = {0} đều chứa môđun
Học viên: Bùi Văn Hiểu Lớp: LL&PP dạy học môn Toán K17
Tiểu luận cơ sở Đại Số hiện đại 7
con tối đại.
1.3.9. Định lý.H là môđun con của R môđun trái M sinh ra bởi tập
con S ⊂ M khi và chỉ khi H gồm tất cả các tổ hợp tuyến tính của các
phần tử trong S.
Chứng minh. Gọi
H =

{

s∈S
r
s
s/r
s

∈ R, (r
s
)
s
∈ Scó giá hửu hạn} , nếuS = ∅
{0} , nếuS = ∅
Nếu H = {0} thì H là một môđun con của M. Nếu H = {0}. Khi
đó ∀x, y ∈ H, ∀a ∈ R
x =

s∈S
r
s
s, y =

s∈S
r

s
s ⇒ x + y =

s∈S
(r
s
+ r

s
)s ∈ H, ax =
a


s∈S
r
s
s =

s∈S
ar
s
s ∈ H với mổi x ∈ S ta có x = 1.x ∈ H ⇒ S ⊂
H. Như vậy H là một môđun con của M và chứa S
Giả sử K là một môđun con bất kì của M chứa S Khi đó mọi tổ hợp
tuyến tính của các phần tử trong S đều bị chứa trong K, nghĩa là
H ⊂ K. Do đó H là môđun con nhỏ nhất của M cứa S. Nói cách khác
H =< S >
1.3.10. Định nghĩa. Một tập con S của R-môđun trái M sao cho
0
M
∈ S được gọi là độc lập tuyến tính nếu một tổ hợp tuyến tính của S

s∈S
r
s
s = 0
suy ra mọi hệ số r
s
= 0
Nếu tập S độc lập tuyến tính thì

s∈S
a

s
s =

s∈S
b
s
s khi và chỉ khi
a
s
= b
s
với mọi s ∈ S. khi đó, nếu x biểu thị tuyến tính qua S thì biểu
thị đó là duy nhất. Đặc biệt, không có phân tử nào của S biểu thị tuyến
tính qua các phần tử còn lại củaS.
Có những môđun không có một tập con độc lập tuyến tính nào. Chẳng
hạn Z-môđun Z
n
, với mọi n > 1. Bởi vì ta có nx = 0 đối với bất kỳ
x ∈ Z
n
1.3.11. Định nghĩa.Tập con S của R-môđun trái M được gọi là cơ sở
đối với M nếu nó vừa độc lập tuyến tính vừa là hệ sinh.
1.3.12. Ví dụ.
1) Cho R là một vành giao hoán có ddn vị 1 = 0. Khi đó {1} là cơ
sở của R-môđun R
2) Mổi cơ sở của một không gian véctơ V trên trường K chính là một
cơ sở của một K-môđun V .
Học viên: Bùi Văn Hiểu Lớp: LL&PP dạy học môn Toán K17
Tiểu luận cơ sở Đại Số hiện đại 8
1.4 Môđun thương

Giả sử M là một R-môđun trái và H là môđun con của nó. Vì H
là nhóm con của nhóm aben trong R-môđun trái M nên ta có nhóm
thương
H/M = {x + H | x ∈ M}
với phép cộng xác định như sau: (x + H) + (y + H) = x + y + H.
1.4.1. Định lýGiả sử M là một R-môđun trái và H là một môđun con
cua M.
i) Quy tắc
R × (M/H) −→ M/H
(r, x + H) −→ rx + H
là một ánh xạ nên nó là phép nhân vô hướng giữa vành R và nhóm aben
M/H.
Nhóm aben M/H cùng với phép nhân vô hướng trong (1) là một R-
môđun trái.
Chứng minh
i) Thật vậy, nếu x + H = x

+ H thì x − x

∈ H.
Do đó với r ∈ R vì H là môđun con nên ta có:
r(x − x

) ∈ H =⇒ rx − rx

∈ H.
Vậy rx + H = rx

+ H.
ii) Ta kiểm chứng việc thoả mản 4 tiên đề của R-môđun trái:

với mọi x + H, y + H ∈ M/H và mọi r, s ∈ R ta có:
+) r[(x + H) + (y + H)] = r(x + y + H)
= r(x + y) + H = rx + ry + H
= (rx + H) + (ry + H) = r(x + H) + r(y + H)
+) (r + s)(x + H) = (r + s)x + H = rx + sx + H
= (rx + H) + (sx + H) = r(x + H) + s(x + H);
+) (rs)(x + H) = (rs)x + H = r(sx) + H
= r(sx + H) = r[s(x + H)];
+) 1(x + H) = 1x + H = x + H.
1.4.2. Định nghĩa .R-môđun tráiM/H trong định lý 1.4.1 được gọi là
môđun thương của R-môđun trái M theo môđun con H của nó.
1.4.3. Ví dụ. Mổi vành R có đơn vị 1 = 0 là một R-môđun trái, nên
Học viên: Bùi Văn Hiểu Lớp: LL&PP dạy học môn Toán K17
Tiểu luận cơ sở Đại Số hiện đại 9
I là một iđêan trái cua vành R thì I chính là môđun con của R môđun
trái R, và do đó, môđun thương R/I là R-môđun trái.
1.5 Đồng cấu môđun.
1.5.1.Định nghĩa 1. Giả sử M, M

là hai R-môđun trái. Khi đó M
và M

là hai nhóm aben đối với phép toán cộng trong các môđun trái.
Một đồng cấu nhóm từ R-môđun trái M vào R-môđun trái M

gọi là
đồng cấu môđun nếu:
ϕ(ax) = aϕ(x), ∀a ∈ R, ∀x ∈ X
1.5.2. Định nghĩa 2. Giả sử ϕ : M −→ M


là một đồng cấu môđun.
Nếu ϕ đồng thời là đơn ánh thì nó được gọi là đơn cấu môđun. Nếu ϕ
đồng thời là toàn ánh thì nó được gọi là toàn cấu môđun. Cuối cùng,
nếu ϕ đồng thời là song ánh thì nó được gọi là đẳng cấu môđun.
Nếu ϕ là một đẳng cấu môđun thì ta nói M đẳng cấu với M

và viết
M
∼
=
M

. Quan hệ đẳng cấu là một quan hệ tương đương.
Nếu M = M

thì ϕ được gọi là một tự đồng cấu của M.
1.5.3. Ví dụ.
1) Ánh xạ đồng nhất id: M −→ M, x −→ x là một đồng cấu môđun
(gọi là phép đồng nhất đối với mọi môđun M)
2)Ánh xạ không 0 : M −→ M

định nghĩa bởi 0(x) = 0
M

, ∀x ∈ M,
là một đồng cấu môđun với mọi môđun M và M

3) Nếu R là một trường thì đồng cấu R-môđun chính là đồng cấu
R- không gian véctơ.
1.5.4. Định lí.Giả sử ϕ : M −→ M


là một đồng cấu từ R-môđun trái
M vào R-môđun trái M’ và p : M −→ M/Ker(ϕ) là một toàn cấu chính
tắc thì tồn tại duy nhất một R-đồng cấu môđun ϕ : M/Ker(ϕ) −→ Y
sao cho ϕop = ϕ; hơn nữa, ϕ là đơn cấu và Imϕ = Imϕ.
Chứng minh: Theo định lí đồng cấu nhóm, ϕ tồn tại duy nhất thoả
mản điều kiện của định lí trên. Ta chỉ cần kiểm chứng ϕ bảo toàn phép
nhân vô hướng. Thật vậy, với mọi a ∈ R và mọi x+Kerϕ ∈ M/Ker(ϕ),
ta có:
ϕ[a(x + kerϕ)] = ϕ(ax + kerϕ)
= ϕ(ax) = aϕ(x) = aϕ(x + kerϕ).
Học viên: Bùi Văn Hiểu Lớp: LL&PP dạy học môn Toán K17
Tiểu luận cơ sở Đại Số hiện đại 10
1.5.5. Hệ quả Nếu ϕ : M −→ M

là một toàn cấu môđun thì
M/Ker(ϕ)
∼
=
M

.
1.6 Tổng và tích trực tiếp
Giả sử M
i
là một R-môđun với mọi i ∈ I. Trên tập tích

i∈I
M
i

ta
định nghĩa hai phép toán cộng và nhân như sau:
(x
i
)
i∈I
+ (y
i
)
i∈I
= (x
i
+ y
i
)
i∈I
.
a(x
i
)
i∈I
= (ax
i
)
i∈I
.
trong đó x
i
, y
i

∈ M
i
, a ∈ R. Khi đó dể dàng kiểm tra được

i∈I
M
i
cùng
với hai phép toán nói trên lập thành một R-môđun, được gọi là tích
trực tiếp của họ môđun {M
i
}
i∈I
Gọi

i∈I
M
i
là tập các dãy (x
i
)
i∈I
(với x
i
∈ M
i
) có giá hữu hạn tức
là hầu hết x
i
= 0 trừ ra một số hữu hạn các chỉ số i. Với hai phép toán

cộnh và nhân vô hướng định nghĩa như ở trên

i∈I
M
i
là một R-môđun,
được gọi là tổng trực tiếp của họ {M
i
}
i∈I
.
Khi I là tập chỉ số hữu hạn. I = {1, 2, . . . , n} thì tích trực tiếp và
tổng trực tiếp của họ {M
i
}
i∈I
là trùng nhau:
M
1
× M
2
× . . . × M
n
≡ M
1
⊕ M
2
. . . ⊕ M
n
.

Học viên: Bùi Văn Hiểu Lớp: LL&PP dạy học môn Toán K17
Tiểu luận cơ sở Đại Số hiện đại 11
2 Môđun tự do
2.1 Định nghĩa.
Một R-môđun trái M được gọi là tự do nếu nó có một cơ sở.
2.2 Ví dụ.
1) {0} là R-môđun tự do với cơ sở rổng.
2) Bản thân R là R-môđun tự do với cơ sở {1}.
3) nZ là một Z- môđun tự do với cơ sở {n}
4) Giá sử I là một tập chỉ số nào đó. Khi đó
R
(I)
= (⊕
i∈I
R
i
, R
i
= R, i ∈ I)
là R-môđun tự do với cơ sở U = {e
i
| i ∈ I}, trong đó e
i
= (δ
ij
)
j∈I
với
δ
ij

=

0 , nếui = j
1 , nếui = j
U được gọi là cơ sở chính tắc của R
(I)
.
2.3 Mệnh đề.
R-môđun trái M là tự do vớcơ sở S khi và chỉ khi M biểu diển được
dưới dạng tổng trực tiếp M =

s∈S
A
s
, A
s
∼
=
R, ∀s ∈ S.
Chứng minh: Trước hết ta xét ánh xạ ϕ
s
: R −→ Rs, r −→ rs. trong đó
s ∈ S là một phần tử cố định. Rỏ ràng ϕ
s
là một toàn cấu các R-môđun
trái. Hơn nữa, với r ∈ R, ϕ
s
(r) = rs = 0 ⇒ rs = 0s nhưng S là cơ sở
của M nên r = 0; vậy ϕ
s

là đơn cấu, và do đó là đẳng cấu.
Để chứng minh M có dạng tổng trực tiếp như trong mệnh đề, ta
đặt A
s
= Rs. Vì S là cơ sở của M nên nó là hệ sinh. Bởi vậy, M =

s∈S
Rs =

s∈S
A
s
. Bây giờ ta lấy phần tử t ∈ S. Ta xét hần tử
x ∈ R
t

s∈S,s=t
Rs, Khi đó có các phần tử s
1
, s
2
, . . . , s
n
∈ S, s
i
= t và
r, r
1
, r
2

, . . . , r
n
∈ R sao cho
x = rt =

n
i=1
r
i
s
i
hay 0 = −rt +

n
i=1
r
i
s
i
,
suy ra r = r
1
= r
2
= . . . = r
n
= 0 vì t, s
1
, s
2

, . . . , s
n
là các phần tử của
cơ sở S. Vậy x = 0, nghĩa là A
t

s∈S,s=t
A
s
= 0. Theo định nghĩa tổng
trực tiếp thì điều kiện cần của mệnh đề đã được chứng minh.
Để chứng minh điều kiện đủ, trước hết ta cho ϕ
s
: R −→ A
s
là đẵng
Học viên: Bùi Văn Hiểu Lớp: LL&PP dạy học môn Toán K17
Tiểu luận cơ sở Đại Số hiện đại 12
cấu. Ta thấy A
s
= ϕ
s
(R) = ϕ
s
(R.1) = Rϕ
s
(1), suy ra
M =

s∈S

A
s
=

s∈S
Rϕ
s
(1).
Do đó, {ϕ
s
(1)}
s∈S
là hệ sinh của M.
Hơn nữa, hệ {ϕ
s
(1)}
s∈S
độc lập tuyến tính. Do đó {ϕ
s
(1)}
s∈S
là cơ
sở.
2.4 Hệ quả.
Mổi phần tử của một R-môđun trái tự do có thể biểu diển một cách
duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong cơ sở của
môđun đó.
2.5 Hệ quả.
Cho R là một vành có đơn vị 1 = 0. tổng trực tiếp ⊕
i∈I

R
i
, R
i
=
R, (∀i ∈ I) là một R-môđun trái (phải) tự do với cơ sở có lực lượng bằng
lực lượng của I.
2.6 Định lí.
Cho M là một R-môđun tự do với cơ sở S = {e
i
| i ∈ I} và N là một
R-môđun. Khi đó mọi ánh xạ f : M −→ N đều mở rộng một cách duy
nhất thành một đồng cấu
ϕ : M −→ N
Chứng minh. Đồng cấu ϕ : M −→ N được xác định bởi hệ thức
ϕ(

e
i
x
i
) =

f(e
i
)x
i
,
Bây giờ nếu ψ : M −→ N là một đồng cấu mở rộng của f thì
ψ(e

i
) = f(e
i
)
và ψ(

e
i
x
i
=

ψ(e
i
)x
i
=

f(e
i
)x
i
= ϕ(

e
i
x
i
).
Điều này chứng tỏ ϕ = ψ

2.7 Hệ quả.
Hai R-môđun tự do với các cở có cùng lực lượng thì đẵng cấu với
nhau
Chứng minh. Giả sử M và N là các R môđun với các cơ sở tương
Học viên: Bùi Văn Hiểu Lớp: LL&PP dạy học môn Toán K17
Tiểu luận cơ sở Đại Số hiện đại 13
ứng {x
i
}
i∈I
và {y
i
}
i∈I
. Theo định lí trên, tồn tại duy nhất các đồng cấu
ϕ : M −→ N, ψ : N −→ M với
ϕ(x
i
) = y
i
, ψ(y
i
) = x
i
(i ∈ I)
Khi đó ψϕ = id
M
, ϕψ = id
N
. cho nên M

∼
=
N.
2.8 Định lí.
Giả sử S là một tập con của R-môđun M, hơn nữa S và M có tính
chất: mọi ánh xạ f từ S đến R-môđun N bất kỳ đều mở rộng thành một
đồng cấu duy nhất ϕ : M −→ N. Khi đó M là tự do với cơ sở S.
Chứng minh Trước hết ta chứng minh S là hệ sinh. Gọi X là môđun
con củaM sinh bởi S. Khi đó đơn cấu chính tắc i : S −→ X mở rộng
thành đồng cấu duy nhất
g : M −→ X
Xét đơn cấu chính tắc h : X −→ M. Khi đó
ϕ = hg : M −→ M
là một mơ rộng của i. Đồng thời đồng cấu đồng nhất id
M
: M −→ M
củng là một mở rộng của i. Bởi vậy hg = id
M
. Điều này chứng tỏ h là
toàn cấu, tức X = M
Bây giờ ta chứng minh S là tập độc lập tuyến tính. Giả sử S = {b
i
|
i ∈ I}. Xét môđun tự do R
(I)
với cơ sở chính tắc {e
i
| i ∈ I}. Xét ánh
xạ
f : S −→ R

(I)
, b
i
−→ e
i
Khi đó f được mở rộng thành đồng cấu duy nhất
ψ : M −→ R
(I)
Giả sử

i∈I
b
i
r
i
= 0, r
i
∈ R va bằng 0 hầu hết trừ một số hữu hạn.
Thế thì
ψ(

i∈I
b
i
r
i
) =

i∈I
ψ(b

i
)r
i
=

i∈I
e
i
r
i
= 0 ⇒ r
i
= 0, ∀i ∈ I
Điều này chứng tỏ {b
i
| i ∈ I} là hệ độc lập tuyến tính.
2.9 Mệnh đề.
Mổi không gian véctơ V trên trường K đều là một K-môđun tự do.
Chứng minh. Với V = {0} là hiển nhiên. Giả sử V = {0} và S ⊂ S

là các tập con của V , trong đó S độc lập tuyến tính và S

sinh ra V . Ta
sẻ chứng minh tồn tại một cơ sở B của V sao cho S ⊂ B ⊂ S

.
Gọi Ω là tập hợp mà mổi phần tử của nó là một tập chứa S, được
Học viên: Bùi Văn Hiểu Lớp: LL&PP dạy học môn Toán K17
Tiểu luận cơ sở Đại Số hiện đại 14
chứa trong S


và độc lập tuyến tính trong V . Vì Ω chứa S nên Ω = ∅.
Các phần tử của Ω được sắp thứ tự theo quan hệ bao hàm, nếu {C
i
}
là một tập con được sắp thứ tự hoàn toàn trong Ω, thì C =

C
i
củng
độc lập tuyến tính và chứa S, nên C là một cận trên của {C
i
}. theo bổ
đề Zorn, Ω có một phần tử cực đại B. Như thế B độc lập tuyến tính.
GọiS(B) là không gian vectơ con của V sinh bởi B. Giả sử rằng có
v ∈ V \S(B). Khi đó B ∪ {v} độc lập tuyến tính. Thật vậy, nếu như

x∈B
a
x
x + bv = 0 (a
x
, b ∈ K),
thì b = 0, vì nếu b = 0 thì v = −

x∈B
a
x
x ∈ S(B). Do B độc lập
tuyến tính nên b = 0 ⇒ a

x
= 0, ∀x ∈ B Như thế B ∪ {v} là một phần
tử trong Ω lớn hơn phần tử cực đại B. Điều đó chứng tỏ V = S(B).
2.10 Định lí.
Một R-môđun M bất kỳ đều đẵng cấu với một môđun thương của một
R-môđun tự do
Chứng minh Giả sử M có tập sinh S = {a
i
| i ∈ I}. Xét môđun tự
do R
(I)
với cơ sở chính tắc U = {e
i
| i ∈ I}. Khi đó ánh xạ
f : U −→ M, e
i
−→ a
i
được mở rộng thành toàn cấu g : R
(I)
−→ M. Từ đó suy ra
M
∼
=
R
(I)
/Ker(g).
2.11 Mệnh đề.
Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó nếu M là một R-môđun
tự do với S là cơ sở của M thì S hữu hạn.

Chứng minh. Vì M là một R-môđun hữu hạn sinh nên ta gọi {m
1
, m
2
, . . . , m
n
}
là một tập sinh của M.
Vì S là cơ sở nên
M =

s∈S
Rs
Khi đó với mổi i ∈ {1, 2, . . . , n}, tồn tại tập hữu hạn F
i
⊂ S sao cho
m
i
∈

s∈S
Rs
Đặt
F =
n

i=1
F
i
Học viên: Bùi Văn Hiểu Lớp: LL&PP dạy học môn Toán K17

Tiểu luận cơ sở Đại Số hiện đại 15
Khi đó: F hữu hạn và ∀i ∈ {1, 2, . . . , n}, ta có:
m
i
∈

s∈F
Rs
Do đó
M ⊆

s∈F
Rs
hay
M =

s∈F
Rs
Nếu F ⊂ S, F = S thì ∃s

∈ S\F , do đó
s

∈ M =

s∈F
Rs
Suy ra
s


=

s∈F
rs, r ∈ R
Điều này mâu thuẩn với S là cơ sở của M. Vậy S = F, hay S hữu
hạn.
2.12 Mệnh đề
Cho M là một R-môđun tự do có một cơ sở hữu hạn. Khi đó mọi cơ
sở của M đều hữu hạn và có số phần tử bằng nhau .
Chứng minh. Giả sử S = {m
1
, m
2
, . . . , m
n
} là một cơ sở của M. Khi
đó S là hệ sinh của M, do đó M là R-môđun hữu hạn sinh. Nếu S

là
một cơ sở khác của M thì theo mệnh đề trên thì S

hữu hạn. Bây giờ ta
cần chứng minh S và S

có số phần tử bằng nhau. Như ta đã biết hai
cơ sở của một không gian véctơ hữu hạn sinh có cùng lực lượng.
Tập hợp các iđêan thực sự của R được sắ thứ tự theo quan hệ bao
hàm. Thật vậy, nếu {B
i
} là một họ iđêan được sắp thứ tự hoàn toàn

các iđêan thực sự của R thì B =

B
i
là một iđêan thực sự của Rvà B
là một chặn trên của {B
i
}. Do đó theo bổ đề Zorn, R có một iđêan cực
đại I. Khi đó K = R/I là một trường.
Ta có S = {m
1
, m
2
, . . . , m
n
} là cơ sở của R-môđun M nên:
M =
n

i=1
Rm
i
Học viên: Bùi Văn Hiểu Lớp: LL&PP dạy học môn Toán K17
Tiểu luận cơ sở Đại Số hiện đại 16
. Từ đó
M/IM =
n

i=1
Rm

i
/IM =
n

i=1
Rm
i
/IM
∼
=
n

i=1
Rm
i
/Im
i
∼
=
n

i=1
Km
i
trong đó m
i
= (m
i
+ IM). Như thế, M/IM là một K-không gian véctơ
với cơ sở {m

i
}, i = 1, 2, . . . , n
Vì các cơ sở của không gian véctơ M/IM có số phần tử bằng nhau
nên các cơ sở của R-môđun M củng có số phần tử bằng nhau.
2.13 Định nghĩa.
M là R môđun tự do hữu hạn sinh nếu nó có một cơ sở hữu hạn.
Học viên: Bùi Văn Hiểu Lớp: LL&PP dạy học môn Toán K17
Tiểu luận cơ sở Đại Số hiện đại 17
KẾT LUẬN
Tiểu luận này đã khảo sát các tính chất của môđun tự do và môđn
tự do hữu hạn sinh
Do hạn chế về thời gian và khả năng của bản thân nên tiểu luận này
còn nhiều thiếu sót
Trong thời gian tới, tác giả hy vọng có điều kiện khảo sát các vấn đề
trên và hoàn thiện hơn các kết quả trong tiểu luận này.
Rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn.
Học viên: Bùi Văn Hiểu Lớp: LL&PP dạy học môn Toán K17
Tiểu luận cơ sở Đại Số hiện đại 18
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Hữu Việt Hưng: Đại Số đại cương. Nhà xuất bản Giáo
Dục.
[2] Nguyễn Xuân Tuyến - Lê Văn Thuyết: Đại Số trừu tượng. Nhà
xuất bản Giáo Dục.
[3] Ngô Thúc Lanh: Đại Số(Giáo trình sau đại học) . Nhà xuất bản
Giáo Dục 1985.
[4] Nguyễn Tiến Quang - Nguyễn Duy Thuận: Cơ sở lý thuyết môđun
và vành. Nhà xuất bản đại học quốc gia Hà Nội-2001.
Học viên: Bùi Văn Hiểu Lớp: LL&PP dạy học môn Toán K17
Tiểu luận cơ sở Đại Số hiện đại 19
Mục lục

Lời nói đầu 3
1 Kiến thức cơ sở 3
1.1 Các khái niệm chung về Môđun . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Môđun con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Môđun con sinh ra bởi một tập con . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Môđun thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Đồng cấu môđun. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Tổng và tích trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Môđun tự do 11
2.1 Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Mệnh đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 Hệ quả. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5 Hệ quả. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.6 Định lí. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.7 Hệ quả. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.8 Định lí. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.9 Mệnh đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.10 Định lí. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.11 Mệnh đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.12 Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.13 Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Tài liệu tham khảo 18
Học viên: Bùi Văn Hiểu Lớp: LL&PP dạy học môn Toán K17